求解网络最大流问题的标号算法
例题最大流的标号法
例题最大流的标号法精品文档例题最大流的标号法例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量 (要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流)，其中，弧旁的数字是(c「f Q。
.⑴首先,给V s标上(0, )(2)检查V s，给V s为起点的未饱和弧的未标号的终点V2标号(V s, l(V2)),其中l(V2)min [l(V s),C s2 f s2】min[ ,15 7] 8其它点不符合标号条件。
⑶检查V2，给V2为终点的非零流弧的未标号的起点V3标号(V2, |(V3)),其中l(V3)min[g), f32】min[ 8,4] 4其它点不符合标号条件。
(4)检查v3，给v3为起点的未饱和弧的未标号的终点v4、v6标号(V4, l (V4)) > ( v6,l(V6))其中，l(V4)min[?3)234 ￡34] min[4,5 4] 1l(V6)min [l(V3),C36 f36] min [4,5 1] 4其它点不符合标号条件。
⑸检查v6，给v6为起点的未饱和弧的未标号的终点v t标号(v t, l (v t))其中，l(V t) mi n[l(V6), C6t f&] mi n[4,10 5] 4其它点不符合标号条件。
由于V t已标号，反向搜索可得增广链{(V s,V2),(V3,V2),(V3,V6),(V6,Vj}，在该增广链的前相弧(v s, v2), (v3, v6), (v6,v t)上增加l (v t) 4，在后向弧(v3, v2)上减去精品文档l(V t) 4，其它弧上的流量不变，则可得一流量v(f ) 20的新的可行流如下图重新开始标号：⑹首先,给V s标上(0, )(7)检查V s，给V s为起点的未饱和弧的未标号的终点V2标号(V s, l(V2)),其中l(V2) min [l(V s),C s2 f s2】 min[ ,15 11] 4其它点不符合标号条件。
运筹学05-图与网络分析3-最大流
(2,6) v1
v2
(0,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(0,4)
vn
(2,5)
(0,3)
(0,3)
(0,10)
v3
(0,4)
v4
(0,5)
(4,5)
(2,6) v1
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(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
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vn
(2,5)
(0,3)
再检查vi，直到vs为止
min1,2
1 min cij fij 对于增广链上的前向弧
2 min fij 对于增广链上的后向弧
(2)以为调整量进行调整
fij
'
ffiijj
(vi , vj ) (vi , vj )
fij (vi , v j )
去掉所有点的标号，对新的可行流f ' {fij '}进行标号
v2
求解网络最大流问题的标号算法
（ ）如果终点 得到标号 ， ３ 则标号结束。
Ｓｅ２寻找增广链 。 ｔ ｐ
如果 同时存在几个始点或者几个 终点 ， 通过增加 虚 （） ２ 网络是流有方 向的容量网络 ； （ ） 网络 中每 条弧 都有 一个权 ， 表示允 许 网 ３在 它
拟 节点使得 网络 只有一个起点和一个终点 ；
一
种新的求解网络最大 流问题 的方法 ， 每个顶 点进 对
行标号 ， 顶点有几个 入弧 ， 即有几 个标号 ， 每次在选 择
・
１４・ １
计算机技 术与发展
第 ２ 卷 １
路径时先选取只有一个标 号 的路 径 ， 当所 有单标 号 的 路径走完时 ， 再按照弧容量较 大 ， 且最短 的路径选择增
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｐ ｏ ｉ ｅ ｅ ｗａ －ｌｂ ｌ ｇ ａ ｇ ｒ ｈ ｔ ｏ ｖ ｅｗｏ ｋ ｆ ｗ． ｅｙ ｖ Ｒｅ ｓｌｂ ｌｄ ａ ｄ ｖ ｒｅ ａ ｅ ｓ ｍｅ ｎ ｍｂ ｒｉ ｒ ｓ ｒ ｃ ：ｔ ｒ ｖｄ ｓ ａ ｎ ｗ ｙ ａ ｅ ｉ ｏ ｔ ｍ ｏ ｓ ｌ ｅ ｎ ｔ ｒ ｏ Ｅｖ ｒ ｅ ｘ ｉ ａ ｅ ｎ ｅ ｔｘ ｈ ｔ ａ ｕ ｅ ａ ｃ ｎ ｌ ｉ ｌ ｅ ｓ ｈ ｎ ｓ ｇａｅ． ｏ ｓ ｌ ａ ｒ ｄ ｓ Ｃｈ ｏ ｅｔ ｅ ｗａ ｔ ａ ａ ｒ ｄ ． ｔｒｅ ｅ ｗａ ｈ ａ ｎ ｙ ａｇ ａ ｅ。 ｈ ｓ ｔ ｅｗａ ｔ ａ ａ ｉ ｇ ｒ ａｃ ｃ ｐ ｃ ｔ ｎ ｈ ｒｅ ｉ ｙ ｈ ｔｈ ｓ ａ ｇ ａ ｅ Ａｆｅ ｖ ｒ ｙ ｙｔ ａ ｈ ｓ ｏ ｌ ｒ ｄ ｃ ｏ ｅ ｈ ｔ ｙ ｈ ｔｈ ｓｂ ｇ ｅ ｒ ａ ａ ｉｙ ａ ｄ ｓ ｏ ｔｒ
Ｏ 引 言
在现实生活 中 ， 在着 大量 的“ ” 问题 ， 存 流 的 计算 机技术和 网络技术 的迅速发展使得 网络最大流 问题在
最大流问题标号法例题详解
最大流问题标号法例题详解最大流问题标号法例题详解本文以一道标号法求解最大流问题的例题胶加以详细讲解，帮助读者了解其原理及运算步骤。
题目如下：给定一个网络结构如下：s (源点) 0----1----2----3----4---- t (汇点)a 25 10 12 15 20其中 s 是源点，t是汇点，aij（i,j=0,1,2,3,4)是每条弧的容量，求整个网络的最大流量。
解：1、设置标号：在最大流问题中，为了求解最大流，最常用的方法是标号法。
首先，要设置各结点标号，因为本题中有5个结点，s源点的标号为0，t汇点标号为4，其他结点即1，2，3依次标号，标号的设定不仅便于求解，而且可以在初始化的时候使用。
2、初始化标号：初始化标号即将各结点初始化为两个空集合{}，即各结点的访问和未访问标号都是空集合，即无访问的结点标号为{}，访问过的结点标号也为{}。
3、依据标号法，从源点(s=0)计算，得出每条弧的剩余容量Cij，具体推导如下：源点0 1 2 3 41 0 25 10 12 152 0 0 10 7 103 0 0 0 8 104 0 0 0 0 20其中：Cij=aij-fij (i,j=0,1,2,3,4)其中，aij 为每条弧的容量，fij 为每条弧的流量，在初始情况下，fij=0，故Cij=aij。
4、找增广路径：从源点s开始，用深度优先搜索法查找从s到t的增广路径，具体步骤如下：设置一个数组P[i]用以记录路径，P[i]表示从s到i节点所经过的上一个结点，先从源点s开始，P[0]=-1，然后查找s出发可以到达的结点，若Cij>0，则有路可达，将P[j]=i（j为s出发可达的结点），接着查找j出发可以到达的结点（该结点未被访问过）若Cjk>0，则有路可达，把P[k]=j，以此类推，直到找到P[t]=-1，即从s到t 的一条增广路径找到，这条增广路径的路径上的容量称为Cmin，它是该增广路径上各结点之间的容量最小值。
求网络最大流及最小费用最大流问题的ford-fulkerson标号算法
最优化方法上机实验3求网络最大流及最小费用最大流问题的Ford-Fulkerson标号算法上机时间：2014.01.07实验日期： 2014年1月7日••••••••••••••••••【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。
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顶 3 收藏 2•【唯美句子】一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。
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顶7 收藏7•【唯美句子】清风飘然，秋水缓淌。
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顶0 收藏 2•【唯美句子】流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌，清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。
河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。
顶 3 收藏 4•【唯美句子】喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。
在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽梦。
顶0 收藏 2•【唯美句子】繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。
求网络最大流及最小费用最大流问题的 Ford-Fulkerson标号算法
(2,7 )
v5
b=[0 10 6 3 0 0; 0 0 4 0 0 3; 0 0 0 0 12 4; 0 0 5 0 2 0; 0 0 0 0 0 5; 0 0 0 0 0 0]; c=[0 12 7 8 0 0; 0 0 8 0 0 5; 0 0 0 0 10 7; 0 0 9 0 7 0; 0 0 0 0 0 8; 0 0 0 0 0 0]; [f wf zwf]=BGf(c,b)
c= 10 从两种方法得到的最小生成树不同，但权和都为 10.
实 验 体 会
在最优化上机实验中，将数学语言转化成了计算机语言，通过学习 Ford-Fulkerson 算法， 我掌握了更加高效的解决最大流和最小费用最大流问题。 通过学习编程代码，我学习了最大流的算法，同一个连通图的最大流是唯一的。 通过学习，提高了编程水平。
最大流问题的几种经典解法综述
最⼤流问题的⼏种经典解法综述⼀、什么是最⼤流问题假设现在有⼀个地下⽔管道⽹络，有m根管道，n个管道交叉点，现在⾃来⽔⼚位于其中⼀个点，向⽹络中输⽔，隔壁⽼王在另外⼀个点接⽔，已知由于管道修建的年代不同，有的管道能承受的⽔流量较⼤，有的较⼩，现在求在⾃来⽔⼚输⼊的⽔不限的情况下，隔壁⽼王能接到的⽔的最⼤值？为解决该问题，可以将输⽔⽹络抽象成⼀个联通的有向图，每根管道是⼀条边，交叉点为⼀个结点，从u流向v的管道能承受的最⼤流量称为容量，设为cap[u][v]，⽽该管道实际流过的流量设为flow[u][v]，⾃来⽔⼚称为源点s，隔壁⽼王家称为汇点t，则该问题求的是最终流⼊汇点的总流量flow的最⼤值。
⼆、思路分析关于最⼤流问题的解法⼤致分为两类：增⼴路算法和预流推进算法。
增⼴路算法的特点是代码量⼩，适⽤范围⼴，因此⼴受欢迎；⽽预流推进算法代码量⽐较⼤，经常达到200+⾏，但运⾏效率略⾼，如果腹⿊的出题⼈要卡掉⼤多数⼈的code，那么预流推进则成为唯⼀的选择。
( ⊙ o ⊙ )咳咳。
先来看下增⼴路算法：为了便于理解，先引⼊⼀个引理：最⼤流最⼩割定理。
在⼀个连通图中，如果删掉若⼲条边，使图不联通，则称这些边为此图的⼀个割集。
在这些割集中流量和最⼩的⼀个称为最⼩割。
最⼤流最⼩割定理：⼀个图的最⼤流等于最⼩割。
⼤开脑洞⼀下，发现此结论显⽽易见，故略去证明（其实严格的证明反⽽不太好写，但是很容易看出结论是对的，是吧）。
这便是增⼴路算法的理论基础。
在图上从s到t引⼀条路径，给路径输⼊流flow，如果此flow使得该路径上某条边容量饱和，则称此路径为⼀条增⼴路。
增⼴路算法的基本思路是在图中不断找增⼴路并累加在flow中，直到找不到增⼴路为⽌，此时的flow即是最⼤流。
可以看出，此算法其实就是在构造最⼩割。
增⼴路算法⽽预流推进算法的思路⽐较奇葩（没找到⽐较好的图，只能⾃⾏脑补⼀下了。
= =#）：先将s相连的边流⾄饱和，这种边饱和的结点称为活动点，将这些活动点加⼊队列，每次从中取出⼀个点u,如果存在⼀个相邻点v是⾮活动点，则顺着边u->v 推流，直到u变为⾮活动点。
求解最大流问题的算法和模型
求解最大流问题的算法和模型最大流问题是图论中的一个基本问题，涉及到网络流的计算和优化。
在实际应用中，最大流问题的求解涉及到诸多算法和模型，如增广路径算法、Ford-Fulkerson算法、Dinic算法、最小割定理等。
本文将从这些方面进行论述。
1. 增广路径算法增广路径算法是求解最大流问题的经典算法，其基本思想是不断地寻找增广路径，通过增加路径上的流量来增加整个网络的流量。
具体来说，首先通过深度优先搜索或广度优先搜索找到一条从源点到汇点的增广路径，然后确定路径上的最小流量d，将当前流量增加d，将反向边的流量减少d，同时计算当前网络的流量。
2. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种经典的增广路径算法，其基本理念与增广路径算法相同，但采用不同的策略来确定增广路径。
具体来说，Ford-Fulkerson算法采用贪心策略，在每次迭代中选择路径上的最小容量，从而确定增加的流量。
此外，Ford-Fulkerson算法还引入了残量图的概念，用于计算增广路径的容量。
3. Dinic算法Dinic算法是一种高效的增广路径算法，其主要优点是采用了分层图的策略来确定增广路径，使得每次迭代的搜索范围大为缩小。
具体来说，Dinic算法首先利用BFS算法确定每个节点的分层，然后在分层图上通过DFS算法查找增广路径，在路径上增加流量，更新分层图，重复此过程直至求解最大流。
4. 最小割定理最小割定理是求解最大流问题的重要定理，其核心思想是将网络分成两个不相交部分，并将其最小的割称为最小割。
最小割定理指出，在任意网络中，最大流等于最小割。
因此，求解最大流可以转化为求最小割问题，即在网络中寻找一组最小割，使得所有的割中容量最小的一组割。
总之，求解最大流问题是图论中的一个重要问题，其求解涉及到诸多算法和模型，如增广路径算法、Ford-Fulkerson算法、Dinic 算法、最小割定理等。
在实际应用中，不同情况下可能需要采用不同的算法和模型来求解，需要灵活应用。
网络流——求网络最大流
在Vi的全部相邻顶点都已标号后，Vi成为标 号而已检查过的顶点。重复上述步骤，一旦 Vt被标上号，表明得到一条从Vs到Vt的可改 进路P，转入调整过程。 若所有标号都已检查过致使标号过程无法 继续时算法结束。这时的可行流即最大流。
2．调整过程 采用“倒向追踪”的方法，从Vt开始，利用 标号点的第一个标号逐条弧地找出可改进路P， 并以Vt 的第二个标号L(Vt)作为改进量a，改进P 路上的流量。 重新进入标号过程。
网络流第一讲求网络最大流一基本概念在实际生活中有许多流量问题例如在交通运输网络中的人流车流货物流供水网络中的水流金融系统中的现金流通讯系统中的信息流等等
网络流
第一讲 求网络最大流
一、基本概念
• 在实际生活中有许多流量问题，例如在交通运输 网络中的人流、车流、货物流，供水网络中的水 流，金融系统中的现金流，通讯系统中的信息流， 等等。50年代以福特(Ford)、富克逊(Fulkerson) 为代表建立的“网络流理论”，是网络应用的重 要组成部分。在最近的奥林匹克信息学竞赛中， 利用网络流算法高效地解决问题已不是什么稀罕 的事了。本节着重介绍最大流算法，并通过实际 例子，讨论如何在问题的原型上建立—个网络流 模型，然后用最大流算法高效地解决问题。
若给一个可行流F＝(Fij) 饱和弧：网络中Fij =Cij的弧 饱和弧 非饱和弧：网络中Fij ＜ Cij的弧 非饱和弧 非零流弧：网络中 Fij＞0 的弧 非零流弧 零流弧：网络中 Fij =0的弧 零流弧
4.可增广路径
• 若P是网络中联结源点Vs和汇点Vt的一条路，我们定 义路的方向是从Vs到Vt，则路上的弧被分成两类： • 一类是弧的方向与路的方向一致，叫做前向弧。前向 弧的全体记为P+。另一类弧与路的方向相反，叫做后 向弧。后向弧的全体记为P-。 • 如图，在路P＝{Vl,V3,V2,V4,V6}中 • P+＝{(Vl,V3)，(V2,V4)，(V4,V6)} V2 4 V4 7 • P -＝{(V3,V2)} 8
运筹学课程设计之最大网速问题的数学模型
最大网速问题的数学模型摘要本题给出了各节点之间的网络流图，需求解它们之间的最大流，即最大网速，为了能有效地解决此问题，我们首先利用求解最大流的标号法对网络图中的可增广链进行逐一分析，并对该链上的流量进行调整，直到该图中没有可增广链后，求得节点1到节点6的最大网速为6兆，然后再通过MATLAB 编程实现对标号法求解的结果进行验证。
最后，又通过提高各节点之间的网速来达到提高从节点1到节点6网速的目的，得出了各链之间增加的具体流量。
即s v 到1v 的容量应增加到263x +，3v 到t v 的容量应增加到22x+，2v 到4v 与4v 到t v 的容量都应增加到72x+。
当然若2023x <<，即03x <<，则s v 到1v 的容量不变。
同理，若032x<<，即06x <<，则2v 到4v 与4v 到t v 的容量也不变。
关键词：网络最大流；可增广链；网络流图；MATLAB ；THE MAXIMUM SPEED ISSUSE MATHEMATICAL MODELABSTRACTThe title gives the network flow graph between nodes, the maximum flow demand solution between them, that is the maximum speed, in order to effectively address this problem, we first use labeling method for solving the maximum flow of the network diagram can be augmented by one chain analysis, and adjust the flow of the chain until after this figure does not augmented chain, and seek the maximum speed node 1 to node 6 is 6 trillion, and then realized through MATLAB programming the results were validated method to solve the label.Finally, and by increasing the speed to achieve between the nodes from node 1 to increase the speed of the object 6, Drawn between the increase in the specific flow chain.In other words, to achieve the purpose of improving x trillion, then s v to 1v the capacity should be increased to 6+2x/3, 3v to t v the capacity should be increased to 2+x/2,2v to4v and 4v to t v the capacity should be increased to7+x/2.Of course, if 0<2x/3<2, that is 0<x<3, s v to1v the capacity to un changed. Similarly, if 0<x/2<3, that is 0<x<6, 2v to4v the capacity is the same and4v to t v.Keywords: network maximum flow; augmenting chain; network flow diagram; MATLAB;目录一问题的提出 (1)二模型假设 (1)三符号说明 (2)四问题的分析 (2)五模型的建立与求解 (2)5.1 模型的建立 (2)5.1.1 可行流 (3)5.1.2 割集 (3)5.1.3 最大流-最小割定理 (4)5.1.4 可增广链推论 (4)5.1.5 寻求最大流的方法 (4)5.1.6 可行流调整算法 (4)5.1.7 最大流的标号算法 (4)5.2 模型的求解 (5)六模型的优化 (13)6.1 网络最大流的算法拓展 (13)6.2 问题的优化求解 (14)模型评价 (16)参考文献 (17)附录 (18)一、问题的提出下图为一网络，节点1到节点2的宽带带宽为6兆，节点1到节点3的宽带带宽为2兆，节点2到节点4的宽带带宽为3兆，…节点4到节点6的宽带带宽为2兆，求节点1到节点6的最大网速。
最大流问题的标号
• • • • • • • • • • • • • • • • • •
4、输出最大流的流量 Procedure answer; Var I,tot:integer; x:link; Begin tot:=0; for i:=1 to n do begin x:=d[i]; while x<>nil do begin if x^.f>0 then 输出弧(i,x^.k)及其流量x^.f； if (i=s) and (x^.f>0) then tot:=tot+x^.f; x:=x^.next; end; end; 输出最大流量tot； End;
2
(3,3)
(4,3)
4 (5,3)
s
(5,1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1,1)
(3,0) (1,1) (2,1) 1 (2,2) 3 t
弧旁的数字是（cij,fij）
二、标号法的算法流程
• 1、数据结构：采用邻接表D存储。 • Const maxn=xxx; • Type link=^dtype; • dtype=record • k:integer; {顶点序号} • f,c:integer; {流量，容量} • next,pre:link; {后向弧指针，前向弧 指针} • end; • Var d:array[1..maxn] of link;
• （2）若在弧（vj,vi）上，fji>0,则给vj标号（-vi,L(vj)）, L(vj)=min{L(vi),fji}。这时顶点vj成为标号而未检查的顶点。 • 在vi的全部相邻顶点都已标号后，vi成为标号而已检查过 的顶点。重复上述步骤，一旦vt被标上号，表明得到一条 从vs到vt的可改进路P，转入调整过程；若所有标号都已 检查过致使标号过程无法继续时，则算法结束。这时的可 行流即最大流。
解决最大流问题的Ford-Fulkerson标号算法
一个实例进行分析。某广告公司近期有 4 项待建工程，公司
可调配人员共 120 人，对于任一项目在任一月内的投入至多
80期完成。
各工程工期及所需劳动力如表 1 列出。
表 1 各工程工期及所需劳动力
项目 公交车站广告牌 中心广场宣传栏 地铁滚动屏幕
商场大屏
1.2 Ford-Fulkerson 算法概述
Ford-Fulkerson 算法基于增广链，建立网络图，明确段 弧的最大可通过量，给出初始可行流。首先寻找增广链，发 点标号为∞，选择一端已标号，一端未标号的弧沿某条链的 方向，逐步监测，直至终点为止。当一端标号一端未标号的
弧为前向弧，且其当前流量小于容量时，则将另一端标号为 容量减去流量的值；若为后向弧，且流量大于零，则另一端 标号为流量值。逐步推进，若标号过程中能最终标至收点， 则存在增广链，可反向找出该增广链；若沿任一路径均不能 标号至收点，则已不存在增广链，网络图流量已达到最大饱 和程度。其次调整各部分流量，当收点可被标号时，说明流 量未达到最大值，增广链上各段弧的流量值未达到饱和状态， 以增广链上的最小标号端点为参照，扩大前向弧流量，降低 后向弧流量，其他保持不变，改变值与端点最小值一致。改 变流量后，可得到第一次的残留网络图，至此一次迭代的过 程完成。以当前残留网络为起始，进行下一轮计算。网络图 中无增广链，最大流已经得到，即为当前的可行流。计算最 大流量可转化为计算最小割量。最后一次迭代结束后，将网 络图中已标号点与未标号点以一条虚线分割为两部分，其中 箭尾，箭头分属两个部分的弧的集合为最小割集，可以发现 最小割集中每条弧的流量值与容量值相等，它们的和为最小 割量，也即最大流量。所以，网络中最大流量实质上取决于 两端位于两个部分的弧的容量。在优化系统试图获得更大流 量时，首先应考虑扩大最小割集弧的容量。
最大流 标号法
10
28
10 8
广
6
沈
京
18
发点vs =成都，收点vt =北京。前面已订购机票情况表中的数字即是 各边上的容量（允许通过的最大旅客量），当各边上的实际客流量为
零时略去不写，以零流作为初始可行流。
利用标号法（经5次迭代）可以得到从成都发送旅 客到北京的最大流量如图所示
0
西
6
郑
重
10 0 6
0
0
2
10 10
标号过程: (1)给vs标号(-,+∞)，vs成为已标号未检查的点，其 余都是未标号点。
(2)取一个已标号未检查的点vi，对一切未标号点vj： 若有非饱和弧(vi,vj)，则vj标号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝ min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非 零弧(vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]， vj成为已标号未检查的点。vi成为已标号已检查的点。
[-,+∞]
vs
x[v1 s,1] [xv2s,1] [xv3s,1] [xv4s,1]
x[v5 s,1]
[x1,1y1] [x1,1y]2 [x1,1]y3
y4
y5
[y1,1]vs
1
[v-,s+∞]
x1
1
x[2vs,1]
[xv3 s,1] x4 [vs,1] x5 [vs,1]
[x2,1y]1 1
(3,0) vt (2,1)
v1 (2,2)
v3
(vs,4)
(-v2,1)
(3,3) v2 (4,3)
(-,+∞)
最大流标号法
8
12 6 10
00
30 上8
10
京 18
广
0
沈
W ( f* ) =10+6+12+30+12+10+5 = 85
多个发点多个收点的情形
对于多发点多收点的容量网络的最大流问题可 以通过添加两个新点vs与vt扩充为新的单发点 与单收点的容量网络的方式解决。
+∞ x1
vs
x2
使fij＝0的弧称为零流弧，使fij>0的弧称为非零
流弧。
v2 3,1
vs
1,0
5,2
4,1 1,0
v4 5,2
3,1 2,1vt
若μ是联结发点vs 和收点vt的一条链，
我们规定链的方向是
从vs到vt，则链上的
v1
2,2 v3
弧被分成两类：前向
弧、后向弧。
设f是一个可行流，μ是从vs到vt的一条链，若
号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非零 弧(vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]，vj成为已标号未检查的 点。vi成为已标号已检查的点。 • 重复步骤(2)，直到vt成为标号点或所有标号点都检查过。若vt成为标号点，表 明得到一条vs到vt的增广链，转入调整过程；若所有标号点都检查过，表明这 时的可行流就是最大流，算法结束。
1 x3
1
[xv4s,1] 1
x5
[vs,1]
y1
1
y2
y3 [x3,1y]4 1 [x3,1y]5
[x2,1y]1 [x1,1y]2 1 [x1,1y]3 [x5,1y]4 1
第四节---最大流问题
• 最大流问题是一类应用极为广泛旳问题，例如在交通运送网 络中有人流、车流、货品流，供水网络中有水流，金融系统 中有现金流，通讯系统中有信息流，等等。50年代福特 （Ford）、富克逊（Fulkerson）建立旳“网络流理论”， 是网络应用旳主要构成部分。
一、最大流有关概念
• 假点如，u我1,u们2 ,把u3,图u45-4为1中年转做站输，油边管上道旳网数，表us达为该起管点道，旳ut 最为大终
属于 S, S ，满足：① G V , E E不连通；②E为E
旳真子集，而G V , E E 仍连通，则称 E为G旳割
集，记 E S, S 。
• 割集 S, S 中全部始点在S，终点在 S 旳边旳容量 之和，称为 S, S 旳割集容量，记为 C S, S 。如图 5-41中，边集 vs ,v1 ,v1,v3 ,v2,v3 ,v3,vt ,v4,vt 和边集 vs ,v1 ,vs ,v3 ,vs ,v4 都是G旳割集，它们
输油能力，问应该怎样安排各管道输油量，才干使从 us
到 ut 旳总输油量最大？
• 管道网络中每边旳最大经过能力即容量是有限旳，实际 流量也不一定等于容量，上述问题就是要讨论怎样充分 利用装置旳能力，以取得最佳效果（流量最大），此类 问题一般称为最大流问题。
•（定非称汇义负为）2发数，0点称其设（c他有i源j为点向）边为连，容中通一量间图种，点G出仅，次有这V为一么, E0种旳旳,Gr网点入旳络次每vG为t条称称0边为为旳上容收点有量点vs
44，调整后旳可行流见图5-45。
• 重新开始标号过程，寻找可增广链，当标 到 v3 点为 vs ,1后来，与 vs , v3 点邻接旳 v1, v2, v6 点都不满足标号条件，所以标号无法再继续， 而 点并vt 为得到标号，如图5-45。
网络最大流问题
t(v4 ,1)
7(6)
v2 (s,1)
9(9)
k
10 (9)
v4 (v3 ,1)
该网络的最小割为
(V,V)(3,t),(2,4),最小割的5容 9量 14为 .
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13
§6.5 中国邮递员问题
一个邮递员从邮局出发分送邮件，要走完他负 责的所有街道，最后再返回邮局。应如何选择路线， 才能使所走的路线最短，这就是中国邮递员问题。 1962年，管梅谷先生提出中国邮递员问题。
v5
21
例子的初始可行解
v2
5
1 2
v3 4
5 1
v1
3 22
v6
6 v4 3 2
2
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v5
22
例子的修正解
v2
1
1 2
v3 4
5 1
v1
3 22
v6
6 v4 3 2
2
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v5
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结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
一条可增值v 链（。 4，3） v
（3，3） 2
4 （5，3）
vs
（1，1）（1，1）（3，0）
vt
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（5，1）
（2，1）
3
v （2，2） v
（3） 截集与截量
截集（割V 集 分） 为： 二将 非V 空 1与 V互 1，补 v使 s集 V1,vt V1。
称弧 （ v集 i,vj） viV1,vjV1为 D的一个截集 V1,， V1）记 。为
图，最大流量v=5，同时得最小截
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（ V ,V ） （ v,v）v ， ,v） 。 （
典型算法与ACM题目解析(01)—寻找最大流的标号法
典型算法与ACM题目解析(01)—寻找最大流的标号法上一篇:高精度实现＋－×/,计算catalan数和大组合数下一篇:典型算法与ACM题目解析(02)—有向图的强连通分量作者:dzf 阅读次数:66 时间:2006-11-27 21:25:20 算法园地这种算法又叫Ford-Fulkerson算法，算法的核心思想是使用标号的方法不断寻找一个图上的可增广路径并且进行调整，直到找不到可增广路径为止，此时得到的可行流即是该网络的最大流。
算法导论上对这种算法的伪码表示如下FORD-FULKERSON(G, s, t)1 for each edge (u, v) E[G]2 do f[u, v] ← 03 f[v, u] ← 04 while there exists a path p from s to t in the residual netwo rk Gf5 do cf(p) ← min {cf(u, v) : (u, v) is in p}6 for each edge (u, v) in p7 do f[u, v] ← f[u, v] + cf(p)8 f[v, u] ← -f[u, v]Google Code Jam 2006提供的第一道练习题所用的算法就是以上所说的算法题目的大意是，给一个无向图和图上任意两点之间是否有通路，一个人从0点到1点总共最多有多少条不同的道路可选，要求一个点(0,1除外)最多只能有一条道路覆盖，要求最多有多少条满足这个条件的从0点到1点的道路。
由于题目给出的数据量太小，总点数只有12，估计搜索或枚举之类的方法应该可以通过，但是这道题最好的方法还是上面所说的求最大流的FF算法，如何将这个图转化成我们求最大流的图呢？我们常用的方法是拆点法。
将0,1之外的其它点全部都拆成两个，Xa和Xb,设到点某点Y有一条到X的路径，就设Yb->Xa的流量为1，同时设置Xa->Xb的流量为1，那么从X点流进的流量可能大于1，流出的流量也可能大于1，但是流经X点的流量最大为1，这也就保证了只有一条路经过X。
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问题的分析
• 基本概念
• 基本定理：设f是容量网络D中可行流，则f是D的最大流当且仅当D中不存在f增广链。
新算法思想及步骤
• 算法思想 在每个网络中，一个顶点可能有不止一个入弧，在Ford—Fulkerson算法中，每 个顶点只有一个标号，文中对Ford—Fulkerson算法进行改进，顶点有几条入弧， 即有几个标号，对每个顶点标号为 。在选取路径时，先选取只有一个顶点 的标号进行增广，当所有单标号的路径走完时，再按照弧容量较大，且最短的路 径选择增广链。
小组问题
• 编号（第10页） • 单标号增广链（第12页）
启示
新算法思想及步骤
• 算法步骤 Step1标号
Hale Waihona Puke Step2寻找增广链新算法思想及步骤
• Step3修改标号
数学模型
• 有一家石油公司，该公司有一个运输管道网络，利用此管道 网络可以把石油从开采地运送到一些销售地。
举例
• 解: • (1) 如图2，对图1中每个顶点标号
举例
举例
结束语
• 文中Ford-Fulkerson标号算法的基础上，寻找到一个新的标号算法，此方法可 以避免因选择增广链的不同而造成结果不同，不会进行重复计算，又不易漏掉 增广链，通过标号，可以判断哪条路径不能构成增广链，从而可避免选择增广 链时的重复性。
求解网络最大流问题的标号算法
第三组：罗芸莎 谢辰
李燕
马亚红
吕玲
主要内容
文献内容 • 引言 • 问题的分析 • 新算法思想及步骤 • 数学模型 • 举例 • 结束语 小组问题 启示
引言
• 最大流主要有两类算法: • 一类是在剩余网络的基础上寻找增广链进行增广的算法，如Ford-Fulkerson标 号算法以及由Dinic(1970),Edmonds-Karp(1972)提出的最短增广链算法； • 另一类是基于Karzanov(1974)提出的分层网络阻塞流算法，以及在Karzanov的 基础上由Goldbery和Tarjan(1986)改进的推进—重标号算法等。 • 尽管这些算法有很广泛的应用，但是有其缺点。 • 文中通过对Ford-Fulkerson算法的改进，提出了一种新的求解网络最大流问题 的方法，对每个顶点进行标号，顶点有几个入弧，即有几个标号，每次在选择 路径时先选取只有一个标号的路径，当所有单标号的路径走完时，再按照弧容 量较大，且最短的路径选择增广链。