全国版高考数学必刷题：第二十二单元 选考模块

第二十二单元 选考模块

考点一 极坐标与参数方程

1.(2017年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =a +4t,

y =1-t (t 为参

数).

(1)若a=-1,求C 与l 的交点坐标;

(2)若C 上的点到l 距离的最大值为√17,求a.

【解析】(1)曲线C 的普通方程为x 2

9

+y 2

=1.

当a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0. 由{x +4y -3=0,x 29

+y 2=1,

解得{x =3,y =0或{x =-21

25

,y =2425

.

从而C 与l 的交点坐标为(3,0),-2125,

24

25

.

(2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离d=

|3cosθ+4sinθ-a -4|

√17

.

当a ≥-4时,d 的最大值为

√17

. 由题设得

√17

=√17,所以a=8;

当a<-4时,d 的最大值为

-a+1

17

. 由题设得

-a+1

√17

=√17,所以a=-16.

综上,a=8或a=-16.

2.(2017年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos

θ=4.

(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程; (2)设点A 的极坐标为(2,π3

),点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值.

【解析】(1)设点P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0). 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=

4

cosθ

. 由|OM|·|OP|=16得C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x-2)2

+y 2

=4(x ≠0).

(2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0).

由题设知|OA|=2,ρB =4cos α,于是△OAB 的面积

S=12|OA|·ρB ·sin ∠AOB=4cos α·|sin (α-π

3)|

=2|sin (2α-π

3)-√3

2

|≤2+√3.

当α=-π12

时,S 取得最大值2+√3. 所以△OAB 面积的最大值为2+√3.

3.(2017年全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为{x =2+t,

y =kt (t 为参数),直线l 2的参数方程为{x =-2+m,y =m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C. (1)写出C 的普通方程;

(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ+sin θ)-√2=0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.

【解析】(1)消去参数t 得l 1的普通方程为y=k (x-2); 消去参数m 得l 2的普通方程为y=1

k

(x+2).

设P (x ,y ),由题设得{

y =k(x -2),

y =1

k

(x +2),

消去k 得x 2

-y 2

=4(y ≠0),

所以C 的普通方程为x 2

-y 2

=4(y ≠0).

(2)C 的极坐标方程为ρ2

(cos 2

θ-sin 2

θ)=4(0<θ<2π,θ≠π),

联立{ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4,ρ(cosθ+sinθ)-√2=0得

cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-13,从而cos 2

θ=910,sin 2

θ=110

.

代入ρ2

(cos 2

θ-sin 2

θ)=4得ρ2

=5,

所以交点M 的极径为√5.

4.(2016年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost,

y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.

(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;

(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.

【解析】(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2

+(y-1)2

=a 2

,则C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.

将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2

-2ρsin θ+1-a 2

=0.

(2)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组

{ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.

若ρ≠0,由方程组得16cos 2

θ-8sin θcos θ+1-a 2

=0,

由已知tan θ=2,可得16cos 2

θ-8sin θcos θ=0,

从而1-a 2

=0,解得a=-1(舍去)或a=1.

当a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,且在C 3上. 所以a=1.

5.(2016年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2

+y 2

=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;

(2)直线l 的参数方程是{x =tcosα,

y =tsinα(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB|=√10,求l 的斜率.

【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2

+12ρcos θ+11=0.

(2)(法一)由直线l 的参数方程{x =tcosα,

y =tsinα(t 为参数),消去参数得y=x ·tan α. 设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为kx-y=0.

由圆C 的方程为(x+6)2

+y 2

=25知,圆心坐标为(-6,0),半径为5.