椭圆典型题型归纳(供参考)

椭圆典型题型归纳

题型一. 定义及其应用

例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；

练习：

1.6=对应的图形是（ ）

A.直线

B. 线段

C. 椭圆

D. 圆

2.10=对应的图形是（ ）

A.直线

B. 线段

C. 椭圆

D. 圆

4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是

5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的

另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；

6.设圆22

(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；

题型二. 椭圆的方程

（一）由方程研究曲线

例1.方程22

11625

x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程

例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；

（三）用待定系数法求方程

例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；

例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22

9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22

2221()x y k b a k b k

+=>-++； （四）定义法求轨迹方程；

例5.在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c

>>

且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；

（五）相关点法求轨迹方程；

例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2

214

x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；

（六）直接法求轨迹方程；

例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆22

24x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB =的点，求点P 的轨迹方程；

（七）列方程组求方程

例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为12

，求此椭圆的方程； 题型三.焦点三角形问题 例1.已知椭圆2211625x y +=上一点P 的纵坐标为53

，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos F

PF ∠； 题型四.椭圆的几何性质

例1.已知P 是椭圆22221x y a b +=上的点，的纵坐标为53

，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差为 例2.椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ； 例3.若椭圆22114x y k +=+的离心率为12

，则k = ； 例4.若P 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且01215PF F ∠=，02175PF F ∠=，则椭圆的离心率为

题型七.求离心率 例1. 椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的左焦点为1(,0)F c -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点，

如果

1F 到直线AB e = 例2.若P 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，212PF F α∠=，则椭圆的离心率为

例 3. 1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为 ；

题型八.椭圆参数方程的应用

例1. 椭圆22

143

x y +=上的点P 到直线270x y -+=的距离最大时，点P 的坐标 例2.方程22

sin cos 1x y αα-=(0απ<<)表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围； 题型九.直线与椭圆的关系

（1）直线与椭圆的位置关系

例1. 当m 为何值时，直线:l y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离？ 例2.曲线22222x y a +=（0a >）与连结(1,1)A -，(2,3)B 的线段没有公共点，求a 的取值范围。

例3.过点)0 ,3(-P 作直线l 与椭圆223412x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB ∆面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。

例 4.求直线cos sin 2x y θθ+=和椭圆22

36x y +=有公共点时，θ的取值范围(0)θπ≤≤。

（二）弦长问题

例1.已知椭圆22

212x y +=，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为

3134，求点A 的坐标。 例2.椭圆221ax by +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点， 若22||=AB ，O 为坐标原点，OC 的斜率为2

2，求,a b 的值。