极限四则运算法则
极限的运算
极限的运算一 极限的四则运算法则定理：若()A x f =lim ，()B x g =lim ，则有 （１）()()[]()()x g x f B A x g x f lim lim lim ±=±=± （２）()()[]()()x g x f AB x g x f lim lim lim ⋅==⋅ （３）()()()()x g x f B A x g x f lim lim lim==，（0≠B ） 注意：法则(1)和法则(2)可以推广到有限个函数的情况。
另外，法则(2)还有三个推论。
推论：（１）()()x f k x kf lim lim =， (k 为常数)（２）()[]()[]n x f nx f lim lim =，（n 为正整数） （３）()[]()[]nnx f x f 11lim lim =，（n 为正整数）例１()235lim 22+-→x x x -=→225lim x x +→x x 3lim 22lim 2→x＝-→22lim 5x x +→x x 2lim 3２＝-→22)lim (5x x +⨯23２＝26252+-⨯＝16观察这个例子可以发现函数2352+-x x 在2→x 时的极限正好等于它在2=x 这一点的函数值，因此，我们可以得到这样一条规律：若()x f 是多项式，则()()00lim x f x f x x =→。
例２3512222lim +--+→x x x x x ＝()()35122222lim lim +--+→→x x x x x x ＝3252122222+⨯--+⨯＝39-＝3- 例３222123lim x x x x -+-→＝()()2222123lim lim x x xx x -+-→→＝０从以上三个例子可以看出极限四则运算法则的运用是比较简单的，但是如果我们拿到的极限不满足极限四则运算法则的条件，就不能用极限的四则运算法则来求极限了。
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
1-5极限运算法则
x + ax + b 例5. 已知 lim 2 = 2 , 求 a,b x →1 x + x − 2
2
解: Q lim ( x 2 + x − 2) = 0
x →1
∴ lim( x + ax + b) = 1 + a + b = 0 x →1
2
x2 + ax − 1 − a 原式 = lim x→1 ( x + 2)( x − 1)
定理7. 定理 设
且 x 满足 则有
时,
φ(x) ≠ a, 又
x→x0
lim f [φ(x) ] =
说明: 1.若定理中 limφ(x) =∞, 则类似可得 说明 若定理中
x→x0
lim f [φ(x) ] = lim f (u) = A
u→∞
x→x0
2.此定理是用变量替换求极限的理论基础， 此定理是用变量替换求极限的理论基础， 此定理是用变量替换求极限的理论基础 是不能省去的。 其中条件 φ( x) ≠ a 是不能省去的。
0
0 型 , 约去公因子 0 4) x →∞ 时 , 分子分母同除最高次幂
5)利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 6)利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限 (2) 复合函数极限求法 设中间变量
x +1+ a ( x − 1)( x + 1 + a) = lim = lim x →1 x →1 ( x + 2)( x − 1) x+2
2+a = 2 ∴ a = 4 , b = −5 = 3
2.4 极限的运算法则
10
极限的运算法则
练习
x5 1 lim 7 x2 x 1 x3 x3 2 lim lim x3 x 2 9 x 3 x 3 x 3
高 等 数 直接代入法 学 经 1 济 6 消零因子法 类
8 x 3 8 x 3
x x
(2) lim[ f ( x ) g( x )] A B ;
f ( x) A (3) lim , 其中B 0. x g( x ) B
高 等 数 学 经 济 类
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2
极限的运算法则
推论1
如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则 lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
3 xlim 1
8 x 3 lim x 1 x 1
8 x 3
x 1
x 1
11
lim
x 1 8 x 3
x 1
1 6
上一页 下一页 主页
极限的运算法则
高 3x x 1 等 例6 求 lim 2 . ( 型) x 2 x 4 x 3 数 学 解 x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .经 济 2 先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.类
则 lim( x 2 ax b ) 1 a b 0.
x 1
x ＋ax b ( x 1 a )( x 1) 于是 lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
2
Байду номын сангаас经 济 类
x 1 a 2 a lim 2. x 1 x3 4 故a 6, b 7.
_极限的性质与四则运算法则
二、四则运算法则
根据极限的定义, 只能验证某个常数 A是否为某个函数 ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的计 算问题, 下面介绍极限的运算法则; 并利用这些法则和一些 已知结果来求函数极限。 定理 设 lim f ( x ) A , lim g( x ) B, 则
备忘 a0b0 0时，
an x n an 1 x n 1 a0 lim x b x m b x m 1 b0 m m 1
0 an bm
nm nm nm
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例
注
(2) n 3 n 求极限 lim 。 n 1 n 1 n ( 2) 3
当x→-∞时结果为-(a+b)，故x→∞ 时极限不存在
x 2 2x 例7 求 lim . x 2 x2
解
x 2 2x x 2 2x 原式 lim x 2 x 2 2x
x 2
lim
x 2 2x
x 2
x 2
1 x
1 x
x 0
。
提 示
答案 不存在。
取t满足xt=1，则 x→0-时t→-∞； x→0+时t→+∞。
7、其他
必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧。
例
答案 练习 答案
1 1 1 求极限 lim 1 2 2 3 n(n 1) 。 n
推论3 如果 lim f i ( x)存在(i 1,2,, n), 则 lim[ f1 ( x) f 2 ( x) f n ( x)]
lim f1 ( x) lim f 2 ( x) lim f n ( x)
极限四则运算法则
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极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
1.5 极限的运算法则
o
x
例11
当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时求 , a0 x m a1 x m 1 am lim 。 n n 1 x b x b x bn 0 1
x m a0 a1 x 1 am x m ) 解 原 式 l i m( n 1 n x x b0 b1 x bn x
单侧极限为 解 x 0是函数的分段点，两个
x 0
lim f ( x ) lim (1 x ) 1,
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
2 x 0
y 1 x
y x2 1
y
左右极限存在且相等,
1
故 lim f ( x ) 1.
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理2.1/2.2 直接得出结论 .
第五节 极限的运算法则
一、极限的四则运算法则 二 、极限的复合运算法则 三、数列极限与函数极限的关系
第一章
一、 极限的四则运算法则
定理 1 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有 证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
例2. 设有分式函数
其中
都是
多项式 , 若
证:
试证:
x x0 x x0
x x0
lim R( x)
2.3极限的四则运算
( )
4 3 9 2 3 x 0 原式 lim x x x 2 1 5 2 x x
例6： 求
解：
( )
一般有如下结果： a0 x m a1 x m 1 am lim n n 1 x b x b x bn 0 1
( 例4 )
(3) 型 (分式通分）
3) x 时 对 型 分子分母同除x的最高次幂
作业 P29：双数
0
第二章
§2-3 极限的四则运算
极限的四则运算法则
定理 1 、若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
1、
2、 3、 定理中的1、2、可以推广到有限个函数的情况
推论1 lim[ Cf ( x )] C lim f ( x ) （c为常数） ：
推论2 ： f ( x )] [ lim f ( x ) ] （n为整数） lim[
x 1
2 . 3
因式分解
例3：求
解 原式
0 ( ) 0
lim Hale Waihona Puke x 5 3) 6x 4
有理化
练习
例4：求
解 原式
( )
lim
4 3 1 9 x12 x 5 2 1 x
1 x2
x
分子、分母同除 的 最高次幂
x
例5：求
解: 分子分母同除以 x , 则
1 2 n 和） 例8 : lim( 2 2 2 ) (无穷多个无穷小的代数 n n n n
内容小结
求函数极限的方法 （1）极限四则运算法则 （注意使用条件） （2） 分式函数极限求法
1) x x0 ( 分母不为 0 ) 时, 用代入法 2) x x0 时, 对 0 型 , 因式分解、有理化
极限运算法则
证明
Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
∴ f ( x ) = A + α,
由无穷小运算法则,得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立 .
第 二 章
Calculus 分
第四节 极限运算法则
一、极限的四则运算法则 二、复合函数的极限运算法则
China Institute of Industrial Relations
第 二 章
Calculus 分
一、极限的四则运算法则
定理
在同一过程中，设 lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B , 则 (1) lim[ f ( x ) ± g( x )] = A ± B; ( 2) lim[ f ( x ) ⋅ g ( x )] = A ⋅ B; f ( x) A = , 其中B ≠ 0. ( 3) lim g( x ) B
Calculus 分
2 3 x =3 3 7 x3
当自变量趋于无穷大时,求分式的极限，要先除以最大方幂. 结论：
3x2 − 2x − 1 例6 求 lim x→∞ 2 x 3 − x 2 + 5
解
3 2 1 − − 2 3 3x2 − 2x − 1 0 x x x = = =0 lim 3 lim 2 x →∞ 2 x − x + 5 x →∞ 1 5 2 − + 3 2 x x
1 u = ∴ 原式 = lim 1 u→ 6 6 6 = 6
China Institute of Industrial Relations
极限的四则运算
极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。
性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。
(完整版)极限四则运算
§1.5 极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算. 一 无穷小的运算定理设,,αβγ是0x x →时的无穷小，即0lim ()0,lim ()0,lim ()0,x x x x x x x x x αβγ→→→===下面来叙述有关无穷小的运算定理。
定理1 1）有限个无穷小的和也是无穷小；2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小；2） 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
二 极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。
定理2 如果()0lim x x f x A →=， ()0lim x x g x B →= 则()()()(),()(),0()f x f xg x f x g x B g x ±≠，的极限都存在，且（1） ()()()()0lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±⎡⎤⎣⎦（2） ()()()()0lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x AB →→→==⎡⎤⎣⎦（3） ()()()()000lim lim(0).lim x xx x x x f x f x A B g x g x B→→→==≠ 证 1因为()0lim x x f x A →=， ()0lim x x g x B →=，所以，当0x x →时，0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有εεε=+<-+-≤-+-=+-+22)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f 所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
极限的运算法则及
(5)
又存在正整数 2，当 > N2时，恒有 N n
即
a − ε < zn < a + ε.
(6)
取N = max{N0 , N1, N2}, 当n>N时，(5)式与(6)式
同时成立，又由条件(1)可得
a − ε < yn ≤ xn ≤ zn < a + ε ,
即得 | xn − a |< ε.
则有
x→x0
lim f (x) = lim (a0 xn + a1xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1x + an )
x→x0
= a0 lim xn + a1 lim xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1 lim x + an
x→x0
n
x→x0
x→x0
= a0 x0 + a1x0 = f (x0 ).
| [ f (x) + g(x)] − ( A + B) | ≤| f (x) − A | + | g(x) − B |
< + = ε, 2 2
ε ε
故 lim[ f (x) + g(x)] = A + B.
x→x0
定理2.8中的(1)和(2)可以推广到有限个函数的代 数和及乘积的极限情况.结论(2)还有如下常用的推论. 推论1 设limf(x)存在，则对于常数c，有
第三节 极限的运算法则及 存在准则
一、极限的四则运算 二、极限的存在准则 三、两个重要极限
一、极限的四则运算
下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结 论对数列极限也成立. 定理2.8 设 f (x) = A, limg(x) = B，则 lim
极限四则运算法则证明
极限四则运算法则证明
数列极限四则运算法则的证明
设limAn=A,limBn=B,则有
法则1:lim(An+Bn)=A+B
法则2:lim(An-Bn)=A-B
法则3:lim(An·Bn)=AB
法则4:lim(An/Bn)=A/B.
法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)
(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)
首先必须知道极限的定义:
如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,
则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.
根据这个定义,首先容易证明: 引理1:limC=C. (即常数列的极限等于其本身)
∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)
同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②
设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.
此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.
由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.
即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.
由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.。
函数极限的四则运算法则证明过程
函数极限的四则运算法则证明过程函数极限的四则运算法则是指在计算函数极限时，如果两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限也存在，并且满足一定的运算规则。
下面我们来逐步证明四则运算法则的正确性。
1. 和的极限法则证明：设函数序列{f_n(x)}和{g_n(x)}分别收敛于函数f(x)和g(x)，即lim{n→∞}f_n(x) = f(x)和lim{n→∞}g_n(x) = g(x)。
我们要证明lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) +g(x)。
根据极限的定义，对于任意ε > 0，存在N1和N2，当n>N1时有|f_n(x) - f(x)| < ε/2，当n>N2时有|g_n(x) - g(x)| < ε/2。
取N = max{N1, N2}，则当n>N时有|f_n(x) + g_n(x) - (f(x) + g(x))| = |(f_n(x) -f(x)) + (g_n(x) - g(x))| ≤ |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| < ε/2 + ε/2 = ε。
因此，lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) + g(x)。
2. 差的极限法则证明：类似地，我们可以证明lim{n→∞}(f_n(x) - g_n(x)) = f(x) - g(x)。
3. 积的极限法则证明：要证明lim{n→∞}(f_n(x) * g_n(x)) = f(x) * g(x)，我们可以利用极限的乘法法则进行证明。
具体证明步骤略。
4. 商的极限法则证明：对于lim{n→∞}(f_n(x) / g_n(x)) = f(x) / g(x)，我们需要额外假设g(x) ≠ 0，以避免出现除以零的情况。
具体证明步骤略。
综上所述，通过以上证明过程，我们可以得出函数极限的四则运算法则的正确性。
在实际计算函数极限时，可以根据这些法则简化计算过程，提高计算的效率。
极限的运算法则
( lim x )2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
2 2 3 2 5 3 0,
3
商的极限等 于极限的商
3 2 x 1 1 7 x2 . lim 2 2 3 3 x2 x 3 x 5 lim ( x 3 x 5)
lim [ f ( x ) g( x )] A B
lim f ( x ) lim g ( x )
x x0 x x0
以上运算法则对有限个函数成立. 于是有
x x0
lim [ f ( x )]n [ lim f ( x )]n
x x0
—— 幂的极限等于极限的幂
lim f ( x ) g ( x ) 是否一定不存在？
一定不存在.（可用反证法证明） 答：
n 1 2 3 2. lim 2 2 2 2 ? n n n n n
n ( n 1) 1 1 1 解 原式 lim lim ( 1 ) . 2 n 2n n 2 n 2
例5 分析 解
12 1 求 lim 3 . x 2 x 2 x 8
( 型 )
型，先通分，再用极限法则.
22 x (x 22 xx 8 4 ) 12 0 ( ) 原式 lim lim 3 0 2 2 x3 x x x8 8
2 x3 3 x2 5 例4 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
分析
( 型)
x 时,分子,分母都 趋于 无穷.
可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限. 3 5 2 3 3 2 2x 3x 5 x x “ 抓大头” 解 lim lim 4 1 x x 7 x 3 4 x 2 1 7 3 x x 3 5 lim ( 2 3 ) 2 x x x . 4 1 lim (7 3 ) 7 x x x
06[1].极限四则运算法则与基本性质
![06[1].极限四则运算法则与基本性质](https://img.taocdn.com/s3/m/ecaf94ea998fcc22bcd10d88.png)
x→ x0 x→x0
欲证 0 < x x0 < δ ( f ( x) + g ( x)) ( A + B) < ε , ∵ ( f ( x) + g ( x)) ( A + B) ≤ f ( x) A + g ( x) B ,
x→ x0
当 0 < x x0 < δ
( x) A < ε 1 = A ε
于是对此 δ > 0 ,当 0 < x x0 < δ 时 :
( x) A =
≤ A ε A =ε ;
( x) A ( x) A = ( x) + A ( x) + A
∴ lim (x) = A .
x→x0
n1
h( x) a0 x n + a1 x n1 + + + an1 x + an = 或者说,当 f ( x) = , m m 1 g ( x) b0 x + b1 x + + +bm1 x + bm 且 g ( x0 ) = b0 x0 + b1 x0
m m 1
+ + +bm1 x0 + bm ≠ 0 时,
( x x0 ) h1 ( x) h1 ( x) h( x ) 于是 lim f ( x) = lim = lim = lim x → x0 x → x0 g ( x ) x → x0 ( x x ) g ( x ) x → x0 g ( x) 0 1 1
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极限四则运算法则
由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且
)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当
100δ<-<x x 时，有2
)(ε
<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当2
00δ<-<x x 时，有2
)(ε
<
-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有
ε
ε
ε
=+
<
-+-≤-+-=+-+2
2
)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f
所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且
)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。
证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f （βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记
αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。
推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。
推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。
定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)
(lim )
(lim )()(lim
x g x f B A x g x f ==。
证明：设βα+=+=B x g A x f )(,)(（βα,为无穷小），考虑差：
)
()()(ββ
αβα+-=-++=-B B A B B A B A B A x g x f 其分子βαA B -为无穷小，分母0)(2≠→+B B B β，我们不难证明
)
(1β+B B 有界（详细过程见书上）)(ββα+-⇒
B B A B 为无穷小，记为γ，所以γ+=B
A
x g x f )()(，
B
A
x g x f =⇒)()(lim。
注：以上定理对数列亦成立。
定理4：如果)()(x x ψϕ≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ，则b a ≥。
【例1】b ax b x a b ax b ax x x x x x x x x +=+=+=+→→→→00
lim lim lim )(lim 。
【例2】n
n x x n x x x x x 0]lim [lim 0
==→→。
推论1：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)(ΛΛ为一多项式，当
)()(lim 0011
1000
x f a x a x a x a x f n n n n x x =++++=--→ΛΛ。
推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，则)
()
()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→。
【例3】31151105(lim 221
-=+⨯-=+-→x x x 。
【例4】33
009070397lim 53530-=+--⨯+=+--+→x x x x x （因为03005
≠+-）。
注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。
【例5】求3
22
lim 221-+-+→x x x x x 。
解：当1→x 时，分子、分母均趋于0，因为1≠x ，约去公因子)1(-x ，
所以 5
3
322lim 322lim 12
21=++=-+-+→→x x x x x x x x 。
【例6】求)1
3
11(
lim 31+-+-→x x x 。
解：当1
3
,11,13
++-→x x x 全没有极限，故不能直接用定理3，但当1-≠x 时， 12)1)(1()2)(1(13112
23+--=+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ，所以 11
)1()1(2112lim )1311(
lim 22131
-=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x 。
【例7】求2
lim 2
2-→x x x 。
解：当2→x 时，02→-x ，故不能直接用定理5，又42→x ，考虑：
042
22lim
2
2
=-=-→x x x ，
∞=-⇒→2
lim
2
2x x x 。
【例8】若3)
1sin(lim 221=-++→x b
ax x x ，求a ,b 的值。
当1→x 时，1~)1sin(2
2
--x x ，且0)(lim 2
1
=++→b ax x x
10, =(1)a b b a ++=-+
222
(1)(1)(1)
1(1)(1)(1)(1)
x ax b x ax a x x a x x x x x +++-+-++==--+-+ 2212
lim 3124, 5
x x ax b a x a b ->+++==-==- 【例9】设n m b a ,,0,000≠≠为自然数，则
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧>∞
<==++++++--∞→时
当时当时当m n m n m n b a b x b x b a x a x a m m m n n n x 0
lim 001101
10ΛΛΛΛ。
证明：当∞→x 时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形：
m
m
n n m n x m m m n n n x x b x b b x a x a
a x
b x b x b a x a x a ++++++⋅=++++++-∞→--∞→ΛΛΛΛΛΛΛΛ1010110110lim lim
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>++++++⋅∞<++++++⋅=++++++⋅
=时
当时当时当m n b a m n b a m n b a 0
000000
00000
010000
00ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 【例10】求)21(
lim 222n
n n n n +++∞→ΛΛ。
解：当∞→n 时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形：
原式2
1
21lim 2)1(1lim )21(1lim 22=+=+⋅
=+++=∞→∞→∞→n n n n n n n n n n ΛΛ。
【例11】证明[][]x x
x x ,1lim
=∞→为x 的整数部分。
证明：先考虑[][]x
x x x x -=-
1，因为[]x x -是有界函数，且当∞→x 时，01→x
，所
以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得
[][][]1lim
0)1(lim 0lim =⇒=-⇒=-∞→∞→∞→x x x
x x x x x x x 。