高三月考联考模拟试题汇编解三角形
陕西省五校2025年高三一轮复习：三角函数与解三角形检测试题含答案含解析
陕西省五校2025年高三一轮复习：三角函数与解三角形检测试题含答案注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、汽车在平直公路上以108km/h 的速度匀速行驶，司机看到前面有突发情况，紧急利车，从看到突发情况到刹车的反应时间内汽车做匀速运动，刹车后汽车做匀减速直线运动，从看到突发情况到汽车停下，汽车行驶的距离为90m ，所花时间为5.5s ，则汽车匀减速过程中所受阻力约为汽车所受重力的（ ）A ．0.3倍B ．0.5倍C ．0.6倍D ．0.8倍2、如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h ，在圆筒侧壁开一个小孔P ，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x ，小孔P 到水面的距离为y 。
短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g ，不计空气阻力，在这段时间内下列说法正确的是（ ）A ．水从小孔P 射出的速度大小为gyB ．y 越小，则x 越大C ．x 与小孔的位置无关D ．当y = 2h ，时，x 最大，最大值为h 3、如图所示，轻质弹簧一端固定在竖直墙面上， 另一端拴接一质量为m 的小滑块。
刚开始时弹簧处于原长状态，现给小滑块上施加一水平力F ，使之沿光滑水平面做匀加速直线运动，运动过程中弹簧未超出弹性限度。
下列关于水平力F 随位移x 变化的图像正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4、如图所示，倾角为α的斜面体A 置于粗糙水平面上，物块B 置于斜面上，已知A 、B 的质量分别为M 、m ，它们之间的动摩擦因数为tan μα=。
江苏南京市第九中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学模拟训练(含解析)
江苏南京市第九中学2024-2025学年高三数学上第一次月考模拟训练一．选择题（共10小题）1．已知函数为f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．[0，+∞）2．当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为（ ）A．3B．4C．6D．83．设函数f（x）＝（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，则a2+b2的最小值为（ ）A．B．C．D．14．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．则函数在的最小值是（ ）A．﹣B．﹣C．0D．5．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A．B．C．D．6．设函数f（x）＝sinωx（ω＞0）．已知f（x1）＝﹣1，f（x2）＝1，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω＝（ ）A．1B．2C．3D．47．设椭圆C1：+y2＝1（a＞1），C2：+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝e1，则a＝（ ）A．B．C．D．8．已知sin（α﹣β）＝，cosαsinβ＝，则cos（2α+2β）＝（ ）A．B．C．﹣D．﹣9．已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（ ）A．B．C．D．10．已知α为锐角，cosα＝，则sin＝（ ）A．B．C．D．二．多选题（共4小题）（多选）11．设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（ ）A．x＝3是f（x）的极小值点B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）（多选）12．抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A：x2+（y﹣4）2＝1的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（ ）A．l与⊙A相切B．当P，A，B三点共线时，C．当|PB|＝2时，PA⊥ABD．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个（多选）13．已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），则（ ）A．f（0）＝0B．f（1）＝0C．f（x）是偶函数D．x＝0为f（x）的极小值点（多选）14．若函数f（x）＝alnx++（a≠0）既有极大值也有极小值，则（ ）A．bc＞0B．ab＞0C．b2+8ac＞0D．ac＜0三．填空题（共6小题）15．设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C 于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 ．16．若曲线y＝e x+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝ ．17．（x﹣1）2+y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F重合，两曲线与第一象限交于点P，则原点到直线PF的距离为 ．18．若直线y＝k（x﹣3）与双曲线只有一个公共点，则k的一个取值为 ．19．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝﹣，则C的离心率为 ．20．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若|AB|＝，则f（π）＝ ．四．解答题（共1小题）21．已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为．（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：函数为f（x）＝在R上单调递增，可知：，可得a∈[﹣1，0]．故选：B．2．【解答】解：在同一坐标系中，作出函数y＝sin x与y＝2sin（3x﹣）在[0，2π]上的图象如下，由图象可知，当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为6个．故选：C．3．【解答】解：f（x）的定义域为（﹣b，+∞），令x+a＝0，得x＝﹣a，令ln（x+b）＝0，得x＝1﹣b，因为f（x）≥0，当﹣b＜x＜1﹣b时，ln（x+b）＜0，所以x+a≤0，则1﹣b+a≤0，当x＞1﹣b时，ln（x+b）＞0，所以x+a≥0，则1﹣b+a≥0，故1﹣b+a＝0，即b﹣a＝1，所以，当且仅当，时等号成立．故选：C．4．【解答】解：∵函数＝sin（3ωx+π），（ω＞0）T＝＝π，ω＝，可得f（x）＝sin（2x+π）＝﹣sin2x，x∈，2x∈[﹣，]，所以f（x）在2x∈[﹣，]上单调递减，﹣sin＝﹣，故函数取最小值是﹣．故选：A．5．【解答】解：根据题意，画出图形，如下图：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m﹣n＝2a，因为△PF1F2是面积为8的直角三角形，所以m2+n2＝（2c）2＝4c2，＝8，因为直线PF2的斜率为2，所以tan∠F1F2P＝＝2，所以m＝2n，联立，解得，所以2a＝m﹣n＝2，即a＝，所以4c2＝m2+n2＝40，即c2＝10，所以b2＝c2﹣a2＝10﹣2＝8，所以双曲线的方程为＝1．故选：C．6．【解答】解：因为f（x）＝sinωx，则f（x1）＝﹣1为函数的最小值，f（x2）＝1为函数的最大值，又＝，所以T＝π，ω＝2．故选：B．7．【解答】解：由椭圆C2：+y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2＝＝，∴椭圆C2的离心率为e2＝，∵e2＝e1，∴e1＝，∴＝，∴＝4＝4（﹣）＝4（﹣1），即3＝4，解得a1＝（负的舍去），即a＝．故选：A．8．【解答】解：因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα＝，cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα＝＝，则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×＝．故选：B．9．【解答】解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），椭圆C：的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，∴|﹣﹣x M|＝2|﹣x M|，解得x M＝或x M＝3，∴﹣m＝或﹣m＝3，∴m＝﹣或m＝﹣3，联立可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，∴m＝﹣3不符合题意，故m＝．故选：C．10．【解答】解：cosα＝，则cosα＝，故＝1﹣cosα＝，即＝＝，∵α为锐角，∴，∴sin＝．故选：D．二．多选题（共4小题）11．【解答】解：对于A，f′（x）＝2（x﹣1）（x﹣4）+（x﹣1）2＝3（x﹣1）（x﹣3），易知当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（1，3）上单调递减，当x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（﹣∞，1），（3，+∞）上单调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，选项A正确；对于B，当0＜x＜1时，0＜x2＜1，且x2＜x，又f（x）在（0，1）上单调递增，则f（x2）＜f（x），选项B错误；对于C，由于1＜x＜2，一方面，f（2x﹣1）＝（2x﹣2）2（2x﹣5）＝4（x﹣1）2（2x﹣5）＜0，另一方面，f（2x﹣1）+4＝4（x﹣1）2（2x﹣5）+4＝4[（x﹣1）2（2x﹣5）+1]＝4（x﹣2）2（2x﹣1）＞0，则﹣4＜f（2x﹣1）＜0，选项C正确；对于D，由于﹣1＜x＜0，则f（2﹣x）﹣f（x）＝（x﹣1）2（﹣2﹣x）﹣（x﹣1）2（x﹣4）＝（x﹣1）2（2﹣2x）＝﹣2（x﹣1）3＞0，即f（2﹣x）＞f（x），选项D正确．故选：ACD．12．【解答】解：对于A，抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，是x2+（y﹣4）2＝1的一条切线，选项A正确；对于B，⊙A的圆心为A（0，4），当P、A、B三点共线时，P（4，4），所以，选项B正确；对于C，当PB＝2时，P（1，2）或P（1，﹣2），对应的B（﹣1，2）或（﹣1，﹣2），当P（1，2）时，AB＝PA＝，PB＝2，PA与AB不垂直，当P（1，﹣2）时，AB＝PA＝，PB＝2，PA与AB不垂直，选项C错误；对于D，焦点F（1，0），由抛物线的定义知PB＝PF，则PA＝PB等价于P在AF的中垂线上，该直线的方程为，它与抛物线有两交点，选项D正确．故选：ABD．13．【解答】解：由f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），取x＝y＝0，可得f（0）＝0，故A正确；取x＝y＝1，可得f（1）＝2f（1），即f（1）＝0，故B正确；取x＝y＝﹣1，得f（1）＝2f（﹣1），即f（﹣1）＝f（1）＝0，取y＝﹣1，得f（﹣x）＝f（x），可得f（x）是偶函数，故C正确；由上可知，f（﹣1）＝f（0）＝f（1）＝0，而函数解析式不确定，不妨取f（x）＝0，满足f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），常数函数f（x）＝0无极值，故D错误．故选：ABC．14．【解答】解：函数定义域为（0，+∞），且f′（x）＝﹣﹣＝，由题意，方程f′（x）＝0即ax2﹣bx﹣2c＝0有两个正根，设为x1，x2，则有x1+x2＝＞0，x1x2＝＞0，Δ＝b2+8ac＞0，∴ab＞0，ac＜0，∴ab•ac＝a2bc＜0，即bc＜0．故选：BCD．三．填空题（共6小题）15．【解答】解：由题意知，|F1A|＝13，|F2A|＝|AB|＝5，所以|F1A|﹣|F2A|＝2a＝8，解得a＝4；又x＝c时，y＝，即|F2A|＝＝5，所以b2＝5a＝20，所以c2＝a2+b2＝16+20＝36，所以c＝6，所以双曲线C的离心率为e＝＝．故答案为：．16．【解答】解：曲线y＝e x+x，可得y′＝e x+1，在点（0，1）处切线的斜率为：e0+1＝2，切线方程为：y﹣1＝2x，即y＝2x+1．曲线y＝e x+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，设y＝ln（x+1）+a的切点的横坐标为x，可得切线的斜率为：＝2，可得x＝，x＝代入y＝2x+1，可得切点坐标为：（﹣，0），切点在曲线y＝ln（x+1）+a上，所以0＝ln（﹣+1）+a，解得a＝ln2．故答案为：ln2．17．【解答】解：∵（x﹣1）2+y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F重合，∴F（1，0），∴p＝2，∴y2＝4x，联立，得或，∵两曲线与第一象限交于点P，∴P（4，4），∴直线PF的方程为＝＝，即4x﹣3y﹣4＝0，∴原点到直线PF的距离为d＝＝．故答案为：．18．【解答】解：联立，化简可得（1﹣4k2）x2+24k2x﹣36k2﹣4＝0，因为直线y＝k（x﹣3）与双曲线只有一个公共点，故1﹣4k2＝0，或Δ＝（24k2）2+4（1﹣4k2）（36k2+4）＝0，解得k＝或k无解，当k＝时，符合题意．故答案为：（或﹣）．19．【解答】解：（法一）如图，设F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，n），设A（x，y），则，又，则，可得，又⊥，且，则，化简得n2＝4c2．又点A在C上，则，整理可得，代n2＝4c2，可得，即，解得或（舍去），故．（法二）由，得，设，由对称性可得，则，设∠F1AF2＝θ，则，所以，解得t＝a，所以，在△AF1F2中，由余弦定理可得，即5c2＝9a2，则．故答案为：．20．【解答】解：由题意：设A（x1，），B（x1+，），由y＝sin（ωx+φ）的图象可知：f（x1）＝sin（ωx1+φ）＝，故，f（x2）＝sin[+φ]＝，则，两式相减得：，由图可知：T＜，即，解得ω∈（3，6），∵ω＝4+12（k2﹣k1），k2﹣k1∈Z∴ω＝4，∴f（x）＝sin（4x+φ），又f（）＝sin（+φ）＝0，∴+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝﹣+kπ，k∈Z，∵f（0）＝sinφ＜0，∴当k＝2时，φ＝﹣满足条件，∴∴f（π）＝sin（4π﹣）＝﹣．故答案为：﹣．四．解答题（共1小题）21．【解答】解：（1）双曲线C中心为原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为，则，解得，故双曲线C的方程为；（2）证明：过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，则可设直线MN的方程为x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2），记C的左，右顶点分别为A1，A2，则A1（﹣2，0），A2（2，0），联立，化简整理可得，（4m2﹣1）y2﹣32my+48＝0，故Δ＝（﹣32m）2﹣4×48×（4m2﹣1）＝256m2+192＞0且4m2﹣1≠0，，，直线MA1的方程为，直线NA2方程y＝，故＝＝＝＝＝，故，解得x＝﹣1，所以x P＝﹣1，故点P在定直线x＝﹣1上运动．。
高三模拟文数试题专题集合汇编之解三角形
2017年高三模拟试题专题汇编之解三角形含解析一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则的值等于（）A. B. C. D.2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2a，b=4，cos B=．则边c的长度为（）A.4B.2C.5D.63.在△ABC中，若b=1，A=60°，△ABC的面积为，则a=（）A.13B.C.2D.4.△ABC中，内角A，B，C所对边长为a，b，c，满足a2+b2=2c2，如果c=2，那么△ABC的面积等于（）A.tan AB.tan BC.tan CD.以上都不对5.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则•等于（）A.-B.-C.D.6.已知△ABC中，A：B：C=1：1：4，则a：b：c等于（）A.1：1：B.2：2：C.1：1：2D.1：1：47.已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cos B=，b=4，sin C=2sin A，则△ABC 的面积为（）A. B. C. D.8.钝角△ABC的三边长为连续自然数，则这三边长为（）A.1，2，3B.2，3，4C.3，4，5D.4，5，69.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，三边a，b，c成等差数列，且，则（cos A-cos C）2的值为（）A. B. C. D.010.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2-a2=bc，•＞0，a=，则b+c的取值范围是（）A.（1，）B.（，）C.（，）D.（，]11.在△ABC中，若，b=，则∠C=（）A.或πB.C.D.12.如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.根据增加的长度确定三角形的形状二、填空题(本大题共27小题，共135.0分)13.在△ABC中，，AB=3，，则AC的长度为______ ．14.已知a，b，c是△ABC的三边，其面积S=（b2+c2-a2），角A的大小是______ ．15.△ABC中，C=60°，AB=2，则AC+BC的取值范围为______ ．16.如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ=______ ．17.在△ABC中，AB=3，AC=2，A=60°，则S△ABC= ______ ．18.在△ABC中，A=，AB=2，且△ABC的面积为，则边AC的长为______ ．19.在△ABC中，∠A=，AB=4，△ABC的面积为，则△ABC的外接圆的半径为______ ．20.已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是______ ：（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°．21.在△ABC中，如果a=2，c=2，∠A=30°，那么△ABC的面积等于______ ．22.△ABC所在平面上一点P满足，若△ABP的面积为6，则△ABC的面积为______ ．23.△ABC中，若4sin A+2cos B=4，，则角C= ______ ．24.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b，a＞c．△ABC的外接圆半径为1，，若边BC上一点D满足BD=2DC，且∠BAD=90°，则△ABC的面积为______ ．25.如图所示，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=，若，，则BC= ______ ．26.在△ABC中，已知a=7，b=8，c=13，则角C的大小为______ ．27.在△ABC中，D为边BC上一点，且AD⊥BC，若AD=1，BD=2，CD=3，则∠BAC的度数为______ ．28.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，b=4a，a+c=5，则△ABC的面积为______ ．29.在三角形ABC中，若sin B=2sin A cos C，那么三角形ABC一定是______ 三角形．30.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______ ．31.已知在△ABC中，a=，b=1，b•cos C=c•cos B，则△ABC的面积为______ ．32.如图所示，已知点P为正方形ABCD内一点，且AP=1，BP=2，CP=3，则该正方形ABCD 的面积为______ ．33.在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cos A= ______ ．34.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sin A，sin（B-C）=4cos B sin C，则= ______ ．35.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c若a，则A= ______ ．36.在△ABC中，a：b：c=3：5：7，则此三角形中最大角为______ ．37.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2-b2-c2+bc=0．则角A的大小为______ ．38.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a=4，b=5，cos（B-A）=，则cos B= ______ ．39.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=2，c=3，且满足（2a-c）•cos B=b•cos C，则= ______ ．三、解答题(本大题共10小题，共120.0分)40.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行（2-2）nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C．（1）求AC的长；（2）如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小？41.△ABC中，B=60°，c=3，b=，求S△ABC．42.在锐角△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，（1）求角C（2）若△ABC的面积等于，求a，b；（3）求△ABC的面积最大值．43.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2b，又sin A，sin C，sin B成等差数列．（1）求cos A的值；（2）若，求c的值．44.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcos C=acos C+ccos A．（I）求角C的大小；（II）若b=2，c=，求a及△ABC的面积．45.如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是，点E，F在直径AB上，且．（1）若，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地种植果树的最大面积．46.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．47.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时．飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420秒后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取，）．48.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，解三角形．49.在△ABC中，，（1）求B；（2），求S△ABC．【答案】1.A2.A3.B4.C5.A6.A7.B8.B9.A 10.B 11.D 12.A13.14.15.（2，4]16.17.18.119.20.②21.2或22.1223.24.25.326.27.135°28.29.等腰30.等边三角形31.32.5+233.-34.1+35.36.120°37.38.39.-340.解：由题意，在△ABC中，∠ABC=180°-75°+15°=120°，AB=2-2，BC=4，根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=（2-2）2+42+（2-2）×4=24，所以AC=2．根据正弦定理得，sin∠BAC==，∴∠CAB=45°．41.（本题满分为10分）解：∵B=60°，c=3，b=，∴由余弦定理b2=a2+c2-2accos B，可得：7=a2+9-3a，整理可得：a2-3a+2=0，∴得：a=1或2，∴S△ABC=acsin B=或．42.（本题满分为12分）解：（1）∵，∴，…2分∵A∈（0，π），∴sin A≠0，∴sin C=，∵△ABC为锐角三角形，∴C=．…（6分）（2）∵C=，c=2，由余弦定理及已知条件，得a2+b2-ab=4，①…（7分）又因为△ABC的面积等于，所以absin C=，得ab=4．②…（8分）联立①②，解得，…（11分）（3）由①可得：4+ab≥2ab，即ab≤4（当且仅当a=b=2时等号成立），∴S △ABC=absin C≤=，即当a=b=2时，△ABC的面积的最大值等于，…（12分）43.解：（Ⅰ）∵sin A，sin C，sin B成等差数列，∴sin A+sin B=2sin C由正弦定理得a+b=2c又a=2b，可得，∴；（2）由（1）可知，得，∴，∵，∴，解得：故得时，c的值为4．44.（本题满分为12分）解：（I）∵2bcos C=acos C+ccos A，∴由正弦定理可得：2sin B cos C=sin A cos C+cos A sin C，可得：2sin B cos C=sin（A+C）=sin B，∵sin B＞0，∴cos C=，∵C∈（0，C），∴C=…6分（II）∵b=2，c=，C=，∴由余弦定理可得：7=a2+4-2×，整理可得：a2-2a-3=0，∴解得：a=3或-1（舍去），∴△ABC的面积S=absin C==…12分45.（本小题满分16分）解：（1）由已知得△ABC为直角三角形，因为AB=8，，所以，AC=4，在△ACE中，由余弦定理：CE2=AC2+AE2-2AC•AE cos A，且，所以13=16+AE2-4AE，解得AE=1或AE=3，…（4分）（2）因为，，所以∠ACE=α，所以，…（6分）在△ACF中由正弦定理得：，所以，…（8分）在△ACE中，由正弦定理得：，所以，…（10分）由于：，…（14分）因为，所以，所以，所以当时，S△ECF取最大值为．…（16分）46.（本题满分为14分）解：（1）∵，由正弦定理得．…（3分）又sin B≠0，从而．…（5分）由于0＜A＜π，所以．…（7分）（2）解法一：由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，而，…（9分）得7=4+c2-2c=13，即c2-2c-3=0．因为c＞0，所以c=3．…（11分）故△ABC的面积为S=．…（14分）解法二：由正弦定理，得，从而，…（9分）又由a＞b知A＞B，所以．故．…（12分）所以△ABC的面积为．…（14分）47.（本题满分为12分）解：如图∵∠A=15°，∠DBC=45°，∴∠ACB=30°，…（2分）（m），…（4分）∴在△ABC中，，∴，…（8分）∵CD⊥AD．∴CD=BC sin∠CBD=BC×sin45°===7350，…（10分）山顶的海拔高度=10000-7350=2650（米）=2.65千米…（12分）48.解：C=180°-A-B=105°，sin C=sin（A+B）=，由正弦定理得：=，∴b==2，c==+．49.解：（1）由，根据正弦定理，可得：，2cos B sin A+cos B sin C=-sin B cos C，即2cos B sin A=-sin A∵0＜A＜π，sin A≠0．∴cos B=∵0＜B＜π，∴（2），由余弦定理：cos B=，可得：-ac=a2+c2-13，即（a+c）2-ac-13=0得：ac=3那么三角形的面积．【解析】1. 解：∵∠A=60°，b=1，S△ABC==bcsin A=，∴c=4，∴a2=b2+c2-2bccos A=1+14-2×=13，∴a=，∴===．故选：A．先利用面积公式求得c的值，进而利用余弦定理可求a，再利用正弦定理求解比值．本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．2. 解：∵c=2a，b=4，cos B=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accos B，即16=c2+c2-c2=c2，解得：c=4．故选：A．利用余弦定理列出关系式，把b，cos B，表示出的a代入求出c的值即可．此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．3. 解：∵b=1，A=60°，△ABC的面积为=×，∴解得：c=4，∴由余弦定理可得：a===．故选：B．由已知利用三角形面积公式可求c的值，进而利用余弦定理即可解得a的值．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4. 解：由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcos C，将a2+b2=2c2，c=2代入得：4=8-2abcos C，即ab=，则S△ABC=absin C=••sin C=tan C．故选C由余弦定理列出关系式，将a2+b2=2c2，及c=2代入表示出ab，再利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5. 解：在△ABC中，由余弦定理得：cos A===，==-=-=．故选：A．根据利用余弦定理求出cos A，通过向量数量积的量，=，求解即可．本题考查余弦定理的应用，向量的数量积，考查转化思想以及计算能力．6. 解：△ABC中，∵A：B：C=1：1：4，故三个内角分别为30°、30°、120°，则a：b：c=sin30°：sin30°：sin120°=1：1：，故选：A．利用三角形内角和公式求得三个内角的值，再利用正弦定理求得a：b：c的值．本题主要考查三角形内角和公式、正弦定理的应用，属于基础题．7. 解：∵sin C=2sin A，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accos B，∴42=a2+c2-ac，与c=2a联立解得a=2，c=4．∵cos B=，B∈（0，π），∴sin B==．则△ABC的面积S=sin B==．故选：B．sin C=2sin A，利用正弦定理可得：c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accos B，即42=a2+c2-ac，与c=2a联立解出即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 解：不妨设三边满足a＜b＜c，满足a=n-1，b=n，c=n+1（n≥2，n∈N）．∵△ABC是钝角三角形，∴可得∠C为钝角，即cos C＜0，由余弦定理得：（n+1）2=（n-1）2+n2-2n（n-1）•cos C＞（n-1）2+n2，即（n-1）2+n2＜（n+1）2，化简整理得n2-4n＜0，解之得0＜n＜4，∵n≥2，n∈N，∴n=2，n=3，当n=2时，不能构成三角形，舍去，当n=3时，△ABC三边长分别为2，3，4，故选：B不妨设三边满足a＜b＜c，满足a=n-1，b=n，c=n+1（n≥2，n∈N）．根据余弦定理以及角C 为钝角，建立关于n的不等式并解之可得0＜n＜4，再根据n为整数和构成三角形的条件，可得出本题答案．本题属于解三角形的题型，涉及的知识有三角形的边角关系，余弦函数的图象与性质以及余弦定理，属于基础题．灵活运用余弦定理解关于n的不等式，并且寻找整数解，是解本题的关键．9. 解：∵三边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理可得：2sin B=sin A+sin C，∴sin A+sin C=2sin=1，设cos A-cos C=m，则平方相加可得：2-2cos（A+C）=1+m2，∴m 2=2cos B+1=．故选：A．三边a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，利用正弦定理可得：2sin B=sin A+sin C，即sin A+sin C=1，设cos A-cos C=m，平方相加即可得出．本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10. 解：在△ABC中，∵b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得cos A===，∵A是三角形内角，∴A=60°，∵a=，∴=1=，∵•=||•||•cos （π-B）＞0，∴可得：cos B＜0，B为钝角，∴b+c=sin B+sin（120°-B）=sin B+cos B=sin（B+30°），∵B∈（90°，120°），可得：B+30°∈（120°，150°），可得：sin（B+30°）∈（，），∴b+c=sin（B+30°）∈（，）．故选：B．利用已知代入到余弦定理中求得cos A的值，进而求得A，利用平面向量的运算可得B的范围，利用正弦定理，正弦函数的图象和性质即可得解b+c的取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量在解三角形中的应用．注意余弦定理的变形式的应用，考查计算能力，属于中档题．11. 解：∵b=a，∴根据正弦定理得sin B=sin A，又sin B=sin=，∴sin A=，又a＜b，得到∠A＜∠B=，∴∠A=，则∠C=π-A-B=．故选：D．利用正弦定理化简已知的等式，把sin B的值代入求出sin A的值，由a小于b，根据大边对大角，得到A小于B，即A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C的度数．此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．12. 解：设原来直角三角形的三边长是a，b，c且a2=b2+c2在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的量，原来的斜边仍然是最长的边，只要验证这个边对应的角的情况就可以，cos A==＞0∴这个三角形中最大的角是一个锐角，故选A．设出三角形的边长，在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的量，原来的斜边仍然是最长的边，只要验证这个边对应的角的情况就可以，利用余弦定理验证．本题考查判断三角形的形状，考查余弦定理的应用，在解题时注意分析三条边长变化以后，最大的边长在变化以后仍然是最大的边长，只要观察这条边对应的角即可．13. 解：∵，B∈（0，π），∴B=，又∵AB=3，=AB•BC•sin B=，∴BC=2，∴AC===．故答案为：．由已知可求B，利用三角形面积公式可求BC的值，进而利用余弦定理可求AC的值．本题主要考查了特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14. 解：∵S=（b2+c2-a2），即bcsin A=（b2+c2-a2）=×2bccos A，∴tan A==，由A为三角形的内角，∴A=，故答案为：．由S=（b2+c2-a2），得bcsin A=（b2+c2-a2），利用余弦定理及同角三角函数的关系可求得tan A=1，由A的范围可求A．该题考查三角形的面积公式、余弦定理，属基础题，准确记忆公式并灵活运用是解题关键．15. 解：在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a，b，c，由题意可得：c=2，由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcos C，即：4=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab≥（a+b）2，解得：a+b≤4，又由三角形的性质可得：a+b＞2，综上，可得：2＜a+b≤4．所以AC+BC的取值范围为：（2，4]．故答案为：（2，4]．由已知利用余弦定理，基本不等式可得4=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab≥（a+b）2，解得a+b≤4，又利用两边之和大于第三边可得a+b＞2，从而可求AC+BC的取值范围．本题主要考查余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，解决这类问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用，属于中档题．16. 解：连接BC，在△ABC中，AC=10海里，AB=20海里，∠CAB=120°根据余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700，∴BC=10海里，根据正弦定理得，即，∴sin∠ACB=，∴sinθ=；故答案为：．连接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sin∠ACB的值，即可求出sinθ的值本题考查了解三角形问题的实际应用，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系．17. 解：∵AB=3，AC=2，A=60°，∴S △ABC=AB•AC•sin A==．故答案为：．由已知利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题．18. 解：∵A=，AB=2，且△ABC的面积为，∴由三角形面积公式可得：S=×AB×AC×sin A可得：=×2×AC×sin，∴解得：AC=1．故答案为：1．利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了三角形面积公式的应用，属于基础题．19. 解：由已知可得：=2，解得b=2．∴a2=22+42-2×2×4×=28．∴a=2．设△ABC的外接圆的半径为R，则2R===，解得R=．故答案为：．由已知可得：=2，解得b．再利用余弦定理可得a，再利用正弦定理即可得出．本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20. 解：满足，则有A1=±A，B1=±B，C1=±C．对于①，cos A=cos90°=0，显然不成立．对于②，可取满足题意．对于③，经验证不满足．故答案为：②．满足，则有A1=±A，B1=±B，C1=±C逐一验证选项即可．本题考查了推理的能力，根据条件逐一验证，是一种很好的做客观题的方法，属于中档题21. 解：∵a=2，c=2，A=30°，∴由正弦定理，得：sin C==，∴C=60°或120°，∴B=90°或30°，则S△ABC=acsin B=2或．故答案为：2或．由A的度数求值sin A的值，再由a、c的值，利用正弦定理求出sin C的值，再利用特殊角的三角函数值求出C的度数，进而求出B的度数，确定出sin B的值，由a，c及sin B的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．22. 解：取AC的中点O，则∵，∴=2，∴C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍故S△ABC=2S△ABP=12故答案为：12由已知中P是△ABC所在平面内一点，且满足，我们根据向量加法的三角形法则可得=2，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC=2S△ABP，结合已知中△ABP的面积为6，即可得到答案．本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义，其中根据=2，得到S△ABC=2S△ABP，是解答本题的关键．23. 解：∵4sin A+2cos B=4，，∴2sin A+cos B=2，sin B+2cos A=，∴两边同时平方，然后两式相加，化简得5+4（sin A cos B+sin B cos A）=7，∴sin（A+B）=，∴sin（180°-C）=sin C=，∴得出∠C=或．∵若∠C=，可得：A+B=，cos B＜1，2sin A＜1，2sin A+cos B=2，不成立，∴∠C=．故答案为：．先对条件中两个式子平方后相加得到关于A+B的正弦值，再由诱导公式得到角C的正弦值，最后得到答案．本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角和与差的正弦公式的应用．属基础题．24. 解：∵△ABC的外接圆半径R为1，，∴由正弦定理，可得：sin A=，∵边BC上一点D满足BD=2DC，且∠BAD=90°，∴A=120°，∠CAD=30°，BD=a=，CD=a=，∴如图，由正弦定理可得：，可得：b=sin∠2=sin∠1==c，∴△BAC是等腰三角形，底角是30°，∴sin B=，可得：c=1，∴S△ABC==．故答案为：．由已知及正弦定理可求sin A=，进而可求A，∠CAD，BD，CD，由正弦定理可得b=sin∠2=sin∠1==c，可求sin B=，c=1，即可利用三角形面积公式计算得解．本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．25.解：由题意在△ADC中，AD=1，CD=2，AC=，∴由余弦定理可得cos∠CAD==，∴sin∠CAD=，同理由cos∠BAD=-，可得sin∠BAD=，∴sin∠CAB=sin（∠BAD-∠CAD）=sin∠BAD cos∠CAD-cos∠BAD sin∠CAD=在△ABC中由正弦定理可得BC==3故答案为：3．由题意在△ADC中应用余弦定理易得cos∠CAD，进而由同角三角函数基本关系可得sin∠CAD和sin∠BAD，再由和差角公式可得sin∠CAB，在△ABC中由正弦定理可得BC．本题考查三角形中的几何运算，涉及正余弦定理的综合应用，属中档题．26. 解：∵在△ABC中a=7，b=8，c=13，∴由余弦定理可得cos C===-，∵C∈（0，π），∴C=故答案为：由题意和余弦定理可得coc C，由三角形内角的范围可得．本题考查余弦定理，涉及三角函数值和角的对应关系，属基础题．27. 解：由题意，AB=，AC=，BC=5，由余弦定理可得cos∠BAC==-，∵0°＜∠BAC＜180°∴∠BAC=135°，故答案为135°．由题意，AB=，AC=，BC=5，由余弦定理可得∠BAC的度数．本题考查余弦定理、勾股定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．28. 解：由正弦定理及=，得=，又b=4a，∴sin C=，∵△ABC为锐角三角形，∴cos C=，∴cos C===，解得a=1，b=4，c=4，∴S△ABC=absin C==．故答案为：．由已知及正弦定理可求=，又b=4a，可求sin C，利用同角三角函数基本关系式可求cos C，利用余弦定理解得a，b，c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．29. 解：∵sin B=sin（A+C）=2sin A cos C，∴sin（A-C）=0，A，C∈（0，π），∴A=C，因此三角形ABC一定是等腰三角形．故答案为：等腰．sin B=sin（A+C）=2sin A cos C，展开化简即可得出．本题考查了和差公式、诱导公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．30. 解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．31. 解：∵b•cos C=c•cos B，∴由正弦定理得sin B•cos C=sin C•cos B，即sin B•cos C-sin C•cos B=sin（B-C）=0，即B=C，则三角形为等腰三角形，则c=b=1，则三角形BC的高h=，则三角形的面积S==，故答案为：由b•cos C=c•cos B，结合正弦定理和两角和差的正弦公式得到B=C，求出三角形的高，即可得到结论．本题主要考查三角形的面积的计算，根据正弦定理和两角和差的正弦公式得到三角形为等腰三角形是解决本题的关键．32. 解：作BE垂直BP，使BE=BP（点E和P在BC两侧），连接PE，CE．则：∠BPE=∠BEP=45°；PE2=BE2+BP2=4+4=8；∵∠EBP=∠CBA=90°．∴∠EBC=∠PBA；又BE=BP，BC=BA．∴△EBC≌△PBA（SAS），CE=AP=1．∵PE2+CE2=8+1=9；PC2=32=9．∴PE2+CE2=PC2，则∠PEC=90°，∠BEC=∠BEP+∠PEC=135°；作CH垂直BE的延长线于H，则∠CEH=180°-∠BEC=45°．∴CH=EH=，BH=BE+EH=2+．故S正方形ABCD=BC2=BH2+CH2=（2+）2+（）2=5+2，故答案为5+2．由题意作BE垂直BP，使BE=BP（点E和P在BC两侧），连接PE，CE，作CH垂直BE的延长线于H，则∠CEH=180°-∠BEC=45°．进一步由勾股定理求得答案即可．此题考查正方形的性质，勾股定理的运用，属于中档题．33. 解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在R t△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cos A=cos（+θ）=cos cosθ-sin sinθ=-=-．故答案为：-．作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ═==，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cos A是关键，也是亮点，属于中档题．34. 解：在△ABC中，∵2cos2=sin A，∴1+cos A=sin A，∴1+2cos A+cos2A=sin2A=cos2A．∴cos2A+cos A+=0，解得cos A=-或cos A=-1（舍）．∴=-，∴a2=b2+c2+bc．∵sin（B-C）=4cos B sin C，∴sin B cos C=5cos B sin C．即bcos C=5ccos B．∴b×=5c×，即2a2+3c2-3b2=0．把a2=b2+c2+bc代入上式得2（b2+c2+bc）+3c2-3b2=0，即5c2-b2+2bc=0．∴-（）2+2+5=0，解得=1+或=1-（舍）．故答案为：1+．利用二倍角公式化简求出cos A=-，由余弦定理得a2=b2+c2+bc，将sin（B-C）=4cos B sin C展开得sin B cos C=5cos B sin C，利用正余弦定理将角化边，即可得出关于的一元二次方程，解出即可．本题考查余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．35. 解：∵a，∴，∴由余弦定理可得：cos A===-．∵A∈（0，π），∴解得：A=．故答案为：．由已知整理可得，由余弦定理可得cos A==-，结合范围A∈（0，π），即可解得A的值．本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．36. 解：在△ABC中，∵a：b：c=3：5：7，即a=3k，b=5k，c=7k，∴由余弦定理得：cos C===-，又C为三角形的内角，则此三角形中最大角C的度数是120°．故答案为：120°．由a：b：c的比值，设一份为k，表示出a，b及c，利用余弦定理表示出cos C，将表示出的a，b及c代入求出cos C的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数，即为此三角形中最大角的度数．此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．37. 解：∵a2-b2-c2+bc=0，可得：b2+c2-a2=bc，∴cos A===，∵A∈（0，π），∴A=．故答案为：．由已知可得：b2+c2-a2=bc，利用余弦定理可求cos A=，结合范围A∈（0，π），即可得解A的值．本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．38. 解：由得，B＞A，sin（B-A）＞0，所以，由正弦定理得，则，即sin A=sin B，因为sin A=sin[B-（B-A）]=sin B cos（B-A）-cos B sin（B-A），所以，化简得，由，sin B＞0知，cos B＞0，由得，，所以，故答案为：．由题意和边角关系可得B＞A，由条件和平方关系求出sin（B-A），由正弦定理化简得sin A与sin B关系，由sin A=sin[B-（B-A）]、两角差的正弦公式化简后，结合条件和平方关系求出cos B的值．本题考查正弦定理，边角关系，两角差的正弦公式以及平方关系的应用，考查化简、变形能力．39. 解：∵（2a-c）cos B=bcos C根据正弦定理得：（2sin A-sin C）cos B=sin B cos C2sin A cos B=sin B cos C+sin C cos B2sin A cos B=sin（B+C）2sin A cos B=sin A∴cos B=∴B=60°∴=-cos B=-（2×3×）=-3故答案为：-3通过正弦定理把a，c，b换成sin A，sin B，sin C代入（2a-c）•cos B=b•cos C，求得B，再根据向量积性质，求得结果．本题主要考查了正弦定理和向量积的问题．再使用向量积时，要留意向量的方向．40.由题意，结合图形知，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=2-2，BC=4，故可由余弦定理求出边AC的长度，由于此时在△ABC中，∠ABC=120°，三边长度已知，故可由正弦定理建立方程，求出∠CAB的正弦值，即可得出结论．本题是解三角形在实际问题中的应用，考查了正弦定理、余弦定理，方位角等知识，解题的关键是将实际问题中的距离、角等条件转化到一个三角形中，正弦定理与余弦定理求角与边，解三角形在实际测量问题-遥测中有着较为广泛的应用，此类问题求解的重点是将已知的条件转化到一个三角形中方便利用解三角形的相关公式与定理，本题考查了转化的思想，方程的思想．41.由已知利用余弦定理可解得a的值，利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．42.（1）由已知及正弦定理可得，结合sin A≠0，可得sin C=，由于△ABC 为锐角三角形，可求C=．（2）由余弦定理及已知条件，得a2+b2-ab=4，又absin C=，得ab=4．联立即可解得a，b的值．（3）由①可得：4+ab≥2ab，即ab≤4（当且仅当a=b=2时等号成立），利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．43.（1）sin A，sin C，sin B成等差数列．由正弦定理得a+b=2c，a=2b，利用余弦定理可得cos A 的值；（2）由cos A的值，求解sin A的值，根据S=bcsin A，即可求解c的值．本题考查了等差数列的性质以及正余弦定理的运用，属于基础题．44.（I）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sin B cos C=sin B，结合sin B＞0，可得cos C=，由于C∈（0，C），可求C的值．（II）由已知利用余弦定理可得：a2-2a-3=0，解得a的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．45.（1）由已知利用余弦定理，即可求AE的长；（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用三角形面积公式可求S△CEF，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查三角形面积的计算，考查了正弦函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．46.（1）由弦定理化简已知可得，结合sin B≠0，可求，结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）解法一：由余弦定理整理可得：c2-2c-3=0．即可解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．解法二：由正弦定理可求sin B的值，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cos B，利用两角和的正弦函数公式可求sin C，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．47.先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，可求CD=BC sin∠CBD，即可求得山顶的海拔高度．本题以实际问题为载体，考查正弦定理的运用，关键是理解俯角的概念，属于基础题．48.根据内角和定理计算C，利用正弦定理求出b，c．本题考查了利用正弦定理解三角形，属于基础题．49.（1）利用正弦定理化简后，根据和与差的公式可得B的大小．（2）根据余弦定理建立关系，求出ac的值，即可得S△ABC的值．本题考查三角形的正余弦定理和和与差公式的运用，考查运算能力，属于基础题．。
江西省多校联考2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学含答案
江西省10月份高三联考数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{1,2,3}A =，{},B x y x A y A =+∈∈，则A B = （）A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{1,2,3}2．在复数范围内，方程49x =的解的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线22:1y C x m-=的离心率大于实轴长，则m 的取值范围是（）A ．(3,)+∞B ．)+∞C ．(0,3)D ．4．若220m n -≠，cos()2m αβ-=，cos()2n αβ+=，则tan tan αβ=（）A ．m n m n-+B ．m n m n+-C ．2m n m n -+D ．2m n m n+-5．函数2()(31)e xf x x =-的最小值为（）A ．433e--B ．133e 2--C ．0D ．24e--6．已知向量,,a b c ，满足1a = ，2b = ，3c = ，π,,3a b a b c 〈〉=〈+〉=，则a b + 在c 方向上的投影向量为（）A ．3cB ．143c C ．6c D ．76c 7．现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（）A ．420B ．660C ．720D ．12008．已知函数()f x 满足()()()22x yf x y f x f y +=+++，且(1)1f =，则(1000)f =（）A ．99922995+B ．99922996+C ．100022995+D ．100022996+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()sin 2f x x =，2()cos 2g x x =，则（）A ．()f x 与()g x 的值域相同B ．()f x 与()g x 的最小正周期相同C ．曲线()y f x =与()y g x =有相同的对称轴D ．曲线()y f x =与()y g x =有相同的对称中心10．如图，现有一个底面直径为10cm ，高为25cm 的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm ，忽略容器的厚度，则（）A ．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为35B ．容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为cm2C ．当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为3185πcm 3D ．当容器内沉入一个棱长为11．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为的直线与E 交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．若动点P 在E 的准线上，则（）A ．AP BP ⋅的最小值为0B ．当PAB △为等腰三角形时，点PC ．当PAB △的重心在x 轴上时，PAB △的面积为924D ．当PAB △为钝角三角形时，点P 的纵坐标的取值范围为,,84⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =-+，则(2)f -=______．13．已知A ，B ，C ，D 四点都在球O 的球面上，且A ，B ，C 三点所在平面经过球心，AB =π3ACB ∠=，则点D 到平面ABC 的距离的最大值为______，球O 的表面积为______．14．若x ，y ，z 均为正数，且2(2)1x x y z +=，则83x yz 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数321()43f x x ax x =+-．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程．（2）试问是否存在实数a ，使得()f x 在[]1,a 上单调递增？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．16．（15分）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量M （单位：克）服从正态分布()2,N μσ，且(96106)0.7P M ≤≤=，(9496)0.1P M ≤≤=．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，这10个贵妃杏的平均质量（单位：克）恰等于μ克．（1）求μ．（2）求(100104)P M <≤．（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为X ，求X 的分布列与数学期望．17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,ABCD BC ∥平面,PAD BC AB ⊥．（1）证明：平面PAD ⊥平面PAB ．（2）若AD AB =，PA BC =，且异面直线PD 与BC 所成角的正切值为32，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值．18．（17分）已知点()11,0F -，2(1,0)F ，动点M 满足12123MF MF F F +=，动点M 的轨迹为记为E ．（1）判断E 与圆22:8O x y +=的位置关系并说明理由．（2）若P 为E 上一点，且点P 到x 轴的距离(0,1)d ∈，求12PF F △内切圆的半径的取值范围．（3）若直线:(1)l y k x =-与E 交于C ，D 两点，1A ，2A 分别为E 的左、右顶点，设直线1AC 的斜率为()110k k ≠，直线2A D 的斜率为()220k k ≠，试问122212k k k k +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（17分）在n 个数码1，2，…，(,2)n n n ∈≥N 构成的一个排列12n j j j 中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为()12n j j j τ ，例如，(12)0τ=，(4132)4τ=．（1）比较()613245τ与(15432)τ的大小；（2）设数列{}n a 满足()211(22)(15432)2n n n na n a n n τ++-+=+，12a =，求{}n a 的通项公式；（3）设排列122(,5)n j j j n n ∈≥N 满足()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ，()11,12,,210n i j i i ==- ，()122n n b j j j τ= ，21020n n b c +=，证明：56n c c c +++≥ 3840(4)[(214)ln 2124]2402nn n --++-．江西省10月份高三联考数学参考答案1．C 依题意可得{2,3,4,5,6}B =，则{2,3}A B = ．2．D由49x =，得()()22330x x+-=，得x =或x =3．A由题意得2m >>，解得3m >．4．A 因为cos()cos cos sin sin 2m αβαβαβ-=+=，cos()cos cos sin sin 2n αβαβαβ+=-=，所以cos cos m n αβ=+，sin sin m n αβ=-，所以sin sin tan tan cos cos m nm nαβαβαβ-==+．5．B2()(61)e x f x x '=+，令()0f x '<，得16x <-，令()0f x '>，得16x >-，所以2()(31)e xf x x =-的最小值为11331131e e 622f --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．6．C 因为1a = ，2b = ，3c = ，π,3a b 〈〉=，所以a b +=== a b + 在c 方向上的投影向量为()||||a b c c c c +⋅⋅=2π||||cos 3||926a b c c c c c +==⨯ ．7．B将6人分成4组，分配方案有两种：1，1，2，2和1，1，1，3．那么至少有2人选择南昌的选法种数为22133364263322C C C C A 110A 660A ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．8．D令1y =，得(1)()(1)22()23x x f x f x f f x +=+++=++，则(1)()23xf x f x +-=+，则2999(2)(1)23,(3)(2)23,,(1000)(999)23f f f f f f -=+-=+-=+ ，将以上各式相加得()9992999212(1000)(1)22239993(10001)12f f --=++++⨯=+⨯-- 100022995=+，所以10001000(1000)22995(1)22996f f =++=+．9．ABC()sin 2[0,1]f x x =∈，1cos 4()[0,1]2xg x +=∈，则()f x 与()g x 的值域相同，A 正确．()f x与()g x 的最小正周期均为2ππ42=，B 正确．曲线()y f x =与()y g x =的对称轴方程均为π()4k x k =∈Z ，C 正确．曲线()y f x =没有对称中心，曲线()y g x =有对称中心，D错误．10．BCD 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为3152725125⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 错误．设容器内液体倒去一半后液体的高度为cm h ，则31152h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得2h =，B 正确．因为15103252⨯=，155104252+⨯=，所以当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为π53⨯⨯()223185π3344cm 3+⨯+=，C 正的正方体铁块时，设容器内液体的高度为cm H，体积233π31546πcm 3V =⨯⨯+=，则346π45π15H ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15H ===，D 正确．11．AC依题意可得(1,0)F ，直线AB的方程为1)y x =-，代入24y x =，消去y 得22520x x -+=，解得12x =，212x =，因为点A在第一象限，所以(2,A，1,2B ⎛ ⎝．E 的准线方程为1x =-，设(1,)P m -，则(3,AP m =--，3,2BP m ⎛=-+ ⎝，所以2294022AP BP m m ⎛⎫⋅=+--=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭ ，A 正确．当PAB △为等腰三角形时，要使得点P 的纵坐标最大，则AB AP =，即1222++=，且m >，解得2m +=，B 错误．PAB △的重心坐标为1212,33m ⎛⎫+- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，即1,23m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，当PAB △的重心在x 轴上时，203m+=，得m PAB =△的面积为111224⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭，C 正确．当A ，B ，P三点共线时，m =-由0AP BP ⋅≥ ，得APB ∠为锐角或直角，当ABP ∠为直角或BAP ∠为直角时，0AB BP ⋅= 或0AB AP ⋅= ，得8m =-或4m =，当PAB △为钝角三角形时，点P 的纵坐标的取值范围为(,8⎛⎫-∞--- ⎪ ⎪⎝⎭,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，D 错误．12．－2因为(2)02022f =+=+=，所以(2)(2)2f f -=-=-．13．4；64π设球O 的半径为R ，由正弦定理得28sin ABR ACB==∠，则4R =，则点D 到平面ABC 的距离的最大值为4，球O 的表面积为24π64πR =．14．127（方法一）由2(2)1x x y z +=，得3221x z x yz +=，不妨令32a x z =，2b x yz =，0a >，0b >，则2834a b x yz =，且1a b +=，所以283(1)4a a x yz -=．令2(1)()(01)4a a f a a -=<<，则(23)()4a a f a -'=，令()0f a '>，得20,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0f a '<，得2,13a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以max 21()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即83x yz 的最大值为127．（方法二）由2(2)1x x y z +=，得3321x z x z x yz ++=．由,,0)3a b c a b c ++≥>，得1≥则83127x yz ≤，当且仅当32x z x yz =，即x y =时，等号成立，故83x yz 的最大值为127．15．解：（1）当1a =-时，321()43f x x x x =--，则2()24f x x x '=--，所以(3)1f '=-，因为(3)12f =-，所以曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程为12(3)y x +=--，即9y x =--（或90x y ++=）．（2）假设存在实数a ，使得()f x 在[]1,a 上单调递增，则2()240f x x ax '=+-≥对[1,]x a ∈恒成立，即22xa x ≥-对[1,]x a ∈恒成立．当[1,]x a ∈时，22x y x =-为增函数，则max 22132122x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以32a ≥，又1a >，所以a 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．16．解：（1）1011021001039998100999710110010μ+++++++++==．（2）因为100μ=，所以(104106)(9496)0.1P M P M ≤≤=≤≤=，所以0.70.1(100104)0.32P M -<≤==．（3）设1人获赠贵妃杏的个数为Y ，则(0)0.5P Y ==，(1)0.3P Y ==，(2)0.2P Y ==．依题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，4，(0)0.50.50.25P X ==⨯=，(1)0.50.320.3P X ==⨯⨯=2(2)0.30.50.220.29P X ==+⨯⨯=，(3)0.30.220.12,(4)0.20.20.04P X P X ==⨯⨯===⨯=则X 的分布列为X 01234P0.250.30.290.120.04所以()10.320.2930.1240.04 1.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．17．（1）证明：PA ⊥ 底面ABCD ，PA BC ∴⊥．BC AB ⊥ ，PA AB A = ，BC ∴⊥平面PAB .BC ∥ 平面PAD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BC AD ∴∥，AD ∴⊥平面PAB ．又AD ⊂平面,PAD ∴平面PAD ⊥平面PAB .（2）解：BC AD ∥ ，∴直线PD 与直线BC 所成的角为PDA ∠．PA ⊥ 底面ABCD ，3,tan 2PA PA AD PDA AD ∴⊥∴∠==，即PA =32AD ．设AD 为2个单位长度，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0)A D ，(2,3,0)C ，(0,0,3)P ，(2,1,0)CD ∴=-- ，(0,2,3)DP =-设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z = ，则20,230,n CD x y n DP y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取3x =-，则6,4y z ==，得(3,6,4)n =-．易知平面PAB 的一个法向量为(0,2,0)AD =，则cos ,AD 〈 66161||||261AD n n AD n ⋅〉===⨯．故平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值为56161．18．解：（1）因为12121236MF MF F F F F +==>，所以E 是以1F ，2F 为焦点，且长轴长为6的椭圆．设E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则26a =，可得3a =，又1c =，所以2228b a c =-=，联立22198x y +=与228x y +=，得0x =，2y =±，所以E 与圆22:8O x y +=相切．（2）12PF F △的周长1212628l PF PF F F =++=+=，12PF F △的面积121(0,1)2S F F d d =⋅=∈，所以12PF F △内切圆的半径2110,44S r d l ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，故12PF F △内切圆的半径的取值范围为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）联立221, 98(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()()22228918980k x k x k +-+-=，易知0∆>，且21221889k x x k +=+，()21229889k x x k -=+．设()()1122,,C x y D x y ，则121212,33y yk k x x ==+-，所以()()()()()()1212112122212112123133331333y x k x x k x x x x k y x k x x x x x x -----+===+-+-+-．（方法一）由21221889k x x k +=+，()21229889k x x k-=+，得()121259x x x x =+-，所以()()1212112212121259332461593348122x x x x k x x k x x x x x x +---++-===+--+-+-．（方法二）因为()()12122121212232343x x x x x k k x x x x x -+++=-++-，所以()()()()()()22222222221222222222229898543895423289898998981838918434898989k k k k k x x k k k k k k k k k k x xk kk ---++-++++++==----+-+-++++2222221848218936962489k x k k x k--++==--++．所以1222121221125k k k k k k k k ==++，故122212k k k k +为定值，且定值为25．19．（1）解：在排列613245中，与6构成逆序的有5个，与3构成逆序的有1个，与1，2，4，5构成逆序的均有0个，所以(613245)516τ=+=；在排列15432中，与5构成逆序的有3个，与4构成逆序的有2个，与3构成逆序的有1个，与1，2构成逆序的均有0个，所以(15432)3216τ=++=．故(613245)(15432)ττ=．（2）解：由（1）知()211(22)62n n n na n a n n ++-+=+，所以()()12121(22)622n nn n na n a nn nn ++++-=++，即116(1)22n n n n a a n n ++-=+⋅．因为12a =，所以数列2n n a n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭是首项为1，公差为6的等差数列，所以16(1)652n n a n n n =+-=-⋅，则()2652n n a n n =-⋅．（3）证明：因为()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ，所以在排列122n j j j 中，排在前面的10个数依次为2n ，21n -，22n -，…，29n -，排在后面的10个数依次为10，9，8，…，1，所以()()1222122210(9810)n n n nj j j τ=-+-++-++++++ (220)10101010n -+++ 个所以()()2122210(9810)10220202210n n n n n n b =-+-++-++++++-=⨯- ，则210220n n n b c +==．设函数3840()4ln (32)f x x x x x =+-≥，则22223840443840(60)(64)()1x x x x f x x x x x --+-'=--==，当3264x ≤<时，()0f x '<，当64x >时，()0f x '>，所以min 3840()(64)644ln 6412424ln 264f x f ==+-=-，所以38404ln 12424ln 2x x x +-≥-，当且仅当64x =时，等号成立．取2(5)n x n =≥，则384024ln 212424ln 22n n n +-≥-，即384024ln 212424ln 2(5)2m n n n ≥-+-≥所以56561114ln 2(56)3840(12424ln 2)(4)222n n c c c n n ⎛⎫+++≥⨯+++-++++--⎪⎝⎭，即515611222(5)(4)ln 23840(12424ln 2)(4)112n n c c c n n n +-+++≥+--⨯+--- 3840(4)[(214)ln 2124]2402n n n =--++-．。
2024-2025学年贵州省金太阳联考高三上学期10月考数学试题及答案
高三联考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}045,ln A xx B x y x =-==∣∣……，则A B ⋂=（ ）A.[]0,4B.(]0,1C.(]0,4D.[]0,12.某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位：C ），分别为6,8,6,10,6,5,9,11，则该组数据的第60百分位数为（）A.6B.7C.8D.93.已知焦点在y 轴上的椭圆()222:104x y C m m+=>的焦距为2，则其离心率为（ ）D.4.已知()3sin2,0,π4αα=-∈，则sin cos αα-=（ ）A.12B.12- D.5.已知圆台甲､乙的上底面半径均为r ，下底面半径均为3r ，圆台甲､乙的母线长分别为3,4r r ，则圆台甲与乙的体积之比为（）6.已知平面向量,a b 均为非零向量，则“a ∥b ”是“a b b a ++= ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知0a >且1a ≠，若函数()1,0,log 1,a x a f x x x x a⎧<⎪=⎨⎪+>⎩…的值域为R ，则a 的取值范围是（ ）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.(]1,2 D.[)2,∞+8.已知函数()sin2cos2f x x a x =+的图象关于直线π12x =对称，则当[]0,2πx ∈时，曲线()y f x =与cos y x =的交点个数为（ ）A.3B.4C.5D.6二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足13i 3i z =+-，则（ ）A.10z =B.86iz =-C.z 的虚部为8D.z 在复平面内对应的点位于第一象限10.已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，l 是C 的准线，点N 是C 上一点且位于第一象限，直线FN 与圆22:670A x y x +-+=相切于点E ，点E 在线段FN 上，过点N 作l 的垂线，垂足为P ，则（ ）A.EF =B.直线FN 的方程为10x y --=C.4NF =+D.PFN的面积为6+11.已知奇函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若()()222f x f x x =-+-，且()32f =，则（ ）A.()56f -=-B.()()4f x f x +=C.()101101f =' D.1001()5050i f i ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列{}n a 的公比不为1，且324,,a a a 成等差数列，则数列{}n a 的公比为__________.13.有红色､黄色2套卡片，每套3张，分别标有字母A ，B ，C ，若从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个是相同的，则不同的取法种数为__________.14.若直线2y kx =-与曲线()2e xy x =-有3个交点，则k 的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos 0c C a B b A ++=.（1）求C ；（2）若2a c b +=，求cos A .16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 的等边三角形，111π2,4AA B BC B BA ∠∠===.（1）证明：1AC BB ⊥.（2）求平面ABC 与平面1ACC 夹角的余弦值.17.（15分）已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为12，甲､乙两人答对每道题的概率分别为35,412，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.（1）求第一题结束时甲获得1分的概率；（2）记X 表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求X 的分布列与期望.18.（17分）已知y =是双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的一条渐近线，点()2,2在C 上.（1）求C 的方程.（2）已知直线l 的斜率存在且不经过原点，l 与C 交于,A B 两点，AB 的中点在直线2y x =上.（i ）证明：l 的斜率为定值.（ii ）若()1,1,M MAB ，求l 的方程.19.（17分）定义：对于函数()(),f x g x ，若()()()(),,0,,a b c f a f b g c ∞∀∈++>，则称“()()f x g x -”为三角形函数.（1）已知函数()ln f x x x =-，若()g x 为二次函数，且()()2g x g x -=，写出一个()g x ，使得“()()f x g x -”为三角形函数；（2）已知函数()()2,0,22x x t f x x ∞+=∈++，若“()()f x f x -”为三角形函数，求实数t 的取值范围；（3）若函数()()()ln ,ln 1ln f x x x g x x x x x =-=+-+，证明：“()()f x g x -”为三角形函数.（参考数据：3ln 0.4052≈）高三联考数学参考答案1.C {}[]{}()0451,4,ln 0,A xx B x y x ∞=-=-===+∣∣……，则(]0,4A B ⋂=.2.C 将这8个数据从小到大排列为5,6,6,6,8,9,10,11，因为60%8 4.8⨯=，所以该组数据的第60百分位数为8.3.B 因为椭圆C 的焦点在y 轴上，所以22415m =+=，故椭圆C的离心率e ==.4.C 因为()0,πα∈，且3sin22sin cos 04ααα==-<，所以π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα->0.因为27(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=，所以sin cos αα-=.5.A圆台甲的高为==，所以V h V h ====甲甲乙乙.6.B 由a b b a ++= 可得a b a b +=- ，平方可得22222||2||||||a a b b a a b b +⋅+=-+ ，解得a b a b ⋅=- ，所以,a b 反向.故“a ∥b ”是“a b b a ++= ”的必要不充分条件.7.B ()f x 在(]0,a 上的值域为1,a ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.因为函数()f x 的值域为R ，所以()log 1a f x x =+在(),a ∞+上的值域包含1,a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，则01a <<，且1log 1a a a +…，解得112a <…，所以a 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.8.B 由题可知()π06f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2a a =+，解得a =()πsin22sin 23f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.在坐标系中结合五点法画出()y f x =与cos y x =的图象，如图所示.由图可知，共有4个交点.9.ACD 由题可知()()213i 3i 38i 3i 68i z =+-=+-=+，则10,68i z z ===-，z 的虚部为8,z 在复平面内对应的点为()6,8，位于第一象限.故选ACD.10.BC 22670x y x +-+=可化为22(3)2x y -+=，所以圆心()3,0A.由题知焦点()1,0F，准线为直线1,x EF =-==A 错误.易知直线FN 的斜率存在，设直线FN 的方程为()1y k x =-，=，解得1k =±.因为切点E 在线段FN 上，所以1k =，故直线FN 的方程为10x y --=，B 正确.联立24,10,y x x y ⎧=⎨--=⎩可得2610x x -+=，所以3N x =+或3-（舍去），2134N y NF NP =+==++=+，C 正确.((1142822PFN N S NP y =⋅⋅=⨯+⨯+=+ ，D 错误.11.AD 因为()()222f x f x x =-+-，所以()()()22f x x f x x -=---.令()()g x f x x =-，则()()2g x g x =-，所以()g x 的图象关于直线1x =对称.因为()f x 与y x =都为奇函数，所以()g x 也是奇函数，则()g x 是以4为周期的周期函数，所以()()4g x g x +=.由()32f =，可得()()3331g f =-=-，所以()()531g g -==-，则()551f -+=-，解得()56f -=-，A 正确.()()()()44444f x g x x g x x f x +=+++=++=+，B 错误.由()()222f x f x x =-+-，求导可得()()22f x f x '=--+'，所以()()112f f '=-+'，即()11f '=.由()()44f x f x +=+，求导可得()()4f x f x ='+'，所以()()10111f f ='='，C 错误.100100100111()[()]5050i i i f i g i i i ===∑=∑+=∑=D 正确.12.2- 设等比数列{}n a 的公比为q ，由324,,a a a 成等差数列，得3422a a a +=，整理得220q q +-=，则2q =-.13.12 从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个相同的情况共有1232C C =3种，字母不相同的2张卡片均有2种选择，所以不同的取法种数为23212⨯=.14.()1,0- 由()2e x y x =-，可得()1e x y x '=-，则()2e x y x =-在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，且当2x <时，()0f x <.直线2y kx =-恒过点()0,2-，当直线2y kx =-与曲线()2e xy x =-相切于点()00,x y 时，()()000002e 2,1e ,x x x kx x k ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩即()020022e 2x x x -+=.令()()222e x f x x x =-+，则()2e 0x f x x ='…，所以()f x 在R 上单调递增.因为()02f =，所以00,1x k ==-，结合图象（图略）可知，若直线2y kx =-与曲线(2)e x y x =-有3个交点，则k 的取值范围为()1,0-.15.解：（1）由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，所以()2sin cos sin 0,2sin cos sin 0C C A B C C C ++=+=，得1cos 2C =-.因为()0,πC ∈，所以2π3C =.（2）由余弦定理可得222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，因为2a c b +=，所以222(2)b a a b ab -=++，化简可得53b a =，则723c b a a =-=，所以222222571333cos 57214233a a abc a A bc a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===⨯⨯.16.（1）证明：过A 作1BB 的垂线，垂足为O ，连接OC .因为ABC 为等边三角形，所以AB BC =.因为11π,4BO BO B BC B BA ∠∠===，所以BOA BOC ≌，则1,AO CO BO CO ==⊥.又CO AO O ⋂=，所以1BB ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以1AC BB ⊥.（2）解：由（1）可知1AO OC ==，所以222AO CO AC +=，故AO CO ⊥，所以,,OB OA OC 两两垂直，则以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.()()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0,2,1,0A B C C -，则1CC =(2,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)CA BC AB -=-=-=- .设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m AB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x z x y -=⎧⎨-+=⎩令1x =，得()1,1,1m = .设平面1ACC 的法向量为(),,n a b c = ，则10,0,n CA n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20,b c a -+=⎧⎨-=⎩令1b =，得()0,1,1n =.cos ,m n m n m n ⋅<>== ，所以平面ABC 与平面1ACC.17.解：（1）第一题结束时甲获得1分的概率为131521242123⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，在每道题的抢答中，甲､乙得1分的概率分别为21,33，X 的可能取值为2,4,5.()22115233339P X ==⨯+⨯=，()12212211204C 33333381P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()()()16512481P X P X P X ==-=-==，()520162502459818181E X =⨯+⨯+⨯=.18.（1）解：因为y =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，所以b a =，因为点()2,2在C 上，所以22441a b-=，解得222,4a b ==，即C 的方程为22124x y -=.（2）（i ）证明：设():0l y kx t t =+≠，由22,1,24y kx t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2222240k x ktx t ----=，由题意得()22220,Δ8240k t k -≠=-+>.设()()1122,,,,A x y B x y AB 中点的坐标为()00,x y ，则12221222,24,2kt x x k t x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩所以12000222,222x x kt t x y kx t k k +===+=--.因为AB 的中点在直线2y x =上，所以002y x =，即222222t kt k k =--，因为0t ≠，所以1k =.（ii ）解：2AB x =-==点M 到l 的距离d所以12MAB S AB d =⋅== ，解得1t =±，所以l 的方程为10x y -±=.19.（1）解：由()ln f x x x =-，可得()11f x x'=-，令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，可知()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()f x 的最小值为()11f =.因为“()()f x g x -”为三角形函数，所以()()0,,2c g c ∞∀∈+<.因为()()2g x g x -=，所以()g x 的图象关于直线1x =对称，又()g x 为二次函数，所以()22g x x x =-+.（答案不唯一，只需满足()22g x ax ax c =-+，且2,0c a a -<<即可）（2）解：()222221222222x x x x x t t t f x +++--===++++.当20t -=，即2t =时，()1f x =，此时()()()1f a f b f c ===，满足()()()f a f b f c +>，符合题意；当20t ->，即2t >时，()f x 是()0,∞+上的减函数，所以()f x 的值域为11,3t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()()()(),,0,,a b c f a f b f c ∞∀∈++>，所以1113t ++…，得25t <…；当20t -<，即2t <时，()f x 是()0,∞+上的增函数，所以()f x 的值域为1,13t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()()()(),,0,,a b c f a f b f c ∞∀∈++>，所以11133t t +++…，得1 2.2t <…综上，实数t 的取值范围是1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）证明：由题可知()1ln 1g x x x =-+'.设()()1ln 1h x g x x x ==-+'，则()2110(1)h x x x =--<+'在()0,∞+上恒成立，所以()g x '在()0,∞+上单调递减.又()132310,ln 0.40.40502252g g ⎛⎫=>='-≈-⎪⎝⎭'< ，所以存在031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，即001ln 1x x =+①当()00,x x ∈时，()0g x '>，则()g x 在()00,x 上单调递增；当()0,x x ∞∈+时，()0g x '<，则()g x 在()0,x ∞+上单调递减.故当0x x =时，()g x 取得唯一极大值，也是最大值，令()g x 的最大值为M ，则()()00000ln 1ln M g x x x x x ==+-+.将①式代入上式，可得()()()200000000ln 1ln 111x x M g x x x x x x ==+-+=++++.令()()23ln 1,1,12x u x x x x ⎛⎫=++∈ ⎪+⎝⎭，则由()221201(1)x x u x x x +=+>++'，可知()u x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()()()20009355994ln 1ln ln 12,25122210102x M x u g c f a f b x ⎛⎫=++<=+=+<+<<+ ⎪+⎝⎭…成立.故“()()f x g x -”为三角形函数.。
2021年山东各地高中模试题汇编——三角函数与解三角形(含答案解析)
一、单项选择1.（济南一模1）已知α∈(0,π),若 cos α= 三角函数与解三角形-21，则tan α的值为 A.3 B. -32.（2021•淄博一模4）已知f （x ）＝cos x （cos x +√3sin x ）在区间[﹣π3，m ]上的最大值是32，则实数m 的最小值是（ ） A ．π12B ．π3C ．−π12D ．π63.（日照一模4）明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度。
如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则sin2α约为A. 1235B. 1237C. 16D. 134.（德州一模5）已知sin α＝sin （α+）+，则cos （α+）的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5.（青岛一模6）已知角θ终边上有一点P （−ππtan43,2sin(176)），则cos θ的值为（ ） A.12 B.−12 C.−32 D.326.日照一模7）将函数y=sinx 的图象向左平移π2个单位，得到函数y=f(x)的图象，则下列说法正确的是 A. y=f(x)是奇函数B. y=f(x)的周期为πC. y=f(x)的图象关于点(−π2,0)对称D. y=f(x)的图象关于直线x=π2对称7.（滨州一模8）将函数f （x ）＝sin2x +2cos 2x ﹣1的图象向右平移个单位长度后得到函数g （x ）的图像，对于满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝4的x 1，x 2，当|x 1﹣x 2|最小值为时，φ＝（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择8.（青岛一模10）已知向量a →=(2sin 4x 2,cos 4x2−f(x))，b →=−(1,12)，若与a b →→共线，则下列说法正确的是（ ）A.将f x ()的图像向左平移π3个单位得到函数y x π=++14cos(23)34的图像 B.函数f x ()的最小正周期为π C.直线x =π32是f x ()图像的一条对称轴 D.函数f x ()在ππ-2-4（，）上单调递减 9.（济宁一模10）将函数f (x )=sin(2x −2π3)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是 A.g (π4)=√32B.(π6,0)是函数g(x)图象的一个对称中心 C.函数g(x)在[0,π4]上单调递增D.函数g(x)在[−π6,π3]上的值域是[−√32,√32] 10.（聊城一模11）若函数，在⎝⎭⎪=−+>⎛⎫ωωππf x x 32sin 100][)()(上恰有三个零点，则 A ．ω的取值范围为，⎣⎭⎢⎪⎡⎫62137 B ．，在πf x 0][)(上恰有两个极大值点C ．，在⎝⎭ ⎪⎛⎫πf x 20)(上无极小值点 D ．，在⎣⎦⎢⎥⎡⎤πf x 40)(上单调递增11.（德州一模10）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则下列关于函数g （x ）的说法正确的是（ ）A ．g （x ）的最小正周期为B ．g （x ）在区间[，]上单调递增C ．g （x ）的图象关于直线x ＝对称D ．g （x ）的图象关于点（，0）成中心对称12．（2021•临沂一模11）函数f （x ）＝2√3sin x cos x ﹣2sin 2x +1，下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增B ．f （x ）的图象关于点（π6，0）成中心对称C ．将f （x ）的图象向左平移5π12个单位后与y ＝﹣2sin2x 的图象重合D ．若x 1﹣x 2＝π，则f （x 1）＝f （x 2）13.（烟台一模11）已知函数f(x)=2|sinx|+|cosx|-1，则 A.f(x)在[0,π2]上单调递增B.直线x =π2是f(x)图象的一条对称轴 C.方程f(x)=1在[0,π]上有三个实根D.f(x)的最小值为-114.（菏泽一模11）已知函数为函数的一条对称轴，且．若f （x ）在上单调，则ω的取值可以是（ ）A ．B ．C ．D ．15.（泰安一模12）已知函数y ＝sin （ωx +φ）与y ＝cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）在x ∈[0，]的图象恰有三个不同的交点P ，M ，N ．若△PMN 为直角三角形，则（ ） A ．ω＝πB ．△PMN 的面积S ＝πC ．φ∈[﹣，]D ．两函数图象必在x ＝处有交点三、填空16.（济宁一模13）已知sin (α−π6)=√23，则cos(2α−π3)= .17.（泰安一模13）已知tan α＝﹣，则1﹣sin2α＝ ．18.（烟台一模13）已知α∈(0,π2)，若sin (π2+2α)=13，则tan α的值为 . 19.（聊城一模13）已知⎝⎭ ⎪−=−⎛⎫πx 105cos 4，则⎝⎭⎪+=⎛⎫πx 10sin 23_________． 20．（2021•临沂一模14）曲线y ＝lnx −2x 在x ＝1处的切线的倾斜角为α，则sin （α+π2）＝ ．21.（潍坊一模16）某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，∠PBA ＝∠QAB ＝60°，AQ ＝QP ＝PB ，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP 最长时，该奖杯比较美观，此时∠AOB ＝ ．四、解答22.（济宁一模17）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b cos C +c cos B ＝2a cos A ． （1）求角A ； （2）若a ＝2，△ABC 的面积为2，求b +c 的值．23.（济南一模17）在ΔABC 中，已知角A,B,C 所对的边分别是.（1)求角A 的值；（2)求ΔABC 的面积．24.（日照一模17）在△ABC 中a ,b ,c 分别为内角A,B,C 所对的边，若2a sin A =(2sin B +sin C)b +(2sin C +sin B)c(1)求A 的大小(2)求sinB+sinC 的最大值.25.（聊城一模17）在①=a 4，②∆ABC 的周长为9，③∆ABC 的外接圆直径为15，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答． 已知a b c ,,分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且==−C A B sin 34,cos sin 21，________，求△ABC 的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．26.（菏泽一模17）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝1，面积．再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长． （1）；（2）B ＝C ．27.（滨州一模18）在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2．（1）若∠ABD＝，求BC的长；（2）若AC＝3，求cos∠BAD．28.（烟台一模18）将函数f(x)=sin x+√3cos x图像上所有点向右平移π6个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象.（1）求函数g(x)的解析式及单调递增区间；（2）在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sin(π3−B)cos(π6+B)=14，c=g(π6),b=2√3，求ΔABC的面积.29.（泰安一模18）已知函数f（x）＝sin x cos（x+）+cos2x．（1）求f（x）在[0，]上的最值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（）＝1，a＝2，△ABC的面积为，求sin B+sin C的值．30.（德州一模17）在①a sin C＝c sin（A+），②b＝a cos C+c sin A，③a cos B+b cos A＝2c cos A．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 外接圆面积为π，sin B ＝2sin C ，且_____，求△ABC 的面积．31.（2021•淄博一模17）在①a C c A πsin cos 6=−⎛⎝⎫⎭⎪②+=3sin 2sin B CA ③A A +=cos23cos 1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形ABC 存在，求出其面积;若不存在，说明理由; 问题:是否存在三角形ABC,它的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a=23，b+c=43， ? 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.32.（潍坊一模18）在①函数=y f x ()的图象关于直线=πx 3对称，②函数=y f x ()的图象关于点P(π6，0)对称，③函数=y f x ()的图象经过点Q(π32，﹣1)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 问题：已知函数=+ωϕωϕf x x x ()sin cos cos sin (ω＞0，ϕ＜π2)最小正周期为π，且 ，判断函数f x ()在(π6，π2)上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的x 值；若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．33.（2021•临沂一模17）在圆内接四边形ABCD 中，BC=4,∠B=2∠D,∠ACB=π12，求△ACD 面积的最大值。
2024届广东省各市高三一模好题汇编：解三角形(解析版)
解三角形题型01 正、余弦定理题型02 三角形面积公式题型03 解三角形实例应用题型04 解三角形在几何中的应用题型05 解三角形有关最值问题题型01 正、余弦定理1(2024下·广东大湾区·校联考模拟预测)已知在△ABC中，AB=2,AC=1,cos A=56，则BC=()A.1B.52C.53D.153【答案】D 【解析】【详解】由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos A=22+12-2×2×1×56=53，所以BC=15 3．故选：D．2(2024下·广东·大联考)已知在△ABC中，AB=2,AC=1,cos A=56，则BC=()A.1B.52C.53D.153【答案】D 【解析】【详解】由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos A=22+12-2×2×1×56=53，所以BC=15 3．故选：D．3(2024下·广东·江门一模)在△ABC中，B=30°,b=2，c=22，则角A的大小为() A.45° B.135°或45° C.15° D.105°或15°【答案】D【解析】【详解】由题意知△ABC 中，B =30°,b =2，c =22，故b sin B =c sin C，即sin C =c sin B b =22×sin30°2=22，由于c >b ，故C >B =30°，则C =45°或135°，故A 的大小为180°-30°-45°=105°或180°-30°-135°=15°，故选：D4(2024下·广东·梅州市一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A =60°，b =10，则结合a 的值，下列解三角形有两解的为()A.a =8B.a =9C.a =10D.a =11【答案】B 【解析】【详解】由正弦定理可得，a sin A =b sin B ，所以sin B =b sin A a =10×32a =53a ，因为三角形有两解，所以sin B <1，且b >a ，因此由选项知，只有a =9符合.故选：B5(2024下·广东·广州市二中模拟)(多选)已知角A ，B ，C 是三角形ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有()A.sin A +B =sin CB.A +B cos =C cosC.若sin A >sin B ，则A >BD.若A >B ，则sin A >sin B【答案】ACD【详解】A 选项，sin A +B =sin π-C =sin C ，选项A 正确；B 选项，A +B cos =π-C cos =C cos ，选项B 错误；在△ABC 中，由正弦定理得sin A >sin B a >b A >B ，故C 和D 正确.故选：ACD题型02 三角形面积公式6(2024下·广东东莞·六校联考)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且b sin A +B -c sinA +C2=0.(1)求B ；(2)若b =5,a +c =8，求△ABC 的面积.【答案】(1)B =π3(2)1334【详解】(1)因为b sin A +B -c sinA +C 2=0，所以sinB sinC -sin C cos B2=0.因为sin C ≠0，所以sin B =cos B2.因为0<B 2<π2，所以cos B 2≠0，所以由sin B =2sin B 2cos B 2，得sin B 2=12.因为0<B <π，所以B =π3.故答案为：B =π3.(2)由余弦定理知b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac -2ac cos B .因为b =5,a +c =8,B =π3，所以52=82-3ac ，所以ac =13，故△ABC 的面积S △ABC =12ac sin B =1334.故答案为：1334.7(2024下·广东深圳·模拟)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,sin A -sin B +56π=233，且C =π6.(1)求sin B 的值；(2)若b =4，且B >π2，求△ABC 的面积.【答案】(1)sin B =23(2)23-5【详解】(1)∵A +B +C =π，∴由题意得sin B +π6-sin B +56π =233，∴32sin B +12cos B--32sin B +12cos B =233，解得sin B =23.(2)方法一：∵B >π2，由(1)可知cos B =-1-sin 2B =-53，在△ABC 中，由正弦定理，得c =b sin Csin B=3，∵sin A =sin B +C =sin B cos C +cos B sin C ，∴sin A =23-56，∴△ABC 的面积S =12bc sin A =23- 5.方法二：∵B >π2，由(1)可知cos B =-1-sin 2B =-53，在△ABC 中，由正弦定理，得c =b sin Csin B=3，在△ABC 中，由余弦定理，得cos C =a 2+b 2-c 22ab ，∴12=a 2+16-98a ，解得a =23±5，∵B >π2，∴b >a ，∴a =23-5，∴△ABC 的面积S =12bc sin A =23- 5.8(2024下·广东中山·一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2cos B +ab cos A =2c ．(1)求a ；(2)若A =2π3，且△ABC 的周长为2+5，求△ABC 的面积．【答案】(1)a =2；(2)34.【详解】(1)由题设a (a cos B +b cos A )=2c ，由正弦定理有a (sin A cos B +sin B cos A )=2sin C ，所以a sin (A +B )=2sin C ，而A +B =π-C ，故a sin C =2sin C ，又sin C >0，所以a =2.(2)由(1)及已知，有cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-42bc =-12，可得b 2+c 2+bc =4，又a +b +c =2+5，即b +c =5，所以(b +c )2-bc =5-bc =4⇒bc =1，故S △ABC =12bc sin A =34.9(2024下·广东惠州·一模)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且a sin A cos B +b sin A cos A =3a cos C ．(1)求角C 的大小；(2)若a =3，且AB ⋅AC=1，求△ABC 的面积．【答案】(1)C =π3(2)332【详解】(1)因为a sin A cos B +b sin A cos A =3a cos C ，所以根据正弦定理得sin A sin A cos B +sin A sin B cos A =3sin A cos C ，因为sin A ≠0，所以sin A cos B +sin B cos A =3cos C ，即sin A +B =3cos C ，即sin C =3cos C ．因为cos C ≠0，所以tan C =3．因为0<C <π，所以C =π3．(2)AB ⋅AC=bc cos A =1．因为a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，所以b 2+c 2=9+2bc cos A =11①．因为c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，所以b 2-c 2=2ab cos C -a 2=2×3×b ×cosπ3-32=3b -9②．联立①②可得2b 2-3b -2=0，解得b =2(负根舍去)，故△ABC 的面积为12ab sin C =12×3×2×32=332．题型03 解三角形实例应用10(2024下·广东清远·一模)小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？(单位：米，精确到小数点后两位)已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.()A.1.73B.1.41C.2.24D.2.45【答案】A【详解】如图，设观赏者的眼睛在点D 处，油画的上沿在点A 处，下沿在点B 处，点C 在线段AB 延长线上，且保持与点D 在同一水平线上，则∠ADB =θ即观赏时的视角.依题意AB =2,BC =1,AC ⊥DC ，不妨设DC =x ，则BD =x 2+1,AD =x 2+9，在△ABD 中，由余弦定理，cos θ=2x 2+62x 2+1⋅x 2+9=x 4+6x 2+9x 4+10x 2+9=1-4x 2x 4+10x 2+9=1-4x 2+9x2+10，因x >0，则x 2+9x2≥29=6，当且仅当x 4=9时，即x =3时等号成立，由x2+9x2≥6可得x2+9x2+10≥16，则0<4x2+9x2+10≤14，则cosθ=1-4x2+9x2+10≥32，因函数y=cos x在0,π2上单调递减，故得0≤θ≤π6，即最大视角为π6，此时观赏者距离油画的直线距离为3≈1.73.故选：A.11(2024下·广东肇庆·模拟)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86 (单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A ,B ,C 满足∠A C B =45°，∠A B C =60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB 与CC 的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A B C 的高度差AA -CC 约为( )(3≈1.732).A.346B.373C.446D.473【答案】B【详解】过C作CH⊥BB ，过B作BD⊥AA ，故AA -CC =AA -BB -BH=AA -BB +100=AD+100，由于B点测得A点的仰角为45°，知△ADB为等腰直角三角形，所以AD=DB，所以AA -CC =DB+100=A B +100，因为∠BCH=15°，所以CH=C B =100 tan15°，在△A B C 中，∠C A B =180°-60°-45°=75°，由正弦定理得：A B sin45°=C B sin75°=100tan15°cos15°=100sin15°，而sin15°=sin 45°°-30° =sin45°cos30°-cos45°sin30°=6-24，所以A B =100×4×226-2=1003+1 ≈273，所以AA -CC =A B +100≈373，故选：B ．12(2024下·广东深圳·模拟预测)为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高20米，攀登者们在A 处测得，到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为45°,75°，则A ,B 的高度差约为()A.7.32米B.7.07米C.27.32米D.30米【答案】A【详解】模型可简化为如上图，在Rt △ADC 中，∠BAD =45°,∠CAD =75°，所以BD tan45°×tan75°-BD =20，而tan75°=tan 45°+30° =tan45°+tan30°1-tan45°×tan30°=1+331-33=3+33-3，代入上式并化简可得BD =7.32米，故选：A .13(2024下·广东广州·模拟预测)湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年(1591年)，因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，A,C,D在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面(如图所示).测得CD=18m,AD=15m，在C点处测得E 点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为( )(3≈1.732，精确到0.1m)A.35.0mB.36.4mC.38.4mD.39.6m【答案】B【详解】过点E作EF⊥AB，交AB于点F，在直角三角形△ECD中，因为∠ECD=30°，所以DE=CD⋅tan∠DCE=18×tan30°=63，在直角三角形△BEF中，因为∠BEF=60°，所以BF=EF⋅tan∠FEB=15×tan60°=153，则AB=BF+AF=BF+ED=153+63=213≈36.4m.故选：B.题型04解三角形在几何中的应用14(2024下·广东·百校联考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且a sin C=c sin A+π3．(1)求角A的大小；(2)若b=2，c=3，D是边BC的中点，求AD的长．【答案】(1)π3；(2)192【解析】【小问1详解】在△ABC 中，由正弦定理及a sin C =c sin A +π3 ，得sin A sin C =sin C sin A +π3，而sin C >0，则sin A =sin A +π3 ，由0<A <π，知0<A <A +π3<4π3，因此A +π3=π-A ，解得A =π3，所以角A 的大小为π3.【小问2详解】由(1)知A =π3，由D 是边BC 的中点，得AD =12(AB +AC )，所以|AD |=12(AB +AC )2=12b 2+c 2+2bc cos A =1222+32+2×2×3×12=192.15(2024下·广东珠海·高三联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，点D 在边AC 上，且满足3sin A =tan ∠ABC cos C +sin C ，c sin C =3BD sin ∠BDC ．(1)求ba的值；(2)若AD =3DC ，求sin ∠ABD ．【解析】(1)方法1：如图，在△BCD 中，由正弦定理知BD sin C =BCsin ∠BDC，所以BD sin ∠BDC =a sin C ，所以c sin C =3a sin C ，因为C ∈0,π ，所以sin C ≠0，则c =3a ①，由3sin A =tan ∠ABC cos C +sin C ，则3sin A cos ∠ABC =sin ∠ABC cos C +sin C cos ∠ABC =sin A ，因为A ∈0,π ，所以sin A ≠0，则cos ∠ABC =13，在△ABC 中，由余弦定理知cos ∠ABC =a 2+c 2-b 22ac ，则a 2+c 2-b 2-23ac =0②，由①②ba=22．万法2：在△ABD 中，由正弦定理知BD sin A =ABsin ∠BDA，所以BD sin ∠BDA =c sin A ，又因为sin ∠BDA =sin ∠BDC ，所以sin C =3sin A ，由3sin A =tan ∠ABC cos C +sin C ，则tan ∠ABC cos C =0，因为tan ∠ABC ≠0，所以cos C =0，因为C ∈0,π ，所以C =π2由3sin A =tan ∠ABC cos C +sin C ，则3sin A cos ∠ABC =sin ∠ABC cos C +sin C cos ∠ABC =sin A ，因为A ∈0,π ，所以sin A ≠0，则cos ∠ABC =13，由正弦定理知b a =sin ∠ABC sin A =sin ∠ABC sin ∠ABC +C=tan ∠ABC ，因为cos ∠ABC =13，所以sin ∠ABC =223，则ba=22．(或：在6分点后，因为sin C =3sin A ，由正弦定理知c =3a ，所以ba =c 2-a 2a 2=22．)(2)方法1：因为AD =3DC ，所以AD =34b ，DC =14b ，在△BCD 中，由余弦定理知cos ∠BDC =BD 2+DC 2-BC22BD ⋅DC=BD 2+b4 2-a22BD ⋅b 4同理在△BAD 中，cos ∠BDA =BD 2+AD 2-AB22BD ⋅AD=BD 2+3b42-c 22BD ⋅3b 4，因为∠BDC +∠BDA =π，所以cos ∠BDC +cos ∠BDA =0，则4BD 2+3b 24-3a 2-c 2=0，由(1)知c =3a ，ba =22，所以BD =6a2，(注：若学生得到C =π2，则cos ∠BDC =CD BD，BD =BC 2+CD 2=6a2也能得分)在△BAD 中，由余弦定理知cos ∠ABD =BD 2+AB 2-AD22BD ⋅AB=6a 22+c 2-3b 4 226a 2 ⋅c=63，所以sin ∠ABD =33．方法2：因为AD =3DC ，所以AD =34b ，DC =14b ，所以S △ABD S △CBD =12AB ⋅BD sin ∠ABD 12BD ⋅AB sin ∠CBD =3sin ∠ABD sin ∠CBD ，又因为S △ABD S △CBD =AD CD=3，所以sin ∠ABD =sin ∠CBD ，因为∠ABD ，∠CBD 均为锐角，所以∠ABD =∠CBD ，则cos ∠ABC =cos 2∠ABD =1-2sin 2∠ABD ，所以sin ∠ABD =33．方法3：因为AD =3DC ，所以AD =34b ，DC =14b ，所以BD =34BC +14BA．所以BD =34BC 2+14BA2+2⋅34BC 14BA cos ∠ABC ，由(1)知c =3a ，b a =22，BD =62a ．在△BAD 中，由余弦定理知cos ∠ABD =BD 2+AB 2-AD 22BD ⋅AB =6a 2 2+c 2-3b 4 226a 2c =63，所以sin ∠ABD =33．题型05 解三角形有关最值问题16(2024下·广东·梅州市一模)已知△ABC 是锐角三角形，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，2S =b 2+c 2-a 2，则c b 的取值范围为()A.55,5 B.255,5 C.255,2 D.55,2【答案】A【解析】【详解】依题意，2S =bc sin A =b 2+c 2-a 2，sin A =2b 2+c 2-a 22bc=2cos A ,tan A =2，由sin A =2cos A sin 2A +cos 2A =10<A <π2解得sin A =255,cos A =55.c b=sin C sin B =sin A +B sin B =sin A cos B +cos A sin B sin B =2551tan B +55，由于三角形ABC 是锐角三角形，所以0<B <π2A +B >π2 ，所以0<π2-A <B <π2，所以tan B >tan π2-A ，所以0<1tan B <1tan π2-A =cos π2-A sin π2-A=sin A cos A =tan A =2，所以0<2551tan B <455,55<2551tan B +55< 5.故选：A17(2024下·广东江门·高三联考)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B -C +a cos A -23c sin B cos A =0．(1)求A ；(2)若△ABC 外接圆的直径为23，求2c -b 的取值范围．【答案】(1)A =π3(2)-3,6【解析】【小问1详解】由A +B +C =π可得：A =π-B +C ，所以cos A =-cos B +C ，所以a cos B -C -a cos B +C =23c sin B cos A ，a cos B cos C +a sin B sin C -a cos B cos C +a sin B sin C =23c sin B cos A ，a sin B sin C =3c sin B cos A ，由正弦定理可得sin A sin B sin C =3sin C sin B cos A ，因为sin C >0,sin B >0，所以sin A =3cos A ，所以tan A =3，因为A ∈0,π ，所以A =π3.【小问2详解】由正弦定理可得a sin A =b sin B =c sin C =2R =23，所以b =23sin B ,c =23sin C ，故2c -b =43sin C -23sin B =232sin C -sin B ，又A +B +C =π，所以B =2π3-C ,C ∈0,2π3，所以2c -b =232sin C -sin 2π3-C =2332sin C -32cos C =6sin C -π6 ，又C ∈0,2π3 ，所以C -π6∈-π6,π2，所以2c -b =6sin C -π6 ∈-3,6 ，所以2c -b 的取值范围为-3,6 .18(2024下·广东·茂名市一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a cos B -b cos A -a +c =0.(1)求B 的值；(2)若M 为AC 的中点，且a +c =4，求BM 的最小值.【答案】(1)π3(2)3【解析】【小问1详解】由正弦定理及a cos B -b cos A -a +c =0，得sin A cos B -sin B cos A -sin A +sin C =0，又sin C =sin A +B =sin A cos B +cos A sin B ，所以2sin A cos B -sin A =0，又A ∈0,π ，∴sin A ≠0，∴2cos B -1=0，即cos B =12，又B ∈0,π ，∴B =π3.小问2详解】由M 为AC 的中点，得BM =12BA +12BC ，而a +c =4，所以BM 2=12BA +12BC 2=14BA 2+14BC 2+12BA ⋅BC =14c 2+14a 2+12ac cos B =14a +c 2-ac ≥14a +c 2-a +c 2 2 =316a +c 2=3，当且仅当a =c a +c =4 ，即a =c =2时等号成立，所以BM最小值为 3.19(2024下·广东·广州市一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S .已知S =-34a 2+c 2-b 2 .(1)求B ；(2)若点D 在边AC 上，且∠ABD =π2,AD =2DC =2，求△ABC 的周长.【解析】(1)12ac sin B =-34⋅2ac cos B ,tan B =-3,B =2π3.(2)BD =13BA +23BC ，∵AB ⊥BD ,∴BA ⋅BD =BA ⋅13BA +23BC =0，∴13c 2+23c ⋅a ⋅-12 =0⇒a =c ，而a 2+c 2-2ac ⋅-12 =9，∴a =c =3,∴△ABC 的周长为3+23 .。
三角函数及解三角形高考模拟考试题精选含详细答案
三角函数与解三角形高考试题精选一．解答题〔共31小题〕1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2〔tanA+tanB〕=+．〔Ⅰ〕证明：a+b=2c；〔Ⅱ〕求cosC的最小值．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．asinA=4bsinB，ac=〔a2﹣b2﹣c2〕．〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求sin〔2B﹣A〕的值．3．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC〔acosB+bcosA〕=c．〔Ⅰ〕求C；〔Ⅱ〕假设c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．cosA=，sinB=C．〔1〕求tanC的值；〔2〕假设a=，求△ABC的面积．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．〔Ⅰ〕证明：sinAsinB=sinC；〔Ⅱ〕假设b2+c2﹣a2=bc，求tanB．6．在△ABC中，AB=2，AC=3，A=60°．〔1〕求BC的长；〔2〕求sin2C的值．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．〔Ⅰ〕求a和sinC的值；〔Ⅱ〕求cos〔2A+〕的值．8．△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=〔a，b〕与=〔cosA，sinB〕平行．〔Ⅰ〕求A；〔Ⅱ〕假设a=，b=2，求△ABC的面积．9．设△ABC的角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC 的面积为，求cosA与a的值．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．〔Ⅰ〕求sin∠CED的值；〔Ⅱ〕求BE的长．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b+c=2acosB．〔Ⅰ〕证明：A=2B；〔Ⅱ〕假设△ABC的面积S=，求角A的大小．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=，b2﹣a2=c2．〔1〕求tanC的值；〔2〕假设△ABC的面积为3，求b的值．13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．〔Ⅰ〕假设a=2，b=，求cosC的值；〔Ⅱ〕假设sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b 的值．14．△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．〔Ⅰ〕假设a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕假设a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．15．△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c．〔Ⅰ〕假设a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕假设a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．16．四边形ABCD的角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．〔1〕求C和BD；〔2〕求四边形ABCD的面积．17．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin〔A+C〕=8sin2．〔1〕求cosB；〔2〕假设a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b+c=2acosB．〔1〕证明：A=2B；〔2〕假设cosB=，求cosC的值．19．设△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．〔Ⅰ〕证明：B﹣A=；〔Ⅱ〕求sinA+sinC的取值围．20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB=，sin〔A+B〕=，ac=2，求sinA和c的值．21．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．〔Ⅰ〕证明：sinB=cosA；〔Ⅱ〕假设sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．〔1〕求；〔2〕假设AD=1，DC=，求BD和AC的长．23．a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．〔Ⅰ〕假设a=b，求cosB；〔Ⅱ〕设B=90°，且a=，求△ABC的面积．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC〔Ⅰ〕求．〔Ⅱ〕假设∠BAC=60°，求∠B．25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a﹣c=b，sinB=sinC，〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求cos〔2A﹣〕的值．26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=3，cosA=，B=A+．〔Ⅰ〕求b的值；〔Ⅱ〕求△ABC的面积．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．〔1〕假设sin〔A+〕=2cosA，求A的值．〔2〕假设cosA=，b=3c，求sinC的值．28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，3acosA=ccosB+bcosC〔1〕求cosA的值〔2〕假设a=1，cosB+cosC=，求边c的值．29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．〔1〕求角B的大小；〔2〕假设b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求c的值．三角函数与解三角形高考试题精选参考答案与试题解析一．解答题〔共31小题〕1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2〔tanA+tanB〕=+．〔Ⅰ〕证明：a+b=2c；〔Ⅱ〕求cosC的最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2〔sinAcosB+cosAsinB〕=sinA+sinB；∴2sin〔A+B〕=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC〔1〕；根据正弦定理，；∴，带入〔1〕得：；∴a+b=2c；〔Ⅱ〕a+b=2c；∴〔a+b〕2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．asinA=4bsinB，ac=〔a2﹣b2﹣c2〕．〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求sin〔2B﹣A〕的值．【解答】〔Ⅰ〕解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕，可得，代入asinA=4bsinB，得．由〔Ⅰ〕知，A为钝角，那么B为锐角，∴．于是，，故．3．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC〔acosB+bcosA〕=c．〔Ⅰ〕求C；〔Ⅱ〕假设c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：〔Ⅰ〕∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0等式利用正弦定理化简得：2cosC〔sinAcosB+sinBcosA〕=sinC，整理得：2cosCsin〔A+B〕=sinC，即2cosCsin〔π﹣〔A+B〕〕=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；〔Ⅱ〕由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴〔a+b〕2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴〔a+b〕2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．cosA=，sinB=C．〔1〕求tanC的值；〔2〕假设a=，求△ABC的面积．【解答】解：〔1〕∵A为三角形的角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin〔A+C〕=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，那么tanC=；〔2〕由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，那么S△ABC=acsinB=×××=．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．〔Ⅰ〕证明：sinAsinB=sinC；〔Ⅱ〕假设b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】〔Ⅰ〕证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin〔A+B〕=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，〔Ⅱ〕解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．6．在△ABC中，AB=2，AC=3，A=60°．〔1〕求BC的长；〔2〕求sin2C的值．【解答】解：〔1〕由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．〔2〕由正弦定理可得：，那么sinC===，∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0那么cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．〔Ⅰ〕求a和sinC的值；〔Ⅱ〕求cos〔2A+〕的值．【解答】解：〔Ⅰ〕在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC 的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；〔Ⅱ〕cos〔2A+〕=cos2Acos﹣sin2Asin==．8．△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=〔a，b〕与=〔cosA，sinB〕平行．〔Ⅰ〕求A；〔Ⅱ〕假设a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：〔Ⅰ〕因为向量=〔a，b〕与=〔cosA，sinB〕平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=，可得A=；〔Ⅱ〕a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．9．设△ABC的角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC 的面积为，求cosA与a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．〔Ⅰ〕求sin∠CED的值；〔Ⅱ〕求BE的长．【解答】解：〔Ⅰ〕设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，那么CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，〔舍去〕，在△CDE中，由正弦定理得，那么sinα=，即sin∠CED=．〔Ⅱ〕由题设知0＜α＜，由〔Ⅰ〕知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos〔〕=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b+c=2acosB．〔Ⅰ〕证明：A=2B；〔Ⅱ〕假设△ABC的面积S=，求角A的大小．【解答】〔Ⅰ〕证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin〔A+B〕=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin〔A﹣B〕∵A，B是三角形中的角，∴B=A﹣B，∴A=2B；〔Ⅱ〕解：∵△ABC的面积S=，∴bcsinA=，∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B，∴sinC=cosB，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=，b2﹣a2=c2．〔1〕求tanC的值；〔2〕假设△ABC的面积为3，求b的值．【解答】解：〔1〕∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈〔0，π〕，∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．〔2〕∵=×=3，解得c=2．∴=3．13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．〔Ⅰ〕假设a=2，b=，求cosC的值；〔Ⅱ〕假设sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b 的值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣〔a+b〕=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；〔Ⅱ〕由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin〔A+B〕=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．14．△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．〔Ⅰ〕假设a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕假设a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣〔A+C〕]=sin〔A+C〕，∴sinA+sinC=2sinB=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．15．△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c．〔Ⅰ〕假设a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕假设a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣〔A+C〕]=sin〔A+C〕，那么sinA+sinC=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．16．四边形ABCD的角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．〔1〕求C和BD；〔2〕求四边形ABCD的面积．【解答】解：〔1〕在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，那么C=60°，BD=；〔2〕∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，那么S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．17．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin〔A+C〕=8sin2．〔1〕求cosB；〔2〕假设a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：〔1〕sin〔A+C〕=8sin2，∴sinB=4〔1﹣cosB〕，∵sin2B+cos2B=1，∴16〔1﹣cosB〕2+cos2B=1，∴16〔1﹣cosB〕2+cos2B﹣1=0，∴16〔cosB﹣1〕2+〔cosB﹣1〕〔cosB+1〕=0，∴〔17cosB﹣15〕〔cosB﹣1〕=0，∴cosB=；〔2〕由〔1〕可知sinB=，∵S△ABC=ac•sinB=2，∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=〔a+c〕2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b+c=2acosB．〔1〕证明：A=2B；〔2〕假设cosB=，求cosC的值．【解答】〔1〕证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin〔A﹣B〕，由A，B∈〔0，π〕，∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣〔A﹣B〕，化为A=2B，或A=π〔舍去〕．∴A=2B．〔II〕解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos〔A+B〕=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．19．设△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．〔Ⅰ〕证明：B﹣A=；〔Ⅱ〕求sinA+sinC的取值围．【解答】解：〔Ⅰ〕由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin〔+A〕又B为钝角，∴+A∈〔，π〕，∴B=+A，∴B﹣A=；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知C=π﹣〔A+B〕=π﹣〔A++A〕=﹣2A＞0，∴A∈〔0，〕，∴sinA+sinC=sinA+sin〔﹣2A〕=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2〔sinA﹣〕2+，∵A∈〔0，〕，∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2〔sinA﹣〕2+≤∴sinA+sinC的取值围为〔，]20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB=，sin〔A+B〕=，ac=2，求sinA和c的值．【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，ccosB=，sin〔A+B〕=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣〔舍去〕；②由正弦定理，由①可知sin〔A+B〕=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1．21．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．〔Ⅰ〕证明：sinB=cosA；〔Ⅱ〕假设sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【解答】解：〔Ⅰ〕证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．〔Ⅱ〕∵sinC=sin[π﹣〔A+B〕]=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由〔1〕sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．〔1〕求；〔2〕假设AD=1，DC=，求BD和AC的长．【解答】解：〔1〕如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分〔2〕由〔1〕知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，那么AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．23．a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．〔Ⅰ〕假设a=b，求cosB；〔Ⅱ〕设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【解答】解：〔I〕∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得〔bk〕2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．〔II〕由〔I〕可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．∴S△ABC==1．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC 〔Ⅰ〕求．〔Ⅱ〕假设∠BAC=60°，求∠B．【解答】解：〔Ⅰ〕如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；〔Ⅱ〕∵∠C=180°﹣〔∠BAC+∠B〕，∠B AC=60°，∴，由〔Ⅰ〕知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a﹣c=b，sinB=sinC，〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求cos〔2A﹣〕的值．【解答】解：〔Ⅰ〕将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；〔Ⅱ〕∵cosA=，A为三角形角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，那么cos〔2A﹣〕=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=3，cosA=，B=A+．〔Ⅰ〕求b的值；〔Ⅱ〕求△ABC的面积．【解答】解：〔Ⅰ〕∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin〔A+〕=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．〔Ⅱ〕∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin〔π﹣A﹣B〕=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB=×〔﹣〕+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．〔1〕假设sin〔A+〕=2cosA，求A的值．〔2〕假设cosA=，b=3c，求sinC的值．【解答】解：〔1〕因为，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°〔2〕由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，3acosA=ccosB+bcosC〔1〕求cosA的值〔2〕假设a=1，cosB+cosC=，求边c的值．【解答】解：〔1〕由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；得cosA=；〔2〕∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos〔A+C〕=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③又cosB+cosC=代入③cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得sinC=a=1正弦定理：c===29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．〔1〕求角B的大小；〔2〕假设b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【解答】解：〔1〕∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈〔0，π〕，可知：cosB≠0，否那么矛盾．∴tanB=，∴B=．〔2〕∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求c的值．【解答】解：〔Ⅰ〕由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A，利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．〔Ⅱ〕由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即9=+c2﹣2×2×c×，即c2﹣8c+15=0．解方程求得c=5，或c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．当c=5时，求得cosB==，cosA==，∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．。
炎德英才大联考长沙市一中2025届高三月考试卷(三)数学答案
时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的炎德英才大联考长沙市一中2025届高三月考试卷（三）数学）1.若复数z 满足1i34i z +=-，则z =（）A.5B.25C.5D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，计算其模，即得答案.【详解】由1i34i z+=-可得()()()()1i 34i 1i 17i 34i 34i 34i 25z +++-+===--+，则25z =,故选：C2.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则345a a a ++等于（）A.12B.15C.18D.21【答案】B 【解析】【分析】利用52S S -即可求得345a a a ++的值.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，所以34552=a a a S S ++-()2252522215=-⨯--⨯=.故选：B.3.抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.(1,0)B.(1,0)-C.1(0,16-D.1(0,)16【答案】D 【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标【详解】解：由24y x =，得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，且124p =，所以18p =，1216p =，所以焦点坐标为1(0,16，故选：D4.如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则函数的解析式可为（）A.πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.5πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】观察图象，确定函数()sin y x ωϕ=+的周期，排除B ，由图象可得当5π12x =时，函数取最小值，求ϕ由此判断AC ，结合诱导公式判断D.【详解】观察图象可得函数()sin y x ωϕ=+的最小正周期为2ππ2π36T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2ππω=，故2ω=或2ω=-，排除B ；观察图象可得当π2π5π63212x +==时，函数取最小值，当2ω=时，可得5π3π22π+122k ϕ⨯+=，Z k ∈，所以2π2π+3k ϕ=，Z k ∈，排除C ；当2ω=-时，可得5ππ22π122k ϕ-⨯+=-，Z k ∈，所以π2π+3k ϕ=，Z k ∈，取0k =可得，π3ϕ=，故函数的解析式可能为πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，A 正确；5ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误故选：A.5.1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1,ln4 1.4≈≈）A.10km /sB.20km /sC.80km /s 3D.40km /s【答案】B 【解析】【分析】根据实际问题，运用对数运算可得.【详解】由题意122m m =，122200122lnln 82m m m m v v v m m ++===，得03ln 82v =，故0888203ln3ln 2 1.10.7ln 2v ==≈=--，故选：B6.若83cos 5αβ=，63sin 5αβ=，则()cos αβ+的值为（）A.4-B.4C.4-D.4【答案】C 【解析】【分析】已知两式平方相加，再由两角和的余弦公式变形可得．【详解】因为83cos 5αβ+=，63sin 5αβ-=，所以25(3cos 4)62αβ=，2(3sin )2536αβ=，即所以2259cos co 6s 1042cos ααββ++=，229sin sin +10sin 2536ααββ-=，两式相加得9)104αβ+++=，所以10cos()4αβ+=-，故选：C ．7.如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为23，向右的概率为13，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（）A.427B.827C.29D.49【答案】A 【解析】【分析】根据该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以求解.【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以，所以该质点共两次到达1的位置的概率为211124333332713⨯⨯+⨯⨯=.故选：A.8.设n S 为数列的前n 项和，若121++=+n n a a n ，且存在*N k ∈，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为（）A.{}20,21-B.{}20,20-C.{}29,11- D.{}20,19-【答案】A 【解析】【分析】利用121++=+n n a a n 可证明得数列{}21n a -和{}2n a 都是公差为2的等差数列，再可求得()2=21n S n n +，有了这些信息，就可以从k 的取值分析并求解出结果.【详解】因为121++=+n n a a n ，所以()()()()()()212342123+41=++++++37+41=212n n n n nS a a a a a a n n n --⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅-=+，假设()2=21=210n S n n +，解得=10n 或21=2n -（舍去），由存在*N k ∈，1210k k S S +==，所以有19k =或20k =，由121++=+n n a a n 可得，+1223n n a a n ++=+，两式相减得：22n n a a +-=，当20k =时，有2021210S S ==，即210a =，根据22n n a a +-=可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，所以()211+11120a a =-⨯=，解得120a =-，当19k =时，有1920210S S ==，即200a =，根据22n n a a +-=可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，所以()202+10120a a =-⨯=，解得218a =-，由已知得123a a +=，所以121a =.故选：A.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，则下列说法正确的是（）A.直线EF 与11D B 为异面直线B.直线1D E 与1DC 所成的角为60oC.1D F AD ⊥D.//EF 平面11CDD C 【答案】ABD 【解析】【分析】直接根据异面直线及其所成角的概念可判断AB ，利用反证法可判断C ，利用线面平行判定定理可判断D.【详解】如图所示，连接AC ，1CD ，EF ，由于E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，即F 为AC 的中点，所以1//EF CD ，EF ⊄面11CDD C ，1CD ⊆面11CDD C ，所以//EF 平面11CDD C ，即D 正确；所以EF 与1CD 共面，而1B ∉1CD ，所以直线EF 与11D B 为异面直线，即A 正确；连接1BC ，易得11//D E BC ，所以1DC B ∠即为直线1D E 与1DC 所成的角或其补角，由于1BDC 为等边三角形，即160DC B ∠=，所以B 正确；假设1D F AD ⊥，由于1AD DD ⊥，1DF DD D = ，所以AD ⊥面1D DF ，而AD ⊥面1D DF 显然不成立，故C 错误；故选：ABD.10.已知P 是圆22:4O x y +=上的动点，直线1:cos sin 4l x y θθ+=与2:sin cos 1l x y θθ-=交于点Q ，则（）A.12l l ⊥ B.直线1l 与圆O 相切C.直线2l 与圆O 截得弦长为23 D.OQ 17【答案】ACD 【解析】【分析】选项A 根据12l l ⊥，12120A A B B +=可判断正确；选项B 由圆心O 到1l 的距离不等半径可判断错误；选项C 根据垂直定理可得；选项D 先求出()4sin cos ,4cos sin Q θθθθ-+，根据两点间的距离公式可得.【详解】选项A ：因()cos sin sin cos 0θθθθ+-=，故12l l ⊥，A 正确；选项B ：圆O 的圆心O 的坐标为()0,0，半径为2r =，圆心O 到1l 的距离为12244cos sin d r θθ-==>+，故直线1l 与圆O 相离，故B 错误；选项C ：圆心O 到1l 的距离为()22211sin cos d θθ-==+-，故弦长为222223l r d =-=，故C 正确；选项D ：由cos sin 4sin cos 1x y x y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得4cos sin 4sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩，故()4cos sin ,4sin cos Q θθθθ+-，故OQ ==，故D 正确故选：ACD11.已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++有三个不同的零点1x ，2x ，()3123x x x x <<，函数()()1g x f x =-也有三个零点1t ，2t ，()3123t t t t <<，则（）A.23b ac>B.若1x ，2x ，3x 成等差数列，则23bx a=-C.1313x x t t +<+D.222222123123x x x t t t ++=++【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由题意可得()0f x '=有两个不同实根，则由0∆>即可判断；对于B ，若123,,x x x 成等差数列，则()()22,x f x 为()f x 的对称中心，即可判断；对于C ，结合图象，当0a >和0a <时，分类讨论即可判断；对于D ，由三次函数有三个不同的零点，结合韦达定理，即可判断.【详解】因为()32f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，0a ≠，对称中心为,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，因为()f x 有三个不同零点，所以()f x 必有两个极值点，即()2320f x ax bx c '=++=有两个不同的实根，所以2Δ4120b ac =->，即23b ac >，故A 正确；对于B ，由123,,x x x 成等差数列，及三次函数的中心对称性，可知()()22,x f x 为()f x 的对称中心，所以23bx a=-，故B 正确；对于C ，函数()()1g x f x =-，当()0g x =时，()1f x =，则1y =与()y f x =的交点的横坐标即为1t ，2t ，3t ，当0a >时，画出()f x 与1y =的图象，由图可知，11x t <，33x t <，则1313x x t t +<+，当0a <时，则1313x x t t +>+，故C 错误；对D ，由题意，得()()()()()()32123321231a x x x x x x ax bx cx da x t x t x t ax bx cx d ⎧---=+++⎪⎨---=+++-⎪⎩，整理，得123123122331122331b x x x t t t ac x x x x x x t t t t t t a ⎧++=++=-⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩，得()()()()2212312233112312233122x x x x x x x x x t t t t t t t t t ++-++=++-++，即222222123123x x x t t t ++=++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是利用交点式得到三次方程的韦达定理式再计算即可.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()3E X =，()2D X =，则n =_____.【答案】9【解析】【分析】根据二项分布的期望、方差公式，即可求得答案.【详解】由题意知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，()3E X =，()2D X =，则()3,12np np p =-=，即得1,93p n ==，故答案为：913.已知平面向量a ，b 满足2a = ，1= b ，且b 在a上的投影向量为14a - ，则ab + 为______.【答案】【解析】【分析】由条件结合投影向量公式可求a b ⋅ ，根据向量模的性质及数量积运算律求a b +.【详解】因为b 在a上的投影向量为14a - ，所以14b a a a aa ⋅⋅=- ，又2a = ，所以1a b ⋅=-，又1= b ，所以a b +==14.如图，已知四面体ABCD 的体积为32，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD ，AD 上，且G ，H 是靠近D 点的四等分点，则多面体EFGHBD 的体积为_____.【答案】11【解析】【分析】连接,EG ED ，将多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -，利用题设条件找到小棱锥底面面积与四面体底面面积的数量关系，以及小棱锥的高与四面体的高的数量关系，结合四面体的体积即可求得多面体EFGHBD 的体积.【详解】如图，连接,EG ED ，则多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -.因H 是AD 上靠近D 点的四等分点，则14DHE AED S S = ，又E 是AB 的中点，故11114428DHE AED ABD ABD S S S S ==⨯= ，因G 是CD 上靠近D 点的四等分点，则点G 到平面ABD 的距离是点C 到平面ABD 的距离的14，故三棱锥G EDH -的体积1113218432G EDH C ABD V --=⨯=⨯=；又因点F 是BC 的中点，则133248CFG BCD BCD S S S =⨯= ，故58BFGD BCD S S = ，又由E 是AB 的中点知，点E 到平面BCD 的距离是点A 到平面BCD 的距离的12，故四棱锥E BFGD -的体积51532108216E BFGD A BCD V V --=⨯=⨯=，故多面体EFGHBD 的体积为11011.G EDH E BFGD V V --+=+=故答案为：11.【点睛】方法点睛：本题主要考查多面体的体积求法，属于较难题.一般的求法有两种：（1）分割法：即将多面体通过连线，作面的垂线等途径，将其分成若干可以用公式求解；（2）补形法：即将多面体通过辅助线段构造柱体，锥体或台体，利用整体体积减去个体体积等间接方法求解.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B A -=.（1）求A ；（2）若sin sin 2sin B C A +=，且ABC V 的面积为a 的值.【答案】（1）π3A =（2）2a =【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到tan A =，从而得解；（2）利用正弦定理的边角变换，余弦定理与三角形面积公式得到关于a 的方程，解之即可得解.【小问1详解】因为sin cos 0a B A -=,即sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A ⋅=⋅，因为sin 0B ≠，所以sin A A =,则tan A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】因为sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理得2b c a +=，因为π3A =，所以113sin 222ABC S bc A bc ==⨯= 4bc =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅，得224b c bc +-=，所以()234b c bc +-=，则()22344a -⨯=，解得2a =.16.设()()221ln 2f x x ax x x =++，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若a ∈R ，试讨论()f x 的单调性.【答案】（1）4230--=x y （2）答案见解析【解析】【分析】（1）由函数式和导函数式求出(1)f 和(1)f '，利用导数的几何意义即可写出切线方程；（2）对函数()f x 求导并分解因式，根据参数a 的取值进行分类讨论，由导函数的正负推得原函数的增减，即得()f x 的单调性.【小问1详解】当0a =时，()221ln 2f x x x x =+，()2(ln 1)f x x x =+'，因1(1),(1)22f f '==，故()f x 在1x =处的切线方程为12(1)2y x -=-，即4230--=x y ；【小问2详解】因函数()()221ln 2f x x ax x x =++的定义域为(0,)+∞，()(2)ln 2(2)(ln 1)f x x a x x a x a x =+++=++'，①当2a e ≤-时，若10e x <<，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在1(0,)e上单调递增；若1e x >，由20x a +=可得2a x =-.则当1e 2a x <<-时，20x a +<，ln 10x +>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)e 2a -上单调递减；当2a x >-时，ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在(,)2a -+∞上单调递增；②当2e a >-时，若1e x >，则ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在1(,)e +∞上单调递增；若12e a x -<<，则ln 10,20x x a +<+>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)2e a -上单调递减；若02a x <<-，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在(0,)2a -上单调递增，当2e a =-时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，综上，当2e a <-时，函数()f x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e 2a -上单调递减，在(,)2a -+∞上单调递增；当2e a =-时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2e a >-时，函数()f x 在(0,2a -上单调递增，在1(,2e a -上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增.17.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解（2）3913【解析】【分析】（1）根据线面垂直可证BD ⊥平面PAC ，则BD PC ⊥，再根据线面平行的性质定理可证BD ∥MN ，进而可得结果；（2）根据题意可证⊥PO 平面ABCD ，根据线面夹角可知PAC 为等边三角形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】设AC BD O = ，则O 为,AC BD 的中点，连接PO ，因为ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，又因为PD PB =，且O 为BD 的中点，则PO BD ⊥，AC PO O = ，,AC PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，且PC ⊂平面PAC ，则BD PC ⊥，又因为BD ∥平面AMHN ，BD ⊂平面PBD ，平面AMHN 平面PBD MN =，可得BD ∥MN ，所以MN PC ⊥.【小问2详解】因为PA PC =，且O 为AC 的中点，则PO AC ⊥，且PO BD ⊥，AC BD O = ，,AC BD ⊂平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD ，可知PA 与平面ABCD 所成的角为60PAC ∠=︒，即PAC 为等边三角形，设AH PO G =I ，则,G AH G PO ∈∈，且AH⊂平面AMHN ，PO ⊂平面PBD ，可得∈G 平面AMHN ，∈G 平面PBD ，且平面AMHN 平面PBD MN =，所以G MN ∈，即,,AH PO MN 交于一点G ，因为H 为PC 的中点，则G 为PAC 的重心，且BD ∥MN ，则23PM PN PG PB PD PO ===，设2AB =，则11,32PA PC OA OC AC OB OD OP ========，如图，以,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则)()22,0,0,3,0,,1,0,,133A P M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()24,1,0,,0,33AM NM AP ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uuur uuu r ，设平面AMN 的法向量()111,,x n y z =，则1111203403n AM y z n NM y ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，令11x =，则110,y z ==，可得(n = ，设平面PAM 的法向量()222,,m x y z =，则2222220330m AM y z m AP z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2x =，则123,1y z ==，可得)m =u r，可得39cos ,13n m n m n m ⋅===⋅r u r r u r r u r ，所以平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值3913.18.已知双曲线22:13y x Γ-=的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点.（1）若AB x ⊥轴，求线段AB （2）若直线l 与双曲线的左、右两支相交，且直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N .（i ）若11F AB F MN S S = ，求直线l 的方程；（ii ）若1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，求直线l 的斜率的取值范围.【答案】（1）线段AB 的长为6；（2）（i ）直线l的方程为221x y =±+；（ii ）直线l的斜率的取值范围为33(,)(,7447-- .【解析】【分析】（1）直接代入横坐标求解纵坐标，从而求出的值；（2）（i ）（ii ）先设直线和得到韦达定理，在分别得到两个三角形的面积公式，要求相等，代入韦达定理求出参数的值即可.【小问1详解】由双曲线22:13y x Γ-=的方程，可得221,3a b ==，所以1,2a b c ===，所以1(2,0)F -，2(2,0)F ，若AB x ⊥轴，则直线AB 的方程为2x =，代入双曲线方程可得(2,3),(2,3)A B -，所以线段AB 的长为6；【小问2详解】（i）如图所示，若直线l 的斜率为0，此时l 为x 轴，,A B 为左右顶点，此时1,,F A B 不构成三角形，矛盾，所以直线l 的斜率不为0，设:2l x ty =+，1122()A x y B x y ,,(,)，联立22132y x x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(31)1290t y ty ++=，t 应满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，由根与系数关系可得121222129,3131t y y y y t t +=-=--，直线1AF 的方程为110(2)2y y x x -=++，令0x =，得1122y y x =+，点112(0,2y M x +，直线1BF 的方程为220(2)2y y x x -=++，令0x =，得2222y y x =+，点222(0,2y N x +，121122221111|||||2||2|F F F B A A F B F S y F S S F y y y -=⨯-==- ，111212221||||||222F M N M F MNN S y y x y y y y x x =-=-=-++ 12122112212121212222(4)2(4)8()||||||44(4)(4)4()16y y y ty y ty y y ty ty ty ty t y y t y y +-+-=-==+++++++，由11F AB F MN S S = ，可得1212212128()||2||4()16y y y y t y y t y y -=-+++，所以21212|4()16|4t y y t y y +++=，所以222912|4(16|43131t t t t t ⨯+-+=--，解得22229484816||431t t t t -+-=-，22916||431t t -=-，解得22021t =，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以t =所以直线l 的方程为221x y =±+；（ii ）由1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，可得2190F MF >︒∠，所以110F F N M < ，又112211,22(2,)(2,22F y y N x x M F =+=+ ，所以1212224022y y x x +⨯<++，所以121210(2)(2)y y x x +<++，所以1221212104()16y y t y y t y y +<+++，所以2222931109124()163131t t t t t t -+<⨯+-+--，所以22970916t t -<-，解得271699t <<，解得433t <<或433t -<<-，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以直线l的斜率的取值范围为33(,(,7447-- .【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12⨯底⨯高，表示出三角形的面积；（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为12211||||2F F y y ⨯-或121||||2AB x x ⨯-.19.已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ∈N ，设集合{}*k i B i a k =∈<N ∣，设k b 为集合k B 中的元素个数，当k B =∅时，规定0k b =.（1）若2n a n =，求1b ，2b ，17b 的值；（2）若2n n a =，设n b 的前n 项和为n S ，求12n S +；（3）若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）12170,1,4b b b ===（2）1(1)22n n +-⨯+（3）n a n=【解析】【分析】（1）根据集合新定义，利用列举法依次求得对应值即可得解；（2）根据集合新定义，求得12,b b ，121222i i i b b b i +++==== ，从而利用分组求和法与裂项相消法即可得解.（3）通过集合新定义结合等差数列性质求出11a =，然后利用反证法结合数列{}n a 的单调性求得11n n a a +-=，利用等差数列定义求解通项公式即可；【小问1详解】因为2n a n =，则123451,4,9,16,25a a a a a =====，所以{}*11i B i a =∈<=∅N ∣，{}*22{1}i B i a =∈<=N ∣，{}*1717{1,2,3,i B i a =∈<=N ∣，故12170,1,4b b b ===.【小问2详解】因为2n n a =，所以123452,4,8,16,32a a a a a =====，则**12{|1},{|2}i i B i a B i a =∈<=∅=∈<=∅N N ，所以10b =，20b =，当122i i k +<≤时，则满足i a k <的元素个数为i ，故121222i i i b b b i +++==== ，所以()()()1112345672122822n n n n S b b b b b b b b b b b ++++=++++++++++++ 1212222n n =⨯+⨯++⨯ ，注意到12(1)2(2)2n n n n n n +⨯=-⨯--⨯，所以121321202(1)21202(1)2(2)2n n nS n n ++=⨯--⨯+⨯-⨯++-⨯--⨯ 1(1)22n n +=-⨯+.【小问3详解】由题可知11a ≥，所以1B =∅，所以10b =，若12a m =≥，则2B =∅，1{1}m B +=，所以20b =，11m b +=，与{}n b 是等差数列矛盾，所以11a =，设()*1n n n d a a n +=-∈N ，因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以*n d ∈N ，假设存在*k ∈N 使得2k d ≥，设k a t =，由12k k a a +-≥得12k a t ++≥，由112k k a t t t a +=<+<+≤得t b k <，21t t b b k ++==，与{}n b 是等差数列矛盾，所以对任意*n ∈N 都有1n d =，所以数列{}n a 是等差数列，1(1)n a n n =+-=.【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和。
江苏省2023届新高考数学高三上学期10月月考试卷分类汇编：三角部分小题之解三角形(原卷版)
江苏省2023届新高考数学高三上学期10月期初考试试卷分类汇编：三角部分小题【类型三：解三角形】1．(2023·江苏常州八校10月联考)法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC而言，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则称P 为△ABC的费马点．在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA ＝45°，P A＝4．则△BPC的外接圆半径长为．2．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)拿破仑是法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”．在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角ABP，BCQ，CAR 它们的中心依次为D，E，F．若AB＝3，BC＝5，CA＝7，则△DEF的面积为．3．(2023·江苏苏州八校联盟10月)已知△ABC的面积为23，AB＝2，AC＝4，则△ABC中线AD长的值为▲ ．4．(2023·江苏扬州中学10月)(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是( )A．若A＝30°，b＝5，a＝2，则△ABC有2解；B．若A＞B，则cos A＜cos B；C．若cos A cos B cos C＞0，则△ABC为锐角三角形；D．若a－b＝c⋅cos B－c⋅cos A，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．5．(2023·江苏阜宁县实验高级中学10月月考)(多选题)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是( )A．若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC一定是等边三角形B．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形C．若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形D．若a2＋b2－c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形6．(2023·江苏南师附中10月考试)已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c＝3，3tan A tan B＝3＋tan A＋tan B，则a2＋b2的取值范围为．7．(2023·江苏南京盐城部分学校10月联考)在△ABC中，点D在边BC上，且BD＝2CD，→AB ·→AD ＝4→AC ·→AD ，记BD ，CD 中点分别为E ，F ，且AE ＝EF ，则cos△EAF ＝A ．14B ．158C ．154D ．788．(2023·江苏南京六校联合体10月)已知ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若60B ︒∠=，D 为边AC 上的一点，且1BD =，AD c DC a =，则11a c+值为_________. 9．(2023·江苏淮安涟水县第一中学10月月考)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若()224S b c a =+-，则角A 的值为（ ）. A ．π2 B ． 2π3 C ．π3 D ．π410．(2023·江苏淮安涟水县第一中学10月月考)(多选题)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,3c C π==，则下列选项正确的是（ ）A ．ABC ∆B ．ABC ∆C ．2a b +最大值为3； D ．22a b +的最小值为8 11．(2023·江苏扬州中学10月)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b ＋2a ＝4，(a ＋c )(sin A －sin C )＋b sin B ＝a sin B ，点D 在边AB 上，且AD ＝2DB ，则线段CD 长度的最小值为( )A ．233B ．223C ．3D ．2 12．(2023·江苏南通如皋10月)湖北宜昌三峡大瀑布是国家4A 级景区，也是神农架探秘的必经之地。
2021年3月新高考数学复习资料§5.4解三角形及其综合应用试题及参考答案
§5.4解三角形及其综合应用基础知识专题固本夯基【基础训练】考点一正弦定理和余弦定理1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A＝3sin B,c＝√5,且cos C＝56,则a＝() A.2√2 B.3 C.3√2 D.4【参考答案】B2.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A＝asin B,且c＝2b,则ab等于()A.32B.43C.√2D.√3【参考答案】D3.在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-√3bc＝a2,bc＝√3a2,则角C的大小是()A.π6或2π3B.π3C.2π3D.π6【参考答案】A4.若△ABC的面积为√34(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B＝;ca的取值范围是.【参考答案】π3;(2,+∞)5.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A＝(2b+c)sin B+(2c+b)·sin C.(1)求A的大小;(2)若sin B+sin C＝1,试判断△ABC的形状.【试题解析】(1)由已知,结合正弦定理,得2a2＝(2b+c)b+(2c+b)c,即a2＝b2+c2+bc.又a2＝b2+c2-2bccos A,所以bc＝-2bccos A,即cos A＝-12.由于A为三角形的内角,所以A＝2π3.(2)已知2asin A＝(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,结合正弦定理,得2sin2A＝(2sin B+sin C)sin B+(2sin C+sin B)sin C,即sin2A＝sin2B+sin2C+sin Bsin C＝sin22π3＝34.又由sin B+sin C＝1,得sin2B+sin2C+2sin Bsin C＝1, 解得sin B＝sin C＝12,因为0<B<π,0<C<π,0<B+C<π,所以B ＝C ＝π6,所以△ABC 是等腰三角形.考点二 解三角形及其综合应用6.在△ABC 中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为1314,则这个三角形的面积为( )A.15√34B.154C.21√34D.35√34【参考答案】A7.如图所示,为了测量A,B 两处岛屿间的距离,小张以D 为观测点,测得A,B 分别在D 处的北偏西30°、北偏东30°方向,再往正东方向行驶40海里到C 处,测得B 在C 处的正北方向,A 在C 处的北偏西60°方向,则A,B 两处岛屿间的距离为( )A.20√3 海里B.40√3 海里C.20(1+√3)海里D.40海里 【参考答案】B8.设锐角△ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且c ＝1,A ＝2C,则△ABC 周长的取值范围为( ) A.(0,2+√2) B.(0,3+√3) C.(2+√2,3+√3) D.(2+√2,3+√3] 【参考答案】C9.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD ＝ m.【参考答案】100√6综合篇知能转换【综合集训】考法一 利用正、余弦定理解三角形1.(2019湖南四校调研联考,10)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sinA sinB+sinC +ba+c＝1,则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6【参考答案】B2.(2020届福建建瓯芝华中学高三暑假学习效果检测,7)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C＝( )A.π2 B.π3 C.π4 D.π6【参考答案】C3.(2019上海金山二模,7)已知△ABC 中,tan A ＝14,tan B ＝35,AB ＝√17.求: (1)角C 的大小;(2)△ABC 中最短边的边长.【试题解析】(1)tan C ＝tan[π-(A+B)]＝-tan(A+B)＝-tanA+tanB1-tanAtanB ＝-14+351-14×35＝-1,所以C ＝3π4.(2)因为tan A<tan B,所以最小角为A. 又因为tan A ＝14,所以sin A ＝√1717.又BC sinA ＝ABsinC, 所以BC ＝AB ·sinAsinC√17×√1717√22√2.故△ABC 中最短边的边长为√2.考法二 三角形形状的判断4.(2020届山东济宁二中10月月考,8)在△ABC 中,若sin A ＝2sin Bcos C,a 2＝b 2+c 2-bc,则△ABC 的形状是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 【参考答案】A5.(2018湖南师大附中12月月考,6)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若bcosC ccosB ＝1+cos2C1+cos2B,则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形或直角三角形 【参考答案】D6.(2018江西南城一中期中,6)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若tanA -tanB tanA+tanB ＝c -bc,则这个三角形必含有()A.90°的内角B.60°的内角C.45°的内角D.30°的内角 【参考答案】B考法三 与三角形的面积、范围有关的问题7.(2020届内蒙古杭锦后旗奋斗中学第一次月考,18)在△ABC 中,∠A ＝60°,c ＝37a. (1)求sin C 的值;(2)若a ＝7,求△ABC 的面积.【试题解析】(1)在△ABC 中,因为∠A ＝60°,c ＝37a,所以由正弦定理得sin C ＝csinA a ＝37×√32＝3√314. (2)因为a ＝7,所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2+c 2-2cbcos A 得72＝b 2+32-2b×3×12,得b ＝8或b ＝-5(舍).所以△ABC 的面积S ＝12bcsin A ＝12×8×3×√32＝6√3.8.(2019江西临川一中12月月考,17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且2csin B ＝3atan A. (1)求b 2+c 2a 2的值; (2)若a ＝2,求△ABC 的面积的最大值.【试题解析】(1)2csin B ＝3atan A ⇒2csin Bcos A ＝3asin A ⇒2bc ·cos A ＝3a 2,即2bc ·b 2+c 2-a 22bc＝3a 2,∴b 2+c 2＝4a 2, 则b 2+c 2a 2＝4. (2)∵a ＝2,∴b 2+c 2＝16,∴cos A ＝b 2+c 2-a 22bc ＝6bc. 又b 2+c 2≥2bc,即8≥bc,当且仅当b ＝c 时,取等号, ∴cos A ≥68＝34. 由cos A ＝6bc 得bc ＝6cosA, 则A ∈(0,π2),∴S △ABC ＝12bcsin A ＝3tan A.∵1+tan 2A ＝1+sin 2A cos 2A ＝cos 2A+sin 2A cos 2A ＝1cos 2A, ∴tan A ＝√1cos 2A -1≤√169-1＝√73, ∴S △ABC ＝3tan A ≤√7,故△ABC 的面积的最大值为√7.考法四 解三角形的实际应用9.(2018福建莆田月考,8)A 在塔底D 的正西面,在A 处测得塔顶C 的仰角为45°,B 在塔底D 的南偏东60°处,在塔顶C 处测得B 的俯角为30°,A 、B 间距84米,则塔高为( ) A.24米 B.12√5 米 C.12√7 米 D.36米 【参考答案】C10.(2018河北石家庄摸底考试,17)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE 为生活区,四边形区域BCDE 为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE 为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD ＝∠CDE ＝2π3,∠BAE ＝π3,DE ＝3BC ＝3CD ＝910km. (1)求道路BE 的长度;(2)求生活区△ABE 的面积的最大值.【试题解析】(1)如图,连接BD,在△BCD 中,BD 2＝BC 2+CD 2-2BC ·CDcos ∠BCD ＝27100,∴BD ＝3√310(km).∵BC ＝CD,∠BCD ＝2π3,∴∠CBD ＝∠CDB ＝π-23π2＝π6.又∠CDE ＝2π3,∴∠BDE ＝π2. ∴在Rt △BDE 中,BE ＝√BD 2+DE 2＝(3√310)2(910)23√35km.故道路BE 的长度为3√35km. (2)设∠ABE ＝α,∵∠BAE ＝π3, ∴∠AEB ＝2π3-α. 在△ABE 中,AB sin ∠AEB ＝AE sin ∠ABE ＝BE sin ∠BAE ＝3√35sinπ3＝65, ∴AB ＝65sin (2π3-α)km,AE ＝65sin α km. ∴S △ABE ＝12AB ·AEsin π3＝9√325sin (2π3-α)sin α＝9√325·[12sin (2α-π6)+14]km 2. ∵0<α<2π3, ∴-π6<2α-π6<7π6, ∴当2α-π6＝π2,即α＝π3时,S △ABE 取得最大值,最大值为9√325×(12+14)＝27√3100, 故生活区△ABE 面积的最大值为27√3100km 2.【5年高考】考点一 正弦定理和余弦定理1.(2018课标Ⅱ,6,5分)在△ABC 中,cos C 2＝√55,BC ＝1,AC ＝5,则AB ＝( )A.4√2B.√30C.√29D.2√5 【参考答案】A2.(2016天津,3,5分)在△ABC 中,若AB ＝√13,BC ＝3,∠C ＝120°,则AC ＝( )A.1B.2C.3D.4 【参考答案】A3.(2016课标Ⅲ,8,5分)在△ABC 中,B ＝π4,BC 边上的高等于13BC,则cos A ＝( )A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√1010【参考答案】C4.(2017山东,9,5分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)＝2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( ) A.a ＝2b B.b ＝2a C.A ＝2B D.B ＝2A 【参考答案】A5.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A ＝45,cos C ＝513,a ＝1,则b ＝ . 【参考答案】21136.(2018浙江,13,6分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a ＝√7,b ＝2,A ＝60°,则sin B ＝ ,c ＝ . 【参考答案】√217;37.(2019浙江,14,6分)在△ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝4,BC ＝3,点D 在线段AC 上.若∠BDC ＝45°,则BD ＝ ,cos ∠ABD ＝ . 【参考答案】12√25;7√2108.(2019课标Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2＝sin 2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若√2a+b ＝2c,求sin C.【试题解析】本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由已知得sin 2B+sin 2C-sin 2A ＝sin Bsin C,故由正弦定理得b 2+c 2-a 2＝bc.由余弦定理得cos A ＝b 2+c 2-a 22bc ＝12.因为0°<A<180°,所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)＝2sin C, 即√62+√32cos C+12sin C ＝2sin C,可得cos(C+60°)＝-√22.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)＝√22,故sin C ＝sin(C+60°-60°)＝sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)·sin 60°＝√6+√24.思路分析 (1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A 的余弦值,进而得出角A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C 的正弦、余弦的等式,利用角度变换求出sin C. 9.(2018课标Ⅰ,17,12分)在平面四边形ABCD 中,∠ADC ＝90°,∠A ＝45°,AB ＝2,BD ＝5. (1)求cos ∠ADB; (2)若DC ＝2√2,求BC.【试题解析】(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB. 由题设知,5sin45°＝2sin ∠ADB,所以sin ∠ADB ＝√25.由题设知,∠ADB<90°,所以cos ∠ADB ＝√1-225＝√235. (2)由题设及(1)知,cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2＝BD 2+DC 2-2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25+8-2×5×2√2×√25＝25.所以BC ＝5.10.(2019天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c ＝2a,3csin B ＝4asin C. (1)求cos B 的值; (2)求sin (2B +π6)的值.【试题解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力. (1)在△ABC 中,由b sinB ＝csinC ,得bsin C ＝csin B,又由3csin B ＝4asin C,得3bsin C ＝4asin C,即3b ＝4a. 又因为b+c ＝2a,得到b ＝43a,c ＝23a. 由余弦定理可得cos B ＝a 2+c 2-b 22ac ＝a 2+49a 2-169a 22·a ·23a＝-14. (2)由(1)可得sin B ＝√1-cos 2B ＝√154,从而sin 2B ＝2sin Bcos B ＝-√158,cos 2B ＝cos 2B-sin 2B ＝-78,故sin (2B +π6)＝sin 2Bcos π6+cos 2Bsin π6＝-√158×√32-78×12＝-3√5+716. 思路分析 (1)由已知边角关系:3csin B ＝4asin C 利用正弦定理,得三边比例关系,根据余弦定理即可求出cos B. (2)由(1)利用同角三角函数基本关系式,求出sin B,再由二倍角公式求出sin 2B 、cos 2B,代入两角和的正弦公式即可求出sin (2B +π6)的值.11.(2019北京,15,13分)在△ABC 中,a ＝3,b-c ＝2,cos B ＝-12. (1)求b,c 的值; (2)求sin(B-C)的值.【试题解析】本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识点,考查学生的运算能力. (1)由余弦定理b 2＝a 2+c 2-2accos B,得b 2＝32+c 2-2×3×c×(-12).因为b ＝c+2,所以(c+2)2＝32+c 2-2×3×c×(-12).解得c ＝5.所以b ＝7. (2)由cos B ＝-12得sin B ＝√32.由正弦定理得sin C ＝c b sin B ＝5√314. 在△ABC 中,∠B 是钝角,所以∠C 为锐角. 所以cos C ＝√1-sin 2C ＝1114. 所以sin(B-C)＝sin Bcos C-cos Bsin C ＝4√37. 12.(2019江苏,15,14分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若a ＝3c,b ＝√2,cos B ＝23,求c 的值; (2)若sinA a ＝cosB2b,求sin (B +π2)的值.【试题解析】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力. (1)因为a ＝3c,b ＝√2,cos B ＝23, 由余弦定理得cos B ＝a 2+c 2-b 22ac ,得23＝(3c)2+c 2-(√2)22×3c×c, 即c 2＝13.所以c ＝√33.(2)因为sinA a ＝cosB2b, 由a sinA ＝b sinB ,得cosB 2b ＝sinB b,所以cos B ＝2sin B.从而cos 2B ＝(2sin B)2,即cos 2B ＝4(1-cos 2B), 故cos 2B ＝45.因为sin B>0,所以cos B ＝2sin B>0,从而cos B ＝2√55. 因此sin (B +π2)＝cos B ＝2√55. 考点二 解三角形及其综合应用13.(2019课标Ⅱ,15,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b ＝6,a ＝2c,B ＝π3,则△ABC 的面积为 . 【参考答案】6√314.(2015课标Ⅰ,16,5分)在平面四边形ABCD 中,∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°,BC ＝2,则AB 的取值范围是 . 【参考答案】(√6-√2,√6+√2)15.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB ＝AC ＝4,BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点,BD ＝2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC ＝ . 【参考答案】√152;√10416.(2017课标Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA. (1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C ＝1,a ＝3,求△ABC 的周长.【试题解析】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.(1)由题设得12acsin B ＝a 23sinA ,即12csin B ＝a3sinA. 由正弦定理得12sin Csin B ＝sinA3sinA. 故sin Bsin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C ＝-12, 即cos(B+C)＝-12.所以B+C ＝2π3,故A ＝π3. 由题设得12bcsin A ＝a 23sinA,即bc ＝8.由余弦定理得b 2+c 2-bc ＝9,即(b+c)2-3bc ＝9,得b+c ＝√33. 故△ABC 的周长为3+√33.思路分析 (1)首先利用三角形的面积公式可得12acsin B ＝a 23sinA,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出sin Bsin C的值;(2)首先利用sin Bsin C 的值以及题目中给出的6cos Bcos C ＝1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a 的值求出bc 的值,最后利用余弦定理求出b+c 的值,进而得出△ABC 的周长. 17.(2016课标Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)＝c. (1)求C;(2)若c ＝√7,△ABC 的面积为3√32,求△ABC 的周长.【试题解析】(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)＝sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)＝sin C. 故2sin Ccos C ＝sin C.(4分) 可得cos C ＝12,所以C ＝π3.(6分) (2)由已知,得12absin C ＝3√32. 又C ＝π3,所以ab ＝6.(8分)由已知及余弦定理得,a 2+b 2-2abcos C ＝7.故a 2+b 2＝13,从而(a+b)2＝25.∴a+b ＝5.(10分)所以△ABC 的周长为5+√7.(12分)18.(2018北京,15,13分)在△ABC 中,a ＝7,b ＝8,cos B ＝-17. (1)求∠A; (2)求AC 边上的高.【试题解析】(1)在△ABC 中,因为cos B ＝-17,所以sin B ＝√1-cos 2B ＝4√37. 由正弦定理得sin A ＝asinB b ＝√32. 由题设知π2<∠B<π,所以0<∠A<π2.所以∠A ＝π3. (2)在△ABC 中,因为sin C ＝sin(A+B)＝sin Acos B+cos Asin B ＝3√314, 所以AC 边上的高为asin C ＝7×3√314＝3√32. 方法总结 处理解三角形相关的综合题目时,首先,要掌握正弦定理、余弦定理,其次,结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.19.(2018天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A ＝acos (B -π6). (1)求角B 的大小;(2)设a ＝2,c ＝3,求b 和sin(2A-B)的值.【试题解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. (1)在△ABC 中, 由a sinA ＝b sinB,可得bsin A ＝asin B,又由bsin A ＝acos (B -π6),得asin B ＝acos (B -π6), 即sin B ＝cos (B -π6),可得tan B ＝√3. 又因为B ∈(0,π),可得B ＝π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a ＝2,c ＝3,B ＝π3, 有b 2＝a 2+c 2-2accos B ＝7,故b ＝√7.由bsin A ＝acos (B -π6),可得sin A ＝√3√7.因为a<c,故cos A ＝√7.因此sin 2A ＝2sin Acos A ＝4√37,cos 2A ＝2cos 2A-1＝17.所以,sin(2A-B)＝sin 2Acos B-cos 2Asin B ＝4√37×12-17×√32＝3√314. 解题关键 (1)利用正弦定理合理转化bsin A ＝acos (B -π6)是求解第(1)问的关键; (2)由余弦定理及已知条件求得sin A,利用a<c 确定cos A>0是求解第(2)问的关键.教师专用题组考点一 正弦定理和余弦定理1.(2015天津,13,5分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c ＝2,cos A ＝-14,则a 的值为 . 【参考答案】82.(2015广东,11,5分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a ＝√3,sin B ＝12,C ＝π6,则b ＝ . 【参考答案】13.(2015重庆,13,5分)在△ABC 中,B ＝120°,AB ＝√2,A 的角平分线AD ＝√3,则AC ＝ . 【参考答案】√64.(2015北京,12,5分)在△ABC中,a＝4,b＝5,c＝6,则sin2AsinC＝. 【参考答案】15.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2＝b2+√2ac.(1)求∠B的大小;(2)求√2cos A+cos C的最大值.【试题解析】(1)由余弦定理及题设得cos B＝a2+c2-b22ac ＝√2ac2ac＝√22.又因为0<∠B<π,所以∠B＝π4.(2)由(1)知∠A+∠C＝3π4,∴∠C＝3π4-∠A.∴√2cos A+cos C＝√2cos A+cos(3π4-A)＝√2cos A-√22cos A+√22sin A＝√22cos A+√22sin A＝cos(A-π4).因为0<∠A<3π4,所以当∠A＝π4时,√2cos A+cos C取得最大值1.6.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A＝3π4,AB＝6,AC＝3√2,点D在BC边上,AD＝BD,求AD的长.【试题解析】设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2＝b2+c2-2bccos∠BAC＝(3√2)2+62-2×3√2×6×cos3π4＝18+36-(-36)＝90,所以a＝3√10.又由正弦定理得sin B＝bsin∠BACa3√10√10 10,由题设知0<B<π4,所以cos B＝√1-sin2B＝√1-110＝3√1010.在△ABD中,由正弦定理得AD＝AB·sinBsin(π-2B)＝6sinB2sinBcosB＝3cosB＝√10.7.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求sin∠Bsin∠C;(2)若AD＝1,DC＝√22,求BD和AC的长.【试题解析】(1)S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD,S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD＝2S△ADC,∠BAD＝∠CAD,所以AB＝2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C ＝ACAB＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD∶DC,所以BD ＝√2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知 AB 2＝AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ∠ADB,AC 2＝AD 2+DC 2-2AD ·DCcos ∠ADC. 故AB 2+2AC 2＝3AD 2+BD 2+2DC 2＝6.由(1)知AB ＝2AC,所以AC ＝1.8.(2011课标,17,12分)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,acos C+√3asin C-b-c ＝0. (1)求A;(2)若a ＝2,△ABC 的面积为√3,求b,c.【试题解析】(1)由acos C+√3asin C-b-c ＝0及正弦定理得sin Acos C+√3sin Asin C-sin B-sin C ＝0. 因为B ＝π-A-C,所以√3sin Asin C-cos Asin C-sin C ＝0. 由于sin C ≠0,所以sin (A -π6)＝12. 又0<A<π,故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bcsin A ＝√3,故bc ＝4.又a 2＝b 2+c 2-2bccos A,故b 2+c 2＝8.解得b ＝c ＝2.评析 本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想.灵活运用正、余弦定理是求解关键.正确的转化是本题的难点.考点二 解三角形及其综合应用9.(2014课标Ⅱ,4,5分)钝角三角形ABC 的面积是12,AB ＝1,BC ＝√2,则AC ＝( ) A.5 B.√5 C.2 D.1 【参考答案】B10.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,a ＝2,且(2+b)(sin A-sin B)＝(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为 . 【参考答案】√311.(2011课标,16,5分)在△ABC 中,B ＝60°,AC ＝√3,则AB+2BC 的最大值为 . 【参考答案】2√712.(2017天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a ＝5,c ＝6,sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.【试题解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.(1)在△ABC 中,因为a>b,故由sin B ＝35,可得cos B ＝45.由已知及余弦定理,有b 2＝a 2+c 2-2accos B ＝13,所以b ＝√13.由正弦定理a sinA ＝b sinB,得sin A ＝asinB b ＝3√1313. 所以,b 的值为√13,sin A 的值为3√1313. (2)由(1)及a<c,得cos A ＝2√1313,所以sin 2A ＝2sin Acos A ＝1213,cos 2A ＝1-2sin 2A ＝-513.故sin (2A +π4)＝sin 2Acos π4+cos 2Asin π4＝7√226. 方法总结 1.利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3)在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用.2.解决三角函数及解三角形问题的满分策略:(1)认真审题,把握变形方向;(2)规范书写,合理选择公式;(3)计算准确,注意符号. 13.(2016浙江,16,14分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c ＝2acos B. (1)证明:A ＝2B;(2)若△ABC 的面积S ＝a 24,求角A 的大小.【试题解析】(1)由正弦定理得sin B+sin C ＝2sin Acos B, 故2sin Acos B ＝sin B+sin(A+B)＝sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B ＝sin(A-B). 由已知得cos B>0,则B ∈(0,π2). 又A ∈(0,π),故-π2<A-B<π. 所以,B ＝π-(A-B)或B ＝A-B, 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B, 所以,A ＝2B.(2)由S ＝a 24得12absin C ＝a 24,故有sin Bsin C ＝12sin 2B ＝sin Bcos B, 因sin B ≠0,得sin C ＝cos B. 又B ∈(0,π2),C ∈(0,π),所以C ＝π2±B. 当B+C ＝π2时,A ＝π2;当C-B ＝π2时,A ＝π4. 综上,A ＝π2或A ＝π4.评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力. 14.(2016山东,16,12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)＝tanA cosB +tanBcosA. (1)证明:a+b ＝2c; (2)求cos C 的最小值. 【试题解析】(1)由题意知2(sinA cosA +sinB cosB )＝sinA cosAcosB +sinBcosAcosB, 化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)＝sin A+sin B, 即2sin(A+B)＝sin A+sin B. 因为A+B+C ＝π,所以sin(A+B)＝sin(π-C)＝sin C. 从而sin A+sin B ＝2sin C. 由正弦定理得a+b ＝2c. (2)由(1)知c ＝a+b2, 所以cos C ＝a 2+b 2-c 22ab ＝a 2+b 2-(a+b 2)22ab＝38(a b +b a )-14≥12,当且仅当a ＝b 时,等号成立. 故cos C 的最小值为12.评析 本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及基本不等式,综合性较强,重点考查了化归与转化的思想方法,属中档题. 15.(2015浙江,16,14分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知A ＝π4,b 2-a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值;(2)若△ABC 的面积为3,求b 的值.【试题解析】(1)由b 2-a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B-12＝12sin 2C,所以-cos 2B ＝sin 2C.又由A ＝π4,即B+C ＝34π,得-cos 2B ＝sin 2C ＝2sin Ccos C, 解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2,C ∈(0,π)得sin C ＝2√55,cos C ＝√55. 又因为sin B ＝sin(A+C)＝sin (π4+C), 所以sin B ＝3√1010. 由正弦定理得c ＝2√23b, 又因为A ＝π4,12bcsin A ＝3,所以bc ＝6√2,故b ＝3.评析 本题主要考查三角函数及三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.16.(2015陕西,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.向量m ＝(a,√3b)与n ＝(cos A,sin B)平行. (1)求A;(2)若a ＝√7,b ＝2,求△ABC 的面积.【试题解析】(1)因为m ∥n ,所以asin B-√3bcos A ＝0, 由正弦定理,得sin Asin B-√3sin Bcos A ＝0, 又sin B ≠0,从而tan A ＝√3, 由于0<A<π,所以A ＝π3.(2)解法一:由a 2＝b 2+c 2-2bccos A 及a ＝√7,b ＝2,A ＝π3,得7＝4+c 2-2c,即c 2-2c-3＝0,因为c>0,所以c ＝3. 故△ABC 的面积为12bcsin A ＝3√32. 解法二:由正弦定理,得√7sin π3＝2sinB , 从而sin B ＝√217,又由a>b,知A>B,所以cos B ＝2√77.故sin C ＝sin(A+B)＝sin (B +π3) ＝sin Bcos π3+cos Bsin π3＝3√2114. 所以△ABC 的面积为12absin C ＝3√32. 17.(2015湖南,17,12分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a ＝btan A,且B 为钝角. (1)证明:B-A ＝π2;(2)求sin A+sin C 的取值范围.【试题解析】(1)证明:由a ＝btan A 及正弦定理, 得sinA cosA ＝a b ＝sinAsinB, 所以sin B ＝cos A,即sin B ＝sin (π2+A). 又B 为钝角,因此π2+A ∈(π2,π),故B ＝π2+A,即B-A ＝π2. (2)由(1)知,C ＝π-(A+B)＝π-(2A +π2)＝π2-2A>0, 所以A ∈(0,π4).于是sin A+sin C ＝sin A+sin (π2-2A)＝sin A+cos 2A ＝-2sin 2A+sin A+1＝-2(sinA -14)2+98.因为0<A<π4,所以0<sin A<√22,因此√22<-2(sinA -14)2+98≤98.由此可知sin A+sin C 的取值范围是(√22,98].18.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D 为平面四边形ABCD 的四个内角. (1)证明:tan A 2＝1-cosAsinA; (2)若A+C ＝180°,AB ＝6,BC ＝3,CD ＝4,AD ＝5,求tan A 2+tan B 2+tan C 2+tan D 2的值.【试题解析】(1)证明:tan A 2＝sin A2cos A 2＝2sin 2A22sin A 2cosA 2＝1-cosAsinA . (2)由A+C ＝180°,得C ＝180°-A,D ＝180°-B. 由(1),有tan A2+tan B 2+tan C 2+tan D 2＝1-cosA sinA +1-cosB sinB +1-cos(180°-A)sin(180°-A)+1-cos(180°-B)sin(180°-B)＝2sinA +2sinB.连接BD.在△ABD 中,有BD 2＝AB 2+AD 2-2AB ·ADcos A, 在△BCD 中,有BD 2＝BC 2+CD 2-2BC ·CDcos C, 所以AB 2+AD 2-2AB ·ADcos A ＝BC 2+CD 2+2BC ·CDcos A.则cos A ＝AB 2+AD 2-BC 2-CD 22(AB ·AD+BC ·CD)＝62+52-32-422×(6×5+3×4)＝37.于是sin A ＝√1-cos 2A ＝√1-(37)2＝2√107. 连接AC.同理可得 cos B ＝AB 2+BC 2-AD 2-CD 22(AB ·BC+AD ·CD)＝62+32-52-422×(6×3+5×4)＝119,于是sin B ＝√1-cos 2B ＝√1-(119)2＝6√1019. 所以,tan A2+tan B 2+tan C 2+tan D 2＝2sinA +2sinB 2√10+6√104√103. 评析 本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化等数学思想.19.(2013课标Ⅰ,17,12分)如图,在△ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝√3,BC ＝1,P 为△ABC 内一点,∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝12,求PA;(2)若∠APB ＝150°,求tan ∠PBA.【试题解析】(1)由已知得∠PBC ＝60°,所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中,由余弦定理得PA 2＝3+14-2×√3×12cos 30°＝74.故PA ＝√72.(2)设∠PBA ＝α,由已知得∠PAB ＝30°-α,PB ＝sin α. 在△PBA 中,由正弦定理得√3sin150°＝sinαsin(30°-α),化简得√3cos α＝4sin α.所以tan α＝√34,即tan ∠PBA ＝√34.思路分析 (1)由已知求出∠PBA,在△PAB 中利用余弦定理求解PA;(2)设∠PBA ＝α,则∠PAB ＝30°-α,在Rt △PBC 中求得PB ＝sin α,然后在△PBA 中利用正弦定理求得tan α.20.(2013课标Ⅱ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a ＝bcos C+csin B. (1)求B;(2)若b ＝2,求△ABC 面积的最大值.【试题解析】(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin Bcos C+sin C ·sin B.① 又A ＝π-(B+C),故sin A ＝sin(B+C)＝sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①②和C ∈(0,π)得sin B ＝cos B. 又B ∈(0,π),所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12acsin B ＝√24ac.由已知及余弦定理得4＝a 2+c 2-2accos π4.又a 2+c 2≥2ac,故ac ≤2-√2,当且仅当a ＝c 时,等号成立.因此△ABC 面积的最大值为√2+1.方法总结 求三角形面积的最值时,常利用基本不等式求两边之积的最值,从而确定面积的最值.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共35分)1.(2019北京朝阳综合练习,4)在△ABC 中,B ＝π6,c ＝4,cos C ＝√53,则b ＝( )A.3√3B.3C.32D.43【参考答案】B2.(2020届黑龙江双鸭山一中开学考,3)在△ABC 中,a ＝3,b ＝5,sin A ＝13,则sin B ＝( ) A.15 B.59 C.35D.1 【参考答案】B3.(2019上海嘉定(长宁)二模,16)对于△ABC,若存在△A 1B 1C 1,满足cosA sin A 1＝cosB sin B 1＝cosCsin C 1＝1,则称△ABC 为“V 类三角形”.“V 类三角形”一定满足( )A.有一个内角为30°B.有一个内角为45°C.有一个内角为60°D.有一个内角为75° 【参考答案】B4.(2018河北衡水中学4月模拟,11)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且acos B+√3asin B ＝b+c,b ＝1,点D 是△ABC 的重心,且AD ＝√73,则△ABC 的外接圆的半径为( )A.1B.2C.3D.4 【参考答案】A5.(2018山东济宁二模,12)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且acos B-bcos A ＝23c,则tan(A-B)的最大值为( )A.2√55B.√55C.√33D.√3【参考答案】A6.(2019河南六市3月联考,10)在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2a -c b ＝cosCcosB,b ＝4,则△ABC 的面积的最大值为( )A.4√3B.2√3C.3√3D.√3 【参考答案】A7.(2019湘东六校3月联考,5)若△ABC 的三个内角满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 【参考答案】C二、多项选择题(每题5分,共10分)8.(改编题)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)＝9∶10∶11,则下列结论正确的是( ) A.sin A∶sin B∶sin C ＝4∶5∶6 B.△ABC 是钝角三角形C.△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D.若c ＝6,则△ABC 外接圆的半径为8√77【参考答案】ACD9.(改编题)在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( ) A.b ＝10,A ＝45°,C ＝70° B.b ＝45,c ＝48,B ＝60° C.a ＝14,b ＝16,A ＝45° D.a ＝7,b ＝5,A ＝80° 【参考答案】BC三、填空题(每题5分,共10分)10.(2019安徽合肥二模,15)在锐角△ABC 中,BC ＝2,sin B+sin C ＝2sin A,则中线AD 的长的取值范围是 . 【参考答案】[√3,√132)11.(2020届黑龙江双鸭山一中开学考,15)已知A 船在灯塔C 的北偏东85°方向且A 到C 的距离为2 km,B 船在灯塔C 的北偏西65°方向且B 到C 的距离为√3 km,则A,B 两船的距离为 . 【参考答案】√13 km四、解答题(共60分)12.(2020届山东夏季高考模拟,18)在△ABC 中,∠A ＝90°,点D 在BC 边上.在平面ABC 内,过D 作DF ⊥BC 且DF ＝AC. (1)若D 为BC 的中点,且△CDF 的面积等于△ABC 的面积,求∠ABC; (2)若∠ABC ＝45°,且BD ＝3CD,求cos ∠CFB. 【试题解析】(1)因为CD ＝BD,所以CD ＝12BC. 由题设知DF ＝AC,12CD ·DF ＝12AB ·AC, 因此CD ＝AB.所以AB ＝12BC,因此∠ABC ＝60°. (2)不妨设AB ＝1,由题设知BC ＝√2. 由BD ＝3CD 得BD ＝3√24,CD ＝√24. 由勾股定理得CF ＝3√24,BF ＝√344. 由余弦定理得cos ∠CFB ＝98+178-2×3√24×√3445√1751. 13.(2020届山东济宁二中10月月考,19)在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,已知cos 2A-3cos(B+C)＝1. (1)求角A 的大小;(2)若a ＝√21,b+c ＝9,求△ABC 的面积.【试题解析】(1)在△ABC 中,cos(B+C)＝cos(π-A)＝-cos A, 则由cos 2A-3cos(B+C)＝1,得2cos 2A+3cos A-2＝0,即(2cos A-1)(cos A+2)＝0, 解得cos A ＝12或cos A ＝-2(舍去).∵0<A<π,∴A ＝π3.(2)由余弦定理,得a 2＝b 2+c 2-2bccos π3,∵a ＝√21,b+c ＝9,∴21＝b 2+c 2-bc ＝(b+c)2-3bc,即21＝81-3bc, 解得bc ＝20.∴S △ABC ＝12bcsin A ＝12×20×√32＝5√3.14.(2019上海浦东二模,18)已知向量m ＝(2sin ωx ,cos 2ωx),n ＝(√3cos ωx,1),其中ω>0,若函数f(x)＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值;(2)在△ABC 中,若f(B)＝-2,BC ＝√3,sin B ＝√3sin A,求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值. 【试题解析】(1)f(x)＝m ·n ＝√3sin 2ωx+cos 2ωx ＝2sin (2ωx +π6),∵f(x)的最小正周期为π,∴T ＝2π2ω＝π,∴ω＝1. (2)设△ABC 中角A,B,C 所对的边分别是a,b,c. ∵f(B)＝-2,∴2sin (2B +π6)＝-2, 即sin (2B +π6)＝-1,解得B ＝2π3. ∵BC ＝√3,∴a ＝√3,∵sin B ＝√3sin A, ∴b ＝√3a,∴b ＝3,由3sin 2π3＝√3sinA 得sin A ＝12,∵0<A<π3,∴A ＝π6,则C ＝π6,∴a ＝c ＝√3, ∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝cacos B ＝-32. 15.(2020届湖南长沙一中第一次月考,17)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足cosA cosB +a b ＝2cb且b ＝4.(1)求角B;(2)求△ABC 周长的最大值. 【试题解析】(1)由cosA cosB +a b ＝2c b 及正弦定理,得cosAsinB+cosBsinA cosBsinB ＝2sinCsinB, 即sin(A+B)cosBsinB ＝2sinCsinB,∵sin(A+B)＝sin C ≠0,sin B ≠0,∴cos B ＝12, ∵B∈(0,π),∴B ＝π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理得b 2＝a 2+c 2-2accos B ＝a 2+c 2-ac ＝16.∴(a+c)2＝16+3ac ≤16+3(a+c 2)2. 即a+c ≤8,当且仅当a ＝c 时取等号. ∴△ABC 的周长＝a+b+c ≤12,∴△ABC 周长的最大值为12.16.(2020届黑龙江哈师大附中9月月考,20)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,asin A+C2＝bsin A. (1)求B;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c ＝1,求△ABC 面积的取值范围. 【试题解析】(1)由asinA+C2＝bsin A 及正弦定理可得sin Acos B 2＝sin Bsin A,∵sin A ≠0,∴cos B 2＝sin B ＝2sin B 2cos B 2⇒sin B 2＝12(0<B<π), ∴B ＝π3.(2)解法一:由a sinA ＝c sinC得a ＝c sinC sin (2π3-C), ∴S △ABC ＝12a√32＝√34(√32tanC+12)＝38·1tanC +√38, 由△ABC 为锐角三角形可得{0<C <π2,0<2π3-C <π2⇒π6<C<π2⇒0<1tanC <√3, 所以△ABC 面积的取值范围为(√38,√32).解法二:由余弦定理得b ＝√a 2-a +1, 由题意得{a 2+1>b 2,a 2+b 2>1,b 2+1>a 2⇒12<a<2.则S ＝12a√32＝√34a ∈(√38,√32). 即△ABC 面积的取值范围为(√38,√32).应用专题知行合一【应用集训】1.(2020届湖南长沙一中第一次月考,15)秦九韶是我国南宋著名数学家,在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积”.如果把以上这段文字写成公式就是S ＝√14[a 2c 2-(a 2+c 2-b 22)2],其中a,b,c 是△ABC 的内角A,B,C 的对边.若sin C ＝2sin Acos B,且b 2,2,c 2成等差数列,则△ABC 面积S 的最大值为 . 【参考答案】2√552.(2020届宁夏银川第一次月考,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点是原点,始边与x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈(π6,π2).将角α的终边按逆时针方向旋转π3,交单位圆于点B.记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). (1)若x 1＝14,求x 2;(2)分别过A,B 作x 轴的垂线,垂足依次为C,D.设△AOC 的面积为S 1,△BOD 的面积为S 2若S 1＝2S 2,求角α的值.21【试题解析】(1)由三角函数的定义,得x 1＝cos α,x 2＝cos (α+π3),因为α∈(π6,π2),cos α＝14,则sin α＝√1-cos 2α＝√1-(14)2＝√154.∴x 2＝cos (α+π3)＝12cos α-√32sin α＝12 ×14-√32×√154＝1-3√58.(2)由已知,得y 1＝sin α,y 2＝sin (α+π3),∴S 1＝12x 1·y 1＝12cos α·sin α＝14sin 2α,S 2＝12|x 2|·|y 2|＝12[-cos (α+π3)·sin (α+π3)]＝-14sin (2α+2π3).由S 1＝2S 2,得sin 2α＝-2sin (2α+2π3)⇒cos 2α＝0.又α∈(π6,π2),∴2α∈(π3,π),∴2α＝π2⇒α＝π4.。
高三数学汇编：2024年高三数学一模试题好题汇编三角函数(解析版)
三角函数题型01任意角的三角函数题型02两角和与差的三角函数题型03三角函数的图象与性质题型04解三角形题型01任意角的三角函数1(2024·辽宁沈阳·统考一模)sin x =1的一个充分不必要条件是.【答案】x =π2(答案不唯一)【分析】根据三角函数的性质结合充分不必要条件即可求解.【详解】因为x =π2时sin x =1，由sin x =1可得x =π2+2k π,k ∈Z ,故sin x =1的一个充分不必要条件是x =π2，故答案为：x =π2(答案不唯一)2(2024·重庆·统考一模)英国著名数学家布鲁克·泰勒(Taylor Brook )以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，其中n !=1×2×3×⋯×n ．根据该展开式可知，与2-233!+255!-277!+⋯的值最接近的是()A.sin2° B.sin24.6°C.cos24.6°D.cos65.4°【答案】C【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.【详解】原式=sin2≈sin 2×57.3° =sin 90°+24.6° =cos24.6°，故选：C .3(2024·福建厦门·统考一模)若sin α+π4 =-35，则cos α-π4 =．【答案】-35/-0.6【分析】应用诱导公式有cos α-π4 =cos α+π4 -π2=sin α+π4 ，即可求值.【详解】cos α-π4 =cos α+π4 -π2=sin α+π4 =-35.故答案为：-354(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)下列说法正确的是()A.cos2sin3<0B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2C.终边落在直线y =x 上的角的集合是α α=π4+2k π,k ∈ZD.函数y =tan 2x -π6 的定义域为x x ≠π3+k π2,k ∈Z ，π为该函数的一个周期【答案】ABD【分析】根据三角函数在各象限内的符号可判断出A 正确；根据扇形弧长和面积公式可知B 正确；由终边相同的角的集合表示方法可知C 错误；根据正切型函数定义域和周期的判断方法可知D 正确.【详解】对于A ，∵2,3均为第二象限角，∴cos2<0，sin3>0，∴cos2sin3<0，A 正确；对于B ，设扇形的半径为r ，则π3r =π，解得：r =3，∴扇形的面积S =12×π3×32=3π2，B 正确；对于C ，终边落在直线y =x 上的角的集合为α α=π4+k π,k ∈Z ，C 错误；对于D ，由2x -π6≠π2+k πk ∈Z 得：x ≠π3+k π2k ∈Z ，∴y =tan 2x -π6 的定义域为x x ≠π3+k π2,k ∈Z ；又tan 2x +π -π6 =tan 2π+2x -π6 =tan 2x -π6 ，∴π是y =tan 2x -π6 的一个周期，D 正确.故选：ABD .5(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知函数f (x )=cos xx，若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则下列结论一定正确的是()A.f (sin A )>f (sin B )B.f (cos A )>f (cos B )C.f (sin A )>f (cos B )D.f (cos A )>f (sin B )【答案】D【分析】由已知可得π2>A >π2-B >0，根据余弦函数的单调性，得出cos A <sin B ，由f x 的单调性即可判断选项.【详解】因为f (x )=cos x x ，所以f (x )=-x sin x -cos xx 2，当x ∈0,π2 时，sin x >0,cos x >0，所以-x sin x -cos xx2<0，即f (x )<0，所以f x 在0,π2上单调递减.因为A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，所以A +B >π2，则π2>A >π2-B >0，因为y =cos x 在0,π2 上单调递减，所以0<cos A <cos π2-B =sin B <1<π2，故f (cos A )>f (sin B )，故D 正确.同理可得f (cos B )>f (sin A )，C 错误；而A ,B 的大小不确定，故sin A 与sin B ，cos A 与cos B 的大小关系均不确定，所以f (sin A )与f (sin B )，f (cos A )与f (cos B )的大小关系也均不确定，AB 不能判断.故选：D6(2024·河北·校联考一模)在△ABC 中，若A =nB n ∈N * ，则()A.对任意的n ≥2，都有sin A <n sin BB.对任意的n ≥2，都有tan A <n tan BC.存在n ，使sin A >n sin B 成立D.存在n ，使tan A >n tan B 成立【答案】AD【分析】根据给定条件，举例说明判断BD；构造函数，借助导数探讨单调性判断AC.【详解】在△ABC中，当A=3B时，n=3，取B=π12，则A=π4，tan A=1，tan B=tanπ3-π4=3-11+3=2-3，3tan B=3(2-3)，则tan A>3tan B，B错，D对；显然0<A<π0<B<π0<C<π，即0<nB<π0<B<π0<π-B-nB<π，则0<B<πn+1，令f(x )=sin nx-n sin x，0<x<πn+1,n≥2，f (x)=n cos nx-n cos x=n(cos nx-cos x)<0，因此函数f(x)在0,πn+1上单调递减，则f(x)<f(0)=0，即sin nB<n sin B，从而sin A<n sin B，A对，C错.故选：AD【点睛】思路点睛：涉及不同变量的数式大小比较，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解作答.题型02两角和与差的三角函数7(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)若cosα+π4=35，则sin2α=()A.725B.-725C.925D.-925【答案】A【分析】根据二倍角的余弦公式和诱导公式即可.【详解】cos2α+π4=2cos2α+π4-1=2×35 2-1=-725,所以sin2α=-cos2α+π2=725，故选：A.8(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知cosα+π6=14，则sin2α-π6=()A.78B.-78C.38D.-38【答案】A【分析】利用换元法，结合诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案.【详解】设α+π6=t，则α=t-π6,cos t=14,sin2α-π6=sin2t-π6-π6=sin2t-π2=-cos2t=-2cos2t-1=-2×142-1=78.故选：A9(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知sinπ2-θ+cosπ3-θ=1，则cos2θ-π3=()A.13B.-13C.33D.-33【答案】B【分析】根据和差角公式以及诱导公式可得32cos θ+32sin θ=1，由辅助角公式以及二倍角公式即可求解.【详解】由sin π2-θ+cos π3-θ =1得cos θ+12cos θ+32sin θ=1，进而可得32cos θ+32sin θ=1，结合辅助角公式得3cos θ-π6=1，则cos θ-π6 =33,∴cos 2θ-π3 =2cos 2θ-π6 -1=-13，故选：B .10(2024·浙江·校联考一模)已知α是第二象限角，β∈0,π2,tan α+π4 =-14，现将角α的终边逆时针旋转β后得到角γ，若tan γ=17，则tan β=．【答案】198/2.375【分析】由两角和的正切公式先得tan α=-53，进一步由两角差的正切公式即可求解.【详解】由题意tan α+π4 =tan α+11-tan α=-14，且γ=α+β，tan γ=tan α+β =17，解得tan α=-53，所以tan β=tan α+β-α =17--53 1+-53 ×17=198.故答案为：198.11(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知tan α-11+tan α=2，则sin 2α+π6的值为()A.-4+3310B.-4-3310C.4+3310D.4-3310【答案】A【分析】先由已知条件求出tan α的值，再利用三角函数恒等变换公式求出sin2α,cos2α的值，然后对sin 2α+π6利用两角和的正弦公式化简计算即可【详解】由tan α-11+tan α=2，得tan α=-3，所以sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan αtan 2α+1=-610=-35，cos2α=cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=1-tan 2αtan 2α+1=1-910=-45，所以sin 2α+π6 =sin2αcos π6+cos2αsinπ6=-35×32+-45 ×12=-4+3310，故选：A12(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知α∈0,π ，且3tan α=10cos2α，则cos α可能为()A.-1010B.-55C.1010D.55【答案】B【分析】由3tan α=10cos2α得3tan α=10×1-tan 2α1+tan 2α，化简后可求出tan α，再利用同角三角函数的关系可求出cos α.【详解】由3tan α=10cos2α，得3tan α=10(cos 2α-sin 2α)，所以3tan α=10×cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α，所以3tan α=10×1-tan 2α1+tan 2α，整理得3tan 3α+10tan 2α+3tan α-10=0，(tan α+2)(3tan 2α+4tan α-5)=0，所以tan α+2=0或3tan 2α+4tan α-5=0，所以tan α=-2或tan α=-2±193，①当tan α=-2时，sin αcos α=-2，α∈π2,π ，因为sin 2α+cos 2α=1，所以5cos 2α=1，所以cos α=±55，因为α∈π2,π ，所以cos α=-55，②当tan α=-2+193时，sin αcos α=-2+193,α∈0,π2，因为sin 2α+cos 2α=1，所以19-23cos α 2+cos 2α=1，由于α∈0,π2 ，所以解得cos α=932-419，③当tan α=-2-193时，sin αcos α=-2-193,α∈π2,π ，因为sin 2α+cos 2α=1，所以-19-23cos α 2+cos 2α=1，由于α∈π2,π ，所以解得cos α=-932+419，综上，cos α=-55，或cos α=932-419，或cos α=-932+419，故选：B13(2024·吉林延边·统考一模)已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ,ω>0 的最小正周期为4π．(1)求ω的值，并写出f x 的对称轴方程；(2)在△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c 满足2a -c cos B =b ⋅cos C ，求函数f A 的取值范围．【答案】(1)ω=14,x =2π3+2k π,k ∈Z(2)12,1 【分析】(1)利用三角函数的恒等变换化简函数f (x )=sin 2ωx +π6，再根据周期求出ω的值,利用整体法即可求解对称轴.(2)把已知的等式变形并利用正弦定理可得cos B =12，故B =π3，故f (A )=sin 12A +π6 ,0<A <2π3，根据正弦函数的定义域和值域求出f A 的取值范围．【详解】(1)f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx =12+32sin2ωx -sin 2ωx =12+32sin2ωx -1-cos2ωx2=32sin2ωx +12cos2ωx =sin 2ωx +π6 ．∵T =2π2ω=4π，∴ω=14．故f x =sin 12x +π6 令12x +π6=π2+k π,k ∈Z ，解得x =2π3+2k π,k ∈Z ，故对称轴方程为：x =2π3+2k π,k ∈Z(2)由2a -c cos B =b ⋅cos C 得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ，∴2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C =sin (B +C )=sin A ．∵sin A ≠0，∴cos B =12，B ∈0,π ,∴B =π3．∴f (A )=sin 12A +π6 ,0<A <2π3，∴π6<A 2+π6<π2，∴12<sin A 2+π6 <1，∴f (A )∈12,1 题型03三角函数的图象与性质14(2024·福建厦门·统考一模)已知函数f (x )=2sin 2x -π3，则()A.f (x )的最小正周期为π2B.f (x )的图象关于点2π3,0 成中心对称C.f (x )在区间0,π3上单调递增D.若f (x )的图象关于直线x =x 0对称，则sin2x 0=12【答案】BC【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.【详解】由f (x )=2sin 2x -π3 ，最小正周期T =2π2=π，A 错；由f 2π3=2sin 2×2π3-π3 =0，即2π3,0 是对称中心，B 对；由x ∈0,π3 ，则2x -π3∈-π3,π3 ，显然f (x )在区间0,π3 上单调递增，C 对；由题意2x 0-π3=k π+π2⇒2x 0=k π+5π6，故sin2x 0=±12，D 错.故选：BC15(2024·吉林延边·统考一模)将函数f x =sin ωx +π6 (ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是()A.13B.23C.43D.53【答案】B【分析】得出平移后的方程后，再根据正弦型函数的性质即可得到答案.【详解】结合题意可得f x +π2 =sin ωx +π2 +π6 =sin ωx +π2ω+π6,(ω>0)，因为曲线C 关于y 轴对称，所以π2ω+π6=k π+π2,k ∈Z ，解得ω=2k +23,k ∈Z ,因为ω>0，所以当k =0时，ω有最小值23.故选：B .16(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知函数f x =cos2x +a cos x +2，则下列说法正确的有()A.当a =0时，f x 的最小正周期为πB.当a =1时，f x 的最小值为78C.当a =3时，f x 在区间0,2π 上有4个零点D.若f x 在0,π3 上单调递减，则a ≥2【答案】AB【分析】根据三角函数的周期性、含cos x 的二次项函数的值域、三角函数的零点、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】当a =0时，f x =cos2x +2，所以f x 的最小正周期为π，A 选项正确；当a =0时，f x =cos2x +cos x +2=2cos 2x +cos x +1=2cos x +14 2+78≥78，所以f x 的最小值为78，B 选项正确；当a =4时，f x =cos2x +3cos x +2=2cos 2x +3cos x +1=2cos x +1 cos x +1 ，令f x =0，解得cos x =-12或cos x =-1，此时x =2π3或x =4π3或x =π，f x 在区间0,2π 上有3个零点，C 选项错误；f x =cos2x +a cos x +2=2cos 2x +a cos x +1，设t =cos x ，cos x 在0,π3 上单调递减，则t ∈12,1 ，根据复合函数的单调性，g t =2t 2+at +1在12,1 上单调递增，所以-a 4≤12，解得a ≥-2，D 选项错误.故选：AB17(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知函数f (x )=sin ωx +3cos ωx (ω>0)满足:f π6=2,f 2π3=0,则()A.曲线y =f (x )关于直线x =7π6对称 B.函数y =f x -π3是奇函数C.函数y =f (x )在π6,7π6单调递减 D.函数y =f (x )的值域为[-2,2]【答案】ABD【分析】用辅助角公式化简f (x ),再利用f π6=2,f 2π3 =0,得出ω的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.【详解】f (x )=2sin ωx +π3,所以函数y =f (x )的值域为[-2,2],故D 正确；因为f 2π3=0,所以2π3ω+π3=k 1π,k 1∈Z ,所以ω=3k 1-12,k 1∈Z ，因为f π6 =2,所以π6ω+π3=π2+2k 2π,k 2∈Z ,所以ω=12k 2+1,k 2∈Z ，所以3k 1-12=12k 2+1,即k 1=8k 2+1，所以ω∈{1,13,25,37⋯}，因为f 7π6 =2sin 12k 2+1 7π6+π3 =2sin 14k 2π+3π2=-2，所以曲线y =f (x )关于直线x =7π6对称,故A 正确；因为f x -π3 =2sin 12k 2+1 x -π3 +π3 =2sin 12k 2+1 x -4k 2π =2sin 12k 2+1 x即f x -π3 =-f -x -π3，所以函数y =f x -π3是奇函数,故B 正确；取ω=13,则最小正周期T =2πω=2π13<7π6-π6=π,故C 错误.故选：ABD 18(2024·辽宁沈阳·统考一模)如图，点A ,B ,C 是函数f x =sin ωx +φ (ω>0)的图象与直线y =32相邻的三个交点，且BC -AB =π3,f -π12=0，则()A.ω=4B.f 9π8 =12C.函数f x 在π3,π2上单调递减D.若将函数f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ 的最小值为π24【答案】ACD【分析】令f x =32求得x A ,x B ,x C 根据BC -AB =π3求得ω=4，根据f -π12=0求得f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令f x =sin ωx +φ =32得，ωx +φ=π3+2k π或ωx +φ=2π3+2k π，k ∈Z ，由图可知：ωx A +φ=π3+2k π，ωx C +φ=π3+2k π+2π，ωx B +φ=2π3+2k π，所以BC =x C -x B =1ω-π3+2π ，AB =x B -x A =1ω⋅π3，所以π3=BC -AB =1ω-2π3+2π ，所以ω=4，故A 选项正确，所以f x =sin 4x +φ ，由f -π12=0得sin -π3+φ =0，所以-π3+φ=π+2k π，k ∈Z ，所以φ=4π3+2k π，k ∈Z ，所以f x =sin 4x +4π3+2k π =sin 4x +4π3 =-sin 4x +π3 ，f 9π8 =-sin 9π2+π3 =-12，故B 错误.当x ∈π3,π2 时，4x +π3∈5π3,2π+π3，因为y =-sin t 在t ∈5π3,2π+π3 为减函数，故f x 在π3,π2上单调递减，故C 正确；将函数f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得g x =-sin 4x +4θ+π3，(θ<0时向右平移，θ>0时向左平移)，g x 为偶函数得4θ+π3=π2+k π，k ∈Z ，所以θ=π24+k π4，k ∈Z ，则θ 的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD .19(2024·重庆·统考一模)已知f x =2a sin ωx ⋅cos ωx +b cos2ωx ω>0,a >0,b >0 的部分图象如图所示，当x ∈0,3π4时，f x 的最大值为．【答案】3【分析】由图象求出函数f x 的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数f x 在0,3π4上的最大值.【详解】因为f x =2a sin ωx ⋅cos ωx +b cos2ωx =a sin2ωx +b cos2ωx ω>0,a >0,b >0 ，设f x =A sin 2ωx +φ A >0,ω>0 ，由图可知，函数f x 的最小正周期为T =4×π6+π12 =π，则2ω=2πT =2ππ=2，又因为A =f x max -f x min 2=2+22=2，则f x =2sin 2x +φ ，因为f -π12 =2sin φ-π6 =2，可得sin φ-π6 =1，所以，φ-π6=π2+2k πk ∈Z ，则φ=2π3+2k πk ∈Z ，则f x =2sin 2x +2π3+2k π =2sin 2x +2π3 ，当0≤x ≤3π4时，2π3≤2x +2π3≤13π6，故f x max =2sin 2π3=2×32= 3.故答案为：3.20(2024·云南曲靖·统考一模)函数f x =A sin ωx +φ (其中A >0，ω>0，φ ≤π2)的部分图象如图所示，则()A.f 0 =-1B.函数f x 的最小正周期是2πC.函数f x 的图象关于直线x =π3对称D.将函数f x 的图象向左平移π6个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称【答案】AC【分析】利用图象求出函数f x 的解析式，代值计算可判断A 选项；利用正弦型函数的周期性可判断B 选项；利用正弦型函数的对称性可判断C 选项；利用三角函数图象变换可判断D 选项.【详解】由图可知，A =f x max -f x min 2=2--22=2，函数f x 的最小正周期T 满足3T 4=7π12--π6 =3π4，则T =π，ω=2πT =2ππ=2，B 错；所以，f x =2sin 2x +φ ，f -π6 =2sin 2×-π6 +φ =2sin φ-π3 =-2，可得sin φ-π3 =-1，因为-π2≤φ≤π2，所以，-5π6≤φ-π3≤π6，则φ-π3=-π2，可得φ=-π6，所以，f x =2sin 2x -π6 ，则f 0 =2sin -π6=-1，A 对；f π3 =2sin 2×π3-π6 =2sin π2=2=f x max ，所以，函数f x 的图象关于直线x =π3对称，C 对；将函数f x 的图象向左平移π6个单位长度以后，得到函数y =2sin 2x +π6 -π6 =2sin 2x +π6 的图象，所得函数为非奇非偶函数，D 错.故选：AC .21(2024·浙江·校联考一模)已知函数y =2sin ωx +φ ，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点1,0 是函数的一个对称点，则ω和φ的值可能是()A.ω=-π3,φ=-π3B.ω=-π3,φ=2π3C.ω=π3,φ=π3D.ω=π3,φ=2π3【答案】D【分析】由题意首先得ω=π3，进一步由ω+φ=k π,k ∈Z ，对比选项即可得解.【详解】由题意函数的周期T 满足，T 2=52-42=3=2π2ω ，所以ω=±π3，又点1,0 是函数的一个对称点，所以ω+φ=k π,k ∈Z ，所以ω=π3φ=k π-π3,k ∈Z 或ω=-π3φ=k π+π3,k ∈Z，对比选项可知，只有当ω=π3φ=2π3k =1时满足题意.故选：D .22(2024·广东深圳·校考一模)已知函数f x =cos ωx +π3+1(ω>0)的最小正周期为π，则f x 在区间0,π2上的最大值为()A.12B.1C.32D.2【答案】C【分析】由周期公式求得ω，结合换元法即可求得最大值.【详解】由题意T =2πω=π，解得ω=2，所以f x =cos 2x +π3+1，当x ∈0,π2 时，t =2x +π3∈π3,4π3，所以f x 在区间0,π2 上的最大值为cos π3+1=32，当且仅当x =0时等号成立.故选：C .23(2024·山西晋城·统考一模)若函数f (x )=cos ωx (0<ω<100)在π,5π2上至少有两个极大值点和两个零点，则ω的取值范围为．【答案】85,2 ∪125,100 【分析】先求出极大值点表达式，利用题干条件列不等式赋值求解.【详解】令ωx =2k π，k ∈Z ，得f (x )的极大值点为x =2k πω，k ∈Z ，则存在整数k ，使得ω>02k πω>π2k +1 πω<5π2，解得4(k +1)5<ω<2k (k ∈N *)．因为函数y =cos x 在两个相邻的极大值点之间有两个零点，所以4(k +1)5<ω<2k (k ∈N *)．当k =1时，85<ω<2．当k =2时，125<ω<4．当k ≥2时，4(k +1)5<4(k +2)5<2k ．又0<ω<100，所以ω的取值范围为85,2 ∪125,4 ∪165,6 ∪⋅⋅⋅∪2045,100 =85,2 ∪125,100 ．故答案为：85,2 ∪125,100【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象及其性质，求出4k +15<ω<2k k ∈N * 并赋值计算是解决问题关键.24(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数f x =A sin ωx +φ A >0,ω>0,φ <π 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A.ω=2，频率为1π，初相为π6B.函数f x 的图象关于直线x =-π6对称C.函数f x 在π12,13π24上的值域为0,2 D.若把f x 图像上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向左平移π12个单位，则所得函数是y =2sin 3x +π12【答案】BCD【分析】根据图象求出三角函数解析式，再根据正弦函数图象与性质以及函数平移的原则即可判断.【详解】由图象可得A =2,34T =13π12-π3=3π4,∴T =π，频率是1T =1π,ω=2ππ=2,∵f π3 =2,∴f π3 =2sin 2π3+φ =2，即sin 2π3+φ =1,∴2π3+φ=2k π+π2(k ∈Z )，∴φ=2k π-π6(k ∈Z ),∵|φ|<π,∴φ=-π6，对于A ，∴f (x )=2sin 2x -π6 ，初相是-π6，故A 错误；对于B ，f -π6 =2sin -π3-π6=-2，故B 正确；对于C ，因为x ∈π12,13π24 ，所以2x -π6∈0,11π12，∴f (x )=2sin 2x -π6在π12,13π24上的值域为[0,2]，故C 正确；对于D ，把f (x )的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数为y =2sin 3x -π6，又向左平移π12个单位，得到的函数为y =2sin 3x +π12 -π6 =2sin 3x +π12 ，故D 正确；故选：BCD .题型04解三角形25(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E ．从D 点测得∠ADC =67.5°，从C 点测得∠ACD =45°，∠BCE =75°，从E 点测得∠BEC =60°．若测得DC =23，CE =2(单位：百米)，则A ，B 两点的距离为()A.6B.22C.3D.23【答案】C【分析】在△ADC 中，求得AC =DC ；在△BCE 中，利用正弦定理求得BC ；再在△ABC 中，利用余弦定理即可求得结果.【详解】根据题意，在△ADC 中，∠ACD =45°，∠ADC =67.5°，DC =23，则∠DAC =180°-45°-67.5°=67.5°，则AC =DC =23，在△BCE 中，∠BCE =75°，∠BEC =60°，CE =2，则∠EBC =180°-75°-60°=45°，则有CE sin ∠EBC =BC sin ∠BEC ，变形可得BC =CE ⋅sin ∠BEC sin ∠EBC =2×3222=3，在△ABC 中，AC =23，BC =3，∠ACB =180°-∠ACD -∠BCE =60°，则AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos ∠ACB =9，则AB =3．故选：C .【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及距离的求解，属基础题.26(2024·广东深圳·校考一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =3，b =5，c =2a cos A ，则cos A =()A.13B.24C.33D.63【答案】D【分析】由已知结合余弦定理进行化简即可求解.【详解】解：因为c =2a cos A ，由余弦定理可得c =2a ⋅b 2+c 2-a 22bc，将a =3，b =5代入整理得c =26，所以cos A =c 2a =63.故选：D .27(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c -b =2b cos A ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.B 的取值范围为0,π4C.ab的取值范围为2,3 D.1tan B -1tan A+2sin A 的最小值为22【答案】AC【分析】用正弦定理可判断A 项，由锐角三角形可判断B 项，用倍角公式可判断C 项，切化弦后用取等条件即可判断D 项.【详解】在△ABC 中，由正弦定理可将式子c -b =2b cos A 化为sin C -sin B =2sin B cos A ，把sin C =sin A +B =sin A cos B +cos A sin B 代入整理得，sin A -B =sin B ，解得A -B =B 或A -B +B =π，即A =2B 或A =π(舍去)，所以A =2B ，选项A 正确；选项B ：因为△ABC 为锐角三角形，A =2B ，所以C =π-3B ，由0<B <π2,0<2B <π2,0<π-3B <π2,解得B ∈π6,π4 ，故选项B 错误；选项C ：a b=sin A sin B =sin2B sin B =2cos B ，因为B ∈π6,π4 ，所以cos B ∈22,32 ，2cos B ∈2,3 ，即ab的取值范围为2,3 ，故选项C 正确；选项D ：1tan B -1tan A +2sin A =sin A -B sin A sin B +2sin A =1sin A+2sin A ≥21sin A ×2sin A =22，当且仅当1sin A=2sin A 即sin A =±22时取等，但因为B ∈π6,π4 ，所以A =2B ∈π3,π2 ,sin A ∈32,1 ，无法取到等号，故D 错.故选：AC .28(2024·福建厦门·统考一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2cos B +ab cos A =2c ．(1)求a ；(2)若A =2π3，且△ABC 的周长为2+5，求△ABC 的面积．【答案】(1)a =2；(2)34.【分析】(1)应用正弦边角关系及和角正弦公式有a sin (A +B )=2sin C ，再由三角形内角性质即可求边长；(2)应用余弦定理及已知得b 2+c 2+bc =4且b +c =5，进而求得bc =1，最后应用面积公式求面积.【详解】(1)由题设a (a cos B +b cos A )=2c ，由正弦定理有a (sin A cos B +sin B cos A )=2sin C ，所以a sin (A +B )=2sin C ，而A +B =π-C ，故a sin C =2sin C ，又sin C >0，所以a =2.(2)由(1)及已知，有cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-42bc=-12，可得b 2+c 2+bc =4，又a +b +c =2+5，即b +c =5，所以(b +c )2-bc =5-bc =4⇒bc =1，故S △ABC =12bc sin A =34.29(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知a -bc=sin A -sin Csin A +sin B．(1)求角B 的大小；(2)若b =2，求△ABC 周长的最大值．【答案】(1)B =π3(2)6【分析】(1)根据题意利用正、余弦定理进行边角转化，进而可得结果；(2)根据a 2+c 2-b 2=ac ，结合基本不等式运算求解.【详解】(1)因为a -b c =sin A -sin C sin A +sin B，由正弦定理可得a -b c =a -ca +b ，整理得a 2+c 2-b 2=ac ，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =ac 2ac =12，且B ∈0,π ，所以B =π3.(2)由(1)可知：a 2+c 2-b 2=ac ，整理得a +c 2-4=3ac ，即ac =a +c 2-43，因为ac ≤a +c24，当且仅当a =c =2时，等号成立，则a +c 2-43≤a +c 24，可得a +c 2≤16，即a +c ≤4，所以△ABC 周长的最大值为4+2=6.30(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且cos C =-14,c =2a .(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的周长为18，求△ABC 的面积.【答案】(1)158(2)315【分析】(1)由正弦定理边化角结合同角三角函数关系求解;(2)由余弦定理解方程得边长，再利用面积公式求解.【详解】(1)因为0<C <π，cos C =-14，所以sin C =1-cos 2C =154.因为c =2a ，所以sin C =2sin A ，则sin A =sin C 2=158.(2)因为cos C =-14，所以c 2=a 2+b 2+12ab .因为c =2a ，所以3a 2-12ab -b 2=0，解得b =32a .因为△ABC 的周长为18，所以a +b +c =92a =18，解得a =4，则b =6,c =8.故△ABC 的面积为12bc sin A =12×6×8×158=315.31(2024·浙江·校联考一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知c 2b 2+c 2-a2=sin Csin B．(1)求角A ；(2)设边BC 的中点为D ，若a =7，且△ABC 的面积为334，求AD 的长．【答案】(1)A =π3(2)132【分析】(1)根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到b 2+c 2-a 2=bc ，再结合余弦定理即可求出角A ；(2)根据三角形面积公式得到bc =3和b 2+c 2=10，再结合中线向量公式计算即可.【详解】(1)在△ABC 中，由正弦定理得，sin C sin B =cb，因为c 2b 2+c 2-a 2=sin C sin B ，所以c 2b 2+c 2-a 2=cb ，化简得，b 2+c 2-a 2=bc ，在△ABC 中，由余弦定理得，cos A =b 2+c 2-a 22bc=12，又因为0<A <π，所以A =π3(2)由S △ABC =12bc sin A =34bc =334，得bc =3，由a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，得7=b 2+c 2-3，所以b 2+c 2=10．又因为边BC 的中点为D ，所以AD =12AB +AC，所以AD =12(AB +AC )2=12b 2+c 2+2bc cos A =12×10+2×3×12=13232(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知在△ABC 中，3sin (A +B )=1+2sin 2C2．(1)求角C 的大小；(2)若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．【答案】(1)π3；(2)4+23．【分析】(1)利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin C +π6=1，再根据角的范围可得解；(2)利用正弦定理求出AB ，求出∠AIB ，设出∠ABI ，将AI ,BI 用∠ABI 表示，根据三角函数知识求出AI +BI 的最大值可得解.【详解】(1)∵3sin (A +B )=1+2sin 2C2，且A +B +C =π，∴3sin C =1+1-cos C =2-cos C ，即3sin C +cos C =2，∴sin C +π6=1．∵C ∈(0，π)，∴C +π6∈π6，7π6 ，∴C +π6=π2，即C =π3．(2)∵△ABC 的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，AB sin ∠ACB =ABsin π3=2×2=4，∴AB =23，∵∠ACB =π3，∴∠ABC +∠BAC =2π3，∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，∴∠ABI +∠BAI =π3，∴∠AIB =2π3，设∠ABI =θ，则∠BAI =π3-θ，且0<θ<π3，在△ABI 中，由正弦定理得，BI sin π3-θ =AI sin θ=AB sin ∠AIB =23sin 2π3=4，∴BI =4sin π3-θ ，AI =4sin θ，∴△ABI 的周长为23+4sin π3-θ +4sin θ=23+432cos θ-12sin θ +4sin θ=23+23cos θ+2sin θ=4sin θ+π3+23，∵0<θ<π3，∴π3<θ+π3<2π3，∴当θ+π3=π2，即θ=π6时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为4+23，故△ABI 的周长的最大值为4+23．【点睛】关键点点睛：将AI ,BI 用∠ABI 表示，根据三角函数知识求出AI +BI 的最大值是解题关键.33(2024·辽宁沈阳·统考一模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且b 2=ac +a 2.(1)求证：B =2A ；(2)当3c +7a 3b取最小值时，求cos B 的值.【答案】(1)证明见解析(2)cos B =-13【分析】(1)利用余弦定理并结合正弦函数两角和差公式化简即可求解.(2)利用基本不等式求得3c +7a 3b的最小值时的取等条件b =233a ，再结合余弦定理从而求解.【详解】(1)证明：由余弦定理知b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，又因为b 2=a 2+ac ，所以a 2+ac =a 2+c 2-2ac ⋅cos B ，化简得a =c -2a cos B ，所以sin A =sin C -2sin A cos B ，因为A +B +C =π，所以sin A =sin A +B -2sin A cos B ，所以sin A =sin A cos B +cos A sin B -2sin A cos B =cos A sin B -sin A cos B ，所以sin A =sin B -A ，因为A ∈0,π ,B -A ∈-π,π ，所以A =B -A 或A +B -A =π(舍)，所以B =2A .(2)由题知，3c +7a 3b =3ac +7a 23ab =3b 2-a 2 +7a 23ab=b a +43⋅a b ≥243=433，当且仅当b =233a 时取等，又因为b 2=ac +a 2，所以c =13a ，所以cos B =a 2+c 2-b22ac=a 2+13a 2-233a22a ×13a=-13.34(2024·重庆·统考一模)在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ,∠ABC 为钝角，AB =BC =2,CD =4，sin ∠BCD =154．(1)求cos ∠BDC ；(2)设点E 为AD 的中点，求BE 的长．【答案】(1)78；(2)342【分析】(1)在△BCD 中利用余弦定理求出BD ，再利用二倍角的余弦公式计算即得.(2)利用(1)的结论，借助向量数量积求出BE 的长.【详解】(1)在梯形ABCD 中，由AB ⎳CD ,∠ABC 为钝角，得∠BCD 是锐角，在△BCD 中，sin ∠BCD =154，则cos ∠BCD =1-sin 2∠BCD =14，由余弦定理得BD =22+42-2×2×4×14=4，即△BCD 为等腰三角形，所以cos ∠BDC =cos (π-2∠BCD )=-cos2∠BCD =1-2cos 2∠BCD =78.(2)由AB ⎳CD ，得∠ABD =∠BDC ，由点E 为AD 的中点，得BE =12(BA +BD)，所以|BE |=12BA 2+BD 2+2BA ⋅BD =1222+42+2×2×4×78=342.35(2024·山西晋城·统考一模)在△ABC 中，AB =33，AC =53，BC =73．(1)求A 的大小；(2)求△ABC 外接圆的半径与内切圆的半径．【答案】(1)A =2π3(2)32【分析】(1)由余弦定理即可求解；(2)由正弦定理求出外接圆半径，由等面积法求出内切圆半径.【详解】(1)由余弦定理得cos A =AB 2+AC 2-BC 22AB ⋅AC=-12，因为0<A <π，所以A =2π3．(2)设△ABC 外接圆的半径与内切圆的半径分别为R ，r ，由正弦定理得2R =BC sin A=7332=14，则R =7．△ABC 的面积S =12AB ⋅AC ⋅sin A =4534，由12r (AB +AC +BC )=S ，得r =2S AB +AC +BC =32．36(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知B =π4,4b cos C =2c +2a .(1)求tan C ；(2)若△ABC 的面积为32，求BC 边上的中线长.【答案】(1)tan C =12(2)52.【分析】(1)利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得tan C .(2)根据三角形ABC 的面积求得ac ，根据同角三角函数的基本关系式求得sin A ,cos A ，利用正弦定理、向量数量积运算来求得BC 边上的中线长.【详解】(1)由正弦定理可得c sin C=bsin B ，所以4sin B cos C =2sin C +2sin A ，即22cos C =2sin C +2sin A ，又A +B +C =π，所以22cos C =2sin C +2sin π4+C =22sin C +2cos C ，整理得2cos C =22sin C ，解得tan C =12；(2)依题意，12ac sin B =12ac ×22=32，解得ac =32，又tan A =tan 3π4-C =-1-tan C1-tan C =-3，所以A 为钝角，所以由sin A cos A=-3sin 2A +cos 2A =1 ,解得sin A =310,cos A =-110，由正弦定理可得c a =sin Csin A=15310=23，又ac =32，所以a =3,c =2,b =c sin Bsin C=2×2215=5，设BC 的中点为D ，则AD =12AB +AC，所以AD 2=14(AB +AC )2=b 2+c 2+2bc cos A 4=2+5+2×2×5×-1104=54，所以BC 边上的中线长为52.37(2024·云南曲靖·统考一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且c =2a cos C -2b ．(1)求A ；(2)线段BC 上一点D 满足BD =14BC ,AD =BD=1，求AB 的长度．【答案】(1)A =2π3；(2)477.【分析】(1)由余弦边角关系及已知得-bc =b 2+c 2-a 2，再由余弦定理即可求A ；(2)由题设得∠ADB=π-2B，且AD=BD=1,BC=4，C=π3-B，在△ADB、△ABC应用正弦定理得AB=2cos B、tan B=32,0<B<π3，即可求AB的长度．【详解】(1)由题设及余弦定理知：c=2a×a2+b2-c22ab-2b=a2+b2-c2b-2b，所以-bc=b2+c2-a2，又cos A=b2+c2-a22bc=-12，A∈(0,π)，所以A=2π3.(2)由题设∠ADB=π-2B，且AD=BD=1,BC=4，C=π3-B，在△ADB中ADsin B=ABsin(π-2B)=ABsin2B，则AB=2cos B，在△ABC中ABsinπ3-B=BCsin2π3=83，则AB32cos B-12sin B=83，综上，可得tan B=32,0<B<π3，则cos B=27，故AB=477.。
辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2024-2025（上）10月月度质量监测高三数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只第Ⅰ卷选择题（共58分）有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}2A x x =∈Z，{}ln(1)B x y x ==−，则A B ∩中的元素个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】【分析】先求集合A 、B ，再根据交集的定义求出A B ∩即可求解.【详解】解:因为集合{}{}22,1,0,1,2A x x =∈=−−Z ，{}1B x x =<，所以{}2,1,0A B =−− ， 故选：A .2. 已知12i +是方程250()x mx m ++=∈R 的一个根，则m =（ ） A. －2 B. 2C. iD. －1【答案】A 【解析】【分析】法一:将复数代入二次方程，利用复数相等求解；法二：利韦达定理求解.【详解】方法1：由题意知2(12i)(12i)50m ++++=，即2(42)i 0m m +++=，解得2m =−. 方法2：根据虚根成对知1－2i 也是方程的根，由韦达定理得(12i)(12i)m ++−=−，所以2m =−. 故选:A.3. 不等式2320x x ++>成立的一个充分不必要条件是（ ） A. (1,)−+∞B. [1−，)∞+C. (−∞，2][1−∪−，)∞+D. (1−，)(+∞−∞∪，2)−【解析】【分析】解不等式，根据集合的包含关系求出答案即可． 【详解】2320x x ++> ，(1)(2)0x x ∴++>，解得：1x >−或2x <−，故不等式2320x x ++>成立的一个充分不必要条件是(1,)−+∞， 故选：A ．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．4. 已知π0,2θ ∈，且cos 2πsin 4θθ=−tan 2θ=（ ）． A.724B.247C. 724±D. 247±【答案】D 【解析】【分析】由余弦的二倍角公式和两角差正弦公式可得7cos sin 5θθ+=， 结合22cos sin 1θθ+=求出tan θ的值，再根据正切的二倍角公式即可.【详解】)cos2cos sin s in 4θθθπθ+ − 故7cos sin 5θθ+=， 又因为π0,2θ∈，且22cos sin 1θθ+=．故3cos 5θ=，4sin 5θ=或4cos 5θ=，3sin 5θ=，则4tan 3θ=或34，故22tan 24tan21tan 7θθθ==±−，5. 若a ，b是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A. a b =B. a b∥C. 1a b ⋅=D. 22a b =【答案】D 【解析】【分析】a ，b是两个单位向量，则1ab == ，但a ，b 方向不能确定，即可判断AB ；利用数量积的定义与性质可判断CD ．【详解】a ，b是两个单位向量，则1ab == ，但a ，b 方向不能确定，故选项AB 错误； cos co ,,s a b a b b a b a ⋅== ，只有a ，b同向共线时，才有cos ,1a b = ，故选项C 错误；221a a == ，221b b == ，22a b ∴= ，选项D 正确.故选：D.6. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ，AB BC ⊥，222BC AD AB ===，将直角梯形ABCD 沿对角线折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A. 0B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】取BD 的中点F ，连接AF ，则AF BD ⊥，通过面面垂直的性质定理可得到AF ⊥平面BCD ． 过C 作CE ，且使12CE BD =，连接AE ，EF ，BE ，FC 则ACE ∠为所求的角， 在AEC △分别求出CE AC ，的大小，即可求出答案.【详解】在直角梯形ABCD 中，因为222BC AD AB ===，AD ，AB BC ⊥，所以，BD CD ==BD 的中点F ，连接AF ，则AF BD ⊥．又因为平面ABD ⊥平面BCD 且交于BD ，所以AF ⊥平面BCD ．过C 作CE ，且使12CE BD =，连接AE ，EF ，BE ，FC 则ACE ∠为所求的角．在Rt AFC △中，AC =Rt AFE 中，AE =．因为CE =AEC △为直角三角形．所以cos CEACE AC∠=AC 与BD故选：B.7. 设正实数,x y 满足23x y +=，则下列说法错误的是（ ） A.3y x y+的最小值为4 B. xy 的最大值为98C. +的最大值为2D. 224x y +的最小值为92【答案】C 【解析】【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【详解】对于A ，32224y y x y y x x y x y x y ++=+=++≥+=，当且仅当1xy ==时取等号，故A 正确；对于B ，21121992222248x y xy x y + =⋅⋅≤×=×= ，当且仅当2x y =，即33,24x y ==时取等号，故B 正确；对于C ，223336x y +=++≤+=+=，≤，当且仅当2x y =，即33,24x y ==时，故C 错误；对于D ，222994(2)49482x y x y xy +=+−≥−×=，当且仅当33,24x y ==时取等号，故D 正确. 故选：C.8. 定义在()0,∞+上的单调函数()f x ，对任意的()0,x ∈+∞有()ln 1f f x x −=恒成立，若方程()()f x f x m ⋅′=有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A. (),1−∞B. ()0,1C. (]0,1D. (],1−∞【答案】B 【解析】【分析】由条件单调函数()f x ，对任意的()0,x ∈+∞都有()ln 1f f x x −=，故必有 ()ln f x x t −=，且()1=f t ，即可求得()f x ，再根据导数研究函数的性质，求得方程()()f x f x m ⋅′=有两个不同的实根满足的条件，求得m 的取值范围. 【详解】由于函数()f x 为单调函数，则不妨设()ln f x x t −=，则()1=f t ， 且()ln 1ln f t t t t −=−=，解得1t =，所以()()1ln 1,f x x f x x′=+=. 设()()()ln 1x g x f x f x x=′+=⋅， 则方程()()f x f x m ⋅′=有两个不同的实数根等价于函数()ln 1x g x x+=与y m=有两个不同的交点. ()222ln 11ln 1ln x x x g x xx x x x ′−′=+=−=−， 易得当(0,1)x ∈时，()0g x ′>；当(1,)x ∈+∞时，()0g x ′<， 所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max()(1)0g x g ==. 又10g e=，且当x →+∞时，()0g x →. 故函数()ln 1x g x x+=与y m=有两个不同的交点则()0,1m ∈.故选：B二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 以下是真命题的是（ ）A. 已知a ，b为非零向量，若a b a b +>− ，则a 与b 的夹角为锐角 B. 已知a ，b ，c为两两非共线向量，若a b a c ⋅=⋅ ，则()a cb ⊥−C. 在三角形ABC 中，若cos cos a A b B ⋅=⋅，则三角形ABC 是等腰三角形D. 若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心 【答案】BD 【解析】【分析】A ：将已知条件两边同时平方，整理得到0a b ⋅>，结合平面向量的数量积的定义得到cos ,0a b >，由平面向量的夹角范围可得,0,2a b π ∈，进而可以判断选项；B ：将已知条件变形为()0a b c ⋅−=，结合平面向量数量积即可判断选项；C ：结合正弦定理化简整理即可判断三角形的形状；D ：作出图形，证得PAO PBO PCO ≅≅ ，即可得到AO BO CO ==，结合三角形外心的性质即可判断.【详解】A ：因为a b a b +>− ，两边同时平方，得()()22a ba b +>− ，即222222a b a b a b a b ++⋅>+−⋅，所以0a b ⋅> ，因此cos ,0a b > ，因为[],0,a b π∈ ，所以,0,2a b π ∈，因此a 与b的夹角为锐角或零角，故A 错误；B ：因为a b a c ⋅=⋅ ，所以()0a b c ⋅−= ，又因为a ，b ，c 为两两非共线向量，则0,0a b c ≠−≠ ，所以()a cb ⊥−，故B 正确；C ：因为cos cos a A b B ⋅=⋅，结合余弦定理得sin cos sin cos A A B B ⋅=⋅，所以sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以角形ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误； D ：设三棱锥P ABC −的顶点P 在底面ABC 的射影为O ，所以⊥PO 底面ABC ，又因为AO ⊂底面ABC ，BO ⊂底面ABC ，CO ⊂底面ABC ，所以,,PO AO PO BO PO CO ⊥⊥⊥，又因为三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，所以PAO PBO PCO ∠=∠=∠，所以PAO PBO PCO ≅≅ ，所以AO BO CO ==，所以点O 是ABC 的外心，故D 正确；故选：BD.10. 八一广场位置处于解放碑繁华地段，紧挨着得意世界、大融城、八一好吃街等．重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备在八一广场上对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A 为解放碑的最顶端，B 为解放碑的基座（即B 在A 的正下方），在广场内（与B 在同一水平面内）选取C ，D 两点，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB 的是（ ）A. CD ，ACB ∠，BCD ∠，BDC ∠B. CD ，ACB ∠，BCD ∠，ADC ∠C. CD ，ACB ∠，BCD ∠，ACD ∠D. BC ，BD ，2ACB ADB π∠+∠=【答案】ABD 【解析】【分析】A 、B 、C 根据正弦定理、余弦定理和直角三角形性质判断所给条件是否构成解三角形条件；D 选项根据相似三角形性质判断.【详解】由题意可知AB ⊥平面BCD ，由此进行下列判断：A 选项，在BCD △中，根据CD ，BCD ∠，BDC ∠，可利用正弦定理求得BC ，再根据tan ACB ∠求得AB ，故A 正确；B 选项，由ACB ∠，BCD ∠借助直角三角形和余弦定理，用AB 和CD 表示出BC ，BD ，AC ，AD ，然后结合ADC ∠在ACD 中利用余弦定理列方程，解方程求得AB ，故B 正确；C 选项，CD ，ACB ∠，BCD ∠，ACD ∠四个条件，无法通过解三角形求得AB ，故C 错误； D 选项，根据π2ACB ADB ∠+∠=，可得ABC 与DBA 相似，根据相似比AB BDBC AB =可解方程求得AB ，故D 正确， 故选：ABD ．11. 设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x ′和()g x ′．若()()42f x g x −−=，()()2g x f x ′′=−，且()2f x +为奇函数，则（ ）． A. R x ∀∈，()()40f x f x ++−=B. ()()354g g +=C.()202310k f k ==∑D.()202310k g k ==∑【答案】AC 【解析】【分析】由()2f x +为奇函数，结合奇函数的性质判断A ，由条件证明()f x 为周期为4的函数，利用组合求和法求()20231k f k =∑判断C ，根据条件证明()()22g x f x =−−，由此判断BD.【详解】对A ，又∵()2f x +奇函数，则()y f x =图像关于()2,0对称，且()()220f x f x ++−=， 为所以()()40f x f x ++−=，A 正确； 对于C ，∵()(2)g x f x ′′=−，则()()2g x f x a =−+，则()()42g x f x a −=−+，又()()42f x g x −−=， 所以()()22f x f x a =−++，令1x =，可得20a +=，即2a =−.所以()(2)f x f x =−，又()()40f x f x ++−=所以()()()22f x f x f x +=−−+=−， 所以()()()24f x f x f x =−+=+， ∴()y f x =的周期4T =，所以()()04f f =，由()()220f x f x ++−=可得， ()()130f f +=，()()400f f +=，()20f =，所以()00f =，()40f =，∴[]20231()505(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)0k f k f f f f f f f ==++++++=∑，C 正确；对B ，()()22g x f x =−−，则()g x 是周期4T =的函数，()()()()3512324g g f f +=−+−=−，B错误； 对D ，()()()1120242023f f f −=−+=，()()()()022********f f f f ==+=，所以2023202311()(1)2(0)2(1)2(2021)2()22023k k g k f f f f f k ==−−+−+−+…+−=−×∑∑，所以20231()4046k g k ==−∑，D 错误.故选：AC.【点睛】知识点点睛：本题考查导数的运算，奇函数的性质，抽象函数周期性的证明，分组求和法等知识点，属于综合题，考查逻辑推理和首项运算的核心素养.第Ⅱ卷 非选择题（共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 设函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），若()1220211010f x x x ⋅⋅⋅=，则()()()222122021f x f x f x ++⋅⋅⋅+=______．【答案】2020 【解析】 【分析】根据对数的运算法则计算．【详解】∵()1220211010f x x x ⋅⋅⋅=，∴()122021log 1010a x x x ⋅⋅⋅=； ∴()()()()()()222222122021122021log log log a a a f x f x f x x x x =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+()()222212320211220212l 2020og a f x x x x x x x =+=⋅⋅⋅．故答案为：2020．13. 如图，在ABC 中，4AB =，3AC =，90A ∠=°，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ⋅的取值范围是__．【答案】[6,4]− 【解析】【分析】利用平面向量的线性运算可得出,BP AP AB CQ AQ AC AP AC =−=−=−−，运用平面向量数量积的运算性质解决即可.【详解】由题知，ABC 中，4AB =，3AC =，90A ∠=°，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，所以A 为PQ 的中点，1,,5AP AP QA BC ===， 因为,BP AP AB CQ AQ AC AP AC =−=−=−−，所以()()()()BP CQ AP AB AP AC AB AP AC AP ⋅=−⋅−−=−+2()1AB AC AP AP AB AC AP CB =⋅−+⋅−=−+⋅ ,因为AP CB AP CB AP CB −⋅≤⋅≤⋅ ，即55AP CB −≤⋅≤所以614AP CB −≤−+⋅≤ ，当且仅当,AP CB同向时取最大值，反向时取最小值，所以BP CQ ⋅的取值范围是[6,4]−，故答案为：[6,4]−14. 已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，M 为AB 的中点，P 是平面ABCD 内的动点，且满足条件13PD PM =，则动点P 在平面ABCD 内形成的轨迹是 ． 【答案】圆 【解析】【分析】分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，利用空间两点距离的坐标表示求轨迹方程即可． 【详解】分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，则1(0,0,2),(2,1,0)D M ，设(,,0)P x y ，由题意可得22222(02)9[(2)(1)]x y x y ++−=−+−， 化简可得2299410248x y x y +−−+=，易知轨迹是圆. 故答案为：圆四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 在①1n n a a +−=+；② 184n n a a n −−=−(2n ≥)两个条件中，任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知数列{}n a 中，13a =，__________ （1）求n a ；.（2）若数列1n a的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.【答案】条件选择见解析；（1）241=−n a n ；（2）证明见解析.【解析】 【分析】若选① ：（1）由1n n a a +−=2=，根据是首项为2，公差为2的等差数列，可得结果；（2）由2111114122121n a n n n ==− −−+利用裂项求和方法求和得n T ，进一步可证1132n T ≤<. 若选② ：（1）由184n n a a n −−=−(2n ≥)利用累加法可求得n a ；（2）由2111114122121n a n n n ==− −−+ 利用裂项求和方法求和得n T ，进一步可证1132nT ≤<. 【详解】若选① ：（1）由1n n a a +−=，13a =2=，2=，2=，所以是首项为2，公差为2的等差数列，2n =，所以241=−n a n ； （2）证明：由（1）得2111114122121n a n n n ==− −−+， 所以1111111213352121nT n n =−+−++− −+111221n −+ 11242n =−+， 因为1042n >+，所以12n T <，又因为11242n T n =−+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=， 综上1132n T ≤<.若选② ：（1）由184n n a a n −−=−(2n ≥)可得：当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a −−−=−+−++−+ (84)(812)123n n −+−+++ [(84)12](1)32n n −+−+241n −，当1n =时，13a =，符合241=−n a n ， 所以当*n N ∈时，241=−n a n ； （2）证明：由（1）得2111114122121na n n n ==− −−+， 所以1111111213352121nT n n =−+−++− −+111221n −+ 11242n =−+， 因为1042n >+，所以12n T <，又因为11242n T n =−+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=， 综上1132n T ≤<.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：一、公式法：根据等差或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+−或11n n a a q −=进行求解；二、前n 项和法：根据11,1,2n nS n a S S n −= = −≥ 进行求解；三、n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S −与1n a −的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项；四、累加法：当数列中有1()n n a a f n −−=，即第n 项与第1n −项的差是个有规律的数时，就可以用这种方法；五、累乘法：当数列{}n a 中有1()nn a f n a −=，即第n 项与第1n −项的积是个有规律的数时，就可以用这种方法；六、构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b −=+（,k b 均为常数，且0k ≠）， 一般化方法：设1()n n a m k a m −+=+，得到(1)b k m =−，1b m k =−，根据数列1{}1n ba k −+−是以k 为公比的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于11n n n ka a ma p−−=+（nn ≥2,nn ∈NN ∗）（,,k m p 均为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b −=+的式子； ③取对数法：一般情况下适用于1kln n a a −=（,k l 为非零常数）七、“1nn n a ba c +=+（,b c 为常数且不为0，*n N ∈）”型的数列求通项n a ，方法是等式的两边同除以1n c+，得到一个“1n n a ka b −=+”型的数列，再用上面的六种方法里的“一次函数法”便可求出nn a c的通项，从而求出n a .16. 已知函数()2cos 2cos 1f x x x x a =+−+（a 为常数）. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若()f x 在0,2π上有最小值1，求a 的值. 【答案】（1）(),36k k k Z ππππ−+∈；（2）2. 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x a π=++，然后解不等式()222262k x k k ππππ−≤+≤π+∈Z ，可得出函数()y f x =的单调递增区间； （2）由0,2x π∈计算出26x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的最小值，进而可求得实数a 的值.【详解】（1）()2cos 2cos 12cos 2f x x x x a x x a=+−+=++122cos 22sin 226x x a x a π++=++， 令()222262k x k k ππππ−≤+≤π+∈Z ，解得()36k x k k Z ππππ−≤≤+∈所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−+∈； .（2）当02x π≤≤时，72666x πππ≤+≤，所以1sin 2126x π−≤+≤，所以()min 12112f x a a=×−+=−=，解得2a =. 【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间和最值的求解，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.17. 已知圆229x y +=，A （1，1）为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点，且∠PAQ＝90°，M 是PQ 的中点． （1）求点M 的轨迹曲线C 的方程；（2）设9111(,),(,)2222E D 对曲线C 上任意一点H ，在直线ED 上是否存在与点E 不重合的点F ，使HE HF 是常数，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）2211422x y −+−=；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）利用直角三角形的中线定理及垂径定理，得到1||||||2AMPQ PM ===利用两点距离公式求出动点的轨迹方程．（2）先设出F 的坐标，将HE HF用点点距表示出，化简得到215(12)4248t x t x −++−，利用212815244t t −=−+解得t 的值即可．【详解】（1）设点(,)M x y ，由90PAQ ∠=°，得1||||||2AM PQ PM ===化简得22702x y x y +−−−=， 即2211422x y −+−=. （2）点91,22E，11,22D，直线ED 方程为12y =，假设存在点19,22F t t ≠ ，满足条件，设,()H x y ，则有2211422x y −+−=，22291||22HE x y=−+− 2291424822x x x −+−−− ，2221||()2HF x t y=−+− 222115()4(12)24x t x t x t =−+−−=−++，当||||HE HF 是常数，2215(12)||4||248t x t HE HF x −++ =−是常数， ∴212815244t t −=−+，∴32t =或92t =（舍），∴32t =， ∴存在31,22F满足条件. 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查了分式型定值问题的求解，考查了运算能力，属于中档题． 18. 已知数列{}n a 与等比数列{}n b 满足3(N )n an b n ∗=∈． （1）试判断{}n a 是何种数列；（2）若813a a m +=，求1220b b b . 【答案】（1）数列{}n a 是等差数列； （2）103m 【解析】【分析】（1）由13log n n a a q +−=可知{}n a 为等差数列； （2）利用等差数列前n 项和以及指数运算的性质即可求解. 【小问1详解】设数列{}n b 的公比为q ，则0q >， 因为3nn a b =，所以113a b =，所以1133n a a n n b q −=⋅=. 方程两边取以3为底的对数， 得11313log (3)(1)log an n a qa n q −=⋅=+−，由于[]113133(log )(1)log log n n a a a n q a n q q +−=+−+−=， 所以数列{}n a 是以3log q 为公差的等差数列．的【小问2详解】因为120813a a a a m +=+=， 所以120122020()2a a a a a ++++==10m ，所以2012201210122033333aa a aaamb b b +++=== .19. 已知函数()ln f x x x =，()()1f x g x x+=.（1）求函数()f x 单调区间；（2）当12x x <，且()()12g x g x =时，证明：122x x +>. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导函数的符号求单调区间； （2）分析法将问题化为证2121212ln 0x x xx x x −>>，再应用换元及导数研究恒成立，即可证. 【小问1详解】由题设，()f x 的定义域为()0,∞+()1ln 0f x x =+=′，得1ex =. 当1e x >时，()0f x ′>，()f x 在1,e +∞上单调递增；当10e x <<时，()0f x ′<，()f x 在10,e上单调递减. 所以()f x 单调递减区间为10,e，单调递增区间为1,e +∞. 【小问2详解】因为()ln f x x x =，故()()11ln f x g x x x x+==+，（xx >0）. 由()()12g x g x =（12x x <），得121211ln ln x x x x +=+，即212121ln 0x x xx x x −=>. 要证122x x +>，需证()212121212ln x x xx x x x x −+⋅>，即证2121212ln x x x x x x −>.的设21x t x =（1t >），则要证12ln t t t−>（1t >）. 令()12ln h t t t t=−−且1t >，则()22121110h t t t t′=+−=−> . 所以()h t 在()1,+∞上单调递增，则()()10h t h >=，即12ln t t t−>. 所以122x x +>，得证.。
辽宁普通高中2025届高三上学期10月月考物理模拟试题+答案解析
辽宁省普通高中2024-2025学年度上学期10月月考模拟试题（2）高三物理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，共46分。
在每小题给出的四个选项中，第1~7题中只有一项符合题目要求，每小题4分；第8~10题有多项符合题目要求，每小题6分，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
1．汽车在水平地面转弯时，坐在车里的小云发现车内挂饰偏离了竖直方向，如图所示。
设转弯时汽车所受的合外力为F ，关于本次转弯，下列图示可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．影视作品中的武林高手展示轻功时都是吊威亚（钢丝）的。
如图所示，轨道车A 通过细钢丝跨过滑轮拉着特技演员B 上升，便可呈现出演员B 飞檐走壁的效果。
轨道车A 沿水平地面以速度大小5m/s v =向左匀速前进，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为37°，连接特技演员B 的钢丝竖直，取sin370.6°=，cos370.8°=，则下列说法正确的是（ ） A ．该时刻特技演员B 有竖直向上的加速度 B ．该时刻特技演员B 处于失重状态C ．该时刻特技演员B 的速度大小为3m/sD ．该时刻特技演员B 的速度大小为6.25m/s 3．如图所示，倾角为θ的光滑斜面体始终静止在水平地面上,其上有一斜劈A,A 的上表面水平且放有一斜劈B ，B 的上表面上有一物块C ，A 、B 、C 一起沿斜面匀加速下滑．已知A 、B 、C 的质量均为m ，重力加速度为g ，下列说法正确的是（ ） A ．A 、B 间摩擦力为零 B ．A 加速度大小为cos g θ C ．C 可能只受两个力作用 D ．斜面体受到地面的摩擦力为零4．2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，并顺利进入月球附近的椭圆形捕获轨道，沿顺时针方向运行。
2021届高三复习数学名校联考质检卷精编(4)三角函数与解三角形
B.
C.当 时， 在 上有3个零点
D.若 在 上单调递减，则 的最大值为9
7.在 中，角 所对的边分别为 ， ，则 ( )
A. 1B. C. D.
8.已知函数 的最小正周期为 ，且其图象向右平移 个单位得到函数 的图象，则 ( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知函数 的图象的一个对称中心为 ，其中 ，则以下结论正确的是()
所以 .
故选：D.
9.答案：AC
解析：由函数 的图像的一个对称中心为 ，得 ，因为 ，所以 ，则 ，所以周期 .A项正确；将函数 的图像向左平移 ，得 ，显然 的图像不关于原点对称，B项错误；由 ，取 ，得 ，即 是数 的一个单调递增区间，又 是 的子集，所以函数 在区间 上单调递增，C项正确；由 ，得 .解的 由， ，得 ，因为 ，所以 ，所以函数 在区间 上有67个零点。D项错误
A．向左平移 个单位长度B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度D．向右平移 个单位长度
4.已知 ，则“ ”是“ 是直角三角形”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5.已知 ，为第三象限角，则 ( )
A. B. C. D.
6.将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，且 ，下列说法错误的是()
当 时， ，函数的周期为 ，解得 可得 在 上有3个零点，正确
如果 的最大值为9，则： 在 上单调递减，不正确
故选：D．
7.答案：C
解析：因为 ，展开得
，由正弦定理化简得
，整理得
即 ，而三角形中 ，所以
由余弦定理可得 ，代入 ，解得 ，故选C.
高三数学精选三角函数与解三角形多选题达标综合模拟测评学能测试试卷
高三数学精选三角函数与解三角形多选题达标综合模拟测评学能测试试卷一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，sin 2sin B C =，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．当A =2C 时，ABC 的周长为2+D ．当A =2C 时，若O 为ABC 的内心，则AOB 【答案】BCD 【分析】对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案； 对于C ，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案对于D ，由已知条件可得ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得AOB 的面积 【详解】对于A ，因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得，2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得3c =，所以A 错误； 对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(1,),(1,0)B C -，设(,)A m n ，因为2b c ==， 化简得22516()39m n ++=，所以点A 在以5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆上运动， 所以ABC 面积的最大值为1442233⨯⨯=，所以B 正确； 对于C ，由A =2C ，可得3B C π=-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b cB C=，即2sin(3)sin c c C C π=-，所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以2B π=，6C π=，3A π=，因为2a =，所以2343,c b ==， 所以ABC 的周长为223+，所以C 正确； 对于D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且2B π=，6C π=，3A π=，2343,c b ==， 所以ABC 的内切圆半径为123433212r ⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以AOB 的面积为1123331122333cr ⎛⎫-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭所以D 正确， 故选：BCD 【点睛】此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.2．（多选题）如图，设ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，、、A B C 成等差数列，D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说法中，正确的是（ ）A ．3B π=B ．ABC 是等边三角形C ．若A B CD 、、、四点共圆，则13AC =D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质和三角形内角和可得3B π=，根据等比中项和余弦定理可得a c =，即ABC 是等边三角形，若A B C D 、、、四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得23D π=，再利用余弦定理可求AC =211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+和2222cos AC AD CD AD CD D 可得3sin 3sin()23S D D D π=-+=-+. 【详解】由、、A B C 成等差数列可得，2A+C =B ，又A B C π++=， 则3B π=，故A 正确；由a b c 、、成等比数列可得，2b ac =，根据余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，两式相减整理得，2()0a c -=，即a c =，又3B π=，所以，ABC 是等边三角形，故B 正确；若A B C D 、、、四点共圆，则B D π+=，所以，23D π=， ADC 中，根据余弦定理，2222cos AC AD CD AD CD D ，解得AC =C 正确； 四边形ABCD 面积为：211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+23sin 2D AC = 又2222cos 106cos AC AD CD AD CD D D =+-⋅=-，所以，3sin 3sin()23S D D D π==-+因为(0,)D π∈，当四边形面积最大时，sin()13D π-=，此时max 32S =+，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查解三角形和平面几何的一些性质，同时考查了等差等比数列的基本知识，综合性强，尤其是求面积的最大值需要一定的运算，属难题.3．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意()()()a b c D f a f b f c ∈，，，，，分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（ ） A ．()4sin f x x =-B ．()22sin 10cos 13f x x x =-++C ．()tan 2x f x = D ．()sin 20,34f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】AD 【分析】结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若()f x 为 “三角形函数”则()()()max min min f x f x f x <-恒成立，即()()max min 2f x f x <恒成立即可，根据条件求出函数的最大值和最小值，进行判断即可. 【详解】解:①()4sin f x x =-，则()max 415f x =+=，()min 413f x =-= 则()()max min 2f x f x <恒成立,则A 满足条件②()22532cos 10cos 112cos 22f x x x x ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0cos 1x ≤≤∴当cos 0x =时，函数()f x 取得最小值()min 11f x =,当cos 1x =时，函数()f x 取得最大值，()max 23f x =则()()max min 2f x f x <不恒成立，则B 不满足条件 ③()()()tan ,00,2xf x =∈-∞⋃+∞，则不满足条件()()max min 2f x f x <恒成立，故C 不是④()sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，则()max sin12f x π=+=+()min 51sin62f x π=+=+则()min 21f x =+，则()()max min 2f x f x <恒成立，故D 满足条件 故选AD 【点睛】本题考查了三角形的性质及“三角形函数”的概念，根据条件转化为()()max min 2f x f x <恒成立是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.4．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC 【分析】首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.5．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD 【分析】利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin 3ϕ=3sin 2ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确.故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.6．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）A ．2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．(2021)1f π=C ．函数|()|y f x =为偶函数D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 【答案】AD 【分析】先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12x π=-时取得最大值求得ϕ，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可. 【详解】由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω==,2ω=， 由12x π=-时，()2sin 2212f x =πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭， 即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，A 正确；22(2021)2sin 22021=2sin =333f ππππ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭B 错误； 由2()2sin 23y f x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是恒成立，故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误； 由6x π=时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫⎪⎝⎭，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 方法点睛：三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.7．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>；若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<，此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.8．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（ ） A ．最小正周期是π B ．区间[0，1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称 D ．周期函数且图象有无数条对称轴 【答案】BD 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】2cos (22)22()30(22)22x k x k f x k x k ππππππππ⎧-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩，则对应的图象如图：A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，B 中函数在[0,]2π上为减函数，故B 正确，C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确 故正确的是B D故选：BD【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．二、数列多选题9．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（ ）A ．数列{}n a 的公比为pB ．数列{}n a 为递增数列C ．1r p =--D ．当14p r-取最小值时，13-=n n a 【答案】BD 【分析】先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由11p q =-判断选项A 错误，由11pq p+=>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判断C 错误，将r p =-代入14p r-，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是q ，2n ≥时，11n n n n S pa rS pa r+-=+⎧⎨=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11p q =-. 选项A 中，若公比为p ，则11p q q ==-，即210q q --=，即p q ==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝⎭是递增数列，故正确； 选项C 中，由1n n S pa r +=+，11nn q S q-=-，11p q =-，1n n a q +=知， 1111111n n n n q p q q a qr S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误； 选项D 中， 因为r p =-，故()1111444p p p r p p -=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =，即12p =时等号成立，14p r-取得最小值1，此时13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解； 2、当两个正数,a b的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式a b +≥，当且仅当a b =取等号.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值【答案】AC【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况： （1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定； （2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；。
届高三月考联考模拟试题汇编解三角形题组1
解三角形 题组一一、选择题1．（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）在△ABC 中，B=135︒，C=15︒，a =5，则此三角形的最大边长为（ ）A ． 35B ．34C ．D ．242．（陕西省宝鸡市2011年高三教学质量检测一）设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于34的概率为（ ）A ．964B ．964πC ．916πD ．9163. （山东省日照市2011届高三第一次调研考试文）角α的终边过点(1,2)-，则c os α的值为（ ）A B C ． D ．4.（湖北省补习学校2011届高三联合体大联考试题理） 在ABC ∆中,有命题:①AB AC BC -= ②0AB BC CA ++=③若()()0AB AC AB AC +⋅-=,则ABC ∆为等腰三角形④若0AC AB ⋅>,则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是( ) A.①② B.①④ C.②③ D.②③④5．（湖北省八校2011届高三第一次联考理）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若0120,C c b ==，则（ ）.A 045B > .B 045A > .C b a > .D b a < 6.（河南省辉县市第一高级中学2011届高三12月月考理）记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC ∆的三边边长为a 、b 、c（a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为max{,,}min{,,},a b c a b c t b c a b c a=∙则“t=1”是“ABC ∆为等边三解形”的（ ）A ．充分布不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件7. （广东六校2011届高三12月联考文）在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则B si n =（ ）A.33 B. 33± C. D. 36± 8．（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理） 在ABC ∆中，若CcB b A a cos cos cos ==，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题9. （山东省日照市2011届高三第一次调研考试文）在△ABC 中，若1a b ==，c C ∠= .10．（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若222b c a bc +=+且4AC AB ⋅=uuu v uu u v，则ABC ∆的面积等于11．（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，1,120,2,2BD DC ADB AD =∠==若△ADC 的面积为3-，则BAC ∠=_______ 12．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）如图所示，如果∠ACB=090,在平面α内，PC 与CA ，CB 所成的角∠PCA=∠PCB=060,那么PC 与平面α所成的角为（第12题）13．（广东省肇庆市2011届高三上学期期末考试理）在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知6,3,3π=∠==C b a ，则角A 等于____.14．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=DC ，ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为，则BAC=___________。
高三数学月考、联考、模拟试题汇编 解三角形 试题
卜人入州八九几市潮王学校解三角形题组一一、选择题1．〔啸秋2021第一学期高三会考模拟试卷〕在△ABC 中，B=135，C=15，a =5，那么此三角形的最大边长为A ．35B ．34C ．52．24答案C.2．〔2021年高三教学质量检测一〕设一直角三角形两直角边的长均是区间〔0，1〕的随机数，那么斜边的长小于34的概率为〔〕A ．964B ．964π C ．916π D ．916答案B.3.〔2021届高三第一次调研考试文〕角α的终边过点(1,2)-，那么cos α的值是255(C)25(D)5答案D.4.〔补习2021届高三结合体大联考试题理〕在ABC ∆①AB AC BC -=②0AB BC CA ++=③假设()()0AB AC AB AC +⋅-=,那么ABC ∆为等腰三角形④假设0AC AB ⋅>,那么ABC ∆)A.①②B.①④C.②③D.②③④ 答案C.5．〔八校2021届高三第一次联考理〕在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，假设0120,2C c b ==，那么〔〕答案C.6.〔HY 高级2021届高三12月月考理〕记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.ABC ∆的三边边长为a 、b 、c 〔a b c ≤≤〕,定义它的倾斜度为max{,,}min{,,},a b c a b ct b c a b c a=•那么“t=1”是“ABC ∆为等边三解形〞的 A 〕充分布不必要的条件B 〕必要而不充分的条件C 〕充要条件D 〕既不充分也不必要的条件 答案C.7.〔六校2021届高三12月联考文〕在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，那么B sin =A.33B.33±36± 8．〔安溪梧桐2021届高三第三次阶段考试理〕 在ABC ∆中，假设CcB b A a cos cos cos ==，那么ABC ∆是〔B 〕A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案B. 二、填空题9.〔2021届高三第一次调研考试文〕在△ABC 中，假设1a b ==，c =，那么C ∠=.答案9、23π； 10．〔2021届高三上学期期末数学模拟6理〕在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 假设222b c a bc +=+且4AC AB ⋅=，那么ABC ∆的面积等于答案.11．〔嘉禾一中2021届高三上学期1月高考押题卷〕在△ABC 中，D 为边BC 上一点，1,120,2,2BD DC ADB AD =∠==假设△ADC 的面积为3-，那么BAC ∠=_______答案3π12．〔鹿邑县五校2021届高三12月联考理〕如下列图，假设∠ACB=090,在平面α内，PC 与CA ，CB 所成的角∠PCA=∠PCB=060,那么PC 与平面α所成的角为〔第12题〕答案45013．〔2021届高三上学期期末考试理〕在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，6,3,3π=∠==C b a ，那么角A 等于__▲__.14．〔四中2021届高三上学期开学测试理科试题〕在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=DC ，ADB=120°，AD=2，假设△ADC的面积为，那么BAC=___________。
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解三角形 题组一一、选择题1．（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）在△ABC 中，B=135︒，C=15︒，a =5，则此三角形的最大边长为A ． 35B ．34C ．D ．24答案 C. 答案 D.4.（湖北省补习学校2011届高三联合体大联考试题理） 在ABC ∆中,有命题:①AB AC BC -= ②0AB BC CA ++=③若()()0AB AC AB AC +⋅-=,则ABC ∆为等腰三角形④若0AC AB ⋅>,则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是( ) A.①② B.①④ C.②③ D.②③④ 答案 C.5．（湖北省八校2011届高三第一次联考理）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若0120,C c ==，则（ ）.A 045B > .B 045A > .C b a > .D b a < 答案 C.7. （广东六校2011届高三12月联考文）在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则B sin =A.33 B. 33± C. 3 D. 36± 8．（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理） 在ABC ∆中，若CcB b A a cos cos cos ==，则ABC ∆是 （ B ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B.9. （山东省日照市2011届高三第一次调研考试文）在△ABC 中，若1a b ==，3c =，则C ∠= .答案9、23π； 10．（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若222b c a bc +=+且4AC AB ⋅=，则ABC ∆的面积等于 答案23.11．（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，1,120,2,2BD DC ADB AD =∠==若△ADC 的面积为33-，则BAC ∠=_______ 答案3π12．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）如图所示，如果∠ACB=090,在平面α内，PC 与CA ，CB 所成的角∠PCA=∠PCB=060,那么PC 与平面α所成的角为（第12题）答案45013．（广东省肇庆市2011届高三上学期期末考试理）在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边， 已知6,3,3π=∠==C b a ，则角A 等于__▲__.14．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=DC ，ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为，则BAC=___________。
答案15．（陕西省宝鸡市2011年高三教学质量检测一）选做题（请在下列 3道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A ．不等式|1||2|4x x ++-≤的解集为 。
B ．直线21,()1x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数过圆22252104x y ax ay a +-++-=的圆心，则圆心坐标为 。
C ．已知PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PA=2cm ，AC 是⊙O 的直径，PC 交⊙O 于点B ，AB=3cm ，则△ABC 的面积为 cm 2。
答案16．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）（本小题满分12分）△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量m =（2sinB ，2-cos2B ），)1),24(sin 2(2-+=Bn π,m ⊥n ． （1）求角B 的大小；（2）若3a =，b=1，求c 的值．【分析】根据向量关系式得到角B 的三角函数的方程，解这个方程即可求出角B ，根据余弦定理列出关于c 的方程，解这个方程即可。
【解析】（1）022cos )24(sin sin 4,02=-++⋅∴=⋅∴⊥B BB n m n m π……2分分或分7.656,05,21sin ,02sin 21sin 2sin 2,022cos )]2cos(1[sin 222 ππππ=∴<<=∴=--++∴=-++-∴B B B B B B B B B （2）6,3π=∴>=B b a 此时 ， ………………8分.1,,6632,32;2,2,6,39,323,0,23sin ,sin 3211,sin sin :12.12,023,cos 2::2222=∴=∴=--===∴====∴<<=∴=∴===∴=+-∴-+=c b c C A c C B A A A A A AaB b c c c c B ac c a b 边则角若边所以角因为若分或由正弦定理得方法二分或由余弦定理得方法一πππππππππππ 综上c=2或c=1． ……………………12分【考点】简单的三角恒等变换、解三角形。
【点评】本题第一问主要考查三角恒等变换、第二问考查解三角形。
在以三角形为背景的三角类解答题中，方程思想的应用是非常广泛的，实际上正弦定理和余弦定理本身就是一个方程，根据已知和求解目标之间，把问题归结到解方程或者方程组的方法是解决这类试题的一个基本思想方法。
17．(浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题理) 设函数2()cos(2)2sin 3f x x x π=--（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）△ABC ，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c，且1().1,2f B b c ===求a 的值．答案 （1）,,1)32sin(3)(ππ=∴-+=T x x f - ----------------------4分单调增区间为)(12,125Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ------------------------------------7分 （2）6,3232,21)(),,0(ππππ=∴=+∴=∈B B B f B -------------------------11分 由正弦定理得1,2323或，或==a C ππ---------------------------------------------14分 18．（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考文）（本题满分14分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知72c =，ABC ∆的面积为2，又tan tan tan 1)A B A B +=-． （I ）求角C 的大小；（II ）求a b +的值． 答案19．（山东省聊城市2011届高三年级12月月考理）（本小题满分12分）在△ABC中，288 2,cos,.39 B C C AB CA==⋅=-（1）求cos A；（2）求边BC的长。
答案20．（吉林省东北师大附中2011届高三上学期第三次模底考试理）（本题满分12分）ABC∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列．（Ⅰ）若C A B sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状；（Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式2132222C A A sincos -的取值范围．答案 解：（Ⅰ）∵C A B sin sin sin 2=，∴ ac b =2.∵C B A ,,依次成等差数列，∴B C A B -=+=π2,3π=B .由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，ac ac c a =-+22，∴c a =.∴ABC ∆为正三角形. （Ⅱ）212cos 2sin 32sin2-+A A C=21sin 232cos 1-+-A C =312223sin A cosA π⎛⎫-- ⎪⎝⎭=A A A sin 43cos 41sin 23-+ =A A cos 41sin 43+ =)6sin(21π+A ∵223A ππ<<,∴25366A πππ<+<， ∴13262sin A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭，1134264sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭. ∴代数式232cos 2sin 32sin 2++A A C 的取值范围是134⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，. 21．（湖北省涟源一中、双峰一中2011届高三第五次月考理）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C c b +=（1）求角A 的大小；（2）若a=1，求周长p 的取值范围． 答案22．（湖北省部分重点中学2011届高三第二次联考试卷）（本小题满分12分） 已知ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对三边分别为a ，b ，c ，且2sin().4104A A ππ+=<<（I ）求tan A 的值。
（II ）若ABC ∆的面积24,8,s b ==求a 的值。
答案 解：（Ⅰ）∵40π<<A ∴244πππ<+<A 由1027)4sin(=+A π得102)4cos(=+A π…2分 ∴)44sin(sin ππ-+=A A =4cos)4sin(ππA +-4sin)4cos(ππA +=53……4分 ∴54cos =A ……5分 ∴43tan =A ……6分 （Ⅱ）24sin 21=A bc 得10=c ……8分 ∴36cos 2222=-+=A bc c b a ∴6=a ……12分23. （湖北省八校2011届高三第一次联考理）（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，向量12(1sin ,), (cos 2, 2sin )7p A q A A =-=，且//p q . （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）若2,b =ABC ∆的面积为3，求a ． 答案 （Ⅰ）//p q 12cos 2(1sin )2sin 7A A A ∴=-⋅， 26(12sin )7sin (1sin )A A A ∴-=-，25sin 7sin 60A A +-=， 3sin . (sin 2)5A A ∴==-舍 6分（Ⅱ）由1sin 3,22ABC S bc A b ∆===，得5c =，又4cos 5A ==±，2222cos 425225cos 2920cos a b c bc A A A ∴=+-=+-⨯⨯=-，当4cos 5A =时，213, a a ==； 10分 当4cos 5A =-时，245, a a ==. 12分24. （黑龙江省佳木斯大学附属中学2011届高三上学期期末考试理） （本题满分12分）如图，在△ABC 中，已知3=AB ，6=AC ，7BC =，AD 是BAC ∠平分线. （1）求证：2DC BD =； （2）求AB DC ⋅的值.BACD （第24题图）答案 （1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD =∠∠①，在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC DCADC CAD =∠∠②， ………………………2分 又AD 平分BAC ∠，所以BAD CAD ∠=∠，sin sin BAD CAD ∠=∠， sin sin()sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠，由①②得36BD AB DC AC ==，所以2DC BD =.………………………………………………6分 （2）因为2DC BD =，所以32=.在△ABC 中，因为22222237611cos 223721AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， …………10分 所以22()||||cos()33AB DC AB BC AB BC B π⋅=⋅=⋅-2112237()3213=⨯⨯⨯-=-.………………………………………………………12分25．（黑龙江省哈九中2011届高三期末考试试题理）（10分）在ABC ∆中，已知内角32,3==BC A π，设内角x B =，周长为y ．（1）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值 答案 （1）由正弦定理知x AC x AC sin 4,60sin 32sin =∴=)32sin(4,60sin 32)32sin(x AB x AB -=∴=-ππ32)6sin(3432)32sin(4sin 4++=+-+=∴ππx x x y ，)320(π<<x（2）26,6566πππππ=+∴<+<x x即3π=x 时，36m ax =y26．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）（12分）在ABC ∆中,A 、B 、C 的对边分别为a ．b ．c ，且满足sin :sin :sin 2:5:6A B C =。