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D10-2二重积分的计算(ppt文档)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
化二重积分为累次积分关键：确定积分限
y
y
2
(x)
y
d
y 1(x) y
oa
x
xc
b
o
(图—1)
x 1( y) x 2( y)
x
(图— 2)
例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
D
D1
D2
D3
4 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有 D f (x, y) dx dy
b
dx
a
2 (x) 1( x)
f
(x, y) dy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
1(
y
c
y) y
x
D
1 ( x)
z
书例4
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
oR
(x,
y)
D
:
00
y x
R
R2
x2
则所求体积为
x
y
R
8
R2 x2 d x
R2 x2
dy
0
0
8 R (R2 x2 ) d x 16 R3
0
3
例5. 计算
-1
不好算
说明:化二重积分为累次积分时，为计算简便, 要 选择合适的顺序。
《二重积分的计算》课件
《二重积分的计算》PPT 课件
数学是一门追求完美和精度的学科。二重积分是数学中非常重要的知识点之 一。
问题引入
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和定 义。
为什么需要学习二重积 分？
探究二重积分在数学和物理领 域的应用。
二重积分和单重积分有 什么不同？
比较二者之间的异同，并解释 二重积分的意义。
二重积分的概念
定义
探究二重积分的定义和本 质特征。
性质
总结二重积分的性质，包 括可加性、线性性和积分 换元公式。
图形解释
通过几何图形展示二重积 分的本质和计算过程。
二重积分的计算方法
1
直角坐标系
介绍利用直角坐标系计算二重积分的步骤和方法。
2
极坐标系
介绍利用极坐标系计算二重积分的步骤和方法。
3
坐标系转换
将直角坐标系和极坐标系进行转换，让计算更加灵活和简便。
利用直角坐标系计算二重积分
基本思路
介绍利用矩形区域逐个计算的 方法和注意事项。
计算公式
列出矩形区域以及对应的积分 式，进行逐步计算。
曲线分割
对于曲线较为复杂的曲面，可 以对其进行曲线分割求积分。
利用极坐标系计算二重积分
1 基本思路
2 计算公式
总结和展望
总结
总结二重积分的基本概念、计算方法和应用，强化学习效果。
展望
介绍在三维坐标系中，如何推广二重积分，探究其更加广泛的应用场景。
介绍利用极坐标系逐个 计算的方法和注意事项。
列出极坐标系下的积分 式，进行逐步计算。
3பைடு நூலகம்极坐标系下的体积
计算
通过利用极坐标系计算 出空间曲面的体积。
数学是一门追求完美和精度的学科。二重积分是数学中非常重要的知识点之 一。
问题引入
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和定 义。
为什么需要学习二重积 分？
探究二重积分在数学和物理领 域的应用。
二重积分和单重积分有 什么不同？
比较二者之间的异同，并解释 二重积分的意义。
二重积分的概念
定义
探究二重积分的定义和本 质特征。
性质
总结二重积分的性质，包 括可加性、线性性和积分 换元公式。
图形解释
通过几何图形展示二重积 分的本质和计算过程。
二重积分的计算方法
1
直角坐标系
介绍利用直角坐标系计算二重积分的步骤和方法。
2
极坐标系
介绍利用极坐标系计算二重积分的步骤和方法。
3
坐标系转换
将直角坐标系和极坐标系进行转换，让计算更加灵活和简便。
利用直角坐标系计算二重积分
基本思路
介绍利用矩形区域逐个计算的 方法和注意事项。
计算公式
列出矩形区域以及对应的积分 式，进行逐步计算。
曲线分割
对于曲线较为复杂的曲面，可 以对其进行曲线分割求积分。
利用极坐标系计算二重积分
1 基本思路
2 计算公式
总结和展望
总结
总结二重积分的基本概念、计算方法和应用，强化学习效果。
展望
介绍在三维坐标系中，如何推广二重积分，探究其更加广泛的应用场景。
介绍利用极坐标系逐个 计算的方法和注意事项。
列出极坐标系下的积分 式，进行逐步计算。
3பைடு நூலகம்极坐标系下的体积
计算
通过利用极坐标系计算 出空间曲面的体积。
二重积分习题练习及解析ppt课件
(2)设f (x, y)在有界闭区域D上连续. 若D关于
y轴对称, f (x, y)对x为奇函数, 即
f ( x , y ) f ( x , y ), ( x , y ) D,
则
f ( x , y )dxdy 0, D
f (x, y)对x为偶函数, 即 D
f ( x , y ) f ( x , y ), ( x , y ) D,
D
n
0
i 1
4
f ( x , y ) d xOy平面上方的曲顶柱体体积 D
减xOy平面下方的曲顶柱体体积. 3. 物理意义 若平面薄片占有平面内有界闭区域D, 它的面 密度为连续函数 ( x , y ), 则它的质量M为:
M ( x , y ) d .
D
5
（二）二重积分的性质 (重积分与定积分有类似的性质) 性质1(线性运算性质) 设、 为常数, 则
序后的积分限;
2. 如被积函数为 f ( x 2 y 2 ), f ( x 2 y 2 ),
y y f ( ), f (arctan ) 或积分域为 圆域、扇形域、 x x
圆环域时, 则用极坐标计算;
18
3. 注意利用对称性质, 以便简化计算; 4. 被积函数中含有绝对值符号时, 应 将积分域分割成几个子域, 使被积函数在 每个子域中保持同一符号, 以消除被积函 数中的绝对值符号.
y
1
1
y x2
O
1
x
20
2.利用对称性
例 计算
x 2 y 2 a 2
( x 2 x 3 y 2)d .
2
解 积分域是圆 x 2 y 2 a 2 , 故关于x、y轴、 直线 y x 对称, 故将被积函数分项积分:
92二重积分的计算(直角坐标系)ppt省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
当 f ( x, y) f ( x, y)时.
(即f ( x, y)关于( x, y)为奇函数)
（4）若积分区域 D关于 直线 y x 对称 （ ( x, y)D( y,x)D ），
则 f ( x, y)dxdy f ( y,x)dxdy 。
D
D
又若 D D1D2 ，且 D1与D2 关于直线 y x 对称，则
2
证：积分区域 x2 y2 R2 关于直线 y x 对称，所以
x。
y
(4, 2)
y x
D2 D1
o1
y x2 4x
y x (1,1)
xyd
xyd
xyd
1
0dx
x x
4
x
xydy1 dxx2
xydy55. 8
D
D1
D2
例 3． e y2 d ，其中 D 是由直线 y x ， y1 和 y 轴所围成。
D
解：若先积 y 后积 x，得 e y2 d
1
dx
1
e
y2
的体积。 A( x )
y2(x)
A( x )
y o
a
D
x
y1( x)
bx
x 1( x ) 2( x ) y
一般地， 过 [a,b] 上任一点 x 且平行于yoz平面的平面 ，
与曲顶A(柱 Ax(体x))相交所122(((得xxx)截)f) (面fx(的,xy面),dy积y).d为y 。 1( x)
D
a 1( x)
c 1( y)
二重积分化为二次积分，确定积分限是关键。
其定限方法如下： （1）在 xoy 平面上画出积分区域 D 的图形； （2）若区域 D 为 X 型的，则把 D 投影到 x 轴上，得 投影区间[a,b] ，a 和 b 就是对 x 积分的下限和上限。 x[a,b] ， 过点 x 画一条与 y 轴平行的直线，假如它 与边界曲线交点的纵坐标分别为 y1( x) 和 y2( x) ， 且 2( x)1( x) ，则 1( x) 和 2( x) 就是对 y 积分的下限 和上限。
二重积分的计算8052332页PPT
D
(x2)2＋ (y1)21x2 所围图形． y
解：所围区域 D为 型Y 区域,
3
2
y x3
x2
D(x2)2＋ (y1)21
o
x
D : 0y1, y2x2 2yy2
所以
1
2 2yy2
f (x, y)d
D
0
dy
3
y2
f (x, y)dx
©
例4 交换下列积分顺序
2 x2
22 8x2
Idx2f(x,y)dy dx f(x,y)dy
1
x 0
12y2
x x2
dx
1 1(x3x5)dx
20
1 x4 x6
24 6
1
0
1 24
©
D
y
x2
o
1x
解法2:若将 D 看成是 Y型区域 D ,可表示为得 0y1,yx y
D
xyd
1
dy
0
y
y
xydx
1
y 0
12x2
yydy
1 1y(yy2)dy 1 y3 y4 1 1
D :0xR ,0yR2x2
曲顶为：z R2x2
az
o
a
x
a
y
所以 V8
R2
x2d
xd
R
y8 d
R2x2
x
R2x2dy
00
D
8R(R 2x2)2dx 8(R 31R 3)1R 6 3
0
33
©
二重积分的计算法
2019 年研究生考题, 7分
计算二重积分 emax2{,y2}dxdy,其中
D
二重积分计算法PPT
6
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
设f(x, y)0, D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}.
j j 对于x0[a, b], 曲顶柱体在xx0的截面面积为 A ( x 0 ) 1 2 ( ( x x 0 0 ) ) f ( x 0 , y ) d . y
曲顶柱体体积为
ac
c
b
D
若 f(x ,y ) g (x )h (y )
g ( x ) h ( y ) d x d y = b d x d g ( x ) h ( y ) d y = [a g ( x ) d x ] [d h ( y ) d y ]acb来自cD11
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
x0
直线 xx0(ax0b)与D的边界至多有两个交点
3
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1(y)x1(y),
cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 yy0(cx0d)与D的边界至多有两个交点 4
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
5
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
即 f ( x , y ) d f ( c , s o ) d d i . s n
DD
❖在极坐标系下二重积分的计算
如果积分区域可表示为 D j1(q)j2(q), aqb, 则
D f( cq, o sq s ) i d n d q a bd q j j 1 2 ( q ( q ) )f( cq, o sq s ) i d n .
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
设f(x, y)0, D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}.
j j 对于x0[a, b], 曲顶柱体在xx0的截面面积为 A ( x 0 ) 1 2 ( ( x x 0 0 ) ) f ( x 0 , y ) d . y
曲顶柱体体积为
ac
c
b
D
若 f(x ,y ) g (x )h (y )
g ( x ) h ( y ) d x d y = b d x d g ( x ) h ( y ) d y = [a g ( x ) d x ] [d h ( y ) d y ]acb来自cD11
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
x0
直线 xx0(ax0b)与D的边界至多有两个交点
3
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1(y)x1(y),
cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 yy0(cx0d)与D的边界至多有两个交点 4
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
5
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
即 f ( x , y ) d f ( c , s o ) d d i . s n
DD
❖在极坐标系下二重积分的计算
如果积分区域可表示为 D j1(q)j2(q), aqb, 则
D f( cq, o sq s ) i d n d q a bd q j j 1 2 ( q ( q ) )f( cq, o sq s ) i d n .
第二节二重积分的计算 (2)-PPT精品文档51页
D
c 1(y)
（在积分中要正确选择积分次序）
思考与练习
y
1. 设
且
求
11
I dx f(x)f(y)dy.
0x
解: 交换积分顺序后, x , y互换
1
y yx
ox 1 x
I
1y
dy f(x)f(y)dx
00
2I
11
1
dx f(x)f(y)dy d
x
0x
0
12x4dx
0
2 5
.
1x
解2. 将D看作Y–型区域, 则
注意两种积分次序的
I
11
dy
(x22y)dx
0
y
计算效果！
1(1x32xy)|1 dy 1(12y7y3/2)dy
03
y
03
3
(1yy214y5/2)1 2.
3
15 0 5
例2. 计算 D xyd, 其中D 是抛物线
y
4 y 4x2
DD1D2 (如图所示)
D1
显然,
在D1上, f( x ,y ) f(x ,y ) 在D2上, f(x , y ) f(x ,y )
y 3x
oD 2
1x
x 1
I xln y (1 y2)d x d y D 1
xlny ( 1y2)dxdy0 D 2
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D
1
D
2
o 22 2 x
D
:
2yx 8y2 0y2
I
2
f(x,y)dxdy d y
二重积分习题课(课堂PPT)
被积函数关于坐标变量易分离
积分域分块要少 • 确定积分序
累次积分好算为妙
图示法
• 写出积分限
( 先找两端点，后积一条线 )
不等式
充分利用对称性 • 计算要简便
应用换元公式
4
二重积分的对称性
设函数 f (x, y) 在闭区域D上连续, 区域D关于x 轴对称
y
(上下对称) D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,在 D 上
I
1
dx
0
1 f (x) f ( y) dy . 等于（A2）
x
2
1
分析: 交换积分顺序后, x , y互换
y
yx
1y
1x
Ox 1 x
I 0 d y 0 f (x) f ( y) d x 0 d x 0 f (x) f ( y) dy
2I
11
d x f (x) f (y)dy
1
dx
y
D
3x ,
x
1
所围成.
y
解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
(-1,0) D1 (1,0)
显然,在 D1 上 f (x, y) f (x, y)
在 D2 上
f (x, y) f (x, y)
I x ln(y 1 y2 )dxdy D1
v
A f (u,v)dudv
.
则.
D
f (x, y) xy A
A f (u,v)dudv
D
o
D (uv A)dudv
.
1
u2
du (uv A)dv
0
0
积分域分块要少 • 确定积分序
累次积分好算为妙
图示法
• 写出积分限
( 先找两端点，后积一条线 )
不等式
充分利用对称性 • 计算要简便
应用换元公式
4
二重积分的对称性
设函数 f (x, y) 在闭区域D上连续, 区域D关于x 轴对称
y
(上下对称) D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,在 D 上
I
1
dx
0
1 f (x) f ( y) dy . 等于（A2）
x
2
1
分析: 交换积分顺序后, x , y互换
y
yx
1y
1x
Ox 1 x
I 0 d y 0 f (x) f ( y) d x 0 d x 0 f (x) f ( y) dy
2I
11
d x f (x) f (y)dy
1
dx
y
D
3x ,
x
1
所围成.
y
解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
(-1,0) D1 (1,0)
显然,在 D1 上 f (x, y) f (x, y)
在 D2 上
f (x, y) f (x, y)
I x ln(y 1 y2 )dxdy D1
v
A f (u,v)dudv
.
则.
D
f (x, y) xy A
A f (u,v)dudv
D
o
D (uv A)dudv
.
1
u2
du (uv A)dv
0
0
重积分二重积分的习题课ppt课件.ppt
2
1 ln sec
2
tan
C
于是
a3 1
I
a3 2 ln( 2 1)
2 ln( 2 1) 。
32
6
18
例6 计算I y2dxdy,其中D是由x轴和摆线 D
L
:
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
(0 t
2 )
的一拱所围成的区域。
y
解 I
2a
dx
D
D
xdxdy xdxdy xdx
D 0
dx
1
x3
D1 D2
xdy 2
x3
D2
0 x4dx
1
2。 5
30
解法二 设F(u)是f (u)的一个原函数， y
x sin yf ( x2 y2 )dxdy
D
1
1
dy
y 3 x sin yf ( x2 y2 )dx
1 1
1
o
1
32 2。 15
28
例8 计算I x[1 sin yf (x2 y2)]dxdy,其中D D
是由y
x3,
y
1,
x
1所围区域,
f
为连续函数。
y
解法一 利用对称性。
作曲线y =－x3，将区域D
D1
分成两部分D1 和D2 D1关于y轴对称
D2 1 o
1x
D2关于x轴对称
因为连续函数 xsiny f (x2+y2) 关于变量 x、y 分别 都是奇函数， x 关于变量 x 是奇函数，所以有
1
D 3
f ( x, y)d
D2
D3
1 ln sec
2
tan
C
于是
a3 1
I
a3 2 ln( 2 1)
2 ln( 2 1) 。
32
6
18
例6 计算I y2dxdy,其中D是由x轴和摆线 D
L
:
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
(0 t
2 )
的一拱所围成的区域。
y
解 I
2a
dx
D
D
xdxdy xdxdy xdx
D 0
dx
1
x3
D1 D2
xdy 2
x3
D2
0 x4dx
1
2。 5
30
解法二 设F(u)是f (u)的一个原函数， y
x sin yf ( x2 y2 )dxdy
D
1
1
dy
y 3 x sin yf ( x2 y2 )dx
1 1
1
o
1
32 2。 15
28
例8 计算I x[1 sin yf (x2 y2)]dxdy,其中D D
是由y
x3,
y
1,
x
1所围区域,
f
为连续函数。
y
解法一 利用对称性。
作曲线y =－x3，将区域D
D1
分成两部分D1 和D2 D1关于y轴对称
D2 1 o
1x
D2关于x轴对称
因为连续函数 xsiny f (x2+y2) 关于变量 x、y 分别 都是奇函数， x 关于变量 x 是奇函数，所以有
1
D 3
f ( x, y)d
D2
D3
数学二重积分-PPT精选文档18页
在x轴上方的曲线弧.
y
解 L:xyabcsiontts,(t从0到）
B
xydy acotsbsitn bcotd st
L
0
ab2
cos3
t
2 ab
2
3
0
3
2019/11/21
Ax
12
例3 计算 y 2dx ,其中L 为： L (1) 半径为 a , 圆心为原点的上半圆周(逆时针方向)；
P2xQ3yR
ds
2019/11/21
14x2 9y2
17
谢谢！
x
处切线向量的方向角.
类似,空间两类曲线积分之间的关系:
P Q d R x d y d [ P c zo Q c so R c s] o ds s
其中,,为空间有向曲线弧上点M(x, y,z)处切向量的方向角
2019/11/21
16
例6 设 为曲线xt,yt2,zt3上相应于 t 从 0 到 1 的曲线弧.
i 1
i1
令为最大弧长，则
n
w l i0m i 1[P (i, i)xiQ (i, i)yi]
P(x,y)d xQ (x,y)dy
2019/11/21L
4
定义 设L为 xoy 面的从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，
函数P(x,y)Q ,(x,y)在L上有界. 用点把L任意分割成n个有向
0 i1
P(i
,i
)xi存在,则称此极限值为函数
P(x,
y)在有向曲
线L上对坐标 x 的曲线积分. 记作: P(x, y)dx P(x,y)Q ,(x,y)
二重积分的计算 PPT资料共24页
D
:
1
x
y
xD 1 Nhomakorabeax 2
x2d
y2
D
12dx1 xxx y2 2dy
2
1
x2 y
x
1
dx
2
(x3 x)dx 1
9. 4
x
小结
［X－型］
y2(x)
D
y1(x)
y2(x)
D
y1(x)
a
b
a
b
Df(x, ya bA )(x d )dx x a b d [ 1 ( 2 (x y xf))( .) y d x]d yx
练习与巩固
1、求 (x2y)dx ， 其 d 中 D y是 由 抛 物 线 yx2和
D
xy2所 围 平 面 闭 区 域 .
2、计算 Dx y2 2d.其D 中 由 yx,y1 x,x2
围成．
例 1求 (x2y)dx， d 其 中 y D 是 由 抛 物 线
D
yx2和 xy2所 围 平 面 闭 区 域 .
00
10
积 分 次 序 .
y
解：R1
:
0 0
y x
1 2
y
1 y 3 R2 : 0 x 3 y
3
x3y
积分区域如图
1 x 2y
R
:
0 1 2
x
x
y
2
3
x
o
2
3x
原式 0 dx 1x 2
f (x, y)dy
.
2x
(2)在（a,b）内任取一点x,通过此点作x轴的垂线和
二重积分的计算习题
变量替换法简化计算过程
变量替换法的基本思想：通过变量替换，将复杂的被积函数或积分区域转化为简单的形式，从而简化 计算过程；
常用的变量替换法有极坐标替换、广义极坐标替换等；
极坐标替换法适用于被积函数中含有x^2+y^2或积分区域为圆、圆环、扇形等情况。通过极坐标替换， 可将二重积分化为极坐标系下的累次积分进行计算。
பைடு நூலகம்
02 直角坐标系下二重积分计 算方法
累次积分法求解步骤与实例分析
01
步骤一
02
确定积分区域D，并画出其图形；
步骤二
根据被积函数和积分区域的特 点，选择适当的积分次序；
03
步骤三
04
将二重积分化为累次积分，并计 算之。
实例分析
计算二重积分∫∫D xydσ，其中D 是由直线y=x，x=1及x轴所围成 的闭区域。首先，确定积分区域D， 并画出其图形；其次，选择先对y 积分再对x积分的次序；最后，将 二重积分化为累次积分 ∫(0,1)dx∫(0,x) xydy，并计算得到 结果为1/4。
二重积分的计算习
目录
• 二重积分基本概念与性质 • 直角坐标系下二重积分计算方法 • 极坐标系下二重积分计算方法 • 二重积分在几何和物理中应用 • 数值方法求解二重积分简介 • 总结回顾与拓展延伸
01 二重积分基本概念与性质
二重积分定义及物理意义
二重积分定义及物理意义
$lim_{lambda to 0} sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i) Delta sigma_i = J$
精度与步长
数值求积公式的精度取决于步长 （即小矩形的边长）的大小。步 长越小，精度越高，但计算量也 越大。
任意区域上数值求积公式应用
高数二重积分习题加答案沐风教学.ppt
例2 将二重积分化成二次积分 I f ( x, y)dxdy,
D
D: x + y =1 , x – y = 1，x = 0 所围.
1y
先对 y 积分
y =1– x
x
I dx f ( x, y)dy
x
0
1x
y = x –1
–1
优讲课堂
1
先对 x 积分
1y
D1
0
D2
x =1– y
I
6 a
1
rdr 2 2a a2 r 2 rdr
0 3a2 r 2
a0
2a
3 a
1
d (3a2 r 2 )
0 3a2 r 2
2a a2 r 2 d (a2 r 2 )
a0
6
3
4
2 3
6
2 3
a2.
优讲课堂
13
练习题
交换下列二次积分的次序:
1 2y
3 3 y
1. 0 dy0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx;
15
优讲课堂
6
例7 证明
b
dx
x ( x y)n2 f ( y)dy
1
b
(b
y)n1
f
(
y)dy.
aa
n1 a
证
b
dx
x
(x
y)n2
f
( y)dy
a
a
y b
y x
bdy b( x y)n2 f ( y)dx ay
a
D
b a
f
(
y)
n
1
1
(
x
D
D: x + y =1 , x – y = 1，x = 0 所围.
1y
先对 y 积分
y =1– x
x
I dx f ( x, y)dy
x
0
1x
y = x –1
–1
优讲课堂
1
先对 x 积分
1y
D1
0
D2
x =1– y
I
6 a
1
rdr 2 2a a2 r 2 rdr
0 3a2 r 2
a0
2a
3 a
1
d (3a2 r 2 )
0 3a2 r 2
2a a2 r 2 d (a2 r 2 )
a0
6
3
4
2 3
6
2 3
a2.
优讲课堂
13
练习题
交换下列二次积分的次序:
1 2y
3 3 y
1. 0 dy0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx;
15
优讲课堂
6
例7 证明
b
dx
x ( x y)n2 f ( y)dy
1
b
(b
y)n1
f
(
y)dy.
aa
n1 a
证
b
dx
x
(x
y)n2
f
( y)dy
a
a
y b
y x
bdy b( x y)n2 f ( y)dx ay
a
D
b a
f
(
y)
n
1
1
(
x
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6 利用极坐标计 ln(1 x2 y2 )d ,其中D是由圆周
D
x2 y2 1及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.
解 D如下图所示
y
ln( x2 y2 1)d
D
2 d 1ln(1 r 2 )rdr
0
0
1
D r
1 1ln(1 r 2 )d(1 r 2 ) 22 0
[2 3
x3
2 3
x]
1 1
8 3
精选
习题解答 习题8-2 P288 1题(4)
(2) x cos( x y)d ,其中D是顶点分别为(0,0),( ,0)
D
和( , )的三角形闭区域.
y
解 积分区域下图所示
x cos( x y)d
D
x
D
0 dx0 x cos( x y)dy
o
x
0
0 d a r rdr
2
1r3 3
b a
2 (b3 a3 )
3
精选
oa
b x
放映结束 感谢各位观看！
谢 谢！
让我们共同进步
精选
2
2y
(2) dy f ( x, y)dx
0
y2
解 积分区域应为
D
:
0 y
y2 2 x2
y
或
0 x
2
x y
4
x
如图所示
y
(4,2)
故
2
2y
dy f ( x, y)dx
0
y2
D
4
x
0 dxx f ( x, y)dy
o
x
2
精选
习题解答 习 题8-2 P289 4题(4)-----作业题
4
精选
习题解答 习题8-2 P289 3题(3) (2) 由直线y x, x 2及双曲线y 1 ( x 0)所围成的 x
区域
y
解 积分区域如下图所示
故
2
x
I
dx
1
1 f ( x, y)dy
x
D
o
x
或
I
12
2
2
1 dy
1
f ( x, y)dx
dy
1
f ( x, y)dx
y
2
y
精选
D
及y 2x所围成的闭区域..
解 积分区域如下图所示
y
( x2 y2 x)d
D
D
2
dy
y
y(
x
2
y2
x)dx
0
2
o
x
2 x3 [ 03
y2x
x2 ]
2
y y
dy
2 19 (
y3
3
y 2 )dy
0 24 8
2
[19 24
1 4
y4
1 8
y3]
2 0
13 精6选
习题解答 习题8-2 P289 3题(1)-----作业题
[(1
4
r2
) ln( 1
r
2)
1 0
1
2rdr ]
0
(2ln 2 1)
4
精选
1x
习题解答 习题8-2 P290 11题(1) 7 计算下列各题
（1）
D
x y
2 2
d
.其中D是由直线x
2, y
x及曲线xy
1
所围成的闭区域；
解 区域D如下图所示:
y
故
D
x y
2 2
d
2
dx
1
x x2
1 x
习题解答 习题8-2 P288 1题(1)
1 计算下列二重积分：
(1) ( x2 y2 )d ,其中D {(x, y) x 1, y 1}
D
解 积分区域下图所示
y
( x2 y2 )d
D
1
1 (x2
y2 )dy
1 1
D
x
1 [x2
1
y
1 3
y2
]
11dx
1 (2x2
1
2)dx 3
3 化二重积分I f ( x, y)d为二次积分（分别列
D
出对两个变量先后次序不同的两个二次积分）,其中
积分区域是：
(1) 由直线y x及抛物线y2 4x所围成的闭区域
解 积分区域如下图所示：
y
故 I f ( x, y)d
D
4
2x
0 dxx f ( x, y)dy
D
o
x
4
y
或 I dy y2 f ( x, y)dx 0
y 2 dy
2 1
x
2[
1] y
x 1
dx
x
2
( x
x3
)dx
1
D
o
2x
[
x2 2
x4 4
]
2 1
9 4 精选
习题解答 习题8-2 P290 11题(4)
（2） x2 y2d ,其中D是圆环形闭区域
D
{(x, y) a2 x2 y2 b2 }
解 D如下图所示：
y
则 x2 y2d
D
2
b
(1) x yd ,其中D是由两条抛物线y x,
D
y x2所围成的区域
解 积分区域下图所示
x yd
D
D
1
x
dx ydy
0
x2
x
[2 3
y
3 2
]
x x2
dx
12 (
7
x4
2x4 )dx
03
3
6
55
精选
习题解答 习题8-2 P289 2题(4)
(2) ( x2 y2 x)d ,其中D是由直线y 2, y x
x[sin( x
y
)]
0
dx
x(sin 2x sin x)dx
0
1
xd( cos 2x cos x) 02
x(1 cos
32.
2x
cos
x)
0
(1 cos 2x cos x)dx 02
2
精选
习题解答 习题8-2 P288 2题(1)-----作业题 2 画出积分区域，并计算下列二重积分
2
2 x x2
(3) dx
f ( x, y)dy
1
2 x
解 积分区域为 D : 1 x 2,2 x y 2x x2
或2
y
0y x 1
1
1
y
2
如图所示
y
故
2
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
1
2 x
1
1 1 y2
dy
f ( x, y)dx.
0 2 y
(1,1) D
2x
精选
习题解答 习题8-2 P289 4题(5)
e
ln x
(4) 1 dx0 f ( x, y)dy
解 积分区域为 D : 1 x e,0 y ln x.
如右图所示：
y
e
ln x
1 dx0 f ( x, y)dy
1e
dy f ( x, y)dx
0
ey
(e ,1)
D
o
1
x
精选
先将本题与P287 例6进行比较,有何不同?
习题解答 习题8-2 P289 4题(1)
4 改换下列二次积分的积分次序
（1）
1
dy
y
f ( x, y)dx
00
解
二重积分的积分区域为D
00
y x
1 y
,
如下图所示：
y
故
1
y
dy f ( x, y)dx
00
D
1
1
0 dxx f ( x, y)dy
o
x
精选
习题解答 习题8-2 P289 4题(2)-----作业题