05灵敏度分析
05灵敏度分析范文
05灵敏度分析范文灵敏度分析（sensitivity analysis）是一种用于评估模型输出结果对于模型输入参数的敏感程度的方法。
它可以用来确定哪些输入参数对于模型输出结果具有最大的影响力，帮助决策者了解系统的关键因素，并为决策提供有针对性的建议。
下面将对灵敏度分析的概念、方法与应用进行详细阐述。
灵敏度分析的概念与作用：灵敏度分析是系统分析和优化的重要工具，它可以帮助我们评估模型对不确定性参数的响应情况以及模型预测结果的可靠性。
通过灵敏度分析，我们能够精确地确定模型输入参数与输出结果之间的关系，识别出哪些参数对于结果的变化贡献最大，并根据这些结果来制定战略，减小系统风险或优化决策。
灵敏度分析的方法：灵敏度分析的方法通常可以分为全局灵敏度分析和局部灵敏度分析两大类。
全局灵敏度分析通过考察模型输入参数对输出结果的整体影响程度，以评估参数的重要性。
常用的全局灵敏度分析方法包括Sobol指数、Morris指数、FAST方法等。
局部灵敏度分析则是针对具体的输入参数，通过改变特定输入参数的取值来评估模型输出结果的变化情况，常用的方法包括一维灵敏度分析和多维灵敏度分析。
全局灵敏度分析通常可以通过方差分解的方式进行，可以计算各个输入参数的总效应和交互效应。
Sobol指数是一种常用的全局灵敏度指数，它能够反映每个参数的直接和交互效应对于系统的总体贡献程度。
Morris指数则通过改变参数的取值范围来计算参数的局部灵敏度指数，并通过估计偏差大小来评估模型的可靠性。
FAST方法则通过建立机器学习模型来评估参数对于输出结果的贡献度。
局部灵敏度分析则更加注重于评估单个或几个参数对于输出结果的影响。
一维灵敏度分析通常是通过改变一个参数的取值来观察输出结果的变化情况，可以通过敏感度系数（sensitivity coefficient）来评估参数对输出结果的影响程度。
多维灵敏度分析则是同时考虑多个参数对输出结果的综合影响，可以通过方差分析、设计试验等方法来进行评估。
实验结果的灵敏度分析
实验结果的灵敏度分析实验是科学研究中不可或缺的一部分。
通过实验可以验证理论，揭示规律，为科学研究的发展提供支持。
然而，实验结果的可靠性和准确性往往是人们关注的焦点。
为了评估实验结果的稳定性和可信度，灵敏度分析是一种常用的方法。
本文将对实验结果的灵敏度分析进行探讨，旨在阐明其重要性和应用场景。
一、什么是灵敏度分析灵敏度分析是一种系统地评估实验结果对于输入参数变化的敏感程度的方法。
它能够帮助我们了解实验结果对于参数的响应程度，找出影响实验结果的主要因素，从而为进一步的研究和决策提供依据。
通常，灵敏度分析可通过多种途径进行，如参数敏感度分析、局部敏感度分析和全局敏感度分析等。
二、灵敏度分析的意义灵敏度分析对于科学研究具有重要意义。
首先，它可以帮助我们了解实验结果的稳定性。
通过灵敏度分析，我们可以观察输入参数变化对实验结果的影响程度，若实验结果对于参数变化不敏感，则说明实验结果较为稳定可靠。
其次，灵敏度分析可以揭示实验结果中的主要因素。
在实验过程中，我们常常需要面对各种参数和影响因素，通过灵敏度分析，可以确定哪些因素对实验结果具有重要影响，进而提供优化研究方向和决策依据。
此外，灵敏度分析还可以帮助我们发现异常结果和探索实验结果潜在的风险因素。
三、灵敏度分析的应用场景根据实际需求和研究目的，灵敏度分析可以应用于多个领域。
以下将针对不同领域的实验结果灵敏度分析进行简要介绍。
1. 生态学领域生态学研究中，我们常常需要评估各种生态系统的稳定性和脆弱性。
通过灵敏度分析，可以了解生态系统对于各种环境因素的响应程度，找出对生态系统稳定性具有重要影响的关键因素，为生态保护和可持续发展提供科学依据。
2. 经济学领域经济学研究往往需要分析不同经济因素对于经济系统的影响。
通过灵敏度分析，可以评估经济模型中各个参数对于经济结果的敏感程度，识别经济政策的潜在风险和利益分配的不平衡情况，为经济决策提供参考。
3. 工程领域工程设计中常常需要考虑各种参数对于产品性能和安全性能的影响。
灵敏度分析
灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。
灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。
在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。
灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。
2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。
通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。
常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。
常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。
•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。
常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。
•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。
2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。
多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。
常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。
可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。
•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。
第五章灵敏度分析
第五章灵敏度分析灵敏度分析（Sensitivity Analysis）是指在决策分析中，根据改变决策变量的数值，研究对最优解产生影响的因素。
通过灵敏度分析，可以评估决策变量的变化对最优解的敏感程度，帮助决策者了解决策方案的稳定性和可靠性，并能够帮助决策者制定出合理的决策方案。
在灵敏度分析中，常用的指标包括目标函数系数的灵敏度分析、资源限制系数的灵敏度分析和松弛度分析。
首先，进行目标函数系数的灵敏度分析。
目标函数系数代表着对决策变量的偏好程度，通过改变目标函数系数的数值，可以分析对最优解的影响。
如果目标函数系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该目标函数系数相对不敏感。
反之，如果目标函数系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该目标函数系数相对较敏感。
其次，进行资源限制系数的灵敏度分析。
资源限制系数反映了资源约束对最优解的影响程度，通过改变资源的可用量，可以分析对最优解的影响。
如果资源限制系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该资源限制系数相对不敏感。
反之，如果资源限制系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该资源限制系数相对较敏感。
最后，进行松弛度分析。
松弛度是指资源使用量与其可用量之差，表示资源的闲置程度。
通过分析松弛度，可以了解决策方案的稳健性。
如果一些资源的松弛度较大，则说明该资源具有一定的闲置容量，决策方案对该资源限制相对较不敏感。
反之，如果一些资源的松弛度较小，则说明该资源的利用率较高，决策方案对该资源限制相对较敏感。
在灵敏度分析中，还可以进行多因素综合分析，研究多个因素同时改变时对最优解的影响。
通过综合分析，可以确定各个因素对最优解的贡献程度，帮助决策者优化决策方案。
总之，灵敏度分析是决策分析中重要的工具，能够评估决策方案的稳定性和可靠性，对于决策者进行决策方案选择具有重要的指导作用。
灵敏度分析应该结合具体的决策问题和决策变量的特征来进行，并且要注意分析结果的合理性和可靠性。
05灵敏度分析
L* = L0 e-Kd0t=15 e-0.1× 2=12.28mg/l
BOD对Kd的一阶灵敏度系数为： BOD对kd的灵敏度为：
已知： △ Kd/ Kd0=± 10%，所以BOD的变化 幅度为：
变化与Kd的变化方向相反。 因为2%＜10%, 所以属低灵敏度模型。
状态变量对参数的灵敏度为：
目标函数对参数的灵敏度为： 式中△x = x ―x* △z = z―z*
△ θ = θ ― θ0 当 △ θ 0时，忽略高阶微分项得：
例：已知某河段的BOD 降解规律可用下式 表示：
L = L0 e-Kdt
若已知河段初始的BOD浓度L0 =15mg/l, BOD衰减速度常数 Kd=0.1 d-1,假定Kd的 变化幅度在±10%,试求t=2d时的BOD值及 其变化幅度。
亦称最小二乘法
该法有两个假定：
①所有自变量的值均不存在误差，因变量的 值则含有测量误差；
②与各测量点拟合最好的直线为能使各点到 直线的竖向偏差（因变量偏差）的平方和 最小的直线。
偏差的平方和最小意味着各个点的偏 差均很小。 最佳的b和m的估计值：（y=mx+b） 由
3、多元线性回归分析 （原理相同）
灵敏度分析可以估计模型计算结果的 偏差，且还有助于建立低灵敏度系统， （这种系统在运行上比较可靠），有助于 确定合理的设计裕量，这比盲目给定安全 系数要合理得多。
（希望是低灵敏度高预测精度的模型）
误差分析是直接验证模型计算结果与实 测值的差异，针对一些零散值而作的，而 灵敏度分析是从另一角度考虑该模型参数 的误差大小对状态变量所引起的计算误差 和对目标函数所引起的误差的一种敏感程 度。
Kd=0.053 h-1=1.27 d-1 Ka=0.19 h-1=4.67 d-1。（ℇ取的是0.0001）。
测试灵敏度问题分析报告
测试灵敏度问题分析报告一、引言测试灵敏度是指测试过程中对系统各种输入参数的变动产生相应输出结果的敏感程度。
它是评估系统稳定性的重要指标，具有重要的理论和实践价值。
然而，在实际测试过程中，我们常常会遇到一些测试灵敏度问题，从而影响测试结果的准确性和可靠性。
本文旨在对测试灵敏度问题进行深入分析和研究，以期提供有针对性的解决方案和改进措施。
二、常见测试灵敏度问题及原因分析1. 输入参数选择不当测试灵敏度的结果受输入参数的选择和设置影响较大，因此，如果在测试过程中对输入参数没有进行合理选择，就会导致测试结果与实际情况存在差异。
常见的输入参数选择不当原因包括：没有考虑到系统的特性和环境条件；缺乏详尽的调研和分析；对关键参数缺乏全面评估等。
2. 参数敏感度差异忽略在进行测试灵敏度分析时，常常会忽略不同参数的敏感度差异。
有些参数可能对系统的输出结果产生显著的影响，而对其他参数则影响较小，忽略这种差异会导致测试灵敏度结果的失真。
这一问题的原因主要是对系统的敏感度特性缺乏全面了解，以及没有进行系统性的参数敏感度分析。
3. 数据采样不全面测试灵敏度的准确性和可靠性需要依赖充分的数据支持，而在实际测试过程中，由于时间、资源等限制，导致数据采样不全面。
这会导致测试结果受到抽样误差的影响，无法全面反映系统的灵敏度问题。
数据采样不全面问题的主要原因是测试规模不够，对系统的不同状态和边界条件的测试不到位。
4. 测试方法不合理测试方法的合理性对测试灵敏度结果的准确性和可靠性具有重要影响。
如果测试方法不合理或者选择了错误的测试方法，将会导致测试结果与实际情况不符，无法有效评估系统的灵敏度。
测试方法不合理的原因主要是测试人员的经验不足、方法选择不当以及测试流程不完善等。
三、解决测试灵敏度问题的对策和改进措施1. 增强对输入参数的选择和设置为了提高测试结果的准确性和可靠性，应当加强对输入参数的选择和设置。
在测试前，需充分了解系统的特性和环境条件，并进行详尽的调研和分析。
《灵敏度分析》课件
案例二：建筑结构优化中的灵敏度分析
背景：建筑结 构优化需要灵 敏度分析来提 高安全性和稳
定性
目的：通过灵 敏度分析，找 出影响建筑结 构稳定性的关
键因素
方法：采用灵 敏度分析方法， 对建筑结构进
行优化设计
结果：提高了 建筑结构的安 全性和稳定性，
降低了成本
案例三：气候变化模拟中的灵敏度分析
背景：全球气候变化问题日益严重，需要准确预测气候变化的影响
教学质量
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价值
灵敏度分析可以 帮助我们更好地 理解和优化模型， 从而提高决策的 科学性和准确性
对未来研究和应用的建议
加强灵敏度分 析在工程设计 中的应用，提
高设计质量
开展灵敏度分 析在复杂系统 中的应用研究， 提高系统稳定
性
推广灵敏度分 析在科学研究 中的应用，提
高科研效率
加强灵敏度分 析在教育领域 的应用，提高
灵敏度分析的步骤：确定参数、 计算灵敏度、分析结果
灵敏度分析的应用：优化模型、 风险评估、决策支持
灵敏度分析的实 现过程
确定分析目标
明确分析目的： 了解灵敏度对系 统稳定性的影响
确定分析范围：系 统参数、输入输出、 环境因素等
确定分析方法：灵 敏度分析、稳定性 分析、响应分析等
确定分析工具： MATL AB、 Python、 Simulink等
计算灵敏度指标 分析灵敏度结果 提出改进措施或建议
结果解释与优化建议
灵敏度分析结果：包括灵敏度系数、灵敏度区间等 结果解释：对灵敏度系数、灵敏度区间进行解释，说明其含义和影响因素 优化建议：根据灵敏度分析结果，提出优化建议，如调整参数、改进模型等 案例分析：结合实际案例，分析灵敏度分析结果的应用和优化建议的效果
灵敏度分析(图解法)
• 研究内容：
a 研究线性规划中， ij , bi , c j 的变化对最 优解的影响。
研究方法：
图解法 对偶理论分析
在单纯形表中 进行分析
仅适用于含2个变量 的线性规划问题
灵敏度分析——图解法
线性规划模型 Max Z = 34 x1 + 40 x2
4 x1 + 6 x2 48 2 x1 + 2 x2 18 2 x1 + x2 16 x1、 x2 0
| 4
| 6
E
| 8
x1
最优解不变的范围 （设c1固定c2可变）
1 34 c2 2 3
18 —
34 c 2— 51 16
14 —
12 — 10 — B
灵敏度分析 —图解法
2x1 + x2 16
2x1 + 2x2 18
(斜率 = - 1)
8—
6— 4— 2— 0
C D 4x1 + 6x2 48 (斜率 = - 2/3)
6— 4— 2— 0
C D
4x1 + 6x2 48
| | 10 12 | | | 14 16 18
A
| 2
| 4
| 6
E
| 8
x1
目标函数的系数
34x1 + 40x2 = Z 40x2 = - 34x1 + Z
18 —
1 若 c1增加 — = - c 1 + c 16 x2 2 2 （c2 不变）
| 8
| | 10 12
| | | 14 16 18
x1
目标函数的系数
34x1 + 40x2 = Z 40x2 = - 34x1 + Z
第5章灵敏度分析
第5章灵敏度分析灵敏度分析是指在建立模型之后，通过改变模型中的一个或多个参数，观察模型的输出结果发生的变化程度。
也就是说，灵敏度分析是通过改变输入参数来检测模型对参数变化的敏感程度，从而评估输入参数对模型输出结果的影响。
在实际应用中，灵敏度分析有助于确定模型的输入参数，以及优化模型的结果。
灵敏度分析可以从不同的角度进行分类。
一种常见的分类方法是根据分析的目标，将灵敏度分析分为全局灵敏度分析和局部灵敏度分析。
全局灵敏度分析是通过改变所有参数的取值范围，观察模型输出结果的变化情况，从而评估每个参数对模型输出结果的影响程度。
全局灵敏度分析通常使用敏感性指标来衡量参数对输出结果的贡献程度。
常见的敏感性指标包括Sobol指数、Morris方法和FAST方法等。
这些方法可以通过统计学的方式分析不同参数对模型输出结果的影响程度。
局部灵敏度分析是在给定一个参数值的情况下，通过改变该参数的取值范围，观察模型输出结果的变化情况，从而评估该参数对模型输出结果的影响程度。
局部灵敏度分析通常使用敏感度系数来衡量参数对输出结果的贡献程度。
敏感度系数可以通过计算参数对输出结果的一阶导数或二阶导数来得到。
灵敏度分析在实际应用中有很多的应用场景。
例如，在金融领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同投资组合的风险敏感性；在环境领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同因素对环境污染的影响程度；在工程领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同参数对工程设计的影响程度。
在进行灵敏度分析时，需要注意以下几点。
首先，应该选择合适的参数范围，在整个参数变化范围内均匀地选取参数值。
其次，应该选择合适的敏感性指标或敏感度系数来评估参数的影响程度。
最后，应该进行敏感性分析的可行性研究，确保所选择的参数和指标可以反映真实的模型情况。
总之，灵敏度分析是建立模型之后的一项重要工作，可以通过改变模型中的参数来评估参数对模型输出结果的影响程度。
灵敏度分析可以帮助我们确定模型的输入参数，以及优化模型的结果，在实际应用中具有广泛的应用前景。
第三章 第五节 灵敏度分析
5.1 目标函数中价值系数cj的变化分析
考虑检验数 σj
1. 若ck是非基变量的系数： 设ck变化为 ck + ∆ck， 则σk’= σk+ ∆ck 只要 σk’≤ 0 ,即 ∆ck ≤ - σk ，则 最优解不变；否则，将最优单纯形表 中的检验数 σk 用 σk’取代，继续用单 纯形法的表格计算。
由上式，可得 Δb2≥-4/0.25=-16 ， Δb2≥-4/0.5=-8 ， b2≤2/0.125=16。所以Δb2 的变化范围是［-8， 16］；显然原b2 =16，加它的变化范围后， b2的 变化范围是［8，32］。
2010-10-31 20
5.3
增加一个变量xj的分析
若增加一个新变量 xn+1 则有相应的 pn+1 ,cn+1发生变化。 那么计算出B-1pn+1 , σn+1=cn+1-∑cri ari n+1 填入最优单纯形表, 若 σn+1 ≤ 0 则最优解不变； 否则，进一步用单纯形法求解即可。
例子从略54分析参数aij的变化2707202024参数aij的变化若变量x在最终单纯形表中为基变量则aij的变化将使相应的b和b1发生变化因此有可能出现原问题和对偶问题均为非可行解的情况这时需要引进人工变量将原问题的解转化为可行解再用单纯形法求解例见课本例112707202025增加一个约束之后应把最优解代入新的约束若满足则最优解不变否则填入最优单纯形表作为新的一行引入一个新的非负变量原约束若是小于等于形式可引入非负松弛变量否则引入非负人工变量并通过矩阵行变换把对应基变量的元素变为0进一步用单纯形法或对偶单纯形法求解
b 2/5 11/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 ) 可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
第5章_灵敏度分析
同样假设单位产品Ⅰ的利润为 50 元不变， C1 50， 即 有
50 1≤≤0 C2
50≤C2 ≤+∞
也就是说当单位产品Ⅰ的利润为 50 元不变，而单位 产品Ⅱ的利润只要大于等于 50 元时，顶点 B 仍是其最优 解。
如果当C1 和C2 都变化时，则也可以通过不等式
C1 -1≤ ≤0 来判断 B 点是否仍然为其最优解，例如当 C2
化为标准型：
min S ( 2 x1 6 x 2 5 x3 4 x 4 ) 3 x1 4 x 2 3 x3 x 4 x5 26 2 x1 3 x 2 2 x3 3 x 4 x 6 21 x j 0 , j 1, ,6
b 这 时 在 最 终 表 中 求 得 的
列 的 所 有 元 素
bi air br 0, i 1,2, , m 由此可得 air br bi , i 1,2, m
air 0
时， br
当 当 a 0 时，b ir
bi
air
r
bi
air 于是得到资源系数的变化范围：
第五章、灵敏度分析
一、 什么是灵பைடு நூலகம்度分析
所谓灵敏度分析: 就是在建立数学模型和求得最优解之后， 研究线性规划的一些系数变化时，对最优解 产生或最优基有什么影响？或者这些系数在 什么范围内变化时，最优解或最有基不变。 有了灵敏度分析就不必要为了应付这些变化 而不停的建立新的模型和求解。
用灵敏度分析以下几种情况
bi | air 0}
max{
bi
air
| air 0} br min{
air
仍然依例 1 来分析常数项的波动。 无妨设b1 有波动，令b1 26 。 因b1 的波动和 B 是基和判别准则无关。 仅影 响单纯形表中的
灵敏度分析
灵敏度分析灵敏度分析是一项重要的决策工具，用于评估一个系统对其输入参数变化的敏感程度。
它在不同领域和行业中都有广泛的应用，包括金融、工程、环境等。
本文将详细介绍灵敏度分析的概念、方法和应用，并探讨其在决策过程中的重要性。
灵敏度分析是指通过改变一个或多个输入变量，观察系统输出变量的变化情况，从而确定输入变量对输出变量的影响程度。
它能够帮助我们了解系统的稳定性和可靠性，并得出相应的决策。
灵敏度分析通常与多元回归分析或其他统计模型一起使用，以揭示模型背后的关键因素。
灵敏度分析的方法有很多种，其中最常见的一种是参数灵敏度分析。
参数灵敏度分析通过改变系统输入参数的值，观察输出结果的变化情况，从而确定每个参数对输出结果的影响程度。
这种方法可以帮助我们识别问题中最重要的参数，并为决策提供基础数据。
除了参数灵敏度分析，还有一些其他的灵敏度分析方法，如局部敏感性分析、全局敏感性分析等。
局部敏感性分析通常用于评估系统在输入参数变化的某一特定范围内的敏感性。
全局敏感性分析则可以帮助我们了解整个系统在不同参数组合下的行为。
这些方法的选择取决于具体问题的需求。
灵敏度分析在不同领域和行业中都有广泛的应用。
在金融领域，灵敏度分析可以帮助投资者评估不同投资组合的风险和回报，从而做出更明智的决策。
在工程领域，它可以用于评估系统设计方案的可行性和稳定性。
在环境领域，灵敏度分析可以帮助我们了解环境参数对气候变化或生态系统健康的影响，从而制定相应的保护政策。
灵敏度分析在决策过程中的重要性不言而喻。
通过对系统的关键参数进行分析，我们可以更好地理解系统的行为和性能，从而制定更科学、更有效的决策。
它可以帮助我们识别风险和机遇，并为决策者提供决策依据。
然而，灵敏度分析也存在一些局限性。
首先，它假设系统的行为是线性的，这在实际情况下往往是不成立的。
其次，它无法考虑参数之间的交互作用，这可能导致结果的片面性。
因此，在进行灵敏度分析时，我们应该结合其他分析方法和经验判断，以获得更全面和可靠的结果。
第5讲 灵敏度分析
第5讲 灵敏度分析灵敏度分析是指对系统因环境变化显示出来的敏感程度的分析。
在线性规划问题中讨论灵敏度分析，目的是描述一种能确定线性规划模型结构中元素变化对问题解的影响的分析方法。
前面的讨论都假定价值系数、资源系数和技术系数向量或矩阵中的元素是常数，但实际上这些系数往往只是估计值，不可能十分准确和一成不变。
这就是说，随着时间的推移或情况的改变，往往需要修改原线性规划问题中的若干参数。
因此，求得线性规划的最优解，还不能说问题已得到了完全的解决。
决策者还需要获得这样两方面的信息：一是当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的最优解会有什么变化；二是这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的最优解（或最优基）不变。
显然，当线性规划问题中的某些量发生变化时，原来已得的结果一般会发生变化。
在单纯形法迭代时，每次运算都和基B 有关，所以可以把发生变化的量经过一定计算，直接反映进最终单纯形表并按表5-1处理。
4.1 资源系数变化的分析资源系数发生变化，即b 发生变化的灵敏度分析；该类问题关键是如何将b 的变化直接反映进原问题的最终单纯形表。
单纯形法的迭代过程，其实不过就是矩阵的初等变换过程；而线性代数的知识告诉我们，对分块矩阵[]I B 进行初等变换，当矩阵B 变为单位矩阵I 时，单位矩阵I 将变为矩阵1-B ，即：[]1-B I由此可知，如果已知最终单纯形表中基可行解所对应的基“B ”（最终单纯形表中的基变量在初始单纯形表中的列向量所构成的矩阵），即可在最终单纯形表中找到“1-B”（初始单纯形表中的单位矩阵I 在最终单纯形表中所对应的矩阵），而最终单纯形表中的每一列均可用其在初始单纯形表中的相应列左乘1-B 来得到；即b B b 1-='。
[例5-1] 已知LP 问题5432104125min Mx x x x x w ++---=1x + 22x 3x + 4x + = 512x 2x -+ 33x 5x + = 20,,,,54321≥x x x x x单纯形求解可得如表5-1所示的最终单纯形表，问（1）2b 在什么范围内变化时，最优解（在此实际上是最优基）保持不变；（2）2b 由2增加至15，求新的最优解。
什么是“灵敏度分析”,它如何改进我们对不同现象的理解？
什么是“灵敏度分析”，它如何改进我们对不同现象的理解？灵敏度分析是指在一定范围内，改变某些参数的取值时，对于系统性能或者输出结果所引起的变化程度的分析。
这种方法可以在预先设计的过程中，识别出哪些参数在不同的处理条件下对输出结果的影响最大。
因此，它能为我们提供更加全面的数据信息，进而帮助我们对系统或事物的总体性能进行更深入的了解。
下面，我们将为您详细阐述灵敏度分析的作用，以及它对我们对不同现象的理解所做出的贡献。
一、灵敏度分析的主要作用1. 发现控制因素。
通过灵敏度分析，我们可以知道哪些变量或参数对于某个系统或者应用来说，是最重要的。
这些变量或参数被称为控制因素，因为我们可以通过调整它们的数值来改善系统/应用性能。
2. 预测性能。
灵敏度分析还可以用于预测系统或应用性能。
即使在没有实际数据的情况下，通过定量评估控制参数对结果的影响，我们可以大致估计系统或应用的性能，并为未来的问题提供预测性指南。
3. 优化系统。
灵敏度分析可以用于优化系统或应用程序，并改善绩效。
分析结果可以提供关于如何调整特定参数的建议，以达到更好的结果。
此外，这种方法也可以帮助我们发现系统的弱点，在设计更好的系统方案时提供启示。
二、灵敏度分析在不同领域的应用1. 财务领域。
在财务领域，灵敏度分析可以用于识别市场趋势，分析投资风险，以及测量资产投资组合的表现。
2. 制造业。
在制造业，灵敏度分析可以用于定量评估材料变化、产量、销售价格等因素对盈亏平衡点的影响，以及为实现质量、效率和利润的优化提供指导。
3. 气象领域。
在气象领域，灵敏度分析可用于预测天气变化，改善对天气和气象因素的干预力度，如农作物生长的影响，以及自然灾害的风险评估和应对。
4. 经济学。
在经济学中，灵敏度分析可分析某种政策、法规或市场变化对个人或整个企业的影响，从而帮助我们了解这些变化对于人们日常生活和企业运行的各个方面的影响。
三、结语总之，灵敏度分析不仅可以帮助我们了解事物中关键信息的来源和对它们的影响程度，而且也可以帮助我们评估不同方案或决策的影响，以及找到最佳解决方案。
灵敏度分析的数学原理
灵敏度分析的数学原理灵敏度分析是管理科学中常用的一种分析方法，用来评估模型输出结果对模型输入参数变化的敏感程度。
其数学原理基于模型的导数和偏导数，下面我们从数学角度来解释灵敏度分析的原理。
在开始解释灵敏度分析的数学原理之前，我们先来回顾一下导数和偏导数的概念。
导数是用来描述函数在某一点上的变化率，它的定义为函数的微分与自变量的微分之比。
比如，对于函数y=f(x)，它在某一点x0处的导数就是f'(x0)。
而偏导数是用来描述多元函数在某一点上的变化率，它的定义为函数的偏微分与自变量的偏微分之比。
比如，对于函数z=f(x,y)，它在某一点(x0,y0)处的偏导数就是f/∂x(x0,y0)和f/∂y(x0,y0)。
在进行灵敏度分析时，我们需要计算模型输出结果对输入参数的导数或偏导数，从而确定模型对于参数变化的敏感程度。
具体来说，我们可以通过以下两种方法进行灵敏度分析：一阶灵敏度分析和二阶灵敏度分析。
一阶灵敏度分析是指计算模型输出结果对输入参数的一阶导数或偏导数。
这种方法适用于线性模型或在小范围内进行参数变化的非线性模型。
在计算一阶灵敏度时，我们可以使用求导规则和链式法则。
比如，对于函数y=f(x)，我们可以通过计算dy/dx来得到模型输出结果y对输入参数x的灵敏度。
而对于函数z=f(x,y)，我们可以通过计算∂z/∂x和∂z/∂y来得到模型输出结果z对输入参数x和y的灵敏度。
二阶灵敏度分析是指计算模型输出结果对输入参数的二阶导数或偏导数。
这种方法适用于非线性模型或在大范围内进行参数变化的模型。
在计算二阶灵敏度时，我们需要使用二阶偏导数和混合偏导数。
比如，对于函数z=f(x,y)，我们可以通过计算∂²z/∂x²、∂²z/∂y²和∂²z/∂x∂y来得到模型输出结果z对输入参数x和y 的二阶灵敏度。
通过计算一阶灵敏度或二阶灵敏度，我们可以得到模型输出结果对输入参数的灵敏度矩阵。
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误差分析是直接验证模型计算结果与实 测值的差异， 针对一些零散值而作的， 测值的差异 ， 针对一些零散值而作的 ， 而 灵敏度分析是从另一角度考虑该模型参数 的误差大小对状态变量所引起的计算误差 和对目标函数所引起的误差的一种敏感程 和对目标函数所引起的 误差的一种敏感程 度。
下面仅介绍一下状态变量和参数的 数目都是1时的灵敏度分析 时的灵敏度分析。 数目都是 时的灵敏度分析。 若决策变量（ 污染物排放量等） 若决策变量 （ 污染物排放量等 ） 保 持不变， 则状态变量x和目标 和目标Z均可表示 持不变 ， 则状态变量 和目标 均可表示 为参数θ的函数 的函数： 为参数 的函数： x* = f (θ0) , Z* = f (θ0)
5、网格法 、 假定有n个等定参数， 假定有 个等定参数，且已知各参数 个等定参数 的取值范围， 把各搜索区间（ 取值范围） 的取值范围 ， 把各搜索区间 （ 取值范围 ） 分成若干个等分， 分成若干个等分，则参数空间 θ=(θ1, θ2,…, θn)T就被划分成若干网格， 就被划分成若干网格， 计算所有网格顶点上的目标函数值， 计算所有网格顶点上的目标函数值 ， 并 取其中最小的值所对应的参数值作为最 优估计值。 优估计值。 若精度还不够，则可再分细些。 若精度还不够，则可再分细些。
试确定其中的耗氧速度常数Kd和得氧速度 试确定其中的耗氧速度常数Kd和得氧速度 Kd 常数Ka。 常数Ka。 Ka 解：首先，建立目标函数 首先，
20 k d Z ( k d , k a ) = 10 + ( e − k d (8 / 4 ) − e − k a (8 / 4 ) ) − 8 .5 ka − kd 20 k d + 10 + ( e − k d ( 28 ka − kd 20 k d + 10 + ( e − k d ( 36 ka − kd 20 k d + 10 + ( e − k d ( 56 ka − kd
2、一元线性回归分析法 亦称最小二乘法 该法有两个假定： 该法有两个假定： ①所有自变量的值均不存在误差，因变量的 所有自变量的值均不存在误差， 值则含有测量误差； 值则含有测量误差； ②与各测量点拟合最好的直线为能使各点到 直线的竖向偏差（ 因变量偏差） 的平方和 直线的竖向偏差 （ 因变量偏差 ） 最小的直线。 最小的直线。
灵敏度分析可以估计模型计算结果的 偏差， 且还有助于建立低灵敏度系统， 偏差 ， 且还有助于建立低灵敏度系统 ， 这种系统在运行上比较可靠） （这种系统在运行上比较可靠），有助于 确定合理的设计裕量 合理的设计裕量， 确定合理的设计裕量，这比盲目给定安全 系数要合理得多。 系数要合理得多。 （希望是低灵敏度高预测精度的模型） 希望是低灵敏度高预测精度的模型） 低灵敏度高预测精度的模型
第三步：计算目标函数对参数的梯度。 第三步：计算目标函数对参数的梯度。
在函数的形式比较复杂， 在函数的形式比较复杂，不易求得梯度 的解析式时，可以计算其数值梯度. 的解析式时，可以计算其数值梯度.
第四步：计算参数修正步长λ 第四步：计算参数修正步长λ
二阶梯度矩阵 H（ θ °）亦称海森矩阵 。 （
环境系统分析
第四章 数学模型的参数估计及灵敏度分析 前章所述的一些解析模型常用于环境质量的 模拟预测和控制规划 一维解析模型广泛地用于各种河流的水质模 拟和预测中 三维解析模型在大气质量的预测中普通采用 在流动均匀稳定的条件下， 在流动均匀稳定的条件下，二维解析模型可 用来模拟河流的水质 在模型具体应用时， 在模型具体应用时，必须首先对模型中的参 数进行估值和进行灵敏度的分析。 数进行估值和进行灵敏度的分析。
三、数学模型的灵敏度分析 由于环境系统是一个开放性系统， 由于环境系统是一个开放性系统，各 种影响非常复杂， 很难精确定量， 种影响非常复杂 ， 很难精确定量 ， 各种数 模型存在着不确定性（ 有许多假设） 学 模型存在着不确定性 （ 有许多假设 ） ， 模型中的参数也有误差 因此， 参数也有误差， 模型中的 参数也有误差 ， 因此 ， 利用模型 进行的模拟和规划的真实性， 可靠性究竟 进行的模拟和规划的真实性 ， 可靠性 究竟 如何， 如何对此做出估计， 换言之， 如何 ， 如何对此做出估计 ， 换言之 ， 状态 变量对参数的灵敏度如何 的灵敏度如何， 变量对参数 的灵敏度如何 ， 目标函数对参 的灵敏度如何以及目标函数对状态变量 数 的灵敏度如何以及 目标函数对状态变量 的灵敏度如何，需进行分析。 的灵敏度如何，需进行分析。
偏差的平方和最小意味着各个点的偏 差均很小。 差均很小。 最佳的b 最佳的b和m的估计值：（y=mx+b） 的估计值：（y=mx+b） ：（y=mx+b 由
原理相同） 3、多元线性回归分析 （原理相同）
以二元为例
4、最优化估值方法 函数一般式 ： 建立目标函数： 建立目标函数：
使其最小（ 使其最小（ Z
min） min）。
对一个连续可微的目标函数可采用最速下 降法（一阶梯度法） 降法（一阶梯度法）。
梯度法的步骤如下： 梯度法的步骤如下： 第一步: 第一步:设θ1,θ2, …,θm的初值为 θ 1°,θ 2 °, …θm °, 允许迭代误差为ℇ 允许迭代误差为ℇ. 第二步： 第二步：计算目标函数的初值
目标函数对参数的灵敏度为： 目标函数对参数的灵敏度为：
式中△ 式中△x = x ―x* △z = z―z* ― △ θ = θ ― θ0 当 △ θ 0时，忽略高阶微分项得： 时 忽略高阶微分项得：
例：已知某河段的BOD 降解规律可用下式 已知某河段的 表示： 表示： L = L0 e-Kdt 若已知河段初始的BOD浓度 0 =15mg/l, 若已知河段初始的 浓度L =15mg/l, 浓度 BOD衰减速度常数 假定K BOD衰减速度常数 Kd=0.1 d-1,假定Kd的 变化幅度在±10%,试求t=2d时的BOD值及 试求t=2d时的BOD 变化幅度在±10%,试求t=2d时的BOD值及 其变化幅度。 其变化幅度。 t=2d的BOD浓度为 浓度为： 解：Kd0=0.1d-1时t=2d的BOD浓度为： × L* = L0 e-Kd0t=15 e-0.1× 2=12.28mg/l
验证所用的数据应与参数估值时所用数 据独立， 据独立，以模型的计算结果和实测数据之间 的吻合程度来判断。 的吻合程度来判断。 常用方法： 常用方法： 1、图形表示法 观测值为横坐标，计算值为纵坐标， 观测值为横坐标，计算值为纵坐标，据 各自变量可得上面相应的两值。 各自变量可得上面相应的两值。 由于环境系统问题的复杂性， 由于环境系统问题的复杂性，对于大系 有的文献认为， 统，有的文献认为，对于观测值和计算值在 倍误差范围内都认为满意。 2倍误差范围内都认为满意。
2、相关系数法 统计学上衡量曲线拟合程度的量。 统计学上衡量曲线拟合程度的量。
y和y'分别为观测值和计算值的平均 y'分别为观测值和计算值的平均 越大相关关系越好（ 值。r越大相关关系越好（0≤ r ≤1）。 1
y=α+βy‘+ε 当 对 y=α+βy +ε 作 回归 分析证 明 α=0 和 β=1 时用相关系数验证才有实际 α=0 β=1 意义。 表示计算值y和实测值y 之间的 意义 。 ε 表示计算值 y 和实测值 y’之间的 误差。 误差。 3、相对误差法 e =∣y -y ∣ /y
i i i i
组观测值与相应计算值数据可得n n组观测值与相应计算值数据可得n 个误差值，将这n个误差值从小到大排列， 个误差值，将这n个误差值从小到大排列， 可以求得小于某一误差值的误差的出现 频率以及累积频率为10 10% 50% 90% 频率以及累积频率为10%、50%和90%的误 差。
通常采用中值误差（累积频率为50% 通常采用中值误差（累积频率为50%） 50 作为衡量模型精确度的度量。 作为衡量模型精确度的度量。 中值误差与统计学上的概率误差是一致的。 中值误差与统计学上的概率误差是一致的。 中值误差可从误差分布的累积曲线上 求出，也可按下式计算： 求出，也可按下式计算：
6、经验公式计算法 、 如：河流的复氧速度常数，大气扩散方程中 河流的复氧速度常数， 的方差等。除经验公式计算法外， 的方差等。除经验公式计算法外，其余方 法均应有自度量和因变量的实测输入输出 数据，注意使用条件，范围。 数据，注意使用条件，范围。 二、模型的验证与误差分析 在模型建立且参数估值之后， 在模型建立且参数估值之后，还应对 模型进行验证和误差分析方可投入应用。 模型进行验证和误差分析方可投入应用。
例：已知河流沿程的溶解氧（DO）的测定 已知河流沿程的溶解氧（DO） 数据如下： 数据如下：
X(km) DO(mg/l)
0 10.08 8.528 7.036 6.1
56 7.2
若起点的BOD（L0）为20mg/l，饱和溶解氧 20mg/l mg/l， 若起点的BOD（ BOD Cs） 10.0mg/l mg/l， （Cs）为10.0mg/l，河流平均流速为 Ux=4.0km/h,由 Ux=4.0km/h,由S-P模型可知河流溶解氧的 变化规律符合下述方程: 变化规律符合下述方程:
x*和Z*分别表示参数 取θ0值的状态 和 分别表示参数 分别表示参数θ取 变量值和目标函数值。 变量值和目标函数值。
灵敏度的定义为： 灵敏度的定义为： 附近， 状态变量（ 或目标） 在 θ=θ0 附近 ， 状态变量 （ 或目标 ） 相 对于原值的变化率和参数 θ相对于 θ0的变 相对于 化率的比值称为状态变量（ 或目标函数） 化率的比值称为状态变量 （ 或目标函数 ） 对参数的灵敏度， 对参数的灵敏度，即： 状态变量对参数的灵敏度为： 状态变量对参数的灵敏度为：
一、 模型参数的估值方法 有经验公式， 图解法， 有经验公式 ， 图解法 ， 最小二乘法和最优化 方法等估值方法 除经验公式外， 除经验公式外 ， 其余方法均是利用系统输入 输出数据和数学模型本身确定合理的参数数 值。 1、 图解法 对经适当处理后以转换为直线的公式，均 对经适当处理后以转换为直线的公式， 可用图解法估计参数，其误差取决于点位的 可用图解法估计参数， 精度和绘制直线的精度。 精度和绘制直线的精度。