信号的采样与保持

表明： E * (s )为 e Ts的有理函数。
例7－4
题目：设 e(t) eat , 求e*(t)的拉氏变换。 解：
E*(s) e(nT )enTs (7 5)
n0
E* (s) eantenTs
n0
1
e
1
(
s
a
)T
eTs
eTs eaT
表明： E*(s)为eTs的有理函数。
n
(7 8)
理想采样器的输出
e * ( t )
e(t) T
(t)
e(t) 1 T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e
n
jn s t
取拉氏变换，及复数位
移定理，得：
E * ( s )
1 T
E j(n
n
s
)
若E*(s)在s右半平面没有极s点 j，令
将e*(t)进行傅氏变换，得：
E*(j)
1n E
T n
j(ns)
T
1 10
tr
( 7 1５)
T ４10 ts ( 7 1６)
5 信号保持
•什么是保持器？ 在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过 程称为保持过程。
实现保持的装置称为保持器。
保持器的数学作用：即解决各离散采样点之间的插 值问题。
（1）保持器的数学描述
保持器是具有外推功能 的元件。 保持器的外推作用表现 为现在时刻的输出取决 于过去时刻 离散信号的外推。 数学公式：
表明： E* (s)为eTs的有理函数。
结论
若E(s)可以表示为s的解析表达式，总可 以利用（7－5）推导出E*(s)的闭合形式。 但用拉氏变换法研究离散系统的表达式是 复变量s的超越函数，不便于分析和设计。 解决方法：采用z变换法。Z变换将复变量 s的超越方程变换为变量z的代数方程。
（2）采样信号的频谱
•脉冲序列从零开始。
2 采样过程的数学描述 (1)采样信号的拉氏变换
对采样信号e* (t )进行拉氏变换，得：
E*
(s)
n0
e(nT
)
(t
nT
)
由位移定理，有 (t nT ) enTs (t)est dt enTs
0
采样信号的拉氏变换为：
E*(s) e(nT )enTs ( 7 5) n0
研究频谱的目的： 找出采样信号和连续信号之间的相互联系。
0 , 理想单位脉冲序列
T (t nT ), 傅氏变换： n0
T ( t ) c n e jn st ( 7 6 ) n
其中 s 2 / T , 采样角频率
, c n
1 T
T /2
T ( t ) e jn st dt 为傅氏系数，
1 采样过程
采样信号
采样的几个指标： 采样周期T:单位s 采样频率f:f=1/T ,单位Hz 采样角频率w 采样持续时间t
•采样过程可以看作一个幅值调制过程。
0,理想单位 T 脉 (冲 tn序 )T 列 n0
理想采样 e*(t)器 e(t的 )T(t)输 e出 (n)T (tn)T (7 3) n0
式（7－5）表明：
E*(s) e(nT)enTs n0
•采样信号的拉氏变换与采样函数e(nT)的关 系。
•E*(s)只能描述采样瞬间的离散的数值 ，而不能描述e(t)在采样间隔之间的信息。 若e(t)为有理函数形式，则无穷级数E(s)也 是eTs的有理函数形式。 •（7－5）与连续信号e(t)的拉氏变换类似。 E*(s)的初始值通常规定采用e(0+)。
表明： 频谱不发生混叠的条件： Ws>=2wh
图7－14采样信号的频谱（混叠）
图7－15理想滤波器的频谱
3 香农采样定理
•采样定理（Shannon香农定理）
若被采样的连续信号x(t)的频谱有限宽，且最大 宽度为wh，如果采样角频率ws>2wh，并且采样 后再加理想滤波器，则连续信号x(t)可以不失真 的恢复出来。
e(nT t) a0 a1t a2 (t)2 am (t)m (7 17 ) 其中， e(nT t)为现在时刻的输出； t为nT时刻为原点的坐标； 现在时刻的输出取决于 t 0,T ,2T ... mT 各个过去时刻的
T /s
T / 2 , T / 2 区间中， T ( t )只有在 t 0时候才有值
故
cn
1 T
T /2
T ( t ) e jn st dt
T /s
1 T
0＋
T (t)e
0
jn st dt
1 , 代入 T
(7 6 ),
T
(t)
1 T
e jn st
例7－3
题目：设 e (t ) 1(t ), 求 e * (t )的拉氏变换。 解：
E * (s ) e ( nT ) e nTs ( 7 5 ) n0
E * (s ) 1( nT ) e nTs 1 e Ts e 2Ts n0
1
1 e Ts
e Ts e Ts 1
图7－16 连续采样器特性
4 采样周期的选取
采样频率的选择主要取决于系统的性能指标。 工程上一般使ws比wh大的较多。表6－1给出工 业过程采样周期的选择。 随动系统的采样角频率近似： ws＝ wc（7－13） 其中wc为开环系统的截止频率，与闭环频率的 谐振频率wr近似相等。
根据时域的性能指标选择采样周期
第七章 线性离散系统的分析与校正
7-0 概述 7-1 离散系统的基本概念 7-2 信号的采样与保持 7-3 z变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差 7-6 离散系统的动态性能分析 7-7 离散系统的数字校正
7-2 信号的采样与保持
1 采样过程 2 采样过程的数学描述 3 香农采样定理 4 采样周期的选取 5 信号保持
(711)
其中E，(j)为连续信 e(t号 )的傅氏变换。
图7-12 连续信号的频谱
（1）连续信号e(t) 的频谱|E(jw)|是单 一的连续频谱。 （2）wh为连续频谱 中最大角频率。
图7-13 采样信号的频谱
（1）采样信号e*(t)的频谱|E*(jw)|是以ws为周期的无穷 多个频谱之和。 （2）n=0的频谱称为采样频率主分量（基带），其余频谱 成为采样频谱的补分量，是由于采样引起的高频频谱。
例7－5
题目：设 e(t) et e2t , 求e* (t)的拉氏变换。 解：
E* (s) e(nT )enTs (7 5)
n0
E* (s)
(e nt
n0
e 2nt )e nTs
1
1 e ( s1)T
1
e
1
(
s
1)T
(eTs e 2Ts )eTs (eTs e T )( eTs e 2T )