2021学年高中数学第三章概率3.3.1几何概型学案含解析人教A版必修3.doc

3．3 几何概型

3．3.1几何概型

[目标] 1.了解几何概型与古典概型的区别；2.理解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型的概率．

[重点] 几何概型的特点及概念的理解．

[难点] 应用几何概型的概率公式求概率．

知识点一几何概型的概念

[填一填]

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

几何概型的特点如下：

(1)无限性，即在一次试验中，基本事件的个数是无限的；

(2)等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的．

[答一答]

1．古典概型和几何概型有何异同点？

提示：相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．

不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关．2．下面两个事件是几何概型吗？

(1)一个人骑车到路口，恰好红灯；

(2)一个人种一颗花生，发芽．

提示：(1)满足无限性和等可能性，是几何概型；(2)种一颗花生所有可能出现的结果只有两种，发芽和不发芽，不满足无限性，发芽与不发芽的概率不相等，不满足等可能性，故不是几何概型．

知识点二几何概型的概率公式

[填一填]

在几何概型中，事件A的概率计算公式为P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)

.

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

[答一答]

3．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关系吗？

提示：几何概型的概率只与构成事件的区域的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．

4．概率为0的事件是否一定是不可能事件？

概率为1的事件是否一定会发生？

提示：在几何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A的概率P(A)＝1，则A也不一定是必然事件．

类型一几何概型的判断

[例1]判断下列概率模型，为几何概型的是________．

①在区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率；

②在区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；

③在区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；

④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率．

[解析]①中概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]有无限多个点，且区间内每个数被取到的机会相等；②中概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③中概率模型不是几何概型，因为在区间[－10,10]内的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；

④中概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的可能性相等，故满足无限性和等可能性．[答案]①②④

判断一个概率模型是否为几何概型，通常只需要考虑所给的试验中基本事件的个数是否是无限的即可，这与古典概型的考查点不一样，同时要注意，基本事件的“等可能性”的判断也是不能忽视的.

[变式训练1]判断下列试验是否为几何概型，并说明理由．

(1)明天某个市区降水的概率；

(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与之连接，求弦长超过半径的概率．

解：(1)不是几何概型，因为其不具有等可能性；

(2)是几何概型，因为其具有无限性与等可能性，符合几何概型的特征．

类型二几何概型的概率计算

命题视角1：“长度型”几何概型

[例2](1)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为5

6，则m＝

________.

(2)公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率．

[分析]乘客在0～10分钟之间的每一时刻到达，都是一个基本事件，基本事件有无穷多个，而每一个基本事件的发生都是等可能的，符合几何概型的条件．

[解析](1)由几何概型知：5

6

＝

m－(－2)

6⇒m＝3.

(2)解：乘客在0～10分钟之间的任何一个时刻到达车站是等可能的，因此本题属于几何概型．设事件A为“乘客候车时间不超过6分钟”，汽车每隔10分钟一趟，若事件A发生，

则乘客必须在[4,10]时间段内到达汽车站，所以P(A)＝10－4

10

＝3

5.

[答案](1)3(2)见解析

解答此类问题的关键是将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度，进而求解.此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.

[变式训练2] 在区间[－π，π]上随机选取一个实数

x ，则事件“sin x ≥1

2”发生的概率为

13

. 解析：解三角不等式sin x ≥12在区间[－π，π]的解集为：[π6，5π

6]，设“在区间[－π，π]上

随机选取一个实数x ，则事件‘sin x ≥1

2

’”事件为A ，则此事件为几何概型中的线段型，则

P (A )＝

5π6－π6

π－(－π)＝13.

命题视角2：“角度型”几何概型

[例3] 如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM

[解] 在AB 上取AC ′＝AC ， 则∠ACC ′＝180°－45°

2

＝67.5°.

设A ＝{在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM

4

.

在解答本题的过程中，易出现用线段来代替角度作为区域度量来计算概率的错误，导致该种错误的原因是忽视了基本事件的形成过程.

[变式训练3] 如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，求∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率．