第三章 信号分析基础

第三章 信号分析基础

3.1 信号空间

3.1.1 信号范数与赋范线性空间

信号)(t x （或)(n x ）的范数定义为：

})(max{)(∞<<∞-=∞t t x t x ， （或 })(max{)(∞<<∞-=∞n n x n x ，） (3-1)

dt t x t x ⎰

∞

∞

-=)()(1 （或 ∑∞

-∞

==

n n x n x )()(1） (3-2)

2

12

2

)()

(⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎰∞

∞-dt t x t x （或 2

122

)()

(⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=∑∞

-∞=n n x n x ） (3-3) 以下简写为：p

x

。

信号范数具有如下性质（其中，p=1,2,∞）：

1）0≥p

x

；0=p

x

，当且仅当x 恒为零； (3-4)

2）p p

x x

⋅=⋅λλ，λ为实数； (3-5)

3）p p

p

y x

y x +≤+ (3-6)

【 证明 ：略】

在时间域（+∞∞-,）范围，最大幅度有界的全体信号所构成的信号空间记为

}:{∞<=∞∞x x L (3-7)

绝对可积（或绝对可和）的全体信号所构成的信号空间记为

}:{11∞<=x x L (3-8)

平方可积（或平方可和）的全体信号所构成的信号空间记为

}:{22∞<=x x L (3-9)

根据泛函理论可知，L ∞、L 2和L 1都是赋范线性空间。 3.1.2 信号内积与内积空间

在赋范线性空间2L （或2l ）中，定义二信号的内积

⎰∞

∞

-=dt t y t x t y t x )()()(),(（2L 空间） (3-10)

或

∑∞

-∞

==

n n y n x n y n x )()()(),(（2

l

空间） (3-11)

以下简写为：y x ,。

通过简单验证，可知内积y x ,满足：

1）

y x y x ,,αα= (3-12)

2）z y z x z y x ,,,+=+ (3-13)

3）x y y x ,,= (3-14) 4）0,≥x x ，并且0,=x x 的充要条件是θ=x 。 (3-15)

因此，2L （2l ）称为内积空间，并且具有完备性、可分性，是希尔伯特—Hilbert 空间。

特例，当y x =时，有

2

2,x x x = (3-16)

内积空间的信号线性相关、正交、正交分解、正交投影： （1）线性相关

对于2L （或2l ）中信号k x x x ,,,21 ，若存在不全为零的实数k ααα,,,21 ，使

02211=+++k k x x x ααα (3-17)

则称它们线性相关。

特例，对于2,L y x ∈（或2,l y x ∈）若存在非零实数β，使0=⋅-x y β，则称x 与y 线性相关。 （2）正交

对于2L （或2l ）中信号k x x x ,,,21

，若0,=j i x x ，j i ≠，则称k x x x ,,,21 相互正交，记为j i x x j i ≠⊥,。

特例，对于2,L y x ∈（或2,l y x ∈），若0,=y x ，则称x 与y 正交，记为y x ⊥。

（3）正交分解

若k x x x ,,,21 是内积子空间2L U ∈（或2l ）的一组正交基，则对于任意的U y ∈，y 可以

k x x x ,,,21 线性表出，即

k k x x x t y ααα+++= 2211)( (3-18)

并且，根据k x x x ,,,21 的相互正交性，可得

i i i i x x x y ,/,=α (3-19)

(3-18)式又称为信号y 在信号子空间2L U ∈的正交分解，(3-18)中右边的i i x α项称为信号y 在信号i

x 上的投影。

3.1.3 信号距离与距离空间

在赋范线性空间2L （或2l ）上可以定义信号距离，即对于2,L y x ∈（或2,l y x ∈）,二者之间的距离为

()2

/12

2

)()(),(⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=-=⎰b a dt t y t x y

x y x d ，],[b a t ∈ (3-20)

或

()2

/122

)()(),(⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=-=∑=N M n n y n x y

x y x d ，],[N M n ∈ (3-21)

距离性质：

1） ∞≤≤),(0y x d ，仅当y x =几乎处处成立时，0),(=y x d (3-22) 2）),(),(x y d y x d = (3-23) 3）),(),(),(x z z z x d y x d +≤ (3-24) 【 证明 ：略】

此时，2L （或2l ）又成为距离空间。

2L （或2l ）中信号的范数、距离、内积的关系：

（1）=),(2

y x d y x y x --,y x y

x

,222

22

-+= (3-24)

证明：根据内积的性质以及(3-16)式，有

y x y x --,y y x y y x x x ,,,,+--＝

y y y x x x ,,2,+-＝y x y x ,22

22

2-+=

),(2y x d y x y x --=,]y x y x ,22

22

2-+=

（2）y x y

x

,222

22

≥+；并且y x y

x

,222

22

=+的充要条件是，y x =；

证明：由（1）及距离、内积的性质即可得出。