288 268 非线性薛定谔方程

合集下载

非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真

admin[非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真]——利用分步快速傅里叶变换对光纤中光信号的传输方程进行数值求解1、非线性薛定谔方程非线性薛定谔方程(nonlinear Schrodinger equation ，NLSE)是奥地利物理学家薛定谔于1926 年提出的，应用在量子力学系统中。

由于量子力学主要研究粒子的动力学运动状态，所以不能运用牛顿力学公式来表示。

通常在量子力学中，研究系统的状态一般通过波函数(x ，t)来表示。

而对波函数的研究主要是求解非线性薛定谔方程。

本文主要研究光脉冲在光纤中传输状态下的演变。

一般情况下，光脉冲信号在光纤中传输时，同时受到光纤的色散和非线性效应的影响。

通过Maxwell 方程，考虑到光纤的色散和非线性效应，可以推导出光信号在光纤中的传输方程，即非线性薛定谔方程。

NLSE 是非线性偏微分方程，一般很难直接求出解析解，于是通过数值方法进行求解。

具体分为两大类：(1)分布有限差分法(split-step finite differencemethod ，SSFD)；(2)分步傅里叶变换法(split-step Fourier transform method ，SSFT)。

一般情况，在达到相同精度，由于分步傅里叶变换法采用运算速度快的快速傅里叶变换，所以相比较有限差分法运算速度快一到两个数量级。

于是本文介绍分步傅里叶变换法来对光纤中光信号的传输方程，即非线性薛定谔方程进行数值求解。

并通过MATLAB 软件对结果数值仿真。

非线性薛定谔方程的基本形式为:22||t xx iu u u u =+其中u 是未知的复值函数.目前，采用分步傅立叶算法(Split step Fourier Method)求解非线性薛定谔方程的数值解应用比较多。

分步傅立叶方法最早是在1937年开始应用的，这种方法己经被证明是相同精度下数值求解非线性薛定愕方程最快的方法，部分原因是它采用了快速傅立叶变换算法(Fast Fourier Transform Algorithm)。

非线性薛定谔方程 runge-kutta

非线性薛定谔方程 runge-kutta
非线性薛定谔方程 runge-kutta
非线性薛定谔方程，即非线性常微分方程，是用于描述物理系统的状
态变化的重要方程，可用于描述各种物理系统的动力学和稳定性问题。

Runge-Kutta方法是一种常用的数值解决非线性薛定谔方程的方法。

Runge-Kutta方法可以求解一阶非线性薛定谔方程，也可以求解多阶非线性薛定谔方程，不需要求解方程的精确解，而是对方程的近似解。

它的基本思想是：将时间区间[t0,t1]划分为若干小的时间步长，将每
次步长的解看作是一个函数，再用多项式拟合这个函数，从而得到方
程的近似解。

Runge-Kutta方法的特点是求解精度高，计算量少，但它也有一定的局限性，即要求解的方程必须是可以求导的，对于非线性或不可导的方程，Runge-Kutta方法就不能使用了。

另外，Runge-Kutta方法只能求
解单变量的非线性薛定谔方程，而多变量的非线性薛定谔方程则无能
为力。

总之，Runge-Kutta方法是一种有效的解决非线性薛定谔方程的方法，它的优点是求解精度高，计算量少，但也有一定的限制，不能解决某
些复杂的问题。

非线性薛定谔方程的一种新解

将ＮＬＳ方程（１．１）的精确解写成 Ψ（ｘ，ｔ）＝Ｒ（ｘ）ｅｘｐ
［ｉθ（ｘ）－ｉμｔ］，其中Ｒ（ｘ），θ（ｘ）都是实函数，μ 为实常数．将
指数形式代入方程（１．１），并将实部和虚部分离，可得
Ｒｘｘ＝
Ｊ２Ｒ３
＋２ｇＲ３＋２［Ｖ（ｘ）－μ］Ｒ
（２．１）
θｘｘ＋
２θｘＲｘＲ
＝０
（２．２）
这里Ｊ＝θｘ（ｘ）Ｒ２（ｘ）．当外势Ｖ（ｘ）不存在时，方程（２．１）可以写成
[M].Cambridge: Cambridge University Press,
2004.
〔5〕Wang Mingliang, Exact solutions for a
compound KdV -Burgers equation [J].Physics
LettersA,1996,213(5):279-287.
暗示了方程（２．１）的精确解Ｒ（ｘ）和外势Ｖ（ｘ）有如下关
系
Ｖ（ｘ）＝αＲ－４（ｘ）＋β
（２．５）
这里 α 和 β 都是待定常数．将（２．５）代入（２．１）得
Ｒｘｘ＝
Ｊ２＋２α Ｒ３
＋２ｇＲ３－２（μ－β）Ｒ
（很相似．这两式的差别
仅在于其中的Ｊ和 μ 分别用ＪＥ＝姨Ｊ２＋２α 和 μＥ＝ μ－β 取代．因此，方程（２．６）也能给出类似于（２．３）的精确解
μ＝－０．５σ２＋１．５ησ２－Ｖ０／（η－１）２
（２．１１）
考虑到参数关系ＪＥ２＝－２ｇＢ＇３＋２μＥＢ＇２，Ａ＇＝－３Ｂ＇
＋２μＥ／ｇ和ＪＥ２＝Ｊ２＋２α，可得Ｊ的表达式为
Ｊ＝
σ２ｇ
姨η３σ２－η２σ２－２｜Ｖ０｜

标准非线性薛定谔方程的解析解与数值解

+
βu
u2
+
v2
=0
空间离散偏微分方程组（36）得：
（33）（34）
（1）（35）（36）
6
∂ui ∂t
=
−α
vi+1
− 2vi + vi−1 ∆x2
+ β vi (ui2
+ vi2 )
∂vi ∂t
=α
ui+1
− 2ui ∆x2
+
ui−1
−
β ui
(ui2
+
vi2 )
（37）
其中 ui (t) = u(xi ,t), vi (t) = v(xi ,t), xi = i∆x,i = 1, 2,..., m −1.
υ ''(ξ ) = 3a1 prF 2 − 3a1 pqF + b1rpFG
（14）（15）（16）
将（14），（15），（16）式代入（13）式，并注意到（2），（3）可得到
−Za13F 3 + (3a1 prX − 3Za0a12 − 6Za1b12r )F 2 + (−3a1 pqX p
标准非线性薛定谔方程的解析解与数值解
母应坤
(2006061102)
（黔南民族师范学院物理与电子科学系，贵州都匀 558000）
摘要：本文分别介绍了非线性薛定谔方程的两种求解方法即解析法与数值法，并对其
解析解和数值解进行了简单的分析和讨论。
关键词：非线性薛定谔方程；精细积分；Riccati 方程求解法；Weierstrass 椭圆函数解
− 3Za02b1
+
Zb13q p

非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解

非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解摘要：光纤中光波的传输模型一直是当前研究的热点理论模型之一，从非线性薛定谔方程到金格堡-朗道方程，都试图对其进行更好的阐释，其次对于非线性动力学系统中，非线性薛定谔方程的解有呈现出非常多有趣的特征，对于其中特定解的研究能够让我们了解脉冲演化的本质，所以本文主要从孤子解的传输入手，并且简单介绍了怪波解的解形式。

薛定谔方程又称薛定谔波动方程，是量子力学的一个基本方程，同时又是量子力学的基本假设之一，由奥地利物理学家薛定谔1926年在《量子化就是本征值问题》中提出的，它在量子力学中的地位非常重要，相当于牛顿定律对于经典力学一样。

随着人们对世界的不断探索，非线性现象逐渐走进人们的视野，这种现象一般大都用非线性偏微分方程的数学模型来描述，显然线性方程已经不能满足人们的需求。

1973年，Hasegawa从含有非线性项的色散方程中推导出了非线性薛定谔方程。

非线性薛定谔方程(NLS)是普适性很强的一个基本方程，最简单的形式是：其中为常数。

因为这个方程在几乎所有的物理分支及其他科学领域得到了广泛的应用，如超导，光孤子在光纤中传播，光波导，等离子体中的Langnui波等，所以许多学者对此方程的研究投入了很大的热情，至今还在生机勃勃的向前发展着。

1 分步傅里叶法计算演化过程对于处理非线性性薛定谔方程，常用的数值仿真方式为分步傅里叶方法，为了简单起见，只考虑二阶色散和自相位调制，不考虑高阶色散、自陡以及四波混频等高阶非线性效应。

上述方程中做2β为二阶色散，γ表示Kerr效应系数，g和α分别代表光纤中的增益和损耗。

对上述方程转化到频域，先不考虑增益和损耗。

可以得到2kk k k kdAi A i a adzβγ=∆+F.其中222kiββ∆=Ω令()expk kA B i zβ=∆可以得到()2expkk k kdBi a a i zdzγβ=-∆F以上方程可以用四阶龙格库塔直接求解，但是速度较慢，所以我们需要做差分处理。

非线性薛定谔方程形式

非线性薛定谔方程形式
非线性薛定谔方程形式
非线性薛定谔方程形式，简称NLSE，是一类众多物理模型和理论框架
的基础之一，它提供了连续的描述与研究特定物理系统的方法。

它的
发展源于19世纪末罗素以及拉普拉斯的探究，主要用来研究电子在复
杂结构中的行为。

NLSE的几何形式如下：i*（∂/∂z）ψ（z，t）+ (1/2)*(∂^2/∂t^2)ψ（z，t） + f（|ψ（z，t）|^2）ψ（z，t）= 0。

其中，ψ（z，t）
是时间和空间变量之和，z是空间变量，t是时间变量，f（|ψ（z，t）|^2）表示非线性因素，它使得研究者无法解决NLSE，即找到其固定的解决方案。

因此，研究者只能求出NLSE的近似解决方案。

NLSE可以应用于许多研究领域，如电磁场理论、光子学、激光技术、
量子力学、量子电动力学以及凝聚态物理学等。

许多物理学家认为，NLSE提供了一种统一的研究框架，可以帮助我们理解许多复杂的物理
系统。

NLSE也可以用于解决量子物理学中许多热力学问题，如量子热力学、
量子统计力学、量子热力学、量子流体力学等。

它可以用来解释由原
子和分子的行为引起的复杂的热力学行为，也可以用来研究量子系统
中的质量和能量的流动。

NLSE的最新发展，如超几何光学，还提供了一种新的模型来描述复杂
的光学系统，能够准确预测复杂的介质中的光学响应，并提供新的计
算技术。

总之，NLSE是一种综合框架，它提供了一种可以描述物理系统和量子
热力学行为的方法，并可以用来解决许多复杂的物理问题。

它是许多
研究领域的基础，有助于我们更加深入地理解物理系统和量子热力学。

非线性薛定谔方程的推导

非线性薛定谔方程的推导
薛定谔方程是20世纪德国物理学家薛定谔所创造的，它可以用来求解量子力学中任意两电子系统的状态。

从基本原理出发，薛定谔方程可以分为线性和非线性两种，线性薛定谔方程是求解简单多电子系统的方法，而非线性薛定谔方程则能够处理复杂的多电子系统。

具体来讲，非线性薛定谔方程就是在线性薛定谔方程的基础上添加了非线性项，使其可以求解复杂的多电子系统的状态变化。

非线性薛定谔方程的推导主要可以分为三个步骤：
第一步，假设我们有一个在量子力学层面上非线性分析可能性的多电子系统，该系程可以用矩阵表示。

第二步，为了从矩阵形式得出方程，我们对这两个矩阵使用广义贝尔更新原理。

通过本质矩阵，我们可以求解相关的状态方程，从而求出包含非线性项的方程。

第三步，最后，我们用了拉普拉斯变换，将能量的上下限化为一样的拉普拉斯因子，从而求解出模拟这多电子系统的完整的状态方程。

至此，我们就可以得出非线性薛定谔方程了，它可以用来求解量子力学中任意多电子系统的状态。

后续，我们可以使用这个方程来进一步分析复杂的多电子系统，深入探讨量子相关性的各种规律。

非线性薛定谔方程的五种差分格式

非线性薛定谔方程的五种差分格式非线性薛定谔方程（NLSE）是一类非常重要的和高度发达的信息传输研究的重要模型。

它的出现为很多无线通信的技术发展提供了重要的基础和参照。

目前，非线性薛定谔方程的差分格式已有五种。

它们是恒定折回差分格式（CFD），动态折回差分格式（DRFD），步进步函数差分格式（SDF），连续步函数差分格式（CDF）和多阶进步函数差分格式（MSDF）。

恒定折回差分格式（CFD）是用于解决非线性薛定谔方程的最简单的一种差分格式。

它最初由Lyons发明，是一种非标准的三点迭代形式，但比一般三点迭代形式更有效。

它的优点在于最大限度地减少了计算量，但它的准确性不高，偏离正确的解。

动态折回差分格式（DRFD）是用于解决非线性薛定谔方程的一种改进的差分格式。

它使用了非标准的五点迭代形式，比三点迭代形式更高效，可以很好地跟踪参数变化并准确地加以反映。

它在计算量上比CFD稍大，但其计算结果更加准确，离正确解更近。

步进函数差分格式（SDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种改进的五点迭代格式。

它在数值处理上有更低的计算量，而且能够比动态折回差分格式更准确地产生数值解。

连续步函数差分格式（CDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种七点迭代格式，它可以更准确地模拟无线信号传输状况。

它有较低的运算量，可以获得较高精度的解。

多阶步函数差分格式（MSDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种变阶函数形式，它可以更准确地模拟信号的非线性传输过程，同时具有低的运行复杂性和高的计算精度，减小了计算时间。

总之，非线性薛定谔方程的不同差分格式均有不同的特征，决定了它们之间的特点和性能差异，旨在满足不同信号处理需求。

非线性薛定谔方程的三个守恒律

非线性薛定谔方程的三个守恒律非线性薛定谔方程是一类广泛应用于物理学中的基础模型，该方程可以描述许多物理现象的相对运动的动力学。

在物理学中，守恒律是描述物理变化的基本原理，是指质量、能量和动量等在某种物理过程中的守恒，其守恒的性质影响了整个物理系统的变化。

在非线性薛定谔方程中，也有三个守恒律，它们分别是：质量守恒律、量子动量守恒律和磁致动量守恒律。

质量守恒律是指物质数量在物理过程中是不变的，这是一项根本性的守恒原理。

它表明：在一个物理系统中，物质的数量不会因为任何原因发生变化。

因此，在非线性薛定谔方程中，物质数量也是守恒的，并且不会受到影响。

量子动量守恒律是指动量在物理过程中不变。

这是由于动量依赖物质数量，当物质数量保持不变时，其动量也就保持不变。

换言之，这意味着，在非线性薛定谔方程中，动量也是不变的，不会受到影响。

磁致动量守恒律是指在磁场中，物体的动量是不变的。

这与其他守恒律的原理不同，它不仅要求物质数量保持不变，还要求磁场也是不变的，即磁力不会发生变化。

所以，在非线性薛定谔方程中，在磁场中物体的动量也是不变的，不会受到影响。

从上述可以看出，在非线性薛定谔方程中有三个守恒律，即质量守恒律、量子动量守恒律和磁致动量守恒律。

它们是物理学最基本的原理，但也是非线性薛定谔方程运动动力学中最重要的原理。

只有当这些守恒律得到遵守，物理变化才能真正发生，而不会受到任何外部影响。

从理论上讲，非线性薛定谔方程是物理学最重要的模型，它可以使我们了解物质的性质、物理变化的规律以及更多的物理现象。

这三个守恒律的存在也是其重要的原因之一，它们提供了一个良好的基础，可以使我们更深入地研究非线性薛定谔方程。

总之，非线性薛定谔方程是物理学中基础模型，它至今仍在我们的生活中被广泛使用。

它的三个守恒律，也是我们研究该方程的重要基础，使我们可以更好的理解物质的性质和物理变化的规律。

非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解

1973年，Hasegawa从含有非线性项的色散方程中推导出了非线性薛定谔方程。

非线性薛定谔方程(NLS)是普适性很强的一个基本方程，最简单的形式是：其中为常数。

上述方程中做2β为二阶色散，γ表示Kerr效应系数，g和α分别代表光纤中的增益和损耗。

对上述方程转化到频域，先不考虑增益和损耗。

非线性薛定谔方程

非线性薛定谔方程
非线性薛定谔方程（Nonlinear Schrödinger Equation，
简称NLSE）是描述一维量子力学中非线性光学现象的方程。

它可以用来描述具有波动性的物质或波动现象，比如光子
在非线性介质中传播、超导电子对的行为等。

一般情况下，非线性薛定谔方程可以写成如下形式：
i ∂ψ/∂t + (∇²/2m + V)ψ + g |ψ|²ψ = 0
其中，i是虚数单位，∂ψ/∂t表示波函数ψ对时间的导数，∇²是拉普拉斯算子，m是粒子的质量，V是势能函数，g
是非线性项。

该方程的第一项描述了波函数随时间的演化，第二项描述
了波函数的动能和势能，第三项描述了非线性效应。

非线性薛定谔方程的解通常是表示波的幅度和相位的波函数ψ。

在求解非线性薛定谔方程时，常会采用数值方法，如有限差分法、有限元法等。

非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真

1、非线性薛定谔方程非线性薛定谔方程(nonlinear Schrodinger equation ，NLSE)是奥地利物理学家薛定谔于1926 年提出的，应用在量子力学系统中。

由于量子力学主要研究粒子的动力学运动状态，所以不能运用牛顿力学公式来表示。

通常在量子力学中，研究系统的状态一般通过波函数(x ，t)来表示。

而对波函数的研究主要是求解非线性薛定谔方程。

本文主要研究光脉冲在光纤中传输状态下的演变。

一般情况下，光脉冲信号在光纤中传输时，同时受到光纤的色散和非线性效应的影响。

通过Maxwell 方程，考虑到光纤的色散和非线性效应，可以推导出光信号在光纤中的传输方程，即非线性薛定谔方程。

NLSE 是非线性偏微分方程，一般很难直接求出解析解，于是通过数值方法进行求解。

具体分为两大类：(1)分布有限差分法(split-step finite differencemethod ，SSFD)；(2)分步傅里叶变换法(split-step Fourier transform method ，SSFT)。

一般情况，在达到相同精度，由于分步傅里叶变换法采用运算速度快的快速傅里叶变换，所以相比较有限差分法运算速度快一到两个数量级。

于是本文介绍分步傅里叶变换法来对光纤中光信号的传输方程，即非线性薛定谔方程进行数值求解。

并通过MATLAB 软件对结果数值仿真。

基于MATLAB 科学计算软件以及MATLAB 强大的符号计算功能，完全可以实现分步傅立叶数值算法来对脉冲形状和频谱进行仿真。

非线性薛定谔方程的物理意义

非线性薛定谔方程的物理意义
非线性薛定谔方程通常的（线性）薛定谔方程不仅具有明确的量子力学意义,而且还能描述各种弱色散缓慢调制波动,其计及量子或经典弱非线性效应后的各种修正形式即为NLS方程.典型的NLS方程仅含立方非线性项iΨt+Ψxx±2|Ψ|2Ψ=0 它也具有上述线性情况下的双重意义,例如在量子力学中Ψ可代表弱互作用非理想玻色气体的凝聚波函数,而在经典波动意义下Ψ则可代表深水表面波、Langmuir等离子体波及Kerr介质中超短脉冲光波之调制波幅.因其色散与非线性效应得以微妙。

它的意义是：在量子力学中Ψ可代表弱互作用非理想玻色气体的凝聚波函数,而在经典波动意义下Ψ则可代表深水表面波、Langmuir 等离子体波及Kerr介质中超短脉冲光波之调制波幅.因其色散与非线性效应得以微妙。

非线性薛定谔方程

非线性薛定谔方程非线性薛定谔方程是一种常用于研究物理系统中的量子力学模型。

它描述了一个粒子在一个势能场中的运动，并且可以用来研究多种物理现象，包括光学振荡器，原子内能级的调控，以及量子极化等。

非线性薛定谔方程可以用来描述多种物理系统，包括光学振荡器，原子内能级的调控，以及量子极化等。

非线性薛定谔方程通常用来描述物理系统中量子力学效应的演化，这些效应是由于粒子之间的相互作用而产生的。

由于它的非线性性质，非线性薛定谔方程往往难以直接解决，因此，研究人员常常使用数值方法来解决这个方程。

然而，尽管如此，非线性薛定谔方程仍然是一个非常重要的工具，用于研究物理系统中的量子力学效应。

非线性薛定谔方程的应用非常广泛，它可以用来描述多种物理系统。

例如，在光学领域，非线性薛定谔方程可以用来研究光学振荡器的特性。

在原子物理领域，它可以用来研究原子内能级的调控以及量子极化等。

此外，非线性薛定谔方程还可以用来研究超导体，半导体，以及生物分子等。

非线性薛定谔方程是一个非常强大的工具，它可以用来描述物理系统中量子力学效应的演化。

然而，由于它的非线性性质，非线性薛定谔方程往往难以直接解决，因此，研究人员常常使用数值方法来解决这个方程。

尽管如此，非线性薛定谔方程仍然是一个非常重要的工具，在许多不同的物理领域中都有广泛的应用。

非线性薛定谔方程的解决通常使用数值方法，因为直接解决这个方程往往是困难的。

常用的数值方法包括谱方法，时域有限差分法，时间步长自适应谱方法等。

这些方法都有各自的优缺点，在不同的应用场景中表现不同。

例如，谱方法通常比较精确，但是计算时间较长，而时域有限差分法则计算速度快，但是精度较低。

因此，在使用数值方法解决非线性薛定谔方程时，需要根据实际应用场景选择合适的方法。

非线性薛定谔方程的孤子微扰理论及应用

湖南师范大学硕士学位论文非线性薛定谔方程的孤子微扰理论及应用姓名：俞慧友申请学位级别：硕士专业：理论物理指导教师：颜家壬20050301摘要孤子理论是非线性科学中的一个十分重要的分支，它在物理学的许多领域中有着日益广泛的应用。

而孤子的微扰又是孤子理论中最有实用价值的重要内容之一．它大体可以分为两大类．一是建立在逆散射变换基础上的孤子微扰理论。

它在理论上有着重要的学术价值，但其思路较迂回曲折，数学计算较繁．另一种直接微扰论较为系统的方法是将孤子方程线性化后再按Ｊｏｓｔ函数的平方作微扰展开。

这两种方法均只适用于可积系统。

颜家壬教授近年来发展了一种基于分离变量法的孤子微扰理论法，它适用于可积和非可积系统，而且思路和计算较为简便．本人首先用此方法处理了自散焦非线性薛定谔方程的孤子微扰问题．一方面是由于问题的重要性，另一方面也是为丰富颜教授所发展的孤子微扰理论的内容，为它提供一个重要的实例．其次我们还用此方法处理了玻色一爱因斯坦凝聚中的亮孤子稳定性问题．全文共分为五章ｔ第一章简要介绍孤子的发展史以及孤子微扰问题的几种常用的方法，并指出这些方法存在的～些缺点，同时也叙述了我们方法的大致思路和主要特征．第二章给出了关于非线性薛定谔方程的微扰理论，并通过具体工作来说明我们的基于直接微扰理论的两种不同的思路方法．第三章简单的介绍和回顾ＢＥＣ理论的产生发展及实验研究过程，推导出了凝聚体宏观波函数满足的ＧＰ方程．然后讨论了ＢＥＣ中暗孤子和亮孤子的实验情况和理论研究现状．第四章本人基于直接微扰理论研究了ＢＥＣ中亮孤子的稳定性问题。

第五章为总结和展望．关键词：非线性薛定谔方程，孤子，微扰，玻色一爱因斯坦凝聚ＡＢＳＴＲＡＣＴＳｏｌｉｔｏｎｔｈｅｏｒｙｉＳｏｎｅｏｆｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｂｒａｎｃｈｅｓｏｆｎＯｎｌｉｎｅａｒｓｃｉｅｎｅｅＩｔｈａｓｃｒｅｓｃｅｎｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｍａｎｙｆｉｅｌｄｓ．Ｔｉｌｅｓｏｆｔｅｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｐａｒｔｏｆｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｔｈｅｏｒｙ．Ｉｔｅｘｉｓｔｓｉｎａｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｏｆｒｅａｌｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓａｎｄｃａｌｌｂｅｒｏｕｇｈｌｙｄｉｖｉｄｅｄｔｏｔｗｏｋｉｎｄｓ．Ｏｎｅｉｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ（ＩＳＴ）ｗｈｉｃｈｈａｓｉｍｐｏｒｔａｎｔｌｅａｒｎｉｎｇｖａｌｕｅ．ＢｕｔｔｈｉｓｔｅｃｈｎｉｑｕｅｉＳｉｎｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｔｏｔｈｏｓｅｗｈｏａｒｅｎｏｔｆａｍｉｌｉａｒｗｉｔｈＩＳＴ．ＡｎｏｔｈｅｒｉｓｔｈｅｄｉｒｅｃｔｍｅｔｈｏｄｗｈｅｒｅｔｈｅｓｑｕａｒｅｄＪｅｓｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓ＆ｒｅｅｍｐｌｏｙｅｄａｓｔｈｅｂａｓｉｓｆｏｒｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｅｘｐａｎｓｉｏｎａｆｔｅｒｓｏｌｉｔｏｎｅｑａｔｉｏｎｂｅｅｎｌｉｎｅａｒｅｄ．Ｔｈｅｙａｒｅｊｕｓｔａｐｐｌｉｃａｂｌｅｔｏｉｎｔｅｇｒａｌｓｙｓｔｅｍｓ．ＰｒｏｆｅｓｓｏｒＪｉａｒｅｎＹａｎ，ｗｈｏｉｓｍｙｔｈｅｓｉｓｓｕｐｅｒｖｉｓｏｒ，ｈａｄｄｅｖｅｌｏｐｅｄａｄｉｒｅｃｔａｐｐｒｏａｃｈｏｆｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｏｅｒｙｂａｓｅｄｏｎｓｅｐａｒａｔｉｎｇｖａｒｉａｂｌｅｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ｗｈｉｃｈｉｓａｐｐｌｉｃａｂｌｅｔｏｂｏｔｈｉｎｔｅｇｒａｂｌｅａｎｄｕｎｉｎｔｅｇｒａｌｓｙｓｔｅｍｓ．Ｉｔｉｓｍｏｒｅｓｉｍｐｌｅａｎｄｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｉｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．ＩｔａｃｋｌｅｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｈｄｉｎｇｃｒｅｑｕａｔｉｏｎｂｅｃａｕｓｅｏｆｉｔｓｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ．Ａｔｔｈｅｓａｎ２ｃｔｉｍｅ，ｉｔｅｎｒｉｃｈｅｄｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｏｅｒｙｏｆＰｒｏｆｅｓｓｏｒＹａｕａｎｄｏｆｆｅｒｅｄｉｍｐｏｒｔａｎｔｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｎｅｘｔ，ＩｓｔｕｄｉｅｄｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｂｒｉｇｈｔｓｏｌｉｔｏｎｓｉｎＢｏｓｅ－Ｅｉｎｓｔｅｉｎｃｏｎｄｅｎｓａｔｅｂａｓｅｄｏｎｔｈｃｄｉｒｅｃｔａｐｐｒｏａｃｈ．Ｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆｆｉｖｅｃｈａｐｔｅｒｓ．Ｔｈｅｆｉｒｓｔｃｈａｐｔｅｒｈａｓｔｗｏｐａｒｔｓ．Ｆｉｒｓｔｊｗｅｂｒｉｅｆｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｈｉｓｔｏｒｙｏｆｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｓｏｍｅｇｅｎｅｒａｌａｐｐｒｏａｃｈｅｓｔｏｄｅａｌｗｉｔｈｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ，ａｎｄｐｏｉｎｔｏｕｔｓｏｍｅｄｒａｗｂａｃｋｓｏｆｔｈｅｓｅａｐｐｒｏａｃｈｅｓ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｗｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｐｒｏ－ｃｅｄｕｒｅｏｆｏｕｒａｐｐｒｏａｃｈａｎｄｉｔｓｍａｊｏｒｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ．Ｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｃｈａｐｔｅｒ，ｗｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｆｏｒｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｈｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄｓｔｕｄｙｉｔｓｓｐｅｃｉｆｉｃｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ．Ｗｅｗｉｌｌｅｘｐｌａｉｎｔｈｅｔｗｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｐｐｒｏａｃｈｅｓ，ｗｈｉｃｈａｒｅｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｉｒｅｃｔａｐｐｒｏａｃｈｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｗｏｒｋｔｈａｔｗｅｈａｖｅｄｏｎｅ．ＩｎｔｈｅｔｈｉｒｄｃｈａｐｔｅｒｗｅｂｒｉｅｆｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆＢｏｓｅ－Ｅｉｎｓｔｅｉｎｃｏｎｄｅｎｓａｔｉｏｎ’ｓｔｈｅｏｒｙａｎｄｉｔ’Ｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ．ＴｈｅｎｗｅｄｅｒｉｖｅｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＧｒｏｓｓ．Ｐｉｔａｅｖａｓｋｉｉｅｑｕａｔｉｏｎｔｈａｔｓａｔｉｓｆｉｅｓｔｈｅｃｏｎｄｅｎｓａｔｅｍａｃｒｏｓｃｏｐｉｃｗａｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ａｔｔｈｅｅｎｄｏｆｔｈｉｓｃｈａｐｔｅｒ，ｗｅｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｓｔｕｄｉｅｓａｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｇｄａｒｋｓｏｌｉｔｏｎｓａｎｄｈｉ痨ｔｓｏｌＪｔｏｎｓ啦转锱争冀ｉ魏髓ｅ啦ｃ。

第一章薛定谔方程

其它x使 (x)= 0的点称为节点。
从上图可以看出, 一维势箱的节点数与 n的关系是: 节点数= n－1。因此, 节点数越多, 所对应波函数的能量越高。
注意: 对一维空间中运动粒子波函数的节点, 在二维空间中对应节线, 三维空间中对应节面。
波函数的正交性(一般表达式):

n*
练习题:
与下列立方势箱能量对应的能级是否简并?
如果简并, 简并度是几? 分别对应什么状态?
E 3h2 8m a2
不简并，对应 111
E

9h2 8m a2
简并，对应 221 212 122
E

11h2 8m a2
简并，对应 113 131 311
根据上式讨论, 为什么对宏观物体可认为能量是连续的? 为什么有机共轭体系越大, 体系的最大吸收波长越长?
(b)波函数:
波函数及几率密度的图示:
(x)
＋
n=1
n=1
＋
n=2
－
n=2
＋
＋
n=3
－
n=3
＋
＋
n=4 －
－
n=4
x=0
x=l x=0
2(x) x=l
一维势箱波函数的节点及节点数节点: 除边界条件(这里即x=0和x=l)外,
Enxnynz

h2 8m a2
(nx2
ny2
nz2 )
(nx , ny , nz 1,2, )
V=0 a a
a
由立方势箱能量及波函数的表达式可知:
E nx n y nz

h2 8ma 2
(nx2
ny2

一类非线性薛定谔方程的数值解法

KEY WORDS: nonlinear Schrodinger equation, finite difference scheme, stability analysis, soliton solution
III
目录
摘要........................................................................................................................................... I ABSTRACT.............................................................................................................................. III 第一章前言...............................................................................................................................1
在此本人郑重承诺:所呈交的学位论文不存在舞弊作伪行为,文责自负.
学位申请人(学位论文作者)签名: 201 年月日
关于学位论文著作权使用授权书
本人经河南大学审核批准授予硕士学位.作为学位论文的作者,本人完全了解并同意河南大学有关保留、使用学位论文的要求,即河南大学有权向国家图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文(纸质文本和电子文本)以供公众检索、查阅.本人授权河南大学出于宣扬、展览学校学术发展和进行学术交流等目的,可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手段保存、汇编学位论文(纸质文本和电子文本).