第二讲 二次函数在导数中的应用
高考数学专题讲座 第2讲 二次函数的综合应用问题
高考数学专题讲座 第二讲二次函数的综合应用问题一、考纲要求1．理解二次函数，一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法； 2．以二次函数为背景的不等式问题作为代数推理题在高考中频繁出现，二次函数和绝对值不等式相结合的题目也在高考中出现多次；3．二次函数是简单的非线性函数之一，有着丰富的内涵，成为高考的一个热点．二、基础过关1．若关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 恒成立，则a 的取值X 围是( B )．A ．53-<a 或1>a B ．a <-53≤1C ．53≤a ≤1或1-=a D ．以上均不对 2．函数54)(2+-=mx x x f 在区间2[-，)∞+上是增函数，则)1(f 的取值X 围是( A )．A ．)1(f ≥25B ．25)1(=fC ．)1(f ≤25D ．25)1(>f3．若32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在3(-，)1上是( B )．A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增4．已知a ，∈b N *，方程022=++b ax x 和方程022=++a bx x 都有实根，则b a +的最小值是( D )．A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数32)(2+-=x x x f 在区间0[，]a )0(>a 上的最大值为3，最小值为2，那么 实数a 的取值X 围是 1≤a ≤2 ．6．已知函数a b b ax x x f (1)(22+-++-=，∈b R )对任意实数x 都有)1()1(x f x f -=+成 立，若当1[-∈x ，]1时，0)(>x f 恒成立，则b 的取值X 围是 b<-1或b>2 ．三、典型例题例1 已知函数22)(2++=ax x x f ，5[-∈x ，]5．（1）当1-=a 时，求函数)(x f 的最大值与最小值；（2）某某数a 的取值X 围，使)(x f y =在区间5[-，]5上是单调函数． 解：（1）当a =-1时, f (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1, x ∈ [-5,5] ∴x =1时,f (x )的最小值为1,x =-5时,f (x )的最大值为37.（2）函数f (x )=(x +a )2+2-a 2图象的对称轴为x =-a ∵f (x )在区间[-5,5]上是单调函数 ∴-a ≤-5或-a ≥5 即a ≥5或a ≤-5 故a 的取值X 围为 a ≤-5或 a ≥5.例2 （1）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为π+44. （2）已知函数∈+-=x b ax x x f (|2|)(2R )，给出下列命题：①()f x 必是偶函数；② 当)2()0(f f =时，)(x f 的图象必关于直线1=x 对称； ③ 若b a -2≤0，则)(x f 在区面a [，)∞+上是增函数； ④)(x f 有最大值||2b a -． 其中正确命题的序号是③．例3 已知函数∈++-=x m x m x x f ()1()(2R )．（1）设A 、B 是ABC ∆的两个锐角，且A tan ，B tan 是方程04)(=+x f 的两个实根， 求证：m ≥5；（2）当m ≥3时，函数)(sin αf 的最大值是8，求m 的值． 解:(1) 方程f (x )+4=0 即x 2-(m +1)x +m +4=0依题意,得⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m 解之得 ⎪⎩⎪⎨⎧->->≥-≤4153m m m m 或∴m ≥5(2)f (sin α)=sin 2α-(m +1)sin α+m =(sin α2)21+-m +m 4)1(2+-m ∵m ≥3 ∴221≥+m ∴ 当sin α=-1时,f (sin α)取得最大值2m +2由题意得 2m +2=8 ∴m =3例4 已知函数x x x f (1)(2-=≥1)的图象为1C ，曲线2C 与1C 关于直线x y =对称． （1）求曲线2C 的方程)(x g y =；（2）设函数)(x g y =的定义域为M ，1x ，M x ∈2，且21x x ≠．求证：|||)()(|2121x x x g x g -<-；（3）设A 、B 为曲线2C 上任意两个不同点，证明直线AB 与直线x y =必相交． 解(1) ∵ C 1,C 2关于直线y =x 对称, ∴g (x )为f (x )的反函数. ∵y =x 2-1, 即 x 2=y +1, 又 x ≥1 ∴x =1+y∴ 曲线C 的方程为 g (x )=1+x (x ≥0)(2)设x 1,x 2∈M, 且x 1≠x 2, 则 x 1-x 2≠0 又 x 1≥0, x 2≥0∴|g (x 1)-g (x 2)|=|||2||11|||112121212121x x x x x x x x x x -<-≤+++-=+-+ (3)设A(x 1,y 1) 、B(x 2,y 2)为曲线C 2上任意两个不同的点, x 1,x 2∈M, 且 x 1≠x 2 由(2)知|k AB |1|||)()(|||21212121<--=--=x x x g x g x x y y∴直线AB 的斜率|k AB |≠1 又直线y =x 的斜率为1 ∴直线AB 与直线y =x 必相交.四、热身演练1．函数x x y (321--=≥)2的反函数是( B )．A ．∈+-=x x x y (2212R )B ．x x x y (2212+-=≤)0 C ．∈-+=x x x y (2212 R ) D ．x x x y (2212-+=≤)0 2．设函数()(2c bx ax x f ++=)0a <，满足)1()1(x f x f +=-，则)2(x f 与)3(x f 的大小关系是（ C ）．A ．)2()3(x x f f >B ．)2()3(x x f f <C ．)3(x f ≥)2(x fD ．)3(x f ≤)2(x f3．若a ，b ，c 成等差数列，则函数c bx ax x f ++=2)(的图象与x 轴的交点个数是（ D ）．A ．0B ．1C ．2D ．不确定4．已知二次函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f ，若在区间1(-，)1内至少存在一个 实数c ，使0)(>c f ，则实数p 的取值X 围是（ C ）．A ．21(-，)1 B ．3(-，)21- C ．3(-，0)23 D ．21(-，)235．一辆中型客车的营运总利润y (单位：万元)与营运年数∈x x (N )的变化关系如下表所示，则客车的运输年数为( B )时，该客车的年平均利润最大．A ．4B ．5C ．6D ．76．已知函数422)(2++-=a ax x x f 的定义域为R ，值域为1[，)∞+，则a 的取值X 围 为 [-1,3] ．7．如果函数)(x f 对于任意∈x R ，存在M 使不等式|)(|x f ≤||x M 恒成立(其中M 是与x 无关的正常数)，则称函数)(x f 为有界泛函，给出下列函数： ①1)(1=x f ；②22)(x x f =；③)cos (sin )(3x x x x f +=；④1)(24++=x x xx f ． 其中属于有界泛函的是③④(填上正确序号)．8．若方程02=++b ax x 有不小于2的实根，则22b a +的最小值为516. 9．已知不等式032<+-t x x 的解集为m x x <<1|{，∈x R }．（1）求t ，m 的值；（2）若函数4)(2++-=ax x x f 在区面-∞(，]1上递增，求关于x 的不等式0)23(log 2<-++-t x mx a 的解集．解：（1）依题意 ⎩⎨⎧==+t m m 31∴⎩⎨⎧==22t m（2）∵f (x )=-(x -44)222a a ++在]1,(-∞上递增∴12≥a即 2≥a 又 )32(log )23(log 22x x t x mx a a +-=-++-<0∴13202<+-<x x 解之得 210<<x 或1<x <23 故 不等式的解集为 {x |0<x <21或1<x <23}.10．定义在R 上的函数)(x f 满足:如果对任意1x ，∈2x R ，都有)2(21x x f +≤)]()([2121x f x f +， 则称函数)(x f 是R 上的凹函数．已知二次函数∈+=a x ax x f ()(2 R ）． （1）求证：当0>a 时，函数)(x f 是凹函数；（2）如果0[∈x ，]1时，|)(|x f ≤1，试某某数a 的取值X 围． 解：（1）对任意x 1,x 2∈R ,a >0,都有[f (x 1)+f (x 2)]-2f (221x x +)=a 21x +x 1+ax 22+x 2-2[a (2)221221x x x x +++] =ax 21+ax 22-21a (x 1+x 2+2x 1x 2) =21a (x 1-x 2)2≥0∴f ()]()([21)22121x f x f x x +≤+故函数f (x )是凹函数.（2）由|f (x )|≤1知: -1≤f (x )≤1 即 -1≤ax 2+x ≤1当 x =0时, a ∈R当x ∈(0,1)时, ⎩⎨⎧+-≤--≥1122x ax x ax 恒成立即 ⎪⎩⎪⎨⎧--=-≤++-=--≥41)211(1141)211(112222x x x a x x x a 恒成立 ∵x ∈(0,1) ∴11≥x当x 1=1 即x =1时, 41)211(2++-x 取最大值-2, 41)211(2--x 取最小值0 ∴ -2≤a ≤0, 而 a ≠0 ∴-2≤a <0 即 为所求. 11．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(．（1）若a c b >>且0)1(=f ，是否存在实数m ，使得当a m f -=)(成立时，)3(+m f 为正数？若存在，则证明你的结论；若不存在，则说明理由．（2）若+∞<<<∞-21x x ，)()(21x f x f ≠且方程)]()([21)(21x f x f x f +=有两个不相等的实数根，求证:必有一实数根存1x 与2x 之间．证：（1）由f (1)=a +b +c 及a >b >c 得a >0,c <0,ac0< ∵ 1是0)(=x f 的一个根，记另一根为α，则ac=α0<又,,c a b c b a --=>>∴a >-a -c >c ∴-2a <c 即 -2<ac<0假设存在实数m ,使f (m )=-a 成立则由a c ,1是f (x )=0的两根知: f (x )=a (x -ac)(x -1) 从而 f (m )=0)1)((<-=--a m a c m a ∴1<<m ac进而33+<+m ac∴m +3>1 又f (x )在[1,)∞+上单调递增 ∴f (m +3)>f (1)=0 故满足条件的实数m 存在.（2）令g (x )=f (x )-)]()([2121x f x f +, 则g (x )为二次函数∴g (x 1)=f (x 1)-)]()([2121x f x f +∴g (x 2)=f (x 2)-)]()([2121x f x f +∴g (x 1)·g (x 2)=-0)]()([41221<-x f x f又x 1<x 2∴g (x )=0必有一根在x 1,x 2之间 故f (x )=)]()([2121x f x f +必有一根在x 1,x 2之间12．已知函数)0(12)(22<+++=b x cbx x x f 的值域为1[，]3． （1）某某数b ，c 的值；（2）判断函数)(lg )(x f x F =在1[-，]1上的单调性；（3）若∈t R ，求证：57lg≤|)61||61(|+--t t F ≤513lg ．解：（1）由∆法得 b =-2 c =2（2） 由（1）f (x )=1221222222+-=++-x xx x x 用定义判断f (x )在[-1,1]上单调递减. ∴F(x )在[-1,1]上单调递减. （3）∵||t -61|-|t +61||≤|t -6161--t |=31∴31|61||61|31≤+--≤-t t∵F(x )在[-1,1]上为减函数∴)31(|)61||61(|)31(F t t F F ≤+--≤-即 513lg |)61||61(|57lg ≤+--≤t t F。
二次函数与求导法则
二次函数与求导法则二次函数是一种常见的数学函数形式，它的一般表达式为：f(x) =ax² + bx + c。
其中，a、b、c 是常数，a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
它在数学和实际问题中都有重要的应用。
而求导法则是计算函数导数的方法，对于二次函数的导数求解特别有用。
求导是微积分的基本操作之一，它表示函数在某一点的瞬时变化率。
对于二次函数 f(x) = ax² + bx + c，我们可以利用求导法则计算它的导数。
一、求导法则1. 常数法则：如果 f(x) = c，其中 c 是常数，则 f'(x) = 0。
2. 变量法则：如果 f(x) = x，那么 f'(x) = 1。
3. 乘法法则：如果 f(x) = u(x)v(x)，其中 u(x) 和 v(x) 都是可导函数，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
4. 除法法则：如果 f(x) = u(x)/v(x)，其中 u(x) 和 v(x) 都是可导函数，并且v(x) ≠ 0，则f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/[v(x)]²。
5. 幂函数法则：如果 f(x) = u(x)^n，其中 u(x) 是可导函数，n 是实数，则f'(x) = nu(x)^(n-1)u'(x)。
6. 加法法则：如果 f(x) = u(x) + v(x)，其中 u(x) 和 v(x) 都是可导函数，则f'(x) = u'(x) + v'(x)。
二、二次函数的导数计算二次函数的一般表达式为 f(x) = ax² + bx + c。
现在我们来计算它的导数。
首先，我们对函数 f(x) = ax² + bx + c 中的每一项分别求导。
根据乘法法则和常数法则，我们可以得到：f'(x) = (d/dx)(ax²) + (d/dx)(bx) + (d/dx)(c)= 2ax + b + 0= 2ax + b二次函数 f(x) = ax² + bx + c 的导数为 2ax + b。
二次函数的导数与最佳效果
二次函数的导数与最佳效果在数学中，二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数。
它是一种常见的函数类型，具有很多重要的应用。
本文将探讨二次函数的导数及其在实际问题中的最佳效果。
一、二次函数及其导数二次函数的一般形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
二次函数在坐标系中呈现出抛物线的形状，其开口方向由a的正负值决定。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
二次函数的导数表示了函数曲线在不同点的斜率变化情况。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其导数记为f'(x)，可通过求导公式计算得出。
具体来说，求导公式为f'(x) = 2ax + b。
二、二次函数导数的意义1. 斜率二次函数的导数f'(x)表示了在函数曲线上每个点的切线的斜率。
具体而言，对于给定的x值，f'(x)的值就是曲线在该点的切线的斜率。
这个斜率可以告诉我们在该点附近函数曲线的变化速率，从而帮助我们分析二次函数的性质和行为。
2. 最值通过求导，我们可以找到二次函数的最值点。
当导数f'(x)等于零时，对应的x值就是函数的极值点。
如果f'(x)由正变负，那么函数在该点取得极大值；如果f'(x)由负变正，那么函数在该点取得极小值。
三、二次函数的最佳效果在实际问题中，我们经常需要优化某些目标函数，使其达到最佳效果。
二次函数的导数可以帮助我们找到这样的最佳效果。
1. 最大值问题如果我们希望二次函数的取值尽可能大，即找到使函数达到最大值的点，那么我们只需找到函数的导数等于零的点。
根据二次函数导数的求导公式f'(x) = 2ax + b，我们可以解方程2ax + b = 0，求出对应的x 值。
然后将这个x值代入原函数f(x) = ax^2 + bx + c，就可以求得函数的最大值。
2. 最小值问题同样地，如果我们希望二次函数的取值尽可能小，即找到使函数达到最小值的点，也可以使用导数来辅助解决。
二次函数的导函数的意义
二次函数的导函数的意义摘要：1.二次函数导数的定义和意义2.二次函数导数在实际问题中的应用3.求解带二次函数导数的问题的方法4.总结：二次函数导数的实用性和重要性正文：在数学领域，二次函数是一类重要的函数形式，其在各个领域都有广泛的应用。
而二次函数的导数则是研究这类函数性质和解决实际问题的关键工具。
本文将探讨二次函数导数的意义，以及在实际问题中的应用和求解方法。
一、二次函数导数的定义和意义二次函数是指形如y=ax+bx+c（a≠0）的函数。
其导数是指该函数在某一特定点x处的切线斜率，也可以理解为函数在该点的变化速率。
二次函数的导数公式为y" = 2ax + b。
导数的概念引入了微积分中的极限观念，有助于我们研究函数的性质和变化趋势。
二、二次函数导数在实际问题中的应用1.速度与加速度问题：在物理学中，二次函数对应的是抛物线运动。
导数可以表示物体在某一时刻的速度，从而帮助我们分析物体的运动状态。
如在竖直上抛运动中，位移函数的导数表示速度，再求导可得加速度。
2.变化率问题：在经济学、生物学等领域，二次函数可以表示某种指标与时间的关系。
导数则表示该指标在某一时间的变化率，有助于我们了解发展趋势和预测未来变化。
3.优化问题：在工程、管理等领域，二次函数的导数可以用于求解最优化问题。
如求解抛物线型的最值问题，可以通过求导数等于0的点来实现。
三、求解带二次函数导数的问题的方法1.求导数：首先对二次函数进行求导，得到导函数。
2.确定边界条件：根据实际问题，确定边界条件，如初值或边界值。
3.建立方程：将边界条件代入导函数，得到一个或多个方程。
4.求解方程：利用数学方法（如分离变量、特征值法等）求解方程，得到函数的解。
5.分析解的性质：根据解的性质，分析函数的单调性、极值、最值等。
四、总结二次函数导数作为数学和实际问题中的重要工具，具有广泛的应用和实用价值。
掌握二次函数导数的求解方法和实际应用，有助于我们更好地解决各类问题。
二次函数的导数与导数的应用
二次函数的导数与导数的应用二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的导数及其应用，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 什么是二次函数的导数二次函数可用一般式表示为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。
导数是函数在某一点上的变化率，也表示函数曲线在该点的切线斜率。
对于二次函数而言，其导数可以通过求导公式直接计算得出。
2. 求二次函数的导数公式要求二次函数 f(x) = ax² + bx + c 的导数，可以使用一般的求导规则。
根据求导公式，可以得到二次函数的导数为 f'(x) = 2ax + b。
3. 导数的意义及性质二次函数的导数具有以下重要的意义和性质：- 导数表示函数的变化率，即函数在某一点的瞬时变化速度。
- 导数的符号表示了函数的增减性。
当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。
- 导数的绝对值代表了函数曲线的斜率大小。
4. 二次函数导数的图像分析通过分析二次函数的导数的图像，可以更直观地理解导数的性质。
以二次函数 f(x) = ax² + bx + c 为例，其导数图像可以绘制出以下几种情况：- 当导数 f'(x) > 0 时，函数 f(x) 递增，对应导数图像的斜率大于零的部分。
- 当导数 f'(x) < 0 时，函数 f(x) 递减，对应导数图像的斜率小于零的部分。
- 当导数 f'(x) = 0 时，函数 f(x) 达到极值点，对应导数图像的斜率为零的部分。
5. 导数在二次函数图像分析中的应用导数在分析二次函数的图像中有重要的应用，可以帮助我们判断函数的性质和特点。
以下是一些常见的应用场景：- 判断顶点坐标：由于二次函数的导数 f'(x) 的根即为函数曲线的拐点和极值点，因此可以通过求导并解方程，找到函数的顶点坐标。
2019版数学(理)高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数
2．4二次函数与幂函数[知识梳理］1．二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）．②顶点式:f(x）＝a(x－m）2＋n(a≠0）．③两根式:f(x)＝a（x－x1）(x－x2)(a≠0)．(2）二次函数的图象和性质2．幂函数(1）幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数,其中x是自变量，α为常数．（2）常见的5种幂函数的图象（3）常见的5种幂函数的性质[诊断自测］1．概念思辨（1）当α<0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．（)(2）关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是错误!（)（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c,x∈［a,b］的最值一定是4ac－b24a.(）（4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0）中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．（）答案(1)×(2)×(3）×（4）√2．教材衍化(1）(必修A1P44T9）函数y＝(x2－3x＋10)－1的递增区间是(）A．(－∞，－2) B．(5,＋∞）C.错误!D。
错误!答案C解析由于x2－3x＋10〉0恒成立，即函数的定义域为（－∞,＋∞)．设t＝x2－3x－10，则y＝t－1是(0，＋∞）上的减函数,根据复合函数单调性的性质，要求函数y＝(x2－3x＋10）－1的递增区间，即求t＝x2－3x＋10的单调递减区间，∵t＝x2－3x＋10的单调递减区间是错误!，∴所求函数的递增区间为错误!.故选C。
(2)（必修A1P78探究）若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图，则a，b,c，d的大小关系是（)A．d〉c>b〉a B．a〉b>c>dC．d>c>a〉b D．a〉b〉d>c答案B解析幂函数a＝2,b＝错误!，c＝－错误!，d＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合,在第一象限内,x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d。
二次函数的导数与极值问题
二次函数的导数与极值问题二次函数是一种常见的数学函数，在许多实际问题中都有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨二次函数的导数与极值问题，以帮助读者更好地理解和解决相关的数学题目。
1. 二次函数的导数二次函数的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，并且a ≠ 0。
为了求解二次函数的导数，我们需要使用导数的定义。
根据导数的定义，二次函数f(x)的导数f'(x)可以表示为f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h。
将二次函数的表达式代入，我们可以得到f'(x) =2ax + b。
2. 导数与二次函数的图像通过二次函数的导数，我们可以进一步了解二次函数的图像特征。
首先，导数f'(x)告诉我们切线的斜率，这可以帮助我们确定函数在不同点的增减性。
当a > 0时，二次函数的图像开口向上，导数f'(x)恒大于零，说明函数在整个定义域上是递增的；当a < 0时，二次函数的图像开口向下，导数f'(x)恒小于零，说明函数在整个定义域上是递减的。
其次，导数f'(x)等于零的点可以告诉我们二次函数的极值点。
由于二次函数是一个抛物线，它只有一个极值点。
当导数f'(x) = 0时，解方程2ax + b = 0，我们可以求得这个极值点的x坐标。
3. 极值问题的解决通过求解导数为零的方程，我们可以找到二次函数的极值点的x坐标。
为了判断这个极值点是一个极大值还是极小值，我们需要进一步检查导数f'(x)的符号。
如果导数f'(x)在极值点的左侧是负数，在右侧是正数，那么这个极值点是一个极小值；如果导数f'(x)在极值点的左侧是正数，在右侧是负数，那么这个极值点是一个极大值。
此外，还有一种情况，即当导数f'(x)恒大于零或者恒小于零时，二次函数没有极值，它在整个定义域上是递增或递减的。
二次函数的导数及其应用复习教案
二次函数的导数及其应用复习教案一、教学目标1.学习二次函数的导数及其意义；2.理解二次函数的导数在解决实际问题中的应用；3.掌握解决复合函数求导的方法。
二、教学内容1.二次函数的导数及其意义二次函数是指 y=ax^2+bx+c 类型的函数，其中 a、b、c 为常数且a≠0。
对于二次函数，其导数为 y'=2ax+b。
其中：①当 a>0（二次函数开口向上），当 x 取值较小时，y' 取值为负数，当 x 取值较大时，y' 取值为正数；当 x 取值为顶点处的横坐标时，y' 取值为 0，即导数的零点。
这说明当二次函数向上开口时，其导数在顶点处达到最小值；②当 a<0（二次函数开口向下），当 x 取值较小时，y' 取值为正数，当 x 取值较大时，y' 取值为负数；当 x 取值为顶点处的横坐标时，y' 取值为 0，即导数的零点。
这说明当二次函数向下开口时，其导数在顶点处达到最大值。
2.二次函数的导数在解决实际问题中的应用二次函数的导数在解决实际问题中，具有很强的应用价值。
例如：①判断二次函数的增减性二次函数的导数代表着函数增长的斜率，利用二次函数的导数可以判断函数在某一点上升或下降，从而判断函数的增减性。
②二次函数最大值或最小值当二次函数导数为 0 时，即 y'=0，此时便可以求出函数的最值点，从而得到函数的最大值或最小值。
③相关问题的求解例如，已知二次函数 y=2x^2+3x-5，求其从 (1,0) 到点 (2,0) 的切线长度。
求解二次函数的导数 y'=4x+3，然后求出过 (1,0) 和 (2,0) 的切线方程 y=7x-7，最后利用勾股定理求出切线长度为7√2。
3.解决复合函数求导的方法复合函数是指由两个或多个函数构成的一个函数，例如 f(g(x)) 就是一个复合函数。
在求复合函数的导数时，需要使用链式法则。
链式法则是指：若 u=g(x) 和 y=f(u)，则有(y)′=f′(u)·u′，其中 y' 表示复合函数的导数，f'(u) 表示第一个函数的导数，u' 表示第二个函数的导数。
二次函数与导数的关系
二次函数与导数的关系二次函数在数学中是一个非常重要的概念，它的图像通常呈现出一个开口朝上或者朝下的抛物线形状。
而导数则是描述函数变化率的工具，通过导数，我们可以更加深入地了解二次函数的性质和特点。
一、二次函数的定义与图像特点二次函数的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
由于二次函数的二次项存在，它的图像总是呈现出一个抛物线的形状。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
而b和c则影响抛物线的位置和平移。
二、二次函数的导数计算二次函数的导数可以通过求导公式来计算。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数f'(x) = 2ax + b。
导数的计算可以帮助我们了解函数在不同点的斜率和变化率。
三、导数与二次函数的关系1. 导数的符号：通过导数可以判断二次函数在不同区间的增减性。
当导数为正时，函数在该点附近递增；当导数为负时，函数在该点附近递减；当导数为零时，函数在该点附近取得极值。
2. 极值与拐点：由于导数可以反映函数的变化率，通过求导数的零点，我们可以找到二次函数的极值点和拐点。
当导数为零的点对应二次函数的顶点或者底点，即极值点；当导数发生变号的点对应二次函数的拐点。
3. 切线与法线：导数还可以帮助我们计算二次函数的切线和法线方程。
通过求导数得到的斜率，我们可以得到二次函数在某一点的切线斜率；而切线的方程则可以通过给定一点和切线斜率来确定。
同样地，法线的斜率可以通过切线斜率的相反数得到，从而确定法线的方程。
四、综合案例分析例如，考虑二次函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1。
根据导数公式，我们可以计算其导数为f'(x) = 4x + 3。
通过求导数的零点，我们可以得到导数为0的点为x = -3/4，这个点对应二次函数的极值点。
代入原函数，我们可以计算出极值点为(-3/4, -11/8)。
二次函数的导数解析与归纳
二次函数的导数解析与归纳二次函数是高中数学中的一个重要概念，通过对二次函数的研究，我们能够更好地理解函数的性质以及函数图像的变化规律。
在二次函数中，导数是一个非常重要的概念，它可以帮助我们了解函数的斜率和变化趋势。
本文将对二次函数的导数进行解析和归纳，帮助读者更好地理解导数的概念和应用。
一、二次函数的定义和基本形式二次函数是指具有以下形式的函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
在二次函数中，x^2项的系数a决定了函数的开口方向和形状，b项决定了函数图像在x轴上的位置，c项为常数项。
二、二次函数的导数二次函数的导数可以通过求导的方法得到。
在求导过程中，我们需要使用以下导数的基本性质：1. 导数的线性性质：(cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数；(f(x) + g(x))' =f'(x) + g'(x)。
2. 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为自然数。
3. 常数函数的导数为0：(c)' = 0，其中c为常数。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以按照导数的定义对其求导：f'(x) = (ax^2 + bx + c)'。
根据导数的性质，我们可以将f'(x)拆分为各个项的导数之和：f'(x) = (ax^2)' + (bx)' + (c)'。
首先，根据幂函数的导数性质，我们可以求出(ax^2)'的导数：(ax^2)' = a(2x) = 2ax。
接下来，对于(bx)'和(c)'这两个常数项，根据导数的性质，它们的导数都为0：(bx)' = 0，(c)' = 0。
综上所述，二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为：f'(x) = 2ax + 0 + 0 = 2ax。
二次函数的导数与应用
二次函数的导数与应用在数学中，二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。
二次函数在数学和科学领域中有着广泛的应用。
本文将探讨二次函数的导数及其在实际问题中的应用。
一、二次函数的导数为了求解二次函数的导数，我们可以使用导数的定义或应用导数的规则。
而对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其导数f'(x)即为二次函数的斜率。
使用导数的规则，我们可以快速求得二次函数的导数。
根据规则，对于任意的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们有：f'(x) = 2ax + b其中，2a表示二次项的系数，b表示线性项的系数。
二、二次函数导数的性质在研究二次函数导数的性质时，我们可以从函数的凸性和极值入手。
1. 凸性：当a > 0时，二次函数f(x) = ax^2 + bx + c开口向上，在其导数f'(x) = 2ax + b大于0的区间上是递增的；当a < 0时，二次函数f(x)开口向下，在其导数f'(x)小于0的区间上递减。
2. 极值：当二次函数f(x)存在极值时，其极值点必然是函数的顶点。
通过求导我们可以找到函数的极值点。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，极值点的横坐标可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)其中，-b / (2a)即为二次函数的对称轴。
三、二次函数导数的应用二次函数的导数在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用情景。
1. 最优化问题：在某些最优化问题中，我们需要找到函数的最大值或最小值。
通过求得二次函数的导数，我们可以判断函数的凹凸性，从而找到函数的极值点。
这在经济学、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
2. 运动学问题：在物理学的运动学中，二次函数常常用于描述物体的运动轨迹。
通过求导，我们可以得到运动物体的速度和加速度函数，从而可以分析物体的运动特性。
二次函数的复合函数与函数导数应用
二次函数的复合函数与函数导数应用在高中数学学习的过程中，我们接触到了许多不同类型的函数，其中二次函数是一个重要的概念。
与此同时，函数的导数在解析几何和微积分等领域中有广泛的应用。
本文将探讨二次函数的复合函数以及函数导数在实际问题中的应用。
一、二次函数的复合函数二次函数是指函数表达式中含有平方项的函数，通常具有以下形式：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c是实数，a≠0。
当我们将二次函数与其他函数进行复合时，可以得到二次函数的复合函数。
复合函数是指一个函数作为另一个函数的输入，类似于数学中的嵌套。
假设我们有一个函数g(x)，可以将其与二次函数f(x)进行复合，得到复合函数h(x) = f(g(x))。
在实际问题中，我们可以将一个函数的输出作为另一个函数的输入，以此构建复杂的问题模型。
二、函数导数的应用在微积分中，导数是描述函数变化率的工具。
函数导数可以用于求解函数在某一点的切线斜率、函数的极值、函数的单调性等问题。
接下来我们将介绍函数导数在实际问题中的应用。
1. 切线斜率函数的导数可以用于求解函数在某一点的切线斜率，从而帮助我们理解函数的变化趋势。
例如，在物理学中，我们可以通过求解位移函数的导数来计算某一时刻的速度，进而推导出物体的运动轨迹。
2. 极值点函数的导数可以帮助我们找到函数的极值点，即函数取得最大值或最小值的点。
例如，在经济学中，我们可以通过求解成本函数的导数来找到最小成本产量，从而优化生产过程。
3. 单调性函数的导数可以判断函数的单调性，即函数在某一区间内是递增还是递减的。
例如，在市场分析中，我们可以通过求解市场需求函数的导数来判断市场的需求趋势，从而制定适当的市场策略。
三、二次函数的复合函数与函数导数应用的例子为了更好地理解二次函数的复合函数与函数导数应用，我们举例说明。
假设我们有一个二次函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，并将其与一个线性函数g(x) = 5x + 2进行复合。
二次函数的导数和积分
二次函数的导数和积分二次函数是数学中的基本函数之一，在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
本文将讨论二次函数的导数和积分，以及它们的应用。
1. 二次函数的定义和性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。
它的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
二次函数的性质包括：顶点、轴对称、开口方向及平移等。
2. 二次函数的导数导数是函数变化率的度量，它可以告诉我们函数在各点的斜率和曲线的凹凸性。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数f'(x)等于2ax + b。
2.1 导数的意义导数可以告诉我们函数在某一点的变化速率。
在二次函数中，导数的值决定了图像的斜率。
当导数为正时，函数在该点上升；当导数为负时，函数在该点下降。
2.2 导数的计算为了计算二次函数的导数，我们可以将f'(x) = 2ax + b的公式应用于二次函数的表达式中。
例如，对于f(x) = 2x^2 + 3x - 1，它的导数f'(x) = 4x + 3。
3. 二次函数的积分积分是导数的逆运算，它可以求得函数下面积的大小。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的不定积分F(x)等于(1/3)ax^3 + (1/2)bx^2 +cx + C，其中C为常数。
3.1 积分的意义积分可以用来计算曲线下面的面积，也可以用于求解速度、位移、体积等问题。
在二次函数中，积分的结果告诉我们曲线下面的面积以及函数的原始表达式。
3.2 积分的计算为了计算二次函数的积分，我们可以将(1/3)ax^3 + (1/2)bx^2 + cx +C中的常数C按需求确定。
例如，对于f(x) = 2x^2 + 3x - 1的不定积分F(x) = (2/3)x^3 + (3/2)x^2 - x + C。
4. 二次函数导数和积分的应用二次函数的导数和积分在各个领域中有广泛的应用。
二次函数与三次函数的导数与应用
二次函数与三次函数的导数与应用函数是数学中一个重要的概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
在函数的研究中，导数是极其重要的概念之一。
对于二次函数和三次函数，它们的导数具有一些特点和应用。
本文将从理论和实际应用两个方面探讨二次函数和三次函数的导数。
一、二次函数的导数1.1 二次函数的定义与性质二次函数是指函数表达式中的最高次项为2的函数，一般可以用y=ax²+bx+c来表示。
其中，a、b和c为实数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，它的开口方向由二次系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
1.2 二次函数的导数计算对于二次函数y=ax²+bx+c，它的导数可以通过求解函数的导数公式得到。
根据导数的定义，可知二次函数的导数为dy/dx=2ax+b。
其中，dy/dx表示函数y对变量x的导数。
1.3 二次函数导数的应用二次函数导数的应用非常广泛，以下列举两个具体的例子。
首先，二次函数导数可以用来求解函数的极值。
当导数为0时，函数达到极值点。
通过求解dy/dx=2ax+b=0，可以求得函数的极值点。
其次，二次函数的导数还可以用来分析函数的变化趋势。
由于二次函数的导数是一条直线，通过观察导数的正负可以得出函数的增减性。
当导数大于0时，函数递增；当导数小于0时，函数递减。
二、三次函数的导数2.1 三次函数的定义与性质三次函数是指函数表达式中的最高次项为3的函数，一般可以用y=ax³+bx²+cx+d来表示。
其中，a、b、c和d为实数，且a≠0。
三次函数的图像通常是一个形状复杂的曲线，它的变化趋势由各个系数的正负决定。
2.2 三次函数的导数计算对于三次函数y=ax³+bx²+cx+d，它的导数可以通过求解函数的导数公式得到。
根据导数的定义，可知三次函数的导数为dy/dx=3ax²+2bx+c。
二次函数的导数与最值分析
二次函数的导数与最值分析二次函数是高中数学中的重要概念之一，它的导数与最值分析是我们需要深入研究和理解的内容。
本文将对二次函数的导数和最值进行详细分析，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
1. 二次函数概述二次函数是一种具有二次项、一次项和常数项的多项式函数。
它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
接下来，我们将通过导数来分析二次函数的特性。
2. 二次函数的导数二次函数的导数是描述其变化率和切线斜率的重要工具。
考虑函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
通过对f(x)求导，我们可以得到导数f'(x) = 2ax + b。
首先，我们研究导数对函数图像的影响。
若a > 0，即二次函数开口向上，则导数f'(x)始终大于等于0。
换言之，函数f(x)在定义域上单调递增。
反之，若a < 0且导数f'(x)恒小于等于0，函数f(x)则在定义域上单调递减。
其次，我们通过求导数的零点来确定函数的极值点。
将f'(x) = 2ax + b = 0，解得x = -b / (2a)。
根据此结果，可以确定函数的顶点/谷底坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。
进一步地，根据a的符号，可以判断函数的开口方向：当a > 0时，开口向上，该点为最小值点；当a < 0时，开口向下，该点为最大值点。
3. 二次函数的最值分析通过前文的分析可知，在二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中，它的最值点为顶点或谷底。
利用导数的分析方法，我们可以准确地找到该点的横坐标，并通过代入函数得到纵坐标。
进一步地，我们需要确定函数的开口方向，从而确定最值的性质。
若a > 0，开口向上，则顶点为最小值点。
可以通过计算得到最小值f(-b / (2a)) = f(-b^2 / (4a) + c)。
二次函数的求导与导数应用
二次函数的求导与导数应用二次函数是指函数的形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b 和c为常数且a ≠ 0。
在数学中，二次函数是一种重要的函数类型，它在经济学、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数的求导方法以及导数在实际问题中的应用。
一、二次函数的求导方法二次函数的导数求解较为简单，我们可以根据导数的定义以及基本求导法则来进行求解。
假设二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b 和c为常数。
首先，根据求导法则可知，常数函数的导数为0，即d(c)/dx = 0。
因此，常数项c对函数f(x)的导数没有影响。
其次，根据乘法法则可知，对任意常数k，导数满足d(kf(x))/dx = k * d(f(x))/dx。
因此，在求解二次函数的导数时，我们可以将常数项提取出来。
即f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 2ax + b，其中2a为二次项的系数。
综上所述，二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 2ax + b，其中a为二次项的系数。
二、导数在实际问题中的应用导数在实际问题中具有广泛的应用，下面将介绍导数在二次函数相关问题中的具体应用。
1. 极值点的判定对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，可以通过求导并令导数为0的方法来判定函数的极值点。
具体地，当f'(x) = 2ax + b = 0时，可以求解得到x = -b / (2a)。
将该值代入函数f(x)中可以得到相应的y值，即为函数的极值点。
2. 函数的单调性二次函数的单调性可以通过导数的正负来判断。
当导数f'(x) > 0时，表示函数递增；当导数f'(x) < 0时，表示函数递减。
利用导数的正负可以确定二次函数在不同区间上的单调性。
3. 曲线的凹凸性曲线的凹凸性可以通过导数的变号来判断。
二次函数的导数与曲率计算
二次函数的导数与曲率计算二次函数是高中数学中的一个重要概念，它的导数与曲率计算是掌握二次函数性质的关键。
本文将介绍如何计算二次函数的导数和曲率，并给出相关的计算示例。
1. 二次函数的表达式与图像二次函数的一般表达式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向取决于a的符号。
2. 二次函数的导数计算导数反映了函数在某一点的变化率，对于二次函数而言，其导数可以通过求导来计算。
对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其导数f'(x) = 2ax + b。
例如，对于二次函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，其导数f'(x) = 4x + 3。
3. 二次函数的曲率计算曲率反映了函数图像在某一点的弯曲程度，对于二次函数而言，其曲率可以通过计算二阶导数来得到。
对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其二阶导数f''(x) = 2a。
例如，对于二次函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，其二阶导数f''(x) = 2。
4. 二次函数导数与曲率的计算示例例如，考虑二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3。
首先，计算导数：f'(x) = 2x - 4。
然后，计算二阶导数：f''(x) = 2。
接下来，我们可以根据导数和二阶导数的值，来分析二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3的性质：(1) 当导数f'(x) = 0时，函数的斜率为零，即函数图像的切线水平。
解方程2x - 4 = 0，可以得到x = 2。
所以在x = 2处，函数图像的切线水平。
(2) 当二阶导数f''(x) = 0时，函数的曲率为零，即函数图像的凹凸性发生变化。
由于f''(x) = 2始终不等于零，说明该二次函数图像一直是凹的。
二次函数的导数与最佳利益
二次函数的导数与最佳利益二次函数是一种常见的数学函数，其形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
在实际应用中，我们常常需要求解二次函数的导数，以便于分析函数的性质并找出最佳利益的相关信息。
首先，我们来探讨二次函数的导数的计算方法。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其导数f'(x)可以通过求导公式得到。
根据导数定义，由于c是常数，所以导数f'(x) = 2ax + b，其中2a为二次项的导数，b 为一次项的导数。
一、二次函数的导数的意义和性质1. 导数的意义：导数代表了函数在某一点的变化速率。
对于二次函数而言，导数f'(x)表示了函数图像在不同点处的斜率大小。
2. 导数的性质：a. 导数与图像斜率的关系：函数图像在某一点的斜率等于该点的导数值。
例如，当x = 0时，导数f'(0)表示函数曲线在x = 0处的切线斜率。
b. 导数的正负性：导数大于0表示函数图像是增长的，导数小于0表示函数图像是递减的，导数等于0表示函数图像具有极值点。
c. 导数的二次函数性质：二次函数的导数是一次函数。
对于一元二次函数f(x)，其导数f'(x)为一次函数，即斜率为常数。
二、最佳利益与二次函数的导数求解二次函数的导数有助于我们找到函数曲线的极值点，从而推导出最佳利益的相关信息。
以最大利润为例，我们来说明最佳利益与二次函数的导数之间的关系。
假设某公司的利润模型可以表示为二次函数P(x) = -0.5x^2 + 100x，其中x表示销售量，P(x)表示利润。
利润最大化对应着最佳利益的实现。
通过求解函数P(x)的导数P'(x) = -x + 100，我们可以找到函数的极值点。
由于P'(x)是一次函数，令P'(x) = 0可得x = 100。
因此，当销售量为100时，利润取得最大值。
同时，根据导数的正负性，可以得知当销售量小于100时，利润呈增长趋势；当销售量大于100时，利润呈下降趋势。
二次函数的导数与变化趋势
二次函数的导数与变化趋势二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学建模、物理学、经济学等领域都有广泛的应用。
导数是对函数变化率的描述，可以帮助我们研究函数的变化趋势。
本文将探讨二次函数的导数与其变化趋势。
一、二次函数的定义与性质二次函数是指具有形如y = ax^2 + bx + c（其中a、b、c为实数且a 不为零）的函数。
其图像为抛物线，开口方向与a的正负有关。
二次函数具有如下性质：1. 首先，二次函数的导数就是斜率。
导数表示了函数在某一点的变化率，对于二次函数来说，导数即为该点切线的斜率。
由于二次函数的图像是一条抛物线，所以它的导数在不同点有不同的斜率。
2. 其次，二次函数的导数可以用来确定函数的增减性。
二次函数的导数可以通过求导的方式来计算，通过求导可以得到函数的导函数。
导函数的正负可以告诉我们函数的增减性。
当导函数大于零时，函数呈现增长趋势；当导函数小于零时，函数呈现减少趋势。
二、二次函数导数的计算对于形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，其导数可以通过求导的方式计算。
具体计算步骤如下：1. 第一步，对函数进行求导。
对于二次函数来说，导数的计算需要运用求导求斜率的方法。
首先对函数中的每一项进行求导，然后将各项的导数相加即可得到导数。
2. 第二步，化简导数表达式。
在计算过程中，可以根据需要将导数表达式进行合并化简。
将导函数以简洁的形式表达出来，有利于我们进行后续的分析和计算。
三、二次函数导数与变化趋势的关系1. 向上开口的二次函数：对于二次函数y = ax^2 + bx + c来说，当a>0时，抛物线开口朝上。
此时，导数大于零表示函数在该点上升，导数小于零表示函数在该点下降。
2. 向下开口的二次函数：对于二次函数y = ax^2 + bx + c来说，当a<0时，抛物线开口朝下。
此时，导数大于零表示函数在该点下降，导数小于零表示函数在该点上升。
3. 顶点与极值点：对于任意二次函数，其图像都存在一个顶点，该点是抛物线的最高点（开口向下）或最低点（开口向上）。
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第二讲 二次函数在导数中的应用1．(2011·辽宁)已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是______．解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x在(－∞，ln 2)上递增,在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞,2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．变式：已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为______．解析f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立，m ≥－(1x )2＋2x ，令g (x )＝－(1x )2＋2x ，则当1x ＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1.2．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)解析 由函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a 的取值范围为a <1，∴g (x )＝f (x )x＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－ax2.易知在x ∈(1，＋∞)上g ′(x )>0，所以g (x )为增函数． 3．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是___________．解析f ′(x )＝3ax 2＋1x (x >0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，即3ax 2＋1x ＝0有解，a ＝－13x 3，∵x >0，∴－13x 3<0，∴a <0.4．函数f (x )＝2m cos 2x2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m 的值为________．解析 显然m ≠0，所以f (x )＝2m cos 2x2＋1＝m (2cos 2x2－1)＋m ＋1＝m cos x ＋m ＋1，因此f ′(x )＝－m sin x ，其最大值为1，故有m ＝±1. 一、求参数范围例1 设函数f (x )＝ln x －px ＋1.(1)求函数f (x )的极值点；(2)当p >0时，若对任意的x >0，恒有f (x )≤0，求p 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝ln x －px ＋1，∴f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －p ＝1－pxx，当p ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上无极值点；当p >0时，令f ′(x )＝0，∴x ＝1p∈(0，＋∞)，f从上表可以看出，当p >0时，f (x )有唯一的极大值点x ＝p.(2)当p >0时，f (x )在x ＝1p 处取得极大值f (1p )＝ln 1p，此极大值也是最大值．要使f (x )≤0恒成立，只需f (1p )＝ln 1p≤0，∴p ≥1，∴p 的取值范围是[1，＋∞)．变式训练1 (2010·全国)设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解 (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x－1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x－1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． 二、利用导数证明不等式例2 (2010·安徽)设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R.(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.(1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x－2，x ∈R.单调递减单调递增极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )． 三、利用导数研究函数单调性例3已知函数f (x )＝x －2x＋a (2－ln x )，a >0，讨论f (x )的单调性．解 (1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x －a x ＝x 2－ax ＋2x .设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0即a ＝22时，仅对x ＝2时，有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.归纳拓展 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．变式训练2 已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )的图象过原点，得b ＝0，又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)， f (x )在原点处的切线斜率是－3，则－a (a ＋2)＝－3，所以a ＝－3，或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－5，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.四、利用导数研究函数的极值或最值例3 已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)， 且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m 、n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值解 (1)由函数f (x )的图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ，则g (x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .而g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0，所以m ＝－3.代入①得n ＝0.于是f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 由f ′(x )>0得x >2或x <0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 由f ′(x )<0，得0<x <2，故f (x )的单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)得f ′(x )＝3x (x －2)， 令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.当a ＝1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值；当1<a <3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得，当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值；当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值； 当a ＝1或a ≥3时，f (x )无极值．例4(2011·北京)已知函数f (x )＝(x －k )e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．解x(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k－1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为－k ，当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为－e k －1， 当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为(1－k )e. 例5．已知函数f (x )＝ln x －a x.(1)当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性；(2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值；(3)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)由题知f (x )定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2.∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)由(1)知：f ′(x )＝x ＋ax 2. ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为减函数，∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32⇒a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，当1<x <－a 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1，－a )上为减函数； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－a ，e)上为增函数，∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32⇒a ＝－ e.综上可知，a ＝－ e.(3)∵f (x )<x 2，∴ln x －a x <x 2.又x >0，∴a >x ln x －x 3.令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2，h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x2x，∵h (x )在[1，＋∞)上是减函数，∴h (x )≤h (1)＝－2，即g ′(x )<0，∴g (x )在[1，＋∞)上也是减函数，∴g (x )≤g (1)＝－1. 令a ≥－1得a >g (x )，∴当f (x )<x 2在(1，＋∞)恒成立时，a ≥－1.例6.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点,M N ，交曲线于点P ，设(,())P t f t（1）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ； （2）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t 的最小值. （1）2y ax '=-，切线的斜率为2at -，∴切线l 的方程为2(1)2()y at at x t --=--令0,y =得22221121222at at at at x t at at at--++=+== 21(,0)2at M at +∴,令0t =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+MON ∴∆的面积222211(1)()(1)224at at S t at at at ++=⋅+=(2)2422222321(1)(31)()44a t at at at S t at at +-+-'==0,0a t >>,由()0S t '=,得2310,at t -==得当2310,at t ->>即时,()0S t '>当2310,0at t -<<<即时,()0S t '<,()t S t ∴=当有最小值 已知在12t =处,()S t 取得最小值,14,23a =∴= 故当41,32a t ==时,2min 41(1)1234()()4123432S t S +⋅===⋅⋅变式训练 (2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解 (1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr ＝803r －43r ＝43(20r－r )． 由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43(20r2－r )×3＋4πr 2c ，因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，0＜r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π(c －2)r 2(r 3－20c －2),0<r ≤2.由于c >3，所以c －2>0. 当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2.令320c －2＝m ，则m >0，所以y ′＝8π(c －2)r2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ①当0<m <2，即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0； 当r ∈(0，m )时，y ′<0； 当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减， 所以r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝320c －2.。