统计学必知知识点合集

统计学知识点合集

1. 试验和事件：对某事物或现象所进行的观察或实验叫试验，把结果叫事件。

2. 基本事件（elementary event ）：如果一个事件不能分解成两个或更多个事件，就称为基

本事件。一次观察只能有一个基本事件。

3. 样本空间：一个试验中所有的基本事件的全体称为样本空间。

4. 古典概型：如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果出现的可能性相等，则某一事

件A 发生的概率为该事件所包含的基本事件个数m 与样本空间中所包含的基本事件个数n 的比值。

5. 统计概型：在相同条件下随机试验n 次，某事件A 出现m 次（m ≤n ），则m/n 称为事

件A 发生的频率。随着n 增大，该频率围绕某一常数p 上下波动，且波动幅度逐渐减小，趋于稳定，这个频率的稳定值就是该事件的概率。 6. 概率加法：（1）两个互斥事件：P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；任意两随机事件：P （A+B ）

=P （A ）+P （B ）-P （AB ）。 7. 事件独立（independent ）：一个事件发生与否不会影响另一个事件发生的概率，公式为：

P （AB ）=P （A ）P （B ）。互斥（相依赖）一定不独立，不独立不一定互斥（相依赖）。 8. 全概率公式：根据某一事件发生的各种原因的概率，计算该事件的概率。计算公式为：

∑==

n

1

i i

i

）

A |

B （P ）A （P ）B （P 。 9. 贝叶斯公式：在条件概率的基础上寻找事件发生的原因。计算公式为：

∑==

n

1

i i

i

i i i ）

A |

B （P ）A （P ）

A |

B （P ）A （P ）B |A （P ，分母就是全概率公式。也称为逆概率公式。

该公式是在观察到事件B 已发生的条件下，寻找导致A 发生的每个原因A i 的概率。P(A i )

称为验前概率，P(A i |B)是验后概率。

10. 0-1分布：1,0x ，q p )x (P

x

-1x ==。0-1分布也称为两点分布，即非A 即B 。关于是

否的概率统统是0-1分布。性别。

11. 二项分布：现实生活中，许多事件只是具有两种互斥结果的离散变量。如男性和女性、

某种化验结果的阴性阳性，这就是二项分布。x

-n x x n q p C )x X (P ==。参数为n ，p ，

记为X~B(n ，p)。E(X)=np ，D(X)=npq 。当成功的概率很小，而试验次数很大时，二项分布接近泊松分布，此时λ=np 。即P ≤0.25，n ＞20，np ≤5。二项定理近似服从正态分布。二项分布是0-1分布的n 重实验，表示含量为n 的样本中，有X 个所需结果的概率。 12. 二项分布的正态近似：

)a (-)b (dt e

21q p C )x x (P 2

t -

x x x b

a

x -n x x n 2122

1

ΦΦ==

=

≤∑⎰

=π

，其中a=

npq

np -x 1，

b=

npq

np -x 2，q=1-p 。

13. 超几何分布：n

N

m -n M

-N n M C C C )2X (P ==。即二项分布中，无放回的情况。 14. 泊松分布（poisson distribution ）：用来描述在一指定时间范围内或在指定的面积之内某

事件出现的次数的分布。如某企业中每月发生的事故次数、单位时间内到达某一服务柜台需要服务的顾客人数、人寿保险公司每天收到的死亡声明个数、某种仪器每月出现故

障的次数等。公式为：！

x e )X (P -x λ

λ=，E(X)=λ，D(X)=λ。λ是给定时间间隔内事件的

平均数。

15. 期望：各可能值x i 与其对应概率p i 的乘积之和为该随机变量X 的期望，即

∑=n

1

i i

i p

x 。

16. 概率密度满足的条件：（1）f(x)≥0；（2）

⎰

+∞

∞

=-1dx )x (f 。连续型随机变量的概率密度

是其分布函数的倒数。⎰

=b

a )a (F -)

b (F )x (f 。⎰

+∞

∞

==

-dx )x (xf )x (E μ；

⎰

+∞

∞

==

-22dx )x (f E(x)]-[x )x (D σ。

17. 正态分布（normal distribution ）：正态分布的概率密度为：2

22)-x (-e

21

)x (f σμπ

σ=

，x

∈R 。记作X~(2

,σμ)。

18. 正态分布图形特点：（1）f(x)≥0，即整个概率密度曲线都在x 轴上方；（2）f(x)相对于x=

μ对称，并在x=μ处取到最大值，最大值为

π

σ21

；（3）曲线的陡缓由σ决定，σ越

大，越平缓，σ越小，曲线越陡峭；（4）当x 趋于无穷时，曲线以x 轴为渐近线。 19. 正态分布的例子：某地区同年龄组儿童的发育特征、某公司的销售量、同一条件下产品

的质量以平均质量为中心上下摆动、特别差和特别好的都是少数，多数在中间状态，如人群中的高个子和矮个子都是少数，中等身材居多等。 20. 标准正态分布，即在正态分布中，μ=0，σ=1，有2

x -

2

e

21)x (f π

=

，即X~N （0,1）。

用Φ表示分布函数，ϕ表示概率密度。Φ(-x)=1-Φ(x)。

21. 方差：即每个随机变量取值与期望值的离差平方的期望值。随机变量的方差计算公式为：

22i 1

i 2i

2

2

)X (E -)X (E p )]X (E -x

[)]X (E -X [E )X (D ==

==∑∞

=σ

。

22. 标准差：随机变量的方差的平方根为标准差，记)X (D =

σ。标准差与随机变量X 有

相同的度量单位。