积分的符号表示法

上和
Un

b
n
a

(M1

M
2
L
Mn)
對於多項式函數 f(x)，其上和與下和的極限是相等的，
即
lim
n
Ln

limU
n
n

s
此共同極限 s 稱為 f (x) 在區間 [a,b] 上的定積分，
並以符號 b f (x)dx 表示。 a
其中 a 與 b 分別稱為該定積分的下限與上限。
八、定積分與反導數
ct
x
g(c)
f (c)
Q
面積 底

高
即 g(c) f (c) ， 所以 g(t) f (t) 。
六、積分即為反導數
g(x)
若
t
f (x)dx g(t)
0
微 則 g(t) f (t) 即 g(x) f (x) 分
積 分
此時 f(x) 為 g(x) 的導函數。
(1) x2 2x 1 (2) 4x3 3x2
(3) x3 2x2 4
解：(1) (x2 2x 1)dx x3 x2 x c 。 3 (2) (4x3 3x2)dx x4 x3 c 。
(3) (x3 2x2 4)dx x4 2x3 4x c 。 43
練習：求拋物線 y=x2，直線 x=1及 x 軸所圍區域的面積。
解：所求面積
y
1
0 f (x)dx
f(x)=x2
1 x2dx 0
f(x)
O
dx
x 1
g(1) g(0) ， 其中 g(x) x3 Q g(x) x2 f (x) 3
13 03 1 。 333

lim
n

n k 1
(
k n
)2

1 n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

1 f (x)dx 1
0
3
。
x
二、定積分的意義
對於任意多項式函數 f(x)，將區間 [a,b] 分割成 n 等分，
若 f(x) 在第 i 等分區間內的最小值為 mi，最大值為 Mi，
則：下和
Ln

b
n
a

(m1

m2
L
mn ) ，
t
f (x)dx
，且
g(t)
f (t) 。
0
說明：面積差
t
c
f (x)dx f (x)dx y
底的差 0
0
tc
y=f(x)
t
c
lim 0 f (x)dx 0 f (x)dx
t c
t c
lim g(t) g(c) tc t c
f(t)
f(c)
O
nn n n n
L


(k
1)b n
2

b n

L


(n
1)b n
2

b n
y=f(x)=x2
n1 ( kb )2 b
b3
n 1
k2
k0 n
n
n3 k 0
…
…
O•0
• b
• 2b
•
•
(k 1)b (n 1)b
x
nn
n
n

b3 n3
(n (
0
令函數 g(t)
t
f (x)dx g(1)
1 f (x)dx ，
0
0
g(2) 2 f (x)dx ， 0
g(3) 3 f (x)dx ， 0
g(4) 4 f (x)dx 。 0
五、微積分基本定理
若函數 f(x) 在閉區間 [a,b] 上連續，
則 g(t)
一、積分的符號表示法
高
我們將
lim
n

n k 1
(
k n
)2

1 n

記為
1 f (x)dx ， 其中 f (x) x2 。
0
底
y
x=1
y
x=1
y=f(x)=x2
高
y=f(x)=x2
(k )2 n
O
1
x
O
n
底
y
x=1
f (x)
dx
x
y=f(x)=x2 O

藍色區域面積
三、曲線下的面積
設多項函數 f(x) 在閉區間 [a,b] 上，f(x)0，且 f(x) 的
圖形與直線 y=0，x=a 及 x=b 所圍成的區域面積為 R，
y
y
y
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
……
R
……
Oa
x
b
O
a
x b
O
a
x b
Ln=紅色長條面積和
Un=藍色長條面積和

lim
n
Ln

lim
n
U
n

R

b f (x)dx 。
a
範例：求 b x2dx 的值，其中 b 0 。 0
解：(1)上和 Un (藍色長條面積和)
(b )2 b ( 2b)2 b (3b)2 b L
n nn nn n
y
x=b
L (kb)2 b L b2 b
y
y
y
y
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
O1
xO
x
2
O
x
3
O
x 4
面積
1
f (x)dx
面積
2
f (x)dx
面積
3
f (x)dx
面積
4
f (x)dx
0
0
0
0
由上可知： t f (x)dx 隨 t 而改變，因此 t f (x)dx 是 t 的函數
0
例如： f(x)=x3 的反導函數為
x4 c 4

x3dx= x4 c 。
4
f(x)=x4 的反導函數為
x5 c

x4dx= x5 c 。
5
5
f(x)=12x2+10x 的反導函數為 4x3 5x2 c
(12x2 10x)dx=4x3 5x2 c 。
範例：求下列函數的反導函數：
1)(n
1 1) 2(n
6
1)
1
)

b3( 2n2
3n 6n2
1)
Q
lim
n
U
n

lim
n
Ln

b3

2 6

b3 3
。
y
f(x)=x2
b x2dx b3 。
0
3
x2
O
dx
x b
四、積分與面積的關係
設多項函數 f(x) 在閉區間 [0,b] 上，b>0，f(x)0，則：
f (x)
並稱 g(x) 為 f(x) 的反導函數， 記為 g(x) f (x)dx 。
例如：f(x)=x2 的反導函數可為 x3 或 x3 1 或 x3 2 或 L
33
3
故 x2 的反導函數表為 x3 c ，其中 c 為常數。 3
即 x2dx= x3 c 。
3
七、反導函數
nn
n
n ( kb)2 b
k 1 n
n
y=f(x)=x2

b3 n3
n
k2
k 1
……
•••
•
•x
O b 2b 3b
kb
b
nn n
n
b3 ( n(n 1)(2n 1))
n3
6

b3
(
2n2
3n 6n2

1)
(2)下和 Ln (紅色長條面積和)
y
x=b
02 b (b )2 b ( 2b)2 b L