初中数学论文：图形镶嵌问题中的若干问题

初中数学论文：图形镶嵌问题中的若干问题

图形镶嵌问题中的若干问题

用平面封闭图形，把一块地面无缝隙、又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌．为了方便，这里简称之“镶嵌”．

新课标（实验稿）几何部分对图形镶嵌的要求是：通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．

当然有的教材还可以通过对几何部分的补充、阅读材料、课题学习等多种形式做适当的拓展．笔者目前所使用的华师大版初中数学教材正是属于这种情形，该版教材把图形镶嵌的内容集中安排在七年级（下）的多边形章节内．

教材在几何部分补充了“用多种

．．正多边形拼地板”；阅读材料中介绍了“多姿多彩的图案”，在这里，一些神奇的图形、图案也可以

镶嵌平面；课题学习中则安排了“图形的镶嵌”，这里的有些问题设计时非常开放．应该说，华师大版教材图形镶嵌部分内容非常丰富，有利于学生比较全面地去了解图形的镶嵌问题．当然，这对于我们教师来说，因此需要了解更多的有关图形镶嵌方面的知识．现在笔者从四个方面来谈谈对图形镶嵌问题的体会、理解．

一、用一种正多边形镶嵌

用一种正多边形镶嵌时，学生要弄清楚这样一个基本事实：正三角形、正方形和正六边形可以镶嵌平面，其它正多边形都不可以镶嵌平面．要解释其中的原因所在，自然必须熟悉正n边形的内角度数：360

（注：由于外角和

180

n

一定，所以用内、外角互补关系来求正多边形的内角度数更容易些）．依据这个公式，从正三角形开始，随着边数的增加，内角度数依次

、135、140、144、……．这为：60、90、108、120、900

7

里的60、90和120，分别乘以整数

．．6、4和3

后都等于360，恰好是一个周角的度数．其余

数不具备这种特征，例如正五边形的内角等于

108 ，它的3倍不足一个周角，它的4倍则要

超过一个周角；又如边数超过6的正多边形，

内角的2倍不足一个周角，内角的3倍则要超

过一个周角．

由于正三角形、正方形的内角度数分别乘

以整数3、2后都等于180，恰好是一个平角

的大小．所以用这两种正多边形镶嵌时无须一

定要顶点与顶点重合，如图1、2所示．所以

说，正三角形、正方形能够镶嵌平面的理由：

内角度数是180

．．．的约数（实际上

图 1 图2

我们经常所说的“是360的约数”还不能

解释图1、2的情形）；正六边形能够镶嵌平面

的理由：内角度数是360的约数；其余正多边

形不能够镶嵌平面的理由：360不是它们内角

度数的整数倍．

二、用多种正多边

形镶嵌

用多种正多边形镶嵌，可以先让学生来观

察一些比较常见的例子．如图3，用正方形和

正八边形这两种图形可以镶嵌，这是因为它们

的内角分别等于90︒和135︒，而︒=︒．如图4，正三角形、正方形和90︒+135︒+135360

正六边形这三种正多边形也可以镶嵌，这是因

为它们的内角分别等于60︒、90︒和120︒，而

60︒+9090120360

︒+︒+︒=︒．通过这两个例子，大家都有这样的体会：用多种正多边形镶嵌时，这些多边形的内角可以组合成一个周角．要分析出

各种组合周角的方式是比较容易做到的．

由60+90+108+120>360知“不可能用四种

或四种以上的正多边形镶嵌”．现在先来讨论用两种正多边形组合的情况．

图 3 图 4

图5

因为至少是三个角拼成一个周角，所以必

有角小于120°，即肯定有边数小于六的正多边形存在．经分析得60+150+150=360（正三角形，正十二边形）；60+60+120+120=360

（正

三角形，正六边形）；60+60+60+90+90 =360 （正三角形，正方形）；60+60+60+60+120=360（正三角形，正六边形）；90+135+135=360（正方形，正八边形）；108+108+144=360（正五边形，正十边形）．这里六种组合情况中有两种是相近的，而正五边形，正十边形又不能镶嵌（见图5），所以实际上只有四种镶嵌的组合．然后来讨论用三种正多边形组合的情况．若存在正三角形，且由三个角组成周角的

情形是：60+900

7+1200

7

=360（正三角形，正七边形，

正四十二边形）；60+135+165=360（正三角形，正八边形，正二十四边形）；60+140+160=360（正三角形，正九边形，正十八边形）；60+144+156=360（正三角形，正十边形，正十五边形）．若存在正三角形，且由四个角组成周角的情形是：60+60+90+150=360（正三角形，正方形，正十二边形）；60+90+90+120=360（正三角形，正方形，正六边形）．若不存在正三角形，则有90+120+150=360（正方形，正六

边形，正十二边形）；90+108+162=360（正方形，正五边形，正二十边形）．这里八种组合中到底有几种组合能镶嵌的，留给读者自己去探究．

几种正多边形的内角能组合成周角不是它

们能镶嵌的充分条件．下面是通过严密的证明来得到“正五边形和正十边形不能镶嵌”，这里采用反证法．

证明假设“正五边形和正十边形能镶嵌”．

由于正五边形的内角、正十边形的内角不能拼成一个平角，所以它们镶嵌时，里

面的正多边形（非边界处）顶点不会落到其它正多边形的边的非端点处．简言之，我们看到的每一个顶点处（处于边界上的除外）它肯定是三个角“108度角、108度角和144度角”的公共顶点．

D

D E C C

A B A B A B