数学分析课件 含参量反常积分共55页文档
§2 含参量反常积分 一、含参量反常积分及其一致收敛的定义
f ( x, y )dy
在[a, b) 上不一致收敛.
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证明: 用反证法.
假设原积分在[a, b) 上一致收敛, 则对 0, M c, 当 A, A M 时对一切 x [a, b) 恒有
A
A
f ( x, y )dy .
A A
由假设 f 在[a, b] [ A, A] 上连续，所以 f ( x, y )dy 是 x 的连续函数 . 在上面不等式中令 x b , 得到当 A A M 时,
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二、一致收敛性的判别法 定理19.7 （一致收敛的柯西准则）
设二元函数 z f ( x, y ) 定义在无界区域 R {( x, y ) a x b ，c y } 上. 反常积分
c
f ( x, y )dy 在[a, b] 上一致收敛
的充要条件是 : 对任给正数 , 总存在某一实数 M M ( ) c, 使得当
c d
都收敛 , 则 I I ( x) 是 [a, b] 上的函数. 含参量无 界函数反常积分在[a, b] 上一致收敛的定义为: 若对 0, 总存在某正数 ( ) d c, 使得当 0 时 , 对一切 x [a, b], 都有
d
d
f ( x, y )dy
A
A
f (b, y )dy .
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而 是任给的，因此
c
f ( x, y )dy 在x b 处收
c
敛, 这与假设矛盾. 所以积分 [a, b) 上不一致收敛.
f ( x, y)dy 在
数学分析3课件：19-2 含参量反常积分
sin
bx
x
sin
ax
abcosxydy，故
I 0 e px(abcosxydy)dx 0 dxabe pxcosxydy.
由于e pxcosxy e px及0 e pxdx收敛,根据魏尔斯特拉斯M判别法,
0 e pxcosxydx在区间[a,b]上一致收敛.
又e pxcosxy在[0,) [a,b]上连续,故由定理19.11,积分换序值不变,
(x,
y)dx
c
dyab
f
(x,
y)dx.
证毕
定理 19.12 设f (x, y)在区域[a,) [c,)上连续, 若
(i) a f (x, y)dx对于y在任何闭区间[c, d ]上一致收敛, c f (x, y)dy 对于x在任何闭区间[a, b]上一致收敛.
(ii) 下列积分有一个收敛 :
0
e
px
sin ax x
dx
arctan
a p
（p 0）.
e px
sin ax 在0 x
p
连续, 0 e px
sin ax x
dx一致收敛(0
sin ax x
dx
在0 p 上一致收敛, e px关于x单减且 | e px | 1,阿贝尔判别法)
0 e px
sin ax dx在0 x
p
上连续, 从而
0
sin ax dx x
lim
p0
0
e
px
sin ax x
dx
lim
p0
arctan
a p
2
sgn
a.
练习4
计算
I
0
ex
§19.2.含参量反常积分
在 (, ) 上一致收敛.
证 因为，有
cos xy 1 | | 2 1 x 1 x2
并且反常积分
所以
y
0
1 dx 2 1 x
收敛
0
cos xy dx 在 (, ) 上一致收敛. 2 1 x
2015年11月23日星期一 13
yx 练习2、试证 e sinxdx(0 c y )一致收敛 . 0
f ( x , y )dy
都收敛， 由反常积分收敛的定义，
即 0, N ( , x) c, 使得 M N ,
M c
M
lim
|
M
f ( x , y )dy I ( x )
c
f ( x , y )dy I ( x ) |
如果存在一个与 x I无关的
其中 N 与 x 有关.
A
0
sin xy dy在 （ 0， ） 内 不 一 致 收 敛 . y
2015年11月23日星期一
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9×
练习1 试 证
0
xe xy dy
(1)在[ , )上 一 致 收 敛 (其 中 0)； （2） 在(0, )内 不 一 致 收 敛 .
证： (1)
设含参量反常积分 两个条件之一，则
c
f ( x,y ) g( x,y )dy ( x I )满足如下 f ( x,y ) g( x,y ) dy 在I上一致收敛：
c
⑴（Abel判别法） ; f ( x, y)dy在I上一致收敛
c
g( x, y)对x I关于y单调，且在 I上一致有界 .
含参量反常积分
contents
目录
• 反常积分简介 • 含参量反常积分 • 含参量反常积分的计算 • 含参量反常积分在数学物理中的应用 • 总结与展望
01 反常积分简介
反常积分的定义
反常积分分为两种：无穷积分和瑕积 分。无穷积分是指积分区间为无穷的 积分，而瑕积分是指被积函数在积分 区间内存在无界点的积分。
含参量反常积分是反常积分的一种， 其中包含一个或多个参数，这些参数 在积分的计算过程中起到关键作用。
反常积分的性质
反常积分具有连续性、可微性和可积性等性质。连续性是指反常积分的结果是一个连续函数；可微性 是指反常积分的结果是可微的；可积性是指反常积分的结果是有限的。
含参量反常积分在参数变化时，其性质也会发生变化，如从瑕积分变为正常积分，或者从收敛变为发 散。
含参量反常积分在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、金融学等。通过含参量反常积分，可 以解决许多实际问题中的积分计算问题。
展望
理论发展
应用拓展
计算方法的改进
随着数学理论的不断发展和完善， 含参量反常积分理论也将得到进 一步深化和完善。未来，含参量 反常积分理论可能会在更广泛的 领域得到应用和发展。
变量替换法
利用变量替换技巧，将含参量反常积分转化为容易计算的形式，再 进行积分计算。
计算步骤
确定积分上下限
根据题目要求，确定反常积分的积分上下限。
确定被积函数
根据题目要求，确定反常积分的被积函数。
计算积分值
根据计算方法，计算出含参量反常积分的值。
计算实例
要点一
计算 $int_{0}^{1} frac{1}{x…
04 含参量反常积分在数学物 理中的应用
在数学物理中的重要性
§19.2 含参量反常积分 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
一、含参量反常积分二、含参量反常积分三、含参量反常积分的性质*点击以上标题可直接前往对应内容含参量反常积分一致收敛性(,)f x y [,)R I c =⨯+∞设函数定义在无界区域上,其中I 是任意区间. ()(,)d (1)cx f x y y Φ+∞=⎰都收敛，称(1)为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分,或称含参量反常积分.后退前进目录退出,x I ∀∈反常积分若()x I Φ是区间上的函数.则定义1若含参量反常积分(1)与函数Φ(x )对0,ε∀>,N c ∃>M N >,x I ∈使得当时, 对一切都有(,)d (),Mcf x y y x εΦ-<⎰即(,)d ,Mf x y y ε+∞<⎰或简单地说含参量积分(1)在I 上一致收敛.则称含参量反常积分(1)在I 上一致收敛于(),x Φ()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰注1由定义, 在I 上一致收敛于充要条件是{}()sup(,)d 0().Ax JA f x y y A η+∞∈=→→+∞⎰的充要条件是000,,,M c A M x J ε'∃>∀>∃>∈及00(,)d .A f x y y ε+∞'≥⎰()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰注2由定义, 在I 上不一致收敛使得例1讨论含参量反常积分ed ,(0,)xyx y x +∞-∈+∞⎰的一致收敛性.解若0,,x u xy 令>=则e d e d e ,xy u xA AxAx y u +∞+∞---==⎰⎰于是(){}0()suped 1,xyAx A x y η+∞-∈+∞==⎰，因此, 含参量积分在(0,)+∞上非一致收敛.{}[,)()suped xyAx A x yδη+∞-∈+∞=⎰因此, 该含参量积分在[,)δ+∞上一致收敛.而对于任何正数, 有δe0(),AA δ-=→→+∞定理19.7（一致收敛的柯西准则）含参量反常积分一致收敛性的判别含参量反常积分(1)在[,]a b 上一致收敛的充要[,],x a b ∈对一切的都有21(,)d .(3)A A f x y y ε<⎰条件是:0,,N c ε∀>∃>12,A A N >使得当时,定理19.8+()=sup (,)d Ax IF A f x y y其中∞∈⎰充要条件是含参量反常积分在I 上一致收敛的(,)d cf x y y +∞⎰→∞lim ()=0,A F A证作变量代换,u xy =得sin sin d d , (5)A Ax xy uy u y u +∞+∞=⎰⎰0,A >其中0sin d uu u+∞⎰由于收敛, ,εA M '>总存在某一实数M , 当时就有sin d .A uu uε+∞'<⎰但在内[,)(0),δδ上一致收敛其中+∞>在+∞(0,)不一致收敛.例2证明含参量反常积分0sin d (4)xyy y+∞⎰故对任给的正数,MA M A δδ则当时,>>0,x δ对∀≥>取由(5) 式sin d ,A xyy yε+∞'<⎰所以(4)在0x δ≥>上一致收敛.又因为+0)sin sin lim d d A A u uu u u u+∞+∞→=⎰⎰++(0,+)(0,+)sin sin ()=sup d =sup d A Axx x xy uF A y uy u ∞∞∈∞∈∞⎰⎰+∞≥⎰0sin d =.2u u u π(在本节例6 中证明.)所以根据定理19.8，(4)在(0,)+∞上不一致收敛.若对任意[,],a b I ∈含参量积分(1) 在[a, b ]上一致收敛,则称(1)在I 上内闭一致收敛.所以，积分4在(0,+)∞上内闭一致收敛.定理19.9111(,)d ()(7)n nA n A n n f x y y u x +∞∞===∑∑⎰函数项级数+∞1{}(n A A 其中=对任一趋于的递增数列),c 在I 上一致收敛, 其中1()(,)d .n n A n A u x f x y y +=⎰收敛之间的联系有下述定理.关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致含参量反常积分(1)在I 上一致收敛的充要条件是:0,ε∀>,M c ∃>上一致收敛, 故由(1)在I 又由(),n A n →+∞→∞所以对正数M , 存在正整数N ,m n N >>.m n A A M >>只要当时, 就有由(8)对一切,x I ∈就有11()()(,)d (,)d m n m nA A n m A A u x u x f x y y f x y y++++=++⎰⎰ 1(,)d .m nA A f x y y ε+=<⎰这就证明了级数(7)在I 上一致收敛.证必要性A A M '''>>时，,x J ∈使得当对一切总有(,)d .(8)A A f x y y ε'''<⎰0(,)d .A A f x y y ε''''≥⎰1211max{1,},M c A A M 则存在=>>1,x I 及∈现取使得2110(,)d .A A f x y y ε≥⎰一般地, 取-=≥2(1)max{,}(2),n n M n A n 则有221,n n n n A A M x I 及->>∈使得2210(,)d .(9)n n A n A f x y y ε-≥⎰*充分性00,ε∃>,M c ∀>A A M x I 和，''''∃>>∈对使得用反证法. 假若(1)在I 上不一致收敛,则{}n A lim n n A →∞=由上述所得到的数列是递增数列, 且+∞∞===∑∑⎰111()(,)d .n nA n A n n u x f x y y 0,ε,n N >由(9)式知存在正数对任何正整数N , 只要就有某个0,x I ∈使得+=≥⎰21220()(,)d .n nA n n n A u x f x y y ε这与级数(7)在I 上一致收敛的假设矛盾.现在考察级数.+∞反常积分在I 上一致收敛.故含参量注由定理19.9, 含参量反常积分可看作连续型的函函数项级数.魏尔斯特拉斯M 判别法设有函数g (y ), 使得(,)(),(,)[c,).f x y g y x y I ≤∈⨯+∞若()d (,)d ccg y y f x y y I 收敛,则在+∞+∞⎰⎰上一致收敛.()d c g y y 收敛,+∞⎰12,,,N c A A N ∃>∀>证由于21()d .A A g y y ε<⎰因此12,[,],A A N x c d 及∀>∈2211(,)d ()d .A A A A f x y x g y y ε≤<⎰⎰从而(,)d c f x y y I 在+∞⎰上一致收敛.狄利克雷判别法设(i) 对一切实数,N c >含参量正常积分(,)d N cf x y y ⎰对参量x 在I 上一致有界, ,N c >,x I ∈及一切都有(,)d ;N cf x y y M ≤⎰,x I ∈(,)g x y (ii)对每一个函数关于y 单调且当则含参量反常积分(,)(,)d cf x yg x y y+∞⎰在I 上一致收敛.时, 对参量x , (,)g x y 一致收敛于0,y →+∞即存在正数M , 对一切阿贝尔判别法设(i)(,)d cf x y y I 在上一致收敛；+∞⎰,x I ∈(,)g x y (ii) 对每一个函数为y 的单调函数, 且(,)g x y I 对参量x ,在上一致有界,则含参量反常积分(,)(,)d cf x yg x y y +∞⎰在I 上一致收敛.例3 证明含参量反常积分20cos d (10)1xyx x +∞+⎰在(,)-∞+∞上一致收敛.证由于对任何实数y 有2cos 1xy x +及反常积分20d 1xx+∞+⎰收敛, 别法, 故由魏尔斯特拉斯M 判21,1x≤+(,)-∞+∞上一致收敛.含参量反常积分(10)在证由于反常积分0sin d xx x+∞⎰收敛(当然, 对于参量y ,[0,]d 它在上一致收敛), 0sin e d (11)xy x x x+∞-⎰在[0,]d 上一致收敛.例4 证明含参量反常积分[0,]x d ∈个单调, (,)e1.xyg x y -=≤故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分(11)在[0,]d 上一致收敛.(,)e xyg x y -=对每一函数0,0y d x ≤≤≥都有且对任何例5 证明: 若(,)[,][,)f x y a b c ⨯+∞在上连续, 又(,)d c f x y y +∞⎰(,)d cf x y y+∞⎰在[,)a b 上收敛, 但在处发散, 则x b =在[,)a b 上不一致收敛.0,ε>,M c >任给总存在,A A M '>当时对一切[,)x a b ∈恒有(,)d .A Af x y y ε'<⎰证用反证法. [,)a b 上一致收敛, 假若积分在则对于(,)[,][,]f x y a b A A '⨯在(,)d A Af x y y'⎰因上连续, 所以x 是的连续函数. A A M '>>时,,x b -→得到当在上面不等式中令(,)d .A Af b y y ε'≤⎰ε(,)d cf x y y +∞⎰x b =而是任给的, 因此在处收敛,这与假设矛盾. 不一致收敛.(,)d c f x y y +∞⎰[,)a b 在上所以积分证若[,](0,+),a b ⊂∞21sin d (12)1y xy yy +∞+⎰在[0,+)∞上内闭一致收敛.例6 证明含参量积分则对任意[,]x a b ∈，cos sin d =NNaa xy y xy y x -⎰2a≤而21y y+关于y 单调递减,且2lim 0(,1y y x y 对一致）→∞=+因此, 根据狄利克雷判别法，含参量积分(12)在[,]a b 上一致收敛.[0,+)∞也即在上内闭一致收敛.定理19.10（含参量反常积分的连续性）含参量反常积分的性质设(,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, ()(,)d (13)cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上一致收敛, 在I 上一致收敛.+∞{}n A 证由定理19.9, 对任一递增且趋于的数列1(),A c =函数项级数111()(,)d ()(14)n nA n A n n x f x y y u x Φ+∞∞====∑∑⎰若含参量反常积分则在I 上连续.()x Φ()n u x I 都在上连续. 定理, (,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, 又由于根据函数项级数的连续性故每个知在I 上连续.()x Φ设(,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, ()(,)d (13)cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上一致收敛, 若含参量反常积分则在I 上连续. ()x Φ推论这个定理也证明了在一致收敛的条件下, 极限运算与积分运算可以交换:0lim (,)d (,)d cc x x f x y y f x y y+∞+∞→=⎰⎰lim (,)d .(15)cx x f x y y +∞→=⎰设(,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, ()(,)d cx f x y yΦ+∞=⎰在I 上内闭一致收敛, 若则在I 上连续. ()x Φ定理19.10（含参量反常积分的可微性）(,)(,)x f x y f x y 与[,)I c ⨯+∞设在区域上连续.()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上收敛,(,)d x c f x y y +∞⎰在I上一致收敛, ()(,)d (16)x cI x f x y y+∞'=⎰若+∞1{}(),n A A c =证对任一递增且趋于的数列令1()(,)d .n nA n A u x f x y y +=⎰则在I 上可微，且()x Φ由定理19.3推得1()(,)d .n nA nx Au x f x y y +'=⎰+∞⎰(,)d cf x y y 由在I 上一致收敛及定理19.9, 项级数111()(,)d n nA n x A n n u x f x y y +∞∞=='=∑∑⎰在J 上一致收敛,可得函数()x Φ'于是d (,)d (,)d ,d cc f x y y f x y y x x +∞+∞∂=∂⎰⎰111()(,)d n nA nx A n n u x f x y y +∞∞=='==∑∑⎰(,)d ,x cf x y y +∞=⎰或写成推论(,)(,)x f x y f x y 与[,)I c ⨯+∞设在区域上连续.()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上收敛,(,)d x c f x y y +∞⎰在I上内闭一致收敛, +∞'=⎰()(,)d .x cI x f x y y 若则在I 上可微，且()x Φ最后结果表明在定理条件下, 求导运算和积分运算可以交换.定理19.12（含参量反常积分的可积性）()(,)d cx f x y y +∞=⎰Φ[,]a b 在上一致收敛,+∞+∞=⎰⎰⎰⎰d (,)d d (,)d .(17)bbaccax f x y y y f x y x [,]a b 在上可积.又由定理19.10 的证明中可以看到, 函数项级数(14)在[,]a b ()[,]n u x a b 在上一致收敛, 且各项上连续,证由定理19.10知道在[,]a b 上连续, ()x Φ[,][,)a b c ⨯+∞上连续, 若设在(,)f x y [,]a b 上可积, 且则在()x Φ()x Φ从而1()d ()d bbn a an x x u x x Φ∞==∑⎰⎰+∞==∑⎰⎰11d (,)d .(18)n nA bA an y f x y x 这里最后一步是根据定理19.6关于积分顺序的可交换性. ()d d (,)d .b bacax x y f x y x Φ+∞=⎰⎰⎰这就是(17)式.因此根据函数项级数逐项求积定理, 有(18)式又可写作11d (,)d n nbA aA n x f x y y+∞==∑⎰⎰定理19.13(,)d a f x y x y +∞⎰关于[,)c +∞(i) 在内闭上一致收敛,(,)d cf x y y +∞⎰[,)a +∞关于x 在内闭上一致收敛;(ii)积分d (,)d d (,)d (19)acc ax f x y y y f x y x 与+∞+∞+∞+∞⎰⎰⎰⎰中有一个收敛.d (,)d d (,)d (20)accax f x y y y f x y x .+∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰(,)f x y [,)[,)a c +∞⨯+∞设在上连续, 且则必有d (,)d acx f x y y +∞+∞⎰⎰也收敛. d c >当时,d (,)d d (,)d dd c a a cI y f x y x x f x y y+∞+∞+∞=-⎰⎰⎰⎰d (,)d d (,)d ddcaacy f x y x x f x y y+∞+∞=-⎰⎰⎰⎰d (,)d adx f x y y+∞+∞-⎰⎰证不妨设(19) 中第一个积分收敛,由此推得根据条件(i)及定理19.12,有d (,)d d a dI x f x y y+∞+∞=⎰⎰d (,)d d (,)d .(21)AadAdx f x y y x f x y y +∞+∞+∞≤+⎰⎰⎰⎰由条件(ii), 对于任给的0,,G a A G ε>>>有使当时,+∞+∞<⎰⎰d (,)d .2A d x f x y y ε有(,)d .2()df x y y A a ε+∞<-⎰把这两个结果应用到(21)式, 得到,22d I εεε<+=使得当时有d M >选定A 后, 由(,)d cf x y y +∞⎰的一致收敛性, 存在M >c ,即lim 0,d d I →∞=这就证明了(20)式.例6计算0sin sin e d (0,).pxbx axI x p b a x+∞--=>>⎰解因为sin sin cos d ,b a bx axxy y x-=⎰所以sin sin ed pxbx axI xx+∞--=⎰()0ecos d d b pxaxy y x+∞-=⎰⎰0d ecos d .(22)bpxax xy y +∞-=⎰⎰ecos epxpxxy --≤0ed pxx +∞-⎰由于及反常积分收敛, 据M 判定法, 含参量反常积分ecos d pxxy x+∞-⎰[,]a b 在区间上一致收敛.[0,)[,]a b +∞⨯上连续, 的顺序, 积分I 的值不变. ecos pxxy -在由于于是d e cos d b pxaI y xy x +∞-=⎰⎰arctan arctan .b ap p=-根根据定理19.12交换积分(22)22d b apy p y=+⎰例7 计算0sin d .axx x+∞⎰解在上例中, 令b = 0, 0sin ()e d arctan (0).(23)px ax a F p x p x p+∞-==>⎰由阿贝尔判别法可得上述含参量反常积分在0p ≥上一致收敛. 0sin (0)d .axF x x+∞=⎰又由(23)式00(0)lim ()lim arctan sgn .2p p a F F p a p ++→→π===则有()0F p p ≥在上连续, 且于是由定理19.10,例8 计算20()e cos d .(24)x r rx x ϕ+∞-=⎰()22e cos d e sin d .(25)x x rrx x x rx x +∞+∞--'=-⎰⎰由于---≤≥-∞<<+∞22esin e0,x x x rx x x r 对一切参量反常积分(25)在-∞+∞(,)上一致收敛.解考察含参量反常积分成立2ed x x x +∞-⎰收敛, 及反常积分根据M 判定法, 含综合上述结果由定理19.11即得2()esin d xr x rx x ϕ+∞-'=-⎰--→+∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰220011lim e sin e cos d 22A Ax x A rx r rx x +∞-=-=-⎰20e cos d ().22x r rrx x r ϕ于是有2ln ()ln ,4r r c ϕ=-+-=24()e .r r c ϕ20π(0)e d ,2x x ϕ+∞-==⎰(0),c ϕ=从而又由(25)式,24π()e .2r r ϕ-=π,2c =因此得到所以20limesin d Ax A x rx x-→+∞=-⎰含参量无界函数的反常积分设(,)[,][,)f x y R a b c d 在区域=⨯上有定义. 某些值, y = d 为函数(,)f x y 的瑕点, (,)d (26)dcf x y y ⎰为含参量x 的无界函数反常积分, 常积分. [,]x a b 在上取值的函数. 积分值是若对x 的则称[,],x a b ∈积分(25)都收敛, 则其若对每一个含参量反常积分或简称为含参量反(25)在上一致收敛的定义是:[,]a b定义2,ε,d c δ<-对任给正数总存在某正数使得(,)d ,dd f x y y ηε-<⎰则称含参量反常积分(25)在[,]a b 上一致收敛．参量无界函数反常积分的一致收敛性判别法, 并讨读者可以参照无穷限反常积分的办法建立相应的含论它们的性质.都有0ηδ<<[,],x a b ∈时, 对一切当*例9讨论含参量无界函数反常积分1011sin d xx x α⎰的一致收敛区间.解作变换1,t x =得1201111sin d =sin d .x t t x x t αα+∞-⎰⎰2110,sin dt t t αδ+∞-∀>⎰(,2]δ-∞-(1)在上一致收敛.(i)1(,2]1,sin dt 2;N N t αδ∀∈-∞->≤⎰及有(ii) 211(,2],0,.t t tαδαδ-∀∈-∞-≤→→+∞21t α-0,单调一致趋于由狄利克雷判别法,1201111sin d =sin d x t t x x tαα+∞-⎰⎰(,2]δ-∞-在上一致收敛.因此(2)F 因为不存在,所211()sin dt ,F t t αα+∞-=⎰为此设+∞-<⎰2112,sin dt b t tα[,2)b (2)任取在上不一致收敛.211sin dt t t α+∞-⎰[,2)b 在上不一致收敛.以复习思考题(,)()g x y g y =x +c (,)d g x y y ∞⎰1. 若与无关, 在区间I 上收敛, 则+c (,)d g x y y ∞⎰在任何区间上一致收敛,对吗?()(,)d c x f x y y ϕ+∞=⎰(,)a b 2. 若在上一致收敛, 且(,)f x y [,][,)a b c ⨯+∞在上连续, 是否一定有()(,)d c x f x y y ϕ+∞=⎰[,]a b 在上一致收敛.。
数学分析ch15-2含参变量的反常积分
A
g(A, y) A f (x, y)dx g(A, y) f (x, y)dx 2L,
存在。如果对于任意 0，存在与 y 无关的 0 ，使得当 0 时， 对所有 y [c, d] 成立
b f (x, y)dx I ( ， b
则称
b
a
f
(x,
y)dx
关于
y
在[c, d ] 上一致收敛（于
I ( y)
）。在参变量明确时，
也常简称
dx
在[0,)
上一
致收敛。
定理 15.2.3 设函数 f (x, y) 和 g(x, y) 满足以下两组条件之一，则含
参变量的反常积分
a f (x, y)g(x, y)dx
关于 y 在[c, d ] 上一致收敛。
1．（Abel 判别法）
（1）
a
f
(x,
y)dx
关于
y
在[c,
d
]
上一致收敛；
（2） g(x, y) 关于 x 单调，即对每个固定的 y [c, d] ， g 关于 x 是单
y)dx
在[c,
d ] 上一致收敛。
证
因为
a
F ( x)dx
收敛，由反常积分的
Cauchy
收敛原理，对于任
意给定的 0，存在正数 A0 ，使得对于任意的 A, A A0 ，成立
A F(x)dx 。 A
因此当 A, A A0 时，对于任意 y [c, d] ，不等式
A
A
A f (x, y)dx A F(x)dx
y 无关的正数 A0 ，使得对于任意的 A, A A0 ，成立
A f (x, y)dx ， y [c, d] 。 A
《数学分析》第11章 反常积分ppt课件
f ( x)dx 收敛, 则可得
c g( x)dx
收敛,从而
a
a2
a g( x)dx 收敛.反之,若 a g( x) dx 收敛, 可得
3c g( x)dx 收敛,从而
f ( x)dx 收敛.
a2
a
(ii)由 lim f ( x) 0, 存在 G a, 使 x G, 有 x g( x) f (x) 1 , g( x)
的积分
R
m gR 2 x2
dx
lim
r
r R
mgR x2
2
dx
mgR.
由机械能守恒定律可求初速度 v0 至少应使
1 2
mv02
mgR.
用 g 9.81(m / s2) , R 6.371 106 (m) 代入,得
v0 2gR 11.2 (km / s).
例2 圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R,桶底有
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1 时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1
1
; q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
F(x)
b a
F (b)
F (a
)
F (b) lim F (u). ua
a f ( x) dx 与 b f ( x) dx (b a ),
同时收敛或同时发散，且
f ( x)dx
b f ( x)dx
f ( x)dx.
反常积分与含参变量的积分
116第十二章 反常积分与含参变量的积分一、 反常积分：内容提要：1、 反常积分收敛的定义：● 无穷积分： ():lim ()AaaA f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰● 瑕积分： 0():lim ()b b a af x dx f x dx δδ+-→=⎰⎰b 为瑕点若极限存在，则称反常积分收敛，否则称其发散. ● 绝对收敛与条件收敛： 若|()|a f x dx +∞⎰收敛，则称()af x dx +∞⎰绝对收敛.若()af x dx +∞⎰收敛，但不绝对收敛则称其为条件收敛.2、 反常积分的敛散性判别：● 比较判别法：若0()()[,)f x c x x a ϕ≤≤∀∈+∞()a x dx ϕ+∞⎰收敛⇒()a f x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰发散⇒()ax dx ϕ+∞⎰发散若0()()[,]f x c x x a b ϕ≤≤∀∈()bax dx ϕ⎰收敛⇒()ba f x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰发散⇒()bax dx ϕ⎰发散若()()()ax f x g x f x dx +∞→+∞⎰收敛()ag x dx +∞⇔⎰收敛● Dirichlet 判别发： ·若()f x 满足()().[,),0Aaaf x f x dx M A a dx x λλ+∞≤∀∈+∞⇒>⎰⎰收敛. ·若()f x 满足().[,)()(),0xbaaf x dx M x a b x b f x dx λλ≤∀∈⇒->⎰⎰收敛.● ·()f x 满足：().[,)Aaf x dx M A a x ≤∀∈+∞→+∞⎰时()g x 单调趋于0 ()()af xg x dx +∞⇒⎰收敛.117·()f x 满足：().[,)xaf x dx M x a b x b -≤∀∈→⎰时()g x 单调趋于0()()baf xg x dx ⇒⎰收敛.3、学习提示：注意在方法、思路、结果方面比较无穷级数、无穷积分、瑕积分的敛散性判别法.4、 重要结果： 11:1p ap dx x p ∞>⎧⎨<⎩⎰收敛发散b a 11:(x-a)1dx λλλ≥⎧⎨<⎩⎰发散收敛典型例题：例1：讨论下列反常积分的敛散性： 1）1+∞⎰2）2π⎰ 3）21x m ()dx x m x 1∞-++⎰4）10⎰ 解：1）521()f x x=512p =>. 故1∞⎰收敛 2）此积分瑕点为0.0x +→时121x, 故2π⎰收敛. 3) 2222(1)()1()(1)x m m x x m f x x m x x m x -+-=-=+++-. 1m = 时 21()f x x , 所以积分收敛. 1m ≠ 时 1()f x x, 所以积分发散.4) 此积分瑕点为0. 0x +→ 时141()o x = ∴原积分收敛. 例 2. 讨论积分2sin x dx x∞⎰的敛散性:若收敛,它是条件收敛还是绝对收敛？118解:作变量代换 2x t =则x =20sin sin 2x t dx dt x t∞∞=⎰⎰此积分有两个瑕点：0,∞.0x →时sin 1tt10sin tdt t∴⎰绝对收敛. 又:1sin 2[1,)A tdt A ≤∀∈+∞⎰ 1t单调1lim 0t t →∞=由Dirichlet 判别法,10sin tdt t⎰收敛.2sin sin cos 212t t t t t t+≥= 再由Drichilet 判别法1cos 22tdt t∞⎰收敛.但112dt t ∞⎰发散，20sin t dt t ∞∴⎰发散. 从而原级数条件收敛.例3 讨论如下反常积分的收敛性:0ln(1)p x dx x ∞+⎰ 解:此积分有两个瑕点:0,+∞0x →时1ln(1)1p p x x x -+112p p ∴-<<即时 10ln(1)p x dx x +⎰收敛,2p ≥发散. 1p ≤ 时 1ln(1)ln(1)lim .p p px x x x dx x x ∞→∞++=∞∴⎰发散. 1p > 时121ln(1)1ln(1)p p px x o dx x x x +∞⎛⎫++=∴ ⎪⎝⎭⎰ 收敛. 综上所述:仅当 12p << 时原级数收敛.练习题:研究下列积分的敛散性1) 10ln dx x ⎰ 2) 2201x dx x x +∞++⎰ 3) 10ln p x xdx ⎰ 4) 0+∞⎰ 5) 2sin cos p q dx x xπ⎰ 6) 0p q dx x x ∞+⎰ 7) 1ln p q dxx x ∞⎰ 8) 0()()m n p x dx P x +∞⎰. ()()m n P x P x 分别为m 及 n 次互质的多项式.1199) 0sin 1p q x x dx x +∞+⎰10) 10n⎰二、 含参变量的积分:内容提要:1、 含参变量的有限积分：● 定义： ():(,)ba u f x u dx ϕ=⎰(,)f x u 在[,][,]R a b αβ=⨯上定义 .0[,]u αβ∀∈，0(,)f x u 在[,]a b 上可积．● 性质：1) 连续性: (,)f x u 在R 上连续()u ϕ⇒在[,]αβ上连续 . 2) 可微性: (,)f x u 与fu∂∂在R 上连续⇒()u ϕ在[,]αβ上可导且: ()(,)(,)bb a a d d u f x u dx f x u dx du du uϕ∂==∂⎰⎰ 3) 可积性: (,)f x u 在R 连续⇒()u ϕ在[,]αβ上可积且:()(,)(,)bb aau du du f x u dx dx f x u du βββαααϕ==⎰⎰⎰⎰⎰2 . 含参变量的无穷积分● 收敛与一致收敛 称0():(,)u f x u dx ϕ+∞=⎰收敛若(,)f x u 在[,)[,]D a αβ=+∞⨯上定义,0[,]u αβ∀∈0(,)af x u dx +∞⎰收敛.称():(,)au f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ上一致收敛.如果:000,0,[,]A A A u εαβ∀>∃>∀>∀∈有:(,).Af x u dx ε+∞<⎰● 一致收敛的无穷积分的性质:1) 连续性: (,)f x u 在[,)[,]D a αβ=+∞⨯上连续 ()(,)au f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ上一致收敛，则()u ϕ在[,]αβ上连续 .即：00lim (,)lim (,)aau u u u f x u dx f x u dx +∞+∞→→=⎰⎰.2）可微性：(,)f x u 与(,)u f x u '在D 上连续且(,)af x u dx +∞⎰在[,]αβ120收敛, (,)u af x u dx +∞'⎰在[,]αβ一致连续，则()(,)au f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ可导,且()(,)u a d u f x u dx duϕ+∞'=⎰. 3） 可积性在：(,)f x u 在D 上连续 0()(,)u f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ一致收敛 .则()u ϕ在[,]αβ可积且0()(,)u du dx f x u du ββααϕ+∞=⎰⎰⎰.● 一致收敛的判别法：1) Cauchy 准则： (,)af x u dx +∞⎰在区间I 一致收敛⇔01200,A A A A u ε∀>∃∀>∀有21(,)A A f x u dx ε<⎰2）Weierstrass 判别法： (,)(,)().x y f x y g x ∀<且()ag x dx +∞⎰收敛(,)af x u dx +∞⇒⎰一致收敛 .3）Dirichlet 判别法: ,(,)AaA a u If x u dx M ∀>∀∈≤⎰.,(,)u I g x u ∀∈关于u 单调，且0(,)g x u x u I →∞∈且则(,)(,)af x ug x u dx +∞⎰在I 上一致收敛 .典型例题： 例1、研究122()()yf x F y dx x y =+⎰的连续性. 其中()f x 在[0,1] 上是正的连续函数： 解：0y ∀∈.00y ≠时，取0y δ<，则000[,]y y δδ∉-+.显然函数22()yf x x y+在00[0,1][,]y y δδ⨯-+上连续 .根据含参变量积分的连续性，()F y 在00[,]y y δδ-+上连续 .00y =时 0()0F y =.因()f x 在[0,1]是正的连续函数 .[0,1]:min ()0x m f x ∈=>(0,1)y ∈时 12201()4ym F y dx marctg m x y y π≥=>+⎰121(1,0)y ∈-时 1221()4ym F y dx marctg m x y y π≤=<-+⎰lim ()0y F y ±→∴≠ ()F y ∴在(,0)(0,)-∞∞上连续 .例2、求()F y '1） sin ()b y a yxy F y dx x++=⎰2） 22()y x yy F y e dx -=⎰解：1） sin ()sin ()()cos b y a y y b y y a y F y xydx b y a y++++'=-+++⎰ 1111sin ()sin ()y b y a a y y b y y a y ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2） 222222()()y x yxy x yyx y x yF y y ey ee dx y---==∂'''=--∂⎰253222y y y x y yyeex e dx ---=--⎰例3、设2sin()()sin xy xy F x dy y yπ=-⎰ 求 10()F x dx ⎰解：因函数sin()sin y xy y y-在[0,1][,2]ππ⨯上连续，由含参变量积分的积分性质：11200sin()()sin y xy F x dx dx dy y yππ=-⎰⎰⎰21sin()sin y xy dy dx y yππ=-⎰⎰21cos sin ydy y yππ-=-⎰2l n sin ln 2y yππ=-=例4、应用对参数的微分法计算积分：222220ln(sin cos )a x b x dx π+⎰解： 视b 为常数 . a 为参变量 .若00a b >>222220()ln(sin cos )I a a x b x dx π=+⎰1222222202sin ()sin cos a xI a dx a x b xπ'=+⎰若a b = 2202()sin 2I b xdx b b ππ'==⎰若a b ≠作变量代换 t tgx =2222202()(1)()b a t dtI a a t t +∞'=++⎰ 2222222a b a at arctg t arctg a a b a b b b +∞⎛⎫=- ⎪--⎝⎭ a bπ=+()(0,)I a a a bπ'∴=∀∈+∞+积分得：()ln()(0,)I a a b c a π=++∈+∞ 令a b =，()ln(2)I b b c π=+而 22120()ln ln ln I b b dx b c πππ==∴=⎰ ()ln2a bI a π+∴= 若0a <或0b < 同理可得：||||()ln 2a b I a π+=例5、证明下列积分在指定区域一致收敛： 1） 00sin 0x e xdx ααα+∞-<≤<∞⎰2） 1cos xp xe dx xα+∞-⎰ 00p α≤<+∞> 解： 1） 0sin x x e x e αα--≤ 且 00x e dx α+∞-⎰收敛 故积分0sin x e xdx α+∞-⎰ 收敛 .2）由于1cos 2Axdx ≤⎰0α≥时 xp e xα-在1x ≥关于x 递减且10x p p e x x α-<<，故x →+∞ 时 x p e x α-一致趋于0 .由Dirichlet 判别法：1cos x p xe dx xα+∞-⎰在1230α≤<+∞一致收敛 . 练习题：1、求下列极限：1） 1220lim 1y yy dxx y+→++⎰2）10lim y -→⎰ 2、 求()F y ' 1） 0ln(1)()y xy F y dx x+=⎰2） 12()(,)(,)()yF y f x y x y dx f u v c =+-∈⎰3、 设()f x 是以2π为周期的连续函数，令1()()2x hx h F x f t dt h+-=⎰. 试求()F x 的Fourier 系数 . 4、 应用对参数的微分法求积分：20ln(12cos )a x a dx π-+⎰5、设()f x 连续、10()()()xn F x f t x t dt -=-⎰，求()()n F x .6、设2cos 0()cos(sin )xx F x e x d θθθ=⎰，求证：()2F x π≡.7、求下列积分的收敛域：1）201ax e dx x -+∞+⎰2） 20ln p dxx⎰ 8、研究下列积分在指定区间内的一致收敛性：1） 1x x e dx a b αα∞-≤≤⎰2） 0sin 0xx e dx xαα+∞-≤<∞⎰ 3）200x dx αα-≤<∞⎰4） 22(1)sin x e dx ααα+∞-+-∞<<+∞⎰9、 求函数20sin(1)()xF dx xαα+∞-=⎰的不连续点. 10、 设()f x 连续且()A f x A dx x +∞∀>⎰收敛 .试证：0()()(0)ln 00f ax f bx bdx f a b x a+∞-=>>⎰ 11、 利用第10题结果计算：0cos cos00 ax bxdx a bx+∞->>⎰12、利用对参量的微分法计算：2200 ax bxe edx a bx--+∞->>⎰124。
第十二章反常积分与含参变量的积分
Ak
f ( x)dx
证明提示:
f ( x)dx lim
n
f ( x)dx
Ak 1 Ak
lim
k 1
f ( x)dx
k 1
Ak 1
Ak
f ( x)dx
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四、无穷积分的判别法
定理1
a
| f ( x) | dx 收敛
u
u
a
| f ( x) | dx 有上界。
a
| f ( x) | 注意 lim l ， ( l ) g( x ) | f ( x ) | ( l ) g( x ) 则 x g ( x )
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由
a
dx 当 p 1 时，收敛； (a 0) p x 当 p 1 时，发散．
u
由函数极限的柯西准则 ，得 定理 11.1（Cauchy准则）
a
f ( x )dx 收敛 0, G a , u1 , u2 G , 有
a
u2
f ( x )dx f ( x )dx
a
u1
u
u2
1
f ( x )dx .
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性质1
若
a f ( x )h( x )dx h(a )a
b b a a
b
f ( x )dx [ g(a ) g(b)] f ( x )dx.
a b a
f ( x )h( x )dx f ( x ) g( x )dx g(b) f ( x )dx, [ g(a ) g(b)] f ( x )dx f ( x ) g( x )dx g(b) f ( x )dx,
高等数学第19章第2节含参量反常积分
第十九章 含参量积分§2 含参量反常积分一、 一致收敛性及其判别法注．：1)如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。
☆ 首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。
注．：1) 注意一致收敛的整体性. 2）注意大N 的公共性.定理19.7（一致收敛的柯西准则） 含参量反常积分(1)在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在某一实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切[]b a x ,∈，都有,),(21ε<⎰A A dy y x f （3）例1 证明含参量反常积分⎰+∞sin dy yxy（4） 在[)+∞,δ上一致收敛()0＞其中δ，但在()∞，＋0内不一致收敛。
证：1）(只需证明0,0>∃>∀N ε，使得当N A >时，对一切δ≥x 有ε<⎰∞+Ady yxysin 即可.)①对任意.0>A 作变量代换xy u =，可得,sin sin du uu dy y xyAx A⎰⎰+∞+∞= （5）②由于du uu⎰+∞sin 收敛，故对任给正数ε，总存在正数M ，使当M A >'，就有.sin 'ε<⎰∞+du uuA ③因为,0>≥δx 所以δA Ax ≥,取δMN =,则当δMN A =>时,M A Ax >≥δ由上式,对一切,0>≥δx 有.sin ε<⎰∞+du uuAx又由（5）可得ε<⎰∞+Ady yxysin 所以(4)在,0>≥δx 上一致收敛。
2）现在证明(4)在()+∞,0内不一致收敛。
（由一致收敛定义，只要证明：存在某一正数0ε，使对任何实数()c M >，总相应地存在某个M A >及某个∈x []b a ,，使得.),(0ε≥⎰+∞Ady y x f ）①由于非正常积分⎰+∞0sin du u u收敛(在本节例6中我们将求出这个积分的值），所以⎰⎰+∞+∞→=+00sin sin lim du uu du u u b b ，即0,0>∃>∀δε，当),0(δ∈b 时有,s i ns i n 00ε<-⎰⎰∞+∞+bdu uu du u u②对任0>M 总存在某个)0(>x ，(不妨取Mx 2δ=)，使得δδ<=<20Mx 所以有：,sin sin 00ε<-⎰⎰∞+∞+Mx du u u du u u即.sin sin sin 0000εε+<<-⎰⎰⎰+∞+∞+∞du uu du u u du u uMx （6） ③现令⎰+∞=00sin 21du uuε，由(5)及不等式(6)的左端就有0002sin sin εεε=->=⎰⎰+∞+∞Mx Mdu uu dy y xy即：.sin 0ε≥⎰∞+Mdy yxy所以(4)在()+∞,0内不一致收敛． ▌☆ 关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理． 定理19．8 含参量反常积分(1)在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A (其中c A =1)，函数项级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n（7）在[]b a ,上一致收敛．证： )⇒ [必要性]由(1)在[]b a ,上一致收敛，故对任给ε>0，必存在M>c ，使当M A A >>'"时，对一切∈x []b a ,，总有.),("'ε<⎰A A dy y x f （8）又由()∞→∞→n A n ，所以对正数M ，存在正整数N ，只要当m>n>N 时，就有M A A n m >>+1．由(8)对一切∈x []b a ,，就有.),(1ε<⎰+n mA A dy y x f又∵)()(),(),(),(111x u x u dy y x f dy y x f dy y x f m n A A A A A A m mn nn m++=++=⎰⎰⎰+++∴ ε<++)()(x u x u m n 这就证明了级数(7)在[]b a ,上一致收敛．[]充分性（不要求，略，但可以看懂） 用反证法．假若(1)在[]b a ,上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得对于任何实数M>c ，存在相应的M A A >>'"和[]b a x ,'∈.使得.),(0'"'ε≥⎰A A dy y x f现取{}c M ,1m ax 1=，则存在112M A A >>及[]b a x ,1∈，使得 .),(0121ε≥⎰A A dy y x f一般地，取{})2(,max )1(2≥=-n A n M n n ，则有n n n M A A >>-122及[]b a x n ,∈，使得.),(0212ε≥⎰-nn A A n dy y x f （9）由上述所得到的数列{}n A 是递增数列，且+∞=∞→n n A lim ．现在考察级数.),()(111∑∑⎰∞=∞=+=n n A A nn ndy y x f x u由(9)式知存在正数0ε，对任何正整数N ，只要n>N ，就有某个[]b a x n ,∈，使得.),()(02122ε≥=⎰+n nA A n n n dy y x f x u这与级数(7)在[]b a ,上一致收敛的假设矛盾．故含参量反常积分(1)在[]b a ,上一致收敛. ▌ 注．：1) 只要反常积分[]⎰+∞∈cb a x dy y x f ,,),(收敛到)(x I (未必一致收敛) ,就有=)(x I ∑⎰∑∞=∞===+111),()(n A A n nn ndy y x f x u[]⎰+∞∈cb a x dy y x f ,,),(.2)定理中的函数项级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n将与反常积分(1)一致收敛到同一函数[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,),()(.☆☆ 下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法．由于它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿，故从略．判别法1：（魏尔斯特拉斯M 判别法） 设有函数)(y g ，使得.,),(),(+∞<≤≤≤≤y c b x a y g y x f若⎰+∞cdy y g )(收敛，则⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛．判别法2：（狄利克雷判别法） 设)(i 对一切实数N>c ，含参量正常积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x 在[]b a ,上一致有界，即存在正数M ，对一切N>c 及一切∈x []b a ,，都有;),(M dy y x f Nc≤⎰)(ii 对每一个∈x []b a ,，函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量),(,y x g x 一致地收敛于0， 则含参量反常积分 ⎰+∞cdy y x g y x f ),(),(在[]b a ,上一致收敛．判别法3：（阿贝耳判别法） 设)(i ⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛；)(ii 对每一个[]b a x ,∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量x ，),(y x g 在[]b a ,上一致有界，则含参量反常积分⎰+∞cdy y x g y x f ),(),(在[]b a ,上一致收敛。
数学分析 第七讲 反常积分【精选文档】
第七讲非黎曼积分（反常积分）一、知识结构我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）. 下面研究积分区间无限，或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要研究它的计算问题,而对反常积分,主要研究它的收敛问题.1、一元函数的反常积分(1）一元函数反常积分的概念和定义我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间或有限闭区域，如果将积分区间换成无限区间或非闭区间（是被积函数的瑕点）或,由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常”指将黎曼积分中的有限闭区间换成无限区间或非闭区间（是被积函数的瑕点，即函数在点处无界)。
定义1函数在无限区间连续，则定义，如果极限存在，我们称反常积分收敛。
定义2函数在非闭区间连续,而在点右邻域内无界（是被积函数的瑕点）即函数在点无界，则定义，如果极限存在，我们称反常积分收敛.函数在点右邻域内无界的意思是：。
注意：函数在点没有定义，但函数在点右极限可以存在,这时不是被积函数的瑕点.例如，函数在点处没有定义,但,所以不是积分的瑕点。
不是反常积分。
将积分看作推广的黎曼积分. 因为, 如果被积函数在闭区间上仅有有限个第一类间断点，则积分为推广的黎曼积分，它也是收敛的。
定义3函数在开区间内连续，都是函数的瑕点,则定义,如果极限和均存在,我们称反常积分收敛。
定义4 函数在无限区间连续,是函数的瑕点，则定义，如果极限和均存在，我们称反常积分收敛.②积分区域无限且被积函数有瑕点(了解）.2、一元函数反常积分的性质与收敛判别请同学们切记如下例子中的结论。
例讨论积分和的敛散性.解显然和均发散。
在区间上, 当时，函数，即前者的图像在后者的图像下方，这时收敛(请同学给出证明)。
当时, 函数, 即前者的图像在后者的图像上方,这时发散（请同学给出证明）。
在区间上, 当时, 函数, 即前者的图像在后者的图像上方,这时发散(请同学给出证明）。
反常积分与含参量积分-PPT精品文档
设函数 f ( x ) 在区间( , ) 上连续 , 如 果 广义 积 分 f ( x )dx 和 0
0
f ( x )dx 都收 敛 ， 则
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( , ) 上的广义积分，记作
0
f ( x )dx .
0
b
a
b
. lim arctan alim arctan b a b 2 2
例2 计算广义积分 2 解
1 1 sin dx . 2 x x
2
1 1 1 1 sin dx sin d 2 2 x x x x
a
b
( ,b] 上 限 为 函 数f (x)在 无 穷 区 间 的 广 义 积
分 ， 记 作 . f (x)dx
b
lim f(x ) dx f (x)dx a a
b
b
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
dx . 2 1 x
0 dx dx dx 1 x 2 1 x2 0 1 x2
b 1 1 lim dx lim dx 2 2 a a1 b 0 1 x x
0
lim arctan x lim arctan x 0 a
b
在区间 ( a , b ] 上的广义积分，记作 a f ( x ) dx .
lim f ( x ) dx a f (x)dx 0a
b
b
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
数学分析之反常积分
在任何 [a , u] [a , b] 上可积.
若 f 的瑕点 c (a , b ) , 定义
a f ( x )dx a f ( x )dx c f ( x )dx
lim f ( x )dx lim f ( x )dx.
u c
b
b
c
b
u
b
a
v c
dx 当 1 q 时, q 发散. 0 x
1
同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱 布尼茨公式写作
a
b
f ( x ) dx F ( x ) a F (b) F (a )
b
F (b) lim F ( u).
ua
例4 计算瑕积分 0 ln x dx . 解
u
1 , u dx lim p p 1 u 1 x ,
y
p 1
p 1, p 1.
1
p 1 p 1
1 y p x
p 1
若 f (x) 的原函数为 F (x),
p 1
O
1
p 1
x
则无穷积分的牛顿－莱布尼茨公式可写作
a
f ( x ) dx F ( x )
0
0 2 2
0
a
dx 2 2 a x
lim
a
dx
例7 计算广义积分 解
2
1
dx . x ln x
2 1
1
2
dx x ln x
2 1
lim
0
dx x ln x
2
lim
反常积分与含参量积分
§12.1无穷积分
定义 1 设函数f (x)在区间[a,)上连续，取
ba，如果极限lim b b a
f
(x)dx存在，则称此极
限为函数f (x)在无穷区间[a,) 上的广义积
分，记作 a
f
(x)dx.
b
a
f
(x)dxlim ba
1q
当 q1时 广 义 积 分 发 散 .
例7
计算广义积分
2 dx . 1 x ln x
解
2 1
dx x ln x
2
lim
dx
0 1 xlnx
lim2 0 1
d(lnx) lnx
l i0m ln(x)l1 2 n
l 0 i lm n 2 ) (lln n 1 ()l) n(
0 , x 0
四 、
x
f ( t )dt
1
4
x2
,0
x 2.
x 1 , 2 x
§12.3 无穷限的广义积分的审敛法
不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法.
定理１ 设 f(x函 )在 数区[间 a,)上连续，
且f(x)0．若函F(数 x)
线 左边,曲线 y f (x)和 x 轴 所 围图形的 面积 .
二 、 1 、 p ； 2 、 ； 3 、n! ； 4 、 发 散 ；
p2 1
5、2 2 ； 3
6、 0； 7、(1)n n! .
三 、 当 k 1时 收 敛 于 1 (b a )1k ； 当 k 1 时 发 散 . 1 k
a
含参量反常积分55页文档
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
含参量反常积分
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6、黄金时代是在我汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
§5.7 反常积分 高等数学上课件
穷区间 (, b] 上的反常积分，记为 b f ( x)dx ，即
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a a
②
这时也称反常积分收敛；否则称反常积分发散。
定义 3 设函数 f ( x)C(, ) ，cR ，若广义积分
c f ( x)dx 与 f ( x)dx 都收敛，则称两个反常积分之和
. 24
解 法 2 ： x t t ， d a s 2 t x n ， e d c t
0(11x2)2dx
2 0
sec2 sec4
t t
dt
2cos2tdt.
0
4
通过换元把反常积分化为常义积分。
反常积分和常义积分计算方法相同，反常积分 代限有三句话：“能代则代之，代不了则取极限， 极限不存在则积分发散。”
二、无界函数的反常积分
定义 4 设函数 f ( x)C(a,b]，且 lim f ( x) ，取 0 ，
xa
若 lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为 f ( x) 在区间(a,b] 0 a
上的反常积分，记为
b a
f
(
x)dx
，即
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
lim ln x ab lim [lb n a)( ln ] ,
0
a 0
当 q 1 时 ， a b ( x d a ) q l 0 x a b i ( x d a m ) qx
, q1
lim1 (xa)1qb
01q
a
(b a )1q 1q
,
q1
故反常积分
(q 积分)
lim (1)lim (11), 0 x 1 0