对函数思想的理解
数学中的五大主要解题思路
数学中的五大主要解题思路数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
今天小编给大家讲讲数学中的五大主要解题思路，希望可以帮助到大家。
函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。
利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。
数形结合思想中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。
它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此我们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。
特殊与一般的思想用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，我们可以直接确定选择题中的正确选项。
不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样精彩。
(某些选择题的最佳方法) 极限思想解题步骤极限思想解决问题的一般步骤为：(1)对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量;(2)确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;(3)构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。
分类讨论思想我们常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。
引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。
在分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。
函数与方程思想
函数与方程的思想 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支. 函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来很强的创新能力. 因此，函数思想是数学高考常考的热点. 函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用.方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．函数思想与方程思想的联系十分密切，解方程()0f x =就是求函数()y f x =当函数值为零时自变量x 的值；求综合方程()()f x g x =的根或根的个数就是求函数()y f x =与()y g x =的图像的交点横坐标或交点个数，正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库.函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．一、函数思想的应用1．显化函数关系在方程、不等式、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而利用函数知识或函数方法解决问题.【例1】已知，，若点在线段上，则的最大值为（）(2,5)A (4,1)B (,)P x y AB 2x y -A.−1B.3C.7D.8【分析】本题是解析几何问题，由所在直线方程可得x 与y 的函数关系，转化为函数求值域的问题。
初中数学中的数学思想
初中数学中的数学思想在初中数学的学习过程中，我们不仅仅是在掌握各种数学知识和解题技巧，更重要的是要领悟其中蕴含的数学思想。
数学思想是数学的灵魂，它能够帮助我们更深入地理解数学的本质，提高我们的思维能力和解决问题的能力。
一、转化思想转化思想是初中数学中最为常见和重要的思想之一。
它的核心在于将一个陌生的、复杂的问题转化为一个熟悉的、简单的问题，从而找到解决问题的方法。
比如，在求解一元二次方程时，我们会通过配方法、公式法等将其转化为一元一次方程来求解。
再比如，在计算图形的面积或体积时，我们常常会将不规则的图形转化为规则的图形，或者将一个复杂的图形分割成几个简单的图形来计算。
例如，求一个不规则四边形的面积，我们可以通过连接对角线，将其分割成两个三角形，然后分别计算两个三角形的面积，最后相加得到四边形的面积。
这种将不规则图形转化为规则图形的方法，就是转化思想的具体应用。
二、分类讨论思想分类讨论思想是根据问题的不同情况进行分类，然后分别对每一类情况进行讨论和求解。
在初中数学中，很多问题都需要用到分类讨论思想。
比如，在绝对值的计算中，需要根据绝对值内的值的正负情况进行分类讨论；在函数问题中，常常需要根据函数的单调性、定义域等进行分类讨论。
以等腰三角形为例，如果已知等腰三角形的两条边长分别为3 和6，求其周长。
这时就需要分类讨论，当腰长为 3 时，因为 3 ＋ 3 ＝ 6，不满足三角形两边之和大于第三边，所以这种情况不成立；当腰长为 6 时，三角形的周长为 6 ＋ 6 ＋ 3 ＝ 15。
三、方程思想方程思想是通过设未知数，根据题目中的等量关系列出方程，然后求解未知数。
方程思想在解决实际问题中非常有用。
比如，行程问题、工程问题、利润问题等都可以通过建立方程来解决。
假设一个工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要多少天完成？我们可以设两人合作需要 x 天完成，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，可以列出方程：（1/10 ＋1/15）x ＝ 1，然后解方程求出 x 的值。
深入浅出二次函数核心思想
深入浅出二次函数核心思想二次函数是数学中经常遇到的一种函数形式，具有许多特殊的性质和重要的应用。
本文将深入浅出地探讨二次函数的核心思想，包括函数的定义、性质、图像、相关定理以及实际应用，旨在帮助读者更好地理解和应用二次函数。
1. 二次函数的定义和性质二次函数是一个以自变量的平方为最高次幂的函数，一般表达式为y=ax^2+bx+c。
其中，a、b和c都是实数，且a不等于0。
二次函数的定义域是全体实数集，值域则取决于二次项系数a的符号。
二次函数的性质包括：- 对称性：二次函数关于抛物线的对称轴对称。
- 单调性：当二次项系数a大于0时，函数开口向上，为上凹函数；当a小于0时，函数开口向下，为下凹函数。
- 零点：二次函数与x轴的交点称为零点，可通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来确定。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，其形状和位置由二次项系数a、一次项系数b和常数项c决定。
根据二次项系数a的值不同，图像可以分为三种情况：- 当a大于0时，抛物线开口向上，图像在坐标系的正部分（y轴上方）。
- 当a小于0时，抛物线开口向下，图像在坐标系的负部分（y轴下方）。
- 当a等于0时，函数退化为一次函数。
通过移动抛物线的顶点和研究抛物线的对称性，可以更好地理解二次函数的图像特征。
3. 二次函数的相关定理二次函数有许多重要的相关定理，其中最著名的是二次函数的最值定理和零点定理。
最值定理指出，对于开口向上的二次函数，其最小值为抛物线的顶点坐标；对于开口向下的二次函数，其最大值也是抛物线的顶点坐标。
零点定理则表明，对于二次函数y=ax^2+bx+c，存在两个根（零点）x1和x2，满足a*x1^2+b*x1+c=0和a*x2^2+b*x2+c=0。
这两个根可以通过求解二次方程来获得。
这些定理在解决二次函数的问题时起到重要的作用，帮助我们确定最值点和求解方程。
4. 二次函数的实际应用二次函数在物理、经济和工程等领域中有广泛的应用。
为什么“函数思想”是高中数学课程的主线之一？
为什么“函数思想”是高中数学课程的主线之一？首都师范大学王尚志为什么把必修1作为其它必修课程的基础？最主要的原因是突出函数的作用和意义。
20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。
克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。
以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分地综合。
”函数思想是贯穿整个高中数学课程始终的重要思想之一。
为了更好的理解高中数学课程，需要弄清中、小学数学课程中函数思想的发展脉络。
（1）在义务教育阶段，特别是在小学时期，数、量、图、数据（一批数）是引导儿童进入数学的源泉。
在开始阶段，数和量常常是交织在一起，通常我们总说数量，数是用来刻画量的大小的一种工具，对于学生来说，我们更需要强调它们之间的联系。
以重量、时间、长度、面积、路程等量为背景，对我们理解数的概念、数的表示、数的运算等是十分重要的。
在日常生活中，有两种量——常量和变量。
在义务教育阶段，首先，帮助学生理解常量，或者理解数量，理解数量的大小，理解数量的加、减、乘、除，等等。
有些量是已知的，有一些是未知的，渗透未知量的概念，这是对量认识的一个飞跃，在小学阶段，经历了一个很长的过程。
例如，在引入减法时，我们常常会使用这样的例子，5加多少等于9，即5+？=9。
现在，在小学5、6年级，初步地形成方程的概念，这是对量认识飞跃的一个标志，对方程的认识也是一个很长的过程，把对方程的认识纳入到函数体系，这是克莱因思想的组成部分，是非常重要的。
在近代数学中，用算子理论认识微分方程，这两者本质上是一样的。
从常量到变量，这是认识函数思想的另一个飞跃。
这件事在小学就开始做了。
通过大量的事实，帮助学生了解在日常生活中存在各种变量，例如，时间，路程、速度、加速度、温度、湿度等等。
有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，速度和湿度就没有依赖关系。
高中数学函数四大思想总结
高中数学函数四大思想总结高中数学函数四大思想是数学教学中的基本思想和方法，包括函数的观念、函数关系的建立、函数的性质及应用。
下面就这四个方面进行详细总结。
函数的观念是指将变量视为独立因素，变量间的依赖关系用函数来描述。
函数的观念的提出，是数学发展的一大突破，它将变量的处理提升到更高的层次。
通过函数的观念，数学家们能够处理更加复杂的问题，从而推动了数学理论的发展。
高中数学教学中，函数的观念贯穿始终，从初中起就开始引入函数的概念，帮助学生建立起独立变量和因变量之间的关系，为后续的学习打下了良好的基础。
函数关系的建立是指通过实际问题将数学和生活相联系，将问题抽象成函数关系的过程。
通过建立函数关系，可以将复杂的问题转化为简单的数学模型，帮助学生理解问题的本质和解决问题的方法。
在高中数学教学中，老师会经常以实际问题为基础，引导学生思考，建立函数关系，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力，提高学生的数学素养。
函数的性质是指函数在变量间的存在性、唯一性和有界性等方面的特点。
通过研究函数的性质，可以深入理解函数与其他数学对象的关系，为解决实际问题提供数学工具。
例如，函数的单调性可以帮助分析变量的变化趋势，函数的奇偶性可以帮助分析函数的对称性，函数的有界性可以帮助分析函数在一定范围内的取值情况。
在高中数学教学中，老师会讲解函数的性质，引导学生通过性质分析问题，加深对函数的理解和应用。
函数的应用是指将函数的理论与实际问题相结合，实现数学在现实中的应用价值。
数学函数在自然科学、社会科学和工程技术等领域中有着广泛的应用，比如经济学中的成本函数、物理学中的运动函数、工程学中的优化问题等等。
高中数学教学中，老师会引导学生将函数应用于实际问题的解决，培养学生的实际问题解决能力和创新能力，提高学生的数学建模能力。
总的来说，高中数学函数四大思想是高中数学教学的核心，它们互为补充、相辅相成。
函数的观念是建立其他三个思想的基础，函数关系的建立将函数的观念应用到实际问题的解决中，函数的性质帮助深入理解函数的本质和应用，函数的应用将函数理论与实际问题相连接。
中学数学课程与教学中的函数及其思想
中学数学课程与教学中的函数及其思想---史宁中教授访谈录20 世纪以来, 世界各国中学数学中关于代数的内容逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心。
[1 ] 现在, 函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一。
因此, 在中学数学课程改革中, 理解函数思想, 把握函数本质, 处理好函数的教学是很重要的。
针对上述问题, 我对史宁中教授进行了访谈, 下面是经过整理后的访谈记录。
一、函数及其思想问: 函数概念是中学数学中最重要的概念之一, 函数定义的形成经历了较长的演变过程,您可以谈谈函数定义的发展历史吗?▲史教授: 是的, 函数定义的形成确实经历了较长的时间。
即使在今天, 在我们数学教科书中, 函数的定义在初中、高中、大学还是有所不同的, 这也从一个侧面反映了函数定义的发展历史。
最初, 是德国数学家莱布尼茨(Leibniz)在他的一部手稿中, 用到了Function 一词。
是用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量, 例如, 切线、法线、次切线等的长度和纵坐标等, 那是在17 世纪(1673 年) 。
[2 ]到了18 世纪(1718 年) ,贝努利(Bernoulli)给出了函数的解析定义: 是由变量x 和常数组成的式子。
欧拉( Euler) 首先给出了函数的变量定义(1755 年) : “如果某变量以如下方式依赖于另一些变量, 即当后者变化时, 前者本身也发生变化, 则称前一个变量是后一些变量的函数。
”可以看到, 我国初中数学教科书中关于函数的定义就采用了这一说法。
后来, 黎曼(Riemann) 给出了函数的对应定义(1851 年) : “我们假定Z 是一个变量, 如果对它的每一个值, 都有未知量W 的一个值与之对应, 则称W 是Z 的函数。
”这可以被看作我国高中数学教科书中关于函数定义的雏形。
到了上个世纪(1939 年) , 布尔巴基学派认为, 函数的定义应当强调关系, 于是借用了笛卡儿积: 若X 、Y 是两个集合, 二者的笛卡儿积是指集合{ ( x , y | x ∈X , y ∈Y) } , 笛卡儿积中的子集F 被称为x 与y 之间的一种关系。
方程和函数思想的关系（摘录）
方程和函数思想的关系（摘录）方程、函数这两个术语在中小学数学组十分常见，也是大多数孩子们最为头疼的两个词，不止一次的问自己：这两个到底是什么东东，它认识我，我不认识它。
王永春（课程教材研究所）1、方程和函数思想的概念方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，他们都可以用来描述现实世界的数量关系，而且他们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。
（1） 方程思想。
含有未知数的等式叫方程，判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件;一个是含有未知数，另一个必须是等式。
如有些小学老师经常有疑问的判断题;x=0和x=1是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。
方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。
方程思想的核心是将问题中未知量用数字以外的数学符号（常用x、y等字母）表示，根据数量关系之间的相等关系构建方程模型。
方程思想体现了已之与未知数的对立统一。
(2) 函数思想。
设集合ab是两个非空数集，如果按照某种确定的对立关系f，如果对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数y和它的对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)。
其中x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与x相对应的y的值叫做函数值，y 的取值范围b叫做值域。
以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个与之对应的函数值也是唯一的。
这样的函数研究的是两个变量之间的关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生了变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。
实际现实中变量的变化而相应变化，这样的函数是多元函数。
虽然在中小学里不学习多元函数，但只机上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系;v=πr2 h.半径和高有一对取值；也就是说，体积随半径和高的变化而变化，通过对这种变化的探究找出对应关系之间的法则，从而构建函数模型。
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界，充斥着等式和不等式。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。
而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。
可以说，函数的研究离不开方程。
列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。
另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
函数的数学思想总结
函数的数学思想总结函数是数学中的一个重要概念，它代表着两组数之间的一种关系。
函数的数学思想涵盖了函数的定义、分类、性质以及函数的应用等方面。
下面我将对函数的数学思想进行总结，并简要解释其重要性。
函数的定义：函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合元素的规则。
函数可以用数学符号表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f表示函数的映射规则。
函数的定义使得我们能够准确描述数学中的一些实际问题，如物理上的运动规律、经济学中的生产关系等等。
函数的分类：函数可以根据其自变量和因变量的性质进行分类。
常见的函数分类包括常值函数、线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等等。
不同类型的函数具有不同的性质和特点，我们可以根据这些性质来解决具体的数学问题。
函数的性质：函数有许多重要的性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
函数的性质是我们研究函数的重要基础，它们帮助我们了解函数的行为和特点，从而更好地应用函数解决问题。
函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的几何表示。
函数的图像使得我们能够直观地了解函数的行为和变化趋势。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数的性质，如函数的增减性、极值、拐点等。
函数的应用：函数在数学中具有广泛的应用。
函数可以用来描述自然界中的现象，如物体在空中的运动、人口的增长等。
函数还可以用来解决实际问题，如优化问题、最大化问题等。
函数在经济学、物理学、工程学等领域都有重要的应用。
函数的推广：函数的数学思想还可以推广到更高的维度。
一元函数是最基本的函数形式，它描述了两个数之间的关系。
多元函数将多个自变量映射到一个因变量，它在向量、矩阵等领域有重要应用。
函数的推广使得我们能够处理更加复杂的数学问题。
函数的重要性：函数是数学中的基本概念之一，它具有广泛的应用和重要的理论意义。
函数的数学思想使得我们能够准确地描述和解决实际问题，为其他数学理论提供了基础。
掌握函数的数学思想是学习和应用数学的关键。
高中数学七大数学基本思想方法
高中数学七大数学基本思想方法（一）第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。
（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。
第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系，形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。
第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。
（2）从具体出发，选取适当的分类。
（3）划分只是手段，分类研究才是目的。
（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。
（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。
第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决题化归为已解决问题。
（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。
（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。
第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。
（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。
（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。
（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。
（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题方向。
第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。
（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。
（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。
函数与方程的思想详解
专题函数与方程思想一、考点回顾函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
二、经典例题剖析(根据近几年高考命题知识点及热点做相应的试题剖析，要求例题不得少于8个)1. (湖北卷)关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( ).A. 0B. １C. ２D. ４解析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.思路分析：1. 根据题意可令｜x 2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t 2－t ＋k ＝0，(*)作出函数t ＝｜x 2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t ＝0或t ＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t ＜1时，原方程有4个根，③当t ＝1时，原方程有3个根.(1)当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个；(2)当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个； (3)当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根；(4)当0＜k ＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x 2－1|＝t 的解有8个，故选A.2. 由函数f(x)＝(x 2－1)2－|x 2－1|的图象(如下图)及动直线g(x)＝k 可得出答案为A.3. 设t ＝|x 2－1|(t≥0)，t 2－t ＋k ＝0，方程的判别式为Δ＝1－4k ，由k 的取值依据Δ＞0、△＝0、△＜0从而得出解的个数.4. 设函数f(x)＝，利用数轴标根法得出函数与x 轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案A. 答案：A点评：思路1、思路2、思路4都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，思路2利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；思路3利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.2. (广东卷)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ). Ａ. 5 Ｂ. 4 Ｃ. 3 Ｄ. 2解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d 据题意得：答案：C点评：运用等差、等比数列的基本量(a 1，d ，q)列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.3. (安徽卷)已知＜α＜π，tanα＋cotα＝－.(１)求tanα的值；(２)求的值.解析：(１)由tanα＋cotα＝－103得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝－13， 又3π4＜α＜π，所以tanα＝－13=为所求.答案： 点评：第(１)问是对方程思想方法灵活考查，能否把条件tanα＋cotα＝－103变形为关于tanα的一元二次方程，取决于解题的目标意识和是否对方程思想方法的深刻把握和理解.4. (江西卷)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值是( ).Ａ. ０ Ｂ. －２ Ｃ. －52Ｄ. －３ 解析：与x 2＋ax ＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加.思路分析：１. 分离变量，有a≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，故选Ｃ.2. 看成关于a 的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a 的范围. 3. 设f(x)＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)＝x 2＋1，g(x)＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52.5. 利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ.答案：Ｃ点评：思路１～４具有函数观点，可谓高屋建瓴.思路５又充分利用了题型特点.5. (全国卷Ⅱ)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两动点，且(λ＞0).过A 、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明为定值； (2)设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f(λ)的表达式，并求S 的最小值.解：(1)证明：由已知条件，得F(0，1)，λ＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).由，得(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，即将①式两边平方并把代入得 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y′＝12x.所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2， 即. 解出两条切线的交点M 的坐标为，所以＝ .所以为定值，其值为0. (2)由(1)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB| |FM|. |FM|＝＝＝＝＝.因为|AF|、|BF|分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝()2.于是S ＝12|AB| |FM|＝12()3由≥2知S≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4.点评：在解析几何中考查三角形面积最值问题是高考的重点和热点，求解的关键是建立面积的目标函数，再求函数最值，至于如何求最值应视函数式的特点而定，本题是用均值定理求最值的.6. 设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( ).Ａ. (－3，0)∪(3，＋∞) Ｂ. (－3，0)∪(0，3)Ｃ. (－∞，－３)∪(3，＋∞) Ｄ. (－∞，－３)∪(０，３)解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x ＜0时，F′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x ＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)，所以选D.答案：D点评：善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数F(x)＝f(x)g(x)，再根据题意明确该函数的性质，然后由不等式解集与函数图象间的关系使问题获得解决的.7. 函数f(x)是定义在［０，１］上的增函数，满足f(x)＝２f(x 2)且f(１)＝１，在每一个区间(］(i ＝１，２……)上，y ＝f(x)的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分.(1) 求f(０)及f(12)，f(14)的值，并归纳出f()(i ＝１，２，……)的表达式； (２)设直线x ＝，x ＝，x 轴及y ＝f(x)的图象围成的梯形的面积为a i (i ＝１，２，……)，记Ｓ(k)＝lim n→∞(a 1＋a 2＋…a n )，求Ｓ(k)的表达式，并写出其定义域和最小值. 解析：以函数为细节，注重命题结构网络化，(１)由f(0)＝２f(０)，得f(０)＝０.由f(１)＝２f(12)及f(１)＝１，得 f(12)＝12f(１)＝12.同理，f(14)＝12f(12)＝14. 归纳得f()＝(i ＝１，２，……).(２)当＜x≤=时，所以｛a n ｝是首项为12(１－k 4)，公比为14的等比数列，所以.Ｓ(k)的定义域为｛k|0＜k≤1｝，当k ＝1时取得最小值12. 点评：高考命题寻求知识网络化已是大势所趋，而函数是把各章知识组合在一起的最好的“粘合剂”.高考试题注重知识的联系，新而不偏，活而不怪.这样的导向，就要求在学习中必须以数学思想指导知识、方法的运用，注意培养我们用联系的观点去思考问题的习惯.8. 对任意实数k ，直线：y ＝kx ＋b 与椭圆：(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 取值范围是 .解析：方法１，椭圆方程为，将直线方程y ＝kx ＋b 代入椭圆方程并整理得. 由直线与椭圆恒有公共点得化简得由题意知对任意实数k，该式恒成立，则Δ′＝12(b－1)2－4［１６－(b－1)2］≤0，即－１≤b≤３方法２，已知椭圆与y轴交于两点(０，－１)，(０，３).对任意实数k，直线：y＝kx＋b与椭圆恒有公共点，则(０，b)在椭圆内(包括椭圆圆周)即有≤1，得－1≤b≤3.点评：方法１是运用方程的思想解题，这是解析几何变几何问题为代数问题的方法.方法２运用数形结合的思想解题，是相应的变代数问题为几何问题的方法.高考试题中设置一题多解的试题就是为了考查学生思维的深度和灵活运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力.评判出能力与素养上的差异.三、方法总结与2008年高考预测(一)方法总结1．函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。
初中数学思想方法
初中数学思想方法数学思想方法是解决数学问题的灵魂，也是把数学知识转化为数学能力的桥梁。
初中数学中常用的思想方法有：整体思想、分类讨论思想、函数思想、方程思想、转化思想、类比思想、分类讨论思想等。
1、整体思想整体思想是从问题的整体性质出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在等，找出解决问题的途径。
2、分类讨论思想当一个问题因为某种量或条件的改变，而引起演变结果的改变时，我们就需要对问题从各种不同的角度或分类讨论加以解决。
3、函数思想用运动变化的观点去分析和研究具体问题中的数量关系，用函数的形式，把这种数量关系用函数表示出来。
4、方程思想方程思想就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组，然后利用方程的理论和方法，使问题得到解决。
5、转化思想转化思想是将要解决的问题转化成一个或几个已经解决的简单问题。
6、类比思想类比是根据两个具有相同或相似性质的事物之间进行比较，从而找到另外一些具有相同或相似性质的事物。
7、分类讨论思想分类讨论是根据所研究对象的差异，将其划分成不同的种类，分别加以研究，从而分解矛盾，化整为零，化一般为特殊，变抽象为具体，然后再一一加以解决。
分类依赖于标准的确定，不同的标准会有不同的分类方式。
总之数学思想方法是分析解决数学问题的灵魂，也是数学知识的精髓，是把数学知识转化为数学能力的桥梁。
一、引言在现今的初中数学教学中，培养学生的数学思想方法已经成为了一个重要的目标。
《初中数学思想方法导引》这本书，以其独特的视角和深入的剖析，成为了初中数学教师的重要参考书籍。
本书主要介绍了初中数学中的各类思想方法，如方程思想、函数思想、化归思想等，对于提高学生的数学素养，增强他们的解题能力，具有极大的指导意义。
二、数学思想方法的重要性数学思想方法是一种对数学规律和数学本质的深刻认识和理解，是对数学知识进行高度概括和抽象的结果。
在初中数学教学中，培养学生的数学思想方法不仅可以提高学生的数学成绩，更重要的是可以培养他们的逻辑思维能力、创新能力和解决问题的能力。
函数思想在初中的意义总结
函数思想在初中的意义总结函数思想在初中的意义总结函数思想是数学中的一种重要思维方式和解决问题的方法，也是现代数学发展的重要标志之一。
在初中阶段，函数思想具有非常重要的意义，它不仅能够帮助学生理解和掌握数学知识，还能培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
以下是我对函数思想在初中阶段意义的总结：首先，函数思想能够加深对数学概念的理解。
函数作为数学中的基本概念之一，是最基础、最重要的数学工具之一，函数思想能够帮助学生对函数的定义、图像和性质有更深入的理解。
通过学习函数的概念，学生不仅能够更好地理解数学中的各种算法和公式的含义，还能够将其应用于实际问题的解决过程中，提高数学应用能力。
其次，函数思想培养了学生的逻辑思维能力。
函数思想要求学生思维清晰、逻辑严谨，要善于运用数学方法和数学语言进行论证和推理。
通过学习和应用函数思想，学生能够锻炼逻辑思维能力，培养自己的合理思考和严密推理的能力。
通过解答函数相关的问题，学生能够理清问题的逻辑关系，找出问题的本质，形成系统的解决问题的方法，提高解决问题的能力。
第三，函数思想能够帮助学生将数学知识与实际问题相结合。
函数思想是数学与实际问题结合的一种有效方式，通过函数的建立和运用，可以将数学知识与实际问题相结合，使得数学不再是一个抽象的概念，而是能够真正应用到实际生活中的工具。
学生通过学习函数的知识和应用，能够运用数学知识解释和分析实际问题，提高数学知识的应用能力，培养解决实际问题的能力。
第四，函数思想促进了数学学科之间的联系。
函数思想是数学学科中的一种跨学科思维方式，它为初中学生打开了数学学科的大门，能够培养学生对数学学科的整体认识和理解。
通过学习函数的知识和应用，学生能够更好地理解和掌握数学学科之间的联系，将不同知识点进行整合，形成系统的数学知识结构，提高数学综合运用能力。
第五，函数思想培养了学生的解决问题的能力。
函数思想是解决问题的一种方法和思维方式，通过学习和应用函数的知识，学生能够培养自己的解决问题的能力。
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用在高中数学教学中，函数是一个非常重要的概念。
函数的思想贯穿于数学的各个领域，不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在解题中也有着广泛的应用。
函数思想在高中数学解题中的应用，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题的效率和准确性。
本文将从函数的定义和特点、函数在高中数学解题中的应用以及相关解题技巧等方面展开探讨，希望能帮助学生更好地理解和应用函数思想。
一、函数的定义和特点在高中数学中，函数是一个非常基础的概念。
函数通常可以用一个数学表达式来表示，它包括自变量和因变量两部分。
自变量是函数中的输入值，而因变量是函数中的输出值。
函数的定义通常是这样的：如果对于每一个属于定义域的自变量x，函数f(x)都有唯一的对应值y，则称函数f是定义在定义域上的。
函数有着许多特点，其中包括单调性、奇偶性、周期性等。
这些特点在解题中都有着非常重要的应用。
通过函数的单调性可以确定函数的增减性，从而帮助我们分析函数的变化趋势；通过函数的奇偶性可以简化函数的运算，减少解题的复杂度；通过函数的周期性可以确定函数的周期，从而帮助我们分析函数的周期性变化规律。
函数思想在高中数学解题中有着广泛的应用，涉及到数学的各个分支，比如代数、几何、概率等。
下面我们就来具体看一下函数在高中数学解题中的应用。
1. 代数方程的解法函数思想在代数方程的解题中有着非常重要的应用。
通过定义函数并建立函数关系，可以将一个复杂的代数方程转化为一个简单的函数关系，从而简化问题的求解过程。
这种方法在解决线性方程组、二次方程、高次方程等代数方程时都有着广泛的应用。
对于一个二次方程ax²+bx+c=0，我们可以定义一个函数f(x)=ax²+bx+c，然后通过函数的性质和特点来确定方程的解的存在性、唯一性和具体的解法。
这种方法不仅可以简化问题的求解过程，而且可以帮助学生更好地理解代数方程的本质和求解方法。
2. 函数图像的分析在高中数学中，函数图像的分析是一个非常重要的内容。
对函数思想的理解
说说你对函数思想的理解。
函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。
具体地说，函数思想体现于：认识到这个世界是普遍联系的，各个量之间总是有互相依存的关系，即“普遍联系”的观点；于“变化”中寻求“规律(关系式)”，即“模式化”思想；于“规律”中追求“有序”“结构化”“对称”等思想；感悟“变化”有快有慢，有时变化的速度是固定的，有时是变动的；根据“规律”判断发展趋势，预测未来，并把握未来，即“预测”的思想。
函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是‘过程’，不变的是‘规律’(关系)”。
学生乐意去发现规律，并能将规律表述出来的意识和能力，就是函数思想在教学中的渗透。
例如我的教学片段：一、二年级，学生认识的加、减二种运算就是算式左端的两个数与右端的一个数之间的“关系”。
比如加法：这是一道看似普通的填空题，这里虽然尚未揭示“函数”概念，可当我们意识到题中对于另一个加数所取的每一个值，都将有唯一的值与之对应，即当一个加数不变时，和是另一个加数的函数时，它就可以作为函数思想的渗透点。
所谓数学思想
所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。
1.函数思想：把某一数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律。
这是最基本、最常用的数学方法。
2.数形结合思想：把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。
例如求根号（(a-1)^2+(b-1)^2）+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值，就可以把它放在坐标系中，把它转化成一个点到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四点的距离，就可以求出它的最小值。
3.分类讨论思想：当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。
比如解不等式|a-1|>4的时候，就要讨论a的取值情况。
4.方程思想：当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。
例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。
另外，还有归纳类比思想、转化归纳思想、概率统计思想等数学思想，例如利用归纳类比思想可以对某种相类似的问题进行研究而得出他们的共同点，从而得出解决这些问题的一般方法。
转化归纳思想是把一个较复杂问题转化为另一个较简单的问题并且对其方法进行归纳。
概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题，如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等。
另外，还可以用概率方法解决一些面积问题。
另外,数学方法即不是能力也不是方法,但它是用来指导方法的.所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
什么是函数思想
什么是函数思想函数的思想方法就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系,通过类比、联想、转化合理地构造函数,运用函数的图像和性质,使问题获得解决。
函数的思想方法是最重要、最基本的数学思想方法之一。
《九年义务教育全日制小学数学课程标准》在基本理念中指出：教师帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法[6]。
这说明了数学思想方法对小学数学学习有着极其重要的作用。
虽然在小学数学中没有正式引入函数概念与函数关系式，但这不等于没有函数的雏形、没有函数思想的存在。
在小学阶段渗透函数思想方法，可以使学生懂得一切事物都是在不断变化、而且是相互联系与相互制约的，从而了解事物的变化趋势及其运动的规律。
这对于培养学生的辩证唯物主义观点、培养他们分析和解决实际问题的能力都有极其重要的意义，而且可以为学生以后进一步学习数学奠定良好的基础。
在小学数学教学中如何渗透函数思想教师澄清了对函数的认识，知道了什么是函数思想及其教育价值，有利于教师站在函数思想的高度审视教材、设计教学。
我们认为在小学数学教学中可以从以下几方面做起。
1.在探索“数与运算”的规律中渗透函数思想在人教版小学数学五年级上册第20页中安排了以下练习。
有些老师让学生计算完毕、答案正确就满足了。
如果我们以函数思想的高度来设计教学，则可以这样做：先计算，后核对答案，接着让学生观察所填答案有什么特点（找规律）并思考这个特点是怎样引起的，然后再出现教科书第24页的如下练习。
虽然学生还没有学过一个数除以小数的计算方法，但可以根据前一题得到的规律加以解决。
这种整合不光是能解决一两个练习的问题，而是让学生从中体会到“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”这种朴素的函数思想，同时为六年级学习正、反比例做了很好的孕伏。
这样做可以把商不变的性质、小数除法、正比例和反比例的相关知识串联起来，使知识脉络化，可以说是一举多得，而这种“得”归根到底是依赖于函数思想而实现的。