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矩形的判定专项练习题

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矩形的判定专项练习题

矩形的判定专项练习题

矩形判定专题练习题一、选择题(本大题共11小题，共33.0分)1.对角线相等且相互平分四边形是（）A.通常四边形B.平行四边形C.矩形D.菱形2.下列命题正确是（）A.一组对边平行，另一组对边相等四边形是平行四边形B.对角线相互垂直四边形是菱形C.对角线相等四边形是矩形D.一组邻边相等矩形是正方形3.图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②假如∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③假如AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④假如∠BAC=90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确是（）A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④4.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确是（）A.当AB=AD时，它是菱形B.当AC=BD时，它是正方形C.当∠ABC=90°时，它是矩形D.当AC⊥BD时，它是菱形5.四边形ABCD对角线AC、BD相互平分，要使它成为矩形，需要添加条件是（）A.AB=CDB.AC=BDC.AB=BCD.AC⊥BD6.下列说法正确是（）A.对角线相互垂直四边形是菱形B.对角线相等四边形是矩形C.三条边相等四边形是菱形D.三个角是直角四边形是矩形7.下列说法正确个数为（）个①两组对边分别相等四边形是平行四边形②对角线相等四边形是矩形③对角线相互垂直平行四边形是菱形④正方形是轴对称图形，有2条对称轴．A.1B.2C.3D.48.图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加条件是（）A.AB∥CDB.AB=CDC.AC⊥BDD.AC=BD9.依据下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形是（）A.AB=CD，AD=BCB.AB=BCC.AC=BDD.AB∥CD，AD∥BC10.平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，假如添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A.AB=BCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB⊥BD11.若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足（）A.对角线相等B.对角线相互平分C.对角线相互垂直D.对角线相等且相互平分二、填空题(本大题共5小题，共15.0分)12.已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上中线，四边形ADBE是平行四边形．则平行四边形ADBE是_______形．13.在平行四边形ABCD中，补充一个条件_____________________ ，即可得平行四边形ABCD是矩形．14.直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，已知DF=3，则AE= ______ ．15.图，△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=6，点D是AC上任意一点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF最小值是______ ．16.图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，在不添加任何辅助线和字母情况下，请添加一个条件，使▱ABCD变为矩形，需添加条件是______ （写出一个即可）．三、计算题(本大题共1小题，共6.0分)17.图，菱形ABCD对角线AC和BD交于点O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OBEC是矩形．四、解答题(本大题共8小题，共66.0分)18.图，在▱ABCD中，已知E为BC中点，连接AE并延长交DC延长线于点F，连接BF．（1）求证：AB=CF；（2）当BC和AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．19.平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE面积．20.图，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．21.图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F为AB上两点，且△DAF≌△CBE．求证：四边形ABCD是矩形．22.图，点P是R t△ABC斜边AB上一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，BC=5，AC=12，求线段EF长度最小值．23.图，四边形ABCD，∠B=∠D=90°，AB=CD，问四边形ABCD是矩形吗？说明你理由．24.图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）假如AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形．25.△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA平分线于E，交∠DCA平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证实你结论．。

矩形的判定练习

矩形的判定练习

矩形的判定（练习一）1、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是___________。

2、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，∠A=90．要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是___________。

3、木工周师傅计划做一个长方形桌面，实际测量得到桌面的长为80cm，宽为60cm，对角线为120cm，这个桌面___________（“合格”或者“不合格”）4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE 是矩形．5、如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=CD，问四边形ABCD是矩形吗？说明你的理由。

6、如图，点B、O、C三点共线，OE、OD分别平分∠AOB和∠AOC，且OE∥AD，AE∥OD；求证：四边形ADOE是矩形。

7、如图：口ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，求证：四边形DEBF是矩形90。

求证：四边形ABCD 8、如图，在四边形ABCD中，BF=DE，AC和EF互相平分并交于点O，∠B=0是矩形9、已知如图：口ABCD中，各内角的角平分线相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH是平行四边形．10、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，求证：四边形ADCE为矩形；11、如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：（1）四边形BCDE是平行四边形．（2）口BCDE是矩形矩形的判定（练习二）1、如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°B．AB∥CD，AB=CD，AB⊥ADC．AO=BO，CO=DO D．AO=BO=CO=DO2、检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（）A．测量两条对角线，是否相等B．测量两条对角线，是否互相平分C．测量门框的三个角，是否都是直角D．测量两条对角线，是否互相垂直3、如图，在口ABCD中，∠1=∠2，此时，四边形ABCD是矩形吗？请说明理由。

初二矩形性质及判定练习题

初二矩形性质及判定练习题

初二矩形性质及判定练习题
1. 矩形的定义
矩形是一个拥有四个直角的四边形。

它的特点是相邻的边相互垂直，所有的内角都是直角。

2. 矩形的性质
- 对角线相等：矩形的两条对角线相等，即AC = BD。

- 边相等：矩形的相对边相等，即AB = CD，BC = AD。

- 对角线互相平分：矩形的两条对角线都是互相平分对方的。

换句话说，AC平分BD，BD平分AC。

- 对角线垂直：矩形的两条对角线互相垂直，即∠ACD =
∠BAC = 90°，∠BCD = ∠ABD = 90°。

3. 判定矩形的条件
要判定一个四边形是否是矩形，需要满足以下条件之一：
- 四个内角都是直角。

- 对角线相等且互相平分对方。

- 两对相对边相等且平行。

4. 练题
1. 判断下列四边形是否是矩形：
- 一个有两对相对边分别相等且平行的四边形。

对角线不相等。

- 一个拥有四个直角的四边形。

对角线相等。

- 一个有两个内角不是直角的四边形。

对角线垂直且互相平分。

答案：
- 不是矩形。

- 是矩形。

- 不是矩形。

2. 画出一个矩形，标出其对角线和内角。

答案：
请自行练画图，标出对角线（AC和BD）和内角（如∠BAC
和∠BCD等）。

5. 总结
矩形是一个拥有四个直角的四边形，具有对角线相等且互相平
分对方、边相等和对角线垂直等性质。

要判定一个四边形是否是矩
形，可以根据四个内角是否都是直角、对角线的情况以及边的情况进行判断。

矩形的性质与判定练习题

矩形的性质与判定练习题

矩形的性质与判定练习题矩形是几何学中常见的形状之一，具有许多独特的性质和特点。

在本文中，我们将通过一些练习题来探讨和判定矩形的性质。

请阅读以下练习题并回答。

练习题一：判断矩形1. 给定四个点A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(1, 4)，请判断这四个点能否构成一个矩形。

练习题二：矩形的性质1. 一条直线分割一个矩形，使其成为两个等面积的小矩形。

证明这条直线必定是通过矩形的中心点。

2. 如果一条直线沿着矩形的一条边切割，那么它将会切成两个全等的小矩形。

3. 证明：一个矩形的对角线相等。

练习题三：矩形的判定1. 给定四个点A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(1, 4)，请判断这四个点能否构成一个正方形。

2. 如果一条矩形的两条对边相等且平行，则它必定是一个正方形。

练习题四：矩形的角度1. 一个矩形的四个内角的和是多少度？2. 证明：一个矩形的内角都是直角（90度）。

练习题五：矩形的边长关系1. 一个矩形的两条对边的长度分别是a和b，它的对角线的长度是多少？2. 如果一个矩形的一边的长度是a，另一条边的长度是b，那么它的面积是多少？练习题六：矩形的面积1. 已知一个矩形的长为5cm，宽为3cm，求它的面积。

2. 如果一个矩形的面积是24平方单位，且长比宽多2个单位，求矩形的长和宽。

根据上述练习题，我们可以通过判断和计算来了解矩形的性质和特点。

矩形具有对角线相等、相对边平行、内角为直角等特点，这些性质可以帮助我们对矩形进行判定和计算。

答案：练习题一：可以构成一个矩形；练习题二：1. 通过矩形的对角线可以证明；2. 正确；3. 通过矩形的对角线可以证明；练习题三：1. 不能构成一个正方形；2. 正确；练习题四：1. 360度；2. 通过矩形的对角线可以证明；练习题五：1. 对角线的长度可以通过勾股定理计算：√(a^2 + b^2)；2. 面积可以通过长乘宽计算：a * b；练习题六：1. 面积等于长乘宽：5cm * 3cm = 15平方厘米；2. 设矩形的宽为x，则长为x+2，根据面积的计算公式得到：(x+2) * x = 24，解得x=4，所以矩形的长为6，宽为4。

初二数学矩形的判定作业练习题(含答案)

初二数学矩形的判定作业练习题(含答案)

初二数学矩形的判定作业练习题一．选择题（共5小题）1．能判定一个平行四边形是矩形的条件是( )A ．两条对角线互相平分B ．一组邻边相等C ．两条对角线相等D ．两条对角线互相垂直2．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是( )A ．AB CD = B ．AC BD = C ．AB BC = D ．AC BD ⊥3．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是( )A ．一般平行四边形B ．一般四边形C ．对角线垂直的四边形D ．矩形4．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是( )A ．测量其中三个角是否都为直角B ．测量对角线是否相等C ．测量两组对边是否分别相等D ．测量对角线是否相互平分5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是( )A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD = C ．AD AB = D ．BAD ADC ∠=∠二．填空题（共5小题）6．要使ABCD Y 为矩形，则可以添加一个条件为 7．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是 ．8．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O 且AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是 （填写一个即可）．9．如图，在ABC ∆，AB AC =，点D 为BC 的中点，AE 是BAC ∠外角的平分线，//DE AB 交AE 于E ，则四边形ADCE 的形状是 ．10．对角线 的四边形是矩形．三．解答题（共3小题）11．在平行四边形ABCD中，6AD=．求证：平行四边形ABCD是矩形．AC=，8AB=，1012．如图，AC是ABCD=，连接DEY的对角线，延长BA至点E，使AE AB（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；（2）连接EC交AD于点O，若2∠=∠，求证：四边形ACDE是矩形．EOD B13．如图，AD是ABC=．AE BC，BE交AD于点F，且AF DF∆的中线，//（1）求证：AFE DFB∆≅∆；（2）求证：四边形ADCE是平行四边形；（3）当AB、AC之间满足条件_______________时，四边形ADCE是矩形．答案与解析一．选择题（共5小题）1．能判定一个平行四边形是矩形的条件是()A．两条对角线互相平分B．一组邻边相等C．两条对角线相等D．两条对角线互相垂直【分析】根据平行四边形的判定（对角线互相平分），矩形的判定（对角线互相平分且相等），菱形的判定（对角线互相平分且垂直或一组邻边相等的平行四边形）判断即可．【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形不一定是矩形，故本选项错误；C、根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；D、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误．故选：C．2．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是() A．AB CD⊥=D．AC BD=B．AC BD=C．AB BC【分析】由平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定方法即可得出结论．【解答】解：需要添加的条件是AC BD=；理由如下：Q四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，AC BDQ，=∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：B．3．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是()A．一般平行四边形B．一般四边形C．对角线垂直的四边形D．矩形【分析】由于平行四边形的邻角互补，那么每两条相邻的内角平分线都互相垂直，则围成四边形就有4个直角，因此这个四边形一定是矩形．【解答】解：如图；Q四边形ABCD是平行四边形，∴∠+∠=︒；DAB ADC180Q、DH平分DABAH∠、ADC∠，EHG∠=︒；∴∠+∠=︒，即90HAD HDA90同理可证得：90∠=∠=∠=︒；HEF EFG FGH故四边形EFGH是矩形．故选：D．4．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是()A．测量其中三个角是否都为直角B．测量对角线是否相等C．测量两组对边是否分别相等D．测量对角线是否相互平分【分析】由矩形的判定定理和平行四边形的判定定理即可得出答案．【解答】解：A、测量其中三个角是否都为直角，能判定矩形；B 、测量对角线是否相等，不能判定平行四边形；C 、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；D 、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；故选：A ．5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是( )A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD = C ．AD AB = D ．BAD ADC ∠=∠【分析】本题考查的是矩形的判定，平行四边形的性质有关知识，利用矩形的判定，平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可解答．【解答】解：A ．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项不符合题意；B ．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项不符合题意；C ．不能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项符合题意；D ．平行四边形ABCD 中，//AB CD ，180BAD ADC ∴∠+∠=︒，又BAD ADC ∠=∠Q ，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项不符合题意． 故选：C ．二．填空题（共5小题）6．要使ABCD Y 为矩形，则可以添加一个条件为 对角线相等或有一个直角；【分析】根据矩形的判断方法即可解决问题；【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，故答案为对角线相等或有一个直角；7．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是 对角线相等的平行四边形是矩形 ．【分析】根据矩形和平行四边形的判定方法填空即可．【解答】解：先测量两组对边是否分别相等，可判定是否是平行四边形，然后测量两条对角线是否相等可判定是否是矩形，所以这样做的依据是：对角线相等的平行四边形是矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．8．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O 且AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是 AC BD =或有个内角等于90度 （填写一个即可）．【分析】因为在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，所以四边形ABCD 是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．【解答】解：Q 对角线AC 与BD 互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，要使四边形ABCD 成为矩形，需添加一个条件是：AC BD =或有个内角等于90度．故答案为：AC BD =或有个内角等于90度．9．如图，在ABC ∆，AB AC =，点D 为BC 的中点，AE 是BAC ∠外角的平分线，//DE AB 交AE 于E ，则四边形ADCE 的形状是 矩形 ．【分析】首先利用外角性质得出B ACB FAE EAC ∠=∠=∠=∠，进而得到//AE CD ，即可求出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE 是平行四边形，即可求出四边形ADCE 是矩形．【解答】证明：AB AC =Q ，B ACB ∴∠=∠，Q 点D 为BC 的中点，90ADC ∴∠=︒，AE Q 是BAC ∠的外角平分线，FAE EAC ∴∠=∠，B ACB FAE EAC ∠+∠=∠+∠Q ，B ACB FAE EAC ∴∠=∠=∠=∠，//AE CD ∴，又//DE AB Q ，∴四边形AEDB 是平行四边形，AE ∴平行且等于BD ，又BD DC =Q ，AE ∴平行且等于DC ，故四边形ADCE 是平行四边形，又90ADC ∠=︒Q ，∴平行四边形ADCE 是矩形．即四边形ADCE 是矩形．故答案为矩形．10．对角线 互相平分且相等 四边形是矩形．【分析】根据矩形的判定可得对角线互相平分且相等的四边形为矩形．【解答】解：由对角线互相平分且相等的四边形为矩形可知，故填：互相平分且相等．三．解答题（共3小题）11．在平行四边形ABCD 中，6AB =，10AC =，8AD =．求证：平行四边形ABCD 是矩形．【分析】根据勾股定理的逆定理得到90ABC ∠=︒，从而判定矩形．【解答】解：10AC =Q ，10BD AC ∴==，6AB =Q ，8AD =，222AC AB BC ∴=+，90ABD ∴∠=︒，∴平行四边形ABCD 是矩形．12．如图，AC 是ABCD Y 的对角线，延长BA 至点E ，使AE AB =，连接DE（1）求证：四边形ACDE 是平行四边形；（2）连接EC 交AD 于点O ，若2EOD B ∠=∠，求证：四边形ACDE 是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB CD =，//AB CD ，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形ACDE 是平行四边形；（2）由三角形的外角可证ADC OCD ∠=∠，可得OC OD =，即可得AD EC =，可证四边形ACDE 是矩形．【解答】证明：（1）Q 四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AB CD ，AE AB =Q ，AE CD ∴=，且//AB CD ，∴四边形ACDE 是平行四边形；（2）Q 四边形ABCD 是平行四边形，B ADC ∴∠=∠，2EOD B ∠=∠Q2EOD ADC ∴∠=∠，且EOD ADC OCD ∠=∠+∠， ADC OCD ∴∠=∠，OC OD ∴=，Q 四边形ACDE 是平行四边形；AO DO ∴=，EO CO =，且OC OD =， AD CE ∴=，∴四边形ACDE 是矩形．13．如图，AD 是ABC ∆的中线，//AE BC ，BE 交AD 于点F ，且AF DF =．（1）求证：AFE DFB ∆≅∆；（2）求证：四边形ADCE 是平行四边形；（3）当AB 、AC 之间满足什么条件时，四边形ADCE 是矩形．【分析】（1）由“AAS ”可证AFE DFB ∆≅∆；（2）由全等三角形的性质和中线性质可得AE CD =，且//AE BC ，可证四边形ADCE 是平行四边形；（3）由等腰三角形的性质可得AD BC ⊥，即可得四边形ADCE 是矩形．【解答】证明：（1）//AE BC Q ，AEF DBF ∴∠=∠，且AFE DFB ∠=∠，AF DF = ()AFE DFB AAS ∴∆≅∆（2）AFE DFB ∆≅∆Q ，AE BD ∴=，AD Q 是ABC ∆的中线，BD CD ∴=AE CD ∴=//AE BC Q∴四边形ADCE 是平行四边形；（3）当AB AC =时，四边形ADCE 是矩形； AB AC =Q ，AD 是ABC ∆的中线，AD BC ∴⊥，90ADC ∴∠=︒Q 四边形ADCE 是平行四边形∴四边形ADCE 是矩形∴当AB AC =时，四边形ADCE 是矩形．。

矩形地判定专项练习30题.docx

矩形地判定专项练习30题.docx

矩形的判定专项练习30 题（有答案）1 ．如图，在四边形ABCD 中， AD ∥BC，E、 F 为 AB 上两点，且△ DAF ≌△CBE．求证：（ 1 ）∠A=90 °；（ 2 ）四边形ABCD 是矩形．2 ．如图，已知平行四边形ABCD ，∠ABC ，∠BCD 的平分线BE、CF 分别交 AD 于 E、 F，BE、CF 交于点 G，点 H 为 BC 的中点， GH 的延长线交 GB 的平行线 CM 于点 M ．（ 1 ）试说明：∠ BGC=90 °；（ 2 ）连接 BM ，判断四边形 GBMC 的形状并说明理由．3 ．如图， O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作DE∥AC ， CE∥BD ， DE、CE 交于点 E．（1 ）四边形 OCDE 是矩形吗？说说你的理由；（2 ）请你将上述条件中的菱形改为另一种四边形，其它条件都不变，你能得出什么结论？根据改编后的题目画出图形，并说明理由．4 ．△ABC 中， AD ⊥ BC 于 D ，点 E、F 分别是△ABC 中 AB 、AC 中点，当△ ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 是矩形？说明理由．5 ．如图，菱形ABCD 的对角线AC、 BD 交于点 O ．（ 1 ）用尺规作图的方法，作出△AOB 平移后的△ DEC，其中平移的方向为射线AD 的方向，平移的距离为线段AD 的长；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（ 2 ）观察图形，判断四边形DOCE 是什么特殊四边形，并证明．6 ．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、 BD 相交于点 O ，延长 OA 到 N ， ON=OB ，再延长 OC 至 M ，使CM=AN，求证：四边形NDMB为矩形．7 ．如图，点O 是菱形 ABCD 对角线的交点，过点 C 作 BD 的平行线CE，过点 D 作 AC 的平行线DE，CE 与 DE 相交于点E，试说明四边形OCED 是矩形．8 ．如图，已知梯形ABCD 中， AD ∥BC，AB ⊥ BC，点 E、 F 分别是边BC、CD 的中点，直线EF 交边 AD 的延长线于点 M ，连接 BD．（ 1）求证：四边形DBEM 是平行四边形；（ 2）若 BD=DC ，连接 CM ，求证：四边形ABCM 为矩形．9 ．如图，在△ ABC 中，点 O 是 AC 边上的中点，过点O 的直线 MN ∥BC，且 MN 交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB 的外角平分线于点F，点 P 是 BC 延长线上一点．求证：四边形AECF 是矩形．10 ．如图，在梯形ABCD 中， AD ∥BC， BC=2AD ，点 E 是 BC 的中点，连接AC、 DE 相交于点O ．（1 ）试说明：△ AOD ≌△COE；（2 ）若∠B= ∠AOE ，试说明四边形 AECD 是矩形的理由．11 ．如图，以△ ABC 的各边为一边向BC 的同侧作正△ ABD 、正△BCF、正△ACE，若∠BAC=150 °，求证：四边形AEFD 为矩形．12 ．（1 ）在等腰三角形 ABC 中 AB=BC ，∠ABC=90 °，BD ⊥ AC，过 D 点作 DE⊥ DF ，交 AB 于 E，交 BC 于 F．若AE=4 ， FC=3 ，求 EF 长．（2 ）如图，将 ? ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE=DC ，连接 AE，交 BC 于点 F．①求证：△ ABF ≌△ECF；13 ．如图， AD 是△ABC 的中线，过点 A 作 AE ∥BC，过点 B 作 BE∥AD 交 AE 于点 E，（1 ）求证： AE=CD ；（2 ）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADBE 是矩形？请说明理由．14 ．如图，已知梯形ABCD 中， AD ∥BC， E、F 分别是 AB 、CD 的中点，点G 在边 BC 上，且 CG=（AD+BC）．（1 ）求证：四边形 DEGF 是平行四边形；（2 ）连接 DG ，若∠ADG=2 ∠ADE ，求证：四边形 DEGF 是矩形．15 ．已知，如图在△ ABC 中， AB=AC ，点 D 是 AC 的中点，直线AE ∥BC，过 D 点作直线EF∥AB 分别交 AE 、 BC 于点 E、F，求证：四边形AECF 是矩形．16 ．已知：如图，在△ ABC 中， D、 E、 F 分别是 AC 、 AB 、 BC 的中点，且CE=AB ．求证：四边形CFED 是矩形．17 ．如图，平行四边形 ABCD 中， EF 过 AC 的中点 O ，与边 AD 、 BC 分别相交于点E、F；（ 1）试说明四边形 AECF 是平行四边形．（ 2）若 EF 过 AC 的中点，且与 AC 垂直时，试说明四边形AECF 是菱形．（ 3）当 EF 与 AC 有怎样的关系时，四边形AECF 是矩形．18 ．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90 °，AB=AC ， D 是斜边 BC 上一点， DE ⊥ AC， DF⊥ AB ，垂足分别为E、 F．（ 1 ）说明四边形AEDF 是矩形．（ 2 ）试问：当点 D 位于 BC 边的什么位置时，四边形AEDF 是正方形？并说明你的理由．19 ．如图，△ABC 中， D 为边 AC 的中点，过点 D 作 MN ∥BC，CE 平分∠ACB 交 MN于E，CF平分∠ACG交MN 于 F，求证：（ 1） ED=DF ；（ 2 ）四边形A ECF 为矩形．20 ．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、 BC 相交于点 O ， BE∥AC ， CE∥DB ．求证：四边形OBEC 是矩形．21 ．如图，在△ ABC 中， O 是 AC 上的任意一点，（不与点 A ，C 重合），过点 O 作直线 l ∥BC，直线 l 与∠BCA 的（1 ）OE 与 OF 相等吗？为什么？（2 ）探索：当点 O 在何处时，四边形 AECF 为矩形？为什么？22 ．（2013 ? 沙湾区模拟）如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交CE 的延长线于F，且AF=BD ，连接 BF．（1 ）求证： D 是 BC 的中点．（2 ）如果 AB=AC ，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论．23 ．如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点 O，∠OBC= ∠OCB ，求证：四边形ABCD 是矩形．24 ．如图 M 、N 分别是平行四边形ABCD 的对边 AD 、 BC 的中点，且AD=2AB，AN，BM相交于P，DN，CM 相交于 Q ．求证： PMQN为矩形．25 ．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、 BD 相交于 O ， EF 过点 O ，且 AF⊥ BC，求证：四边形AFCE 是矩形．26 ．如图，在△ ABC 中， D 是 AC 的中点， E 是线段 BC 延长线上的一点，过点 A 作 AF∥BE，交 ED 的延长线于点F，连接 AE， CF．（1 ）求证： AF=CE ；（2 ）如果 AC=EF ，则四边形 AFCE 是矩形．27 ．如图， DB ∥AC ，且 DB= AC ，E 是 AC 的中点，（1 ）求证： BC=DE ；（ 2 ）连接 AD 、 BE，探究：当△ ABC 满足什么条件时，四边形DBEA 是矩形？并说明理由．28 ．如图， O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作DE ∥AC ， CE∥BD， DE 、 CE 交于点 E，四边形 OCED 是矩形吗？说说你的理由．29 ．已知：如图，BC 是等腰△BED 底边 ED 上的高，四边形ABEC 是平行四边形．求证：四边形ABCD 是矩形．30 ．如图，已知AB=AC ，AD=AE ， DE=BC ，且∠BAD= ∠CAE．求证：四边形BCED 为矩形．矩形的判定专项练习30 题参考答案：1 ．（1 ）∵AD ∥BC，∴四边形 OCED 是矩形．∴∠A+ ∠B=180 °，（ 2 ）任意改变四边形 ABCD 的形状，四边形 OCED 都∵△DAF ≌△CBE ，是平行四边形（答案不唯一）．∴∠A= ∠B，理由如下：∵ DE∥AC ， CE∥BD ，∴2 ∠A=180 °，∴四边形 OCED 是平行四边形．∴∠A=90 °； 4 ．满足△ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC=90 °．（ 2 ）∵AD ∥BC， AD=BC ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC=90 °，AD ⊥BC 于∴四边形 ABCD 为平行四边形， D ，又∵∠A=90 °，∴BD=CD ，∴四边形 ABCD 是矩形∵点 E、 F 分别是△ABC 中 AB 、 AC 中点，2 ．（1 ）∵∠ABC+ ∠BCD=180°，BE、 CF 平分∠ABC ，∴DF ∥AB ， ED∥AC ，∠BCD ，∴四边形 AEDF 是平行四边形，∴∠GBC+ ∠GCB=90 °，∴∠BGC=90 °；∵∠BAC=90 °（ 2 ）∵点 H 为 BC 的中点，∴ BH=CH=GH，∴AEDF 是矩形．∵GB∥CM ，∴∠BGH= ∠CMH ， 5 ．（ 1）所作图形如图所示：∵∠HBG= ∠HGB ，∴∠HCM=∠HMC ，（ 2 ）四边形 DOCE 是矩形．∴MH=BH=CH=GH ，∵△DCE 是由△AOB 平移后的图形，∴四边形 GBMC 为矩形∴DE∥AC ，CE∥BD ．3 ．（1 ）四边形 OCDE 是矩形．∴四边形 DOCE 是平行四边形．证明：∵ DE∥AC ， CE∥BD ，又∵四边形 ABCD 是菱形，∴四边形 OCED 是平行四边形，∴AC ⊥BD ．即∠DOC=90 °又∵AC ⊥ BD ，∴四边形 DOCE 为矩形．∴∠DOC=90 °，∴AB ∥DE∵由（1 ）知四边形DBEM 是平行四边形，∴DM ∥BE 且 DM=BE ，6 ．∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴DM ∥EC 且 DM=EC ，∴AO=OC ， OD=OB ，∴四边形 DMCE 是平行四边形，∵AN=CM ON=OB，∴CM ∥DE，∴ON=OM=OD=OB，∴AB ∥CM ．∴四边形 NDMB为平行四边形，又 AM ∥BC∴四边形 ABCM是平行四边形，∵MN=BD，∵AB ⊥ BC，∴四边形 ABCM 是矩形．∴平行四边形 NDMB为矩形7 ．∵DE∥AC ， CE∥BD ，∴DE∥OC， CE∥OD9 ．∵CE 平分∠ ACB ，∴四边形 OCED 是平行四边形，∴∠ACE= ∠BCE，又∵四边形 ABCD 是菱形，∵MN ∥BC，∴AC⊥BD ，∴∠OEC= ∠ECB，∴∠COD=90 °，∴∠OEC= ∠OCE，∴四边形 OCED 是矩形∴OE=OC ，8 ．（1 ）证明：∵梯形 ABCD 中， AD ∥BC，即 DM ∥BE，同理， OC=OF ，∵E、 F 分别是边 BC、 CD 的中点∴OE=OF ．∴EF∥BD ，∵AO=CO ， EO=FO ，∴四边形 DBEM 是平行四边形．∴四边形 AECF 为平行四边形，（ 2 ）证明：连接DE ，∵CE 平分∠ACB ，∵DB=DC ，且 E 是 BC 中点，∴ DE ⊥ BC，∴∠ACE=∠ACB，∴DE∥AB ．同理，∠ ACF=∠ACP，又∵AB ⊥ BC ，∴∠ECF= ∠ACE+ ∠ACF=（∠ACB+∠ACP）=×180°=90 °，∴四边形 AECF 是矩形．11 ．：∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，10 ．（ 1 ）∵BC=2AD ，点 E 是 BC 的中点，∴∠DBF+ ∠FBA= ∠ABC+ ∠ABF=60 °，∴EC=AD ．∴∠DBF= ∠ABC ．∵AD ∥BC，又∵BD=BA ， BF=BC ，∴∠ADO= ∠CEO ，∠DAO= ∠ECO．∴△ABC ≌△DBF ，在△AOD 和△COE 中，∴AC=DF=AE，∴△AOD ≌△COE（ ASA ）；同理可证△ ABC ≌△EFC，∴AB=EF=AD，（ 2 ）∵AD=BE ，AD ∥BE，∴四边形 DAFEF 是平行四边形（两组对边分别相等的四∴四边形 ABED 是平行四边形；边形是平行四边形）同理可得：四边形 AECD 是平行四边形．∵∠BAC=150°，∴∠ADO= ∠B．∴∠DAE=150°﹣∠DAB ﹣∠EAC=90 °，∵∠B= ∠AOE ，∴四边形 AEFD 为矩形．∴∠AOE=2 ∠B．12 ．1 ）解：∵ABC 中 AB=BC ，∠ABC=90°，BD ⊥AC ，∴∠AOE=2 ∠ADO ．∴∠A= ∠C=45 °，CD=AD ，∵∠AOE= ∠ADO+ ∠DAO ，∴BD=CD=AD， BD 平分∠ABC ，∴∠OAD= ∠ODA ．∴∠EBD=45 °= ∠C，∴OA=OD ．∵BD ⊥ AC， DE ⊥DF ，∴AC=DE ．∴∠BDC= ∠EDF=90 °，∴四边形 AECD 是矩形．∴∠BDC ﹣∠BDF= ∠EDF﹣∠BDF ，∴∠EDB= ∠FDC ，∵在△EDB 和△FDC 中∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AE=2AF ， BC=2BF ，∴△EDB ≌△FDC （ASA ），∴AE=BC ，∴FC=DE=3 ，∵四边形 ABEC 是平行四边形，同理△AED ≌△BFD ，∴四边形 ABEC 是矩形．∴DF=AE=4 ，在 Rt △EDF 中，由勾股定理得：EF==5 ；（ 2 ）①证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，13 ．（ 1 ）∵AE∥BC ， BE∥AD ，∴AB ∥CD ，AB=CD ，∴四边形 ADBE 是平行四边形，∵CD=CE ，∴AE=BD ，∴AB ∥CE， AB=CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴四边形 ABEC 是平行四边形，∴BD=CD ，∴AF=FE ， BF=FC ，∴AE=CD ．∵在△ABF 和△ECF 中（ 2 ）当 AB=AC时，四边形 ADBE 是矩形，理由是：∴△ABF ≌△ECF（ SSS）；∵AB=AC ， BD=CD ，②证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ⊥ BC，即∠ADB=90 °，∴∠ABC= ∠D ，又∵四边形 ADBE 是平行四边形，∵∠AFC=2 ∠D，∴四边形 ADBE 是矩形∴∠AFC=2 ∠ABC ，14 ．1 ）证明：如图，连接 EF．∵∠AFC= ∠ABC+ ∠FAB，∵四边形 ABCD 是梯形， AD ∥BC ， E、 F 分别是 AB 、∵∠ABC= ∠FAB，CD 的中点，∴AF=FB ，∴， EF∥AD ∥BC．实用标准∵，∵AE∥BC，∴EF=CG ．∴∠AED= ∠CFD ，∴四边形 EGCF 是平行四边形．在△ADE 和△CDF 中，，∴EG=FC 且 EG∥FC．∴△ADE ≌△CDF （ AAS ），∵F 是 CD 的中点，∴AE=CF ，∴FC=DF ．又∵AE ∥BC ，∴EG=DF 且 EG∥DF ．∴四边形 AECF 是平行四边形，∴四边形 DEGF 是平行四边形．∵AE∥BC， EF∥AB ，∴四边形 ABFE 是平行四边形，（ 2 ）证明：连接EF，将 EF 与 DG 的交点记为点O ．∴AB=EF ，∵∠ADG=2 ∠ADE ，∵AB=AC ，∴∠ADE= ∠EDG ．∴AC=EF ，∵EF∥AD ，∴四边形 AECF 是矩形．∴∠ADE= ∠DEO ．∴∠EDG= ∠DEO ．∴EO=DO ．∵四边形 DEGF 是平行四边形，16 ．∵D 、 E、 F 分别是 AC、 AB 、 BC 的中点，∴，．∴DE∥BC ，且 DE= BC， DF=AB ，CF= BC，∴EF=DG ，∴DE=CF ，∴平行四边形 DEGF 是矩形．即四边形DEGF 是矩形．∴四边形 CFED 平行四边形，又∵CE= AB ，∴CE=DF ，15 ．∵点 D 是 AC 的中点，∴平行四边形 CFED 是矩形，∴DA=DC ，故四边形 CFED 是矩形．实用标准17 ．（ 1 ）证明：∵四边形A BCD 是平行四边形，∴∠BDF=∠DEC∴AD ∥BC，∴△BFD≌△DCE，∴△AEO ∽△CFO，∴DF=DE，∴=，∴矩形AEDF是正方形．∵OA=CO ，∴OE=OF ，∴四边形 AECF 是平行四边形；（2 ）证明：∵四边形 AECF 是平行四边形，又∵EF⊥ AC ，∴平行四边形 AECF 是菱形；（3 ）解：当 EF=AC 时，四边形 AECF 是矩形，理由是：由（ 1 ）知：四边形 AECF 是平行四边形，∵AC=EF ，∴平行四边形 AECF 是矩形18 ．（ 1）∵DE⊥ AC ，DF ⊥AB ，∴∠AFD= ∠AED= ∠A=90 °，∴四边形 AEDF 是矩形；（ 2 ）当 D 时 BC 的中点时，四边形AEDF 是正方形；JU理由：∵ D 是 BC 的中点，∴BD=DC∵AB=AC∴∠B= ∠C又∵DF ⊥ AB ，DE⊥ AC ，19．（ 1 ）∵CE 平分∠ ACB ， CF 平分∠ACG ，∴∠ACE= ∠ECB，∠ACF= ∠FCG ，又∵MN ∥BG，∴∠DEC= ∠ECB，∠DFC= ∠FCG，∴∠DEC= ∠DCE，∠DFC= ∠DCF ，∴DE=DC ， DF=DC ，∴DE=DF ．（ 2 ）∵D 为 AC 的中点，∴AD=DC ，又 DE=DF ，∴四边形 AECF 为平行四边形，∵∠ACE= ∠ECB，∠ACF= ∠FCG ，∴∠ECF=90 °，∴平行四边形 AECF 为矩形20．∵BE∥AC ， CE∥DB ，∴四边形 OBEC 是平行四边形，又∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠AOB=90 °，∵AF=BD∴平行四边形 OBEC 是矩形∴BD=CD ，21 ．（ 1 ）解： OE=OE ，∴D 是 BC 的中点；（ 4 分）理由是：∵直线 l ∥BC，（ 2 ）四边形 AFBD 是矩形，（ 5 分）∴∠OEC= ∠ECB，证明：∵ AB=AC ，D 是 BC 的中点，∵CE 平分∠ACB ，∴AD ⊥ BC，∴∠OCE= ∠BCE，∴∠ADB=90 °，（ 6 分）∴∠OEC= ∠OCE，∵AF=BD ， AF∥BC，∴OE=OC ，∴四边形 AFBD 是平行四边形，（ 7 分）同理 OF=OC ，∴四边形 AFBD 是矩形．∴OE=OF ．23 ．∵∠OBC= ∠OCB ，（ 2 ）解： O 在 AC 的中点上时，四边形AECF 是矩形，∴OB=OC ，理由是：∵ OA=OC ， OE=OF ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴四边形 AECF 是平行四边形，∴OC=OA= AC， OB=OD=BD ，∵OE=OF=OC=OA ，∴AC=BD ，∴AC=EF ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴平行四边形 AECF 是矩形∴四边形 ABCD 是矩形，22 ．（ 1 ）证明：∵ AF∥BC，即四边形 ABCD 是矩形∴∠AFE= ∠DCE（1 分）24 ．∵ABCD 为平行四边形，∵E 是 AD 的中点，∴AD 平行且等于 BC，∴AE=DE ．（2 分）又∵M 为 AD 的中点， N 为 BC 的中点，∵∠AEF= ∠DEC，∴MD 平行且等于 BN ，∴△AEF≌△DEC ．（ 3 分）∴BNDM 为平行四边形，∴AF=DC ，∴BM ∥ND ，同理 AN ∥MC ，∴∠AFD= ∠CED ，∠FAD= ∠DCE，∴四边形 PMQN 为平行四边形，（5 分）∵D 是 AC 的中点，连接MN，∴AD=DC ，∵AM 平行且等于 BN ，在△FAD 和△ECD 中∴四边形 ABNM 为平行四边形，，又∵AD=2AB ， M 为 AD 中点，∴△FAD ≌△ECD（ AAS ），∴BN=AB ，∴AF=CE ；∴四边形 ABNM 为菱形，（ 2 ）证明：∵△FAD ≌△ECD，∴AN ⊥BM ，∴FD=DE ，∴平行四边形 PMQN 为矩形．（ 10 分）∵AD=DC ，∴四边形 AFCE 是平行四边形，∵AC=EF ，25 ．∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴平行四边形 AFCE 是矩形∴OA=OC ， AE∥FC，27 ．（ 1 ）证明：∵ E 是 AC 的中点，∴∠EAO= ∠FCO，∴EC=AC ，在△AOE 和△COF 中，∵DB=AC ，，∴DB=EC ，∴△AOE ≌△COF，又∵DB ∥AC ，∴AE=CF ，∴四边形 BCED 是平行四边形（一组对边平行且相等的∴四边形 AECF 为平行四边形，四边形是平行四边形），又∵AF ⊥ BC，∴BC=DE ；∴∠AFC=90 °，则四边形 AECF 为矩形．（ 2 ）解：△ABC 满足 AB=BC时，四边形 DBEA 是矩26 ．（ 1 ）证明：∵ AF∥BE，形．实用标准理由如下：∵ E 是 AC 的中点，∴AE=AC ，∵DB=AC，29 ．∵BC 是等腰△BED 底边 ED 上的高，∴DB=AE ，∴EC=CD ，又∵DB ∥AC，∵四边形 ABEC 是平行四边形，∴四边形 DBEA 是平行四边形（一组对边平行且相等的∴AB ∥CD ， AB=CE=CD ， AC=BE ，四边形是平行四边形），∴四边形 ABCD 是平行四边形．∵AB=BC ， E 为 AC 中点，∵AC=BE ， BE=BD ，∴∠AEB=90 °，∴AC=BD ，∴平行四边形 DBEA 是矩形，∴四边形 ABCD 是矩形即△ABC 满足 AB=BC 时，四边形 DBEA 是矩形．30 ．在△ABD 和△ACE 中，∵AB=AC ， AD=AE ，∠BAD= ∠CAE，∴△ABD ≌△ACE （ SAS）28 ．是矩形．（ 1 分）∴BD=CE 又 DE=BC ．理由：∵ DE∥AC ， CE∥BD ，∴四边形 BCED 为平行四边形．在△ ACD 和△ABE 中，∴四边形 OCED 是平行四边形，∵AC=AB ， AD=AE ，∠CAD= ∠CAB+ ∠BAD= ∠CAB+又∵四边形 ABCD 是菱形，∠CAE= ∠BAE ，∴AC⊥BD ，∴△ADC ≌△AEB （ SAS），∴CD=BE ．∴DE⊥ CE，∴四边形 BCED 为矩形．（对角线相等的平行四边形是矩∴∠E=90 °，形）∴平行四边形 OCED 是矩形。

矩形地判定专项练习30题

矩形地判定专项练习30题

实用标准矩形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F为AB上两点，且△DAF≌△CBE．求证：（1）∠A=90°；（2）四边形ABCD是矩形．2．如图，已知平行四边形ABCD，∠ABC，∠BCD的平分线BE、CF分别交AD于E、F，BE、CF交于点G，点H为BC 的中点，GH的延长线交GB的平行线CM于点M．（1）试说明：∠BGC=90°；（2）连接BM，判断四边形GBMC的形状并说明理由．3．如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E．（1）四边形OCDE是矩形吗？说说你的理由；（2）请你将上述条件中的菱形改为另一种四边形，其它条件都不变，你能得出什么结论？根据改编后的题目画出图形，并说明理由．4．△ABC中，AD⊥BC于D，点E、F分别是△ABC中AB、AC中点，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？说明理由．5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O．（1）用尺规作图的方法，作出△AOB平移后的△DEC，其中平移的方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（2）观察图形，判断四边形DOCE是什么特殊四边形，并证明．6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，ON=OB，再延长OC至M，使CM=AN，求证：四边形NDMB为矩形．7．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作BD的平行线CE，过点D作AC的平行线DE，CE与DE相交于点E，试说明四边形OCED是矩形．8．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E、F分别是边BC、CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，连接BD．（1）求证：四边形DBEM是平行四边形；（2）若BD=DC，连接CM，求证：四边形ABCM为矩形．9．如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN∥BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点．求证：四边形AECF是矩形．10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是BC的中点，连接AC、DE相交于点O．（1）试说明：△AOD≌△COE；（2）若∠B=∠AOE，试说明四边形AECD是矩形的理由．11．如图，以△ABC的各边为一边向BC的同侧作正△ABD、正△BCF、正△ACE，若∠BAC=150°，求证：四边形AEFD 为矩形．12．（1）在等腰三角形ABC中AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE=4，FC=3，求EF长．（2）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．①求证：△ABF≌△ECF；②若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．13．如图，AD是△ABC的中线，过点A作AE∥BC，过点B作BE∥AD交AE于点E，（1）求证：AE=CD；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADBE是矩形？请说明理由．14．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，点G在边BC上，且CG=（AD+BC）．（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）连接DG，若∠ADG=2∠ADE，求证：四边形DEGF是矩形．15．已知，如图在△ABC中，AB=AC，点D是AC的中点，直线AE∥BC，过D点作直线EF∥AB分别交AE、BC于点E、F，求证：四边形AECF是矩形．16．已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，且CE=AB．求证：四边形CFED是矩形．17．如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F；（1）试说明四边形AECF是平行四边形．（2）若EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．（3）当EF与AC有怎样的关系时，四边形AECF是矩形．18．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC上一点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F．（1）说明四边形AEDF是矩形．（2）试问：当点D位于BC边的什么位置时，四边形AEDF是正方形？并说明你的理由．19．如图，△ABC中，D为边AC的中点，过点D作MN∥BC，CE平分∠ACB交MN于E，CF平分∠ACG交MN于F，求证：（1）ED=DF；（2）四边形AECF为矩形．20．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．21．如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点，（不与点A，C重合），过点O作直线l∥BC，直线l与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA的平分线相交于点F．（1）OE与OF相等吗？为什么？（2）探索：当点O在何处时，四边形AECF为矩形？为什么？22．（2013•沙湾区模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．23．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∠OBC=∠OCB，求证：四边形ABCD是矩形．24．如图M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，AN，BM相交于P，DN，CM相交于Q．求证：PMQN为矩形．25．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形．26．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上的一点，过点A作AF∥BE，交ED的延长线于点F，连接AE，CF．（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，则四边形AFCE是矩形．27．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，探究：当△ABC满足什么条件时，四边形DBEA是矩形？并说明理由．28．如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形OCED是矩形吗？说说你的理由．29．已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．求证：四边形ABCD是矩形．30．如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCED为矩形．矩形的判定专项练习30题参考答案：1．（1）∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵△DAF≌△CBE，∴∠A=∠B，∴2∠A=180°，∴∠A=90°；（2）∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形2．（1）∵∠ABC+∠BCD=180°，BE、CF平分∠ABC，∠BCD，∴∠GBC+∠GCB=90°，∴∠BGC=90°；（2）∵点H为BC的中点，∴BH=CH=GH，∵GB∥CM，∴∠BGH=∠CMH，∵∠HBG=∠HGB，∴∠HCM=∠HMC，∴MH=BH=CH=GH，∴四边形GBMC为矩形3．（1）四边形OCDE是矩形．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴∠DOC=90°，∴四边形OCED是矩形．（2）任意改变四边形ABCD的形状，四边形OCED都是平行四边形（答案不唯一）．理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．4．满足△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∴BD=CD，∵点E、F分别是△ABC中AB、AC中点，∴DF∥AB，ED∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∵∠BAC=90°∴AEDF是矩形．5．（1）所作图形如图所示：（2）四边形DOCE是矩形．∵△DCE是由△AOB平移后的图形，∴DE∥AC，CE∥BD．∴四边形DOCE是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．即∠DOC=90°∴四边形DOCE为矩形．6．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，OD=OB，∵AN=CM ON=OB，∴ON=OM=OD=OB，∴四边形NDMB为平行四边形，∵MN=BD，∴平行四边形NDMB为矩形7．∵DE∥AC，CE∥BD，∴DE∥OC，CE∥OD∴四边形OCED是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形8．（1）证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，即DM∥BE，∵E、F分别是边BC、CD的中点∴EF∥BD，∴四边形DBEM是平行四边形．（2）证明：连接DE，∵DB=DC，且E是BC中点，∴DE⊥BC，∴DE∥AB．又∵AB⊥BC，∴AB∥DE∵由（1）知四边形DBEM是平行四边形，∴DM∥BE且DM=BE，∴DM∥EC且DM=EC，∴四边形DMCE是平行四边形，∴CM∥DE，∴AB∥CM．又AM∥BC∴四边形ABCM是平行四边形，∵AB⊥BC，∴四边形ABCM是矩形．9．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OF．∵AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB，同理，∠ACF=∠ACP，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACP）=×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．10．（1）∵BC=2AD，点E是BC的中点，∴EC=AD．∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CEO，∠DAO=∠ECO．在△AOD和△COE 中，∴△AOD≌△COE（ASA）；（2）∵AD=BE，AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形；同理可得：四边形AECD是平行四边形．∴∠ADO=∠B．∵∠B=∠AOE，∴∠AOE=2∠B．∴∠AOE=2∠ADO．∵∠AOE=∠ADO+∠DAO，∴∠OAD=∠ODA．∴OA=OD．∴AC=DE．∴四边形AECD是矩形．11．：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC．又∵BD=BA，BF=BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC=DF=AE，同理可证△ABC≌△EFC，∴AB=EF=AD，∵∠BAC=150°，∴∠DAE=150°﹣∠DAB﹣∠EAC=90°，∴四边形AEFD为矩形．12．1）解：∵ABC中AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，∴∠A=∠C=45°，CD=AD，∴BD=CD=AD，BD平分∠ABC，∴∠EBD=45°=∠C，∵BD⊥AC，DE⊥DF，∴∠BDC=∠EDF=90°，∴∠BDC﹣∠BDF=∠EDF﹣∠BDF，∴∠EDB=∠FDC，∵在△EDB和△FDC中∴△EDB≌△FDC（ASA），∴FC=DE=3，同理△AED≌△BFD，∴DF=AE=4，在Rt△EDF中，由勾股定理得：EF==5；（2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵CD=CE，∴AB∥CE，AB=CE，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AF=FE，BF=FC，∵在△ABF和△ECF中∴△ABF≌△ECF（SSS）；②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC，∵∠AFC=∠ABC+∠FAB，∵∠ABC=∠FAB，∴AF=FB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE=2AF，BC=2BF，∴AE=BC，∵四边形ABEC是平行四边形，∴四边形ABEC是矩形．13．（1）∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE=BD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴AE=CD．（2）当AB=AC时，四边形ADBE是矩形，理由是：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，又∵四边形ADBE是平行四边形，∴四边形ADBE是矩形14．1）证明：如图，连接EF．∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，∴，EF∥AD∥BC．∵，∴EF=CG．∴四边形EGCF是平行四边形．∴EG=FC且EG∥FC．∵F是CD的中点，∴FC=DF．∴EG=DF且EG∥DF．∴四边形DEGF是平行四边形．（2）证明：连接EF，将EF与DG的交点记为点O．∵∠ADG=2∠ADE，∴∠ADE=∠EDG．∵EF∥AD，∴∠ADE=∠DEO．∴∠EDG=∠DEO．∴EO=DO．∵四边形DEGF是平行四边形，∴，．∴EF=DG，∴平行四边形DEGF是矩形．即四边形DEGF是矩形．15．∵点D是AC的中点，∴DA=DC，∵AE∥BC，∴∠AED=∠CFD，在△ADE和△CDF 中，，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE=CF，又∵AE∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE∥BC，EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB=EF，∵AB=AC，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形．16．∵D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，∴DE∥BC，且DE=BC，DF=AB，CF=BC，∴DE=CF，∴四边形CFED平行四边形，又∵CE=AB，∴CE=DF，∴平行四边形CFED是矩形，故四边形CFED是矩形．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△AEO∽△CFO，∴=，∵OA=CO，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）证明：∵四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（3）解：当EF=AC时，四边形AECF是矩形，理由是：由（1）知：四边形AECF是平行四边形，∵AC=EF，∴平行四边形AECF是矩形∴四边形AEDF是矩形；（2）当D时BC的中点时，四边形AEDF是正方形；JU 理由：∵D是BC的中点，∴BD=DC∵AB=AC∴∠B=∠C又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BDF=∠DEC∴△BFD≌△DCE，∴DF=DE，∴矩形AEDF是正方形．19．（1）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACG，∴∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG，又∵MN∥BG，∴∠DEC=∠ECB，∠DFC=∠FCG，∴∠DEC=∠DCE，∠DFC=∠DCF，∴DE=DC，DF=DC，∴DE=DF．（2）∵D为AC的中点，∴AD=DC，又DE=DF，∴四边形AECF为平行四边形，∵∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG，∴∠ECF=90°，∴平行四边形AECF为矩形20．∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴平行四边形OBEC是矩形21．（1）解：OE=OE，理由是：∵直线l∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠OCE=∠BCE，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理OF=OC，∴OE=OF．（2）解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，理由是：∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵OE=OF=OC=OA，∴AC=EF，∴平行四边形AECF是矩形22．（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE（1分）∵E是AD的中点，∴AE=DE．（2分）∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．（3分）∴AF=DC，∵AF=BD∴BD=CD，∴D是BC的中点；（4分）（2）四边形AFBD是矩形，（5分）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，（6分）∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，（7分）∴四边形AFBD是矩形．23．∵∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=OA=AC，OB=OD=BD，∴AC=BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，即四边形ABCD是矩形24．∵ABCD为平行四边形，∴AD平行且等于BC，又∵M为AD的中点，N为BC的中点，∴MD平行且等于BN，∴BNDM为平行四边形，∴BM∥ND，同理AN∥MC，∴四边形PMQN为平行四边形，（5分）连接MN，∵AM平行且等于BN，∴四边形ABNM为平行四边形，又∵AD=2AB，M为AD中点，∴BN=AB，∴四边形ABNM为菱形，∴AN⊥BM，∴平行四边形PMQN为矩形．（10分）25．∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，AE∥FC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，文档，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形，又∵AF⊥BC，∴∠AFC=90°，则四边形AECF为矩形．26．（1）证明：∵AF∥BE，∴∠AFD=∠CED，∠FAD=∠DCE，∵D是AC的中点，∴AD=DC，在△FAD和△ECD中，∴△FAD≌△ECD（AAS），∴AF=CE；（2）证明：∵△FAD≌△ECD，∴FD=DE，∵AD=DC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形27．（1）证明：∵E是AC的中点，∴EC=AC，∵DB=AC，∴DB=EC，又∵DB∥AC，∴四边形BCED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴BC=DE；（2）解：△ABC满足AB=BC时，四边形DBEA是矩形．理由如下：∵E是AC的中点，∴AE=AC，∵DB=AC，∴DB=AE，又∵DB∥AC，∴四边形DBEA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∵AB=BC，E为AC中点，∴∠AEB=90°，∴平行四边形DBEA是矩形，即△ABC满足AB=BC时，四边形DBEA是矩形．28．是矩形．（1分）理由：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴DE⊥CE，∴∠E=90°，∴平行四边形OCED是矩形29．∵BC是等腰△BED底边ED上的高，∴EC=CD，∵四边形ABEC是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CE=CD，AC=BE，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC=BE，BE=BD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形30．在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE又DE=BC．∴四边形BCED为平行四边形．在△ACD和△ABE中，∵AC=AB，AD=AE，∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠CAE=∠BAE，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴CD=BE．∴四边形BCED为矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）文档。

矩形练习题(含答案)

矩形练习题(含答案)

矩形性质及判定练习题一、单选题AB=，则AC的长是(D) 1．如图，矩形ABCD中，120BOC∠=，4A．2 B．3C．4 D．82．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于(A)A．110° B．115° C．120°D．125°3．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（C ）A．34B．26C．6.5D．8.54．直角三角形的两条直角边长为3和4,则它斜边上的中线长为（C ）A．5B．2C．2.5D．1.55．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（B）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB∠BC6．下列命题正确的是（A）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE∠BD交AD于点E．已知AB＝2，∠DOE的面积为5，则AE的长为（C）4A．√5B．2 C．1.5 D．√28．矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（B）A．5 B．52C．6 D．629．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是AB的中点，若OM ＝4，AB ＝6，则BD 的长为（ D ）A ．4B ．5C ．8D ．1010．如图，矩形ABCD 和矩形BDEF ，点A 在EF ，边上，设矩形ABCD 和矩形BDEF 的面积分别为1S 、2S ，则1S 与2S 的大小关系为（A ）A ．1S =2SB ．1S >2SC ．1S <2SD ．13S =22S二、填空题11．如图,在矩形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,则BD 的长为____8_____,AD 的长为____3_________.12．如图所示，BD 为矩形ABCD 的一条对角线，延长BC 至点E ，使CE =BD ，连结AE ，若AB =1，∠AEB =15°，则AD 的长度为__3__．13．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 于BD 相交于点O ，过点A作AE∠BD ，垂足为点E ，若∠EAC ＝2∠CAD ，则∠AOB ＝_45°____．14．如图，O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若BC=8，OB=5，则OM 的长为__3___三、解答题15．如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，BC ＝10，AB ＝8，求．（1）FC 的长 （2）EC 的长．．解：（1）根据折叠可得AD ＝AF ，∠四边形ABCD 是矩形，∠AD ＝BC ＝10，∠B ＝90°，∠AF ＝10，在Rt∠ABF 中，由勾股定理得∠BF 22100646AF AB --=， ∠FC ＝4；（2）根据折叠可得ED＝EF，∠四边形ABCD是矩形，∠AB＝CD＝8，∠C＝90°，设ED＝x，则EF＝x，EC＝8﹣x，在Rt∠EFC中，EF2＝EC2+FC2，x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，∠EC＝8﹣5＝3．16．已知:如图，在∠ABC中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，G是CE的中点，DG∠CE 于点G，求证:∠B=2∠BCE证明：如图，连接DE，∠G是CE的中点，DG∠CE∠DG垂直平分CE∠DE=DC∠AD∠BC，CE是边AB上的中线，∠DE是Rt∠ABD斜边上的中线,即DE=BE=12 AB，∠BE=DE=CD，∠∠B=∠BDE，∠DEC=∠DCE，∠∠B=∠BDE=2∠BCE.17．（8分）（聊城）如图，在∠ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE 交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．证明：∠AB=BC，BD平分∠ABC，∠ BD∠AC，AD=CD．∠ 四边形ABED是平行四边形，∠ BE∠AD，BE=AD，∠ BE∠CD，BE=CD，∠ 四边形BECD是平行四边形．∠ BD∠AC，∠ ∠BDC=90°，∠ ∠BECD是矩形．18．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠AOB∠∠ODC＝4∠3，求∠ADO的度数.18.(1)∠AO＝OC，BO＝OD，∠四边形ABCD是平行四边形，又∠∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是∠AOD的外角，∠∠AOB＝∠OAD＋∠ADO.∠∠OAD＝∠ADO.∠AO＝OD.又∠AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，∠AC＝BD.∠四边形ABCD是矩形.(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x，在∠ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°∠4x+3x+3x=180°，解得x=18°，∠∠ODC=3×18°=54°，∠四边形ABCD是矩形，∠∠ADC=90°，∠∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°。

人教版数学八年级下册：《18.2.2矩形的判定》练习含答案

人教版数学八年级下册：《18.2.2矩形的判定》练习含答案

《矩形的判定》练习题一、选择——基础知识运用1．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BDB．AO=CO，BO=DO，∠A=90°C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BDD．∠A=∠B=90°，AC=BD2．检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（）A．测量两条对角线，是否相等B．测量两条对角线，是否互相平分C．测量门框的三个角，是否都是直角D．测量两条对角线，是否互相垂直3．在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．如果再增加条件AC=BD，此四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．都有可能4．有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②有一组对边平行，有两个角为直角的四边形是矩形；③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形；④对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形；⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形；⑥一组对边平行，另一组对边相等且有一角为直角的四边形是矩形．其中，正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对）二、解答——知识提高运用6．已知，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=12，BD=13．求证：平行四边形ABCD是矩形。

7．如图所示，在□ABCD中，E为AD的中点，△CBE是等边三角形，求证：□ABCD是矩形。

8．已知：在△ABC中，∠A=90°，D，E分别是AB，AC上任意一点，M，N，P，Q分别是DE，BE，BC，CD的中点，求证：四边形PQMN是矩形。

9．如图，□ABCD与□ABEF中，BC=BE，∠ABC=∠ABE，求证：四边形EFDC是矩形。

矩形的性质及判定典型题(精选)

矩形的性质及判定典型题(精选)

一、矩形的判定【例1】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【例2】 如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA【例3】 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形【例4】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，AC BD =，求证：四边形ABCD 是矩形．CDB A【例5】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A矩形的性质 及判定【例6】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【例7】 设凸四边形ABCD 的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个四边形是什么四边形?请证明你的结论。

【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【例9】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CB A【例10】 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA【例11】 已知，如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，AF 是BAC ∠的外角平分线，DE ∥AB交AF 于E ，试说明四边形ADCE 是矩形．321FE D CB A【例12】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ． ⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【例13】 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BA【例14】 已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FD板块二、矩形的性质及应用【例15】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。

矩形的性质和判定练习题

矩形的性质和判定练习题

矩形的性质和判定练习题
矩形的定义
矩形是一个拥有四个直角（90度角）的四边形。

矩形的对边相等且平行，且相邻边也相等。

以下是矩形的性质和判定练题。

矩形的性质
1. 矩形的对边相等且平行。

2. 矩形的相邻边相等。

3. 矩形的对角线相等。

4. 矩形的内角为直角。

5. 矩形是一个正方形的一种特殊情况，其中所有的边长都相等。

矩形的判定练题
1. 下面哪个形状是矩形？
A. 正方形
B. 长方形
C. 菱形
D. 三角形
2. 如何判断一个四边形是矩形？
A. 对角线相等
B. 对边平行
C. 所有边长相等
D. 有一个直角
3. 若一个四边形的两条相邻边之和大于另外两条边，那么它可
能是矩形吗？
A. 可能是
B. 不可能是
请在以上题目中选择正确答案。

通过练这些题目，您可以更好
地理解矩形的性质和判定方法。

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参考资料：。

矩形的判定专项练习30题

矩形的判定专项练习30题

矩形的判定专项练习30题1.在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F为AB上两点，且△DAF≌△XXX。

证明：（1）∠A=90°；（2）四边形ABCD 是矩形。

1）因为AD∥BC，所以∠DAB = ∠CBA，又因为△DAF≌△XXX，所以∠DAF = ∠XXX，∠AFD = ∠XXX。

因此，∠FAB = ∠ECB，∠AFD = ∠XXX，所以∠BAD =∠CBD。

因为∠BAD + ∠ABC = 180°，所以∠ABC + ∠CBD= 180°，即ABCD为平行四边形，所以∠A = 90°。

2）因为ABCD为平行四边形，所以∠A = ∠C，∠B =∠D。

又因为AD∥BC，所以∠BAD + ∠ABC = 180°，即∠BAD = ∠DCB。

因此，∠A = ∠C = 90°，所以ABCD为矩形。

2.在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线BE、CF分别交AD于E、F，BE、CF交于点G，点H为BC的中点，GH的延长线交GB的平行线CM于点M。

证明：（1）∠BGC=90°；（2）四边形GBMC为矩形。

1）因为ABCD为平行四边形，所以∠ABC = ∠BCD，又因为BE、CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，所以∠ABE = ∠XXX。

因此，△ABE≌△CBF，所以AE = CF，因为GH 为BC的中点，所以GH = HB。

又因为BE、CF交于点G，所以XXX GF。

因此，△GHE≌△GFB，所以∠BGC = 90°。

2）因为ABCD为平行四边形，所以∠ABC = ∠BCD，又因为BE、CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，所以∠ABE = ∠XXX。

因此，△ABE≌△CBF，所以AE = CF。

因为点H 为BC的中点，所以HM∥AB，又因为GB∥AB，所以HM∥GB。

因为GH = HB，所以GM = MB。

因此，GBMC为平行四边形，又因为∠BGC = 90°，所以GBMC为矩形。

《矩形的判定》练习及答案

《矩形的判定》练习及答案

《矩形的判定》练习满分100分80分过关限时30分钟一．选择题（共4小题，每题10分，共40分）1．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形2．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线相等且互相平分D．矩形的对角线互相垂直且平分3．如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（）A．4B．3C．2D．14．对于四边形ABCD，给出下列6组条件，①∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D；②∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°；⑤AC＝BD；⑥AB∥CD，AD∥BC．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有（）A．1组B．2组C．3组D．4组二．填空题（共4小题，每题10分，共40分）5．如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它变为矩形，需要添加的条件是（写一个即可）．6．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个：；．7．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．三．解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．10．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE 的面积为．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．【分析】根据矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）可以选出答案．【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形的对角线也相等，故此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，例如菱形，菱形的对角线互相垂直，故此选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误．故选：C．2．【分析】由矩形的判定与性质分别作出判断，即可得出结论．【解答】解：A、对角线相等的四边形是矩形，不正确；B、对角线互相平分的四边形是矩形，不正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，正确；D、矩形的对角线互相垂直且平分，不正确；故选：C．3．【分析】根据矩形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，求出OA＝OB即可．【解答】解：假如平行四边形ABCD是矩形，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB＝3．故选：B．4．【分析】根据矩形的判定，用排除法即可判定所选答案．【解答】解：①由∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，故①正确；②由∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D＝90°可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，故②正确；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D能得到四个角都是直角，故③正确；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确；⑤AC＝BD，只有一组对边相等的四边形不一定是矩形，故⑤错误，⑥AB∥CD，AD∥BC，只能得到四边形为平行四边形，故⑥错误，∴正确的有4个，故选：D．二．填空题（共4小题）5．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，填空即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为AC＝BD．6．【分析】根据平行四边形的判定（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形）得出平行四边形ABCD，再根据矩形的判定定理推出即可．【解答】解：①②⑥或③④⑥，理由是：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：①②⑥，③④⑥．7．【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，构建一元一次方程，可得答案．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．8．【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点，∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP×BC＝AB×AC，∴AP×BC＝AB×AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10，∵AB＝6，AC＝8，∴10AP＝6×8，∴AP＝∴AM＝，故答案为：．三．解答题（共2小题）9．【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形．（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDC，……………………………………………………………………1分∵E是AC中点，∴AE＝EC，…………………………………………………………………………2分在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，………………………………………………………………3分∴EF＝DE，………………………………………………………………………4分∵AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，…………………………………………………5分∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形．…………………………………………………………6分（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，…………7分∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，………………………………………………………8分∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．…………………………………………………………………………………10分10．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC＝∠OCE，证出EO＝CO，同理得出FO＝CO，即可得出EO＝FO；（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；（3）先根据勾股定理求出AC，得出△ACE的面积＝AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积＝AB?AC，凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，……………………………………………………………………1分∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠OCE，……………………………………………………………………2分∴∠OEC＝∠OCE，∴EO＝CO，……………………………………………………………………………3分同理：FO＝CO，∴EO＝FO；……………………………………………………………………………4分（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：……5分由（1）得：EO＝FO，又∵O是AC的中点，∴AO＝CO，∴四边形CEAF是平行四边形，……………………………………………………6分∵EO＝FO＝CO，∴EO＝FO＝AO＝CO，∴EF＝AC，……………………………………………………………………………7分∴四边形CEAF是矩形；……………………………………………………………8分（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，∴∠AEC＝90°，∴AC＝＝＝5，△ACE的面积＝AE×EC＝×3×4＝6，∵122+52＝132，即AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴△ABC的面积＝AB?AC＝×12×5＝30，∴凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积＝30﹣6＝24；故答案为：24．……………………………………………………………………10分。

几何思想之矩形的判定与性质专练

几何思想之矩形的判定与性质专练

专题01 几何思想之矩形的判定与性质专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．（2021·浙江吴兴·八年级期末）如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE AD =，连结EB ，EC ，DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）．A ．AB BE=B ．CE DE ^C ．90ADB Ð=°D ．BE AB^【标准答案】D【思路指引】由条件：四边形ABCD 为平行四边形及DE =AD ，可得四边形DBCE 为平行四边形，根据所给的四个选项及矩形的判定即可作出判断．【详解详析】∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB =CD ，BC =AD ，BC ∥AD ，AB ∥CD∵DE =AD∴BC =DE∵BC ∥AD∴BC ∥DE∴四边形DBCE 是平行四边形当AB =BE 时，则由AB =CD 得BE =CD ，即四边形DBCE 的两条对角线相等，根据矩形的判定知，四边形DBCE 是矩形；当CE ⊥DE 时或90ADB Ð=°时，根据矩形的定义即知，四边形DBCE 是矩形；当BE AB ^时，则由AB ∥CD ，可知BE ⊥CD ，即DBCE Y 的对角线相互垂直，但不能判定它是矩形．故选：D ．【名师指路】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定方法是本题的关键．2．（2021·浙江·杭州外国语学校八年级期中）如图，△ABC 中，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，过D 作DF ⊥BC 于点F ，DF ＝5cm ，∠EDB ＝15°，则DE ＝（ ）A ．12.5cmB ．5cmC ．7.5cmD ．10cm【标准答案】D【思路指引】过点E 作BC 的垂线交BC 于点G ，先证明四边形EDFG 为矩形，得出5EG DF ==，利用角平分线的性质，证明出EBD △为等腰三角形，得出EB DE =，再在Rt BGE V 中，利用30°对应的边等于斜边的一半即可求解．【详解详析】解：过点E 作BC 的垂线交BC 于点G ，如图：由题意：DF BC ^，//GE FD \，//DE BC Q ，\四边形EDFG 为平行四边形，90DFG Ð=o Q ，\四边形EDFG 为矩形，5EG DF \==，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，EBD GBD \Ð=Ð，//DE BC Q ，15EDB GBD \Ð=Ð=°，EBD EDB \Ð=Ð，EBD \V 为等腰三角形，EB DE \=，30EBG \Ð=°，在Rt BGE V 中，152EG BE ==，10BE \=，10DE \=，故选：D ．【名师指路】本题考查了角平线的定义、等腰三角形的判定及性质、矩形的判定、直角三角形中30°对应的边等于斜边的一半，解题的关键是根据题意添加适当的辅助线构造直角三角形．3．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，动点P 从点B 出发，沿着BC 匀速向终点C 运动，则线段EF 的值大小变化情况是（ ）A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小后增大D ．先增大后减少【标准答案】C【思路指引】连接AP ，先判断出四边形AFPE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=AP ，再根据垂线段最短可得AP ⊥AB 时，线段EF 的值最小，即可判断出动点P 从点B 出发，沿着BC 匀速向终点C 运动，线段EF 的值大小变化情况．【详解详析】如图，连接AP ．∵∠A=90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC∴四边形AFPE 是矩形，∴EF=AP ，由垂线段最短可得AP ⊥BC 时，AP 最短，则线段EF 的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．故选C．【名师指路】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．4．（2021·浙江·温州市第二十一中学八年级月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P为边AB 上一动点（且点P不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM的最小值为（ ）A．54B．125C．43D．65【标准答案】D【思路指引】首先证明四边形CEPF是矩形，因为M是EF的中点，推出延长PM经过点C，推出EF=CP，可得PM=1 2EF=12PC，求出PC的最小值可得PM的最小值．【详解详析】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，∴，∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∴∠PEC=∠PFC=∠EPF=90°，∴四边形CEPF是矩形，∵M是EF的中点，∴延长PM经过点C，∴EF=CP，PM=12EF=12PC，当PC⊥AB时，PC=4312 55´=，∴PM的最小值为65，故选D．【名师指路】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边上的高的求法，注意当CP ⊥AB 时，CP 最小．5．（2021·浙江瑞安·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC Ð，//AD BC ，90C Ð=°，5AB =，4CD =，则四边形ABCD 的周长是（ ）．A ．18B ．20C ．22D ．24【标准答案】C【思路指引】过点A 做AE BC ^交BC 于点E ，根据角平分线和平行线性质，推导得5AD AB ==；通过判定四边形AECD 为矩形，得5EC AD ==，4AE CD ==；再根据勾股定理计算，得BE ，从而得到四边形ABCD 的周长．【详解详析】如图，过点A 做AE BC ^交BC 于点E∵BD 平分ABCÐ∴ABD CBD Ð=Ð∵//AD BC∴ADB CBD Ð=Ð∴ABD ADB Ð=Ð∴5AD AB ==∵AE BC ^，90C Ð=°∴//AE DC∴四边形AECD 为矩形∴5EC AD ==，4AE CD ==又∵AE BC ^，即90AEB =°∠∴3BE ==∴四边形ABCD 的周长22AB BE EC CD AD =++++=故选：C ．【名师指路】本题考查了平行线、角平分线、等腰三角形、矩形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线、矩形、勾股定理、等腰三角形的性质，从而完成求解．6．（2021·浙江杭州·八年级期中）如图，在ABC V 中，90BAC Ð=°，6AB =，8AC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ^于E ，PF AC ^于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为（ ）A ．2.4B ．2.5C ．4.8D ．5【标准答案】A【思路指引】先求证四边形AFPE 是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离、垂线段最短，再利用相似三角形对应边成比例即可求得AP 最短时的长，最后求出PM 最短时的长即可．【详解详析】解：连结AP ，如图所示：∵∠BAC =90°，AB =6，AC =8，∴BC 10==5，∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，90BAC Ð=°∴四边形AFPE 是矩形，∴EF =AP ．∵M 是EF 的中点，∴PM =12AP ，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP=6810´=4.8，∴AP最短时，AP=4.8，∴当PM最短时，PM=12AP=2.4．故选A．【名师指路】本题主要考查了矩形的判定与性质以及垂线段最短，根据题意说明四边形AFPE是矩形并灵活运用“垂线段最短”成为解答本题的关键．7．（2021·浙江省余姚市实验学校八年级期中）在正方形ABCD中，AD＝6，点M在边DC上，连接AM，△ADM沿直线AM翻折后点D落到点N，过点N作NE⊥CD，垂足为点E．如图，如果ED＝2EC，则DM＝（ ）A．B．C．9﹣D．6﹣【标准答案】C【思路指引】过点N作NH⊥AD于H，先证明四边形NEDH为矩形，得到HD=NE，NH=DE，根据ED=2EC，ED+EC=CD=6，可以得到ED=HN=4，再利用勾股定理求出AH，即可得到NE的值，最后再直角三角形MNE中用勾股定理求解即可.【详解详析】解：如图所示，过点N作NH⊥AD于H，∵四边形ABCD是正方形，AD=6∴AD=CD=6，∠D=90°，∵NE⊥CD，NH⊥AD，∴∠NED=∠NHD=∠NHA=90°，∴四边形NEDH 为矩形，∴HD =NE ，NH =DE ，∵ED =2EC ，ED +EC =CD =6，∴ED =HN =4，由翻折的性质可得AD =AN =6，DM =MN∴AH ==∴6NE DH ==-，设DM =MN =x ，则ME =4-x ,则222MN NE ME =+,∴(()22264x x =-+-，解得9x =-，∴9DM =-故选C.【名师指路】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8．（2021·浙江台州·八年级期中）如图，在四边形ABCD 中，4,1,90,30,120AD BC B A ADC ==Ð=°Ð=°Ð=°，则CD 的长为（ ）A．2B．1.5C．3D．2.5【标准答案】A【思路指引】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，根据含30度直角三角形的性质求出DE，根据矩形的性质求出EF，得到DF的长，进而求出CD即可．【详解详析】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，∵∠AED=90°，∠A=30°，AD=2，∴DE=12∵∠BED=90°，∠B=90°，∠CFE=90°，∴四边形BCFE为矩形，∴EF=BC=1，∴DF=DE-EF=1，∵∠ADC=120°，∠ADE=60°，∴∠CDF=120°-60°=60°，在Rt△CFD中，∠DCF=30°，∴CD=2DF=2，故选：A．【名师指路】本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．9．（2021·浙江龙湾·八年级期中）如图，OA ⊥OB ，OB ＝4，P 是射线OA 上一动点，连接BP ，以B 为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA 上取一点D ，使∠CDO ＝45°，当P 在射线OA 上自O 向A 运动时，PD 的长度的变化（ ）A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．保持不变【标准答案】D【思路指引】过点C 作CH OB ^于H ，CG OA ^于G ，先根据矩形的判定与性质可得,OG CH CG OH OB HB ===+，再根据三角形全等的判定定理证出OBP HCB @V V ，根据全等三角形的性质可得4,OB CH OP HB ===，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得DG CG OB HB ==+，最后根据线段的和差、等量代换即可得出结论．【详解详析】解：如图，过点C 作CH OB ^于H ，CG OA ^于G ，则四边形OHCG 是矩形，,OG CH CG OH OB HB \===+，∵CBP V 是等腰直角三角形，∴,90BC BP CBP =Ð=°，∴90HBC OBP Ð+Ð=°，∵CH OB ^，∴90HBC HCB Ð+Ð=°，∴OBP HCB Ð=Ð，在OBP V 和HCB V 中，90OBP HCB O BHC BP CB Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，∴()OBP HCB AAS @V V ，∴4,OB CH OP HB ===，∴OG OB =，∵45,CDO CG OD Ð=°^，∴OCD V 是等腰直角三角形，∴DG CG OB HB ==+，∴()()28PD DG PG OB HB OP OG OB HB HB OB OB =-=+--=+--==，∴PD 的长度保持不变，故选：D ．【名师指路】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键．10．（2021·浙江瑞安·八年级期末）如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，以ABC V 的各边为边分别作正方形BAHI ，正方形BCFG 与正方形CADE ．延长BG ，FG 分别交AD ，DE 于点K ，J ，连结DH ，IJ ．图中两块阴影部分面积分别记为1S ，2S ，若12:1:4S S =，四边形18BAHE S =，则四边形MBNJ 的面积为（）A ．5B ．6C ．8D ．9【标准答案】B【思路指引】结合题意，根据正方形面积比，计算得2BC GJ =，从而得3AC GJ =；根据勾股定理性质，计算得AB =；再根据勾股定理计算，得2HD GJ =；结合18BAHE S =，通过计算得GJ ；通过证明FAN EBM △≌△，得FAN EBM S S =△△，结合矩形CFJE 和四边形MBNJ 、ABC V 的面积关系计算，即可得到答案．【详解详析】解：∵12:1:4S S =∴12GJ BC =∵四边形BCFG 与四边形CADE 是正方形∴2BC FC FG GB GJ ====∴3AC AD DE CE BC GJ GJ====+=∵90ACB Ð=°∴AB ==∵AH AB =，18090ADH ADE Ð=°-Ð=°∴2HD GJ ==∵四边形BAHE AHD S S =△+梯形18ADEB S = ∴()()11113233182222AD HD AD BE DE GJ GJ GJ GJ GJ ´++´=´´++´=∴GJ =∴32AF AC FC GJ GJ GJ BE=-=-==∵90CAB ABC Ð+Ð=°，18090ABC EBM ABI Ð+Ð=°-Ð=°∴CAB EBM Ð=Ð，即FAN EBMÐ=Ð∵四边形BCFG 与四边形CADE 是正方形∴18090AFN CFN Ð=°-Ð=°，BEM 90Ð=°∴90AFN BEM AF BE FAN EBM Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî∴FAN EBM △≌△∴FAN EBM S S =△△∴ABC S =V 四边形CFNB EBMS S +△∵90FCE CEJ EJF JFC Ð=Ð=Ð=Ð=°∴四边形CFJE 是矩形∴矩形CFJE S =四边形MBNJ S +四边形CFNB EBM S S +=△四边形MBNJ ABCS S +△∴四边形MBNJ S =矩形CFJE S -ABC S V 112332622JE CE AC BC GJ GJ GJ GJ =´-´=´-´´= 故选：B ．【名师指路】本题考查了矩形、正方形、勾股定理、全等三角形、平方根、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、正方形、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解．二、填空题11．（2021·浙江·宁波市第七中学八年级期中）如图，矩形ABCD 中，AD ＝10，AB ＝6，点P 在边CD 上，且PC 平分∠BPD ，点M 在线段BP 上，点N 在线段BC 的延长线上，且PM ＝CN ，连接MN 交BP 于点F ，过点M 作ME ⊥CP 于E ．则EF ＝______________．【思路指引】过点M 作//MH BC 交CP 于H ，根据两直线平行，同位角相等可得MHP BCP Ð=Ð，两直线平行，内错角相等可得NCF MHF Ð=Ð，然后求出BPC MHP Ð=Ð，根据等角对等边可得PM MH =，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE EH =，利用“角边角”证明NCF D 和MHF D 全等，根据全等三角形对应边相等可得CF FH =，从而求出12EF CP =，根据矩形的对边相等可得10BC AD ==，再利用勾股定理列式求出AP ，然后求出PD ，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP ，从而得解．【详解详析】解：如图，过点M 作//MH BC 交CP 于H ，则MHP BCP Ð=Ð，NCF MHF Ð=Ð，∵PC 平分∠BPD ，∴∠BPC =∠DPC ，∵AD ∥BC ，∴∠DPC=∠BCP ，BCP BPC \Ð=Ð，BPC MHP \Ð=Ð，BP =PC ，PM MH \=，PM CN =Q ，CN MH \=，ME CP ^Q ，PE EH \=，在NCF D 和MHF D 中，NCF MHF CFN HFM CN MH Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()NCF MHF AAS \D @D ，CF FH \=，12EF EH FH CP \=+=，Q 矩形ABCD 中，10AD =，10BC AD \==，10 BP BC\==，在Rt ABPD中，8AP===，1082PD AD AP\=-=-=，在Rt CPDD中，CP===12EF CP\==．【名师指路】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．12．（2021·浙江·乐清市英华学校八年级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为_____．【标准答案】3或6．【思路指引】当CEBD¢为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出10AC=，根据折叠的性质得90AB E BТ=Ð=°，而当CEBD¢为直角三角形时，只能得到90EB CТ=°，所以点A、B′、C共线，即BÐ沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB EB=¢，6AB AB=¢=，可计算出4CB¢=，设BE x=，则EB x¢=，8CE x=-，然后在Rt CEBD¢中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时四边形ABEB¢为正方形．【详解详析】解：当CEBD¢为直角三角形时，有两种情况：①当点B ′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC ，在Rt ABC D 中，6AB =，8BC =，10AC \==，B ÐQ 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，90AB E B \Т=Ð=°，当CEB D ¢为直角三角形时，只能得到90EB C Т=°，\点A 、B ′、C 共线，即B Ð沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B ′处，如图，EB EB \=¢，6AB AB =¢=，1064CB \¢=-=，设BE x =，则EB x ¢=，8CE x =-，在Rt CEB D ¢中，222EB CB CE ¢+¢=Q ，2224(8)x x \+=-，解得3x =，3BE \=；②当点B ′落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEB ¢为正方形，6BE AB \==．综上所述，BE 的长为3或6．故答案为3或6．【名师指路】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．13．（2021·浙江·杭州市建兰中学八年级期中）在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝25，点E 在线段BC 上，CE ＝12，点F 是线段AD 上的一个动点，连接BF ，若将四边形ABEF 沿EF 折叠，点A 、B 分别落在点A ¢、B ¢处，则当点B 恰好落在矩形ABCD 的一边上时，AF 的长为_____．【标准答案】5或10.6【思路指引】分两种情况解答：①当点B ′落在DC 边上，根据折叠不变性，AF A F =¢，13B E BE ¢==，连接B F ¢，则¢=B F BF ；在Rt △B EC ¢中由勾股定理可得CB ¢，设AF x =，则25DE x =-，根据BF B F =¢，由勾股定理列出方程，解方程，结论可得；②当点B ′落在AD 边上，过B ′作B H EC ¢^，仿照①，列出方程，结论可得．【详解详析】解：分两种情况解答：①当点B ′落在DC 边上时，如下图：连接B F ¢，由题意：AF A F =¢，B E BE ¢=，BF B F =¢．在矩形ABCD 中，25AD =Q ，25BC \=．12CE =Q ，251213BE \=-=．13B E \¢=．5B C \¢==．12CD AB ==Q ，1257B D CD CB \¢=-¢=-=．设AF x =，则A F x ¢=，25DF x =-．2222212BF AB AF x \=+=+．22222(25)7B F DF B D x ¢=+¢=-+．2214449(25)x x \+=+-．解得：10.6x =．10.6AF \=．②当点B ′落在AD 边上，如下图：过点B ′作B H EC ¢^于点H ，由题意：AF A F =¢，B E BE ¢=，BF B F =¢．在矩形ABCD 中，25AD =Q ，25BC \=．12CE =Q ，251213BE \=-=．13B E \¢=．在Rt △B EH ¢中，12B H CD ¢==，5EH \=．1257CH \=-=．7B D \¢=．25718AB \¢=-=．设AF A F x =¢=，则18B F x ¢=-．2222212BF AB AF x =+=+Q ，22212(18)x x \+=-．解得：5x =．5AF \=．综上，5AF =或10.6．故答案为：5或10.6．【名师指路】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理．利用折叠不变性和勾股定理列出方程是解题的关键．14．如图，直线l 上有AB 、两点，且AB =AB 为边向上构造矩形,4ABCD BC =，连接对角线,AC E 为AC 的中点，F 为直线l 上的动点，连接EF ，作C 关于EF 的对称点C ¢，连接,C E C F ¢¢，若EFC ¢V 与ACF V 的重叠部分()EFG V 面积等于ACF V 的14，则BF =___．【标准答案】+【思路指引】分两种情形①如图1中，当点F 在线段AB 上时，连接C E ¢，C A ¢，作EM BC ^于M ，EN PC ^¢于N ．只要证明四边形AFEC ¢是平行四边形即可解决问题；②如图2中，当点F 在线段AB 的延长线上时，同法可求．【详解详析】解：如图1中，当点F 在线段AB 上时，连接C E ¢，C A ¢，作EM CF ^于M ，EN FC ^¢于N ．EFC D ¢Q 与ACF D 的重叠部分()EFG D 面积等于ACF D 的14，EG AG \=，EFC EFC Ð=ТQ ，EM BC ^于M ，EN FC ^¢于N ，EM EN \=，\12212FECFEG FC EM S EC S EG FG EN D D ××===××，2FC FG \=，FC FC ¢=Q ，FG C G \=¢，AG GE =Q ，\四边形AFEC ¢是平行四边形，1122EC AF EC AC \¢====FB \=如图2中，点F 在线段BA 的延长线上时，同法可得AF EC EC =¢==BF \=故答案为或+【名师指路】本题考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．15．如图，在矩形纸片ABCD 中，40cm,16cm,BC AB M ==点为BC 边上的中点，点G 沿B A D ®®运动（不含端点），将矩形纸片沿直线MG 翻折，使得点B 落在AD 边上，则折痕MG 长度为______．【标准答案】或【思路指引】过F 作ME ⊥AD 于E ，可得出四边形ABME 为矩形，利用矩形的性质得到AE =BF ，AB =EM ，分两种情况考虑：（i ）当G 在AB 上，B ′落在AE 上时，如图1所示，由折叠的性质得到B ′M =BM ，BG =B ′G ，在直角三角形EMB ′中，利用勾股定理求出B ′E 的长，由AE -B ′E 求出AB ′的长，设AG =x ，由AB -AG 表示出BG ，即为B ′G ，在直角三角形AB ′G 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，确定出AG 的长，进而求出BG 的长，在直角三角形GBM 中，利用勾股定理即可求出折痕MG 的长；（ii ）当G 在AE 上，B ′落在ED 上，如图2所示，同理求出B ′E 的长，设A ′G =AG =y ，由AE +B ′E -AG 表示出GB ′，在直角三角形A ′B ′G 中，利用勾股定理列出关于y 的方程，求出方程的解得到y 的值，求出AG 的长，由AE -AG 求出GE 的长，在直角三角形GEM 中，利用勾股定理即可求出折痕MG 的长，综上，得到所有满足题意的折痕MG 的长．【详解详析】解：如图1所示，过M 作ME AD ^于E ，G 在AB 上，B ′落在AE 上，可得四边形ABME 为矩形，16EM AB \==，AE BM =，又40BC =Q ，M 为BC 的中点，\由折叠可得：1220B M BM BC ¢===，在Rt EFB ¢△中，根据勾股定理得：B E 12¢，201232AB AE B E \¢=+¢=+=，设AG x =，则有16GB GB x ¢==-，在Rt AGB ¢△中，根据勾股定理得：222GB AG A B ¢=+¢¢，即222(16)8x x -=+，解得：6x =，16610GB \=-=在Rt GBF △中，根据勾股定理得：GM =()ii 如图2所示，过F 作FE AD ^于E ，G 在AE 上，B ′落在ED 上，可得四边形ABME 为矩形，16EM AB \==，AE BM =，又40BC =，M 为BC 的中点，\由折叠可得：1220B M BM BC ¢===，在Rt EMB ¢△中，根据勾股定理得：B E 12¢==，201232AB AE B E \¢=+¢=+=，设AG A G y =¢=，则32GB AB AG AE EB AG y ¢=¢-=+¢-=-，16A B AB ¢¢==，在Rt △A B G ¢¢中，根据勾股定理得：222A G A B GB ¢+¢¢=¢，即22216(32)y y +=-，解得：12y =，12AG \=，20128GE AE AG \=-=-=，在Rt GEM △中，根据勾股定理得：GM ==，综上，折痕MG =故答案为：或．【名师指路】此题考查了翻折变换-折叠问题，涉及的知识有：矩形的判定与性质，勾股定理，利用了方程、转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．16．（2021·浙江瓯海·八年级期中）如图，在长方形ABCD 中，4,10AB BC ==，M 为BC 的中点，沿过点M 的直线翻折，使点B 落在边AD 上，记折痕为MN ，则折痕MN 的长为_________．【标准答案】【思路指引】设B 点沿过点M 的直线翻折后落在AD 上的对应点为点B ′，分类讨论①过点M 作ME AD ^交AD 于点E ，N 在AB 上，根据折叠性质得5B M BM ¢==，由勾股定理得，3B E ¢=，MN =②过点M 作ME AD ^交AD 于点E ，N 在AD 上，由折叠得5B M BM ¢==，由勾股定理得，3B E ¢=，设AN A N y =¢=，则5EN AE AN y =-=-，在Rt △A NB ¢¢中，由勾股定理得，222NA A B NB ¢+¢¢=¢，在Rt NEM D中，由勾股定理得，MN =，即可得出结论．【详解详析】解：设B 点沿过点M 的直线翻折后落在AD 上的对应点为点B ′，①过点M 作ME AD ^交AD 于点E ，N 在AB 上，可得四边形ABME 为矩形，4EM AB \==，AE BM =，M Q 为BC 中点，10BC =，\由折叠可得：1110522B M BM BC ¢===´=，在Rt △B EM ¢中，由勾股定理得，3B E ¢=，532AB AE B E \¢=-¢=-=，设AN x =，则4NB AB AN x =-=-，在Rt ANB D ¢中，由勾股定理得，22222222(4)AN AB x NB NB x +¢=+=¢==-，解得32x =，35422NB AB AN \=-=-=，在Rt NBM D 中，由勾股定理得，MN②过点M 作ME AD ^交AD 于点E ，N 在AD 上，可得，四边形ABME 为矩形，4ME AB \==，AE BM =，又10BC =Q ，M 为BC 中点，\由折叠得，1110522B M BM BC ¢==´=´=，在Rt EMB D ¢，由勾股定理得，3B E ¢，538AB AE B E ¢=+¢=+=，设AN A N y =¢=，则5EN AE AN y =-=-，则538NB NE B E y y ¢=+¢=-+=-，在Rt △A NB ¢¢中，90NA B Т¢=°，由勾股定理得，222222224(8)NA A B y AB y NB y ¢+¢¢=+=+=¢=-，3y =，则5532NE y =-=-=，在Rt NEM D 中，90EMN Ð=°，由勾股定理得，MN =综上所述，MN =故答案为：【名师指路】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握矩形和翻折变换的性质以及都股定理等基本知识点，本题注意分类讨论．17．（2021·浙江拱墅·八年级期末）如图，对折矩形纸片ABCD ，使边AD 与BC 重合，折痕为EF ，将纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF 上的点G 处，折痕BH 交EF 于点M ．若BC AB ＝m （m ＞1），则FG EM的值为____．（用含m 的代数式表示）【标准答案】3-【思路指引】根据折叠的性质得到AE =BE ，AB =BG ，AH =HG ，∠A =∠BGH =90°，证明△HGM 是等边三角形，设AB =1，BC =m ，利用勾股定理求出EM ，求出MG ，GF 的长，即可得到比值．【详解详析】解：由第一次折叠可知：AE =BE ，由第二次折叠可知：AB =BG ，AH =HG ，∠A =∠BGH =90°，∴BG =2BE ，∴∠BGE =30°，∠EBG =60°，∴∠ABH =∠GBH =30°，∠HGM =60°，∴BM =2EM ，∠BME =∠HMG =60°，∴△HGM 是等边三角形，∵BC AB=m ，∴设AB =1，BC =m ，∴BG =1，AE =BE =12，AD =EF =m ，在△BEM 中，222BE EM BM +=，即()222122EM EM æö+=ç÷èø，∴EM =E 为AB 中点，EM ∥AD ，∴AH =2EMHG =MG ，∴GF =EF -EM -MG=m∴FG EM=3-，故答案为：3-．【名师指路】本题考查了矩形的性质，折叠问题，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，知识点较多，解题的关键是利用基本性质得到线段之间的关系．18．（2021·浙江·嵊州市初级中学八年级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，下列五个结论：①EF =CF ；②∠BAE +∠ECF =90º；③CF ∥AE ；④△ECF 是等边三角形；⑤365CF =；其中一定成立的有_______（填序号）．【标准答案】②③⑤【思路指引】先证明∠BAE≠30°，即可推出∠BEA=∠AEF≠60°，则∠FEC≠60°，从而可以推出△FEC不是等边三角形，即可判断①④，根据∠BEF=∠EFC+∠ECF，∠ECF=∠EFC，∠BEA=∠AEF，即可得到∠AEB=∠FCE，即可判断②③；过点F作FG∥BC交AE于G，过点B作BH⊥AE于H，先证明四边形FGEC是平行四边形，四边形BEFG是平行四边形，即可得到GH=HE1122GE CF==，然后利用面积法和勾股定理即可判断⑤．【详解详析】解：由折叠的性质可知：BE=EF，AB=AF，∠BEA=∠AEF，∵E为BC的中点，∴BE=EC=162BC=，∴FE=EC，∴∠ECF=∠EFC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴10AE==，∠BAE+∠AEB=90°，∴2AE BE¹，∴∠BAE≠30°，∴∠BEA=∠AEF≠60°，∴∠FEC≠60°，∴△FEC不是等边三角形，故④错误，∴EF≠CF，故①错误；∵∠BEF=∠EFC+∠ECF，∴∠AEB=∠FCE，∵∠BAE+∠AEB=90°，AE∥CF故③正确∴∠BAE+∠ECF=90°，故②正确，如图，过点F作FG∥BC交AE于G，过点B作BH⊥AE于H，∴四边形FGEC是平行四边形，∴GF=BE=EC，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF=BG=BE，GE=CF，∴GH=HE1122GE CF ==，∵11=22ABES AB BE AE BH=g g△，∴245AB BEBHAE==g，∴185 HE==，∴3625CF EH==，故⑤正确；故答案为：②③⑤．【名师指路】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定，平行四边形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．三、解答题19．（2021·浙江余杭·八年级月考）如图，在长方形ABCD中，4AB=，9BC=，动点Q沿着C D A B®®®的方向运动，到点B运动停止，设点Q运动的路程为x，QCBD的面积为y．（1）点Q在CD边上，求y关于x的函数表达式．（2）点Q在AD边上，QCBD的面积是否发生变化？请说明理由．（3）点Q在AB边上，QCBD的面积是否发生变化？如果发生变化，求出面积的变化范围，并写出y关于x的函数表达式；如果没有发生变化，求出此时QCBD的面积．【标准答案】（1）9(04)2y x x=<£；（2）QCB△的面积不发生变化，理由见解析；（3）QCB△的面积发生变化，018y <£，9153(1317)22y x x =-+£<．【思路指引】（1）由题意可求出CQ 的长，利用三角形的面积公式即可得到求y 与x 的关系式；（2）当点Q 在AD 上运动时，QCB △的面积不发生改变，过点Q 作QM BC ^于点M ，利用三角形的面积公式可得QCB △的面积为18，是个定值；（3）先求出BQ 的长，再利用三角形的面积公式可得y 与x 的函数关系式，然后利用点Q 在AB 上可得出x 的范围，由此即可得出面积y 的变化范围．【详解详析】解：（1）Q 在长方形ABCD 中，4AB =，9BC =，4,9,90CD AB AD BC ABC BCD \====Ð=Ð=°，由题意知，当点Q 在CD 边上时，CQ x =，且04x <£，19(24)20y BC CQ x x \=×=<£；（2）QCB △的面积不发生变化．理由如下：如图，过点Q 作QM BC ^于点M ，则4QM AB ==，11941822QCB S BC QM \=×=´´=V ，是一个定值，所以QCB △的面积不发生变化；（3）QCB △的面积发生变化，求解过程如下：当点Q 在AB 边上时，CD AD AQ x ++=，且CD AD x CD AD AB +£<++，49417BQ AB AD CD x x x \=++-=++-=-，1317x £<，1191539(17)(1317)2222y BC BQ x x x \=×=´-=-+£<，1317x £<Q ，9153915317132222y -´+<£-´+\，即018y <£．【名师指路】本题考查了一次函数的几何应用、长方形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的求解方法是解题关键．20．如图，已知在矩形ABCD中，点E在AB边上，F在CE边上，且∠ACD＝∠DAF．（1）当∠CAF＝30°时，求矩形的长宽之比；（2）若∠CAF＝∠ECB，请回答下列问题；①设∠ACE＝x，∠CAF＝y，求y关于x的表达式；②若EB＝1，求CF的长．【标准答案】（1；（2）①2303y x=°-；②2．【思路指引】（1）根据矩形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可；（2）①根据矩形的性质和角的关系得出关系式即可；②延长EB至G，使BG＝BE，连接CG，根据矩形的性质和边的关系解答即可．【详解详析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ACD＝∠BAC，∵∠ACD＝∠DAF，∴∠BAC＝∠DAF，∴∠BAC﹣∠CAF＝∠DAF﹣∠CAF，∴∠BAF＝∠CAD，∵∠CAF＝30°，∴∠BAF＝∠CAD＝90-90303022CAFÐ-==o o oo，∴△ACD是含30°的直角三角形，∴AD：DC1，1；（2）①设∠ACE＝x，∠CAF＝y，∵∠CAF＝∠ECB，∴∠ECB＝∠CAF＝y，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCF+∠ACE＝x+y，∵∠ACD＝∠DAF＝∠CAF+∠CAD＝y+x+y＝x+2y，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACE+∠BCE＝90°，∴x+2y+x+y＝90°，∴y＝30°-23 x；②延长EB至G，使BG＝BE，连接CG，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠DCA＝∠BAC，∵∠DCA＝∠DAF，∴∠BAC＝∠DAF，∴∠EAF＝∠DAC，∵∠AFE＝∠FAC+∠ACE，∠ACB＝∠ECB+∠ACE，∠FAC＝∠ECB，∴∠AFE＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∴∠EAF＝∠EFA，∴AE＝EF，∵AB⊥BC，BG＝BE，∴CG＝CE，∴∠ECB＝∠GCB，∵∠ACG＝∠ACB+∠BCG，∠ACB＝∠CAD，∴∠ACG＝∠DAF＝∠BAC，∴AG＝CG，又∵CE＝CG，∴CE＝AG，∴CF+EF＝AE+2EB，∴CF＝2EB＝2．【名师指路】本题考查了四边形得到综合题、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．21．（2021·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图，△ABC中，∠C＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，∠ABC的平分线交AC于点D，点P是线段AC上一动点，PE//BC交射线BD于点E，连接AE，点'E是点E关于AC的对称点.（1）线段BC＝______，AC＝_____；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，△AEB是否有可能是等腰三角形？若有可能，求出当△AEB是等腰三角形时，CP所有可能的长；若不可能，请说明理由；（3）当点E¢恰好落在线段BC上时，PC＝______．【标准答案】（1）2+，（2）有可能，（3【思路指引】（1）过点A作AF⊥BC于F，过点P作PG⊥BC于G，根据已知角和已知边解直角三角形即可求解；（2）过点D 作DQ ⊥BC 于Q ，根据等腰三角形的性质分情况讨论，利用已知角和边解直角三角形即可；（3）过点C 作EC ⊥BC 交BD 延长线于E ，根据等腰直角三角形的性质解直角三角形即可求解.【详解详析】（1）解：过点A 作AF ⊥BC 于F ，过点P 作PG ⊥BC 于G ，∵∠C =45°，∠ABC =60°，AF ⊥BC ，∴AFB △和AFC △是直角三角形，在直角三角形AFB △中，已知AB =4，∠FAB =30°∴BF =12AB =12×4=2，由勾股定理可得：又∵在直角三角形AFC △中，∠C =45°，AF =FC =∴BC =2+∴=（2）解：过点D 作DQ ⊥BC 于Q ，∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =60°，∴∠ABD =∠DBC -30°，设CQ =x ，则BQ =BC -CQ =2+x ，在直角三角形BQD V 中，∠DQB =30°，∴12DQ BD =，勾股定理可得：BQ =,∴DQ BQ =∴DQ BQ ==，求得x =2即DQ =CQ =2，BQ =∴BD 4=，DC =，由题意，AEB △是等腰三角形，故有三种情况：①当AB =AE 时，∠ABE =∠AEB =30°，∴∠BAE =180°-30°-30°=120°，∵∠ABC =60°，∠BAE =120°，∴AE //BC ，∵PE //BC ，P 为AC 上一动点，∴点P 与点A 重合，即PC =AC =②当AB =EB 时，EB =AB =2，∵BD =2，AB =2，EB =AB =2，∴点D 与点E 重合（点E 在BD 上），∴点P 与点E 重合,即PC =CD=∵此时不满足PE //BC ，∴不存在；③当AE =BE 时，过点E 作EM ⊥AB 于M ，在直角三角形BME V 中，BM =122AB =,∠MBE =30°，∴ME =12BE ，勾股定理可得：MB，∴BM BE =∴BE ==，过点E 作EH ⊥BC ，PG ⊥BC ，在直角三角形BHE V 中，BE,∠HBE =30°，∴12EH BE ==∵四边形EHGP 是矩形，∴PG =EH在直角三角形PGC V 中，∠PCG =45°，∴PG =GC由勾股定理可得：PC =综上，CP 可能的长为（3）连接EC 、EE ¢，∵∠ACB =45°，PE ∥BC ，∴∠EPC =∠ACB =45゜，∵E 与'E 关于AC 对称，∴∠ECP =∠ACB =45゜，∴∠BCE =∠ACB +∠ECP =90゜，∠PEC =180゜－∠EPC －∠ECP =90゜，∴EC ⊥BC ，PEC V 是等腰直角三角形，∴PE =CE ，由勾股定理可得：PC2=PE 2+CE 2,∴PC 22，∴CE PC ，又∵在直角三角形BCE V 中，∠EBC =30°，BC =2+∴EC =12BE ，由勾股定理可得：BC BE ，∴CE BC =∴CE (22+=,∴PC =.【名师指路】本题主要考查含30°的直角三角形的性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握含30°的直角三角形的性质和勾股定理.22．（2021·浙江·温州市第十四中学八年级期中）如图1，在Rt ABC V 中，ACB 90Ð=o ，AC =BC =4，D 是AB 的中点．延长AC 至点N ，在BC 右侧作BM ∥AN ，点E 为射线BM 上一点，连结DE 交BC 于点F ，过点D 作DG DE ^交AC 于点G ．（1）求证：BFD CGD Ð=Ð；（2）如图 2，点H 在射线CN 上，且EF 平分BFH Ð，连结EH ．①求证：HF HG =；②当HEF V 是以EH 为腰的等腰三角形时，则BF = ．(直接写出答案，结果保留根号)．【标准答案】（1）见解析；（2）①见解析；②4-2-．【思路指引】（1）先证明∠DGC +∠DFC =180°，再根据∠BFD +∠DFC =180°，得出结论；（2）①先证明∠FHD =∠CHD ，再证明CGD Ð=∠DFH ，最后根据△DFH ≌△DGH 得出结论；②分两种情况讨论：①当EH =HF 时；②当EH =EF 时，分别求解即可．【详解详析】解：（1）∵DG DE ^，ACB 90Ð=o ，∴∠ACB =∠FDG =90°，∴∠DGC +∠DFC =360°-∠ACB -∠FDG =180°，∵∠BFD +∠DFC =180°，∴∠BFD =∠DGC ；（2）①连接DC ，DH ，DO ⊥AC ，DK ⊥BC ，DP ⊥HF ，交HF 的延长线于点P ，∵AC =BC ，D 是AB 的中点，∴CD 是∠BCA 的平分线，∴∠FHD =∠CHD ，∵DO ⊥AC ，DK ⊥BC ，∴DO =DK ，。

(完整版)矩形的判定和性质练习题

(完整版)矩形的判定和性质练习题

O FE DCBAODC B AONM DCBA OEDCBA矩形的判定和性质(基础练习)1. 在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______________.2. 一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为__________________.3. 在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为_____________________.4. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, EF 经过O 点, 那么图中全等三角形共有_____________________对.5. 在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P 为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为__________________.6. 在矩形ABCD 内有一点Q, 满足QA=1, QB=2, QC=3, 那么QD 的长为____________________.7. 如图, 矩形ABCD 的对角线交于O 点, 若那么∠BDC 的大小为________________.8. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且满足AM=BN, 给出以下结论: ①MN //DC; ②∠DMN=∠MNC; ③OMD ONC S S =V V . 其中正确的是______________.9. 一个平行四边形的四个内角的角平分线相交围成的四边形的形状是________________.10. 如图, 在矩形ABCD 中, AE 平分∠BAD, ∠CAE=15︒, 那么∠BOE 的度数为__________________.二. 解题技巧11. 在矩形ABCD 中，∠A 和∠B 的平分线交边CD 于点M 和N ，若M 、N 是CD 的三等分点，那么AB ：BC 的值为___________________.PHDCBAE DCBAFE D C BAFED CB A12. 如图, 在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于点E,BC=, CD=2, 那么BE=_______________________.13. 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH.14. 如图, 矩形ABCD 的周长为16cm, DE=2cm, 若△CEF 是等腰直角三角形, 那么这个三角形的面积为______________.15. 如图, 在矩形ABCD 中, AD=12, AB=7, DF 平分∠ADC, AF ⊥EF, (1)求EF 长; (2)在平面上是否存在点Q, 使得QA=QD=QE=QF? 若存在, 求出QA 的长; 若不存在, 说明理由.16. 一个四边形满足: 它的每个顶点到其它三个顶点的距离之和相等, 试判断这个四边形的形状.17. 已知矩形ABCD ，试问：当边AB 和BC 满足什么条件时, 在边CD 上一定存在点P, 使得PA ⊥PB?矩形的判定和性质（巩固练习）1.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.2.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.3.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .4.如图，E为矩形ABCD对角线AC上一点，DE⊥AC于E，∠ADE: ∠EDC=2:3,则∠BDE为_________.5.矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为㎝，矩形面积为 cm2.6.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是___________.7.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对边相互平行B. 对角线相等C. 对角线相互平分D. 对角相等8.矩形具备而平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．邻角互补 C．对角相等 D．对角线相等9.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分10.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD•的中点，那么MN⊥BD 成立吗？试说明理由．11.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD重叠，求图中阴影部分的面积.CEDAB12.如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形．13. 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，求证：四边形PQMN 是矩形．14. 如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点． 求证：BF DF ⊥．15. 如图，矩形ABCD 中，CE BD ⊥于E ，AF 平分BAD ∠交EC 于F ， 求证：CF BD =．HG OFEDCB ANMQPDCBAABCE FDDABCEF。

关于矩形判定的题

关于矩形判定的题

关于矩形判定的题
矩形是一个四边相等、对角线相等且互相平分、且四个角都是直角的图形。

下面是几种常见的矩形判定方法:
1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2. 对角线相等的平行四边形是矩形。

3. 有三个角是直角的四边形是矩形。

4. 在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。

5. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

矩形具有以下性质：
1. 矩形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。

2. 矩形的四个角都是直角。

3. 矩形的对角线相等。

4. 具有不稳定性，易变形。

在几何学中，矩形是一个非常重要的图形，其在几何学中的应用也非常广泛。

例如，在平面几何中，矩形可以用来表示正方形、菱形、长方形等图形，同时也可以用来表示一些方程的解集等。

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矩形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F为AB上两点，且△DAF≌△CBE．求证：（1）∠A=90°；（2）四边形ABCD是矩形．2．如图，已知平行四边形ABCD，∠ABC，∠BCD的平分线BE、CF分别交AD于E、F，BE、CF交于点G，点H为BC的中点，GH的延长线交GB的平行线CM于点M．（1）试说明：∠BGC=90°；（2）连接BM，判断四边形GBMC的形状并说明理由．3．如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E．（1）四边形OCDE是矩形吗？说说你的理由；（2）请你将上述条件中的菱形改为另一种四边形，其它条件都不变，你能得出什么结论？根据改编后的题目画出图形，并说明理由．4．△ABC中，AD⊥BC于D，点E、F分别是△ABC中AB、AC中点，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF 是矩形？说明理由．5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O．（1）用尺规作图的方法，作出△AOB平移后的△DEC，其中平移的方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD 的长；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（2）观察图形，判断四边形DOCE是什么特殊四边形，并证明．6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，ON=OB，再延长OC至M，使CM=AN，求证：四边形NDMB为矩形．7．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作BD的平行线CE，过点D作AC的平行线DE，CE与DE 相交于点E，试说明四边形OCED是矩形．8．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E、F分别是边BC、CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，连接BD．（1）求证：四边形DBEM是平行四边形；（2）若BD=DC，连接CM，求证：四边形ABCM为矩形．9．如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN∥BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点．求证：四边形AECF是矩形．10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是BC的中点，连接AC、DE相交于点O．（1）试说明：△AOD≌△COE；（2）若∠B=∠AOE，试说明四边形AECD是矩形的理由．11．如图，以△ABC的各边为一边向BC的同侧作正△ABD、正△BCF、正△ACE，若∠BAC=150°，求证：四边形AEFD为矩形．12．（1）在等腰三角形ABC中AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE=4，FC=3，求EF长．（2）如图，将?ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．①求证：△ABF≌△ECF；②若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．13．如图，AD是△ABC的中线，过点A作AE∥BC，过点B作BE∥AD交AE于点E，（1）求证：AE=CD；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADBE是矩形？请说明理由．14．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，点G在边BC上，且CG=（AD+BC）．（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）连接DG，若∠ADG=2∠ADE，求证：四边形DEGF是矩形．15．已知，如图在△ABC中，AB=AC，点D是AC的中点，直线AE∥BC，过D点作直线EF∥AB分别交AE、BC于点E、F，求证：四边形AECF是矩形．16．已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，且CE=AB．求证：四边形CFED是矩形．17．如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F；（1）试说明四边形AECF是平行四边形．（2）若EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．（3）当EF与AC有怎样的关系时，四边形AECF是矩形．18．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC上一点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F．（1）说明四边形AEDF是矩形．（2）试问：当点D位于BC边的什么位置时，四边形AEDF是正方形？并说明你的理由．19．如图，△ABC中，D为边AC的中点，过点D作MN∥BC，CE平分∠ACB交MN于E，CF平分∠ACG交MN于F，求证：（1）ED=DF；（2）四边形AECF为矩形．20．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．21．如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点，（不与点A，C重合），过点O作直线l∥BC，直线l与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA的平分线相交于点F．（1）OE与OF相等吗？为什么？（2）探索：当点O在何处时，四边形AECF为矩形？为什么？22．（2013?沙湾区模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE 的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．23．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∠OBC=∠OCB，求证：四边形ABCD是矩形．24．如图M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，AN，BM相交于P，DN，CM相交于Q．求证：PMQN为矩形．25．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形．26．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上的一点，过点A作AF∥BE，交ED的延长线于点F，连接AE，CF．（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，则四边形AFCE是矩形．27．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，探究：当△ABC满足什么条件时，四边形DBEA是矩形？并说明理由．28．如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形OCED是矩形吗？说说你的理由．29．已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．求证：四边形ABCD是矩形．30．如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCED为矩形．矩形的判定专项练习30题参考答案：1．（1）∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵△DAF≌△CBE，∴∠A=∠B，∴2∠A=180°，∴∠A=90°；（2）∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形2．（1）∵∠ABC+∠BCD=180°，BE、CF平分∠ABC，∠BCD，∴∠GBC+∠GCB=90°，∴∠BGC=90°；（2）∵点H为BC的中点，∴BH=CH=GH，∵GB∥CM，∴∠BGH=∠CMH，∵∠HBG=∠HGB，∴∠HCM=∠HMC，∴MH=BH=CH=GH，∴四边形GBMC为矩形3．（1）四边形OCDE是矩形．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴∠DOC=90°，∴四边形OCED是矩形．（2）任意改变四边形ABCD的形状，四边形OCED都是平行四边形（答案不唯一）．理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．4．满足△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∴BD=CD，∵点E、F分别是△ABC中AB、AC中点，∴DF∥AB，ED∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∵∠BAC=90°∴AEDF是矩形．5．（1）所作图形如图所示：（2）四边形DOCE是矩形．∵△DCE是由△AOB平移后的图形，∴DE∥AC，CE∥BD．∴四边形DOCE是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．即∠DOC=90°∴四边形DOCE为矩形．6．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，OD=OB，∵AN=CM ON=OB，∴ON=OM=OD=OB，∴四边形NDMB为平行四边形，∵MN=BD，∴平行四边形NDMB为矩形7．∵DE∥AC，CE∥BD，∴DE∥OC，CE∥OD∴四边形OCED是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形8．（1）证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，即DM∥BE，∵E、F分别是边BC、CD的中点∴EF∥BD，∴四边形DBEM是平行四边形．（2）证明：连接DE，∵DB=DC，且E是BC中点，∴DE⊥BC，∴DE∥AB．又∵AB⊥BC，∴AB∥DE∵由（1）知四边形DBEM是平行四边形，∴DM∥BE且DM=BE，∴DM∥EC且DM=EC，∴四边形DMCE是平行四边形，∴CM∥DE，∴AB∥CM．又AM∥BC∴四边形ABCM是平行四边形，∵AB⊥BC，∴四边形ABCM是矩形．9．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．∵AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB，同理，∠ACF=∠ACP，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACP）=×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．10．（1）∵BC=2AD，点E是BC的中点，∴EC=AD．∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CEO，∠DAO=∠ECO．在△AOD和△COE 中，∴△AOD≌△COE（ASA）；（2）∵AD=BE，AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形；同理可得：四边形AECD是平行四边形．∴∠ADO=∠B．∵∠B=∠AOE，∴∠AOE=2∠B．∴∠AOE=2∠ADO．∵∠AOE=∠ADO+∠DAO，∴∠OAD=∠ODA．∴OA=OD．∴AC=DE．∴四边形AECD是矩形．11．：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC．又∵BD=BA，BF=BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC=DF=AE，同理可证△ABC≌△EFC，∴AB=EF=AD，∴四边形DAFEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）∵∠BAC=150°，∴∠DAE=150°﹣∠DAB﹣∠EAC=90°，∴四边形AEFD为矩形．12．1）解：∵ABC中AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，∴∠A=∠C=45°，CD=AD，∴BD=CD=AD，BD平分∠ABC，∴∠EBD=45°=∠C，∵BD⊥AC，DE⊥DF，∴∠BDC=∠EDF=90°，∴∠BDC﹣∠BDF=∠EDF﹣∠BDF，∴∠EDB=∠FDC，∵在△EDB和△FDC中∴△EDB≌△FDC（ASA），∴FC=DE=3，同理△AED≌△BFD，∴DF=AE=4，在Rt△EDF中，由勾股定理得：EF==5；（2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵CD=CE，∴AB∥CE，AB=CE，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AF=FE，BF=FC，∵在△ABF和△ECF中∴△ABF≌△ECF（SSS）；②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC，∵∠AFC=∠ABC+∠FAB，∵∠ABC=∠FAB，∴AF=FB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE=2AF，BC=2BF，∴AE=BC，∵四边形ABEC是平行四边形，∴四边形ABEC是矩形．13．（1）∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE=BD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴AE=CD．（2）当AB=AC时，四边形ADBE是矩形，理由是：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，又∵四边形ADBE是平行四边形，∴四边形ADBE是矩形14．1）证明：如图，连接EF．∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，∴，EF∥AD∥BC．∵，∴EF=CG．∴四边形EGCF是平行四边形．∴EG=FC且EG∥FC．∵F是CD的中点，∴FC=DF．∴EG=DF且EG∥DF．∴四边形DEGF是平行四边形．（2）证明：连接EF，将EF与DG的交点记为点O．∵∠ADG=2∠ADE，∴∠ADE=∠EDG．∵EF∥AD，∴∠ADE=∠DEO．∴∠EDG=∠DEO．∴EO=DO．∵四边形DEGF是平行四边形，∴，．∴EF=DG，∴平行四边形DEGF是矩形．即四边形DEGF是矩形．15．∵点D是AC的中点，∴DA=DC，∵AE∥BC，∴∠AED=∠CFD，在△ADE和△CDF 中，，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE=CF，又∵AE∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE∥BC，EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB=EF，∵AB=AC，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形．16．∵D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，∴DE∥BC，且DE=BC，DF=AB，CF=BC，∴DE=CF，∴四边形CFED平行四边形，又∵CE=AB，∴CE=DF，∴平行四边形CFED是矩形，故四边形CFED是矩形．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△AEO∽△CFO，∴=，∵OA=CO，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）证明：∵四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（3）解：当EF=AC时，四边形AECF是矩形，理由是：由（1）知：四边形AECF是平行四边形，∵AC=EF，∴平行四边形AECF是矩形18．（1）∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AFD=∠AED=∠A=90°，∴四边形AEDF是矩形；（2）当D时BC的中点时，四边形AEDF是正方形；JU理由：∵D是BC的中点，∴BD=DC∵AB=AC∴∠B=∠C又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BDF=∠DEC∴△BFD≌△DCE，∴DF=DE，∴矩形AEDF是正方形．19．（1）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACG，∴∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG，又∵MN∥BG，∴∠DEC=∠ECB，∠DFC=∠FCG，∴∠DEC=∠DCE，∠DFC=∠DCF，∴DE=DC，DF=DC，∴DE=DF．（2）∵D为AC的中点，∴AD=DC，又DE=DF，∴四边形AECF为平行四边形，∵∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG，∴∠ECF=90°，∴平行四边形AECF为矩形20．∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴平行四边形OBEC是矩形21．（1）解：OE=OE，理由是：∵直线l∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠OCE=∠BCE，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理OF=OC，∴OE=OF．（2）解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，理由是：∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵OE=OF=OC=OA，∴AC=EF，∴平行四边形AECF是矩形22．（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE（1分）∵E是AD的中点，∴AE=DE．（2分）∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．（3分）∴AF=DC，∵AF=BD∴BD=CD，∴D是BC的中点；（4分）（2）四边形AFBD是矩形，（5分）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，（6分）∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，（7分）∴四边形AFBD是矩形．23．∵∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=OA=AC，OB=OD=BD，∴AC=BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，即四边形ABCD是矩形24．∵ABCD为平行四边形，∴AD平行且等于BC，又∵M为AD的中点，N为BC的中点，∴MD平行且等于BN，∴BNDM为平行四边形，∴BM∥ND，同理AN∥MC，∴四边形PMQN为平行四边形，（5分）连接MN，∵AM平行且等于BN，∴四边形ABNM为平行四边形，又∵AD=2AB，M为AD中点，∴BN=AB，∴四边形ABNM为菱形，∴AN⊥BM，∴平行四边形PMQN为矩形．（10分）25．∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，AE∥FC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形，又∵AF⊥BC，∴∠AFC=90°，则四边形AECF为矩形．26．（1）证明：∵AF∥BE，∴∠AFD=∠CED，∠FAD=∠DCE，∵D是AC的中点，∴AD=DC，在△FAD和△ECD中，∴△FAD≌△ECD（AAS），∴AF=CE；（2）证明：∵△FAD≌△ECD，∴FD=DE，∵AD=DC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形27．（1）证明：∵E是AC的中点，∴EC=AC，∵DB=AC，∴DB=EC，又∵DB∥AC，∴四边形BCED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴BC=DE；（2）解：△ABC满足AB=BC时，四边形DBEA是矩形．理由如下：∵E是AC的中点，∴AE=AC，∵DB=AC，∴DB=AE，又∵DB∥AC，∴四边形DBEA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∵AB=BC，E为AC中点，∴∠AEB=90°，∴平行四边形DBEA是矩形，即△ABC满足AB=BC时，四边形DBEA是矩形．28．是矩形．（1分）理由：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴DE⊥CE，∴∠E=90°，∴平行四边形OCED是矩形29．∵BC是等腰△BED底边ED上的高，∴EC=CD，∵四边形ABEC是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CE=CD，AC=BE，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC=BE，BE=BD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形30．在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE又DE=BC．∴四边形BCED为平行四边形．在△ACD和△ABE中，∵AC=AB，AD=AE，∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠CAE=∠BAE，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴CD=BE．∴四边形BCED为矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）。

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