离散数学 图论-图的基本概念

度数分配 1 2 1 按出度与入度分配： 入度列 1 1 0 出度列 0 1 1 入度列 0 出度列 1 入度列 1 出度列 0 2 0 0 2 0 1 1 0 度数分配 2 2 0 按出度与入度分配： 入度列 1 1 0
出度列 1
1
0
这只是对较为简单的情 况给出的非同构图，对 于一般的情况（n,m)图 到目前为止还没有解决
例：无向图G = < V，E >
其中 顶点集合 V＝｛v1,v2,v3,v4Байду номын сангаас｝ 边集合 E＝｛(v1,v2),(v2,v3),(v3,v2), (v3,v1),(v2,v2),(v2,v2),(v1,v2),｝ 园括号表示无向边 有平行边
2） 定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 (1) V ≠ ø 称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2)E为边集，它是笛卡儿积 VⅹV的有穷多重子集，其元素称 为有向边，简称边(弧)． 有向图D=<V,E> 其中 V＝｛v1,v2,v3 ｝ 边集合E＝｛<v1,v2>,<v2,v1>, <v2,v1>,<v2,v3>,<v3,v3> <v3,v3>｝
一、图的概念
1、无序积定义：设A，B为任意的两个集合， 称 ｛ ｛a，b｝ ┃ a∈A∧b∈B ｝为A与B的无序积，记作A & B 其元素｛a，b｝ 可简记为（a，b） 2、图的定义 1）定义1 一个无向图是一个有序的二元组 < V，E >，记作G，其中 (1) V ≠ ø 称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2) E称为边集，它是无序积V＆V的多重子集，其元素称为无向边， 简称为边．
3）定义：(G) = max{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最大的度 δ(G) = min{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最小的度 简记为、δ 定义： －(D) = max{d－(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的入度 ＋(D) = max{d＋(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的出度 δ-(D) = min{d－(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的入度 δ＋(D) = min{d＋(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的出度
5、握手定理（欧拉）
1)定理1 设G＝<V,E>为任意无向图,V＝{v1，v2，…，vn},｜E｜ = m， 则 ∑d(vi) ＝ 2m (所有结点的度数值和为边数的2倍) 证: G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和 时，每条边均提供2度，当然，m条边共提供2m度 2) 定理2 设D＝<V,E>为任意有向图,V＝{v1，v2，…，vn},|E| = m ， 则 ∑d+(vi) = ∑d-(vi) = m． 且∑d(vi)＝2m 3) 推论 任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶数个
6）邻接： 边的相邻：ek，el∈E．若ek与el至少有一个公共端点， 则称ek与el是相邻的 顶点的相邻：若∃et∈E，使得et = <vi，vj>， 则称vi为et的始点，vj为et的终点， 并称vi邻接到vj，vj邻接于vi 两个结点为一条边的端点，则称两个结点互为邻接点， 也称边关联于这两个结点，或称两个结点邻接于此边。 7）平行边： 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些 边为平行边，平行边的条数称为重数． 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且它们 的方向相同，则称这些边为平行边． 8）多重图和简单图：含平行边的图称为多重图 既不含平行边也不含环的图称为简单图．（主要讨论简单图）
（与前面的关系的图表示相当）
3、有关图的术语
1）用G表示无向图，D表示有向图。 有时用V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集。 2）用|V(G)|，|E(G)|分别表示G的顶点数和边数 若｜V(G)｜＝n，则称G为n阶图。对有向图有相同定义。 3）在图G中，若边集E(G)＝ø ，则称G为零图 若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别是称N1为平凡图 4）在用图形表示一个图时，若给每个结点和每一条边均指定一个 符号（字母或数字），则称这样的图为标定图。 5) 常用ek表示边(vi，vj)( 或<vi，vj> ) 设G＝<V，E> 为无向图，ek = (vi，vj)∈E， 则称vi，vj为ek的端点， ek与vi、vj是彼此相关联的． 起、终点相同的边称为环 不与任何边关联的结点称为孤立点（包括有向图)
二、图的同构
定义：设G1＝<Vl，E1>，G2=<V2，E2>为两个无向图(有向图)， 若存在双射函数 f：V1 → V2 对于 ∀vi，vj V1，(vi，vj) E1 当且仅当 (f(vi),f(vj)) E2 并且(vi，vj) 与(f(vi),f(vj))的重数 相同，则称G1与G2是同构的，记作Gl ≅ G2。 对有向图有相同的定义。
2
3)正则图 定义 设G为n阶无向简单图，若∀ v∈V(G)，均有d(v)＝k 则称G为 k-正则图 k-正则图的边数与结点个数的关系 ： m = k n /2 如：3-正则图
四、子图、生成子图、导出子图
1、定义 设G＝<V，E>，G‘＝<V’，E’>为两个图(同为无向图或有向图) 若V’⊆ V 且 E’⊆ E ，则称G‘是G的子图，G为G‘的母图，记作G’⊆G， 又若V‘⊂V 或 E’ ⊂ E，则称G‘为G的真子图 若V’＝V（且E’⊆ E），则称G‘为G的生成子图(全部顶点)
图论
图的基本概念
七座桥所有的走法一共有7！=5040种。 1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交 了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题， 同时开创了数学新分支---图论。
图论
在许多应用领域中：地图导航、网络技术 研究及程序流程分析都会遇到由“结点” 和“边”组成的图 在计算机许多学科中如：数据结构、操作 系统、网络理论、信息的组织与检索均离 不开由这种“结点”和“边”组成的图以 及图的特殊形式--树。 图与树是建立和处理离散对象及其关系重 要工具。如地图导航、周游问题、图像分 割等等。
例 (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图．
结点个数与边数相同，只需找出顶点度数序列不同的图（2 3＝6） 如何将度数6分配给4个结点： 1 1 1 3 相应的图 2 2 1 1 2 2 2 0
例 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图 结点个数与边数相同，只需找出顶点度（出度及入度）数序列不同的图 结点总度数： 2＊2＝4
2、设G＝<V，E>为图，V1⊂V 且V1≠ ø ，称以V1为顶点集，以G 中两个端点都在V1中的边组成边集E1的图为G的V1导出的子图， 记作G[V1]． 可画图表示 G 及 G［V1］（P279图14.5）结点导出的子图 又设E1 ⊂ E且 E1 ≠ ø ，称以 E1为边集，以E1中边关联 的顶点为顶点集V1的图为G的E1导出的子图，记作G[E1]．
4、结点的度
1) 定义4 设G＝<V，E>为无向图，∀ v ∈V，称v作为边的端点的 次数之和为v的度数，简称为度，记作dG(v)， 简记为d(v)，即为：结点v 所关联的边的总条数 关于有向图D＝<V，E> 有： ∀v∈V，称v作为边的始点的次数之和为v的出度，记作d+(v)， 称v作为边的终点的次数之和为v的入度，记作d-(v) 称d+(v)+ d-(v)为 v的度数，记作dD(v). 2) 称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边 根据结点的度数可将结点分为： 度为偶数(奇数)的顶点称为偶度顶点(奇度顶点). 一个环提供的度为2（有向图的环提供入度1和出度1）
三、特殊图－完全图与正则图
1)完全图 定义 设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其余的n—1个顶点相邻， 则称G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记作Kn(n≥1)． 设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点都邻接到其余的n—1个顶点， 又邻接于其余的 n—1个顶点，则称D是 n 阶有向完全图． 可画图表示（无向图5阶、有向图3阶和4阶） 2)完全图的性质： n阶无向完全图G的边数与结点的关系 m = n (n-1)/2 n阶有向完全图G的边数与结点的关系 m = n (n-1)
定义说明了:两个图的各结点之间，如果存在着一一对应关系 f 这种对应关系又保持了结点间的邻接关系， 那么这两个图就是同构的 在有向图的情况下， f 不但应该保持结点间的邻接关系，还应 该保持边的方向。
结点数相同边数相同 结点的度相同 但是两个图 不同构
注： 1) 两个图同构的必要条件
阶数相同（顶点） 边数相同 度数相同的顶点数相同 同构的必要条件，并不是充分条件 2)图之间的同构关系可看成全体图集合上的二元关系。 具有自反性，对称性和传递性，是等价关系。 同构的图为一个等价类，在同构的意义之下都可以看 成是一个图。
4) 结点的度数序列
(1) 设G＝<V，E>为一个n阶无向图，V＝{v1，v2，…，vn} 称d(v1)，d(v2)，… ，d(vn) 为G的度数列 注：由推论可知，不是任何一个非负整数序列均可作为一个图的度数列。 条件：奇度数的结点个数应该是偶数个 （2）序列的可图化：对一个整数序列d=(d1,d2,…dn),若存在以n个顶点的n 阶无向图G，有d(vi)=di ，称该序列是可图化的。 特别的，如果得到的是简单图，称该序列是可简单图化的。 （3）定理 设非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)，则d是可图化的当且仅当 ∑di 是偶数(序列之和必须是偶数) （4）由于简单图中没有平行边及环 定理：设G为任意n阶无向简单图，则(G)<= n-1。 每个结点至多与其他n-1个结点相邻 例：给定5个序列哪些是可图化的？哪些是可简单图化的？ d1=（5,5,4,4,2,1） d2=（5,4,3,2,2） d3=（d1,d2,…dn） 其中 d1>d2>…>dn>=1 且Σdi= 偶数 d4=（3,3,3,1） 分析 d5=（4,4,3,3,2,2）