不等式数学归纳法

1. 设实数122018,,..,x x x 满足任意的12018i j ≤<≤，均有(1)i j
i j x x ++≥-，求2018
1
i
i ix =∑
求2018
1i i ix =∑最小值.
2. 设正实数12,,..,n x x x 满足12..1n x x x =，求证：{}{}{}1221
...2
n n x x x -+++≤
，其中 {}x
表示x 的小数部分.
3. 设互不相等正整数12,,..,(2)n x x x n ≥，求证： (1)2221212231.......23n n x x x x x x x x x n +++≥++++-， (2)
222121221
...(...)3
n n n x x x x x x ++++≥+++
4.设[]2,(1),0,1i n i i n x ≥∀≤≤∈，求证： 11
13n
k l k k l n k n kx x kx ≤<≤=-≤∑∑，
5.设1233,...n n x x x x ≥<<<<，证明：111
(1)
()(1)2n n
i j i j i j n i j n n x x n i x j x ≤<≤==->--∑∑∑
6.
求证：12
n
i π
=
7.设函数211
()1.....2!n n f x x x x n =++++，证明：
(1) 当0x >,(),x n e f x n N +>∈； (2)当0x >，存在实数y,使得11
()(1)!
x n y n e f x x e n +=++，证明：0y x <<
８.设()f n n =+，定义数列{}n a ，11,,()n n a m m N a f a ++=∈=，证明：对于每一个正整数m,数列{}n a 必有无穷多个完全平方数. ，
9.对于任意的实数数列{}n x ，定义数列{}n y ，满足12211111
,()()n
n n i
i y x y x x n N +++===-∈∑；
求最小的实数λ,使得对于任意实数数列{}n x 及一切正整数m,均有22
11
1m m m i i i i i x y m λ-==≤∑∑ 。

10.设0n N x +
∈>，，求证：2
(1)
21n n k n
i x x k
+=≥∑
11. 设,0,n N a b +∈>，，求证：222
21)(
)(21)()222n
n n a b a b a b n +-⎡⎤+≤+-⎢⎥⎣⎦（
12.设2,,n n N z C +≥∈∈，2()1()...()444n z z z
f z =++++，若存在1212,,1,1z z C z z ∈≤≤；
证明：12123
()()25
f z f z z z ->-
13. 设12,,..,n x x x R +
∈，证明：可以选取{}12,,...,,1,1n a a a ∈-，使得2
21
1
()n
n
i i i i i i a x a x ==≥∑∑
14.求最大的常数λ，使得对于任意正整数n 及满足
12111
...n
n x x x +++=的正实数，都有：1
1
1()n
n
i
i i i x
x n λ==-≥-∑∏
15.证明：121
sin cos( (1)
i n i x x x x =++++≥∑，其中121,,..,n n x x x x R -∈
16.已知1212,,..,,,,..,,,1,n m x x x N y y y N n m +
+
∈∈>满足1
1
n
m
i i i i x y mn ===<∑∑；
证明：在等式1
1
n m
i i i i x y ===∑∑删除一些（不是所有）项，等式仍然成立.
17.证明：
存在正整数n 与符号的某种选择，任意正整数m 都可以表示为22212.....n ±±±±
18. 已知121,,..,,sin 0,n
n i i x x x R x =∈=∑证明：21sin 4n
i i n i x =⎡⎤
≤⎢⎥⎣⎦
∑；
19.设整数2n ≥，证明： 对于任意的正实数12,,..,n a a a ，都有：
{}{
}212111max ,,..,min ,,..,n n
i i i n i i i a a a a a a x +==≤∑
20.给定正数12,,..,n x x x ，2n ≥，证明：222
1212231
111...111n n x x x n x x x x x x ++++++≥+++
21.求c
的最小值，使得1n
i =对于满足
121...(1,2,3...,1)i i x x x x i n ++++≤=-的正数12,,...,n x x x 均成立.
22. 12,,..,n a a a 为两两不等的自然数，并且所有差(1)i j a a i j n -≤<≤互不相等，证明：
21
1
(5)6
n
i
i a
n n =≥+∑
２３.设12,,...,0n x x x >，12...n s x x x =+++求证：
23123(1)(1)(1)...(1)1...2!3!!
n
n s s s x x x x s n ++++≤+++++
23.若120.....,3,n a a a n n N +<≤≤≤≥∈，证明：3211212231
......n n a a a a a a
a a a a a a +++≤+++
24.已知0,0,1,2,...,i i a b i n >>=，证明：
111111111
n
n
n
i i i i
i
i i
a b a b ===+
≤
+∑∑∑
25.对于每个整数2n ≥,[]12,,..,0,1,n x x x ∈求证：1
11n
i k j i i j n
x x x =≤<≤-
≤∑∑
26.已知数列{}n a 满足：111,)n n a a a n N ++==∈，证明： (1) 对于任意的正整数n,均有2n n a n ≤≤；
(2) 对于任意的正整数n,均有n a n ≤+（１８年１１月月刊）
27.证明：1
11
cos 22)2n i i n
x n +-=≥≥∑（
28.设12,,..,0n a a a >
，证明：
....+
29.设2n 个（n 不小于2）个不同整数分成两组1212,,..,,,,...,n n a a a b b b ，证明：
111()n i j j i j i i n i j n
j n
T a b a a b b n ≤≤≤<≤≤≤=--
-+-≥∑
∑
30.已知12,,..,n z z z Z ∈，证明：22
2
1
1
1
1
)Re()Re n
n
n
n
k k
k k
i i i i z z
z z
====-
≥-
∑∑∑∑（（）
31.已知12,,...,0,2,n a a a n >≥，证明：12
1
12((1))(
(1))n
i j n i i i j n
i j
a a a a a -=≤<≤+≥+
+∏∏
32．已知121989,,.....,v v v 为一组共面向量，
1,11989,r v r r N +≤≤≤∈，证明：可以找到
(11989)r r ε≤≤等于1±
，使得
19891
r r
r v
ε=≤∑
33.矩阵
1111
n n nn a a a a ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
对一切i x 的每种选择满足不等式111........n
j jn n j a x a x M =++≤∑,
其中1i
x =±，证明：1122...nn a a a M +++≤。