理论力学1-7章答案

理论力学1-7章答案

e a a a ϕ1

O ω

2

O A

2

O 1

O e v v

B

A

v ϕ

ω

习题7-1图

B

1

θA e

υA

B /υB

υA

υO

υ

(a)

2

θB

O

B

υυ=e B

A /υυ

(b)

习题7-3图

第7章 点的复合运动

7-1 图示车A 沿半径R 的圆弧轨道运动，其速度为v A 。车B 沿直线轨道行驶，其速度为v B 。试问坐在车A 中的观察者所看到车B 的相对速度v B /A ，与坐在车B 中的观察者看到车A 的相对速度v A /B ，是否有B A A B //v v -=？（试用矢量三角形加以分析。）

答：B A A B //v v -≠

1．以A 为动系，B 为动点，此时绝对运动：直线；相对运动：平面曲线；牵连运动：定轴转动。

为了定量举例，设R OB 3=，v v v B A ==，则v

v 3e =

∴ ⎩⎨

⎧︒

==6021/θv v A B

2．以B 为动系，A 为动点。牵连运动为：平移；绝对运动：圆周运动；相对运动：平面曲线。 此时⎪⎩⎪⎨

⎧︒

==4522/θv v B A ∴ B A A B //v v -≠

7-3 图示记录装置中的鼓轮以等角速度0ω转动，鼓轮的半径为r 。自动记录笔连接在沿铅垂方向并按)sin(1t a y ω=规律运动的构件上。试求记录笔在纸带上所画曲线的方程。 解：t r x 0ω= （1） )sin(1t a y ω=

（2）

由（1） 0

ωr x

t =

代入（2），得

)sin(01r

x

a y ωω=

7-5 图示铰接四边形机构中，O 1A = O 2B = 100mm ，O 1O 2 = AB ，杆O 1A 以等角速度ω= 2rad/s 绕轴O 1转动。AB 杆上有一套筒C ，此套筒与杆CD 相铰接，机构的各部件都在同一铅垂面内。试求当ϕ= ︒60，

CD 杆的速度和加速度。

解：1．动点：C （CD 上），动系：AB ，绝对：直线，相对：直线，牵连：平移。

2．r e a

v v v +=（图a ）

v e = v A

01

.021

21.0cos e a =⨯⨯==ϕv v m/s （↑） 3． r e a a a a +=（图b ）

4

.021.022e =⨯==ωr a m/s 2

习题7-5图

习题7-7图

习题7-9图 ϕ

M υM υC

υr

υe υB υω

υ

O υ

(a) ϕr a C a O υM

υ

A

υM a e a (b)

z '

y '

x '

e a

1ωA

B

e

υr

υω(a)

346.030cos e a =︒=a a m/s 2（↑）

7-7 图示瓦特离心调速器以角速度ω绕铅垂轴转动。由于机器负荷的变化，调速器重球以角速度1ω向外张开。如ω= 10 rad/s ，1ω= 1.21 rad/s ；球柄长l = 0.5m ；悬挂球柄的支点到铅垂轴的距离e = 0.05m ；球柄与铅垂轴夹角α= 30°。试求此时重球的绝对速度。

解：动点：A ，动系：固连于铅垂轴，绝

对运动：空间曲线，相对运动：圆图，牵连运动：定轴转动。

r e a v v v +=

3)sin (e =+=ωαl e v m/s 605.01r ==ωl v m/s

06

.32r 2

e a =+=v v v m/s

或 i v '

-=3e m/s

k j k j v '+'='

+'=300.0520.0sin cos r r r ααv v )300.0 ,520.0 ,3(a -=v m/s

7-9 图示直角曲杆OBC 绕O 轴转动，使套在其上的小环M 沿固定直杆OA 滑动。已知OB = 0.1m ；OB 与BC 垂直；曲杆的角速度ω= 0.5 rad/s 。试求当ϕ= 60°时小环M 的速度和加速度。

解：动点：小环M ，动系：OBC ，绝对运动：直线，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。

图（a ）：r e v v v +=M

1

.0cos e =⋅=⋅=ϕω

ωOB OM v m/s 173.0tan e ==ϕv v M m/s

图（b ）：C r e a a a a ++=M （1） 上式向a C 投影， C e cos cos a a a M

+-=ϕϕ

又 05.02

e =⋅=ωOM a m/s 2

20.0cos /22e r C =⋅==ϕωωv v a m/s 2

习题7-11图

O

υ

C

υ

A

υr

υa

υe

υ

(a)

e

a C

a O

υ

τr

a A

υ

n

r a C

υ

(b)

习题7-13图

y

x

ϕ

υ

B

υB

υ

A

υA

υ

代入（1），得 a M = 0.35m/s 2（→）

7-`11 图示偏心凸轮的偏心距OC = e ，轮半径e r 3=。凸轮以等角速度0ω绕O 轴转动。设某瞬时OC 与CA 成直角，试求此瞬时从动杆AB 的速度和加速度。 解：1．动点：A （AB 上），动系：轮O ，绝对运动：直线，相对运动：圆周，牵连运动：定轴转动。 2．r e a v v v +=（图a ） 0r 2ωe v =，

0e a 33230tan ωe v v =

︒=（↑），0a r 33

42ωe v v ==

3．C τ

r n r e a a a a a a +++=（图b ）

向n

r a 投影，得

C n

r e a 30cos 30cos a a a a -+︒=︒

︒-+=cos30C n r e a a a a a )

23(322r

02

r 2e v e v e ωω-+=

)33423316

(

32

200

2

02

0ωωωωe e e -+

==20

92ωe （↓）

7-13 A 、B 两船各自以等速v A 和v B 分别沿直线航行，如图所示。B 船上的观察者记录下两船的距离ρ和角ϕ，试证明：

ρϕ

ρϕ&&&&2-

=，2ϕρ&&&r =

解：证法一：∵v A 、v B 均为常矢量，∴B 作惯性运动。 在B 船上记录下的两船距离ρ和角ϕ为A 船相对B

船运动的结果。以A 为动点，B 为动系，则牵连运动为平移，绝对运动为直线，相对运动：平面曲线。 r e a a a a +=

∵ 0a ==A a a ，0a ==B a a ∴ 0r =a

由教科书公式（2-35），

)2()(2

r =++-=ϕρϕρϕρϕρρe e a &&&&&&&

∴ ⎪⎩

⎪

⎨

⎧-==ρϕρϕϕρρ&&&&&&&22

证法二：建立图（a ）坐标系Bxy ，则