西方经济学证明与计算题

传说中的上财33道证明题

1、证明需求曲线上的点C的价格弹性等于BC：AC

证明：ed=-dQ/dP·P/Q=GB/CG·CG/OG=GB/OG=BC/AC=OF/AF

2、证明线性需求函数Q=f（p）上的任意两点的需求弹性不等

3、应用数学方法证明蛛网模型的三种情况

4、论证消费者均衡条件为：MU1/P1=MU2/P2

证明：已知收入约束条件为：I=P1X1+P2X2

构建拉氏函数：L=U(X1,X2)+λ(1-P1X1-P2X2)

эL/эX1=эU/эX1-P1λ=0，即MU1/P1=λ

эL/эX2=эU/эX2-P2λ=0，即MU2/P2=λ

MU1/P1=MU2/P2=λ

5、如果预算线给定，一条无差异曲线U（Qx，Qy）与其相切，试证明切点E的坐标为最优商品组合，切点E为消费者均衡点。

6、证明：MRS12=MU1/MU2

证明：设效用函数：U=U(X1,X2)

U=U(X1,X2)=C(常数)表示同一条无差异曲线，即代表相同的效用

两边取全微分

эU/эX1·dX1+эU/эX2·dX2=0

-dX1/dX2=[эU/эX1]/[эU/эX2]=MU1/MU2，即，MRS12=MU1/MU2

7、证明：无差异曲线凸向原点

8、证明Q=AL a K b。（A，a，b为参数，0﹤a，b﹤1）具有规模报酬的三种性质。

证明：Q=ALαKβ

Q*=A(λL)α(λK)β=Aλα+βLαKβ=λα+βALαKβ=λ·λα+β-1ALαKβ(λ﹥1)

当α+β﹥1时,为规模报酬递增

当α+β=1时,为规模报酬不变

当α+β﹤1时,为规模报酬递减

9、证明MP L与AP L相交于AP L的最大值点处。

证明：dAP L/dL=d[f(l,K0)/L]/dL=[f’(L,K0)×L-f(L,K0)]/L2=[f ’(L,K0)-f(L,K0)/L]/L

=(MP L-AP L)/L

∵L﹥0

∴当MP L﹥AP L时，AP L曲线上升；当MP L﹤AP L时，AP L曲线下降；当MP L=AP L时，AP L取得最大值。

10、证明：等产量曲线凸向原点。

11、证明：ARTS LK=MP L/MP K。

证明：假设等产量曲线的生产函数为：Q=f(L,K)=Q0，即f(L,K0=Q0，两边微分得：

эf/эL×dL+эf/эK×dK=0

∴-dK/dL=[эf/эL]/[эf/эK]=MP L/MP K，即MRTS LK=MP L/MP K

生产理论中的边际技术替代率与消费者理论中的边际替代率是相似的。

12、证明厂商在既定产量条件下的成本最小化的条件是：MP L/MP K=w/r

证明：在Q=f(L,K)=Q0条件下，已知w，r求L，K使wL+rK有最小值？

证明：Z=wL+rK-λ[Q0-f（L，K）]

эZ/эL=w-λ·эf/эL=0，эZ/эK=r-λ·эf/эK=0

[эf/эL]/w=[эZ/эK]/r=1/λ，即MPL/w=MPK/r

f(L,K)=Q0，使Z取得max，即wL+rK取得max。

13、证明AVC和MC曲线为AP L和MP L的一种镜像。

14、证明垄断厂商的MR曲线总是小于AR曲线，且斜率是2倍的关系，既MR曲线平分由纵轴到需求曲线d的任何水平线。

证明：因为假定现行的需求函数为：P=a-bQ（a，b为常数，且大于0）

TR（Q）=PQ=aQ-bQ2

MR（q）=dTR（Q）/dQ=a-2bQ

AR曲线（需求曲线）：P=a-bQ

dP/dQ=-b→Q=（a-P）/b

MR曲线：MR（Q）=a-2bQ

dMR（Q）/dQ=-2bQ→Q=（a-MR）/2b

15、证明边际收益与需求价格弹性的关系为：MR=P（1-1/e d）（e d弹性）

证明：P=P（Q），TR（Q）=PQ=P（Q）Q

MR（Q）=dTR（Q）/dQ=dPQ/dQ·Q+P（Q）=dP/dQ·Q+P=P·（1+dP/dQ·Q/P）

=P[1-1/（-dQ/dP·P/Q）]

而e d=-dQ/dP·P/Q（为正值），所以MR=P[1-1/e d]

16、证明收益，价格与需求价格弹性的关系为：dR/dP=Q（1-e d）

证明：R=PQ，

dR/dP=Q+dQ/dP·P=Q（1+dQ/dP·P/Q）=Q（1-ed）。其中e d=-dQ/dP·P/Q（为正值）。17、三级价格歧视要求在需求的价格弹性大的市场降低价格以使厂商获得最大的利润。

∵MR=dTR/dQ=d（PQ）/dQ=P+Q·dP/dQ=P（1-1/e d），e d=dQ/dP·P/Q

这样对于市场1：MR1=P1（1-1/e d1）；对于市场2：MR2=P2（1-1/e d2）

由MR1=MR2，得：P1（1-1/e d1）=P2（1-1/e d2）

P1/P2=（1-1/e d2）/（1-1/e d1），若e d1﹤e d2，则P1﹤P2，弹性较大的市场取较小的价格。18、垄断竞争厂商长期均衡时，LAC必定与d曲线相切的切点：同时也与MR与LM C的交点处在同一条垂线上，即Q相同。

点时两曲线的切线的斜率相同。所以，d曲

线的斜率dP/dQ=d（LAC）/dQ

而LAC（切线）的斜率为：

D（LAC）/dQ=d（LTC/Q）/dQ

=[d（LTC）/dQ·Q-LTC]/Q2

=[LMC-LAC]/Q

在切点H处，均衡价格等于LAC（因为长

期利率为0），所以有LAC=P，代入上式得

到：

所以dP/dQ=（LMC-P）/Q，则LMC=dP/dQ·Q+P