第2章统计数据的描述

第2章统计数据的描述——练习题

●1.为评价家电行业售后服务的质量，随机抽取了由100家庭构成的一个样本。服务质量的等级分别表示为：A.好；B.较好；C.一般；D.差；E.较差。调查结果如下：

B E

C C A

D C B A E

D A C B C D

E C E E

A D

B

C C A E

D C B

B A

C

D

E A B D D C

C B C E

D B C C B C

D A C B C D

E C E B

B E

C C A

D C B A E

B A

C

D

E A B D D C

A D

B

C C A E

D C B

C B C E

D B C C B C

(1) 指出上面的数据属于什么类型；

(2)用Excel制作一张频数分布表；

(3) 绘制一张条形图，反映评价等级的分布。

解：（1）由于表中的数据为服务质量的等级，可以进行优劣等级比较，但不能计算差异大小，属于顺序数据。

（2）频数分布表如下：

服务质量等级评价的频数分布

服务质量等级家庭数（频数）频率%

A1414

B2121

C3232

D1818

E1515

合计100100

（3）条形图的制作：将上表(包含总标题，去掉合计栏)复制到Excel表中，点击：图表向导→条形图→选择子图表类型→完成(见Excel练习题。即得到如下的条形图：

700716728719685709691684705718

706715712722691708690692707701

708729694681695685706661735665

668710693697674658698666696698

706692691747699682698700710722

694690736689696651673749708727

688689683685702741698713676702

701671718707683717733712683692

693697664681721720677679695691

713699725726704729703696717688

(1)利用计算机对上面的数据进行排序；

(2)以组距为10进行等距分组，整理成频数分布表，并绘制直方图；

(3)绘制茎叶图，并与直方图作比较。

解：（1）排序：将全部数据复制到Excel中，并移动到同一列，点击：数据→排序→确定，即完成数据排序的工作。(见Excel练习题（2）按题目要求，利用已排序的Excel表数据进行分组及统计，得到频数分布表如下：

(见Excel练习题

100只灯泡使用寿命非频数分布

按使用寿命分组（小时）灯泡个数（只）频率（%）

650~66022

660~67055

670~68066

680~6901414

690~7002626

700~7101818

710~7201313

720~7301010

730~74033

740~75033

合计100100

制作直方图：将上表(包含总标题，去掉合计栏)复制到Excel表中，选择全表后，点击：图表向导→柱形图→选择子图表类型→完成。即得到如下的直方图：

(见Excel练习题

（3）制作茎叶图：以十位以上数作为茎，填入表格的首列，将百、十位数相同的数据的个位数按由小到大的顺序填入相应行中，即成为叶，得到茎叶图如下：

第5章 参数估计

●1.某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。

（1） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； （2） 在95%的置信水平下，求允许误差；

（3） 如果样本均值为120元，求总体均值95%的置信区间。 解：（1）已假定总体标准差为σ=15元， 则样本均值的抽样标准误差为

x σσ15=

（2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =，

于是，允许误差是E =

α/2

σ

Z =×=。 （3）已知样本均值为x =120元，置信水平1－α=95%，得 α/2Z =， 这时总体均值的置信区间为

±α/2

x Z ±=124.2115.8

(1)假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。

x σ=

=

= (2)在95％的置信水平下，求边际误差。

x x t σ?=?，由于是大样本抽样，因此样本均值服从正态分布，因此概率度t=2z α

因此，x x t σ?=?2x z ασ=?0.025x z σ=?=×=

(3)如果样本均值为120元，求总体均值 的95％的置信区间。 置信区间为：

(),x x x x -?+?=()120 4.2,120 4.2-+=（，）

可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为（，）元。

利用下面的信息，构建总体均值μ的置信区间：

1） 总体服从正态分布，且已知σ = 500，n = 15， =8900，置信水平为95%。

解： N=15，为小样本正态分布，但σ已知。则1-＝95%，

。其置信区间公式为

∴置信区间为：8900±×500÷√15=（ , ）

2） 总体不服从正态分布，且已知σ = 500，n = 35， =8900，置信水平为95%。

解：为大样本总体非正态分布，但σ已知。则1-＝95%，

。其置信区间公式为

∴置信区间为：8900±×500÷√35=（ ）

3） 总体不服从正态分布，σ未知，n = 35， =8900，s =500，置信水平为90%。

解：为大样本总体非正态分布，且σ未知，1-＝90%，。

2α()

28.109,44.10192.336.10525

10

96.136.1052=±=?±=±n

z x σ

αx x 2α()

28.109,44.10192.336.10525

10

96.136.1052=±=?±=±n

z x σ

αx

其置信区间为：8900±×500÷√35=（8761 9039）

x

4）总体不服从正态分布，σ未知，n = 35，=8900，s =500，置信水平为99%。

解：为大样本总体非正态分布，且σ未知，1-＝99%，。

其置信区间为：8900±×500÷√35=（）

●3.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）：

求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。

解：⑴计算样本均值x：将上表数据复制到Excel表中，并整理成一列，点击最后数据下面空格，选择自动求平均值，回车，得到x=，

⑵计算样本方差s：删除Excel表中的平均值，点击自动求值→其它函数→STDEV→选定计算数据列→确定→确定，得到s=

也可以利用Excel进行列表计算：选定整理成一列的第一行数据的邻列的单元格，输入“＝^2”，回车，即得到各数据的离差平方，在最下行求总和，得到：

∑2

i （x -x ）=

再对总和除以n-1=35后，求平方根，即为样本方差的值

s=

。 ⑶计算样本均值的抽样标准误差： 已知样本容量 n =36，为大样本， 得样本均值的抽样标准误差为 x σ

s

1.6093

⑷分别按三个置信水平计算总体均值的置信区间：

① 置信水平为90%时：

由双侧正态分布的置信水平1－α=90%，通过2β－1=换算为单侧正态分布的置信水平β=，查单侧正态分布表得 α/2Z =，

计算得此时总体均值的置信区间为

±α/2

s

x Z ±×= 3.75652.8769

可知，当置信水平为90%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（，）小时；

② 置信水平为95%时：

由双侧正态分布的置信水平1－α=95%，得 α/2Z =，

计算得此时总体均值的置信区间为

±α/2

s

x Z ±×= 3.84232.7910

可知，当置信水平为95%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（，）小时；

③ 置信水平为99%时：

若双侧正态分布的置信水平1－α=99%，通过2β－1=换算为单侧正态分布的置信水平β=，查单侧正态分布表得 α/2Z =，

计算得此时总体均值的置信区间为

±α/2

s

x Z ±×= 4.00872.6247

可知，当置信水平为99%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（，）小时。

●4.某居民小区共有居民500户，小区管理者准备采取一项新的供水设施，想了解居民是否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。

（1）求总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间，置信水平为95%； （2）如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%，应抽取多少户进行调查 解： 已知总体单位数N =500，重复抽样，样本容量n =50，为大样本，

样本中，赞成的人数为n 1=32，得到赞成的比率为 p =

n 1n =3250

=64%

（1）赞成比率的抽样标准误差为

=%

由双侧正态分布的置信水平1－α=95%，得 α/2Z =，

计算得此时总体户数中赞成该项改革的户数比率的置信区间为

p ±αZ ±×%=77.304%50.696%

可知，置信水平为95%时，总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间为（%,%）。

（2）如预计赞成的比率能达到80%，即 p =80%，

由

得样本容量为 n =

2

0.80.2

(6.788%)?= 取整为35，

即可得，如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%，应抽取35户进行调查。

5.顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有关，比如，银行业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是：所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队等待。为

（1） 构建第一种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间 （2） 构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的知心区间 （3） 根据（1）和（2）的结果，你认为哪种排队方式更好 卷面解答过程： 解：已知n=10

（1） 根据抽样结果计算得

x =

s=

又∵α=，由单方差得总体标准差σ的95%的置信区间为, ；

（2） 根据抽样结果计算得

x =

s=

又∵α=，由单方差得总体标准差σ的95%的置信区间为, 。

（3） 根据上面两道题目的答案可知，第一种排队方式所需等待的时间较为稳定，更为可取。 MINITAB 操作步骤：

（1） 输入数据→统计→基本统计量→单样本t →选择数据→选项：95%

MINITAB 显示： 单样本 T: C1

平均值

变量 N 平均值 标准差 标准误 95% 置信区间 C1 10 ,

（2） 同上

6.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：

来自总体1的样本 来自总体2的样本

141=n 72=n 2.531=x

4.432=x

8.9621=s

0.1022

2=s

（1） 求21μμ-90%的置信区间；

（2） 求21μμ-95%的置信区间。 解：（,）；（,）。

7.一家人才测评机构对随机抽取的10名小企业的经理人采用两种方法进行自信心测试，得到的自信心测试分数如下：

试构建两种分方法自信心平均得分之差95%的置信区间。

解:11)

(x d 21i

=-=

∑n

x i

68.61

)(S 2

d =--=n d d i

因此，均值之差的的置信区间为：

n

s d ?

±)9(t d 0.025

即：9

68.62.262211?

±

8.从两个总体中各抽取一个25021==n n 的独立随机样本，来自总体1的样本比率为%401=p ，来自总体2的样本比率为%302=p 。

（1）构造21ππ-90%的置信区间； （2）构造21ππ-95%的置信区间。 解：（1）10%±%；（2）10%±%。

7．25 从两个总体中各抽取一个12n n =＝250的独立随机样本，来自总体1的样本比例为1p ＝40％，来自总体2的样本比例为2p ＝30％。要求：

(1)构造12ππ-的90％的置信区间。 (2)构造12ππ-的95％的置信区间。 解：总体比率差的估计

大样本，总体方差未知，用z 统计量

p p z ππ---=

()0,1N :

样本比率p1=，p2= 置信区间：

122122p p z p p z αα? ---+ ? 1α-=，2z α=0.025z =

122122p p z p p z αα? ---+ ?

=

0.1 1.645 1.645? -+ ? =（%，%）

1α-=，2z α=0.025z =

122122p p z p p z αα? ---+ ?

=

0.1 1.96 1.96? -+ ? =（%，%）

g ）的数据如下：

1 机器2

。构造两个总体方差比2

221σσ的95%的置信区间。

答案：已知, 1x =，21s =，2x =，2

2s =， 根据自由度n 1 =21-1=20和n 2=21-1=20，当置信区间为95%时，查F 分布表得：F

/2(20)= (20)=，根据

公式)

,(1

),(1222121n n F n n F αα=

-得，F 1-

/2(20)=1/=。

再根据公式212

22122

2122221αασσ-≤≤F s s F s s 得：，即两部机器生产的袋茶重量的总体方差比2

221σσ的95%的置信区间为（，）。

●10.某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为120元，现要求以95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间，并要求允许误差不超过20元，应抽取多少个顾客作为样本

解：已知总体标准差x σ=120，由置信水平1-α=95%，得置信度α/2Z =，允许误差E ≤ 20

即由允许误差公式 E=/2

Z n

x ασ整理得到样本容量n 的计算公式：

n=2(

)E

α/2x

Z σ≥2

(

)20

?1.96120= 由于计算结果大于47，故为保证使“≥”成立，至少应取139个顾客作为样本。 解：2222x

z n ασ

?=

?，1α-=，z α=0.025z =，

2222x

z n ασ

?=

?22

2

1.9612020

?==，取n=139或者140，或者150。

11.假定两个总体的标准差分别为：121=σ，152=σ，若要求误差范围不超过5，相应的置信水平为95%，假定21n n =，估计两个总体均值之差21μμ-时所需的样本容量为多大 解： 57。 n1=n2=()

12

2222122

x x z n ασσ-?+=

?

，1α-=，z α=0.025z =，

n1=n2=()

12

2222122x x z n ασσ-?+=?=

()

2222

1.9612155?+=，取n=57

12.假定21n n =，允许误差05.0=E ，相应的置信水平为95%，估计两个总体比率之差21ππ-时所需的样本容量为多大 解：n1=n2=()()12

2211222

11p p z p p p p n α-?-+-????

=

?

，1α-=，z α=0.025z =，取p1=p2=，

n1=n2=()()12

2211222

11p p z p p p p n α-?-+-????

=?

=

()

2222

1.960.50.50.05

?+=，取n=769，或者780或800。

解： 769。

第六章 假设检验

1.依题意提出的假设 Ho ：μ≤，H1：μ＞ 检验统计量Ζ＝

Ζ＝ p 值==

p<α，拒绝原假设

所以，这个调查能证明“如今每个家庭每天收看电视的平均时间增加了”。

一项包括了200个家庭的调查显示，每个家庭每天看电视的平均时间为小时，标准差为小时。据报道，10年前每天每个家庭看电视的平均时间是小时。取显著性水平，这个调查能否证明“如今每个家庭每天收看电视的平均时间增加了”？

详细答案：

，＝，，拒绝，如今每个家庭每天收看电视的平均时间显著地增加了。

为监测空气质量，某城市环保部门每隔几周对空气烟尘质量进行一次随机测试。已知该城市过去每立方米空气中悬浮颗粒的平均值是82微克。在最近一段时间的检测中，每立方米空气中悬浮颗粒的数值如下（单位：微克）：

根据最近的测量数据，当显著性水平时，能否认为该城市空气中悬浮颗粒的平均值显著低于过去的平均值

详细答案：

，＝，，拒绝，该城市空气中悬浮颗粒的平均值显著低于过去的平均值。

安装在一种联合收割机的金属板的平均重量为25公斤。对某企业生产的20块金属板进行测量，得到的重量数据如下：

假设金属板的重量服从正态分布，在显著性水平下，检验该企业生产的金属板是否符合要求？

详细答案：

，，，不拒绝，没有证据表明该企业生产的金属板不符合要求。

在对消费者的一项调查表明，17%的人早餐饮料是牛奶。某城市的牛奶生产商认为，该城市的人早餐饮用牛奶的比例更高。为验证这一说法，生产商随机抽取550人的一个随机样本，其中115人早餐饮用牛奶。在显著性水平下，检验该生产商的说法是否属实详细答案：

，，，拒绝，该生产商的说法属实。

某生产线是按照两种操作平均装配时间之差为5分钟而设计的，两种装配操作的独立样本产生如下结果：