第三章 信号分析基础

第三章 信号分析基础3.1 信号空间3.1.1 信号范数与赋范线性空间信号)(t x （或)(n x ）的范数定义为：})(max{)(∞<<∞-=∞t t x t x ， （或 })(max{)(∞<<∞-=∞n n x n x ，） (3-1)dt t x t x ⎰∞∞-=)()(1 （或 ∑∞-∞==n n x n x )()(1） (3-2)2122)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞∞-dt t x t x （或 2122)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∞-∞=n n x n x ） (3-3) 以下简写为：px。

信号范数具有如下性质（其中，p=1,2,∞）：1）0≥px；0=px，当且仅当x 恒为零； (3-4)2）p px x⋅=⋅λλ，λ为实数； (3-5)3）p ppy xy x +≤+ (3-6)【 证明 ：略】在时间域（+∞∞-,）范围，最大幅度有界的全体信号所构成的信号空间记为}:{∞<=∞∞x x L (3-7)绝对可积（或绝对可和）的全体信号所构成的信号空间记为}:{11∞<=x x L (3-8)平方可积（或平方可和）的全体信号所构成的信号空间记为}:{22∞<=x x L (3-9)根据泛函理论可知，L ∞、L 2和L 1都是赋范线性空间。

3.1.2 信号内积与内积空间在赋范线性空间2L （或2l ）中，定义二信号的内积⎰∞∞-=dt t y t x t y t x )()()(),(（2L 空间） (3-10)或∑∞-∞==n n y n x n y n x )()()(),(（2l空间） (3-11)以下简写为：y x ,。

通过简单验证，可知内积y x ,满足：1）y x y x ,,αα= (3-12)2）z y z x z y x ,,,+=+ (3-13)3）x y y x ,,= (3-14) 4）0,≥x x ，并且0,=x x 的充要条件是θ=x 。

(3-15)因此，2L （2l ）称为内积空间，并且具有完备性、可分性，是希尔伯特—Hilbert 空间。

特例，当y x =时，有22,x x x = (3-16)内积空间的信号线性相关、正交、正交分解、正交投影： （1）线性相关对于2L （或2l ）中信号k x x x ,,,21 ，若存在不全为零的实数k ααα,,,21 ，使02211=+++k k x x x ααα (3-17)则称它们线性相关。

特例，对于2,L y x ∈（或2,l y x ∈）若存在非零实数β，使0=⋅-x y β，则称x 与y 线性相关。

（2）正交对于2L （或2l ）中信号k x x x ,,,21，若0,=j i x x ，j i ≠，则称k x x x ,,,21 相互正交，记为j i x x j i ≠⊥,。

特例，对于2,L y x ∈（或2,l y x ∈），若0,=y x ，则称x 与y 正交，记为y x ⊥。

（3）正交分解若k x x x ,,,21 是内积子空间2L U ∈（或2l ）的一组正交基，则对于任意的U y ∈，y 可以k x x x ,,,21 线性表出，即k k x x x t y ααα+++= 2211)( (3-18)并且，根据k x x x ,,,21 的相互正交性，可得i i i i x x x y ,/,=α (3-19)(3-18)式又称为信号y 在信号子空间2L U ∈的正交分解，(3-18)中右边的i i x α项称为信号y 在信号ix 上的投影。

3.1.3 信号距离与距离空间在赋范线性空间2L （或2l ）上可以定义信号距离，即对于2,L y x ∈（或2,l y x ∈）,二者之间的距离为()2/122)()(),(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰b a dt t y t x yx y x d ，],[b a t ∈ (3-20)或()2/122)()(),(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=∑=N M n n y n x yx y x d ，],[N M n ∈ (3-21)距离性质：1） ∞≤≤),(0y x d ，仅当y x =几乎处处成立时，0),(=y x d (3-22) 2）),(),(x y d y x d = (3-23) 3）),(),(),(x z z z x d y x d +≤ (3-24) 【 证明 ：略】此时，2L （或2l ）又成为距离空间。

2L （或2l ）中信号的范数、距离、内积的关系：（1）=),(2y x d y x y x --,y x yx,22222-+= (3-24)证明：根据内积的性质以及(3-16)式，有y x y x --,y y x y y x x x ,,,,+--＝y y y x x x ,,2,+-＝y x y x ,22222-+=),(2y x d y x y x --=,]y x y x ,22222-+=（2）y x yx,22222≥+；并且y x yx,22222=+的充要条件是，y x =；证明：由（1）及距离、内积的性质即可得出。

（3）22222,y x yx≥，并且22222,y x yx=的充要条件是，存在实数β使0=⋅-y x β。

证明：构造信号y x z ⋅-=β，作能量函数z z E z ,=0≥由于=)(βz E 22222,2x y x y +-=ββ0≥1） 根据一元二次方程)0(2≥++c bx ax 根的性质（)042≤-ac b ）知，0,22222≤-yxy x ，即得22222,y x yx≥；2） 当22222,y x yx =时，)(βz E 有一个实重根)2(0abx =220,yy x =β，使0)(0=βz E ；因此，找到了实数0ββ=，使0)()()(=⋅-=t y t x t z β； 3） 当0)()()(=⋅-=t y t x t z β时，有2222,,,yy yy yx ββ=⋅=22222222y xyy=⋅=β信号的距离概念，在模式识别、故障诊断、信号分类、数据融合等方面广泛应用。

例如，多运动目标识别、跟踪。

多个探测系统、雷达系统（主动雷达、被动雷达）可以分别发现多个目标，产生多条目标运动轨迹。

由于各个监视系统获得目标的方式、工作环境等不同，对同一个监视区域，获得的目标个数不同（有遗漏的、有虚假的），对同一个目标的探测到的轨迹有差异（误差、干扰）。

对于最终的综合、决策系统来说，首要的问题是如何确认那些目标是真实的。

这就要进行运动轨迹的关联处理，在多个信号源中找出真实目标。

可以用轨迹距离指标来判别不同探测系统的二轨迹是否属于同一个目标。

运用数据融合技术，可以发挥各个探测系统的长处，提高目标识别的正确率和精度。

3.2 确定信号的相关3.2.1 信号相似定义1：对于2L （或2l ）中两非零信号x 与y ，（1）若它们线性相关，则意味着存在0≠α使y x ⋅=α，此时称信号x 与y 相似；（2）若二者正交，即y x ⊥，或0,=y x ，则称x 与y （完全）不相似。

定理1：对于2L （或2l ）中任意的非零信号x 和给定的信号y ，x 可以分解为与y 相似和与y 完全不相似的二非零信号之和，即21x x x +=，θ≠1x ，θ≠2x 且1x 和2x 满足条件：0,1=y x ，0,21=x x此时，称x 与y 部分相似。

证明：（构造方式证明）若取22,yy x =α，y x x ⋅-=α1，y x ⋅=α2则有0,,,,1=-=⋅-=y y y x y y x y x αα0,,,1121==⋅=y x y x x x αα且x x x =+21因此，我们给x 找到了一个满足定理1条件的分解。

注：（1）2L （或2l ）空间的完备性保证，这样的分解的唯一性； （2）2x 又称为x 在y 上的投影。

（3）相似的含义：相似的二非零信号波形可以通过适当的幅度放大或衰减后重合。

定理2：若y x ⊥，y x z +=，则y x z E E E +=。

证明： 2222y x zE z +==y x y x ++=,y y y x x x ,,2,++=2222y x+=y x E E +=。

定理3：对于2L （或2l ）中两非零信号x 与y ，作信号y x z ⋅-=α，则有1）若存在非零实数α，使0=z E ，则x 与y 相似； 2）若存在非零实数α，使x z E E <<0，x 与y 部分相似； 3）若对所有的R ∈α，x z E E ≥，则x 与y 不相似。

证明：将x 分解为21x x x +=。

若0,≠y x ，取22,yy x =α，)()(2t y t x ⋅=α，y x x ⋅-=α1；则21x x ⊥(正交)，且1x z =；于是21x x x z E E E E -==(定理2）。

1）当0=z E ，01=x E ，即得y x x ⋅-=α10=。

根据相似定义，x 与y 相似；2）当<021x x x z E E E E -==x E <，有10x E <且20x E <。

因此，1x 和2x 均不恒为零，x 与y 部分相似；3）对任意R ∈α，若x z E E -ααy x y ,2222-=0≥，则必有0,=y x ；否则，取22,yy x =α，则有x z E E -0,222<-=yy x ，矛盾。

3.2.2 信号相关（1）相关系数信号x 与y 的相互投影正比与它们之间的内积y x ,，反比与信号的能量，因此=xy r y x ,和22,yxy x xy =ρ都反应了x 与y 的相似程度。

为了区别，称xy r 为相关系数，xy ρ为归一化（标准化）相关系数。

定理4：相关系数性质 1）1||0≤≤xy ρ2）1||=xy ρ↔x 与y 相似； 3）0=xy r 或0=xy ρ↔x 与y 不相似 4）1||0<<xy ρ↔x 与y 部分相似。

证明：22222,2x y x y E z+-=αα⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=222222222222,1,y x y x x y y x y α若1||0<<xy ρ，由上式第二项得[]x xy E x x y x y x x =<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<2222222222221,10ρ若取α使上式第一项为零，则有x xy z E x E <-=<]1[0222ρ（2）相关函数相关系数反应了两个固定波信之间的相似性，然而在我们常常需要研究一个信号与另一个信号经过时移τ后的相似性。

定义：若对所有的R ∈τ（信号的定义域），)(t x 与)(τ+t y 都不相似，则称)(t x 与)(t y 不相关；否则，称)(t x 与)(t y 相关。