向量的概念及基本运算-文档资料

则 abx1x2,且 y1y2
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3.平面向量之间的关系
(2)向量平行(共线)充要条件
① a ∥ b(b 0)
有且只有一个实数 使得 ab
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则 a ∥b x1y2 x2y1 0
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3.平面向量之间的关系
几何意义：
a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积
坐标表示：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
a b x1x2 y1y2
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3.平面向量之间的关系
（1）两个向量相等的两种形式
①abab且 a 与 b 方 向 相 同
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
∴存在实数k 使 e 1 e 2 （ ke 1 -e 2 ）
根据向量相等的条件
k
1
k
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例3.已知向量 e1、e 2 分别是直角坐标系内与
x轴、y轴方向相同的两个单位向量， ①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2;
求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
又 A 与B B有D公共点B
∴A、B、D三点共
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例3.已知向量 e1、e 2 不共线，
①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2; 求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:② 若向量 e1 e2与 e1 e2 共线
平行时它们是同向还是反向?
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例3.已知向量 e1、e 2 不共线，
①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2; 求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:
① B D B C C D 5(e1 e2) 5AB
AB∥B D
(2)零向量： 长度为0的向量，记作0 .
(3)单位向量： 长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量： 方向相同或相反的非零向量.
(5)相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量： 长度相等且方向相反的向量.
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例题分析
例1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由
(1)若 a与 同b 向， 且 a b , 则 a b ( ╳ )
**理解共线向量定理、平面向量的基本定 理，并能简单应用，解题时注意数与形的 结合.
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例题分析
例4.在△ABC中，点D是BC的中点，点N在
边AC上且AN＝2NC，AD与BN相交于点P，
若CAa，CBb，试用a 、b 表示C P .
A
N P
B
D
C
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2.分析：
A
O A O B O B O C
O B (O A O C ) 0
O BC A0
(2)对于任意向量 a b , 且 a 与 方b 向相同，
则a b (√)
(3)所有的单位向量都相等. ( ╳ )
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(4)零向量与任意向量都平行. ( √ )
(5)向量 A与B 是C D共线向量,则A、B、C、D
四点共线.
(╳)
(6)如果 a ∥，b b ，∥则c . a ∥ c ( ╳ )
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2.向量的基本运算
（1）向量的加法
几何运算： 三角形法则
C
平行四边形法则
B
C
A
B
O
A
A B + B C A C O A O B O C
代数运算：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则ab( x 1 x 2 , y 1 y 2 )
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(3)两个非零向量垂直的充要条件
① a ⊥b ab0
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则 a ⊥b x1x2 y1y2 0
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例题分析
例2.已知 a＝(1，2)， ＝b (－3，2)，
①当k为何值时，ka与b a垂3直b？ ②当k为何值时，ka与b a平3行b？
提示:
AB(1,1)
BC(2,8)
CD(3,3)
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4.平面向量基本定理 平面向量的基本定理
如果 e 1 是, e同2 一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，
有且只有一对实数1,使2, a1e12e2
不共线的向量 e 1 , e 2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
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2.向量的基本运算
（2）向量的减法
几何运算： 三角形法则
B
B A O A O B
O
A
代数运算：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则ab( x 1 x 2 , y 1 y 2 )
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2.向量的基本运算
( 3 ) 实 数 与 a 的 乘 积
① a 是 一 个 向 量 , 且aa
② 0时,a与a同向; 0 时 ,a 与 a 反 向 ;
0时, a 0
几何意义： 实质就是向量的伸长与缩短
坐标表示：若 a (x ,y ), 则 a (x, y)
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2.向量的基本运算
（4）两个非零向量的数量积
a b a b cos
向量的基本 概念与运算
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平面向量复习
向量及相关概念
平
三角形法则
面
Baidu Nhomakorabea
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
实数与向量的积
运算
共线向量定理 平行的充要条件
向量的数量积
垂直的充要条件
平面向量的基本定理
1.向量及相关概念
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
(1)向量的模： 向量的大小也就是向量的长度称 为向量的模.
O
OB⊥ C A
B
C
同理可证：
OC⊥ A B O A ⊥ B C
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5.
D
C
N
M
A
（5题图） B
分析： A C A B A D a b
CN1AC1(ab)
4
4
M N M C C N
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1b1(ab) 1 (b a)
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4
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总结
**正确理解概念的基础上，掌握两个向量 的相等、平行、垂直的充要条件，并能熟 练运用向量的几何形式与代数形式进行运 算，