不等式数学归纳法

1. 设实数122018,,..,x x x 满足任意的12018i j ≤<≤，均有(1)i j

i j x x ++≥-，求2018

1

i

i ix =∑

求2018

1i i ix =∑最小值.

2. 设正实数12,,..,n x x x 满足12..1n x x x =，求证：{}{}{}1221

...2

n n x x x -+++≤

，其中 {}x

表示x 的小数部分.

3. 设互不相等正整数12,,..,(2)n x x x n ≥，求证： (1)2221212231.......23n n x x x x x x x x x n +++≥++++-， (2)

222121221

...(...)3

n n n x x x x x x ++++≥+++

4.设[]2,(1),0,1i n i i n x ≥∀≤≤∈，求证： 11

13n

k l k k l n k n kx x kx ≤<≤=-≤∑∑，

5.设1233,...n n x x x x ≥<<<<，证明：111

(1)

()(1)2n n

i j i j i j n i j n n x x n i x j x ≤<≤==->--∑∑∑

6.

求证：12

n

i π

=

7.设函数211

()1.....2!n n f x x x x n =++++，证明：

(1) 当0x >,(),x n e f x n N +>∈； (2)当0x >，存在实数y,使得11

()(1)!

x n y n e f x x e n +=++，证明：0y x <<

８.设()f n n =+，定义数列{}n a ，11,,()n n a m m N a f a ++=∈=，证明：对于每一个正整数m,数列{}n a 必有无穷多个完全平方数. ，

9.对于任意的实数数列{}n x ，定义数列{}n y ，满足12211111

,()()n

n n i

i y x y x x n N +++===-∈∑；

求最小的实数λ,使得对于任意实数数列{}n x 及一切正整数m,均有22

11

1m m m i i i i i x y m λ-==≤∑∑ 。

10.设0n N x +

∈>，，求证：2

(1)

21n n k n

i x x k

+=≥∑

11. 设,0,n N a b +∈>，，求证：222

21)(

)(21)()222n

n n a b a b a b n +-⎡⎤+≤+-⎢⎥⎣⎦（

12.设2,,n n N z C +≥∈∈，2()1()...()444n z z z

f z =++++，若存在1212,,1,1z z C z z ∈≤≤；

证明：12123

()()25

f z f z z z ->-

13. 设12,,..,n x x x R +

∈，证明：可以选取{}12,,...,,1,1n a a a ∈-，使得2

21

1

()n

n

i i i i i i a x a x ==≥∑∑

14.求最大的常数λ，使得对于任意正整数n 及满足

12111

...n

n x x x +++=的正实数，都有：1

1

1()n

n

i

i i i x

x n λ==-≥-∑∏

15.证明：121

sin cos( (1)

i n i x x x x =++++≥∑，其中121,,..,n n x x x x R -∈

16.已知1212,,..,,,,..,,,1,n m x x x N y y y N n m +

+

∈∈>满足1

1

n

m

i i i i x y mn ===<∑∑；

证明：在等式1

1

n m

i i i i x y ===∑∑删除一些（不是所有）项，等式仍然成立.

17.证明：

存在正整数n 与符号的某种选择，任意正整数m 都可以表示为22212.....n ±±±±

18. 已知121,,..,,sin 0,n

n i i x x x R x =∈=∑证明：21sin 4n

i i n i x =⎡⎤

≤⎢⎥⎣⎦

∑；

19.设整数2n ≥，证明： 对于任意的正实数12,,..,n a a a ，都有：

{}{

}212111max ,,..,min ,,..,n n

i i i n i i i a a a a a a x +==≤∑

20.给定正数12,,..,n x x x ，2n ≥，证明：222

1212231

111...111n n x x x n x x x x x x ++++++≥+++

21.求c

的最小值，使得1n

i =对于满足

121...(1,2,3...,1)i i x x x x i n ++++≤=-的正数12,,...,n x x x 均成立.