(完整版)复合函数求导法则
4复合函数的求导法则
求w , 2w . x xz 解: 令 u x y z , v x y z , 则
w , f1 , f2
uv
wf(u,v)
w x
f11f2yz
x y zx y z
f 1 ( x y z ,x y z ) y z f 2 ( x y z ,x y z )
z
uv
t 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量
t
有增量△u ,△v ,
zzuzv o ( ) ( (u)2(v)2)
u v
zzuzv o ( ) ( (u)2(v)2)
t ut vt t
令t 0, 有 u 0 , v 0 ,
u
x r
r
ux
(2)
2u x2
(( uu ))cos
rx xx
(
u x
)
sin r
r(urcos usinr)cos
r
x yx y
注意利用 已有公式
(urcos
usin)sin
z ,
z .
x y
解:
z z u z v x u x v x
eusinv y eucovs1
z
e x y [y six n y ) (co x y s )( ]u v
z z u z v y u y v y
二、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具有一阶连续偏导
为 x2简w z便 起f f1 1 见1 1, y 1 引( fx 入1 2 记z x) 号yf 1 f y1x 2 f2y 2 ufz y ,f z2 [ f1f 221y 2 1f u2 2fvf2,2 xy]
2_1_3 复合函数的导数 高等数学 微积分 考研数学
th x sh x ch x
a x ex ln a
Page 4
例2. 设 y ln cos(ex ) , 求 dy . dx
解:
dy dx
1 cos(ex
)
(sin(ex )) ex
ex tan(ex )
思考: 若 f (u) 存在 , 如何求 f (ln cos(ex )) 的导数?
u0 u
y f (u)u u （当 u 0 时 0 )
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0) u
f (u)
dy dx
lim y x0 x
lxim0
f
(u) u x
பைடு நூலகம்
u x
f
(u ) g ( x)
Page 2
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如, y f (u) , u (v) , v (x)
d f f ( ln cos(ex ) ) (ln cos(ex )) dx
这两个记号含义不同
f (u) uln cos(ex )
Page 5
例3. 设 y cot x tan 2 , 求 y.
2
x
解： y csc2 x 1 1 sec2 2 2( 1 1 )
2 22 x
x
2 x3
1 csc2 x 1 sec2 2
4x
2
x3
x
2 . 设 y f ( f ( f (x))), 其中 f (x) 可导, 求 y.
解: y f ( f ( f (x))) f ( f (x) ) f (x)
Page 6
§2.1.3 复合函数的求导法则
复合函数求导公式大全 大学复合函数求导法则
复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文小编给大家整理了复合函数的求导公式及法则，供参考！ 复合函数求导公式 复合函数求导法则证法一：先证明个引理 f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) 证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 因lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) 所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 因存在极限lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->;x0)f'(x)=H(x0) 所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) 引理证毕。
设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。
下面是由小编为大家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数导数公式.常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
复合函数的求导法则,反函数的求导法则
数学分析（上）
2 g ( x ) ln x ,求 f ( x ) x 例10 设 ，
f [ g( x )] f [ g( x )]
解 f ( x ) 2 x
g[ f ( x )] g[ f ( x )]
f [ g( x )] 2 ln x
2 ln x f [ g ( x )] f [ g ( x )] g ( x ) x
2
1 1 1 y 2 2x 2 x 1 3( x 2)
x 1 2 x 1 3( x 2)
数学分析（上）
例8 y x ，求 y .
x
解
y x
x
e
x ln x
e
x ln x x ln x x ln x 1 x ln x 1 e
数学分析（上）
注意到:当x 0 时, 由 u ( x ) 的连续性
lim lim 0 可得 u 0, 从而 x 0 u 0
所以,令x 0 , 便有
dy du dy f ( u) ( x ) dx du dx
f [ ( x )] f [ ( x )] ( x )
第二节 §2 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 一、复合函数的求导法则 定理1 (链式法则)如果 u ( x ) 在点 x 处可导，而函数 y f ( u) 在对应的点 u 处可 导，则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处可导， 且
dy f ( u) ( x ) 或 dx
2
1 x 例5 y , 求 y . 1 x
例6 证明双曲函数的求导公式:
第四节 复合函数的求导法则
,
z
y
x
y zu x2 y2 zv x2 y2 ,
于是
(x
y) z x
(x
y) z y
zu
zv
即方程变为 zu zv 0.
☆ 二、多元复合函数的高阶偏导数
例 1 设z f ( x y, x2 y),其中 f C(2),求 z , z , 2z .
u
z df u , x du x
z y
df du
u . y
xy
或写为 zx f (u) ux , zy f (u) uy .
注意 f '(u) 与 fu 意义不同.
例1
设z sin u,
u
x y
可微,
求zx
,
zy.
例 2 设z f ( y ), f 可微, 证明： x z y z 0.
ux yzf1 2 xf2, uy xzf1 2 yf2, uz xyf1 2zf2.
(3) 若 w=f (u,v,) , 且 u= (x,y) 、v = (x,y)、w =(x,y),
则有: zx fuux fvvx fwwx , zy fuuy fvvy fwwy .
zx e x2 y[sin( xy) y cos( xy)] , z y e x2 y[2sin( xy) x cos( xy)] .
例 2 设 z ( x2 y2 )sin( x3 y), 求 z x 和 z y .
解 令 u x2 y2 , v sin( x 3 y) , 则 z uv ,
[法一] 按链式法则:
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式复合函数的导数求解方法是通过链式法则来完成的，链式法则是微分学中的一条重要定理，用于计算复合函数的导数。
链式法则的公式如下：设函数y=f(u)和u=g(x)是两个可导函数，且y=f(u)及u=g(x)都是定义在实数集上的函数，则复合函数y=f(g(x))是可导的，其导数为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/dx表示复合函数y = f(g(x))的导数，dy/du表示函数y = f(u)关于u的导数，即f'(u)，du/dx表示函数u = g(x)关于x的导数，即g'(x)。
链式法则的理解可以形象地理解为：复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数的导数。
具体而言，链式法则可以分为两个步骤：1.外层函数对内层函数的导数：首先计算函数y=f(u)关于u的导数，即f'(u)。
这一步是对内层函数的导数进行计算。
2.内层函数对自变量的导数：然后计算函数u=g(x)关于x的导数，即g'(x)。
这一步是对自变量的导数进行计算。
最后，将两个步骤得到的导数相乘，即得到复合函数y = f(g(x))关于自变量x的导数dy/dx。
链式法则的应用非常广泛，可以用于求解各种类型的复合函数的导数，包括多元函数、隐函数和参数方程等等。
下面将针对一些常见的函数类型，给出链式法则的具体应用示例：1.多项式函数：对于多项式函数y=f(u)=a_n*u^n+a_{n-1}*u^{n-1}+...+a_1*u+a_0，其中u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算得到。
例如，设y = (3x^2 + 2x + 1)^3，则u = g(x) = 3x^2 + 2x + 1，可以求出du/dx = 6x + 2、然后，求f(u)关于u的导数，有df/du =3u^2、最后，根据链式法则，复合函数y = (3x^2 + 2x + 1)^3关于x的导数dy/dx = df/du * du/dx = 3u^2 * (6x + 2) = 3(3x^2 + 2x +1)^2 * (6x + 2)。
复合函数的求导法则
z z u z v z z u z v ， . y u y v y x u x v x
链式法则如图示
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
y , 其中为可导函数, 七、设 z 2 2 f (x y ) 1 z 1 z z 2. 验证: x x y y y 八、设 z [ x ( x y ), y ], 其中 , 具有二阶导数,求 2z 2z , 2. 2 x yLeabharlann 练习题答案一、1、
du f ( u ,v , x ) x dx v
dv f ( u ,v , x ) x dx x
( u ,v , x )
.
练习题
一、填空题: x cos y z 1、设 z ,则 ________________； y cos x x z ________________. y x 2 ln( 3 x 2 y ) z z 2 、设 ,则 _______________； 2 x y z ________________. y sin t 2 t 3 dz z e 3、设 ,则 ________________. dt v z z 2 2 u 二、设 z ue ,而u x y , v xy ，求 , . x y
例：z = (1+ x )
2 sin3x
dz 求 dx
例：z = (x y )
2
2 2 x 3 y
z z 求 x y
2、复合函数求导注意事项：
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
复合函数的导数及导数的运算法则
复合函数的导数及导数的运算法则复合函数是指由两个或多个函数组成的函数。
在求复合函数的导数时，需要使用链式法则，即将函数的导数作为求导的一部分。
设有两个函数f(x)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
我们的目标是求解复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx。
根据链式法则，dy/dx可以表示为：dy/dx = df(g(x))/dx根据上述公式，我们可以按照以下步骤求导：Step 1: 首先对f(g(x))进行求导，即求df(g)/dg。
Step 2: 然后对g(x)进行求导，即求dg(x)/dx。
Step 3: 最后将求导得到的结果相乘，即df(g)/dg * dg(x)/dx =dy/dx。
下面我们讨论一些常见的复合函数和它们的导数运算法则。
1. 复合函数的链式法则（Chain Rule）设有函数f(u)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
根据链式法则，复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(u)和g'(x)分别表示f(u)和g(x)的导数。
例如，如果y=(2x+1)^3，则可以将它表示为y=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则：dy/dx = 3u^2 * du/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^22.复合函数中的乘法法则如果复合函数中有乘法运算，则可以使用乘法法则来求导。
例如，如果y=x^2*e^x，则可以使用乘法法则来求导：dy/dx = (d/dx)(x^2) * e^x + x^2 * (d/dx)(e^x)对于每一项使用基本求导法则：dy/dx = 2x * e^x + x^2 * e^x3.复合函数中的除法法则如果复合函数中有除法运算，则可以使用除法法则来求导。
例如，如果y=(x^2+1)/(x-1)，则可以使用除法法则来求导：dy/dx = [(d/dx)(x^2 + 1)(x - 1) - (d/dx)(x - 1)(x^2 + 1)]/(x - 1)^2再对每一项使用基本求导法则：dy/dx = [(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)]/(x - 1)^24.复合函数中的三角函数法则如果复合函数中包含三角函数，则可以使用三角函数法则来求导。
复合函数求导
复合函数的求导法则可以写成: 复合函数的求导法则可以写成
dy dy du = dx du dx
即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求 即因变量对自变量求导， 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则. 复合函数的微分公式为: 复合函数的微分公式为
n n1 (sin x n ) ′(sin x n ) cos x n nx n1
= n 3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
n1 (sin x n ) f ′[ n (sin x n )] ′(sin x n ).
三、一阶微分的形式不变性
设函数 y = f ( x )有导数 f ′( x )
第四节
复合函数求导 法则及其应用
一、复合函数求导法则 二、初等函数的求导问题 三、一阶微分的形式不变性 四、隐函数的导数 五、对数求导法 六、参数形式的函数的求导公式
一、复合函数求导法则
定理4.4.1 (复合函数求导法则 ) 设函数 u = g( x ) 在 x0可导， 可导， 定理 复合函数求导法则 处可导， 而函数 y = f (u) 在 u0 = g( x0 ) 处可导，则复合函数 y = f [ g( x )] 在 x0 可导，且有 可导，且有:
d[ f ( g( x))] = f ′(u) g′( x)dx
推广
设 y = f ( u), u = (v ), v = ψ ( x ),
则复合函数
y = f { [ψ ( x )]}的导数为 :
dy dy du dv = dx du dv dx
例4.4.1 解: 求函数 y = ln sin x 的导数 .
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
6.4 复合函数的求导法则
其中将偏导数记号记为
y
∂z ∂z +x = y 2 xf1′ − 2 xf 2′ + x −2 yf1′ + 2 yf 2′ ∂x ∂y
= 0.
(
) (
)
∂z ∂z = fu = f1′ , = f v = f 2′ ∂u ∂v
= f 可导，且有 g ( x ) 在点 x 可导，
dy dy du = ⋅ . dx du dx
z= f ϕ ( t ) , φ ( t )
z
u v
t t
情形2 情形2 如果 z = f ( u , v ) , u = ϕ ( x, y ) , v = φ ( x, y ) 则复合函数为二元函数
∂ 2 w ∂f1′ ∂f ′ = + yf 2′ + yz 2 ∂x∂z ∂z ∂z ′′ + xyf12 ′′ + yf 2′ + yz ( f 21 = f11 ′′ + xyf 22 ′′ )
z x = f1′ + yf 2′ ,
z
u
x
y
z xx =
∂f1′ ∂f ′ +y 2 ∂x ∂x
′′ + yf12 ′′ + y ( f 21 ′′ + yf 22 ′′ ) = f11 ′′ + 2 yf12 ′′ + y 2 f 22 ′′ = f11
x
∂z ∂z , . ∂s ∂t s
t
∂y ∂t
可写为
dy dt
s
x
∂z ∂z ∂x = ∂s ∂x ∂s y = et 1 − x2 y2
9.4复合函数求导法则
则有 u 0 , v 0 , u du v dv , t dt t dt
o( )
z
u
t
v
t
( 称 全导数公式 )
d z z d u z dv d t u d t v d t
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t f1 f 2 f 3
0
因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
第九章
ห้องสมุดไป่ตู้§9.4 多元复合函数的求导法则
一元复合函数
求导法则 微分法则
本节内容: 全微分形式不变性 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 及不变性
一、多元复合函数求导的链式法则
定理1. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数 在点 t 可导, 且有链式法则 d z z d u z dv d t u d t v d t
§9.3内容回顾
1. 微分定义:
x2xyy 2 , x 2 y 2 0 z f ( x, y ) x2 y 2 0 0,
z
o ()
(x) 2 (y ) 2
d z f x ( x, y )d x f y ( x, y )d y
z v v y
x
e sin v
u
e cos v 1
u
例2. u f ( x, y, z ) e
x2 y2 z 2
u f 解: x x
高等数学《复合函数的求导法则》
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复 杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些 是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏 导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数， 有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏 导数的关系问题.
——全导数公式
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t
复合函数求导法则
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cosv 1 eu (x sin v cosv).
例2 z (x2 y2 )sin(x3y) ,求 z 和 z . x y
例3 z f (xy, x ), f 可微,求 z 和 z .
特别一: z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
v 1, w 0,
x
x
z f u f , x u x x
两者的区别
v 0, w 1.
y
f (1,1) 2, f (1,1) 3, x f (x, f (x, x)).求
x
y
d 3(x) x 1.
dx
例8
设u
yf
(
x) y
xg (
y )求 x
2u x2
,
2u xy
及x 2u y 2u . x2 xy
二、小结
链式法则（分三种情况）
z ________________. y
2、设z
x2
ln(3 x y2
2 y) ,则z x
_______________；
z ________________. y
3、设z esint2t3 ,则dz ________________. dt
二、设z
v
ue u ,而u
et (cost sin t) cost.
例5 z=f (x2, e2x ), f 可微,求 dz . dx
简单复合函数的求导法则精华版
1 f ( ) x
×
1 1 2 f ( ) x x
( x 2 1 ) f
2x x2 1
小结
＊ 复合函数求导公式： f ( x ) f (u ) ( x ) 关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。 利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。 ＊ 抽象复合函数的导数： 对于抽象复合函数的求导, 要从其形式上把握其 结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关
100 y h(t ) 2t 1 求其在 t 3 时的导数，并解释其意义。解析
例4 求列函数的导数：
(1) y f ( x )
2
( 2) y f (sin x )
前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题 中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们
的导数如何求得？？
知识回顾
1、导数公式表
函数 导函数
y c(c是常数）
y x (为实数）
y a x (a 0, a 1)
y 0 y x 1
y a x ln a
ye
x
y e x
y 1 x ln a 1 y x
y log a x (a 0, a 1)
y ln x
y sin x
y cos x
Title
y cos x
y sin x
y 1 cos 2 x
1 sin 2 x
y tan x
y cot x
y
＊ 导数的加减法法则： f ( x) g ( x) f ( x ) g ( x)
分运用复合关系的求导法则。
解： （1）函数是由 y f (u ) 与 u ( x ) x 2复合而成的， 由复合函数的求导法则知：
复合函数求导法则有哪些呢
复合函数求导法则有哪些呢复合函数的求导法则同学们清楚吗，如果不清楚，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。
Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3运算法则是：加(减)法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
求导运算法则是：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一．创设情景
复习：求下列函数的导数
（1） （3） （2）
（4） （5）
设置情境：（4）利用基本初等函数求导公式如何求导?(5)能用学过的公式求导吗?
二．新课讲授
探究1、探究函数 的结构特点
探究:指出下列函数的复合关系
复合函数的概念一般地，对于两个函数 和 ，如果通过变量 ， 可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作 。
复合函数的导数复合函数 的导数和函数 和 的导数间的关系为 ，即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积．
若 ，则
三．典例分析
例1（课本例4）求下列函数的导数：
（1） ；（2） ；
（3） （其中 均为常数）．
解：（1）函数 可以看作函数 和 的复合函数。根据复合函数求导法则有
= 。
（2）函数 可以看作函数 和 的复合函数。根据复合函数求导法则有
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
例4求y＝sin4x＋cos4x的导数．
【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－ sin22x
＝1－ （1－cos 4x）＝ ＋ cos 4x．y′＝－sin 4x．
【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4 sin3x(sinx)′＋4 cos3x(cosx)′
五．课堂练习
1．求下列函数的导数
(1)y=sinx3+sin33x； （2）
(3) 2.求 的导数
六．作业
备课札记
教学反思
＝4 sin3xcosx＋4 cos3x(－பைடு நூலகம்inx)＝4 sinxcosx(sin2x－cos2x)
＝－2 sin 2xcos 2x＝－sin 4x
【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
四．回顾总结（1）会分解复合函数（2）会求复合函数的导数 其中 为中间变量。
平湖市新华爱心高级中学教学案之教案
课题
复合函数求导法则
课型：新授课
主备教师：刘素梅
总课时：
第课时
学习目标
1、牢记基本初等函数求导公式
2、会利用基本初等函数求导公式求函数的导数
3、能正确分解简单的复合函数，记住复合函数的求导公式
4、会求简单的形如 的复合函数的导数
教学重难点
重点会分解简单的复合函数及会求导
= 。
（3）函数 可以看作函数 和 的复合函数。根据复合函数求导法则有
= 。
【点评】
求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
变式：求下列函数的导数
（1） （2）
例2求描述气体膨胀状态的函数 的导数．
【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．