线性代数第一章笔记1-1-1
线性代数笔记
线性代数序章线性代数基础知识1.单位矩阵：对角线上均为1，其余元素都是0的n 阶方阵，记作I在矩阵多项式f(A) 中单位阵I 对应代数多项式 f(x) 中的 1，纯量阵kI 对应常数k 2.零矩阵：元素全为0的矩阵，记作O3.矩阵的p 阶子式：设},min{n m L =，指以）（L p a a pp ≤-11的p 个元素为主对角线构成的，含2p 个元素的p 阶方阵的行列式第一篇线性空间第一章向量和向量组1.1 线性组合1.向量组和矩阵的对应关系：一个向量组A 对应一个矩阵的列（或行）向量组A’2.线性表示：如果存在一组数{}i x 使向量∑==ni ii i ax b 1，那么称b 能被向量组A （或记{}i a ）线性表示；也就是线性方程组Ax=b 有解（这也是求坐标表示的方法）3.等价：如果向量组B’中的任何向量b 都能被组A’线性表示，反之亦成立，称组B’和组A’等价； 也就是矩阵方程AX=B 和BX -1=A 都有解，即)()(B r A r = 行向量组等价与矩阵等价的关系：（1）向量组的等价（不要求两个组同向量数）和矩阵的等价（要求两个阵同型）是不同的概念 （2）当两个同型矩阵A ，B 的列向量组等价，A 与B 等价此时：方程Ax=0和Bx=0同解，r(A)=r(B)（3）当矩阵A 与B 等价，经行/列变换得到B ，则A 与B 的行/列向量组等价1.2 线性相关性和秩1.线性相关：对于向量n a a a ,...,,21，如果存在不全为零的实数n k k k ,...,,21使得01=∑=ni ii ak ，那么这些向量线性相关，也就是方程Ak=0有非零解线性无关：对于向量n a a a ,...,,21，如果当且仅当n k k k ,...,,21全为零时，才有01=∑=ni ii ak ，那么这些向量线性无关，也就是方程Ak=0只有零解2.判定方法：如果向量组A 对应的矩阵的秩<向量数，则组A 线性相关； 如果向量组A 对应的矩阵的秩 = 向量数，则组A 线性无关；3.向量组的秩定义：向量组A 中线性无关向量的最大个数，记为r ，A 中任意r+1个向量都线性相关4.向量组与矩阵的秩：矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩1.3 基、维数和坐标1.基：如果向量空间V 中任一向量都可被V 中一线性无关向量组A 线性表示，称组A 为V 的一个基 基变换：设A,B 为V 的两组基，记B A P 1-=为过渡矩阵，则A P B T=2.维数：基中的向量数r （也是基的秩）称为向量空间V 的维数，称V 为r 维向量空间3.坐标：如果向量空间V 中一向量∑==ni ii i ax b 1，且{}i a 是V 的基，则称{}i x 为b 在基A 中的坐标证明向量组A 是空间V 的基，就是要写出V 中任一向量{}i b 在基A 中的坐标表达式坐标变换：设A,B 为V 的两组基，对应坐标为x,y ，记B A P 1-=为过渡矩阵，则x P y 1-=1.4 范数、投影和正交性1.向量的范数：x x xx T ni i==∑=12，n 为向量维数2.广义的向量夹角：ba ba b a T = ,cos ；b 在a 上的投影：a a a b a p T T =3.向量的正交性：两个向量x,y 的点积（或y x T）为零，则两向量正交；零向量没有长度，和所有向量都正交正交和线性相关性：如果一组向量互正交，则它们线性无关4.规范正交基：两两正交的单位基向量组向量的坐标：设q 为规范正交基，若向量∑==n i i i q x b 1，则坐标b q x T i i =或写作b Q x T =5. 基向量的规范正交化：第二章向量空间2.1 向量空间和子空间1.向量空间：对加法和数乘封闭，包含所有n 维实向量的非空集合，记作nR 公理化定义：设V 是一非空集合，R 为实数域； Part1：运算的封闭性若对于任意两个元素V ∈βα,，总有唯一的元素V ∈γ 与之对应，称γ 为βα ,的和；若对于实数λ与任一元素V ∈α，总有唯一的元素V ∈δ与之对应，称δ 为λα,的积；Part2：运算的法则 八条运算律分别为：（1）加法交换律（2）加法结合律（3）加法元为0 （4）元素的负元素唯一 （5）乘法元为1 （6）乘法交换律（7）数乘结合律（8）乘法结合律若和与积运算具备封闭性且满足八条运算律，即称V 为实向量空间，V 中元素称为向量。
线性代数第一章知识点总结
d 1
d2
d
r
,
0
0
即为所求非齐次线性方程组的一个特解．
向量aT (a1 , a2 , , an)的负向量记作 aT ,且 aT (a1 , a2 , , an).
２ 向量的线性运算
向量加法 设 aT (a1 , a2 , , an),bT (b1 , b2 , , bn),定义
向量aT 与bT 的加法为: aT bT (a1 b1 , a2 b2 , , an bn) 向量减法定义为 aT bT (a1 b1 , a2 b2 , , an bn)
c1,n c2,n
1 cr,r 1 , 2 cr,r 1 , , nr c组成 n r阶 单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系
c1,r 1 c2,r1
c1,r 2 c2,r2
定理 (1)若向量组A : a1 , a2 , , am 线性相关,则向 量组B : a1 , a2 , , am , am1也线性相关.反言之,若 向 量 组B线 性 无 关, 则 向 量 组A也 线 性 无 关.
(2)设 a
j
a1 j , b j arj
a1 j
a
a rj
r 1,
６ 向量组的秩
定义 设有向量组A,如果在A中能选出r个向量a1 , a2 , ,ar ,满足
(1)向量组 A0 : a1 , a2 , , ar 线性无关; (2)向量组A中任意r 1个向量(如果A中有r 1 个向量的话)都线性相关, 那么称向量组 A0 是向量组A的一个最大线性 无关向量组(简称最大无关组);最大无关组所含向 量个数r称为向量组A的秩.
Ax b
(4)
解向量 向量方程 (4)的解就是方程组 (3)的解向量．
线性代数第一章知识点总结
(1)
解向量
若 x 1 11 , x 2 21 , , x n n1 为(1)的解, 则 11 21 x 1 n1 称为方程组(1)的解向量, 它也就是向量方程 2) ( 的解.
解向量的性质 性质１ 若x 1 , x 2 为( 2)的解, 则x 1 2 也
a1 j a1 j ( 2)设 a j , b j , ( j 1,2, , m ) a rj a rj a r 1, j 即向量 a j 添上一个分量后得到向 b j .若向量 量
１ 向量的定义
定义
n个有次序的数 a 1 , a 2 , , a n 所组成的 数组称为n维向量.这n个数称为该向量的分量 ,
第i个数 a i 称为第i个分量.
分量全为实数的向量称为实向量． 分量全为复数的向量称为复向量．
n维向量写成列的形式 称为列向量, 即 , a1 a2 a an
若向量空间没有基 那么V的维数为 .0维向 , 0 量空间只含一个零向量 . O 若把向量空间V看作向量组, 则V的基就是
向量组的最大线性无关 ,V的维数就是向量组 组 的秩.
１０ 齐次线性方程组
向量方程
记齐次线性方程组 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n 0, a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0, a m 1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n 0, 的系数矩阵和未知量为
件是矩阵A (a 1 , a 2 , , a m )的秩等于矩阵B (a 1 , a 2 , , a m , b )的秩.
线性代数各章要点整理
第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式和代数余子式的定义2.行列式按一行或一列展开的公式1）2）3.行列式的性质1）2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1.要分清矩阵与行列式的区别2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.3.转置对称阵和反对称阵1）转置的性质2）若A T=A （A T= - A），则称A为对称（反对称）阵4.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，.2）方阵A的伴随阵的定义。
重要公式；与A -1的关系（当方阵A可逆时，）3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.4）逆矩阵的性质：; ; .5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。
（若不知A可逆，仅知A≠0结论不一定成立。
(完整版)线性代数笔记
等行变换，则得到的是 。
对于第二类的可先转化为第一类的 ，即由
两边转置得
按上例的方法求出 进而求出 X
二.初等变换的性质
定理 2.5.1 设线性方程组的增广矩阵 经有限次的初等行变换化为 ，则以 与
为增广矩阵的方程组同解。 定理 2.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换 （包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无
3、矩阵的乘法 设 A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则 A*B=C=（cik）m×l 其中 C=Σaijbjk（j=1，n） 注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换 律，即 AB 不一定等于 BA；矩阵乘法有零因子，即 A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但 有可能 A*B=0（零矩阵） 矩阵的乘法适合以下法则： （1）结合律：（AB）C=A（BC） （2）分配律（A+B）C=AC+BC
hing at a time and All things in their being are good for somethin
此处 0 表示与 A 同型的零矩阵，即 A=（aij）m×n ，0=0m×n （4）矩阵 A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为 A 的负矩阵），则有 A+（-A）=（A）+A=0
如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式 D≠0,则方程组
定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式 D≠0，则该方程组只有零 解，没有非零解。 推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。
第二章 矩阵
一、矩阵的运算
04184线性代数(经管类)课堂笔记-红字重点
04184线性代数(经管类)课堂笔记-红字重点第一章行列式1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1某5某9+2某6某7+3某4某8-3某5某7-1某6某8-2某4某9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如解因为所以8-3a=0，时例2当某取何值时，解：.解得0所以当0它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。
其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j称为列标，它表示这个数在第j列上。
所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。
为叙述方便起见，我们用(i,j)表示这个位置。
n阶行列式通常也简记作。
也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。
（1）在n阶行列式中，划去它的第i行和第j列，余下的数按照原来相对顺序组成的一个(n-1)阶行列式叫元素的余子式，记作例如，在三阶行列式中，的余子式表示将三阶行列式划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的二阶行列式，所以相似地，的余子式表示将三阶行列式划去第二行和第三列后，余下的数组成的二阶行列式。
宋浩线性代数笔记
•⚗线性代数•.⚗ P1 二阶三阶行列式..⚗ 02:48 二阶行列式划线计算.⚗ 15:00 三阶行列式划线计算.⚗ 22:29 N阶行列式预备知识.⚗ 24:21 名场面：宋浩点名田莎莎等.⚗ P2 n阶行列式..⚗ 00:55 N阶行列式计算.⚗ 20:50 下三角行列式.⚗ 23:14 上三角行列式.⚗ 24:40 对角线行列式.⚗ 25:30 副对角线行列式.⚗ 31:00 三角行列式总结.⚗ 31:09 行列式三种定义.⚗ P3 行列式的性质..⚗ 00:25 性质一转置.⚗ 11:48 性质二两行互换.⚗ 20:38 性质三两行相同.⚗ 23:10 性质四行公因子k.⚗ 28:05 性质五两行成比例.⚗ 34:20 性质六和分解.⚗ 43:36 性质七行叠加.⚗ 51:12 行列式值计算通用法.⚗ P4 行列式按行展开..⚗ 04:36 余子式.⚗ 07:42 代数余子式.⚗ 09:38 降阶：行列式按某一行/列展开.⚗ 16:50 异乘变零定理.⚗ 27:17 拉普拉斯定理.⚗ 30:17 拉普拉斯展开定理.⚗ 38:30 同阶行列式相乘.⚗ P5 行列式的计算（一）..⚗ 14:33 纯数字行列式计算.⚗ 21:50 已知行列式求余子式之和.⚗ 30:06 对角线为x，其余为a的行列式计算技巧.⚗ P6 行列式的计算（二）..⚗ 00:00 行列式计算基础思路.⚗ 01:05 三叉形行列式.⚗ 17:42 范德蒙德行列式.⚗ 40:42 反对称行列式.⚗ 43:12 对称行列式.⚗ P7 克莱姆法则..⚗ 00:05 解方程组.⚗ 09:11 解齐次线性方程组.⚗ P8 矩阵概念..⚗ 22:20 矩阵和行列式比较.⚗ P9 矩阵运算（一）..⚗ 00:00 名场面：宋浩免费赠送自制知识卡片.⚗ 02:50 矩阵加减法.⚗ 07:53 矩阵数乘运算.⚗ 13:58 矩阵乘法.⚗ P10 矩阵运算（二）..⚗ 00:00 矩阵幂运算.⚗ 23:49 矩阵转置.⚗ P11 特殊矩阵.⚗ P12 逆矩阵（一）..⚗ 03:04 方阵的行列式.⚗ 12:54 方阵的行列式的性质.⚗ 24:28 伴随矩阵.⚗ P13 逆矩阵（二）..⚗ 10:58 方阵可逆条件.⚗ 21:16 求逆矩阵方法.⚗ 47:33 解矩阵方程常见错误总结.⚗ 54:42 逆矩阵性质.⚗ 66:58 伴随矩阵`A^*`小专题.⚗ P14 分块矩阵..⚗ 00:00 分块要求.⚗ 04:34 标准形.⚗ 09:34 分块矩阵加法.⚗ 10:39 分块矩阵数乘.⚗ 11:12 分块矩阵乘法.⚗ 20:25 分块矩阵转置.⚗ 23:23 拉普拉斯展开定理在分块矩阵中的应用例题.⚗ 39:08 分块矩阵的逆.⚗ P15 初等变换（一）..⚗ 00:00 三种初等变换.⚗ 11:18 初等变换和行列式变换的对比.⚗ 24:50 矩阵化标准型.⚗ 29:45 矩阵等价.⚗ P16 初等变换（二）..⚗ 00:00 初等方阵.⚗ 09:15 初等方阵的行列式和逆矩阵.⚗ 14:56 初等方阵与矩阵做乘法.⚗ 44:13 初等方阵用处.⚗ P17 初等变换（三）..⚗ 00:00 初等变换法求逆矩阵.⚗ 13:51 解题过程总结.⚗ P18 矩阵的秩（一）..⚗ 00:00 k阶子式.⚗ 02:10 矩阵的秩.⚗ P19 矩阵的秩（二）..⚗ 00:00 矩阵的秩.⚗ 07:35 求矩阵的秩.⚗ 14:23 阶梯形矩阵.⚗ 32:09 行简化阶梯形矩阵.⚗ 41:15 求秩方法.⚗ 53:11 秩的性质.⚗ 58:49 广告：宋浩打油诗.⚗ P20 向量的定义..⚗ 10:11 向量定义.⚗ P21 向量间的线性关系（一）..⚗ 00:00 线性关系.⚗ 19:41 向量组的等价.⚗ P22 向量间的线性关系（二）..⚗ 00:00 线性相关与无关.⚗ 16:37 扩大后向量组与原向量组.⚗ 25:40 接长后向量组与原向量组.⚗ 37:20 行列式判断相关.⚗ P23 线性相关线性无关..⚗ 00:00 定理一.⚗ 04:32 定理二.⚗ 13:57 定理三：替换.⚗ 13:57 定理四.⚗ 21:22 推论.⚗ P24 向量组的秩（一）..⚗ 00:00 极大线性无关组.⚗ 08:04 极大线性无关组性质.⚗ 12:45 向量组的秩.⚗ P25 向量组的秩（二）..⚗ 00:00 行秩与列秩.⚗ 07:06 定理.⚗ 11:12 极大线性无关组的求法.⚗ P26 线性方程组..⚗ 00:00 二元一次方程与初等变换.⚗ P27 线性方程组有解判定..⚗ 00:00 有解判定.⚗ P28 齐次方程组的解..⚗ 00:00 齐次方程组.⚗ P29 方程组解的结构（一）..⚗ 00:00 齐次方程组解的结构.⚗ 06:54 基础解系.⚗ 08:56 齐次方程基础解系求法.⚗ 45:26 定理.⚗ P30 方程组解的结构（二）..⚗ 00:00 导出组.⚗ 04:27 非齐次方程组解的结构.⚗ P32 矩阵的特征值与特征向量（一）..⚗ 00:00 矩阵的特征值与特征向量.⚗ 08:35 求特征值.⚗ P33 矩阵的特征值与特征向量（二）..⚗ 00:00 求特征值（计算含参行列式）思路.⚗ 19:40 完整例题求特征值和特征向量.⚗ 43:12 N阶三角形矩阵的特征值.⚗ P34 特征值与特征向量的性质..⚗ 00:00 基本性质.⚗ 47:49 其他性质.⚗ P35 相似矩阵和矩阵可对角化的条件..⚗ 00:00 相似矩阵.⚗ 07:58 相似矩阵的性质.⚗ 22:06 与对角形矩阵相似（对角化）的条件.⚗ 61:47 利用相似矩阵简单求矩阵的高次幂.⚗ P36 实对称矩阵的对角化（一）..⚗ 00:00 实对称矩阵的对角化.⚗ 02:00 内积.⚗ 21:09 向量的长度/范数/模.⚗ P37 实对称矩阵的对角化（二）..⚗ 00:00 模的性质.⚗ 04:16 柯西-施瓦茨不等式.⚗ 08:13 三角不等式.⚗ 09:55 正交/垂直.⚗ 25:10 施密特正交化.⚗ P38 实对称矩阵的对角化（三）..⚗ 00:00 正交矩阵.⚗ 21:38 实对称矩阵的对角化.⚗ 28:48 正交相似.⚗ 31:24 定理.⚗ 32:34 汇总.⚗ P39 二次型定义..⚗ 00:00 判断二次型.⚗ 03:08 n元二次型.⚗ 04:09 二次型的矩阵表达.⚗ 21:30 标准型.⚗ 24:40 线性替换.⚗ 35:38 合同.⚗ 49:00 矩阵间关系总结.⚗ P40 二次型化标准型（配方法）..⚗ 00:00 二次型化标准型的三种方法.⚗ 02:33 配方法.⚗ P41 二次型化标准型（初等变换法和正交替换法）..⚗ 00:00 初等变换法.⚗ 22:00 规范形.⚗ 31:06 正交替换.⚗ End 感谢宋老师~.⚗ Appendix 浩浩卡片☄P1 二阶三阶行列式⌚02:48 二阶行列式划线计算•行列式一定是方的⌚15:00 三阶行列式划线计算•主对角线：╲•副对角线：╲⌚22:29 N阶行列式预备知识•排列：1，2，……，n组成的一个有序数组叫n级排列，中间不能缺数•如3级排列：123，132，213，231，312，321•逆序：大数排在小数前面•逆序数：逆序的总数•奇/偶排列：逆序数为奇/偶•标准排列：123……N•对换：交换排列中的两个数•做一次对换，排列奇偶性改变⌚24:21 名场面：宋浩点名田莎莎等☄P2 n阶行列式⌚00:55 N阶行列式计算•按行展开：•行标取标准排列•列标取排列的所有可能，从不同行不同列取出n个元素相乘•共有N!项•每一项的符号由列标排列的奇偶性决定，偶正奇负⌚20:50 下三角行列式•右上方三角形区域元素全部为0•下三角行列式= 主对角线元素相乘⌚23:14 上三角行列式•左下方三角形区域元素全部为0•上三角行列式= 主对角线元素相乘⌚24:40 对角线行列式•只有主对角线上有数⌚25:30 副对角线行列式•副对角线行列式=(-1)^(n(n-1)/2) * 副对角线元素相乘⌚31:00 三角行列式总结⌚31:09 行列式三种定义• 1.按行展开，符号由列标排列决定• 2.按列展开，符号由行标排列决定• 3.胡乱展开，符号由行标排列逆序数和列标排列逆序数之和决定(-1)^(N(i1,i2,……,iN)+N(j1,j2,……,jN)), i：行标，j：列标☄P3 行列式的性质•行列式对行成立的性质对列也成立⌚00:25 性质一转置•转置：把行按列写•行列式转置后值不变•行列式转置的转置等于本身•行列式两行互换，值变号⌚20:38 性质三两行相同•行列式两行相同，等于0⌚23:10 性质四行公因子k•行列式某行都乘以k，等于用k乘以这个行列式。
《线性代数》学习笔记一
主 题： 《线性代数》学习笔记 内 容：《线性代数》学习笔记一——行列式的定义和性质1、二、三阶行列式的定义解二元线性方程组 a 11x 1+a 12x 2=b 1a 21x 1=a 22x 2=b 2用消元法去x 2得 （a 11a 22-a 12a 21）x 1=b 1a 22-b 2a 12, 消去x 1得 （a 11a 22-a 12a 21）x 2=a 11b 2-a 21b 1, 当a 11a 22-a 12a 21≠0时，得出211222*********a a a a a b a b x --=， 211222111212112a a a a b a b a x --=分子与分母都是由4个数构成的两对乘积之差，例如分母是由方程的4个系数确定的，若将4个系数按出现在方程中的相对位置排成二行（横为行）二列（纵为列）的数表a 11 a 12 a 21 a 22a 11a 22-a 12a 21就是二对角线上两个数乘积之差定义1 a 11a 22-a 12a 12称为由数表 a 11 a 12 a 21 a 22确定的二阶行列式，记作：11122122,,a a a a 改为 11122122a a a a 即1112112212212122a a a a a a a a数a ij (i,j=1,2)称为行列式的元素，a ij 的第一个下标i 称为行标，第二个下标j称为列标，a ij 表示该元素在第i 行，第j 列。
由以上定义知： 222121122221,,a b a b a b a b =- ，221111121211b a b a b a b a =- 把行列式中元素间的逗号去掉，两个元素间应该有空格。
于是以上所得的方程组的解完全可以用行列式表示。
仿照以上解二元联立方程组，用消元法解三元联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 可以引出三阶行列式的概念。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结篇1第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幂知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）第四章线性方程组知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构知识点42：非齐次方程组解的性质及结构知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44：用初等行变换求解线性方程组知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48：特征值与特征向量的概念与性质知识点49：特征值和特征向量的求解知识点50：相似矩阵的概念及性质知识点51：矩阵的相似对角化知识点52：实对称矩阵的相似对角化.知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂第六章二次型知识点54：二次型及其矩阵表示知识点55：矩阵的合同知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系知识点57：二次型的标准形知识点58：用正交变换化二次型为标准形知识点59：用配方法化二次型为标准形知识点60：正定二次型的概念及判断线性代数知识点总结篇2行列式一、行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
1-1(线性代数 第一章)
解
在五级排列 21534 中，构成逆序数对的有 . （21534） =3 21,53,54 因此
在五级排列32541中，构成逆序数对的有32,31
（32541） =6 21,54,51,41,因此
定义3 如果排列 i1 ,i2 ,in 的逆序数为偶数，则
称它为偶排列; 它为奇排列. 例3 试求 123n , nn 1321 ,并讨论其奇偶性. 解 易见在n阶排列1,2,3,…n中没有逆序,所以 如果排列的逆序数为奇数,则称
（is，it ) 的位置，称为一次交换，记为 1,3 如 21534 23514 一般,我们有以下结论.
定理1
任意一个排列经过一次对换后,改变其奇偶性.
定理2
n 2 ),奇偶排列各占一半. 在全部n级排列中(
三、小 结
1.（重点）会求排列的逆序数，会判断排列的奇偶性。
（1）标准排列（偶排列）（2）奇排列（3）偶排列 掌握求排列逆序数的方法
第一章
行列式
行列式是研究线性代数的基础工具，也是线性 代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、工程、 技术及经济等众多领域.
本章首先介绍预备知识，接下来从低价行列式入
手，给出行列式的一般定义；然后讲解行列式的性
质和计算方法；最后研究任意阶线性方程组的行列
式解法------克莱姆法则.
第一章
§1.1
123n 0 ,这是一个偶排列,它具有自然顺序,
故又称为自然排列. 在n,n-1,…3,2,1中,只有逆序,没有顺序,故有
1 (n(n 1) 21) (n 1) (n 2) 2 1 n(n 1) 2
可以看出，排列n,n-1,…3,2,1的奇偶性与n的取 值有关,从而当 n=4k 或 n=4k+1 时这个排列为 偶排列,否则为奇排列. 定义4 排列i1 ,i2 ,in 中，交换任意两数 i t 与 i s
李永乐线代笔记
·第一章节 行列式基础知识：①算逆序的方法：从左到右一个一个看，前面有比此数大的就算一个逆序，最后加起来。
②代数余子式千万别忘记(−1)i +i③行列式两行（列）对换，行列式要变号！ ④克拉默法则：i i =i ii基本行列式的计算： ]①副对角行列式=(−1)i (i −1)2i 1i i 2,i −1···i i1②副对角拉普拉斯：|i i i ∗|=(−1)ii |i ||i | ③范德蒙行列式（首行为1，每列从上往下是等比数列）=∏(i i −i i )1≤i <i ≤i 即针对第二行，每个靠右的都减一次靠左的，然后乘起来。
④特征多项式（三阶）：|ii −i |=i 3−(i 11+i 22+i 33)i 2+i 2i −|i | 其中i 2=|i 11i 12i 21i 22|+|i 11i 13i 31i 33|+|i 22i 23i 32i 33|⑤零多的，直接展开算。
⑥将第一行（列）的k 倍依次加至其余各行（列）。
—⑦将每一行（列）都加到第一行。
⑧逐行（列）相加。
特殊行列式的计算：①∠型行列式，从角（或边）沿第三边方向扫过去，依次把前一行（列）乘上倍数加到后一行（列）上。
②爪型行列式，↖↘头朝主对角线的，化为上（下）三角行列式； ↗↙头朝副对角线的，化为副对角线三角行列式。
③对称征子型（中间斜着三道）行列式，采用逐行相加（上一行乘倍数加到下一行上）的方式化为下三角行列式。
《④对角线为i ，其余都为i 的行列式，每行都减第一行，再每列都加到第一列。
第二章节 矩阵主要公式： ①伴随：ii ∗=i ∗i =|i |i ； i ∗=|i |i −1 ； (i ∗)−1=(i −1)∗=i|i |(i ∗)i =(i i )∗ ； (ii )∗=ii −1i ∗ ； (i ∗)∗=|i |i −2ii (i ∗)={i ，如果i (i )=i1，如果i (i )=i −10，如果i (i )<i −1】②可逆：i−1=i ∗|i |； (ii )−1=1i i −1(i i )−1=(i −1)i ； (i −1)i =(i i)−1[i i i i ]−1=[i −1i i i −1] ； [i i i i ]−1=[i i −1i −1i] ③转置：(i i)i =i ； (ii )i =ii i[i i i i ]i =[i i i i i i i i] ④行列式：#|i i|=|i | ； |i −1|=|i |−1 ； |i ∗|=|i |i −1|ii |=i i |i | ； |ii |=|i |·|i | （行列式没有加减运算） ⑤加与乘(i +i )i =i i +i i ； (ii )i =i i i i(ii )−1=i −1i −1； (iii )−1=i −1i −1i −1； (ii )∗=i ∗i ∗（求逆和伴随没有加法运算）[i i i i ]i =[i ii i i i] （副对角线分块矩阵先平方，化为主对角线，再套公式） … ⑥秩i (i )=i (i i ) ； i (i i i )=i (i )（证明过程见下）：设(i )i iii =0,(ii )ii =0，若α是(ii )的解，显然也是(i )的解；若α是(i )的解，则i ii α=0→i ii ii α=0→(i α)i i α=0→|i α|2=0→i α=0，则α也是(ii )的解，故(i )、(ii )同解。
大一线性代数知识点笔记
大一线性代数知识点笔记一、向量与矩阵1. 向量向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在线性代数中，向量可以表示为一个有序的数组。
向量的加法和数乘运算可通过对应元素的相加和相乘来完成。
2. 向量的内积向量的内积也称为点积，表示为两个向量的数量积。
内积的计算方法是将对应元素相乘再求和。
内积可以用于计算向量的长度、夹角以及投影等。
3. 矩阵矩阵是由数个元素排列成的矩形阵列。
矩阵的加法和数乘运算与向量类似，对应元素相加和相乘。
矩阵的乘法是将矩阵的行与列进行对应元素的乘积再求和。
4. 矩阵的特殊类型- 零矩阵：所有元素均为零的矩阵。
- 单位矩阵：对角线上的元素为1，其余元素为零的矩阵。
- 对称矩阵：矩阵的转置等于它本身的矩阵。
- 反对称矩阵：矩阵的转置等于它的相反数的矩阵。
二、线性方程组1. 线性方程组基本概念线性方程组由多个线性方程组成，其中的未知数之间的关系是线性的。
每个方程对应平面或空间中的一条直线、平面或超平面。
2. 线性方程组的求解- 列主元消元法：通过行变换将线性方程组转化为简化行阶梯形，进而求解。
- Cramer定理：使用行列式的方法求解线性方程组。
- 矩阵的逆：若矩阵存在逆矩阵，则可以通过矩阵的逆求解线性方程组。
三、向量空间与线性映射1. 向量空间向量空间是由满足一定条件的向量组成的集合。
向量空间中的向量支持加法和数乘运算，并满足一定的公理。
2. 子空间子空间是向量空间的一个子集，它本身也是一个向量空间，满足向量加法和数乘的封闭性。
3. 线性映射线性映射是一种将一个向量空间的向量映射到另一个向量空间的操作。
线性映射要求对向量的加法和数乘运算保持线性性质。
四、特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X和一个数λ，使得AX=λX成立，则称λ为矩阵A的特征值，X为对应于特征值λ的特征向量。
2. 特征值与特征向量的计算- 特征值可以通过求解矩阵的特征方程来得到。
线性代数 第一章(知识点汇总)
第一章 行列式1.2排列及其逆序数定义1.1 由n 个不同的数1，2，··· ，n 排成的一个有序数组，称为一个n 级全排列，简称n 级排列。
定义1.2 在一个n 级排列n i i i 21中，如果有某个较大的数t i 排在较小的数s i 的前面，即)(t s i i s t >>时，就称t i 与s i 构成了一个逆序。
一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数。
记为)(21n i i i t 。
定义1.3 逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的排列为偶排列。
规定逆序数为零的排列为偶排列。
定义1.4 在一个排列n t s i i i i 1中，如果互换两个数s i 和t i 的位置，其他的数位置不变，由此得到一个新的排列n s t i i i i 1。
这种变换称为一个对换，记为对换),t s i i （。
定理1.1 任意一个排列经过一次对换后，其奇偶性发生改变。
定理1.2 在全体)1(>n n 级排列中，奇排列与偶排列各占一半。
1.3 n 阶行列式的定义定义1.5 由2n 个元素ij a 组成的符号nnn n nna a a a a a a a a 212222111211称为n 阶行列式。
n 阶行列式的值定义为所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积项nj n j j a a a 2121的代数和，即∑-==nn n j j j nj j j j j j t nnn n nn a a a a a a a a a a a a D 21212121)(212222111211)1(其中)(21n j j j t 为排列n j j j 21的逆序数，和式是对自然数1，2，··· ，n 的所有可能的n 级排列n j j j 21所对应的乘积项求代数和。
在n 阶行列式D 中，横排为行，纵排为列。
),,2,1(n i a ij =称为行列式第i 行，第j 列的元素。
线性代数各章要点整理
第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式和代数余子式的定义2.行列式按一行或一列展开的公式1）2）3.行列式的性质1）2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1.要分清矩阵与行列式的区别2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.3.转置对称阵和反对称阵1）转置的性质2）若A T=A （A T= - A），则称A为对称（反对称）阵4.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，.2）方阵A的伴随阵的定义。
重要公式；与A -1的关系（当方阵A可逆时，）3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.4）逆矩阵的性质：; ; .5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。
（若不知A可逆，仅知A≠0结论不一定成立。
线性代数学习笔记——第一章
线性代数学习笔记——第⼀章线性代数学习笔记——第⼀章⽼规矩，不放图，没找到合适的图床平台⼆阶三阶⾏列式⾏列式⼀定是⽅的。
排列：由1,2,...,n组成的⼀个有序数组叫n级排列，中间不能缺数。
逆序：⼤数排在⼩数前⾯。
逆序数：逆序的总数。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
标准排列：逆序数为0的排列，也称为⾃然排列。
（由n个数构成的逆序数为0的排列称为N级标准排列）对换：交换排列中的两个数。
定理：1、⼀个排列每做⼀次对换，排列奇偶性改变。
2、在所有的N级排列中，奇排列和偶排列的数量相等，各占：n!2。
⼆阶三阶⾏列式按⾏展开：⾏标取标准排列。
列标取排列的所有可能，从不同⾏不同列取出n个元素相乘。
⼀共有N!项。
每⼀项的符号由列标排列的奇偶性决定。
按列展开：列标取标准排列。
⾏标取n级排列的所有可能。
⼀共有N!项。
每⼀项的符号由⾏标排列的奇偶性决定。
既不按⾏展开，也不按列展开：⾏标和列标都取n级排列的所有可能。
⼀共有n!项。
符号由⾏标和列标的奇偶性共同决定。
如下图：特殊结构⾏列式：上三⾓⾏列式下三⾓⾏列式对⾓型⾏列式以上三种的值都为主对⾓线元素相乘。
⼭寨版上三⾓⾏列式⼭寨版下三⾓⾏列式⼭寨版对⾓型⾏列式以上三种的值都等于次对⾓线元素相乘，符号由(−1)n(n−1)2决定。
⾏列式的性质转置：将⾏列式的⾏做成列，转置记作：D T或D'（T表⽰Transformers）。
⾏列式转置后值不变。
⾏列式转置的转置等于本⾝。
性质：⾏列式两⾏互换，值变号。
⾏列式两⾏（列）对应相等，⾏列式等于零。
⾏列式D某⼀⾏（列）元素都乘以数k，等于k乘以⾏列式D。
⾏列式两⾏（列）对应成⽐例，⾏列式等于零。
推论：⾏列式某⾏（列）都为零时，⾏列式为零。
提取公因⼦0，则0提到外⾯后乘以⾏列式肯定等于0。
根据⾏列式展开的定义来理解，展开项不同⾏不同列取到的元素肯定会包含0，所以⾏列式必然等于零。
引申：⾏列式两⾏（列）对应成⽐例；⾏列式两⾏（列）相等；⾏列式某⾏均为零；可以推出⾏列式为零，但是反过来，⾏列式为零，上述三个条件可能都不成⽴。
最完整的线代基础知识点
最完整的线代基础知识点第1章行列式1.1 n阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式起源：发现规律了，继续～从上述推倒可以看出，行列式说白了就是对方程求解的简化过程。
后续的所有变换也都是基于此的。
了解到根源了，就不难理解了。
知识点：（所有的知识其实都是不成体系的，体系都是人为归纳的，其实知识就是一个一个的点而已）1.对角线法则这个法则只能用在二阶和三阶，高阶有另外的算法，后面会介绍到，耐心往下看吧。
以后看到二三阶可以直接用这个算哦。
2.行列式应用（克莱姆法则）法则啥的就是别人先发现了，就是一个规律。
不用理解，直接记住。
（因为本来就是一个现象）小技巧：再算d1d2d3的时候默念一下d1换1（列）d2换2（列）d3换3（列）。
1.1.2 排列既逆序数起源：逆序数为奇数，为奇排列，偶数为偶排列。
知识点：1.任一排列经过对换后，必改变其奇偶性。
2.所有n阶排列中，奇排列与偶排列个数相同，各有n！/2个。
1.1.3 n阶行列式知识点：1.计算方法前面说了，n阶有其他方法，这个就是其中之一不过比较笨重难算一点。
只要看懂这个式子，这节就ok啦，看不懂的可以评论问我。
2.对角行列式对角行列式等于其对角元素的连乘，再加上一个逆序数。
因为除了去取对角之外但凡取到其他位置上的0，就会让这项变成0。
上三角行列式和下三角行列式与对角行列式类似，不能取0。
好题：1.对行列式中数字的选取规则理解如果不用分块矩阵的话，直接从定义出发，三行用两个书，必有一行选不到非零数。
1.2 行列式的性质知识点：1.行列式与它的转置行列式相同，即行与列为完全等价的。
2.互换行列式的两行或两列，行列式值变号3.若行列式有两行或两列元素相同则其行列式的值为04.行列式的某一行中所有元素都乘以k，等于用k数乘行列式5.如果行列式中某一行的元素都为0，则其值为06.若行列式有两列或两行元素成比例，则其为07.若两个行列式除了一行外相同，则可以相合。
相同的行不变，不同的行相加。
线性代数详细知识点
线性代数 第一章 行列式§1 二阶和三阶行列式一、二元一次线性方程组与二阶行列式结论：如果112212210a a a a -≠，如此二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩ 的解为122122*********b a a b x a a a a -=-，1121212112121a b b a x a b b a -=-。
定义：设11122122,,,a a a a ，记11221221a a a a -为11122122a a a a 。
称11122122a a a a 为二阶行列式 有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为112222*********b a b a x a a a a =，111122211122122a b a b x a a a a =二、三阶行列式与三元一次线性方程组定义：111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---定理：如果1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠，如此***123(,,)x x x 是下面的三元线性方程组的解111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 当且仅当*1x =112132222333233/b a a b a a D b a a ,*2x =111132122331333/a b a a b a D a b a ,*3x =111212122231323/a a b a a b D a a b 其中111213212223313233a a a a a a a a a 为系数行列式。
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a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
三阶行列式的计算
a13 a23 .列标 a33 行标 a13 a23 a33
a11 a12 (1)沙路法 D = a21 a22 (1)沙路法 a31 a32
a 11 a 21
a 31
a 12 a 22
a 32
+ + − − − D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
第1章 行列式
第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
(1) a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 . (2 ) (1) × a22 : a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 ,
(2) × a12 :
a12 a22
例如
3 −2 D= =3−(−4) = 7 2 1
与方程组的关系（如不讲则转到第 页 与方程组的关系（如不讲则转到第10页）
a11 x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 = b2 .
若记 系数行列式
D=
a11
a12
a21 a22
若记
或
b1 b2 b 1
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 = b2 b3 b1 D1 = b2 b3 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
的线性方程组, 得一个关于未知数 a , b, c 的线性方程组 又 D = −20 ≠ 0, D1 = −40, D2 = 60, D3 = −20. 得 a = D1 D = 2, b = D2 D = −3, c = D3 D = 1
记
即
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
得
a11 b1 D2 = a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33 a12 a22 a32 b1 b2 . b3
a11 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , ⇒ D3 = a21 a x + a x + a x = b ; a31 31 1 32 2 33 3 3
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a11 a12 D3 = a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33 b1 b2 . b3
b1 D1 = b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
a11 b1 D2 = a21 b2 a31 b3
则三元线性方程组的解为: 则三元线性方程组的解为
D1 x1 = , D
D2 x2 = , D
D3 x3 = . D
1
例２ 计算三阶行列式 解 按对角线法则， 按对角线法则，有
2 -4 1
D= -2 2
-3 4 -2
D = 1 × 2 × ( −2 ) + 2 × 1 × ( −3 ) + ( −4) × ( −2 ) × 4
,
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
D= a11 a 21 a12 a 22 ,
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
D1 = b1 b2 a12 a22 ,
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
a12a21 x1 + a12a22 x2 = b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
（a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 ;
类似地， 类似地，消去 x1，得 （a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 ,
当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时， 方程组的解为
a12 a22
= a11a22 − a12 a21 .
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31, a33
思考题
求一个二次多项式 f ( x ), 使
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( −2 ) × ( −2 ) − ( −4 ) × 2 × ( −3 )
= −4 − 6 + 32 − 4 − 8 − 24
= −14.
1 1
例3 解
1 x = 0. 2 x
求解方程
方程左端
2 3 4 9
D = 3 x 2 + 4 x + 18 − 9 x − 2 x 2 − 12
记 a11
a21 a31
a12 a22 a32
a13 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 (6) a23 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31, a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式. 式称为数表（ 所确定的三阶行列式 三阶行列式.
b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = . ， x2 = a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21
由方程组的四个系数确定. 由方程组的四个系数确定
（3）
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列） 称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3
得
Байду номын сангаас
a11 b1 D2 = a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33 a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
a11 a12 的系数行列式 D = a21 a22 a31 a32
a13 a23 ≠ 0, a33
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 = b2 b3 a11 D = a21 a31 a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a12 a13 a22 a23 a32 a33
+
(2)对角线法则 (2)对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a31
a22 a32
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.
红线上三元素的乘积冠以正号， 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 元素的乘积冠以负号． 说明1 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
f (1) = 0, f (2 ) = 3, f (− 3 ) = 28.
思考题解答
解 设所求的二次多项式为
f ( x ) = ax 2 + bx + c ,
由题意得
f (1) = a + b + c = 0, f (− 3 ) = 9a − 3b + c = 28,
f ( 2 ) = 4a + 2b + c = 3,
解
+ 1 × 2 × 1 − 1 × 1 × ( − 1) − ( − 2 ) × 2 × ( − 1) − 1 × ( − 3 ) × 1 = − 5 ≠ 0,
同理可得
1 −2 1 −2 −2 1 D1 = 1 1 − 3 = −5, D2 = 2 1 − 3 = −10, 0 1 −1 −1 0 −1
三阶行列式包括3! 3!项 每一项都是位于不同行, 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正, 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3