18.2.3正方形的性质与判定课件
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18.2.3正方形的性质与判定课件
对称性
轴 对 称 图 形
例1、如图，正方形ABCD中，
正 （1）一条对角线把它分成 个2 全等的三
方
形
角形。 问：这些三角形是什么三角形？
的 性 AA
（2）图中共有__8___
DB
个等腰直角三角形。
（3）对角线AC与正方
质
O
形的一边所成的角为
的
应
BO
C
度。 45
(4) 正方形的面积为64，
用D
C
则正方形对角线
试说明：四边形DEBF是正方形.
解:∵ DF⊥BC,DE⊥AB,
A
∴ ∠DEB= ∠DFB=90°,
又∵ ∠ABC=90°, ∴四边形DEBF是矩形
ED BF C
∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB,
∴ DE= DF
∴四边形DEBF是正方形 第17页，共19页。
小结
性质
图形
对边平行且相等
正方形判定方法
要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 有一个角是直角 （填上一个条件即可）
判定方法2： 一个角为直角的菱形叫正方形
第11页，共19页。
图形之间的变化关系 矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
正方形
菱形
第12页，共19页。
正方形的判定方法 判定方法3：
一组邻边相等且有一个角是直角 的平行四边形是正方形
，
面积为
。
4.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为 AB上任意一点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足, 则PE+PF= 。5cm
第6页，共19页。
4.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意 一点,PE⊥5cAmC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF= 。
18.2.3正方形 正方形的判定(教学课件)-人教版数学八年级下册
探究点
正方形的判定
归纳总结：
（1）四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形 从四边形出发
（2）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边 从平行四边形 形是正方形 出发 （2）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 从矩形出发 对角线互相垂直的矩形是正方形 从菱形出发 对角线相等的菱形是正方形
A
D
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠C,∠B=∠D.
又∠A=90°,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
∴易得∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结：有一个角是直角的菱形是正方形
探究点
正方形的判定
在上面的证明过程中,是分别从矩形、菱形出 发,添加边或角的条件后得到正方形,那么还有没 有通过添加边、角、对角线的条件可以得到其他 判定正方形的方法呢? 大家想一想．
课堂总结
知识结构
四边形
平行四边形
正 矩形 方 菱形
形
课堂总结
知识结构
课堂总结
1. 教材P62习题18.2第13题.
课后作业
1. 如图，E,F,M,N 分别是正方形ABCD四条边上的
点，且AE=BF=CM=DN,试判断四边形EFMN是什么
图形，并证明你的结论. 【选自教材P62，习题18.2第13题】
把能活动的菱形木框的一个角变为直角(如图),
能否得到正方形?
探究点
正方形的判定
2. 有一个角是直角的菱形是正方形
正方形
可以看到,这个变化过程中只要改变菱形的一 个角,就能得到正方形．
下面我们进行证明:
探究点
正方形ppt课件
对角线互相垂直？
❓
矩形：对角线相
等且互相平分
正方形：对角线相
等且互相垂直平分
已知：在矩形ABCD中，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90〫
.
∵AC⊥BD,
A
D
O
∴AC是线段BD的垂直平分线.
同理：BD是线段AC的垂直平分线,
18.2.3 正方形
八年级下
人教版
学习目标
1. 理解正方形的概念，以及它与平行四边形、矩形、菱形之间的关系；
2. 能熟练运用正方形的性质和判定进行计算和证明．
难点
重点
新课引入
正方形是我们熟悉的几何图形，它的边、角有什么特点？
正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
新知学习
一 正方形的定义及其性质
= − = − = m.
∴AB=BC=CD=DA= m，
∴场地的面积为 = ，
对角线的长为 + = .
4.如图，正方形 ABCD，直线l1过点A，直线l2过点C，且l1∥l2,过点D作
PN⊥l1垂足为N，交l2于点P,过点B作QM⊥l1垂足为M，交l2于点Q.
∴∠BAM =∠ADN.
∴△BAM ≌△ADN (AAS) .
∴AM = DN.
同理可证 AN = DP.
∴AM + AN = DN + DP，即 MN = PN.
∴矩形 PQMN 是正方形.
总结：先证出四边形
PQMN 是矩形，再证明
一组邻边相等 (MN = NP).
课堂小结
1. 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
❓
矩形：对角线相
等且互相平分
正方形：对角线相
等且互相垂直平分
已知：在矩形ABCD中，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90〫
.
∵AC⊥BD,
A
D
O
∴AC是线段BD的垂直平分线.
同理：BD是线段AC的垂直平分线,
18.2.3 正方形
八年级下
人教版
学习目标
1. 理解正方形的概念，以及它与平行四边形、矩形、菱形之间的关系；
2. 能熟练运用正方形的性质和判定进行计算和证明．
难点
重点
新课引入
正方形是我们熟悉的几何图形，它的边、角有什么特点？
正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
新知学习
一 正方形的定义及其性质
= − = − = m.
∴AB=BC=CD=DA= m，
∴场地的面积为 = ，
对角线的长为 + = .
4.如图，正方形 ABCD，直线l1过点A，直线l2过点C，且l1∥l2,过点D作
PN⊥l1垂足为N，交l2于点P,过点B作QM⊥l1垂足为M，交l2于点Q.
∴∠BAM =∠ADN.
∴△BAM ≌△ADN (AAS) .
∴AM = DN.
同理可证 AN = DP.
∴AM + AN = DN + DP，即 MN = PN.
∴矩形 PQMN 是正方形.
总结：先证出四边形
PQMN 是矩形，再证明
一组邻边相等 (MN = NP).
课堂小结
1. 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形的性质与判定_优质课件
⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（ 正方形 ）
3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
A
D
F
B
C
E
6、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F. 1)试说明:DE=DF 2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
E
A F D C
B
1
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2cm，如图(2)。 求：AC的长及正方形的面积S。
(13)四个角都相等的四边形是正方形 ( (14)四条边都相等的四边形是正方形 (
) )
×
× ×
× ×
)
选择题:
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等. 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
求证：BM＝CN。
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件?
由正方形可以得到的条件有： AB＝BC，∠1＝∠2＝45 °
条件够吗？
还需要的条件是 AM＝BN
⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（ 正方形 ）
3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
A
D
F
B
C
E
6、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F. 1)试说明:DE=DF 2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
E
A F D C
B
1
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2cm，如图(2)。 求：AC的长及正方形的面积S。
(13)四个角都相等的四边形是正方形 ( (14)四条边都相等的四边形是正方形 (
) )
×
× ×
× ×
)
选择题:
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等. 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
求证：BM＝CN。
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件?
由正方形可以得到的条件有： AB＝BC，∠1＝∠2＝45 °
条件够吗？
还需要的条件是 AM＝BN
18.2.3正方形的性质与判定
18.2.3正方形的性质一、学习准备：1、有一组相等并且有一个角是的平行四边形叫做正方形。
有一个角是的菱形叫做正方形；一组相等的矩形叫做正方形。
2、正方形既是，又是，所以它具有和的性质：（1）正方形的四个角都是，四条边都；（2）正方形的对角线且，每条对角线平分；（3）正方形是图形，的交点是它的对称中心；（4）正方形是图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。
如上图，画出该正方形的对称轴。
3、如图，正方形ABCD的对角线把它分成了个三角形，它们是三角形，它们全等吗？请简单说明理由。
二、学习目标：1．理解正方形的定义，掌握正方形的性质和判定；2．能运用正方形的性质和判定进行简单的计算与证明．三、自学提示：（一）自主学习：1、正方形具有而一般菱形不具有的性质是（）A. 四条边都相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线相等D. 每一条对角线平分一组对角2、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（）A. 四个角相等B. 四条边相等C. 对角线互相平分D. 对角线相等3、已知一个正方形的边长为2cm，则对角线长为。
4、已知一正方形的对角线长为2cm，则它的边长为。
5、若正方形的一条对角线长为4cm ，则正方形的周长为 ，面积为 ；对角线的交点到边的距离为 。
（二）合作探究：6、顺次连接正方形各边中点，得4个等腰直角三角形，则每个小三角形的面积为原正方形面积的 。
7、如图，四边形ABCD 是正方形，∠CAB 是多少度？为什么？至少用两种方法说明理由。
四、学习小结： 五、夯实基础：1、如上图正方形有哪些性质？（1）边的性质： 。
（2）角的性质： 。
（3）对角线的性质： 。
2、正方形是轴对称图形，它的对称轴有 条，正方形也中心对称图形，它的对称中心是 。
3、已知一正方形的对角线长为6cm ，则它的边长为 。
4、选择题（1）正方形的边和对角线构成的等腰直角三角形共有（ ） A 、4个 B 、6个 C 、8个 D 、10个（2）如图，在正方形ABCD 中，∠DAE ＝25°，AE 交对角线BD 于E 点， 那么∠BEC 等于（ ）A 、45°B 、60°C 、70°D 、75°（3）如图，在正方形ABCD 中作等边△AEF ，则∠AFD 的度数为（ ） A 、40° B 、75° C 、50° D 、55°5、如图，在正方形ABCD 是，E 为对角线AC 上一点，连结EB 、ED 。
正方形的性质与判定-ppt课件
∵AF＝5，∴在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．
人教版八年级数学下册第十八章《18.2.3 正方形》优质公开课课件
角三角形．
A
D
思考：图中共有__四____个
O
等腰直角三
B
C
证明：∵四边形ABCD是_正__方__形_____，
∴AC=_B_D___，AC__⊥__BD，AO=_C_O___=_B_O___=_D_O___. ∴△ABO、△_B__C_O__、△_C_D__O__、△_D_A_O___是等腰直角三角 形，且△ABO≌△BCO__≌___△CDO__≌___△DAO.
“引导学生读懂数学书”课题 研究成果配套课件
新课引入 展示目标 研读课文 归纳小结 强化训练
第十课时 § 18.2.3 正方形
一、新课引入
矩形
1.四个角都___相__等___ 性 质
2.对角线__互__相__平__分__
1.有一个角是_直__角___的 __平__行__四__边__形_
判 2.有三个角是_直__角__的 定 ___四__边__形__
_______________
五、强化训练
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分
∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．
C
解：∵∠C=90°，DE⊥BC于E，
DF⊥AC于F
E
∴四边形CEDF有三个直角F，
它是矩形
A
又∵CD平分∠ACB
D
B
根据角平分线上的点都两边的距离相等，可知
二
2、正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系有怎样的
包含关系？请填入下图中.
正
方
平行四边形
形
的 性
菱形
正方形 矩形
质
三、研读课文
例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全
18.2.3正方形的性质与判定
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG ∴∠CEA＝∠ABG (SAS)
3、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在
ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝
ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？
A D
O B C
第二步:写出已知 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, 分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相 ∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. 等第三步：写出求证 ,每条对角线平分一组对角 .平分可以产生线段等量
关系 ,垂直可以产生直角 ,于是可以得到四个全等的等 第四步 :进行证明 ∴ △ABO 、 △BCO、 △CDO、 △DAO都 腰直角三角形. 是等腰直角三角形,并且
矩形
菱形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩 形，也是特殊的菱形。
边: 对边平行 四边相等
角 ：四个角都是直角 对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。 图形的对称性：既是轴对称图形, 又是中心对称图形.
二、正方形的性质:
1、边：四条边都相等且对 边平行;
特殊的平行四边形 特殊的矩形
F D
A
∴四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形 )
例 4
已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上
一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC＝∠AEM＝90° ∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=Rt∠ ∴Rt△CDM≌Rt△ADF ∴DM=DF (ASA) ∴∠MFD＝45°
【人教版】八下数学：18.2.3.1-正方形的性质ppt教学课件
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
归纳：任 何一个 二元一 次方程 都可转 化成
的形式 ,所以 任何一 个二元 一次方 程的图 象都是
坐标，那么坐标平面内由这些点组成 的图形 ，就是 这个函 数的
.① 一般地 ，对于 一个函 数，如 果把自 变量与 函数的 每对对 应值分 别作为 点的 、
学习目标
1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
A
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
D
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
E
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， B
C
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
发现？
〃
正矩方形 形
4、函数的概念：一般地，在一个变化 过程中 ，有 个变量x和 y，对于变量x的每一个 值，变 量 y都 有 叫做当自变量的值为a时的 。
的值和它对应，我们就把x称 为 ，y是x的 。（y称为因变量）如果当 x=a时 y=b, 那么b
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？
归纳总结 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正 矩形 方 菱形
形
平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是 特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
当圆的半径为r时，圆的面积S=
；S随r的变化 （填“变化”或“不变化”）。
人教版八年级下册18.2.3正方形的性质及判定课件
有什么样的收获快来一起分享一下吧 互相
平行四边形
有什么样的收获快来一起分享一下吧
有什么样的收获快来一起分享一下吧
每一条对角线
已知：四边形ABCD为正方形，对角线AC、BD相交于O点
数学 符号
游戏：你说我答
∵四边形ABCD 为正方形 1、理解并掌握正方形的定义、性质及判定；
矩
正
1、理解并掌握正方形的定义、性质及判定； 特殊的四边形，我添加条件使之 重点：正方形的定义、性质和判定方法 特殊的四边形，我添加条件使之
探究1：正方形的定义是什么？请举 例说明生活中常见的正方形有哪些？
正方形 定义：有一组邻边相等，且有
一个角为直角的平行四边形
正方形既是一组邻边相等的矩形，又是一个角为直角的菱形 所以，它既有矩形的性质，又有菱形的性质。
探究2：类比矩形几、种菱特形殊的平性质行，四探边究形正的方性形有质哪些性质 ？
18.2.3 正方形
18.2.3 正方形
【学习目标】
1、理解并掌握正方形的定义、性质及判定； 2、了解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系； 3、能运用正方形的性质解决有关论证和实际应用问题。
【重、难点】
重点：正方形的定义、性质和判定方法 难点：正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系及正 方形性质与判定的灵活应用
有什么样的收获快来一起分享一下吧
已知：四边形ABCD为正方形，对角线AC、BD相交于O点 2、了解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系；
作业：课本P59练习 第1、 2、3题 ∵四边形ABCD 为正方形
（4）对角线相等的菱形
数游求学戏规证则：符：同号桌之△间你A说O一B个、△BOC、△COD、△AOD是全等的等腰直角三角形
人教版八年级下册18.2.3正方形的性质课件
对角线的性质 对角线互相 垂直且相等
对角相等
对角线互相垂直 且每一条对角线 平分一组对角
四个角都是 直角
对角线相等
对角相等
对角线互相 平分
正方形对称性的研究：
正方形有几个对称轴？
正方形既是轴对称图 形又是中心对称图形
PPT模板：www. 1ppt.co m/ mob an/ PPT背景：/beiji ng/ PPT下载：/xiaz ai/ 资料下载：www. 1ppt.co m/zilia o/ 试卷下载：/shiti / 手抄报：/shouc haobao/ 语文课件：/keji an/yuwen/ 英语课件：/keji an/ying yu/ 科学课件：/keji an/kexue/ 化学课件：/keji an/huaxue/ 地理课件：/keji an/dili/
01 学习目标
学习目标：
1. 掌握正方形的定义
2. 掌握正方形的有关性质，并 且要了解正方形与平行四边形， 矩形，菱形之间的关系
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√
A
D
6. 正方形的对角线的长度为8，求正方
形的面积
o
解： 对角线×对角线×½
B
C
所以 8×8×½=32
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已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在 AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判 断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠ABC=∠BCD=90°； AB=AD=DC=BC （正方形的四条边都相等，四个角都是直角） 又∵ AE=BF=CG=DH ∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF 即BE=AH=DG=CF ∴ △AEH≌△BFE≌△CGF ≌△DHG．
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ C ） A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 2.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的周长 2 8cm 4 cm 为 ,对角线长为 2 2cm ,面积为 . 3.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长 2 为 2 2cm ， 面积为 8cm 。 4.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P 为AB上任意一点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为 垂足,则PE+PF=5cm 。
四边形
平行四边形
矩 形
正 方 形
菱 形
4.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上 任意一点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足,则 PE+PF= 5cm。
1 2
探究（一）
矩形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
矩 形
〃
正方形判定方法
要使一个矩形成为正方形需添加 有一组邻边相等 的条件是 （填上一个条件即可）
判定方法1：
∴ EH=EF=FG=GH ∴ 四边形EFGH是菱形
又∵ ∠3+∠2=90°且 ∠1＝∠3 ∴ ∠1+∠2=90° ∴ ∠EFG=90° ∴ 四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的 菱形是矩形）．
3 2 1
变式1.如图，四边形ＡＢＣＤ是 正方形，Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是 四边的中点。你知道四边形EFGH 的形状吗？为什么？
Ａ Ｅ Ｂ
Ｈ
Ｄ Ｇ
Ｆ
Ｃ
2.已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角 平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F. 试说明：四边形DEBF是正方形.
解:∵ DF⊥BC,DE⊥AB, ∴ ∠DEB= ∠DFB=90°, 又∵ ∠ABC=90°, ∴四边形DEBF是矩形
A
B
D F C
∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB, ∴ DE= DF ∴四边形DEBF是正方形
§18.2.3
正方形
正多边形是如何定义的？
1.各边都相等。 2.各角都相等。
正三角形
正方形又该如何定义呢？
A
D
四条边相等且四个
角相等的四边形叫 做正方形。
B C
边 图 形 语 言 文 字 语 言
A D A
性 角
∟D ∟
A
质 对角线
D O
对称性
∟
B
C
B
对边平行， 四条边都相 等
∵四边形ABCD 是正方形
一组邻边相等且有一个角是直角 的平行四边形是正方形
巩固练习：判断下列命题是否正确，不正确 的举出反例，并补充相应的条件使它成为正 方形？ 四个角都相等的四边形是正方形； (×) 四条边都相等的四边形是正方形； (×) 对角线相等的菱形是正方形； (√ ) 对角线互相垂直的矩形是正方形； (√ ) 对角线垂直且相等的四边形是正方形; (×) 四边相等，有一个角是直角的四边形 √ ) 是正方形. (
一组邻边相等的矩形叫正方形
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
正方形判定方法
要使一个菱形成为正方形需
增加的条件是
有一个角是直角
（填上一个条件即可）
判定方法2：
一个角为直角的菱形叫正方形
图形之间的变化关系
矩形
有一组邻边相等
平行四边形
正方形
有一个角是直角
菱形
正方形的判定方法
判定方法3：
小结
性质 图形 平行四 矩形 边形 菱形 正方形
对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分 一组对角
√
√ √
√ √ √ √
√
√ √ √
√ √
√ √ √ √ √ √ √ √
√
正方形、矩形、菱形、平行四边形、四边形五者之间有什么关 系？
例1、如图，正方形ABCD中，
正 （1）一条对角线把它分成 2 个全等的三 方 角形。 问：这些三角形是什么三角形？ 形 （2）图中共有_____ 8 的 A A 个等腰直角三角形。 DB 性 （3）对角线AC与正 O 方形的一边所成的角 质 45 为 度。 O B 的 C (4) 正方形的面积 应 D 为64，则正方形对角 C 用 8 2 线AC=______
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
四 个 角 都是直角
∵四边形ABCD 是正方形
符 号 语 言
∴∠A=∠B=∠C OA=OB=OC=OD =∠D=90°
∟
C
B
C
对角线互相垂直 平分且相等，每 条对角线平分一 组对角
∵四边形ABCD是正方形 ∴AC⊥BD,AC=BD,
轴 对 称 图 形