数字信号处理[第二章时域离散信号和系统的频域分析
数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
数字信号处理第三版第2章.ppt
| z | 2
试利用部分分式展开法求其Z反变换。
解：
X (z)
A1 1 2z 1
1
A2 0.5
z
1
4 1 1 1 3 1 2z1 3 1 0.5z1
x(n)
4 3
2n
1 3
(0.5)n
u(n)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例： 设
X (z)
7）终值定理：设x(n)为因果序列，且X(z)=Z［x(n)］的全部
极点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在单位
圆内，则 ： lim x(n) lim[(z 1)X (z)]
n
z1
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
8）序列卷积（卷积定理）
若： y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
3z (z 3)2
z2
3z , 6z 9
试利用长除法求其Z反变换。
解：
| z | 3
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.4 Z 变换的性质和定理
1）线性性质
Z［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z)
2）序列的移位 Z[x(n m)] zm X (z) Rx | z | Rx
2 j c
c (Rx , Rx )
直接利用围线积分的方法计算逆Z变换比较麻烦。 下面介绍几种常用的逆Z变换计算方法： 1）用留数定理求逆Z变换（了解） 2）部分分式展开法（掌握） 3）幂级数展开法（长除法）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例： 设
1
数字信号处理 Z域分析
这是一个有限项几何级数之和。因此
X
(
z)
1 1
zN z 1
0 | z |
李建勋--- ljx088@
8
例 x(n)=anu(n), 求其Z变换及收敛域。
解 这是一个因果序列，其Z变换为
无穷项等比级 数求和
X (z)
a nu(n) z n
n
an z n
n0
(az 1 ) n
另外，由于函数
z
z
a
1 1 az1
只在z=a处有一极点，
整个收敛域应该在极点所在的圆内。
李建勋--- ljx088@
10
jIm[z] a
o
Re[z]
|z|＝a| |
对于左边序列，如果序列Z变换有 N个有限极点｛z1, z2, …, zN｝，那么收敛 域一定在模最小的极点所在的圆内
0 | z | 0 | z | 0 | z |
有时将开域(0, ∞)称为“有限Z平面”。
李建勋--- ljx088@
4
（2）右边序列：右边序列是指x(n)只在n≥n1时有值。
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
nn1
nn1
n0
则右边序列Z变换的收敛域为 Rx-<|z|<∞
结论：一个左边序列与一个右边序列的Ｚ变换表达式是 完全一样的。所以，只给出Z变换的闭合表达式不能正确 得到原序列，需要已知收敛域。
李建勋--- ljx088@
11
李建勋--- ljx088@
12
例 x(n)=a|n|, a为实数，求其Z变换及收敛域。
aa
26
同一个X(z)， 若收敛域不同，则对应的序列就完全不同。
数字信号处理：时域离散信号和系统的频域分析
2. 线性
设： 则：
FXFXTF1XT1([T(1e[ae(a[jexjax1j)1x()(1n)n()n)FF)TFTbb[Tx[bxx2x[1x2(1x((2n(1nn(n()n))n])]])]),],]XX,aaX2X2aX((2eX1e1((j(e1eje(j)je)j)j))F)FbTFbTX[bTX[xX2x[22(x2(2(e(2en(n(jej)n)]j)])),,]),
1 2
[x(n)
x(n)]
xo
(n)
1 2
[x(n)
x(n)]
将上FT面[x两xe(on式()n]分=) 1别/21进2[X[行x(e(FjnωT))，+X得x*(到(ejωn)])=] Re[X(ejω)]=XR(ejω)
FT[xo(n)]=1/2[X(ejω)-X*(ejω)]=jIm[X(ejω)]=jXI(ejω)
xxr (rxn(nr)XX(e)ne(()eejejjjnnj))n
n nn
FFXXTT(e[(e[xexjrjr()()nn))]]F12T[nX[nx(er(jxnxr))(r]n(n)Xe)
o (XeXojo((e)ejj)F)TF[FTjTx[i[j(xjnix()in]()n])]jnjnjnxxrXXir(x(noonr(()()eeenjj)ejj))njXnFXFTooT(([ee[jjjjxxi))i((nn)12)]F][TX[(jejnjxnji()nx)xr]X(r
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
实因果序列h(n)与其共轭对称部分he(n)和共轭反对称部分 ho(n)的关系
h(n) = he(n) + ho(n) he(n)=1/2[h(n) + h(-n)] ho(n)=1/2[h(n) - h(-n)] 因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示为：
第二章 时域离散信号和系统(数字信号处理)
第二章 时域离散信号和系统
6. 复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n 式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚 部表示如下式： x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于n取整数，下面等式成立： e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
第二章 时域离散信号和系统
图1.2.5 正弦序列
第二章 时域离散信号和系统
则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取
值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列 才是以N为周期的周期序列。
正弦序列有以下三种情况：
(1)当2π/ ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ ω0 为周期的周期序列。例如sin(π/8)n， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16,该正弦序列周期为16。
例 设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。
解 按照公式，
y (n )
m
R ( m) R ( n m)
4 4
上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩
形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非
令n-k=m，代入上式得到
u( n )
n
( m)
n
第二章 时域离散信号和系统
u(n) 1 „ n 0 1 2 3
单位阶跃序列
第二章 时域离散信号和系统
3. 矩形序列RN(n) 1, RN(n)= 0， 0≤n≤N-1 其它n
上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的
第二章 时域离散信号和系统
第2章 时域离散信号和系统
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号和系统的频域分析信号与系统的分析方法有两种：时域分析方法和频域分析方法。
在连续时间信号与系统中，信号一般用连续变量时间t 的函数表示，系统用微分方程描述，其频域分析方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换。
在时域离散信号与系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，系统则用差分方程描述，频域分析方法是Z 变换和序列傅立叶变换法。
Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。
因此，对求解离散时间系统而言，Z变换是一个极重要的数学工具。
2．2 序列的傅立叶变换（离散时间傅立叶变换）一、序列傅立叶变换：正变换：DTFT[x(n)]=（2.2.1）反变换：DTFT-1式（2.2.1）级数收敛条件为||= (2.2.2)上式称为x(n)绝对可和。
这也是DTFT存在的充分必要条件。
当遇到一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其DTFT可用冲激函数的形式表示出来。
二、序列傅立叶变换的基本性质：1、 DTFT的周期性，是频率的周期函数，周期为2。
∵ = 。
问题1：设x(n)=R N(n)，求x(n)的DTFT。
====设N为4，画出幅度与相位曲线。
2、线性设=DTFT[x1(n)]，=DTFT[x2(n)]，则：DTFT[a x1(n)+b x2(n)]= = a+b3、序列的移位和频移设 = DTFT[x(n)]，则：DTFT[x(n-n0)] ==DTFT[x(n)] == =4、 DTFT的对称性共轭对称序列的定义：设序列满足下式则称为共轭对称序列。
共轭对称序列的性质：共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数证明：=+j（实部加虚部）∵∴+j=-j∴=（偶函数）∴=－（奇函数）一般情况下，共轭对称序列用表示：共轭反对称序列的定义：设序列满足下式则称为共轭反对称序列。
共轭反对称序列的性质：共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数证明：=+j（实部加虚部）∵∴+j=+j∴=（奇函数）∴=（偶函数）一般情况下，用来表示一个序列可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示。
数字信号处理第2章 时域离散信号和系统的频率分析实验报告
成绩：《数字信号处理》作业与上机实验（第二章）班级：学号：姓名：任课老师：完成时间：信息与通信工程学院2014—2015学年第1 学期第2章 时域离散信号和系统的频率分析1、设计两个数学信号处理系统：系统初始状态为零。
分别用这两个系统对数字信号：1.020.5cos(2/8/4)0140()0n n n x n ππ++≤≤⎧=⎨⎩其它 进行处理。
该信号为缓慢变化的指数信号（1.02n ）上叠加了一个正弦干扰噪声序列，我们希望通过该系统对()x n 进行处理来消除这个正弦干扰噪声。
1）.应用dtft 子程序分析信号()x n 的频谱，并用MATLAB 工具画出0π频率范围的频谱图，并在图中标记噪声的频谱。
(1)matlab 代码如下： %dtft 函数function [ X,w ] = dtft( x,n,dw,k )X=x*(exp(-1j*dw)).^(n'*k); w=dw*k; end%应用dtft 子程序分析信号x(n)的频谱 n=0:140;x=1.02.^n+0.5*cos(2*pi*n/8+pi/4); dw=pi/500; k=-1500:1500;[ X,w ] = dtft( x,n,dw,k ); %调用dtft 函数 magX=abs(X); %信号x(n)的幅度谱 angX=angle(X); %信号x(n)的相位谱701()()8() 1.3576(1)0.9216(2)() 1.4142(-1)(2)i y n x n i y n y n y n x n x n x n ==---+-=-+-∑系统一：系统二：subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX); axis([0,1,0,800]); title('信号x(n)幅频特性'); xlabel('w'); ylabel('幅度'); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX); axis([0,1,-4,4]);title('信号x(n)相频特性'); xlabel('w'); ylabel('相位');(2)信号()x n 的频谱图见图一:图一 信号()x n 的频谱图2）. 应用Hmp 子程序分析系统一与系统二的频谱特性，画出频谱图（0ωπ=）。
数字信号处理-时域离散随机信号处理(丁玉美)第2章
rxx (0) rxx (0) Rxx r ( M 1) xx
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 （2.2.22）式可以写成矩阵的形式， 即
Rxd Rxxh
对上式求逆，得到
h Rxx1Rxd
(2.2.23)
(2.2.24)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 上式表明已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测 数据的自相关函数时，可以通过矩阵求逆运算， 得到维纳滤
E[| e(n) |2 ] E[| e(n) |2 ] j 0 a j b j
记
j=0, 1, 2, … （2.2.6）
j j a j b j
j=0, 1, 2, …
（2.2.７）
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 则（2.2.6）式可以写为
j E[| e(n) |2 ] 0
j 0
(2.2.16)
假定滤波器工作于最佳状态，滤波器的输出yopt(n)与期望信号d(n) 的误差为eopt(n)，把（2.2.15）式代入上式，得到
* E[ yopt (n)eopt (n)] 0
(2.2.17)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
d(n) eo pt(n)
yo pt(n)
图 2.2.1 期望信号、 估计值与误差信号的几何关系
方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概
念清楚，但不能实时处理；维纳滤波的最大缺点是仅适用于一 维平稳随机信号。这是由于采用频域设计法所造成的， 因此人 们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤波器的方法。
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法 根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，可以 得到滤波器的输出y(n),
数字信号处理时域信号与频域分析
数字信号处理时域信号与频域分析数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是指对连续时间信号进行采样和量化后，利用数字技术进行处理和分析的过程。
在数字信号处理中，时域信号与频域分析是两个重要的概念和方法。
时域信号是指信号在时间上的变化情况，常用的表示方法是信号的波形图。
时域信号的分析可以得到信号的幅度、频率、相位等信息。
频域分析则是将时域信号转换为频域信号，常用的方法有傅里叶变换、快速傅里叶变换等。
傅里叶变换是将一个时域信号转换为频域信号的方法之一。
通过傅里叶变换，我们可以将信号的频域特性直观地表示出来，从而更好地理解信号的频谱分布。
傅里叶变换可以将时域信号分解为一系列的正弦和余弦函数，并得到每个频率分量的振幅和相位信息。
快速傅里叶变换是一种高效的傅里叶变换算法，它可以在较短的时间内计算出信号的频域特性，并广泛应用于数字信号处理领域。
快速傅里叶变换通过利用信号的周期性和对称性，通过递归的方式将计算量降低到了较小的程度，从而提高了计算效率。
频域分析可以帮助我们了解信号的频谱特性、频率成分以及不同频率成分之间的相互关系。
通过频域分析，我们可以对信号进行滤波、降噪、频率检测等处理操作。
同时，频域分析也可以用于信号的压缩和编码。
在实际应用中，时域信号与频域分析常常相辅相成。
通过时域分析，我们可以观察信号的波形、脉冲特性等，并确定信号的基本特征。
而频域分析则可以进一步研究信号的频率分量、频段分布等，对信号进行更深入的理解。
总结起来，数字信号处理的时域信号与频域分析是不可分割的两个方面。
时域分析能够提供信号的时间特性和波形信息，而频域分析则可以揭示信号的频谱特性和频率成分。
通过综合应用时域信号与频域分析的方法，可以对数字信号进行更全面、准确的处理和分析，为各类应用提供支持与依据。
这些方法和技术在音频处理、图像处理、语音识别等领域得到了广泛的应用和发展，为我们的生活和工作带来了诸多便利与创新。
离散信号与系统的时域和频域分析
h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时， n 齐次差分方程解： k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
离散信号与系统分析
开始
下一页
结束
本章说明
与连续信号与系统相比较，离散系统的数学描述是激励响应的差分方 程，其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系 统的零状态响应可以用卷积和来求取。 时域分析： 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2( ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
5、序列的运算
④差分：离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分： f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分： ⑤反折：将离散信号以纵轴为对称轴反折（转） ⑥压扩：将离散信号中f（k）的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺 度变换 注意：不存在非整数ak的值！ ⑦求和：离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。
数字信号处理课后答案西安电子
第２章 时域离散信号和系统的频域分析 解: 假设输入信号x(n)=ejω0n，系统单位脉冲响应为h(n) 则系统，输出为
上式说明当输入信号为复指数序列时， 输出序列仍是复 指数序列， 且频率相同， 但幅度和相位取决于网络传 输函数。 利用该性质解此题:
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
上式中|H(ejω)|是ω的偶函数, 相位函数是ω的奇函数
|H(ej,ω)|=|H(e-
θ(ω)=－θ(－ω), 故
jω)|,
4. 设
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
将x(n)以4为周期进行周期延拓, 形成周期序列
,
画出x(n)和
的波形, 求出
的离散傅里叶级数
和傅里叶变换。
解: 画出x(n) 和
由z3(z－1)=0, 得极点为 z1, 2=0, 1 零极点图和收敛域如题15解图(a)所示, 点相互对消。
图中, z=1处的零极
第２章 时域离散信号和系统的频域分析 题15解图
第２章 时域离散信号和系统的频域分析 (2)
第２章 时域离散信号和系统ຫໍສະໝຸດ 频域分析零点为极点 为
极零点分布图如题15解图(b)所示。 (3) 令y(n)=R4(n), 则
(4) δ(n)
(6) 2－n［u(n)－u(n－10)］
第２章 时域离散信号和系统的频域分析 解 (1)
(2)
第２章 时域离散信号和系统的频域分析 (3)
(4) ZT［δ(n)］=10≤|z|≤∞ (5) ZT［δ(n－1)］=z－10<|z|≤∞
(6)
≤
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
16. 已 知
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
1第2章时域离散信号和系统的频域分析z 2.1 引言z 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质z 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系z 2.5 序列的Z 变换z 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性22.1 引言信号和系统的分析方法:时域分析方法和变换域分析方法。
频域变换（傅里叶变换->复频域拉氏变换）连续时间信号(系统微分方程)频域变换（傅里叶变换->复频域Z 变换）时域离散信号(系统差分方程)本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。
3第2章时域离散信号和系统的频域分析z 2.1 引言z 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质z 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系z 2.5 序列的Z 变换z 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质5例2.2.1 设x(n)=R 4(n)，求x(n)的DTFT 图2.2.1 R (n)的幅度与相位曲线sin /2ω常用序列的傅立叶变换7(2)()j M nn x n eωπ∞−+=−∞=∑二、序列离散时间傅里叶变换（DTFT）的性质1. DTFT 的周期性()()j j nn X e x n eωω∞−=−∞=∑(2)()j M X eωπ+=时域离散，频域周期函数。
周期是2π。
由于DTFT 的周期，一般只分析0-2π之间的DTFT 。
2. 线性1122:()[()],()[()]j j X e DTFT x n X e DTFT x n ωω==若1212:[()()]()()j j DTFT ax n bx n aX e bX e ωω+=+则3. 时移与频移00(0:[()](),[()]()j n j nj j DTFT x n n eX e DTFT ex n X eωωωωω−−−==则:()[()]j X e DTFT x n ω=若4. 反转7. 帕斯维尔(Parseval)定理8. 频域微分序列的Fourier变换的对称性质*()x n−)n也可分解成：e−*(e对称性质•序列Fourier 变换()()j x n X e ωRe[()]()j e x n X e ωIm[()]()j o j x n X e ω()Re[()]j e x n X e ω()Im[()]j o x n j X e ω实数序列的对称性质•序列Fourier 变换Re[()]()()j j e x n X e X e ωω=Im[()]0()0j o j x n X e ω==()Re[()]j e x n X e ω()Im[()]j o x n j X e ω)j eω−变换满足共轭对称性()]j X eω−Im[()]j X e ω−)arg[结论：z序列分成实部与虚部两部分，实部对应的DTFT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的DTFT具有共轭反对称性。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
X (z)
n
x ( n) z n x ( n) z n
n0
n
x ( n) z n
因而其收敛域应该是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分。 等式右边第一项为右边序列，其收敛域为|z|>Rx-; 第二项为左边序 列，其收敛域为|z|<Rx+。如果Rx-<Rx+，则存在公共收敛区域，X(z)
n 0
n n
1 (az ) 1 az 1 n 0
1 n
|z|>|a|
这是一个无穷项的等比级数求和，只有在 |az-1|<1即|z|>|a|处收敛如图所示。故得到以上
1 z 闭合形式的表达式，由于 ，故 1 az 1 z a
jIm[z]
|a|
a
o
在z=a处有一极点(用“×”表示)，在z=0处有
4
第2章
时域离散信号和系统的频域分析
2.5 序列的Z 变换
2.5.1
ˇ
Z变换的定义 一个离散序列x(n)的Z变换定义为
X (z)
‵ 式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平 面。我们常用Z［x(n)］表示对序列x(n)进行Z 变换，也即
n
x ( n) z
n
（2.5.1）
Z[ x(n)] X ( z )
Re[z]
一个零点(用“○”表示)，收敛域为极点所
在圆|z|=|a|的外部。
18
第2章
时域离散信号和系统的频域分析
收敛域上函数必须是解析的，因此收敛域内不允许有极点存在。 所以，右边序列的Z变换如果有N个有限极点｛z1,z2,…,zN｝存在，
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第2章 时域离散信号和系统的频域分析 学习要点及习题答案
·22· 第2章 时域离散信号和系统的频域分析2.1 引 言数字信号处理中有三个重要的数学变换工具，即傅里叶变换、Z 变换和离散傅里叶变换，利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，这大大方便了对信号和系统的分析和处理。
三种变换互有联系，但又不同。
表征一个信号和系统的频域特性用傅里叶变换；Z 变换是傅里叶变换的一种扩展，在Z 域对系统进行分析与设计更加既灵活方便。
单位圆上的Z 变换就是傅里叶变换，因此用Z 变换分析频域特性也很方便。
离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换，因此用计算机分析和处理信号时，全用离散傅里叶变换进行。
离散傅里叶变换具有快速算法FFT ，使离散傅里叶变换在应用中更加重要。
但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z 变换，其优点是将信号的时域和频域都进行了离散化，便于计算机处理。
但实际使用中，一定要注意它的特点，例如对模拟信号进行频域分析，只能是近似的，如果使用不当，会引起较大的误差。
因此掌握好这三种变换是学习好数字信号处理的关键。
本章只学习前两种变换，离散傅里叶变换及其FFT 在下一章中讲述。
2.2 本章学习要点(1) 求序列的傅里叶变换—序列频率特性。
(2) 求周期序列的傅里叶级数和傅里叶变换—周期序列频率特性。
(3) 0()，()，()，1，cos()n N n a u n R n n δω，0sin()n ω和0j e n ω的傅里叶变换，02/ωπ为有理数。
(4) 傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。
(5) 求序列的Z 变换及其收敛域。
(6) 序列Z 变换收敛域与序列特性之间的关系。
(7) 求逆Z 变换：部分分式法和围线积分法。
(8) Z 变换的定理和性质：移位、反转、Z 域微分、共轭序列的Z 变换、时域卷积定理、初值定理、终值定理、巴塞伐尔定理。
精品课件-数字信号处理(第四版)-第2章 时域离散信号和系统的频域分析-3
【例2.6.3】 设一阶系统的差分方程为y(n)=by(n－1)+x(n)
解
由系统差分方程得到系统函H数(为z)
1 1 bz1
z
z b
| z || b |
式中，0<b<1。系统极点z=b，零点z=0，当B点从ω=0逆时针 旋转时，在ω=0点，由于极点向量长度最短，形成波峰；在 ω=π点形成波谷；z=0处零点不影响幅频响应。极零点分布 及幅度特性如图所示。
如果-1<b<0，则峰值点出现在ω=π处，形成高通滤波 器。
20
【例2.6.4】已知H(z)=1－z－N，试定性画出系统的幅频特性。
H(z) 1 zN z N 1 zN
H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的幅频响 应。零点有N个，由分子多项式的根决定
z N 1 0 即 z N e j2πk
小结 单位圆附近的零点位置对幅度响应波谷的位置和深度有明
显的影响，零点可在单位圆外。 在单位圆内且靠近单位圆附近的极点对幅度响应的波峰的
位置和高度则有明显的影响，极点在单位圆上，则不稳定。 利用直观的几何确定法，适当地控制零、极点的分布，就
能改变系统频率响应的特性，达到预期的要求，因此它是 一种非常有用的分析系统的方法。
根据其形状，称之为梳状滤波器。
例2.6.4的梳状滤波器的极零点分布及幅频、相频特性
22
2.6.4 几种特殊系统的系统函数及其特点 全通滤波器 梳状滤波器 最小相位系统
23
1 全通系统（全通网络，全通滤波器）
定义：如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1.
| H (ej ) | 1 0 2π
第二章 时域离散信号与系统的频域分析
0 1, X (e j ) 0, 0
求 X (e j ) 的傅里叶反变换 x ( n) 。 5、求以下序列的 z 变换，并画出零极点图和收敛域。 (a) x(n) a ( | a | 1)
n
1 西北大学信息科学与技术学院——王宾
数字信号处理课程作业——第二章 时域离散信号与系统的频域分析
1 x(n) u(n 1) 2 (b)
(c) x(n) n sin(0n)
n
, n 0 (0为常数）
6、求下列 X ( z ) 的 Z 反变换：
1 1 z 1 2 , (a) X ( z ) 1 2 1 z 4
数字信号处理课程作业——第二章 时域离散信号与系统的频域分析
1、试求下列序列的傅里叶变换： (a) x(n) (n 3)
1 1 (b) x(n) (n 1) (n) (n 1) 2 2
(c) x(n) anu(n) (d) x(n) u (n 3) u (n 4) (e) x(n) cos(0n) sin(0n) 2、设 X (e j ) 是如下图所示的 x ( n ) 信号的傅里叶变换，不必求出 X (e j ) ，试完成 下列计算： (a) X (e j 0 ) (b) (c) (d)
应曲线。
2 西北大学信息科学与技术学院——王宾
X (e j )d
X (e j ) d
dX (e j ) d d2 Nhomakorabea2
3、已知 x ( n ) 有傅里叶变换 X (e j ) ，用 X (e j ) 表示下列信号的傅里叶变换。 (a) x1 ( n ) x (1 n ) x ( 1 n )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
~
解：x(n)
cos 0 n
1 [e 2
j0n
e
] j0n
X
(e
j
)
FT [cos 0 n]
FT [
1 2
(e
j0n
e
j0n
)]
[ ( 0 2 r) ( 0 2 r)] r
时域离散信号和系统的频域分析 时域离散信号与模拟信号的FT关系
X a ( j)
xa
(t
)e
jt
dt
1
H虚h(e部(jnw是))实奇部函2是h数he偶e0((n,函nn)),数,nn000
,
he
h(n)
ho
((nn))21122hh[[hx(o0((0(nn,n)))n,)n,hhn((0nn0))]]0
h(0), n 0
0, n 0
he (n)
h(n) / 2, n
0
, ho (n)
h(n) / 2, n 0
n0
1 e jN 1 e j
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质
1.FT的周期性
X (e j(2 M ) )
x(n)e j(2 M )n
n
x(n)e jne j 2 Mn
n
x(n)e jn X (e j )
n
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质
时域离散信号和系统的频域分析
序列的傅里叶变换（FT）的性质
7.FT的对称性
预备知识
x(n) xr (n) jxi (n)
实部对应的FT具有 共轭对称性
X (e j ) X e (e j ) X o (e j ) x(n) xe (n) xo (n)
虚部与j对应的FT具 有共轭反对称性
序列的共轭对称部分 对应FT的实部
FT e j0n x(n) X (e j(0 ) )
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质 4.FT的时域卷积定理
y(n) x(n) h(n) Y (e j ) X (e j )H (e j )
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质
5.FT的频域卷积定理
序列的傅里叶变换（FT）
正 : X (e j )
x(n)e jn
n
反 : x(n) 1 X (e j )e jnd
2
x(n)
n
时域离散信号和系统的频域分析
[例] 设 x(n) RN (n) ，求 x(n)的FT。
解：X (e j ) RN (n)e jn n
N 1
e jn
0
连续的 非周期的 非周期的 连续的
时域离散信号和系统的频域分析 二 连续时间、离散频率的傅里叶级数
x(t)
X ( jk0 )
---
---
0
t
Tp
0
0
2
Tp
正
:
X
(
jk 0
)
时域1信号Tp / 2 频x域(t信)e号 jk0t dt 连T续p 的Tp / 2非周期的
反 : x(t ) 周期X的( jk 离散0的)e jk0t
和
时域离散信号 x(n)，求 xa (t)和 xa (t)的傅里叶变换以及
x(n)的FT。
采样信号：xa (t) cos(2 f0nT ) (t nT )
周期延拓X：a ( j)n[ ( 2 f0 ) ( 2 f0 )]
X a ( j) FT[xa (t)]
s 2 / T 2 fs
Xa(
j)e jnT d
'
2 T
r
1
xa (nT ) 2 r
/T /T
Xa ( j'
j
2 T
r)e d j
('
2 T
) nT
'
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号与模拟信号的FT关系
xa (nT )
1
2
r
/T /T
Xa ( j
j
2 T
r
)e
j
(
2 T
)
nT
d
交换区间
1 2
j 2 kn j 2 mn
x(n)e N [ ake N ]e N
n0
n0 k
N 1 j 2 (k m)n
ak e N
ak N
k n0
k
时域离散信号和系统的频域分析
周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
ak
1
N 1 ~
j 2 kn
x(n)e N
N n0
~
令 X (k) Nak
~
X
(k)
N 1
~
x(n)e
j 2 N
kn，称为
~
x(n)的离散傅里叶级数，为DFS
n0
~
x(n)
1
N
1
~
X
(k
)e
j
2 N
kn，称为
~
X
(k
)的反离散傅里叶级数，为IDFS
N k0
时域离散信号和系统的频域分析
~
[例] 设 x(n) R4 (n) ，求 x8 (n) 的DFS。
～
解：X (k)
，以采样频率
fs
200Hz
对
xa
(t
)
进行采样，得到采样信号
xa (t)
和
时域离散信号 x(n)，求 xa (t)和 xa (t)的傅里叶变换以及
x(n)的FT。
模拟信号的傅里叶变换：X a ( j) FT[xa (t)]
X a ( j)
cos 2
f0te jt dt
1 2
[e
j
2
f0t
X (e j ) X R (e j ) jX I (e j )
序列的共轭反对称部 分对应FT的虚部与j
时域离散信号和系统的频域分析
分析实因果序列h(n)的对称性
h(n) hr (n) jhi (n)
h(n) he (n) ho (n)
H (e j ) H e (e j ) Ho (e j ) H (e j ) H R (e j ) jH I (e j )
2
序列的X(ejw)与模拟信号的X(j )有什么关系？
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号与模拟信号的FT关系
xa
(t)
1
2
t nT
X
a
(
j)e
jt
d
x(n) 1
2
X (e j )e jn d
xa (nT )
1
2
X
a
(
j)e
jnT
d
区间不同
1
2 r
(2r 1) /T (2r 1) /T
xa (t) 2
X
a
(
j)e
jt
d
xa (t) xa (nT ) (t nT )
n
Xa(
j)
1 T
n
Xa(
j
jks )
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号与模拟信号的FT关系
x(n) xa (nT )
X (e j )
x(n)e jn
n
x(n) 1 X (e j )e jn d
/T /T
r
X
a
(
j
xj(n2T)r)e
1 jnT d
2
X (e j )e jn d
＝T
1
2
1 T
r
Xa(
j
T
j
2 T
r)e jnd
X (e j )
1 T
r
Xa(
j
T
j
2 T
r)
序列的FT是模拟信号 FT的周期延拓
时域离散信号和系统的频域分析
[例] 设 xa (t) cos(2 f0t) ， f0 50Hz
1 T
X a ( j jks )
k
T
[ ( 2 f0 ks ) ( 2 f0 ks )]
k
时域离散信号和系统的频域分析
[例] 设 xa (t) cos(2 f0t) ， f0 50Hz
，以采样频率
fs
200Hz
对
xa
(t
)
进行采样，得到采样信号
xa (t)
和
时域离散信号 x(n)，求 xa (t)和 xa (t)的傅里叶变换以及
傅里叶变换就是建立以时间为自变量的“信号” 与以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种变换关系
时域离散信号和系统的频域分析 一 连续时间、连续频率的傅里叶变换
x(t)
0 X ( j)
正 : X ( j) x(t)e jtdt
t 反 : x(t) 1 X ( j)e jtd
2
时域信号 频域信号
当xa (t) e j0t : X a ( j)
e e j0t
jt dt
2
(
0 )
当x(n) e j0n e j(0 2r)n : X (e j ) 2 ( 0 2 r)
r
X (e j ) FT ( 1
N 1 ~
j 2 kn
X (k)e N )
1
N 1 ~
j 2 kn
s s / 2
时域离散信号和系统的频域分析
四 离散时间、离散频率的离散傅里叶变换
x(nT)=x(n)
Tp
1 F
Tp NT
0 T 2T