勾股定理立体图形中最短路径
勾股定理中的最短路径问题与翻折问题(五大题型)(原卷版)
专题01 勾股定理中的最短路径问题与翻折问题（五大题型）【题型1 与长方形有关的最短路径问题】【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】【题型3 与台阶有关的最短路径问题】【题型4将军饮马与最短路径问题】【题型5几何图形中翻折、旋转问题】【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下：几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解【题型1 与长方体有关的最短路径问题】【典例1】（2023•丹江口市模拟）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（）cm．A．10B．50C．10D．70【变式1-1】（2022秋•新都区期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm，10cm，20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点B，蚂蚁爬行的最短路程是（）A．10cm B．25cm C．5cm D．5cm【变式1-2】（2023春•光泽县期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．5B．25C．D．35【变式1-3】（2023春•灵丘县月考）如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与点C之间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（）A．B．5cm C．4cm D．【变式1-4】（2022秋•莲湖区期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（）A．B．C．D．【变式1-5】（2022秋•汝阳县期末）如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（）A．B．C．D．【变式1-7】（2022秋•平昌县期末）如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（）A．12B．15C．18D．21【变式1-8】（2023•陇县三模）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）厘米．A．8B．10C．12D．13【变式1-10】（2022春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）A．cm B．4cm C．cm D．5cm【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】（2023春•防城区期中）如图，一圆柱高BC＝12πcm，底面周长是16πcm，【典例2】P为BC的中点，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点P处吃食，要爬行的最短路程是（）A．12πcm B．11πcm C．10πcm D．9πcm【变式2-1】（2023春•德州期中）如图，圆柱形玻璃容器高18cm，底面圆的周长为48cm，在外侧底部点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧顶端的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（）A．52cm B．30cm C．D．60cm【变式2-2】（2023春•夏津县期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m 时，这段葛藤的长是（）m．A．3B．2.6C．2.8D．2.5【变式2-3】（2023春•东港区校级月考）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB＝5，P点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（）A．26B．13+C．13D．2【变式2-4】（2023春•富顺县校级月考）如图，一个底面圆周长为24cm，高为9cm的圆柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最短路线长为（）A．cm B．15cm C．14cm D．13cm【变式3-5】（2022秋•蒲城县期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为20cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A．20πcm B．40πcm C．D．【变式2-6】（2023春•宣化区期中）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm【变式2-7】（2023春•随县期末）如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要m．【题型3 与台阶有关的最短路径问题】【典例3】（2023春•连山区期末）如图是楼梯的一部分，若AD＝2，BE＝1，AE＝3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（）A．B．3C．D．2【变式3-1】（2022春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）cm．A．10B．50C．120D．130【变式3-2】（2023春•西塞山区期中）如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是m．【变式3-3】（2022秋•叙州区期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A 点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．【题型4将军饮马与最短路径问题】【典例4】（2022秋•辉县市校级期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（）cm．A．15B．C．12D．18【变式4-1】（2022春•吴江区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（）A．13cm B．3cm C．cm D．2cm【变式4-2】（2023春•临潼区期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【变式4-3】（2022秋•牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）（π取3）m．A．30B．28C．25D．22【变式4-4】（2022秋•雁峰区校级期末）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（）A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm【变式4-5】（2022秋•郫都区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为22cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯上沿3cm的点B处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底5cm与面包渣相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．【题型5几何图形中翻折、旋转问题】【典例5】（2022秋•大东区校级期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．6【变式5-1】（2022春•安乡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝10，点D为BC的中点，点E为AC边上一动点，连接DE．将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C'．若△AEC'为直角三角形，则AE的长为．【变式5-2】（2023春•长沙期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．【变式5-3】（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【变式5-4】（2020秋•海宁市期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D为BC上一点，将△ABD沿AD折叠至△AB′D，AB′交线段CD 于点E．当△B′DE是直角三角形时，点D到AB的距离等于．【变式5-5】（2020•浙江自主招生）将一直径为25cm的圆形纸片（如图①）剪成如图②所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体形状的纸盒（如图③），则这样的纸盒体积最大为cm3．【变式5-6】（2022秋•和平区期中）一长方体容器（如图1），长、宽均为2，高为8，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD＝．【变式5-7】（2022春•温州期末）图1是一款平衡荡板器材，示意图如图2，A，D为支架顶点，支撑点B，C，E，F在水平地面同一直线上，G，H为荡板上固定的点，GH∥BF，测量得AG＝GH＝DH，Q为DF上一点且离地面1m，旋转过程中，AG始终与DH保持平行．如图3，当旋转至A，Q，H在同一直线上时，连结G′Q，测得G′Q＝1.6m，∠DQG′＝90°，此时荡板G′H′距离地面0.6m，则点D离地面的距离为m．【变式5-8】（2022•公安县模拟）某厂家设计一种双层长方体垃圾桶，AB＝84cm，BC＝30cm，CP＝36cm，侧面如图1所示，EF为隔板，等分上下两层．下方内桶BCFG绕底部轴（CP）旋转打开，如图2，将其打开后点G卡在隔板上，此时可完全放入下方内桶的球体的最大直径为25.2cm，求BG的长度为cm．。
用勾股定理求最短路径课件
左面和上面
前面和右面
前面和上面
四、圆柱(锥)中的最值问题
底面圆周长的
B
C 一半
B
h
A
结论：圆柱体中的最短路径为展 开图中一半矩形的对角线长
AB=25
2 Ｂ
长方体中的最值问题（续）
例4、如图，长方体的长
为15 cm，宽为 10 cm，高
为20 cm，点B离点C 5 cm,
一只蚂蚁如果要沿着长方
体的表面从点 A爬到点B，
需要爬行的最短距离是多
少？
A
5B
C
20
15
10
E
5B C
20
15
A 10 F
E C5 B
20
A 10
5
B C
20
15 A 20
父 述 传 ， 欣 然承应 ，以表 缅怀， 寄字天 堂，遥 祝寝安 ！
蚂蚁A→B的路线
方案(2)
A’
B
A B
A
A
怎样计算AB？
A’ r
O
B
4
侧面展开图
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
A2B A A 2A 'B 2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
圆柱(锥)中的最值问题
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC
=
24
×
1 2
= 12，
在Rt△ABC
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169,
∴AB=13(m) .
正方体中的最值问题
例2、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
用勾股定理求几何体中的最短路线长课件
问题描述
问题定义
给定一个几何体，如长方体、球体等，求从一个顶点到另一个顶点的最短路线长 度。
问题分析
最短路线问题可以通过几何学中的勾股定理进行求解。勾股定理是直角三角形中 ，直角边的平方和等于斜边的平方。在三维空间中，可以利用勾股定理找到最短 路径。
02
勾股定理简介
勾股定理的定义
勾股定理：在直角三角形中，直角边 的平方和等于斜边的平方。即，如果 直角三角形的两条直角边长度分别为 a和b，斜边长度为c，则有a^2 + b^2 = c^2。
用勾股定理求几何体中的 最短路线长ppt课件
• 引言 • 勾股定理简介 • 几何体的最短路线问题 • 用勾股定理求解最短路线长 • 结论
01
引言
目的和背景
目的
介绍如何使用勾股定理在几何体中寻找最短路线长度。
背景
几何体中的最短路线问题在实际生活中有着广泛的应用，如建筑、工程、机器 人等领域。通过解决这类问题，可以优化设计、提高效率、降低成本等。
THANKS
感谢观看
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法有多种，其中比较常见的是欧几里得证 明法。该证明方法利用了相似三角形的性质和边长之间的关 系，通过一系列的推导和证明，最终证明了勾股定理。
除了欧几里得证明法外，还有其他的证明方法，如利用代数 方法和微积分方法等。这些证明方法虽然不同，但都能够证 明勾股定理的正确性。
的性质和勾股定理得出的结论。
空间几何体中的最短路线问题
1 2 3
球面几何中的大圆弧最短
在球面几何中，两点之间的大圆弧是最短的路径 。大圆弧是指经过球心并与球面相切的圆弧。
圆柱体或圆锥体中的母线最短
在圆柱体或圆锥体中，从顶点到底面的母线是最 短的路径。母线是与底面平行的线段，也是旋转 轴。
勾股定理(求立体图形中的最短路径问题1)
勾股定理(求立体图形中的最短距离 1）
学习探究一 圆柱体表面的最短路径
为筹备2019 年国庆晚会，同学们设计了一个圆筒 形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油线，如图 所示1，已知圆筒高 30cm ，其横截面周长为 40cm ， 如果在圆筒表面恰好能缠绕油线 1圈，应至少裁剪 ____2____cm 的油线．
3
我可以这样想……
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
把圆柱形直筒沿 AD 所在直线展开，先求出第一圈 油线的最短长度。
E
在Rt△ABD 中，由勾
股定理得
D
D
D
AD 2=BD 2+AB 2
30c
A
A
A
mB
40cm
AD? 302 ? 402 ? 502 ? 50
50 ×2=100
如果油线缠绕四圈呢？缠绕 n圈呢？
我可以这样想……
通过平移把第一圈油线和第二圈油纸首尾衔接，构建 直角三角形，求最短距离。
E
E
E
D60c m
D 40c
m
D
60c m
A 40c
A 40c
A
80c
O
m
m
m
在Rt△AEO 中，由勾股定理得
AE 2=EO 2+AO 2
AE ? 602 ? 802 ? 1002 ? 100
学习探究二 长（正）方体表面的最短路径
? 如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁 从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到 顶点F的最短距离是 ________ ．
3
A
①展开
D
②定点
③连线
④计算
AD ? 30 2 ? 40 2 ? 50 2 ? 50
勾股定理求最短路径方法技巧
勾股定理求最短路径方法技巧摘要：1.引言2.勾股定理简介3.求最短路径方法技巧4.应用实例与分析5.结论正文：【引言】在数学领域中，勾股定理及其求最短路径方法一直是备受关注的热点。
本文将详细介绍勾股定理求最短路径的方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这一理论。
【勾股定理简介】勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边平方和等于斜边的平方。
其数学表达式为：a + b = c。
其中a、b为直角边，c为斜边。
【求最短路径方法技巧】利用勾股定理求最短路径，关键在于找到起点和终点之间的直角三角形，然后运用勾股定理计算出路径长度。
这里有两种求最短路径的方法：1.直接法：在平面上给定两个点A和B，找出一条直线路径，使得这条路径上的所有点与A、B两点的距离之和最小。
可以通过构建直角三角形，利用勾股定理求解路径长度。
2.间接法：先找到起点和终点之间的中间点C，然后分别计算从起点到C 点和从C点到终点的路径长度。
最后在所有路径中选择长度最短的一条。
同样可以利用勾股定理计算路径长度。
【应用实例与分析】以一个简单的平面直角坐标系为例，设有两点A(0, 0)和B(3, 4)。
现在需要求从A点到B点的最短路径。
首先，求出AB的中点C：(1.5, 2)。
然后，分别计算从A到C和从C到B 的路径长度。
AC的长度：√((1.5-0) + (2-0)) = √(2.25 + 4) = √6.25BC的长度：√((3-1.5) + (4-2)) = √(1.25 + 4) = √5.25现在可以计算出从A点到B点的最短路径长度：√6.25 + √5.25 ≈ 7.27【结论】通过以上分析，我们可以看出，利用勾股定理求最短路径方法是简单且实用的。
只需找到起点和终点之间的直角三角形，然后运用勾股定理计算路径长度，最后在所有路径中选择长度最短的一条。
人教版八下数学 第17章 勾股定理 微专题三 立体图形中的最短线路问题
人教版八下数学第17章勾股定理微专题三立体图形中的最短线路问题1.如图，圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后一位）？2.如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为( )A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm3.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽路不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且在离容器上部3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是( )A．13cm B．2√61cm C．√61cm D．2√34cm4.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为( )A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm5.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺．6.如图①，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图①所示，设长度为l1．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图②所示，设长度为l2．请按照小明的思路补充下面解题过程：(1) 解：l1=AB+BC=2+8=10，l2=√AB2+BC2=√22+(4π)2=√4+16π2；∵l12−l22=．(2) 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）①此时，路线1:l1=；路线2:l2=．②选择哪条路线较短？试说明理由．答案1. 【答案】答图略，将圆柱展开，侧面为矩形，∴AB=√(6π)2+102≈21.3(cm)．答：蚂蚁从点A爬到点B的最短路程约是21.3cm．2. 【答案】D3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】256. 【答案】(1) 96−16π2(2) ① 8；2√4+π2② ∵l12−l22=82−(16+4π2)=48−4π2=4(12−π2)>0．∴l12>l22，即l1>l2．所以选择路线2较短．【解析】(1) l1=AB+BC=2+8=10，l2=√AB2+BC2=√22+(4π)2=√4+16π2，∵l12−l22=102−(4+16π2)=96−16π2=16(6−π2)<0，∴l12<l22，即l1<l2，所以选择路线1较短．。
勾股定理中的四类最短路径模型(学生版)--初中数学
勾股定理中的四类最短路径模型勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。
人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。
对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。
对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。
模型1.圆柱中的最短路径模型【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。
注意：1)运用勾股定理计算最短路径时，按照展开-定点-连线-勾股定理的步骤进行计算；2)缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
【最值原理】两点之间线段最短。
1(2023·广东·八年级期中)如图，一个底面圆周长为24cm，高为9cm的圆柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最短路线长为()A.413cmB.15cmC.14cmD.13cm【答案】D【分析】将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：将圆柱体的侧面展开，连接AB，如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm，则BD=24×12=12cm，又因为AD=9-4=5cm，所以AB=122+52=13(cm)，即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13cm．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的应用-最短路径问题．解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理进行求解．2(2023·重庆·八年级期末)如图，圆柱形玻璃杯高14cm，底面周长为18cm，在外侧距下底处1cm有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处1cm的外侧点处有一只苍蝇，蜘蛛捕到苍蝇的最短路线长是cm．【答案】15【分析】展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，求出SE、EF，根据勾股定理求出SF即可．【详解】解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则SE=BC=12×18=9(cm)，EF=14-1-1=12(cm)，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF=SE2+EF2=92+122=15(cm)，故答案为15．【点睛】本题考查勾股定理、平面展开-最短路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．3(2023春·山东济宁·八年级校考期中)春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为米．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．1.(2023·湖北十堰·统考一模)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB= CD=20m(边缘的宽度忽略不计)，点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为()A.28mB.24mC.20mD.18m【答案】C【分析】滑行的距离最短，即是沿着AE的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，A、D、E 三点构成直角三角形，AE为斜边，AD和DE为直角边，写出AD和DE的长，根据题意，由勾股定理即可得出AE的距离．【解析】解：将半圆面展开可得：AD =12米，DE =DC -CE =AB -CE =16米，在Rt △ADE 中，AE =122+162=20(米)．即滑行的最短距离为20米．故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，U 型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于AB =CD =20m .本题就是把U 型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．2.(2023春·四川德阳·八年级校考期中)如图，圆柱底面半径为2πcm ，高为9cm ，点A ，B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A ，B 在同一条竖直直线上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为cm ．【答案】15【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B 的运动最短路线是：AC →CD →DB ；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A 沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为2πcm ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2π=4cm ；又∵圆柱高为9cm ，∴小长方形的一条边长是3cm ；根据勾股定理求得AC =CD =DB =32+42=5(cm )；∴AC +CD +DB =15(cm )；故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．3.(2022·山东青岛·八年级期末)如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是( )(π取3)A.60cmB.40cmC.30cmD.20cm【答案】A【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【解析】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC2+BC2=242+182=30cm．∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，∴最短路径长为60cm.故选：A．【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．模型2.长方体中的最短路径模型【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。
勾股定理应用之最短路径问题
沿着台阶面爬到B点去吃可口的食物，最短线路是多少？
A
20
CHale Waihona Puke 解：如图，将台阶3
展开， BC=(3+2) ×3=15AC=2
２
0
∵△ABC为直角
3
三角形 2
答：最短路线
3
是25cm。
2
B
利用勾股定理解决实际问题的一般思路：
1.在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图， 将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模 型，再运用勾股定理解决实际问题。
如图所示，圆柱体的底面周长为18cm ，高AC为12cm ，
一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求出爬
行的最短路程。
解：如图，将圆柱体 展开， BC=18÷2=9 AC=1
2 ∵△ABC为直角 三角形
C
B
答：蚂蚁爬行的最短路线
是15cm。
A
最短路径问题
几何体的表面路径的最短的问题，一般将 立体图形展开为平面图形来计算。
勾股定理 --最短路线问
1
1.两点之间，线段最短！
2.一个圆柱体的侧面展开图是长方形,它的一边长是圆 柱的高,它的另一边长是底面圆的周长。
圆柱侧面两点最短路径问题
如图所示，圆柱体的底面周长为18cm ，高AC为12cm ，
一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求为出什爬么
行的最短路程。
1
1B
B
1
1 1
1
A
1
1
长方体中的最值问题
如图，长方体的长、宽、高分别为4、2、8。现有一蚂
蚁从顶点A出发，沿长方体表面到达顶点B，蚂蚁走的路程
最短为多少厘米？
勾股定理--与最短路径问题
17.1(11)勾股定理--与最短路径问题一．【知识要点】1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型2.垂线段最短型3.造桥选址型二．【经典例题】1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．．的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）.4.编制一个底面半径为6cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222,A CB ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．5.如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______.6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。
7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值.8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm.2A B三．【题库】【A 】1.如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A 出发，在盒子的表面上爬到点C 1，已知AB=7cm ，BC=CC 1=5 cm ，则这只蚂蚁爬行的最短路程是________.2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是________．3.如图，∠ABC ＝30°，点D 、E 分别在射线BC 、BA 上，且BD ＝2，BE ＝4，点M 、N 分别是射线BA 、BC 上的动点，当DM ＋MN ＋NE 最小时，（DM ＋MN ＋NE ）2的值为（ ）A 、20B 、26C 、32D 、36【B 】1.如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A.23 B. 26 C.3 D.6A 1B 1C 1D 1 A B C D2.如图，一个无盖的长方体长、宽、高分别为8cm 、8cm 、12cm ，一只蚂蚁从A 爬到C 1，怎样爬路线最短，最短路径是多少？3．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．22-B ．2C ．21+D ．14．如图，已知圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）A ．4dmB ．2dmC ．2dmD ．4dm8cm 8cm12cm【C 】 1.（8分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村A. 李庄B 到河边的距离分别为2km 和7km ，且张、李二村庄相距13km.(1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置；(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1500元,为使铺设水管费用最节省,请求出最节省的铺设水管的费用为多少元?2.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，PA+PD 长为（ ）A ．8 B.4+15 C ．152 D ．1723.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与 BC 、CD 交于点 E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ）A.2B.23C.2＋3D. 44.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，则△AEF 的周长最小时值为( )A ．17B ．21C ．13+41 D. 13+345.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）。
小专题(一)：利用勾股定律解决最短路径问题
小专题(一)：利用勾股定律解决最短路径问题勾股定律是数学中的一个重要定理，它可以被广泛用于解决最短路径问题。
最短路径问题是在图论中常见的问题，指的是在一个加权有向图或无向图中找到从一个起点到一个终点的最短路径。
理论基础勾股定律可以用于计算两点之间的距离，它表述如下：在直角三角形中，直角边的平方等于另外两个边的平方和。
根据勾股定律，我们可以计算出两点之间的直线距离，然后利用这个距离来比较各条路径的长度，从而找到最短路径。
解决步骤解决最短路径问题可以按照以下步骤进行：1. 确定起点和终点：首先，我们需要确定问题的起点和终点，这两个点将决定我们要找到的最短路径。
2. 创建图并添加权重：根据实际情况，我们需要创建一个加权有向图或无向图，并为图中的边（路径）添加权重。
权重可以代表两点之间的距离、时间或其他衡量指标。
3. 计算距离：利用勾股定律计算两点之间的距离，将其作为边的权重。
4. 应用最短路径算法：根据图的类型和问题要求，选择合适的最短路径算法，如迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法。
5. 输出最短路径：根据算法计算结果，输出起点到终点的最短路径。
示例以下是一个简单的示例，展示如何利用勾股定律解决最短路径问题：假设我们有一个无向图，其中包含5个节点A、B、C、D和E，节点之间的边权重如下：- AB: 3- AC: 4- BD: 2- CE: 5- DE: 3现在我们想找到从节点A到节点E的最短路径。
根据勾股定律，我们可以计算出各路径的长度：- AB: 3- AC: 4- AD: 5- AE: √(3^2 + 4^2) = 5根据距离，我们可以得出最短路径为A -> B -> D -> E，路径长度为7。
结论利用勾股定律可以解决最短路径问题。
通过计算两点之间的距离，我们可以比较各条路径的长度，并找到起点到终点的最短路径。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的最短路径算法来解决问题。
小专题(一)：利用勾股定理解决最短路线问题
小专题(一)：利用勾股定理解决最短路线问题本文将介绍如何利用勾股定理来解决最短路线问题。
在许多实际应用中，我们需要找到两点之间的最短路径。
这个问题在物流、传输网络以及旅行规划等领域都是非常重要的。
勾股定理简介勾股定理是数学中的一个基本定理，用于解决直角三角形中的关系。
根据勾股定理，直角三角形的两个直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，则有以下关系式成立：$c^2 = a^2 + b^2$问题描述假设我们要从A点到B点，但是我们希望走的路径尽可能短。
我们可以将这个问题转化为一个几何问题，即找到直角三角形的斜边长度最小的情况。
解决方法我们可以利用勾股定理来解决这个问题。
假设A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)。
则A点到B点的直线距离为：$d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}$我们可以将坐标系中的点表示为直角三角形的两个直角边，直线距离表示为斜边长度。
根据勾股定理，我们可以通过计算斜边长度来找到两点之间的最短路径。
应用举例假设我们需要规划一条从家到公司的最短路径。
我们可以利用勾股定理来计算不同路径的距离，并选择最短的路径进行出行。
假设家的坐标为(1, 1)，公司的坐标为(5, 5)。
根据勾股定理的计算公式，我们可以得到：$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$所以最短路径的长度为$\sqrt{32}$。
在实际应用中，我们可以通过比较不同路径的长度来选择最优的路径。
总结利用勾股定理解决最短路线问题可以帮助我们在实际应用中找到两点之间最短的路径。
通过将问题转化为几何问题，并利用勾股定理的计算公式，我们可以简单而有效地解决这个问题。
在实际应用中，我们可以根据勾股定理的计算结果选择最优的路径进行出行或者路线规划。
勾股定理在最短路径问题中的应用
『勾股定理在最短路径问题中的应用』一、引言在数学和实际生活中，勾股定理是一个被广泛应用的基本定理，它不仅仅是一个几何定理，还在诸多领域中有着重要的应用，其中就包括最短路径问题。
本文将探讨勾股定理在最短路径问题中的应用，从而帮助我们更深入地理解这一数学原理在实际生活中的作用。
二、最短路径问题概述最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的最短路径，通常以距离或权重来衡量路径的长度。
这个问题在现实生活中有着广泛的应用，比如在网络传输中寻找最短路径可以提高传输效率，在交通规划中寻找最短路径可以节省时间和成本等等。
寻找最短路径是一个被广泛关注的问题。
三、勾股定理在最短路径问题中的应用1. 从原理上来看，勾股定理可以帮助我们计算两点之间的直线距离，这在寻找最短路径时是至关重要的。
通过勾股定理，我们可以准确地计算出两点之间的距离，从而找到最短路径。
2. 勾股定理还可以帮助我们理解和推导其他寻找最短路径的算法，比如迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
这些算法都是建立在对距离的准确计算基础上的，而勾股定理为我们提供了这样的基础知识。
3. 在实际的地图导航中，勾股定理也被广泛应用。
通过勾股定理，地图导航可以准确计算出最短路径，并为我们提供最优的导航方案，从而节省时间和成本。
四、结论和回顾通过本文的探讨，我们更加深入地了解了勾股定理在最短路径问题中的重要应用。
勾股定理不仅仅是一个单纯的数学定理，它还在实际生活中发挥着重要作用，特别是在寻找最短路径这样的实际问题中。
我们应该重视和深入理解勾股定理这一基础数学原理，从而更好地应用它解决现实生活中的问题。
五、个人观点在我看来，数学定理和实际问题之间的联系总是让人感到惊讶和敬畏。
勾股定理作为一个古老的数学定理，竟然在现代的最短路径问题中发挥着如此重要的作用，这让我对数学的普适性有了更深刻的理解。
我相信，随着数学和现实生活的更加深入的结合，我们将能够更好地解决各种实际问题，提高生活质量和效率。
勾股定理在最短路径问题中的应用
勾股定理在最短路径问题中的应用标题：勾股定理的在最短路径问题中的应用导言：最短路径问题是一类在图论中广泛应用的数学问题，它关注着在给定的网络中寻找两个节点之间最短路径所需经过的边或弧的集合。
数学家们在求解最短路径问题的过程中，经过了数不清的探索和尝试。
本文将介绍勾股定理在最短路径问题中的应用，通过深入讨论和具体案例分析，旨在帮助读者更加深入、全面地理解这一主题。
一、勾股定理概述1.1 勾股定理定义勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是三角学中一个经典的定理。
它表明，在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则有a² + b² = c²。
二、最短路径问题介绍2.1 最短路径问题的定义最短路径问题是一个经典的图论问题，它要求在给定的加权有向图或无向图中，求解两个顶点之间的最短路径。
这种路径可能经过一些中间节点，但其总权值和需要最小。
三、勾股定理在最短路径问题中的应用3.1 最短路径问题的建模在最短路径问题中，我们需要将问题建模为一个加权有向图或无向图。
对于一个直角三角形，我们可以将直角边的长度作为边的权值，斜边的长度作为两个节点之间的距离。
3.2 以勾股定理为基础的最短路径算法基于勾股定理的最短路径算法利用了直角三角形的特性，将直角边长度作为边的权值，通过计算两个节点之间的距离来求解最短路径。
3.3 实例分析：勾股定理在最短路径问题中的具体应用通过一个具体的实例，我们可以更好地理解勾股定理在最短路径问题中的应用。
假设我们有一个城市地图，有一辆车位于城市的某个节点A上，我们需要找到车从节点A到达另一个节点B的最短路径。
4. 总结与回顾通过本文的讨论，我们了解了勾股定理在最短路径问题中的应用。
勾股定理提供了一种有效的方法来计算两个节点之间的距离，从而为最短路径问题的求解提供了便利。
通过建立一个适当的数学模型，我们可以利用勾股定理来解决各种实际应用中的最短路径问题。
初中数学华东师大八年级上册第14章 勾股定理利用勾股定理求最短路径(教案)
教学内容：勾股定理的应用——关于最短路径问题知识目标：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。
能力目标：学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。
情感目标：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学。
教学重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。
教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。
教学准备：多媒体课件。
教学过程：一、复习回顾 1. 如图，直角三角形中的三边a ，b ，c 满足什么关系？2. 当a ＝2，b ＝3时，求c ； 当c ＝3，a ＝2时，求b 。
二、新课讲解㈠立体图形中的最短路径1. 正方体蚂蚁怎样走最近：学生分组，测量、画图、计算、总结规律例1 如图，蚂蚁在边长为10cm 的正方体A 处嗅到了放置在正方体的B 处位置上的面包，蚂蚁沿着正方体表面怎样的路线行走才能很快地吃到面包？蚂蚁行走的最短路线长是多少？利用多媒体展示展开图，并引导“两点之间线段最短”得到AB 的最短路径：500201022=+=AB ㎝2. 长方体例2 长为3cm ，宽为1cm ，高为2cm 的长方体，蚂蚁沿着表面从A 到B 爬行的最短路程又是多少呢？教师利用多媒体展示长方体的三种展开方式和计算结果：()189921322=+=++=AB ()2016431222=+=++=AB BBA BA b a c 1 2 3 A B()2625132122=+=++=AB ∴AB 的最短路径为18。
利用以上计算，小结方法：对于一般的长方体，长、宽、高分别为a 、b 、c 时，AB 的最短路径可能有三种情况：⑴()bc c b a c b a AB 222222+++=++= ⑵()ac c b a c a b AB 222222+++=++= ⑶()ab c b a b a c AB 222222+++=++= 要找最短距离，只需要比较bc 、ac 、ab 的大小，取最小值。
专题 勾股定理中的最短路径问题
专题1.4 勾股定理中的最短路径问题目标导航1、熟练掌握勾股定理的最短路径问题（主要包含：长方体、圆柱、圆锥、将军饮马等）。
2、解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.知识精讲知识点01 最短路径问题平面展开图-最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。
【知识拓展1】圆柱有关的最短路径问题【微点拨】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。
要点总结：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
例1．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（）（ 取3）A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm【答案】A【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得2222241830AB AC BC=+=+=cm．∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，∴最短路径长为60cm.故选：A．【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．【即学即练】1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝24πcm，高BC＝10cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为_____cm．【答案】13【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．【详解】将圆柱体的侧面展开，如图所示：AB＝12底面周长＝12×π×24π＝12（cm），BP＝12BC＝5（cm），所以AP＝22125=13+（cm），故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为13cm，故答案为：13．【点睛】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法．2．（2022·浙江金华初三月考）如图，圆柱底面半径为4πcm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）A．24cm B．30cm C．21D．97cm【答案】B【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为4πcm，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×4π＝8cm；又∵圆柱高为18cm，∴小长方形的一条边长是6cm；根据勾股定理求得AC＝CD＝DB＝10cm；∴AC+CD+DB＝30cm；故选：B．【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开−−路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【知识拓展2】长方体有关的最短路径问题想【微点拨】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。
《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计
C BA《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计教材分析 本节课是最短路径问题的延续和拓广，不但要寻找最短路径，还要计算其长度。
在初中阶段，求解两点之间的距离问题多借助勾股定理进行计算，在中考中占有一定地位．而勾股定理是直角三角形非常重要的性质，有极其广泛的应用。
勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是几何图形和数量关系之间的一座桥梁． 学情分析学生在初一上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内，两点之间，线段最短”，初二上学期学习轴对称一章时，又接触了最短路径问题，因此对最短路径问题有一定的理解。
分类讨论一直都是学生觉得比较难掌握的思想方法，分类不清、分类不全是学生经常犯的错误． 教 学 目 标知识目标能运用勾股定理求最短路径问题能力目标学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．情感目标通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学，增强自信心，体现成功感．教学重点 探索、发现立体图形展开成平面图形各种途径，利用勾股定理求最短路径问题．教学难点利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻找不同路径，利用勾股定理，解决实际问题．教学过程教学环节 教学内容教学活动 学生活动 设计意图复习巩固 1．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AC =4，BC =2，则AB = ．2．如图，小华的家在A 处，书店在B 处，星期日小明到书店去买书，他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（ ） A ．A C D B →→→ B ．A C F B →→→C ．A C E F B →→→→ 引导学生复习利用勾股定理计算三角形的边长．引导学生回顾同一平面内，两点之间线段最短学生回顾勾股定理和两点之间线段最短的知识．帮助学生温故知新D．A C M B→→→的知识．探究问题类型一：圆柱体中的最短路径1．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为π6，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离是．2．如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，.沿着圆柱的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是．（π的值取3）变式一：将“侧面”改为“表面”，求蚂蚁爬行的最短路程．变式二：再将“高为8cm”改为“2cm”，求蚂蚁爬行的最短路程．解决圆柱体中的最短路径问题的步骤：类型二：正方形中的最短路径如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是．变式：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从棱的中点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是．提问：怎样确定平面上两点间的最短距离？立体图形上的最短距离问题如何解决？引导学生寻找关键点．引导学生根据不同的条件选择不同的路径．引导学生思考最短距离怎么体现．怎样计算最短距离？引导小结结圆柱体中计算最短距离要注意的问题．提问：正方体由几个面组成？这些面有什么关系？正方体怎么展开？至少需要展开几个面？学生审题，思考并作答指明圆柱体、正方体上的数量和展开图上的数量之间一一对应关系，以及如何利用勾股定理进行计算由有趣的实际问题引入，激发学生学习兴趣．启发学生把立体图形展开成平面图形，并用平面图形的知识来解决立体图形中最短距离问题．注重路径的多样性，渗透分类讨论思想．使学生体会数学上的转化思想．通过先寻找“关键点”，再找到不同路径，最终在直角三角形内利用勾股计算最短距离这一过程，使学生再次领悟任何一个几何图形都是由基本元素“点”，“线”，“面”构成，回归几何的本类型三：长方体中的最短路径如图，长方体长、宽、高分别为5cm、3cm、4cm．一只蚂蚁从顶点A出发沿表面爬到顶点B．求蚂蚁经过的最短路程．小结：解决路径最短问题的依据是．也就是将曲面或多面体展成一个面，然后连接需求最短路径的两点，构造三角形，用勾股定理的数学模型去解决．解决最短路径问题四部曲1 ．展（立体展平面）2 ．找（找各种路径）3 ．算（算各种路径的长度）4 ．比（比较各种路径的长度）类型四（拓展提高）：与物体表面和内部相关的最短路径如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是．引导学生思考长方体与正方体有何区别？为什么长方体有六种展开方式？（长，宽，高的组合），为什么排除后只有三种？（重复）引导学生小结解决立体图形上的两点之间最短路径问题的步骤引导学生将此问题与利用轴寻找最短路径的问题相结合．在教师引导下，学生对六种展开方式分析排除，最终归纳出三种方式计算比较得出最短距离．总结归纳做题的步骤将曲线化直线，将此问题转化为利用轴对称解决最短路径问题．真！在圆柱体的基础上提升难度，变为正方体，再变为长方体，引导学生由浅入深，认识到要解决立体图形上的最短路径问题一定要将其展开．渗透分类讨论思想．在初二上学期寻找最短路径的问题上提升到求最短路径长，体现勾股定理是计算线段长的有力手段．ABCD.12830巩固练习 1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm 、3cm 、2cm ．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为 cm ．课后完成通过配套练习加深学生对本节课所学知识的印象和理解2．如图，在一个长为2m ，宽为1m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD 平行且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2m 的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达C 处需要走的最短路径是 m ．3．一盛满水的圆柱形容器，它的高等于8cm ．底面半径等于3cm ，在圆柱下底面上的A 点有一条小鱼，它想从点A 游到点B ，小鱼游过的最短路程是多少？ 若是蚂蚁想从点A 爬到点B ，最短路程是多少？（π的值取3）若把圆柱的高改为2cm呢？4．如图所示，有一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒？ 5．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ，8cm ，30cm ．（1）在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，最短路程是多少？（2）此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是多少?6．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，水深为AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．求小动物爬行的最短路线长？Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
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勾股定理应用——最短路径问题
学习目标：1.认识平面图形和立体图形的关系，会图形间的互相转化。
2.能在平面图形中构建勾股定理模型解决实际问题。
一、尝试练习、联系生活
1.两点之间，最短！
2.一个圆柱体的侧面展开图是,它的一边长是圆柱的,
它的另一边长是圆柱的.
二、合作交流、探究新知
例1:如图所示,圆柱体的底面周长为6cm,高AC为4cm,一只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B,试求出爬行的最短路程.
三、变式训练、拓展延伸
变式1：有一圆柱形油罐,油罐底面周长是12米,高AB是5米,要以A点环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?
变式2：如果圆柱换成棱长为1cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B 点需要的最短路程又是多少呢？
变式3：如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
四、方法迁移、自我检测
1、如果盒子换成长为40cm，宽为30cm，高为120cm的金鱼缸，如果鱼缸中的A 点有一条金鱼,它想尽快吃到B点的食物，那么金鱼游的最短路程又是多少呢？
2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A 和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？。