2.24课后巩固11

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【最新人教版二年级下册数学】全册课时及单元巩固提升练习(含答案)

美术小组
航模小组
音乐小组
男生
女生
(1) ( )小组的男生人数最多。
(2) ( )小组的女生人数最多。
(3)这四个小组的男生一共有( )人。
(4)你还能提出哪些数学问题？试着解答出来。
2.我是小小统计员。
（1）用你喜欢的方法统计上面的三种水果。
（2）根据上面的统计结果，补充下表。
种类
个数
（3）把统计结果涂到下面的图表汇总。（每个代表1个水果）
动物
小刺猬
小象
小猴子
鳄鱼
只数
（2）（）最多，（）最少，相差（）只。
（3）小猴子和小刺猬一共有（）只。
（4）这些小动物一共有（）只。
3.下面是某路口1分钟内通过的车辆的统计情况。
小轿车：
客车：
货车：
面包车：
（1）哪种车辆通过的最多？哪种车辆通过的最少？
（2）如果一个代表2辆车，通过的车最多的有多少辆？
人教版二年级下册数学课时巩固提升练习（含答案）
一单元第1课时数据的收集
1.二（1）班同学对学校中花的颜色进行调查的情况如下表。
花色
红色
粉色
白色
紫色
黄色
棵数
36
52
19
14
28
(1) ( )色的花最多，（）色的花最少，相差（）棵。
(2)红色的花和白色的花一共有( )棵。
(3)小红走进校园，看到的花，最有可能是( )色的。
（2）18÷3=（），读作（），表示把（）平均分成（）份，每份是（）。
（3）20÷5=4，表示把（）平均分成（）份，每份是（）；还表示20里面有（）个（）。
二、选择。
（1）30÷6=5，读作（）。

模式识别课后习题答案

• 2.16 证明M ahalanobis距离r符合距离定义三定理，即 – (1) r(a, b) = r(b, a) – (2) 当且仅当a = b时，r(a, b) = 0 – (3) r(a, c) ≤ r(a, b) + r(b, c) 证明： (1) r(a, b) = (a − b)T Σ−1 (a − b) = (b − a)T Σ−1 (b − a) = r(b, a) (2) Σ为半正定矩阵所以r(a, b) = (a − b)T Σ−1 (a − b) ≥ 0，只有当a = b时，才有r(a, b) = 0。 (3) Σ−1 可对角化，Σ−1 = P ΛP T • 2.17 若将Σ−1 矩阵写为：Σ−1 h1d h2d ，证明M ahalanobis距离平方为 . . . hdd
• 2.13 把连续情况的最小错误率贝叶斯决策推广到离散情况，并写出其判别函数。 • 2.14 写出离散情况条件风险R(ai |x)的定义，并指出其决策规则。解： R(ai |x) = = R(ak |x) = min
c ∑ j =1 c ∑ j =1
λij P (wj |x) λij pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx|wj )P (wj )////omit the same part p(x)
j =1,...,c j =1,...,c
考虑两类问题的分类决策面为：P (w1 |x) = P (w2 |x)，与p(x|w1 )P (w1 ) = p(x|w2 )P (w2 ) 是相同的。 • 2.9 写出两类和多类情况下最小风险贝叶斯决策判别函数和决策面方程。 • 2.10 随机变量l(x)定义为l(x) = p(x|w1 ) ，l(x)又称为似然比，试证明 p(x|w2 )
1

四年级上册数学巩固111页答案

四年级上册数学巩固111页答案【教学内容】义务教育课程标准实验教科书（西师版）四年级上册第22页例2，课堂活动的第2题及练习三的第4、5题。

【教学目标】1．让学生经历探索求近似数的方法的过程，会用“四舍五入”法求近似数。

2．使学生明晰自学和掌控用四舍五入法求对数数的重要性，强化数学与生活的联系。

3．培养学生的主体意识和探索精神。

【教学重点】掌握求近似数的方法【教学难点】正确选择“四舍法”或“五入法”【教学过程】一、引入新课教师：这学期，我们班格洛比诺区了几位崭新同学，为了加深大家的介绍，谁愿用数据向他们了解一下自己或者我们学校的情况？学生1：我今年10岁，身高大约厘米。

学生2：我的体重在36千克左右，我家存有3个人，爸爸妈妈每月的总收入大约1万元。

学生3：我们学校有学生人。

教师：在刚才了解的这些数据中，哪些就是精确数？哪些就是对数数？学生：10、 3、是准确数，大约、36千克左右、大约1万是近似数。

教师：在我们的生活中，有时不须要也不可能将获得精确数，这时就要使用对数数，比如说：20xx年重庆市总人口约万，中国大陆总人口约13亿等都就是对数数。

那么，怎样谋一个数的对数数呢？[点评：体现数学的现实性。

利用学生身边现有的、熟悉的学习材料引入教学，让学生在相互介绍的过程中，感受到近似数在生活中的存在和广泛应用，突出其学习价值。

]二、自学新知1探索“四舍五入”法。

（出具：）教师：这是一个准确数，如果改成一个近似数，大约等于多少？学生1：相当于五十三万四千六百。

学生2：也可以约等于五十三万四千。

学生3：还可以相当于五十三万、五十万。

教师：有意思，还译成了为“万”并作单位的数，你们指出“五十三万”和“五十万”谁比较最合适？学生1：我认为五十万比较合适，因为这样的近似数比较简单。

学生2：我不同意，我指出五十三万比较最合适，因为五十万与精确数较之，比精确数少了三万多，相差太多，而五十三万与精确数很吻合，只差距四千多。

人教版一下数学【作业】巩固练习公开课课件教案

1. 巩固练习（1）完成练习十二第五题要求: 学生在课桌上摆出应付的钱（任选其一）, 再同桌互相检查摆出的钱数是否正确, 完成后再集中交流。

学生会有不同的摆法, 教师让学生说明理由, 只要摆放的钱数正确就给予表扬。

【设计意图：学生借助学具币, 通过购物付钱的形式, 提高对人民币面值辨认的熟练水平。

】（2）完成练习十二第六题先带领让学生认清每张人民币的面值, 再由学生独立算出给出的钱数有多少, 再判断能买到的是哪样物品。

【设计意图: 借助购物付钱的形式, 通过数一数, 估一估, 比一比等活动, 使学生进一步巩固对人民币的认识, 同时加深学生对百以内数概念的理解, 达到培养学生的数感的目的。

】2. 拓展提高：有一些1元和5元的人民币, 老师需要10元, 可以有几种拿法？先让学生分组讨论, 学生在汇报讨论结果时, 教师把结果有序的呈现出来。

第一种: 2张5元第二种：1张5元, 5张1元第三种: 10张1元【设计意图: 通过人民币的兑换活动, 巩固对人民币的认识；在例举所有取法时, 指导学生有序思考, 渗透解决问题的策略。

】3. 教材P56“你知道吗？”向学生介绍生活中用小数表示的商品价格, 知道用小数形式表示的价格是多少, 会读出这些价格。

课后实践活动：周末, 和爸爸妈妈一块儿逛超市, 去看看超市里商品的价格牌, 记住几样商品的价格。

【设计意图: 使学生初步了解在生活中表示商品价格的另外一种常用的方式, 知道用小数形式表示的价格是多少钱, 拓展对人民币的认识, 使数学与生活实际以下资料为班级建设资料, 有需要可以用: 《滴水精神》主题班会活动目的: 教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的, 每个人都要保护它, 做到节约每一滴水, 造福子孙万代。

活动过程:1.主持人上场, 神秘地说: “我让大家猜个谜语, 你们愿意吗？”大家回答: “愿意！”主持人口述谜语:“双手抓不起, 一刀劈不开,煮饭和洗衣, 都要请它来。

（完整版）大气污染控制工程郝吉明第三版课后答案郝吉明

（完整版）⼤⽓污染控制⼯程郝吉明第三版课后答案郝吉明⼤⽓污染控制⼯程课后答案（第三版）主编：郝吉明马⼴⼤王书肖⽬录第⼀章概论第⼆章燃烧与⼤⽓污染第三章⼤⽓污染⽓象学第四章⼤⽓扩散浓度估算模式第五章颗粒污染物控制技术基础第六章除尘装置第七章⽓态污染物控制技术基础第⼋章硫氧化物的污染控制第九章固定源氮氧化物污染控制第⼗章挥发性有机物污染控制第⼗⼀章城市机动车污染控制第⼀章概论1.1 ⼲结空⽓中N 2、O 2、Ar 和CO 2⽓体所占的质量百分数是多少？解：按1mol ⼲空⽓计算，空⽓中各组分摩尔⽐即体积⽐，故n N2=0.781mol ，n O2=0.209mol ，n Ar =0.00934mol ，nCO2=0.00033mol 。

质量百分数为%51.75%100197.2801.28781.0%2==N ，%08.23%100197.2800.32209.0%2==O ；%29.1%100197.2894.3900934.0%==Ar ，%05.0%100197.2801.4400033.0%2==CO 。

1.2 根据我国的《环境空⽓质量标准》的⼆级标准，求出SO 2、NO 2、CO 三种污染物⽇平均浓度限值的体积分数。

解：由我国《环境空⽓质量标准》⼆级标准查得三种污染物⽇平均浓度限值如下：SO2：0.15mg/m 3，NO2：0.12mg/m 3，CO ：4.00mg/m 3。

按标准状态下1m 3⼲空⽓计算，其摩尔数为mol 643.444.221013=?。

故三种污染物体积百分数分别为：SO 2：ppm 052.0643.44641015.03=??-，NO 2：ppm 058.0643.44461012.03=??- CO ：ppm 20.3643.44281000.43=??-。

1.3 CCl 4⽓体与空⽓混合成体积分数为1.50×10－4的混合⽓体，在管道中流动的流量为10m 3N 、/s ，试确定：1）CCl 4在混合⽓体中的质量浓度ρ（g/m 3N ）和摩尔浓度c （mol/m 3N ）；2）每天流经管道的CCl 4质量是多少千克？解：1）ρ（g/m 3N）334/031.1104.221541050.1N m g ==-- c （mol/m 3N）3334/1070.6104.221050.1N m mol ---?=??=。

课本+自我巩固+课堂落实

第 1 讲眼花缭乱的数据例题练习题答案思维突破 / 二年级 / 寒假例1下面是某个风景区2015年11月和12月天气情况统计表．请你将两个统计表合并成一个复式统计表，并回答问题．11月天气情况统计表12月天气情况统计表11、12月天气情况统计表（1）这两个月（）最多．12月的晴天比11月的晴天多（）天．（2）11月的阴天和雪天共（）天，12月的雪天比11月的雪天少（）天．（3）11月有（）天，12月有（）天，12月比11月多（）天．练1下面是小朋友最喜欢的一种体育项目的情况，请你根据统计后的数据完成统计表，并回答问题．最喜欢跑步的：男生10人，女生10人；最喜欢游泳的：男生15人，女生10人；最喜欢跳绳的：男生3人，女生17人；最喜欢踢球的：男生8人，女生3人．（1）男生最喜欢（）的最多，最喜欢（）的最少．（2）女生最喜欢（）的最多，最喜欢（）的最少．（3）最喜欢游泳的一共有（）人．例2墨莫调查了二年级（1）、（2）、（3）班同学最喜欢的北京地区旅游景点，每人必须选且只能选一种．请你把表格填写完整，并回答问题．（1）二年级学生中，最喜欢故宫的共（）人．（2）二年级学生中，最喜欢长城的人数比最喜欢颐和园的多（）人．（3）二年级（）班的学生，最喜欢欢乐谷的人数最多．（4）二年级（）班的总人数最多．练2学校准备为合唱团的小朋友订购队服，有四种颜色可供选择：红色、白色、蓝色、紫色．萱萱对合唱团做了一个调查．要求每人必须选且只选一种，请你帮她把表格填写完整，并回答问题．（1）喜欢（）色的男生最多，喜欢（）色的学生最少．（2）喜欢（）色的女生最多，喜欢（）色的学生最多．（3）合唱团中男生有（）人，女生有（）人，总人数是（）人．例3下图是萱萱统计自己学习用品的个数，并画了一张特殊的统计图．（1）在这些学习用品中，数量最多的是（），数量最少的是（）．（2）转笔刀共有（）个，铅笔共有（）支．练3小鹿被选为图书管理员，下图是它统计每一类图书本数的一张特殊统计图．（1）在这些图书中，最多的是（）书，最少的是（）书．（2）其他类的图书共有（）本，连环画共有（）本．例4墨莫调查了学校里小朋友最喜欢的课外运动，并画了一张统计图．（1）你能帮墨莫把这张统计图画完整吗？（2）这些课外运动中，喜欢（）的小朋友最多，共有（）人；喜欢（）的小朋友最少，共有（）人．练4小高调查了学校里小朋友最喜欢看的电视节目，并画了一张统计图．第 1 讲眼花缭乱的数据自我巩固答案思维突破 / 二年级 / 寒假（1）你能帮小高把这张统计图画完整吗？（2）在这些电视节目中，喜欢（）的小朋友最多，共有（）人；喜欢（）的小朋友最少，共有（）人．挑战极限1小马调查了二年级小朋友最喜欢的棋类游戏，每人必须选且只选一种，请你根据下面的条件把统计图补充完整并回答问题．（1）最喜欢围棋的共有10人；（2）最喜欢跳棋的人数是最喜欢围棋的3倍；（3）最喜欢象棋的人数比最喜欢跳棋的2倍多20人．请问：二年级共有（）个小朋友．1根据表格回答问题．每个人必须选且只选一种，最喜欢_______的学生最少．A ：B ：C ：D ：数学英语画画唱歌A ：B ：C ：D ：2根据表格回答问题．每个人必须选且只选一种，最喜欢_______的学生最少．可乐果汁酸奶凉茶3小高统计了学校的体育用品情况，画了一张像蛋糕的统计图．请问：小高共统计了_______个球．4卡莉娅调查了学校里小朋友们最喜欢的动画片的情况，每个人必须选且只选一种．在这些小朋友中，最喜欢《大耳朵图图》的小朋友有_______人．5小山羊调查了班上的小朋友最喜欢的玩具的情况，每个人必须选且只选一种．请问：最喜欢布娃娃的小朋友有_______人．A ：B ：C ：D ：6根据表格回答问题．每个人必须选且只选一种，最喜欢_______的学生最少．篮球足球羽毛球网球A ：B ：C ：D ：7根据表格回答问题．每个人只能参加一种节目，参加_______节目的学生最少．跳舞唱歌小品朗诵8超市进货，买了一些水果，负责人画了一张像蛋糕的统计图．请问：超市共买了_______个水果．第 1 讲眼花缭乱的数据课堂落实答案思维突破 / 二年级 / 寒假9丁丁调查了二年级小朋友们最喜欢的课程，每个人必须选且只选一种．在这些小朋友中，最喜欢语文的小朋友有_______人．10小狗波波调查了班上小朋友最喜欢的兴趣爱好，每个人必须选且只选一种．请问：最喜欢下棋的小朋友有_______人．A ：B ：C ：1根据表格回答问题．每个人必须选且只选一种，最喜欢________的学生最少．数学英语画画D ：唱歌A ：B ：C ：D ：2根据表格回答问题．每个人必须选且只选一种，最喜欢________的学生最少．可乐果汁酸奶凉茶3小明统计二年级的体育用品，画了一张像蛋糕的统计图．请问：小明共统计了________个球．4天天调查了二年级小朋友们最喜欢的动画片，每个人必须选且只选一种，在这些小朋友中，最喜欢《大耳朵图图》的小朋友有________人．第 2 讲曹冲称象例题练习题答案思维突破 / 二年级 / 寒假5小山羊调查了班上的小朋友最喜欢的玩具的情况，每个人必须选且只选一种，请问：最喜欢布娃娃的小朋友有_______人．例1在括号里填上合适的数，使天平保持平衡．练1在括号里填上合适的数，使天平保持平衡．例2在括号里填上合适的数，使天平保持平衡．练2在括号里填上合适的数，使天平保持平衡．例3如图所示，1只小鸭子重100克，那么1辆玩具汽车重多少克？练31只小狗重8千克，1只小猫重多少千克？例4观察下图电子秤上的数，1个乒乓球重多少克？练4观察下图电子秤上的数，1只小猫重多少千克？挑战极限1在括号里填上合适的数，使天平保持平衡．第 2 讲曹冲称象自我巩固答案思维突破 / 二年级 / 寒假1在括号里填上合适的数，使天平保持平衡．2在括号里填上合适的数，使天平保持平衡．3如图所示，1只小公鸡重1千克，那么1只小兔子重( )千克．4观察下图电子秤上的数，1把玩具枪重( )克．5观察下图电子秤上的数，1个梨重( )克．第 2 讲曹冲称象思维突破 / 二年级 / 寒假6在括号里填上合适的数，使天平保持平衡．7在括号里填上合适的数，使天平保持平衡．8如图所示，1只小鸟重2千克，那么1只小牛重( )千克．9观察下图电子秤上的数，1个红色礼盒重( )克．10观察下图电子秤上的数，1个帽子重( )克．课堂落实答案第 3 讲一家人的成长记思维突破 / 二年级 / 寒假1根据天平填空．2根据天平填空．3如图所示，一只小公鸡重2千克，那么一只小兔子重_______千克．4观察下图电子秤上的数，1把玩具枪重_______克．5根据下图，求：两个苹果共重_______克．例题练习题答案第 3 讲一家人的成长记自我巩固答案思维突破 / 二年级 / 寒假例1弟弟今年8岁，姐姐13岁．10年后，姐姐比弟弟大几岁？练1皮皮今年7岁，爸爸比他大30岁．3年前，皮皮比爸爸小几岁？例2小林今年10岁，他比爸爸小25岁．5年前，爸爸是多少岁？练2佳佳今年12岁，她比张阿姨小20岁．5年后，张阿姨是多少岁？例3灵灵今年6岁，4年后，灵灵的年龄和晶晶今年的年龄相同．问：晶晶今年几岁？练3哥哥今年20岁，3年前，哥哥的年龄和弟弟今年的年龄相同．弟弟今年几岁？例4姐姐今年12岁，姐姐3年前的年龄与妹妹2年后的年龄相等．妹妹今年多少岁？练4朵朵今年6岁，朵朵5年后的年龄与阳阳4年前的年龄相等，阳阳今年多少岁？挑战极限1妹妹今年9岁，4年后妹妹和姐姐的年龄和是30岁，姐姐今年多少岁？1妞妞今年10岁，妈妈今年36岁，7年后，妈妈比妞妞大______岁．2平平今年9岁，他比叔叔小21岁．6年前，叔叔是______岁．3小贝今年25岁，5年前，小贝的年龄和小杰今年的年龄相等，小杰今年______岁．4小高今年17岁，6年后，小高的年龄和墨莫今年的年龄相等，墨莫今年______岁．5果果今年8岁，果果3年后的年龄与大熊5年前的年龄相等，大熊今年______岁．6牛牛今年6岁，妈妈今年29岁，11年后，妈妈比牛牛大______岁．第 3 讲一家人的成长记课堂落实答案思维突破 / 二年级 / 寒假第 4 讲奇妙的衣橱例题练习题答案思维突破 / 二年级 / 寒假7墨莫今年9岁，他比爸爸小25岁．5年前，爸爸是______岁．8小梦今年27岁，6年前，小梦的年龄和弟弟今年的年龄相等，弟弟今年______岁．9皮皮今年21岁，7年后，皮皮的年龄和淘淘今年的年龄相等，淘淘今年______岁．10大熊今年6岁，大熊7年后的年龄与果果5年前的年龄相等，果果今年______岁．1妞妞今年8岁，妈妈今年30岁，5年后，妈妈比妞妞大_______岁．2平平今年6岁，他比叔叔小24岁．4年前，叔叔是_______岁．3小贝今年10岁，2年前，小贝的年龄和小杰今年的年龄相等，小杰今年_______岁．4小高今年7岁，5年后，小高的年龄和墨莫今年的年龄相等，墨莫今年_______岁．5果果今年6岁，果果2年后的年龄与大熊4年前的年龄相等，大熊今年_______岁．例1小熊要穿衣服，它共有3件不同的上衣和4条不同的裤子．那么小熊共有多少种不同的穿法？练1淘淘去餐厅点餐，饮料有：可乐、橙汁；食品有：汉堡、薯条、冰淇淋蛋糕．如果饮料和食品只能各选一种，搭配成一份套餐，那么一共有多少种不同的搭配方法？例2小狗要去小猪家，必须得经过小兔家，它一共有多少种不同的走法？练2丫丫从家到学校有3条路，从学校到少年宫有2条路，丫丫从家要到少年宫，中途必须经过学校，一共有多少种不同的走法？例3小明、小平、小丽、小花四个小朋友进行乒乓球单打比赛，要求每两个同学比赛一场，这次比赛一共要进行多少场？练3白雪公主和7个小矮人在一起玩，每两个人都要握一次手，他们一共握了多少次手？例4体育课上，老师让小华去体育室拿3个球．体育室中有一个足球、一个篮球、一个排球和一个橄榄球．请问小华共有多少种不同的拿法？练4跳跳的家里共有A 、B 、C 、D 、E 这5盏吊灯．妈妈让跳跳关掉其中的4盏，那么跳跳共有多少种不同的关灯方法？挑战极限1有一些游客去海边游玩，海边共停靠着7艘不同的快艇．如果这些游客要从中选出5艘快艇去游玩，那么共有多少种不同的选法？思维突破/二年级/寒假第 4 讲奇妙的衣橱自我巩固答案1明天是妈妈的生日，东东打算为妈妈选一束花和一个蛋糕，他看中了3束不同的花和3个不同的蛋糕．他共有_______种不同的选法．2平平逛动物园，从猴子山到老虎洞有2条路，从老虎洞到熊猫竹林有2条路．平平从猴子山到熊猫竹林，途中必须经过老虎洞，平平一共有_______种不同的走法．3天天、东东、灵灵3个人，每两个人握一次手，他们三个共要握_______次手．4小高、墨莫、卡莉娅、萱萱4个人，每两个人都要通一次电话，他们四个人共要通_______次电话．5朵朵准备了6首参加圣诞晚会的歌曲，如果要从中选出5首歌曲参加晚会，朵朵一共有_______种不同的选法．6东东想买一个汉堡和一瓶饮料，有2种不同的汉堡和4种不同的饮料．他共有_______种不同的选法．7平平去学校，从家到公园有3条路，从公园到学校有2条路．平平从家要到学校，中途必须经过公园，平平一共有_______种不同的走法．8美美、丽丽、亮亮3个人进行乒乓球比赛，每两个人都要进行一次比赛，她们三个人共要比赛_______次．9老王、老张、小王、小张4个人，每两个人都要合一次影（不用考虑左右顺序），他们四个人共要照_______张照片．10朵朵买了5件不同的礼物，如果要从中选出4件礼物送给朋友，朵朵一共有_______种不同的选法．思维突破/二年级/寒假第 4 讲奇妙的衣橱课堂落实答案第 5 讲开心消消乐例题练习题答案思维突破 / 二年级 / 寒假1明天是妈妈的生日，东东打算为妈妈选一束鲜花和一个蛋糕，他看中了2束不同的鲜花和2个不同的蛋糕．那么，他共有_______种不同的选法．2平平去逛动物园，从猴子山到老虎洞有3条路，从老虎洞到熊猫竹林有4条路．平平要从猴子山到熊猫竹林，中途必须经过老虎洞，一共有_______种不同的走法．3天天、东东、灵灵、云云4个人，每两个人握一次手，她们4个人共要握_______次手．4小高、墨莫、卡莉娅、萱萱、阿呆5个人，每两个人都要通一次电话，他们五个共要通_______次电话．5朵朵原定4首歌曲参加圣诞晚会，如果要从中选出3首歌曲参加晚会，朵朵一共有_______种不同的选法．例1根据下面的等式填空．练1根据下面的等式填空．例2根据下面的等式填空．练2根据下面的等式填空．例3根据下面的等式填空．练3根据下面的等式填空．例4根据下面的等式填空．第 5 讲开心消消乐自我巩固答案思维突破 / 二年级 / 寒假练4根据下面的等式填空．挑战极限1根据下面的等式填空．1根据下面的等式填空．2根据下面的等式填空．3根据下面的等式填空．4根据下面的等式填空．5根据下面的等式填空．6根据下面的等式填空．7根据下面的等式填空．8根据下面的等式填空．9根据下面的等式填空．10根据下面的等式填空．第 5 讲开心消消乐课堂落实答案思维突破 / 二年级 /寒假1根据下面的等式填空．2根据下面的等式填空．○＋○＝24○＋□＝16□＝______3根据下面的等式填空．△＋☆＝14△－☆＝8△＝______4根据下面的等式填空．第 6 讲小心地雷例题练习题答案思维突破 / 二年级 / 寒假5根据下面的等式填空．例1根据侦察兵报告的信息，回答下面的问题．请回答：在9号周围的是哪些？在11号周围的是哪些？在16号周围的是哪些？既在6号周围又在12号周围的是哪些？练1大淘在花园里布置了地雷，小美蛙、奇奇猫和壮壮鼠去扫雷．博士给了他们一张地图，如图所示，让他们认识一下．小美蛙：在F 区周围的是A 、B 、G 、K 、L ．奇奇猫：在H区周围的是哪些？壮壮鼠：在M区周围的是哪些？例2观察雷区，然后填数．练2观察雷区，在空格里填数．例3下面的雷区中，空格里可能有地雷，请根据格子里的数，找出地雷的位置．用“√”表示有地雷，用“×”表示没有地雷.练3下面的雷区中，空格里可能有地雷，请根据格子里的数，找出地雷的位置．用“√”表示有地雷，用“×”表示没有地雷.第 6 讲小心地雷自我巩固答案思维突破 / 二年级 / 寒假例4下面的雷区中，空格里可能有地雷，请根据格子里的数，进行扫雷．用“√”表示有地雷，用“×”表示没有地雷.练4下面的雷区中，空格里可能有地雷，请根据格子里的数，进行扫雷．用“√”表示有地雷，用“×”表示没有地雷.挑战极限1下面的雷区中，空格里可能有地雷，请根据格子里的数，进行扫雷．用“√”表示有地雷，用“×”表示没有地雷.1根据下图，回答问题．“7”的周围有_______个数．2观察雷区，回答问题．“A”位置应填数_______．3观察雷区，回答问题．“A”位置应填数_______．A ：B ：C ：4下面的雷区中，空格里可能有地雷，请根据格子里的数，进行扫雷．用“√”表示有地雷，用“×”表示没有地雷．下面三个选项中______的标注完全正确．5下面的雷区中，空格里可能有地雷，请根据格子里的数，找出地雷的位置．用“√”表示有地雷，用“×”表示没有地雷．下面三个选项中_______的标注完全正确．A：B：C：6根据下图，回答问题．“5”的周围有_______个数．7观察雷区，回答问题．“A”位置应填数_______．8观察雷区，回答问题．“A”位置应填数（）．9下面的雷区中，空格里可能有地雷，请根据格子里的数，进行扫雷．用“√”表示有地雷，用“×”表示没有地雷．下面三个选项中_______的标注完全正确．第 6 讲小心地雷思维突破 / 二年级 / 寒假A：B ：C：A：B：C：10下面的雷区中，空格里可能有地雷，请根据格子里的数，找出地雷的位置．用“√”表示有地雷，用“×”表示没有地雷．下面三个选项中_______的标注完全正确．课堂落实答案1根据下图，回答问题．“5”的周围有_______个数．2观察雷区，回答问题．“A”位置应填数_______．3观察雷区，回答问题．“A”位置应填数_______．A：B ：4下面的雷区中，空格里可能有地雷，请根据格子里的数，进行扫雷．用“√”表示有地雷，用“×”表示没有地雷．下面三个选项中_______标注的是完全正确．第 7 讲期末复习期末试卷答案思维突破 / 二年级 / 寒假C：A：B ：C ：5下面的雷区中，空格里可能有地雷，请根据格子里的数，找出地雷的位置．用“√”表示有地雷，用“×”表示没有地雷．下面三个选项中_______标注的是完全正确．A ：1小灰鼠今年5岁，小白鼠今年10岁．请问：2年后，小白鼠比小灰鼠大_______岁．3B ：C ：D ：5810A ：B ：C ：D ：2明天是妈妈的生日，东东打算为妈妈选一束鲜花和一个蛋糕，他看中了2束不同的鲜花和3个不同的蛋糕．那么，他共有_______种不同的选法．2356A ：B ：C ：D ：3观察天平，1个可以换_______个．691215A ：B ：C ：D ：4已知：□＋☆＝20，□－☆＝10．求：□＝_______．152030405如图所示，雷区中共有_______个地雷．A ：B ：C ：D：3456A ：B ：C ：D ：6丁丁调查了班里同学最喜欢的体育运动，根据表格回答问题．每个人必须选且只选一种，最喜欢_______的学生最少．跑步足球排球篮球A ：B ：C ：D ：7小凡今年5岁，她比妈妈小25岁．5年前，妈妈是_______岁．152025308观察图中电子秤上的数，1个☆重_______克．A ：B ：C ：D ：51020309小贝今年10岁，4年前，小贝的年龄和小杰今年的年龄相等．那么，小杰今年_______岁．10新年到了，有5个好朋友，并且他们之间都互相认识．如果每两个人通一次电话，那么，他们一共要打_______次电话．11观察图中电子秤上的数，1个梨重_______克．12根据等式填空．13小高今年22岁，5年后，小高的年龄和墨莫今年的年龄相等，墨莫今年_______岁．14小高统计学生有的体育用品的情况，画了一张像蛋糕的统计图．请问：小高共统计_______个球．15果果今年18岁，果果4年后的年龄与大熊6年前的年龄相等，大熊今年_______岁．16朵朵准备了10首参加圣诞晚会的歌曲，如果要从中选出9首歌曲参加晚会，朵朵一共有_______种不同的选法．17根据地雷的位置在方格里填上合适的数．18如图所示，根据方格里的数，在有地雷的方格里标上“√”，在没有地雷的方格里标上“×”．19下列式子中，狐狸、小蜜蜂和小猫各代表一个数．那么，代表_______，代表_______，代表_______．20学校准备为鼓号队的小朋友订购乐器，有四种乐器可供选择：大鼓、小鼓、镲、小号．丫丫对鼓号队做了一个调查．要求每人必须选且只选一种，请你帮她把表格填写完整，并回答问题．（1）已知喜欢小鼓的男生比女生少2人，喜欢小鼓的共有_______人．（2）已知喜欢小号的人数共有22人，喜欢_______的人数最多．（3）鼓号队中女生共有_______人．。

人教A版选修2-3课后巩固作业(二)1.1.2.docx

知能巩固提升(二)/课后巩固作业(二)(时间：30分钟满分：50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )(A)7 (B)12 (C)64 (D)812.(2012·北京高考)从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( )(A)24 (B)18 (C)12 (D)63.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线( )(A)24种 (B)16种 (C)12种 (D)10种4.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要( )(A)3 360元 (B)6 720元(C)4 320元 (D)8 640元二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2012·杭州高二检测)如图所示，用不同的五种颜色分别为A，B，C，D，E五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则符合这种要求的不同着色的方法有______种.6.(易错题)从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为_____.三、解答题(每小题8分，共16分)7.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法.8.7名同学中，有5名会下象棋，有4名会下围棋.现从这7人中选2人分别参加象棋和围棋比赛，共有多少种不同的选法？【挑战能力】(10分)电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？答案解析1.【解析】选B.要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法.故共有4×3=12种不同的配法.2.【解题指南】考虑特殊元素0，与特殊位置个位.如果选0，则0只能在十位.个位必须是奇数.【解析】选B.(1)当从0，2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，只要2不排在个位即可，先排2再排1，3，5中选出的两个奇数，共有2×3×2=12(个).(2)当从0，2中选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，只要排好从1，3，5中选出的两个奇数.共有3×2=6(个).综上，由分类加法计数原理知共有12+6=18(个).3.【解析】选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向入口都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3+3+3+3=12种不同的行车路线，故选C.4.【解题指南】根据题意，依次计算“从01至10的3个连号的个数”“从11至20的2个连号的个数”“从21至30的单选号的个数”“从31至36的单选号的个数”，进而由分步乘法计数原理，计算可得答案.【解析】选D.从01至10的3个连号的个数有8种；从11至20的2个连号的个数有9种；从21至30的单选号的个数有10种；从31至36的单选号的个数有6种.故总的选法有8×9×10×6=4 320种，可得至少要8 640元，故选D.5.【解析】按照分步乘法计数原理，先为A着色共有5种，再为B着色有4种(不能与A相同)，接着为 C着色有3种(不与A,B相同)，同理依次为D，E着色各有3种.所以种数为N=5×4×33=540(种).答案：5406.【解析】(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.(2)不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种.其中2439log 3log 9,log 2log 4,==2349log 4log 9,log 2log 3.==∴N=1+5×4-4=17.答案：17【变式训练】从2,3,4,5,6,7这六个数字中,任取两个分别作分数的分子与分母,能得到不同的分数值的个数为_____.【解析】先不管重复的情况，共有6×5=30(个)，其中23462436.46233624====，，，有4种情况是重复的，所以共30-4=26(个).答案：267.【解题指南】由题目可获取以下主要信息：①从4种蔬菜品种选出3种分别种在不同土质的三块土地上；②黄瓜必须种植.解答此题可考虑以黄瓜所种植的土地分类求解或用间接法求解.【解析】方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1=6种不同种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1=6(种).故不同的种植方法共有6×3=18(种).方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2=24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1=6(种)，故共有不同种植方法24-6=18(种).8.【解析】由题意知，既会象棋又会围棋的“多面手”有5+4-7=2(人).方法一：第一类，先从会下象棋但不会下围棋的3人中选1人，再从会下围棋的4人中选1人，共有3×4=12种选法；第二类，先从既会下象棋又会下围棋的2人中选1人，再从会下围棋的剩余3人中选1人下围棋，有2×3=6种选法.由分类加法计数原理得N=12+6=18(种). 方法二：第一类，“多面手”不参加，从只会下象棋的3人中选1人，从只会下围棋的2人中选1人，共有3×2=6种选法；第二类，“多面手”中有一人参加象棋有2种选法，再从只会下围棋的2人中选1人，共有2×2=4种选法；第三类，“多面手”中有一人参加围棋有2种选法，再从只会下象棋的3人中选1人，共有2×3=6种选法；第四类，“多面手”都参加，有2种选法，故N=6+4+6+2=18(种).【挑战能力】【解题指南】【解析】抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑.分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20=17 400种结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11 400种结果.因此共有不同结果17 400+11 400=28 800种.。

路由交换技术课后答案

路由交换技术课后答案【篇一：路由与交换技术复习题一】题1、路由器从相连的以太网接口收到消息后，会更改哪项报头地址，再将消息从另一个接口发送出去？a仅第 2 层源地址 bc仅第 3 层源地址 de第 2 层源地址和目的地址f 仅第 2 层目的地址仅第 3 层目的地址第 3 层源地址和目的地址2、网络管理员刚把新配置输入 router1。

要将配置更改保存到nvram，应该执行哪一条命令？arouter1# copy running-config flashbrouter1(config)# copy running-config flashcrouter1# copy running-config startup-configdrouter1(config)# copy running-config startup-configerouter1# copy startup-config running-configfrouter1(config)# copy startup-config running-config 3请参见图示。

从路由器的运行配置输出可得出什么结论？a口令经过加密。

b当前配置已保存到 nvram。

c显示的配置将会是路由器下次重新启动时用到的配置。

d显示的命令决定了路由器的当前运行情况。

4、请参见图示。

在主机 2 连接到 lan 上的交换机后，主机 2 无法与主机 1 通信。

导致此问题的原因是什么？第 1 页共 10 页a主机 2 的子网掩码不正确。

b主机 1 和主机 2 位于不同的网络中。

c交换机需要 ip 地址，但尚未配置。

d路由器 lan 接口和主机 1 位于不同网络中。

e主机 1 的 ip 地址与路由器的 lan 接口位于不同的网络中。

5、输入以下命令的作用是什么？r1(config)# line vty 0 4r1(config-line)# password check123r1(config-line)# logina确保在进入用户执行模式之前输入口令b设置通过 telnet 连接该路由器时使用的口令c要求在保存配置前输入 check123d创建本地用户帐户以便登录路由器或交换机6、以下哪一项正确描述了路由器启动时的顺序？a加载 bootstrap、加载 ios、应用配置b加载 bootstrap、应用配置、加载 iosc加载 ios、加载 bootstrap、应用配置、检查硬件d检查硬件、应用配置、加载 bootstrap、加载 ios7、加载配置文件时的默认顺序是怎样的？a nvram、flash、romb flash、tftp、consolec nvram、tftp、consoled flash、tftp、rom8、如果路由器在启动时无法找到有效的配置文件，将发生什么情况？a 启动过程将重置。

西南交大信号与系统第二版课后答案

1口 7 -, 刀、歹L
2.25
CD CD
f(t) = IOcosl 11(1) 证明： J(t)关8(1-1。) =f(t-1。)
@ f(t) = e-''u(t) (?) f(t)
状态响应可以表示力
2.26
已知线性时不变系统的输入力f(t)'系统的阶跃响应力g(t)'试证明系统的零汕） = Lf'(,!)g(t-,!)d儿 2.27 2.28 2.29 用MATLAB求题2.7的全响应。用MATLAB求题2. 9的零输入响应。（此式称为杜阿美尔积分）
=
心Yx (/)=7e-'-5e-2'(t汃0)
(2)yx (1)=6e-'-(4+5/)e-3'(t;>O) CZ) /,(1)= te-'11(1) 3 @i,(1) = -e-2'sin(21)11(1) 2
2.11 2.12
CD /,(1)�(-2e-'+2e-")的）+ 0(1)
心yx (t)�ze-" -2e-" (1;;, O) I 5 8 3 y(t) � - 3 e- '+ 2e-" + 6
第1章信号与系统概述
习题1
心f(t)=cost+2 sin(2 兀t) @ f(t)=e _,, srn(2 亢I) (J) f(k)=sm(2忒）心f(t)=cos( 兀 I) ＠ 1.2 1.1 判断下列信号是否是周期信号。若是周期信号，则确定信号周期。 @ f(t)= costu(t) CZ) f(t)= sin(3 兀t)+cos(2 兀t) @八I)= sin'[

二年级上册数学教案-练习二十四-人教新课标

二年级上册数学教案-练习二十四-人教新课标教学内容本节课为二年级上册数学的练习二十四，内容围绕人教新课标的要求，重点复习和巩固基本的数学概念和运算。

主要涉及加减乘除的基本运算，以及它们在实际生活中的应用。

教学目标1. 让学生掌握基本的加减乘除运算。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学学习的兴趣和积极性。

教学难点1. 加减乘除运算的熟练掌握。

2. 数学知识在实际生活中的灵活运用。

教具学具准备1. 数学教材。

2. 加减乘除运算卡片。

3. 实际生活场景图片。

教学过程1. 导入：通过简单的数学游戏，引起学生对数学的兴趣。

2. 复习：回顾加减乘除的基本概念和运算规则。

3. 实例讲解：结合实际生活场景，讲解数学知识的应用。

4. 小组讨论：让学生分组讨论，共同解决实际问题。

5. 课堂练习：进行加减乘除的运算练习。

6. 总结：总结本节课的重点和难点，强调数学知识在实际生活中的重要性。

板书设计1. 加减乘除的基本概念和运算规则。

2. 数学知识在实际生活中的应用实例。

作业设计1. 完成练习二十四的相关习题。

2. 观察生活中的数学，记录下来并尝试解决。

课后反思本节课通过游戏、实例讲解、小组讨论等多种教学方式，有效地激发了学生对数学的兴趣，提高了他们的数学运算能力和解决实际问题的能力。

但在教学过程中，也发现部分学生对加减乘除的运算规则掌握不够熟练，需要在今后的教学中加以重点关注和辅导。

教学难点需要重点关注的细节在以上教案设计中，教学难点是需要重点关注的细节。

教学难点直接关系到学生对课程内容理解和掌握的程度，同时也是教师教学策略和方法的出发点和依据。

详细补充和说明教学难点是指学生在学习过程中可能遇到理解上的障碍或操作上的困难，需要教师特别关注并在教学过程中采取有效措施帮助学生克服。

对于二年级上册数学的练习二十四，教学难点主要体现在以下几个方面：1. 加减乘除运算的熟练掌握：二年级学生刚刚接触乘除运算，对于乘除法的概念和运算规则可能还不够熟悉，需要通过反复练习和多种教学方法的运用来加强理解和记忆。

人教A版数学选修2-2练习：2.2 2.2.2 反证法巩固提升

[学生用书P107(单独成册)][A 基础达标]1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至少有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：选B.“至少有一个”即“全部中最少有一个”，“至少有一个不大于60°”的反面是“全部都大于60°”．2．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( )A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析：选C.假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线．故选C.3．设x >0，则方程x ＋1x＝2sin x 的根的情况是( ) A ．有实根B ．无实根C ．恰有一实根D ．无法确定解析：选B.x >0时，x ＋1x≥2，而2sin x ≤2，但此二式中“＝”不可能同时取得，所以x ＋1x＝2sin x 无实根． 4．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析：选C.若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6①，而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥6②，显然①，②矛盾，所以C 正确．5．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．6．在△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB ＞∠APC ，求证：∠BAP ＜∠CAP ，用反证法证明时的假设为________________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP ＜∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CAP7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.答案：③①②8．下列命题适合用反证法证明的是________(填序号)．①已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y 和1＋y x中至少有一个小于2； ③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．解析：①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．答案：①②③④9.如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点．用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线．证明：假设ME 与BN 共面，则AB ⊂平面MBEN ，且平面MBEN与平面DCEF 交于EN .由两正方形不共面，得AB ⊄平面DCEF .又因为AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF .而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线，所以AB ∥EN .又因为AB ∥CD ∥EF ，所以EN ∥EF ，这与EN ∩EF ＝E 矛盾，故假设不成立，所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线．10．设a ，b ∈(0，1)且a ＋b ＝1，用反证法证明1a 2－1与1b 2－1至少有一个不小于3. 证明：假设1a 2－1与1b 2－1都小于3，即0<1a 2－1<3，0<1b 2－1<3，所以⎝⎛⎭⎫1a 2－1⎝⎛⎭⎫1b 2－1<9，因为a ，b >0，且a ＋b ＝1，所以b ＝1－a ，a ＝1－b ，所以⎝⎛⎭⎫1a 2－1⎝⎛⎭⎫1b 2－1＝（1＋a ）（1－a ）a 2·（1＋b ）（1－b ）b 2＝（1＋a ）b a 2·（1＋b ）a b 2＝1＋a a ·1＋b b ＝1＋a a ·2－a 1－a<9，所以(2a －1)2<0，这是不可能的．故假设错误，原结论成立．[B 能力提升]11．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________．解析：若两个方程均无实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝（a －1）2－4a 2<0，Δ2＝4a 2＋8a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >13或a <－1，－2<a <0，所以－2<a <－1.因此两个方程至少有一个有实根时，应有a ≤－2或a ≥－1.答案：{a |a ≤－2或a ≥－1}12．设a ，b 是两个实数，给出下列条件①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：若a ＝13，b ＝23，则a ＋b ＝1，但a ＜1，b ＜1，故①不能推出．若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②不能推出．若a ＝－2，b ＝1，则a 2＋b 2＞2，故④不能推出．对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1.反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.答案：③13．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴有两个不同的交点．若f (c )＝0，且0＜x ＜c 时f (x )＞0.(1)证明：1a是函数f (x )的一个零点； (2)试用反证法证明：1a＞c . 证明：(1)因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的一个根，又因为x 1x 2＝c a. 所以x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c ，所以1a 是f (x )＝0的另一个根，即1a是函数f (x )的一个零点． (2)由第一问知1a ≠c ，故假设1a＜c ，易知1a＞0，由题知当0＜x ＜c 时，f (x )＞0，所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＞0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾，所以1a＞c . 14．(选做题)设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②由①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q，综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1. (2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，因为a1≠0，所以2q k＝q k－1＋q k＋1.因为q≠0，所以q2－2q＋1＝0，所以q＝1，这与已知矛盾．所以假设不成立，故数列{a n＋1}不是等比数列．由Ruize收集整理。

人教A版选修2-3(四)课后巩固作业(四)1.2.1.2.docx

知能巩固提升(四)/课后巩固作业(四)(时间：30分钟满分50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.32545A 4A += ( )(A)107 (B)323 (C)320 (D)3482.(2012·长沙高二检测)4×5×6×…×(n-1)×n 等于( )(A)4n A (B)n 4n A -(C)n!-4! (D)n 3n A -3.S 1!2!3!99!=+++⋯+，则S 的个位数字是( )(A)0 (B)3 (C)5 (D)74.下列等式中不成立的是( )(A)()32n n A n 2A =- (B)n n 1n 1n 11A A n -++=(C)n 2nn 1n nA A --= (D)m mn 1n n A A n m -=-二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2012·淮阴高二检测)已知2x A 12=，则x=_____. 6.548885892A 7A ______.A A +=-三、解答题(每小题8分，共16分)7.(易错题)解方程x x 1893A 4A .-= 8.证明：mm m 1n 1n n A A mA .-+-=【挑战能力】(10分)一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知m ＞1，客运车票增加了62种，问原来有多少个车站？现在有多少个车站？答案解析1.【解析】选D.原式=5×5×4×3+4×4×3=348.2.【解析】选D.由排列数公式，乘积式中的第一项为n ，由n-m+1=4得，m=n-3,故4×5×6×…×(n-1)×n=n 3nA -. 3.【解题指南】分别求出1!=1，2!=2，3!=6，4!=24，5!=120，发现规律，然后求解.【解析】选B.∵1!=1，2!=2，3!=6，4!=24，5!=120,6!=720,…∴5!,6!，7!,…,99!的个位数字均为0.∴S=1!+2!+3!+…+99!的个位数字是3.4.【解析】选B.A 中,右边=(n-2)(n-1)n=3n A 成立;C 中左边=n ×(n-1)×(n-2)×…×2=n ×(n-1)×(n-2)×…×2×1=nn A 成立；D 中左边=()()()m n n 1!n n!A n m n m 1!n m !-⨯==----成立；经验证只有B 不正确. 5.【解析】∵2x A 12=，∴x(x-1)=12，∴x=4.答案：46.【解析】548885892A 7A A A +-=287654787651.8765432198765⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯答案：17.【解析】由题意得0x 80x 19≤≤⎧⎨≤-≤⎩，，即1≤x ≤8，又∵x x 1893A 4A ,-=∴()()38!49!8x 10x !⨯⨯=--！，化简得x 2-19x+78=0，解得x=6或x=13(舍去).∴原方程的解为x=6.【举一反三】把本题中“=”改为“＞”，解该不等式.【解析】由0x 80x 19≤≤⎧⎨≤-≤⎩，，得1≤x ≤8，又∵xx 1893A 4A ,-＞∴()()38!9!4,8x !10x !⨯⨯--＞化简得x 2-19x+78＞0,解得x ＞13或x ＜6,∴1≤x ＜6.又∵x ∈N *,∴不等式的解集为{1，2，3，4，5}.8.【解题指南】利用排列数的阶乘公式将左式化为关于()n!n m !-的表达式，然后提取合并，即可推出右式．【证明】()()()mm n 1n n 1!n!A A n 1m !n m !++-=-+--=()()()()n 1n!n!n m 1n m !n m !+--+--g g =()n!n 1(1)n m n m 1+---+g ！ =()n!m n m !n m 1--+g =()m 1n n!m mA n m 1!-=--g［］，故原等式成立．【方法技巧】恰当地使用排列数公式解答本题的关键是根据等式左边的排列数的特点，利用排列数的阶乘公式将等式左边转化，使之出现形如()n!n m !-的式子，然后提取公因式合并化简即得右边所需式子，从而使证明过程简单快捷.因此，正确并恰当地使用排列数公式，并对问题灵活处理，是解决有关排列数的证明(或化简)问题的有效方法．【挑战能力】【解析】原来有n 个车站，有客运车票2n A 种，增加了m 个车站后有客运车票2m nA +种，由题意得，22m n n A A 62+-=，整理化简得，()()()m n m n 1n n 162++---=，即2mn+m 2-m=62， ∴31m 1n .m 2-=- 由n ＞0，从而有31m 1m 2-＞，∴m 2-m-62＜0，又∵m ＞1，解得，11m 2＜＜，即1＜m ≤8. 当m=3,4,5,6,7,8时，n 均不为整数，只有m=2时，n=15符合题意，∴n+m=17，故原来有15个车站，现在有17个车站.。

课后巩固作业(二) 1.1.2

课后巩固作业（二）(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.由0,1,2,3,４五个数字可以组成不同的自然数的个数是( )(A)96 (B)120 (C)825 (D)31252.从1,2,3,4,7,9这六个数字中任取两个不同的数，分别作为对数的底数和真数，则得到的不同对数值的个数是( )(A)11 (B)12 (C)13 (D)173.某班进行班干部选举，从甲，乙，丙，丁四人中选出３人分别担任班长、副班长、团支书，规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职方案有( )种( )(A)10 (B)11 (C)12 (D)134.有一如图形状的花坛分成A,B,C,D四块，现有４种不同的花供选种，要求在每块地里种一种花，且相邻的两块地里种不同的花，则不同的种法总数是( )(A)48 (B)60 (C)84 (D)96二、填空题(每小题4分，共8分)5.从黄瓜、白菜、扁豆、西红柿４种蔬菜品种中选出３种，分别种在不同的土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有________种.6.从集合A={a,b,c,d}中任选三个不同的元素组成集合B，若集合C={e,f}，则从集合B到集合C可建立不同映射的个数是_______.三、解答题(每小题8分，共16分)7.从集合A=｛0,1,2,3｝中选三个不同的数作为a,b,c的值，共可组成多少个不同的二次函数y=ax2+bx+c？8.设集合I={1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有多少种？【挑战能力】(10分)直线x=m,y=x将圆面x2+y2≤4分成若干块，现在用５种不同的颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，若共有不同涂法120种，试求实数m的取值范围.答案解析1.【解析】选D.组成的自然数可分为以下五类：(1)一位自然数，有５个；(2)两位自然数，分两步完成，共有4×5＝20(个)；(3)三位自然数，共有4×5×5＝100(个)；(4)四位自然数，共有4×5×5×5＝500(个)；(5)五位自然数，共有4×5×5×5×5＝2 500(个)，根据分类加法计数原理，共有5＋20＋100＋500＋2500＝3125(个)，故选D. 独具【误区警示】解答本题易产生重复或遗漏的错误，导致这种错误的原因主要是考虑问题不全面，如：(1)忽略0是自然数；(2)误认为该题自然数为五位数；(3)忽略数字0不能排在首位以及可重复数字错误等.2.【解析】选D.先确定底数，再确定真数，其中１不能作底数，有5×5=25种不同的取法，对应25个对数，其中对数值相同的有①真数为1时，对数值都为0，有5个；②log23=log49,log32=log94，log24=log39，log42=log93，有4对.所以共有25-4-4=17(个)符合条件的对数.3.【解析】选B.分两大类考虑：(1)甲，乙，丙三人当选，则任职方案有２种；(2)甲，乙，丙三人有两人当选，可能是甲与乙或甲与丙或乙与丙，以甲，乙当选为例，则必有丁，不同的任职方案有3＋3＋3＝9(种).根据分类加法计数原理共有２＋９＝11(种)不同的任职方案，故选B.4.【解析】选C.按A→B→C→D的顺序分步考虑，先种植Ａ，Ｂ两块，有4×3=12(种)种法，再种植C，D两块，由于C与B，D与Ａ所种的花可以分别相同，故C,D的种植方法有1×(1+2)+2×2=7(种)，故共有12×7=84(种)种植方法.5.【解析】黄瓜种植在第一块土地上有1×3×2=6(种)种法，同样可种在第二块、第三块土地上，也各有６种不同的种法，所以共有不同的种法：6×3=18(种).答案：18独具【方法技巧】间接法在计数中的应用上述解答是按必种蔬菜—黄瓜种在哪块土地上分类计数，是“直接法”的应用.本题解答也可从另一种角度考虑：先不考虑限制条件，计算在四种蔬菜品种中任选３种分别种植在这三块土地上的不同方法种数，然后减去不选黄瓜的种植法种数，即得符合题目条件的方法种数，这既是所谓的“间接法”，在正面考虑问题不易解决或解答较困难时被广泛采用.本题用间接法具体解答如下：先从４种蔬菜品种中选出３种，种在三块土地上，有4×3×2=24(种)不同的种法，其中不种黄瓜有3×2×1=6(种)，所以共有种法：24-6=18(种).6.独具【解题提示】解答本题首先应考虑满足条件的集合B有多少个，可用列举法求解，然后根据集合的特征，可按集合B中的元素依次在C中确定对应元素的顺序分步考虑.【解析】可知集合B的不同情形有{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}共四种，根据映射的基本特征，每种情形构成的不同映射有2×2×2=8(个)，所以共能建立8×4=32(个)不同的映射.答案：327.【解析】按a,b,c的取值分步考虑：第一步：从1,2,3三个数字中任选一个元素给a，有３种选法；第二步：从剩下的３个(包括０)元素中任取一个给b，也有３种选法；第三步：从剩下的２个数中任选一个给c，有２种选法.根据分步乘法计数原理，共有3×3×2=18种不同选法，即对应18个不同的二次函数.8.【解析】按A中的最大的数的值分类考虑：(1)当A中的最大的数为１时，B可以是{2,3,4,5}的非空子集，有24-1=15(种)选法；(2)当A中的最大的数为２时，A可以是{2}或{1,2}，B可以是{3,4,5}的非空子集，有2×(23-1)=14(种)选法；(3)当A中的最大的数为３时，A可以是{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3},B 可以是{4,5}的非空子集，有4×(22-1)=12(种)选法；(4)当A中的最大的数为４时，A可以是{4},{1,4},{2,4}，{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},B可以是{5}，有8×1=8(种)选法；根据分类加法计数原理，共有15+14+12+8=49(种)不同选法.【挑战能力】【解析】(1)当m≥2或m≤-2时，圆面x2+y2≤4被分成两部分，则共有不同的涂色方法5×4=20(种)，不合题意；(2)当2m m2-<≤≤<时，圆面x2+y2≤4被分成３部分，则共有不同的涂色方法5×4×3=60(种)，也不合题意；(3)当m<<时，圆面x2+y2≤4被分成４部分，则共有不同的涂色方法5×4×3×2=120(种)，符合题意.故实数m的取值范围的是(。

二年级数学下册教案-2.3 整理和复习24-人教版

二年级数学下册教案-2.3 整理和复习24-人教版教学内容本节课的内容为《人教版二年级数学下册》中的“整理和复习24”，主要包括对之前学习过的两位数加法、减法以及乘法的基本概念和运算规则进行复习巩固。

通过整理和复习，使学生能够熟练掌握两位数加减乘的基本运算方法，并能够灵活运用到实际问题中。

教学目标1. 巩固学生对两位数加、减、乘法运算规则的掌握。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生的逻辑思维能力和计算能力。

4. 培养学生合作学习和自主学习的能力。

教学难点1. 学生对两位数加减乘运算规则的熟练运用。

2. 学生在实际问题中运用数学知识解决问题的能力。

教具学具准备1. 教师准备：教学课件、练习题、计算器。

2. 学生准备：课本、练习本、铅笔、橡皮。

教学过程1. 导入：教师通过PPT展示一些与两位数加减乘相关的实际问题，引导学生回顾之前学过的知识，激发学生的学习兴趣。

2. 复习：教师带领学生对两位数加、减、乘法的基本概念和运算规则进行复习，通过举例让学生理解和掌握运算规则。

3. 练习：教师布置一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

同时，教师对学生的答题情况进行检查和指导。

4. 应用：教师提出一些实际问题，让学生运用所学的数学知识进行解答，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

5. 小组讨论：学生分组讨论，共同解决一些较为复杂的数学问题，培养学生的合作学习和自主学习能力。

6. 总结：教师对本节课所学内容进行总结，强调重点知识，并对学生进行鼓励和表扬。

板书设计1. 二年级数学下册教案-2.3 整理和复习242. 目录：教学内容、教学目标、教学难点、教具学具准备、教学过程、板书设计、作业设计、课后反思3. 正文：按照教学过程逐步展示教学内容、练习题、应用题等。

作业设计1. 完成课本P32-33页的练习题。

2. 家长签字确认完成情况。

课后反思本节课通过整理和复习两位数加、减、乘法的基本概念和运算规则，使学生能够熟练掌握两位数加减乘的基本运算方法，并能够灵活运用到实际问题中。

十一章2课随堂即时巩固

1．(2010年佛山市高中质检)在数字1,2,3与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是()A．6 B．12C．18 D．24解析：选B.先排列1,2,3，有A33＝6(种)排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有A22＝2(种)方法，共有6×2＝12(种)方法，选B.2．(原创题)将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有()A．252种B．112种C．70种D．56种解析：选B.分两类：甲、乙每屋住4人、3人或5人、2人，所以共有C73A22＋C72A22＝35×2＋21×2＝112(种)．3．(2008年高考全国卷Ⅰ)将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，()A.6种种C．24种D．48种解析：选B.11·C21＝12(种)．故选B.4.空盒的放法共有________种(用数字作答)．解析：恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，故共有C42A43＝144种不同的放法．答案：1445．从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有________种．解析：本题可分三步完成．第一步：先从5人中选出2名翻译，共C52种选法，第二步：从剩余3人中选1名交通义工，共C31种选法，第三步：从剩余2人中选1名礼仪义工，共C21种选法．所以不同的选派方法共有C52C31C21＝60(种)．答案：606．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．解：(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C61种选法；再从余下的5本中选2本有C52种选法；最后余下3本全选有C33种选法．故共有C61C52C33＝60种不同的分配方式．(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配，故共有C61C52C33A33＝360种不同的分配方式．。

离散数学最全课后答案(屈婉玲版)

1.1．略1.2．略1.3．略1.4．略1.5．略1.6．略1.7．略1.8．略1.9．略1.10．略1.11．略1.12．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1)2+2＝4 当且仅当3+3＝6. (2)2+2＝4 的充要条件是3+3≠6. (3)2+2≠4与3+3＝6 互为充要条件. (4)若2+2≠4, 则3+3≠6, 反之亦然.(1)p↔q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为1.(2)p↔⌝q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0.(3) ⌝p↔q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0.(4) ⌝p↔⌝q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为1.1.13．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1)若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则明天是星期三.令p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三.(1) p→q ⇔ 1.(2) q→p ⇔ 1.(3) p↔q ⇔ 1.(4) p→r 当p ⇔ 0 时为真; p ⇔ 1 时为假.1.14．将下列命题符号化.(1) 刘晓月跑得快, 跳得高.(2)老王是山东人或河北人.(3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组.(5)李辛与李末是兄弟.(6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了.(12)2 与4 都是素数, 这是不对的.(13)“2或4 是素数, 这是不对的”是不对的.(1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高.(2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人.(3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服.(4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题.(5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟.(6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语.(7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐.(8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班.(9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.(10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.(11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了.12) ⌝ (p∧q)或⌝p∨⌝q, 其中, p: 2 是素数, q: 4 是素数.(13) ⌝⌝ (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2 是素数, q: 4 是素数.1.15．设p: 2+3=5.q: 大熊猫产在中国.r: 复旦大学在广州. 求下列复合命题的真值:(1)(p↔q) →r(2)(r→ (p∧q)) ↔ ⌝p(3) ⌝r→ (⌝p∨⌝q∨r)(4)(p∧q∧⌝r) ↔ (( ⌝p∨⌝q) →r)(1)真值为0.(2)真值为0.(3)真值为0.(4)真值为1.注意: p, q 是真命题, r 是假命题.1.16．略1.17．略1.18．略1.19．用真值表判断下列公式的类型:(1)p→ (p∨q∨r)(2)(p→⌝q) →⌝q(3) ⌝ (q→r) ∧r(4)(p→q) → (⌝q→⌝p)(5)(p∧r) ↔ ( ⌝p∧⌝q)(6)((p→q) ∧ (q→r)) → (p→r)(7)(p→q) ↔ (r↔s)(1), (4), (6)为重言式.(3)为矛盾式.(2), (5), (7)为可满足式.1.20．略1.21．略1.22．略1.23．略1.24．略1.25．略1.26．略1.27．略1.28．略1.29．略1.30．略1.31．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1)若3+＝4, 则地球是静止不动的.(2)若3+2＝4, 则地球是运动不止的. (3)若地球上没有树木, 则人类不能生存.(4)若地球上没有水, 则 3 是无理数.(1)p→q, 其中, p: 2+2＝4, q: 地球静止不动, 真值为0.(2)p→q, 其中, p: 2+2＝4, q: 地球运动不止, 真值为1.(3) ⌝p→⌝q, 其中, p: 地球上有树木, q: 人类能生存, 真值为1.(4) ⌝p→q, 其中, p: 地球上有水, q: 3 是无理数, 真值为1.习题二2.1. 设公式A = p→q, B = p⌝∧q, 用真值表验证公式A 和B 适合德摩根律:⌝(A∨B) ⇔ ⌝A⌝∧B.p q A =p→q B =p⌝∧q⌝(A∨B)⌝A⌝∧B0 0 1 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 1 0 01 1 1 0 0 0因为⌝(A∨B)和⌝A⌝∧B 的真值表相同, 所以它们等值.2.2. 略2.3. 用等值演算法判断下列公式的类型, 对不是重言式的可满足式, 再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝ (p∧q→q)(2)(p→ (p∨q)) ∨ (p→r)(3)(p∨q) → (p∧r)(1) ⌝ (p∧q→q)⇔ ⌝ (⌝(p∧q) ∨ q) ⇔ ⌝ (⌝p ∨ ⌝q ∨ q) ⇔ p∧q∧⌝q ⇔ p∧0 ⇔ 0 ⇔ 0. 矛盾式.(2)重言式.(3) (p∨q) → (p∧r) ⇔ ⌝(p∨q) ∨ (p∧r) ⇔ ⌝p⌝∧q ∨ p∧r 易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000, 001, 101, 111p q r←p ∍ ←q (p∍r0 0 0 1 1 1 1 00 0 1 1 1 1 1 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 01 0 1 0 0 1 1 11 1 0 0 0 0 0 01 1 1 0 0 0 1 12.4. 用等值演算法证明下面等值式:(1) p⇔ (p∧q) ∨ (p∧⌝q)(3) ⌝ (p↔q) ⇔ (p∨q) ∧⌝ (p∧q)(4) (p∧⌝q) ∨ (⌝p∧q) ⇔ (p∨q) ∧⌝ (p∧q)(1) (p∧q) ∨ (p∧⌝q) ⇔ p ∧ (q⌝∨q) ⇔ p ∧ 1 ⇔ p.(3) ⌝ (p↔q)⇔⌝ ((p→q) ∧ (q→p))⇔⌝ ((⌝p∨q) ∧ (⌝q∨p))⇔ (p∧⌝q) ∨ (q∧⌝p)⇔ (p∨q) ∧ (p∨⌝p) ∧ (⌝q∨q) ∧ (⌝p∨⌝q)⇔ (p∨q) ∧⌝ (p∧q)(4) (p∧⌝q) ∨ (⌝p∧q)⇔ (p∨⌝p) ∧ (p∨q) ∧ (⌝q∨⌝p) ∧ (⌝q∨q)⇔ (p∨q) ∧⌝ (p∧q)2.5. 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值:(1)( ⌝p→q) → (⌝q∨p)(2) ⌝ (p→q) ∧q∧r(3)(p∨ (q∧r)) → (p∨q∨r)(1)(⌝p→q) → (⌝q∨p)⇔ ⌝(p∨q) ∨ (⌝q∨p)⇔ ⌝p∧⌝q ∨ ⌝q ∨ p⇔ ⌝p∧⌝q ∨ ⌝q ∨ p(吸收律)⇔ (p⌝∨p)⌝∧q ∨ p∧(q⌝∨q)⇔ p⌝∧q ⌝∨p⌝∧q ∨ p∧q ∨ p⌝∧q⇔ m10 ∨ m00 ∨ m11 ∨ m10⇔ m0 ∨ m2 ∨ m3⇔ ∑(0, 2, 3).成真赋值为00, 10, 11.(2)主析取范式为0, 无成真赋值, 为矛盾式.(3)m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7, 为重言式.2.6. 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值:(1) ⌝ (q→⌝p) ∧⌝p(2)(p∧q) ∨ (⌝p∨r)(3)(p→ (p∨q)) ∨r(1) ⌝ (q⌝→p) ∧ ⌝p⇔ ⌝(⌝q⌝∨p) ∧ ⌝p⇔ q∧p ∧ ⌝p⇔ q∧0⇔ 0⇔ M0∧M1∧M2∧M3这是矛盾式. 成假赋值为00, 01, 10, 11.(2)M4, 成假赋值为100.(3)主合取范式为1, 为重言式.2.7. 求下列公式的主析取范式, 再用主析取范式求合取范式:(1)(p∧q) ∨r(2)(p→q) ∧ (q→r)(1)m1∨m3∨m5∨m6∨m7⇔M0∧M2∧M4(2)m0∨m1∨m3∨m7⇔M2∧M4∧M5∧M62.8. 略2.9. 用真值表求下面公式的主析取范式.(2) (p→q) → (p⌝↔q)p q(p q) (p ←  q)0 0 1 0 0 10 1 1 1 1 01 0 0 1 1 11 1 1 0 0 0(2)从真值表可见成真赋值为01, 10. 于是(p → q) → (p⌝ ↔ q) ⇔ m1 ∨ m2.2.10. 略2.11. 略2.12. 略2.13. 略2.14. 略2.15. 用主析取范式判断下列公式是否等值:(1)(p→q) →r 与q→ (p→r)(2)(p→q) →r⇔ ⌝(⌝p∨q) ∨ r⇔ ⌝(⌝p∨q) ∨ r⇔ p⌝∧q ∨ r⇔ p⌝∧q∧(r⌝∨r) ∨ (p⌝∨p) ∧ (q⌝∨q)∧r⇔ p⌝∧q∧r ∨ p⌝∧q∧⌝r ∨p∧q∧r ∨ p∧⌝q∧r ∨ ⌝p∧q∧r ∨ ⌝p∧⌝q∧r= m101 ∨ m100 ∨ m111 ∨ m101 ∨ m011 ∨ m001⇔ m1 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7= ∑(1, 3, 4, 5, 7).而q→(p→r)⇔ ⌝q ∨ (⌝p∨r)⇔ ⌝q ∨ ⌝p ∨r⇔ (⌝p∨p)⌝∧q∧(⌝r∨r) ∨ ⌝p∧(⌝q∨q)∧(⌝r∨r)∨ (⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r⇔ (⌝p⌝∧q∧⌝r)∨(⌝p⌝∧q∧r)∨(p⌝∧q∧⌝r)∨(p⌝∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)= m0 ∨ m1 ∨ m4 ∨ m5∨ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3∨ m1 ∨ m3 ∨ m5 ∨ m7⇔ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7⇔ ∑(0, 1, 2, 3, 4, 5, 7).两个公式的主吸取范式不同, 所以(p→q) →rœq→ (p→r).2.16. 用主析取范式判断下列公式是否等值:(1)(p→q) →r 与q→ (p→r)(2) ⌝ (p∧q)与⌝ (p∨q)(1)(p→q) →r) ⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m7q→ (p→r) ⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7所以(p→q) →r) œq→ (p→r)(2)⌝ (p∧q) ⇔m0∨m1∨m2⌝ (p∨q) ⇔m0所以⌝ (p∧q) œ⌝ (p∨q)2.17. 用主合取范式判断下列公式是否等值:(1)p→ (q→r)与⌝ (p∧q) ∨r(2)p→ (q→r)与(p→q) →r(1)p→ (q→r) ⇔M6⌝ (p∧q) ∨r⇔M6所以p→ (q→r) ⇔ ⌝ (p∧q) ∨r(2)p→ (q→r) ⇔M6(p→q) →r⇔M0∧M1∧M2∧M6所以p→ (q→r) œ(p→q) →r2.18. 略2.19. 略2.20.将下列公式化成与之等值且仅含{⌝, →} 中联结词的公式.(3) (p∧q)↔r.注意到A↔B ⇔ (A→B)∧(B→A)和A∧B ⇔ ⌝(⌝A⌝∨B) ⇔ ⌝(A⌝→B)以及A∨B ⇔ ⌝A→B. (p∧q)↔r⇔ (p∧q → r) ∧ (r → p∧q)⇔ (⌝(p⌝→q) → r) ∧ (r → ⌝(p⌝→q))⇔ ⌝((⌝(p⌝→q) → r) → ⌝(r → ⌝(p⌝→q)))注联结词越少, 公式越长.2.21. 证明:(1) (p↑q) ⇔ (q↑p), (p↓q) ⇔ (q↓p).(p↑q) ⇔ ⌝(p∧q) ⇔ ⌝(q∧p) ⇔ (q↑p).(p↓q) ⇔ ⌝(p∨q) ⇔ ⌝(q∨p) ⇔ (q↓p).2.22. 略2.23. 略2.24. 略2.25. 设A, B, C 为任意的命题公式.(1)若A∨C⇔B∨C, 举例说明A⇔B 不一定成立. (2)已知A∧C⇔B∧C, 举例说明A⇔B 不一定成立. (3)已知⌝A⇔⌝B, 问: A⇔B 一定成立吗?(1) 取A = p, B = q, C = 1 (重言式), 有A∨C ⇔ B∨C, 但A œB.(2) 取A = p, B = q, C = 0 (矛盾式), 有A∧C ⇔ B∧C, 但A œB.好的例子是简单, 具体, 而又说明问题的. (3)一定.2.26. 略2.27.某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C. 已知在且仅在下述四种情况下灯亮:(1)C 的扳键向上, A,B 的扳键向下.(2)A 的扳键向上, B,C 的扳键向下.(3)B,C 的扳键向上, A 的扳键向下.(4)A,B 的扳键向上, C 的扳键向下.设F 为1 表示灯亮, p,q,r 分别表示A,B,C 的扳键向上. (a)求F 的主析取范式.(b)在联结词完备集{⌝, ∧}上构造F. (c)在联结词完备集{⌝, →,↔}上构造F.(a)由条件(1)-(4)可知, F 的主析取范式为F⇔ (⌝p∧⌝q∧r) ∨ (p∧⌝q∧⌝r) ∨ (⌝p∧q∧r) ∨ (p∧q∧⌝r)⇔m1∨m4∨m3∨m6⇔m1∨m3∨m4∨m6(b)先化简公式F⇔ (⌝p∧⌝q∧r) ∨ (p∧⌝q∧⌝r) ∨ (⌝p∧q∧r) ∨ (p∧q∧⌝r)⇔⌝q∧ ((⌝p∧r) ∨ (p∧⌝r)) ∨q∧ ((⌝p∧r) ∨ (p∧⌝r))⇔ (⌝q∨q) ∧ ((⌝p∧r) ∨ (p∧⌝r))⇔ (⌝p∧r) ∨ (p∧⌝r)⇔⌝ (⌝ (⌝p∧r) ∧⌝ (p∧⌝r)) (已为{⌝, ∧}中公式)(c)F⇔ (⌝p∧r) ∨ (p∧⌝r)⇔⌝⌝ (⌝p∧r) ∨ (p∧⌝r)⇔⌝ (⌝p∧r) → (p∧⌝r)⇔ (p∨⌝r) →⌝ (⌝p∨r)⇔ (r→p) →⌝ (p→r) (已为{⌝, →,↔}中公式)2.28.一个排队线路, 输入为A,B,C, 其输出分别为F A,F B,F C. 本线路中, 在同一时间内只能有一个信号通过, 若同时有两个和两个以上信号申请输出时, 则按A,B,C 的顺序输出. 写出F A,F B,F C 在联结词完备集{⌝, ∨}中的表达式.根据题目中的要求, 先写出F A,F B,F C 的真值表(自己写) 由真值表可先求出他们的主析取范式, 然后化成{⌝, ∧}中的公式F A⇔m4∨m5∨m6∨m7⇔p (已为{⌝, ∧}中公式)F B⇔m2∨m3⇔⌝p∧q (已为{⌝, ∧}中公式)F C⇔m1⇔⌝p∧⌝q∧r (已为{⌝, ∧}中公式)2.29. 略2.30. 略习题三3.1. 略3.2. 略3.3. 略3.4. 略3.5. 略3.6. 判断下面推理是否正确. 先将简单命题符号化, 再写出前提, 结论, 推理的形式结构(以蕴涵式的形式给出)和判断过程(至少给出两种判断方法):(1)若今天是星期一, 则明天是星期三；今天是星期一. 所以明天是星期三. (2)若今天是星期一, 则明天是星期二；明天是星期二. 所以今天是星期一. (3)若今天是星期一, 则明天是星期三；明天不是星期三. 所以今天不是星期一. (4)若今天是星期一, 则明天是星期二；今天不是星期一. 所以明天不是星期二. (5)若今天是星期一, 则明天是星期二或星期三. (6)今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一. 所以明天不是星期三.设p: 今天是星期一, q: 明天是星期二, r: 明天是星期三. (1)推理的形式结构为(p→r) ∧p→r此形式结构为重言式, 即(p→r) ∧p⇒r 所以推理正确. (2)推理的形式结构为(p→q) ∧q→p 此形式结构不是重言式, 故推理不正确. (3)推理形式结构为(p→r) ∧⌝r→⌝p此形式结构为重言式, 即(p→r) ∧⌝r⇒⌝p故推理正确. (4)推理形式结构为(p→q) ∧⌝p→⌝q此形式结构不是重言式, 故推理不正确.(5)推理形式结构为p→ (q∨r)它不是重言式, 故推理不正确. (6)推理形式结构为(p⇒r) ∧⌝p→⌝r此形式结构为重言式, 即(p⇒r) ∧⌝p⇒⌝r故推理正确.推理是否正确, 可用多种方法证明. 证明的方法有真值表法, 等式演算法. 证明推理正确还可用构造证明法.下面用构造证明法证明(6)推理正确.前提: p⇒r, ⌝p结论: ⌝r证明: ①p⇒r 前提引入②(p→r) ∧ (r→p) ①置换③r→p ②化简律④⌝p 前提引入⑤⌝r ③④拒取式所以, 推理正确.3.7. 略3.8. 略3.9. 用三种方法(真值表法, 等值演算法, 主析取范式法)证明下面推理是正确的:若a 是奇数, 则a 不能被2 整除. 若a 是偶数, 则a 能被2 整除. 因此, 如果a 是偶数, 则a 不是奇数.令p: a 是奇数; q: a 能被2 整除; r: a 是偶数. 前提: p → ⌝q, r → q.结论: r → ⌝p.形式结构: (p → ⌝q) ∧ (r → q) → (r → ⌝p).……3.10.略3.11.略3.12.略3.13.略3.14.在自然推理系统P 中构造下面推理的证明:(1)前提: p→ (q→r), p, q结论: r∨s(2)前提: p→q, ⌝ (q∧r), r结论: ⌝p(3)前提: p→q结论: p→ (p∧q)(4)前提: q→p, q⇒s, s⇒t, t∧r结论: p∧q(5)前提: p→r, q→s, p∧q结论: r∧s(6)前提: ⌝p∨r, ⌝q∨s, p∧q结论: t→ (r∨s) (1)证明:①②p→(q→r)p前提引入前提引入③④q→rq①②假言推理前提引入⑤r③④假言推理⑥r∨s⑤附加律(2)证明:①②③⌝ (q∧r)⌝q∨⌝rr前提引入①置换前提引入④⑤⑥⌝qp→q⌝p②③析取三段论前提引入④⑤拒取式(3)证明:①p→q前提引入②⌝p∨q①置换③(⌝p∨q) ∧ (⌝p∨p)②置换④⌝p∨ (p∧q)③置换⑤p→ (p∧q) ④置换也可以用附加前提证明法, 更简单些.(4)证明:①②③④⑤s⇒t(s→t) ∧ (t→s)t→st∧rt前提引入①置换②化简前提引入④化简⑥s③⑤假言推理⑦⑧⑨⑩q⇒s(s→q) ∧ (q→s)s→qq前提引入⑦置换⑧化简⑥⑥假言推理○11 q →p前提引入○12 ○13 pp∧q⑩○11 假言推理⑩○12 合取(5)证明:①②p→rq→s前提引入前提引入③④p∧qp前提引入③化简⑤q③化简⑥r①④假言推理⑦s②⑤假言推理⑧r∧s⑥⑦合取(6)证明:①②t⌝p∨r附加前提引入前提引入③④p∧qp前提引入③化简⑤r②④析取三段论⑥r∨s⑤附加说明: 证明中, 附加提前t, 前提⌝q∨s 没用上. 这仍是正确的推理.3.15.在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提: p→ (q→r), s→p, q结论: s→r(2)前提: (p∨q) → (r∧s), (s∨t) →u结论: p→u(1)证明:①②ss→p附加前提引入前提引入③p①②假言推理④⑤⑥p→ (q→r)q→rq前提引入③④假言推理前提引入⑦r⑤⑥假言推理(2)证明:①②Pp∨q附加前提引入①附加③(p∨q) → (r∧s) 前提引入④⑤r∧sS②③假言推理④化简⑥⑦⑧s∨t(s∨t) →uu⑤附加前提引入⑥⑦假言推理3.16.在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理:(1)前提: p→⌝q, ⌝r∨q, r∧⌝s结论: ⌝p(2)前提: p∨q, p→r, q→s结论: r∨s(1)证明:①②Pp→⌝q结论否定引入前提引入③④⑤⑥⑦⌝q⌝r∨q⌝rr∧⌝sr①②假言推理前提引入③④析取三段论前提引入⑥化简⑧⌝r∧r⑤⑦合取⑧为矛盾式, 由归谬法可知, 推理正确.(2)证明:①⌝ (r∨s)结论否定引入②p∨q前提引入③p→r前提引入④q→s前提引入⑤r∨s②③④构造性二难⑥⌝ (r∨s) ∧ (r∨s)①⑤合取①②③④⑤⑥⑦pp q(rq(rss ←q←qr①②假言推理前提引入前提引入⑥为矛盾式, 所以推理正确.3.17.P53 17. 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明:只要A 曾到过受害者房间并且11 点以前没用离开, A 就犯了谋杀罪. A 曾到过受害者房间. 如果A 在11 点以前离开, 看门人会看到他. 看门人没有看到他. 所以A 犯了谋杀罪.令p: A 曾到过受害者房间; q: A 在11 点以前离开了; r: A 就犯了谋杀罪; s:看门人看到A.前提: p⌝∧q → r, p, q → s, ⌝s.结论: r.前提: p⌝∧q → r, p, q → s, ⌝s; 结论: r.证明:①⌝s 前提引入②q → s 前提引入③⌝q ①②拒取④p 前提引入⑤p⌝∧q ③④合取⑥p⌝∧q → r 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理3.18.在自然推理系统P 中构造下面推理的证明.(1)如果今天是星期六, 我们就要到颐和园或圆明园去玩. 如果颐和园游人太多, 我们就不去颐和园玩.今天是星期六. 颐和园游人太多. 所以我们去圆明园玩.(2)如果小王是理科学生, 他的数学成绩一定很好. 如果小王不是文科生, 他必是理科生. 小王的数学成绩不好. 所以小王是文科学生.(3)明天是晴天, 或是雨天；若明天是晴天, 我就去看电影；若我看电影, 我就不看书. 所以, 如果我看书,则明天是雨天.(1)令p: 今天是星期六; q: 我们要到颐和园玩; r: 我们要到圆明园玩; s:颐和园游人太多.前提: p→ (q∨r), s → ⌝q, p, s.结论: r.前提引入前提引入p p→q∨rq∨rs s → ⌝q⌝qr④⑤假言推理(1)的证明树③⑥析取三段论① p →r 前提引入 ② ⌝r 前提引入 ③ ⌝p ①②拒取式 ④ ⌝q →p 前提引入 ⑤q③④拒取式(2) 令 p : 小王是理科生, q : 小王是文科生, r : 小王的数学成绩很好. 前提: p →r , ⌝q →p , ⌝r 结论: q 证明:⌝qp →q⌝p⌝r →p(2)的证明树 r(3)令 p : 明天是晴天, q : 明天是雨天, r : 我看电影, s : 我看书. 前提: p ∨q , p →r , r →⌝s结论: s →q 证明:① ② s r →⌝s 附加前提引入前提引入 ③ ⌝r ①②拒取式 ④ p →r 前提引入 ⑤ ⌝p ③④拒取式 ⑥ p ∨q 前提引入 ⑦q⑤⑥析取三段论习题四4.1. 将下面命题用0 元谓词符号化:(1)小王学过英语和法语. (2)除非李建是东北人, 否则他一定怕冷.(1) 令F(x): x 学过英语; F(x): x 学过法语; a: 小王. 符号化为F(a)∧F(b).或进一步细分, 令L(x, y): x 学过y; a: 小王; b1: 英语; b2: 法语. 则符号化为L(a, b1)∧L(a, b2).(2) 令F(x): x 是东北人; G(x): x 怕冷; a: 李建. 符号化为⌝F(a)→G(a) 或⌝G(a)→F(a).或进一步细分, 令H(x, y): x 是y 地方人; G(x): x 怕冷; a: 小王; b: 东北. 则符号化为⌝H(a, b)→G(a) 或⌝G(a)→ H(a, b).4.2. 在一阶逻辑中将下面命题符号化, 并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值:(1)凡有理数都能被2 整除.(2)有的有理数能被2 整除. 其中(a)个体域为有理数集合, (b)个体域为实数集合.(1)(a)中, ∀xF(x), 其中, F(x): x 能被2 整除, 真值为0.(b)中, ∀x(G(x) ∧F(x)), 其中, G(x): x 为有理数, F(x)同(a)中, 真值为0. (2)(a)中, ∃xF(x), 其中, F(x): x 能被2 整除, 真值为1.(b)中, ∃x(G(x) ∧F(x)), 其中, F(x)同(a)中, G(x): x 为有理数, 真值为1.4.3. 在一阶逻辑中将下面命题符号化, 并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值:(1)对于任意的x, 均有x2-2=(x+ 2 )(x- 2 ).(2)存在x, 使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合, (b)个体域为实数集合.(1)(a)中, ∀x(x2-2=(x+ 2 x- 2 真值为1.(b)中, ∀x(F(x) → (x2-2=(x+ 2 x- 2 其中, F(x): x 为实数, 真值为1. (2)(a)中, ∃x(x+5=9), 真值为1.(b)中, ∃x(F(x) ∧ (x+5=9)), 其中, F(x): x 为实数, 真值为1.4.4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)没有不能表示成分数的有理数.(2)在北京卖菜的人不全是外地人.(3)乌鸦都是黑色的. (4)有的人天天锻炼身体.没指定个体域, 因而使用全总个体域.(1) ⌝∃x(F(x) ∧⌝G(x))或∀x(F(x) →G(x)), 其中, F(x): x 为有理数, G(x): x 能表示成分数.(2) ⌝∀x(F(x) →G(x))或∃x(F(x) ∧⌝G(x)), 其中, F(x): x 在北京卖菜, G(x): x 是外地人.(3) ∀x(F(x) →G(x)), 其中, F(x): x 是乌鸦, G(x): x 是黑色的.(4) ∃x(F(x) ∧G(x)), 其中, F(x): x 是人, G(x): x 天天锻炼身体.4.5. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)火车都比轮船快. (2)有的火车比有的汽车快. (3)不存在比所有火车都快的汽车. (4)“凡是汽车就比火车慢”是不对的.因为没指明个体域, 因而使用全总个体域(1) ∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y)), 其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是轮船, H(x,y):x 比y 快.(2) ∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧H(x,y)), 其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是汽车, H(x,y):x 比y 快.(3) ⌝∃x(F(x) ∧∀y(G(y) →H(x,y)))或∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧⌝H(x,y))), 其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 快.(4) ⌝∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y))或∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧⌝H(x,y) ), 其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 慢.4.6. 略4.7. 将下列各公式翻译成自然语言, 个体域为整数集®, 并判断各命题的真假.(1) ∀x∀y∃z(x - y = z);(2) ∀x∃y(x⋅y = 1).(1) 可选的翻译:①“任意两个整数的差是整数.”②“对于任意两个整数, 都存在第三个整数, 它等于这两个整数相减.”③“对于任意整数x 和y, 都存在整数z, 使得x - y = z.”选③, 直接翻译, 无需数理逻辑以外的知识. 以下翻译意思相同, 都是错的:“有个整数, 它是任意两个整数的差.”“存在一个整数, 对于任意两个整数, 第一个整数都等于这两个整数相减.”❶ “存在整数z, 使得对于任意整数x 和y, 都有x - y = z.”这3 个句子都可以符号化为∃z∀x∀y(x - y = z).0量词顺序不可随意调换.(2) 可选的翻译:①“每个整数都有一个倒数.”②“对于每个整数, 都能找到另一个整数, 它们相乘结果是零.”③“对于任意整数x, 都存在整数y, 使得x⋅y = z.”选③, 是直接翻译, 无需数理逻辑以外的知识.4.8. 指出下列公式中的指导变元, 量词的辖域, 各个体变项的自由出现和约束出现:(3)∀x∃y(F(x, y) ∧ G(y, z)) ∨ ∃xH(x, y, z)∀x∃y(F(x,y)∧ G(y,z))∨ ∃x H(x,y,z)前件∀x∃y(F(x, y)∧G(y, z)) 中, ∀ 的指导变元是x, ∀ 的辖域是∃y(F(x, y)∧G(y, z)); ∃ 的指导变元是y, ∃ 的辖域是(F(x, y)∧G(y, z)).后件∃xH(x, y, z) 中, ∃ 的指导变元是x, ∃ 的辖域是H(x, y, z).整个公式中, x 约束出现两次, y 约束出现两次, 自由出现一次; z 自由出现两次.4.9. 给定解释I 如下:(a)个体域D I 为实数集合\.(b)D I 中特定元素↓a =0.(c)特定函数↓f (x,y)=x-y, x,y∈D I.(d)特定谓词↓F(x,y): x=y,↓G(x,y): x<y, x,y∈D I. 说明下列公式在I 下的含义, 并指出各公式的真值:(1)∀x∀y(G(x,y) →⌝F(x,y))(2) ∀x∀y(F(f(x,y),a) →G(x,y))(3) ∀x∀y(G(x,y) →⌝F(f(x,y),a))(4) ∀x∀y(G(f(x,y),a) →F(x,y))(1) ∀x∀y(x<y→x≠y), 真值为1.(2) ∀x∀y((x-y=0) →x<y), 真值为0.(3) ∀x∀y((x<y) → (x-y≠0)), 真值为1.(4) ∀x∀y((x-y<0) → (x=y)), 真值为0.4.10.给定解释I 如下:(a)个体域D=Æ(Æ为自然数).(b)D 中特定元素↓a=2.(c)D 上函数↓f (x,y)=x+y,↓g (x,y)=x·y.(d)D 上谓词↓F (x,y): x=y.说明下列公式在I 下的含义, 并指出各公式的真值:(1) ∀xF(g(x,a),x)(2) ∀x∀y(F(f(x,a),y) →F(f(y,a),x))(3) ∀x∀y∃z(F(f(x,y),z)(4) ∃xF(f(x,x),g(x,x))(1) ∀x(x·2=x), 真值为0.(2) ∀x∀y((x+2=y) → (y+2=x)), 真值为0.(3) ∀x∀y∃z(x+y=z),真值为1.(4) ∃x(x+x=x·x),真值为1.4.11.判断下列各式的类型:(1) F(x, y) → (G(x, y) → F(x, y)).(3) ∀x∃yF(x, y) → ∃x∀yF(x, y).(5) ∀x∀y(F(x, y) → F(y, x)).(1) 是命题重言式p → (q → p) 的代换实例, 所以是永真式.(3) 在某些解释下为假(举例), 在某些解释下为真(举例), 所以是非永真式的可满足式.(5) 同(3).4.12.P69 12. 设I 为一个任意的解释, 在解释I 下, 下面哪些公式一定是命题?(1) ∀xF(x, y) → ∃yG(x, y).(2) ∀x(F(x) → G(x)) ∧ ∃y(F( y) ∧ H( y)).(3) ∀x(∀yF(x, y) → ∃yG(x, y)).(4) ∀x(F(x) ∧ G(x)) ∧ H( y).(2), (3) 一定是命题, 因为它们是闭式.4.13.略4.14.证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式:(1) ∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧H(x,y)))(2) ∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y))(1) 取个体域为全总个体域.解释I1: F(x): x 为有理数, G(y): y 为整数, H(x,y): x<y在I1 下: ∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧H(x,y)))为真命题, 所以该公式不是矛盾式.解释I2: F(x),G(y)同I1, H(x,y): y 整除x.在I2 下: ∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧H(x,y)))为假命题, 所以该公式不是永真式.(2) 请读者给出不同解释, 使其分别为成真和成假的命题即可.4.15.(1) 给出一个非闭式的永真式.(2) 给出一个非闭式的永假式.(3) 给出一个非闭式的可满足式, 但不是永真式.(1) F(x) ∨ ⌝F(x).(2) F(x) ∧ ⌝F(x).(3) ∀x(F(x, y) → F(y, x)).习题五5.1. 略5.2. 设个体域D={a,b,c}, 消去下列各式的量词:(1) ∀x∃y(F(x) ∧G(y))(2) ∀x∀y(F(x) ∨G(y))(3) ∀xF(x) →∀yG(y)(4) ∀x(F(x,y) →∃yG(y))(1) ∀x∃y(F(x) ∧G(y))⇔∀xF(x) ∧∃yG(y)⇔ (F(a) ∧F(b)) ∧F(c)) ∧ (G(a) ∨G(b) ∨G(c))(2) ∀x∀y(F(x) ∨G(y))⇔∀xF(x) ∨∀yG(y)⇔ (F(a) ∧F(b) ∧F(c)) ∨ (G(a) ∧G(b) ∧G(c))(3) ∀xF(x) →∀yG(y)⇔ (F(a) ∧F(b) ∧F(c)) → (G(a) ∧G(b) ∧G(c))(4) ∀x(F(x,y) →∃yG(y))⇔∃xF(x,y) →∃yG(y)⇔ (F(a,y) ∨F(b,y) ∨F(c,y)) → (G(a) ∨G(b) ∨G(c))5.3. 设个体域D={1,2}, 请给出两种不同的解释I1 和I2, 使得下面公式在I1 下都是真命题, 而在I2 下都是假命题.(1) ∀x(F(x) →G(x))(2) ∃x(F(x) ∧G(x))(1)I1: F(x):x≤2,G(x):x≤3F(1),F(2),G(1),G(2)均为真, 所以∀x(F(x) →G(x))⇔ (F(1) →G(1) ∧ (F(2) →G(2))为真.I2: F(x)同I1,G(x):x≤0则F(1),F(2)均为真, 而G(1),G(2)均为假,∀x(F(x) →G(x))为假. (2)留给读者自己做.5.4. 略5.5. 给定解释I 如下:(a)个体域D={3,4}.(b)↓f (x)为↓f (3)=4,↓f (4)=3. (c)↓F(x,y)为↓F(3,3)=↓F(4,4)=0,↓F(3,4)=↓F(4,3)=1.试求下列公式在I 下的真值:(1)∀x∃yF(x,y)(2)∃x∀yF(x,y)(3) ∀x∀y(F(x,y) →F(f(x),f(y)))(1)∀x∃yF(x,y)⇔ (F(3,3) ∨F(3,4)) ∧ (F(4,3) ∨F(4,4))⇔ (0∨1) ∧ (1∨0) ⇔1(2)∃x∀yF(x,y)⇔ (F(3,3) ∧F(3,4)) ∨ (F(4,3) ∧F(4,4))⇔ (0∧1) ∨ (1∧0) ⇔0(3) ∀x∀y(F(x,y) →F(f(x),f(y)))⇔ (F(3,3) →F(f(3),f(3)))∧ (F(4,3) →F(f(4),f(3)))∧ (F(3,4) →F(f(3),f(4)))∧ (F(4,4) →F(f(4),f(4)))⇔ (0→0) ∧ (1→1) ∧ (1→1) ∧ (0→0) ⇔15.6. 略5.7. 略5.8. 在一阶逻辑中将下列命题符号化, 要求用两种不同的等值形式.(1) 没有小于负数的正数.(2) 相等的两个角未必都是对顶角.(1) 令F(x): x 小于负数, G(x): x 是正数. 符合化为:∃⌝x((F(x) ∧ G(x)) ⇔ ∀x(G(x) → ⌝G(x)).(2) 令F(x): x 是角, H(x, y): x 和y 是相等的, L(x, y): x 与y 是对顶角. 符合化为:⌝∀x∀y(F(x) ∧ F(y) ∧ H(x, y) → L(x, y))⇔ ∃x∃y(F(x) ∧ F(y) ∧ H(x, y) ∧ ⌝L(x, y))⇔ ∃x(F(x) ∧ (∃y(F(y) ∧ H(x, y) ∧ ⌝L(x, y))).5.9. 略5.10.略5.11.略5.12.求下列各式的前束范式.(1) ∀xF(x) → ∀yG(x, y);(3) ∀xF(x, y) ↔ ∃xG(x, y);(5) ∃x1F(x1, x2) → (F(x1) → ∃⌝x2G(x1, x2)).前束范式不是唯一的.(1) ∀xF(x) → ∀yG(x, y)⇔ ∃x(F(x) → ∀yG(x, y))⇔ ∃x∀y(F(x) → G(x, y)).(3) ∀xF(x, y) ↔ ∃xG(x, y)⇔ (∀xF(x, y) → ∃xG(x, y)) ∧ (∃xG(x, y) → ∀xF(x, y))⇔ (∀x1F(x1, y) → ∃x2G(x2, y)) ∧ (∃x3G(x3, y) → ∀x4F(x4, y))⇔ ∃x1∃x2(F(x1, y) → G(x2, y)) ∧ ∀x3∀x4(G(x3, y) → F(x4, y))⇔ ∃x1∃x2∀x3∀x4((F(x1, y) → G(x2, y)) ∧ (G(x3, y) → F(x4, y))).5.13.将下列命题符号化, 要求符号化的公式全为前束范式:(1) 有的汽车比有的火车跑得快.(2) 有的火车比所有的汽车跑得快.(3) 说所有的火车比所有的汽车跑得快是不对的.(4) 说有的飞机比有的汽车慢是不对的.(1) 令F(x): x 是汽车, G( y): y 是火车, H(x, y): x 比y 跑得快.∃x(F(x) ∧ ∃y(G( y) ∧ H(x, y))⇔ ∃x∃y(F(x) ∧ G( y) ∧ H(x, y)).(2)令F(x): x 是火车, G( y): y 是汽车, H(x, y): x 比y 跑得快.∃x(F(x) ∧ ∀y(G( y) → H(x, y)))⇔ ∃x∀y(F(x) ∧ (G( y) → H(x, y))).0错误的答案: ∃x∀y(F(x) ∧ G( y) → H(x, y)).(3)令F(x): x 是火车, G( y): y 是汽车, H(x, y): x 比y 跑得快.⌝∀x(F(x) → ∀y(G( y) → H(x, y)))⇔ ⌝∀x∀y(F(x) → (G( y) → H(x, y)))⇔ ⌝∀x∀y(F(x) ∧ G( y) → H(x, y)) (不是前束范式)⇔ ∃x∃y(F(x) ∧ G( y) ∧ H(x, y)).(4)令F(x): x 是飞机, G( y): y 是汽车, H(x, y): x 比y 跑得慢.⌝ ∃x(F(x) ∧ ∃y(G( y) ∧ H(x, y)))⇔ ⌝ ∃x∃y(F(x) ∧ G( y) ∧ H(x, y)) (不是前束范式)⇔ ∀x∀y ⌝ (F(x) ∧ G( y) ∧ H(x, y))⇔ ∀x∀y(F(x) ∧ G( y) → ⌝H(x, y)).5.14.略5.15.在自然推理系统F 中构造下面推理的证明:(1) 前提: ∃xF(x) → ∀y((F(y) ∨ G(y)) → R(y)), ∃xF(x)结论: ∃xR(x).(2) 前提: ∀x(F(x) → (G(a) ∧R(x))), ∃xF(x)结论: ∃x(F(x) ∧R(x))(3) 前提: ∀x(F(x) ∨G(x)), ⌝∃xG(x)结论: ∃xF(x)(4) 前提: ∀x(F(x) ∨G(x)), ∀x(⌝G(x) ∨⌝R(x)), ∀xR(x)结论: ∀xF(x)①∃xF(x) → ∀y((F(y) ∨ G(y)) → R(y)) 前提引入②∃xF(x) 前提引入③∀y((F(y) ∨ G(y)) → R(y)) ①②假言推理④(F(c) ∨ G(c)) → R(c) ③UI⑤F(c) ①EI⑥F(c) ∨ G(c) ⑤附加⑦⑧R(c)∃xR(x)④⑥假言推理⑦EG(2) 证明:①∃xF(x) 前提引入②F(c) ①EI③∀x(F(x) → (G(a) ∧ (R(x))) 前提引入④F(c) → (G(a) ∧R(c)) ④UI⑤G(a) ∧R(c) ②④假言推理⑥R(c) ⑤化简⑦F(c) ∧R(c) ②⑥合取⑧∃x(F(x) ∧R(x)) ⑥E G(3) 证明:①⌝∃xG(x) 前提引入②∀x⌝G(x) ①置换③⌝G(c)②UI④∀x(F(x) ∨G(x) 前提引入⑤F(c) ∨G(c) ④UI⑥F(c) ③⑤析取三段论⑦∃xF(x) ⑥E G(4) 证明:①∀x(F(x) ∨G(x)) 前提引入②F(y) ∨G(y) ①UI③∀x(⌝G(x) ∨⌝R(x)) 前提引入④⌝G(y) ∨⌝R(y)③UI⑤∀xR(x) 前提引入⑥R(y) ⑤UI⑦⌝G(y) ④⑥析取三段论⑧F(y) ②⑦析取三段论⑥∀xF(x) U G5.16.略5.18.略5.19.略5.20.略5.21.略5.22.略5.23.在自然推理系统F 中, 证明下面推理:(1) 每个有理数都是实数, 有的有理数是整数, 因此有的实数是整数.(2) 有理数, 无理数都是实数, 虚数不是实数, 因此虚数既不是有理数, 也不是无理数.(3) 不存在能表示成分数的无理数, 有理数都能表示成分数, 因此有理数都不是无理数.(1)设F(x):x 为有理数, R(x):x 为实数, G(x):x 是整数.前提: ∀x(F(x) →R(x)), ∃x(F(x) ∧G(x))结论: ∃x(R(x) ∧G(x))证明:①∃x(F(x) ∧G(x)) 前提引入②F(c) ∧G(c) ①EI③F(c) ②化简④G(c) ②化简⑤∀x(F(x) →R(x)) 前提引入⑥F(c) →R(c) ⑤UI⑦R(c) ③⑥假言推理⑧R(c) ∧G(c) ④⑦合取⑥∃x(R(x) ∧G(x)) ⑧EG(2)设: F(x):x 为有理数, G(x):x 为无理数, R(x)为实数, H(x)为虚数前提: ∀x((F(x) ∨G(x)) →R(x)), ∀x(H(x) →⌝R(x))结论: ∀x(H(x) → (⌝F(x) ∧⌝G(x)))证明:①∀x((F(x) ∨G(x) →R(x)) 前提引入②F(y) ∨G(y)) →R(y) ①UI③∀x(H(x) →⌝R(x)) 前提引入④H(y) →⌝R(y)③UI⑤⌝R(y) →⌝ (F(y) ∨G(y)) ②置换⑥H(y) →⌝ (F(y) ∨G(y)) ④⑤假言三段论⑦H(y) → (⌝F(y) ∧⌝G(y)) ⑥置换⑧∀x(H(x) → (⌝F(x) ∧⌝G(x)))⑦UG(3)设: F(x):x 能表示成分数, G(x):x 为无理数, H(x)为有理数前提: ∀x(G(x) →⌝F(x)), ∀x(H(x) →F(x))结论: ∀x(H(x) →⌝G(x))证明:①∀x(H(x) →F(x)) 前提引入②H(y) →F(y) ①UI③∀x(G(x) →⌝F(x)) 前提引入④G(y) →⌝F(y)③UI⑤F(y) →⌝G(y) ④置换⑥H(y) →⌝G(y) ②⑤假言三段论⑦∀x(H(x) →⌝G(x))⑥UG5.24.在自然推理系统F 中, 构造下面推理的证明:每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车. 每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车. 有的人不喜欢乘汽车, 所以有的人不喜欢步行. (个体域为人类集合)令F(x): x 喜欢步行, G( x): x 喜欢骑自行车, H(x): x 喜欢乘汽车.前提: ∀x(F(x) → ⌝G(x)), ∀x(G(x) ∨ H(y)), ∃x⌝H(x).结论: ∃x⌝F(x).①∀x(G(x) ∨ H(y)) 前提引入②G(c) ∨ H(c) ①UI③∃x⌝H(x) 前提引入④⌝H(c) ③UI⑤G(c) ②④析取三段⑥∀x(F(x) → ⌝G(x)) 前提引入⑦F(c) → ⌝G(c) ⑥UI⑧⌝F(c) ⑤⑦拒取⑨∃x⌝F(x) ⑧EG5.25.略习题六6.1. 选择适当的谓词表示下列集合:(1)小于5 的非负整数(2)奇整数集合(3)10 的整倍数的集合(1){x|x∈®∧0≤x<5}(2){x|x=2k+1∧k∈®}(3){x|x=10k∧k∈®}6.2. 用列元素法表示下列集合:(1)S1＝{x|x 是十进制的数字}(2)S2＝{x|x＝2∨x＝5}(3)S3＝{x|x＝x∈®∧3<x<12}(4)S4＝{x|x∈\∧x2－1＝0∧x>3}(5)S5＝{〈x, y>|x, y∈®∧0≤x≤2∧-1≤y≤0}(1) S1={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}(2) S2={2,5}(3) S3={4,5,6,7,8,9,10,11}(4) S4=∅(5) S5={〈0, -1〉,〈1, -1〉,〈2, -1〉,〈0,0〉,〈1,0〉,〈2,0〉}6.3. 略6.4. 设F 表示一年级大学生的集合, S 表示二年级大学生的集合, M 表示数学专业学生的集合, R 表示计算机专业学生的集合, T 表示听离散数学课学生的集合, G 表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合, H 表示星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合. 问下列各句子所对应的集合表达式分别是什么? 请从备选的答案中挑出来.(1)所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课. (2)这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期一晚上去听音乐会的学生在星期一晚上很迟才睡觉.(3)听离散数学课的学生都没参加星期一晚上的音乐会.(4)这个音乐会只有大学一, 二年级的学生参加. (5)除去数学专业和计算机专业以外的二年级学生都去参加了音乐会.备选答案:①T⊆G∪H ②G∪H⊆T ③S∩R⊆T④H＝G∪T ⑤T∩G＝∅ ⑥F∪S⊆G⑦G⊆F∪S ⑧S- (R∪M) ⊆G ⑥G⊆S- (R∩M)答案:(1)③S∩R⊆T(2)④H=G∪T(3) ⑤T∩G=∅(4)⑦G⊆F∪S(5) ⑧S- (R∪M) ⊆G6.5. 确定下列命题是否为真:(1) ∅⊆∅(2) ∅∈∅(3) ∅⊆{∅}(4) ∅∈{∅}(5){a, b}⊆{a, b, c, {a, b, c}}(6){a, b}∈{a, b, c, {a, b }}(7){a, b} {a, b, {{a, b}}}(8){a, b}∈{a, b, {{a, b}}}(1) 真(2)假(3) 真(4) 真(5) 真(6) 真(7) 真(8) 假6.6. 略6.7. 略6.8. 略6.9. 略6.10.略6.11.略6.12.略6.13.略6.14.略6.15.略6.16.略6.17.略6.18.略6.19.略6.20.略6.21.略6.22.略6.23.略6.24.略6.25.略6.26.略6.27.略6.28.略6.29.略6.30.略6.31.略6.32.略6.33.略6.34.略6.35.略6.36.略6.37.略6.38.略6.39.略6.40.略6.41.略6.42.略6.43.略6.44.略6.45.略习题七7.1. 已知A={∅,{∅}},求A×P(A).A×P(A)={ 〈 ∅,∅〉,〈∅,{∅}〉,〈∅,{{∅}}〉,〈∅,{∅,{∅}}〉,〈{∅},∅〉,〈{∅},{∅}〉,〈{∅},{{∅}}〉, 〈{∅},{∅,{∅}}〉}7.2. 对于任意集合A,B,C, 若A×B⊆A×C,是否一定有B⊆C 成立? 为什么?不一定, 因为有反例: A=∅,B={1},C={2},B⊆C,A×B=∅=A×C.7.3. 设A, B, C, D 是任意集合,(1) 求证(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D).(2) 下列等式中哪个成立? 那些不成立?对于成立的给出证明, 对于不成立的举一反例.(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×D)(A-B)×(C-D)=(A×C) - (B×D)(1) ∀〈x,y〉〈x,y〉∈(A∩B)×(C∩D) ⇔x∈A∩B∧y∈C∩D⇔ (x∈A∧x∈B) ∧ (y∈C∧y∈D) ⇔ (x∈A∧y∈C) ∧ (x∈B∧y∈D)⇔〈x,y〉∈(A×B) ∧〈x,y〉∈(C×D) ⇔〈x,y〉∈A×B∩C×D(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)(2)都不成立, 反例: A={1,2},B={2,3},C={1,2},D={2,3}(A∪B)×(C∪D)={1,2,3}×{1,2,3}⊃(A×C)∪(B×D)(A-B)×(C-D)={1}×{1}⊂(A×C) - (B×D)7.4. 略7.5. 设A, B 为任意集合, 证明若A×A=B×B, 则A=B.∀x,x∈A⇔〈x,x〉∈A×A⇔〈x,x〉∈B×B⇔x∈BA=B7.6. 列出从集合A={1, 2}到B={1}的所有的二元关系.R1=∅ ,R2={〈1,1〉},R2={〈2,1〉},R3={〈1,1〉,〈2,1〉}.7.7. 列出集合A={2, 3, 4}上的恒等关系I A, 全域关系E A, 小于或等于关系L A, 整除关系D A.I A={〈2,2〉,〈3,3〉,〈4,4〉}E A=A×A={〈2,2〉,〈2,3〉,〈2,4〉,〈3,2〉,〈3,3〉,〈3,4〉,〈4,2〉,〈4,3〉,〈4,4〉}L A={〈2,2〉,〈2,3〉,〈2,4〉,〈3,3〉,〈3,4〉,〈4,4〉}D A={〈2,2〉,〈2,4〉,〈3,3〉,〈4,4〉}7.8. 列出集合A={∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}上的包含关系.R⊆={〈∅,∅〉,〈∅,{∅}〉,〈∅,{∅,{∅}}〉,〈∅,{∅,{∅},{∅,{∅}}}〉,〈{∅},{∅}〉,〈{∅},{∅,{∅}}〉,〈{∅},{∅,{∅},〈∅,{ ∅}〉}〉,〈{∅,{∅}}, {∅,{∅}}〉,〈{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}〉, 〈{∅,{∅},{∅,{∅}}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}〉}7.9. 设A={1, 2, 4, 6}, 列出下列关系R:(1) R={〈x, y〉|x, y∈A∧x+y≠2}(2) R={〈x, y〉|x, y∈A∧|x-y|=1}(3) R={〈x, y〉|x, y∈A∧x/y∈A}(4) R={〈x, y〉|x, y∈A∧y 为素数}(1)R={〈1,2〉,〈1,4〉,〈1,6〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈2,4〉,〈2,6〉,〈4,1〉,〈4,2〉,〈4,4〉,〈4,6〉,〈6,1〉,〈6,2〉,〈6,4〉,〈6,6〉}=E A-{〈1,1〉}(2)R={〈1,2〉,〈2,1〉}(3)R={〈1,1〉,〈2,2〉,〈4,4〉,〈6,6〉,〈2,1〉,〈4,2〉,〈4,1〉}(4)R={〈1,2〉,〈2,2〉,〈4,2〉,〈6,2〉}7.10.略7.11.R i 是X 上的二元关系, 对于x∈X 定义集合R i(x)={y|xR i y}.显然Ri(x) ⊆X. 如果X={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, 且令R1={〈x, y〉|x, y∈X∧x<y}R2={〈x,y〉|x, y∈X∧y-1<x<y+2}R3={〈x,y〉|x, y∈X∧x2≤y}求R1(0), R1(1), R2(0), R2(-1), R3(3).R1(0)={1,2,3,4}R1(1)={2,3,4}R2(0)={ -1,0}R2(-1)={ -2, -1}R3(3)= ∅7.12.设A={0, 1, 2, 3}, R 是A 上的关系, 且R={〈0, 0〉, 〈0, 3〉, 〈2, 0〉, 〈2, 1〉, 〈2, 3〉, 〈3, 2〉}给出R 的关系矩阵和关系图.7.13.设A = {〈1, 2〉, 〈2, 4〉, 〈3, 3〉}B = {〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈4, 2〉}求A∪B, A∩B, dom A, dom(A∪B), ran A, ran B, ran(A∩B), fld(A-B).A∪B={〈1,2〉, 〈1,3〉, 〈2,4〉, 〈3,3〉, 〈4,2〉}A∩B={〈2,4〉}dom A={1,2,3}dom(A∪B)={1,2,3,4}r an A={2,3,4}r an B={3,4,2}r an(A∩B)={4}fld(A-B)={1,2,3}7.14.设R={〈0,1〉,〈0,2〉,〈0,3〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,3〉}求R○R,R-1 ,R†{0,1},R[{1,2}].R○R={〈0,2〉, 〈0,3〉, 〈1,3〉}R-1={〈1,0〉,〈2,0〉,〈3,0〉,〈2,1〉,〈3,1〉,〈3,2〉}R†{0,1}={〈0,1〉, 〈0,2〉, 〈0,3〉, 〈1,2〉, 〈1,3〉}R[{1,2}]={2,3}7.15.设A={〈∅,{∅,{∅}}〉,〈{∅},∅〉}求A-1,A2,A3,A†{∅},A[∅],A†∅,A†{{∅}},A[{{∅}}].A-1={〈{∅,{∅}},∅〉,〈∅,{∅}〉},A2={〈{∅},{∅,{∅}}〉},A3=∅,A†{∅}={〈∅,{∅,{∅}}〉},A[∅]={∅,{∅}},1 2A †∅=∅,A †{{∅}}={〈{∅},∅〉}, A [{{∅}}]=∅7.16.设 A ={a ,b ,c ,d }, R 1,R 2 为 A 上的关系, 其中R 1={〈a ,a 〉,〈a ,b 〉,〈b ,d 〉} R 2={〈a ,d 〉,〈b ,c 〉,〈b ,d 〉,〈c ,b 〉} 2 3求 R 1○R 2, R 2○R 1,R 1 ,R 2 .R 1○R 2={〈a ,a 〉,〈a ,c 〉,〈a ,d 〉}, R 2○R 1={〈c ,d 〉}, R 2={〈a ,a 〉,〈a ,b 〉,〈a ,d 〉}, R 3={〈b ,c 〉,〈b ,d 〉,〈c ,b 〉}237.17.设 A ={a ,b ,c }, 试给出 A 上两个不同的关系 R 1 和 R 2,使得 R 1 =R 1, R 2 =R 2.R 1={〈a ,a 〉,〈b ,b 〉}, R 2={〈b ,c 〉,〈c ,b 〉}7.18.证明定理 7.4 的(1), (2), (4).(1) F ○ (G ∪H )=F ○G ∪F ○H任取〈x ,y 〉,〈x ,y 〉∈F ○ (G ∪H )⇔∃t (〈x ,t 〉∈F ∧〈t ,y 〉∈G ∪H )⇔∃t (〈x ,t 〉∈F ∧ (〈t ,y 〉∈G ∨〈t ,y 〉∈H ))⇔∃t ((〈x ,t 〉∈F ∧〈t ,y 〉∈G ) ∨ (〈x ,t 〉∈F ∧〈t ,y 〉∈H )) ⇔∃t (〈x ,t 〉∈F ∧〈t ,y 〉∈G ) ∨∃t (〈x ,t 〉∈F ∧〈t ,y 〉∈H )) ⇔〈x ,y 〉∈F ○G ∨〈x ,y 〉∈F ○H ⇔〈x ,y 〉∈F ○G ∩F ○H 所以有 F ○ (G ∩H )⊆ F ○G ∩F ○H .(2) (G ∪H ) ○F =G ○F ∪H ○F 任取〈x ,y 〉,〈x ,y 〉∈(G ∪H ) ○F⇔∃t (〈x ,t 〉∈(G ∪H ) ∧〈t ,y 〉∈F )⇔∃t ((〈x ,t 〉∈G ∨〈t ,y 〉∈H ) ∧〈t ,y 〉∈F ))⇔∃t ((〈x ,t 〉∈G ∧〈t ,y 〉∈F ) ∨ (〈x ,t 〉∈H ∧〈t ,y 〉∈F )) ⇔∃t (〈x ,t 〉∈G ∧〈t ,y 〉∈F ) ∨∃t (〈x ,t 〉∈H ∧〈t ,y 〉∈F )) ⇔〈x ,y 〉∈G ○F ∨〈x ,y 〉∈H ○F ⇔〈x ,y 〉∈G ○F ∪H ○F(4) (G ∩H ) ○F ⊆G ○F ∩H ○F 任取〈x ,y 〉,〈x ,y 〉∈(G ∩H ) ○F⇔∃t (〈x ,t 〉∈(G ∩H ) ∧〈t ,y 〉∈F )⇔∃t ((〈x ,t 〉∈G ∧〈t ,y 〉∈H ) ∧〈t ,y 〉∈F ))⇔∃t ((〈x ,t 〉∈G ∧〈t ,y 〉∈F ) ∧ (〈x ,t 〉∈H ∧〈t ,y 〉∈F )) ⇒∃t (〈x ,t 〉∈G ∧〈t ,y 〉∈F ) ∧∃t (〈x ,t 〉∈H ∧〈t ,y 〉∈F )) ⇔〈x ,y 〉∈G ○F ∨〈x ,y 〉∈H ○F ⇔〈x ,y 〉∈G ○F ∪H ○F7.19.证明定理 7.5 的(2), (3).(2) F [A ∪B ]=F [A ]∪F [B ]任取 y ,。

高中数学选修2-3各单元课后巩固及单元测试及答案解析

高中数学选修2-3各单元课后巩固及单元测试及答案解析1-1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1课后巩固1．已知集合A且A中至少有一个奇数，则这样的集合有( ) 新人教A版选修2-3新人教A版选修2-3A．2个 C．4个答案 D解析满足题意的集合A分两类；第一类有一个奇数有{1}，{3}，{1,2}，{3,2}共4个；第二类有两个奇数有{1,3}，所以共有4＋1＝5个．2．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是( ) A．24 C．6 答案 D解析第一步，在B中与A中元素a对应的有4种情况；第二步，在B中与A中元素b 对应的有4种情况，在B中与A中元素c对应的有4种情况，根据分步乘法计数原理可得共有：4×4×4＝64种映射．3．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B．81 D．64 B．3个 D．5个B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( )A．3 C．12 答案 C解析确定A*B中元素(x，y)，可分为两步，第一步，确定x，共有3种方法；第二步确定y，有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有3×4＝12种不同的方法，故选C.4．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有( )A．6种 C．10种答案 B解析找出其父母血型的所有情况分两步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3×3＝9种．5．如图所示，从A→B→C，有________种不同的走法．从A→C，有________种不同的走法．B．9种 D．12种4B．4 D．163答案 4 61-1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理2课后巩固1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A．324 B．328 C．360 答案 B解析若组成没有重复数字的三位偶数，可分为两种情况：①当个位上是0时，共有9×8＝72(种)情况；②当个位上是不为0的偶数时，共有4×8×8＝256(种)情况，综上，共有72＋256＝328(种)情况．2．在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x的项的系数是( ) A．－15 C．－120 答案 A解析根据乘法原理，含x的项是4个因式中取x，余下一个因式取常数项形成的，所以含x的项的系数是(－1－2－3－4－5)，即－15.3．某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有( )A．5种 C．3种答案 C4．春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要争夺5项比赛的冠军，则有________种不同的夺冠情况．答案 45．电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排最多可产生________种不同的信息．答案 2565444D．648B．85 D．274B．4种 D．6种解析 8个位置上的每个位置穿孔或不穿孔都可确定一个信息，故应分步完成确定一个信息，由分步乘法计数原理得2＝256.6．由1,2,3,4可以组成多少个自然数(数字可以重复，最多只能是四位数)?思路分析按自然数的位数多少，可以分为以下四类：一位，二位，三位，四位的自然数，而在每一类中，又可以分成几步进行．解析组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个；第二类：二位自然数，又可分两步来完成．先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)；第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64(个)；第四类：四位自然数，又可分四步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4×4＝256(个)．由分类加法计数原理知，可以组成的不同的自然数为 4＋16＋64＋256＝340(个)．81-2 排列与组合2课后巩固1．5名男生和1名女生排成一排，这名女生不在排头也不在排尾的排法种数有( ) A．720种 C．480种答案 C解析先排女生有A4种，再排5名男生有A5种，共有A4・A5＝480种．2．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( )A．108种 B．186种 C．216种 D．270种答案 B解析可选用间接法解决：A7－A4＝186(种)，故选B.3．用1,2,3,4,5这五个数字可以组成比20 000大，且百位数字不是3的没有重复数字的五位数共有( )A．96个 B．78个 C．72个 D．64个答案 B解析可先考虑特殊位置，分类讨论．331515B．600种 D．240种4．由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于( )A．1 543 B．2 543 C．3 542 D．4 532 答案 C解析千位数为1时组成的四位数有A4个，同理，千位数是2,3,4,5时均有A4＝24(个)数，而千位数字为1,2,3时，从小到大排成数列的个数为3A4＝72，即3 542是第72个(最大)．5．若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数为( )A．20 B．19 C．10 D．9 答案 B解析五个字母中只要确定e和o的位置，另外三个都是r，故有A5＝20种不同排列．其中只有一种是正确的，所以可能出现的错误有20－1＝19种，选B.6．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有________种．答案 240解析 (位置分析法)第一步：从除去甲乙的4人中选1人从事翻译工作，有A4种方法；第二步：从剩余的5人中选3人从事另外三项工作，有A5种方法．∴共有A4・A5＝240种不同的方案．133123331-2 排列与组合3课后巩固1．4名男歌手和2名女歌手联合进行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是( )A．6A3种 C．2A3种答案 D2．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2都不与5相邻的五位数的个数是( )A．36个 C．28个答案 A解析将3、4两个数全排列，有A2种排法，当1,2不相邻且不与5相邻时有A3方法，当1,2相邻且不与5相邻时有A2・A3种方法，故满足题意的数有A2(A3＋A2・A3)＝36个．2223222333B．3A3种 D．A2A4A4种2143B．32个 D．24个3．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________．(用数字作答)思路分析本题以工程问题为背景，是带有多个限制条件的排列组合混合问题，对题目中的3个条件可以采用直接法与插空法．解析依题意可分两类，(1)剩余的两个工程不相邻，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的4个空中(丙、丁之间没有空位，因为工程丁必须在工程丙完成后立即进行)，可得有A4种不同排法；(2)剩余的两个工程相邻(捆绑在一起看做一个元素)，有A4A2种不同排法．综上，符合要求的不同排法有A4＋A4・A2＝20(种)．点评对限制条件的理解是解带有多个限制条件的排列组合混合问题的关键，本题中剩余的两项工程，既可以相邻安排，也可以不相邻安排，学生往往将结果写为A5而出错：“工程丁必须在工程丙完成后立即进行”这一条件也容易被忽视，而得到错误的结果A5＋A5A2＝30.所以对于这一类排列组合混合问题必须认真阅读题目，理解题意．4．从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法有________种．答案 2 500种解析∵1＋100＝101＞100,2＋99>100,2＋100>100，∴1为被加数的有1种，2为被加数的有2种，同理3为被加数的有3种，……，49为被加数的有49种，观察知(1＋2＋…＋50)＋(49＋48＋…＋1)＝2 500种．5．参加完国庆阅兵的7名女兵，站成一排合影留念，要求甲、乙两人之间恰好隔一人的站法有多少种？2122122122解析甲、乙及间隔的1人组成一个“小团体”，这1人可从其余5人中选，有5种选法．这个“小团体”与其余4人共5个元素全排列有A5种排法，它的内部甲、乙两人有A2种站法，故符合要求的站法共有5A5・A2＝1 200种．52521-2 排列与组合4课后巩固1．从长度分别为1,2,3,4的四条线段中任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则等于( )A．01B. 4mn感谢您的阅读，祝您生活愉快。