高中解析几何知识点

曲线与方程

（2）求曲线方程的基本方法

直线

一、直线的倾斜角与斜率

1、倾斜角的概念：（1）倾斜角：当直线 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线 向上方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角。

（2）倾斜角的范围：当 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角 为0°因此0°≤ ＜180°。 2、直线的斜率

（1）斜率公式：K=tan （ ≠90°）

（2）斜率坐标公式：K=12

1

2x x y y -- （x1≠x 2）

（3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。当 =0°时，k=0；当0°＜ ＜90°时，k ＞0，且 越大，k 越大；当 =90°时，k 不存在；当90°＜ ＜180°时，k ＜0，且 越大，k 越大。 二、两直线平行与垂直的判定 1、两直线平行的判定：

（1）两条不重合的直线的倾斜角都是90°，即斜率不存在，则这两直线平行； （2）两条不重合的直线，若都有斜率，则k1=k2 1 ∥2

2、两直线垂直的判定：

已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程.

直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程.

已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为11

12122121(,)

y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，

由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式

已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程1=+b y

a x 叫做直线

的截距式方程.

注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.

关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.

已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y

，则12PP 特殊地：(,)P x y

与原点的距离为

OP

已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l

的距离为d =

直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当

() 180,90∈α时，0

)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b

③两点式：11

2

121y y x x y y x x --=

--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x

④截矩式：1x y a b +=

其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。 ⑤一般式：

0=++C By Ax （A ，B 不全为0）

注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：

平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系 平行于已知直线

000=++C y B x A （

0,B A 是不全为0的常数）的直线系：

00=++C y B x A （C 为常数）

（ⅰ）斜率为k 的直线系：()

00x x k y y -=-，直线过定点

()00,y x ；

（ⅱ）过两条直线

0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为

()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直

当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交

交点坐标即方程组⎩⎨

⎧=++=++0

0222111C y B x A C y B x A 的一组解。

方程组无解

21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合

（8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，

则

||AB =

（9）点到直线距离公式：一点

()

00,y x P 到直线

0:1=++C By Ax l 的距离

2

200B A C

By Ax d +++=

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程

()()22

2r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；

（2）一般方程

022=++++F Ey Dx y x 当042

2>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F

E D r 4212

2-+=

当0422

=-+F E D

时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：