排列组合概念
排列组合基本知识
排列组合基本知识排列组合是概率统计学中常用的一种数学方法，用于描述一个或多个物体之间的不同状态。
它是定义所引入的一种概念，可用于研究诸如概率，排序，决策，密码和自然语言等的问题。
排列组合的基本概念是用来描述一个或多个物体的“排列状态”。
它有助于把具有不同特性的多个物体进行组合，以协助分析物体的关联的特性。
例如，在计算机方法中，可以使用排列组合来模拟某种算法的运行效率，以及它和其他算法之间的比较；游戏玩家可以利用排列组合来做出最佳的决策；市场营销人员也可以利用排列组合来表示和分析客户偏好和行为。
排列分为几种类型：简单排列，互换排列，重复排列，标准排列。
简单排列是指把一系列数据（组成物体）按一定的顺序安排起来，没有重复次数。
例如，3个不同颜色小球正确的排列可以是红、绿、蓝，也可以是绿、蓝、红，而红、红、蓝则不是正确的排列。
重复排列也称为混排，也是在排列时每种物体可以重复参与排列，但是每种物体的次数可以相同，只要所排列的物体不重复即可，它主要用于研究物体之间的搭配关系。
例如，从3个不同颜色小球中取出任意2个，可以得到红色、绿色；绿色、蓝色；红色、蓝色，而不是红绿蓝三色全都选择。
标准排列是一种复杂的排列，它常用于研究物体和它们之间的关系。
例如，分析市场上20种商品的销售模式可以使用标准排列，以了解每种商品的销售额和销量的分布，并与其他商品进行比较，从而帮助商家正确定位消费者。
排列组合等数学方法常常用于统计分析和决策，不仅可以应用到社会科学，自然科学，技术科学，也可以用于日常生活中的决策和分析，如文字拼写检查，排序，计算路线图等。
排列组合的运算过程可以被计算机程序执行，可以更有效地解决问题。
高中数学排列组合公式
高中数学排列组合公式排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
排列组合与古典概率论关系密切。
高中数学排列组合公式1排列组合定义从n个不同元素中，任取m（m≤n,m与n均为自然数）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示。
2排列组合公式A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!C-Combination 组合数A-Arrangement 排列数n-元素的总个数m-参与选择的元素个数!-阶乘3排列组合基本计数原理加法原理与分布计数法1、加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
2、第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。
3、分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。
乘法原理与分布计数法1、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
2、合理分步的要求：任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。
排列组合(国外英语资料)
排列组合（国外英语资料）一、基本概念1. 排列（Permutation）排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列成一列的过程。
在排列中，元素的顺序是至关重要的。
排列的公式为：P(n, m) = n! / (nm)!2. 组合（Combination）组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑元素的顺序，仅关注元素的选择。
组合的公式为：C(n, m) = n! / [m! (nm)!]二、应用实例1. 排列实例假设有一个由4个不同字母组成的单词，我们需要找出所有可能的3字母排列。
根据排列公式，我们可以计算出共有P(4, 3) = 4! / (43)! = 24种排列。
2. 组合实例在一场足球比赛中，教练需要从11名球员中选出5名首发球员。
这里我们关注的是球员的选择，而不是出场顺序。
根据组合公式，我们可以计算出共有C(11, 5) = 11! / [5! (115)!] = 462种不同的首发阵容。
三、国外英语资料推荐1. "Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes" H. P. Roy and P. K. Bhatia这本书详细介绍了排列组合在概率论和统计学中的应用，适合初学者和有一定基础的读者。
2. "Discrete Mathematics and Its Applications" Kenneth H. Rosen作为一本经典的离散数学教材，本书涵盖了排列组合的基本概念、性质和实例，适合大学生和研究生阅读。
3. "Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science" Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik本书深入浅出地讲解了排列组合在计算机科学中的应用，适合对数学和计算机科学感兴趣的读者。
排列组合公式公式解释
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算不同元素的组合方式。
它在组合数学、概率论、统计学等领域中经常被应用。
本文将详细介绍排列组合的概念以及相关公式，并给出一些实际应用的例子。
1. 排列的概念及公式排列是指从n个元素中选取r个元素进行排序的方式。
这个过程中，每个元素只能使用一次，并且顺序不同即为不同的排列。
排列通常用P(n, r)表示，计算公式如下：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * … * 2 * 1。
n的阶乘表示从n个元素中选取所有元素进行排列的总数，而(n-r)!表示剩余元素的阶乘，即可以从n个元素中选取r个元素进行排列的总数。
排列的计算公式可以帮助我们高效地计算大量元素的排列情况。
例如，从10个数中选取3个数进行排列，即P(10, 3)，可以通过计算10! / 7!得到结果。
2. 组合的概念及公式组合是指从n个元素中选取r个元素进行组合的方式。
与排列不同，组合不考虑选取元素的顺序，因此不同顺序的元素组合被视为同一种组合方式。
组合通常用C(n, r)表示，计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，n!仍表示n的阶乘，r!表示r的阶乘，(n-r)!表示剩余元素的阶乘。
组合的计算公式可以帮助我们统计不同元素组合的数量。
例如，从10个数中选取3个数进行组合，即C(10, 3)，可以通过计算10! / (3! * 7!)得到结果。
3. 排列组合的应用排列组合在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：3.1. 抽奖问题假设有10个人参加抽奖，每个人的抽奖号码是从1到10之间的整数。
如果我们想要知道抽取出来的3个人的号码的所有可能情况，可以使用组合的方法计算。
结果为C(10, 3) = 120。
3.2. 选课问题假设有10门课程可以选择，每个人可以选择其中的5门进行学习。
如果我们关心的是不同学生选择不同课程的情况，可以使用排列的方法计算。
数学中的排列组合公式
数学中的排列组合公式
排列组合是数学中非常重要的概念，它们在各行业的应用也非常广泛。
下面是排列组合的基本概念和公式：
排列：
排列是指从n个不同元素中，取出m个元素进行排列，其排列的总数
用Anm表示。
其中，n为元素总数，m为取出的元素数目，n≥m。
公式： Anm = n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
组合：
组合是指从n个不同元素中，取出m个元素进行组合，其组合的总数
用Cnm表示。
其中，n为元素总数，m为取出的元素数目，n≥m。
公式： Cnm = Anm / m! = n! / [(n-m)! × m!]
注意：组合的式子可以通过排列的式子得出，即Cnm = Anm / m!。
这
个式子中，m!的含义是因为组合不计较元素的排列顺序。
排列组合的应用非常广泛，例如在排列各类物品的顺序、统计员工中
抽取奖品的方案等等。
熟练掌握排列组合的计算，在数学和实际生活中都是非常有帮助和必要的。
排列组合公式总结大全(3篇)
第1篇在数学中，排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。
它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。
以下是对排列组合中常用公式的总结，以供参考。
一、排列1. 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2. 排列数公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
3. 排列的运算性质：（1）交换律：A(n, m) = A(n-m, n-m)（2）结合律：A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)（3）逆运算：A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑它们的顺序，这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2. 组合数公式：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质：（1）交换律：C(n, m) = C(n-m, n-m)（2）结合律：C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)（3）逆运算：C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系：A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别：（1）排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
（2）排列的运算性质与组合的运算性质不同。
四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：计算随机事件发生的概率。
2. 排列组合在计算机科学中的应用：设计算法、密码学、数据结构等。
3. 排列组合在统计学中的应用：抽样调查、数据分析等。
排列组合概念
排列组合是数学中一种研究对象按照一定条件排列组成新的组合的方法或计算公式。
它是组合数学的一个重要分支，广泛应用于概率论、计算机科学、统计学等领域。
排列（Permutation）：指从某一数量的元素中取出一定数量的元素，并按照顺序构成
新的组合的方法。
排列会考虑元素之间的顺序，顺序不一样的组合被视为不同的排列。
组合（Combination）：指从某一数量的元素中取出一定数量的元素，而不考虑它们的
排列顺序，构成新的组合的方法。
组合不考虑顺序，顺序不一样的情况被视为相同的
组合。
排列和组合的计算公式如下：
1. 排列公式：从n个不同元素中取出r个元素进行排列，可构成的个数记为P(n, r)，
计算公式为：
P(n, r) = n! / (n-r)!
其中，n!表示n的阶乘，即 n \* (n-1) \* (n-2) \* ... \* 1。
1. 组合公式：从n个不同元素中取出r个元素（0 ≤ r ≤ n）进行组合，可构成的个数记
为C(n, r)，计算公式为：
C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)
其中，r!表示r的阶乘，即 r \* (r-1) \* (r-2) \* ... \* 1。
了解排列组合概念及其计算方法有助于解决实际生活中的很多问题，尤其是在统计、
概率和数据分析等领域中具有重要应用。
排列与组合
小学六年级小升初数学专题复习（22）——排列与组合一、简单的排列、组合知识归纳1．排列组合的概念：所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序．组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序．排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数．2．解决排列、组合问题的基本原理：分类计数原理与分步计数原理．（1）分类计数原理（也称加法原理）：指完成一件事有很多种方法，各种方法相互独立，但用其中任何一种方法都可以做完这件事．那么各种不同的方法数加起来，其和就是完成这件事的方法总数．如从甲地到乙地，乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3+2=5种不同的走法．（2）分步计数原理（也称乘法原理）：指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．那么，每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这件事的方法总数．如从甲地经过丙地到乙地，先有3条路可到丙地，再有2路可到乙地，所以共有3×2=6种不同的走法．常考题型例1：有4支足球队，每两支球队打一场比赛，一共要比赛（）A、4场B、6场C、8场分析：两两之间比赛，每只球队就要打3场比赛，一共要打4×3场比赛，这样每场比赛就被算了2次，所以再除以2就是全部的比赛场次．解：4×3÷2，=12÷2，=6（场）；故选：B．点评：甲与乙比赛和乙与甲的比赛是同一场比赛，所以要再除以2．例2：小华从学校到少年宫有2条路线，从少年宫到公园有3条路线，那么小华从学校到公园一共有（）条路线可以走．A、3B、4C、5D、6分析：小华从学校到公园分两个步骤完成，第一步小华从学校到少年宫有2条路线即有两种方法，第二步从少年宫到公园有3条路线即有3种方法，根据乘法原理，即可得解．解：2×3=6，答：小华从学校到少年宫有2条路线，从小年宫到公园有3条路线，那么小华从学校到公园一共有6条路线可以走；故选：D．点评：此题考查了简单的排列组合，分步完成用乘法原理．一．选择题（共6小题）1．用3、5、0三个数字组成的两位数有（）个。
排列组合的概念与计算公式
排列组合的概念与计算公式排列组合，这四个字听起来是不是有点让人头大？但别慌，其实它没那么可怕，就像我们每天的生活一样，充满了有趣的选择和组合。
先来说说排列。
排列呢，就是从给定的元素中，按照一定的顺序选取一部分或者全部进行排列。
比如说，咱们去超市买水果，有苹果、香蕉、橙子三种水果，要是让你选两种按照先后顺序摆放，那有几种摆法？这就是排列问题啦。
像苹果在前香蕉在后，或者香蕉在前苹果在后，这就是不同的排列。
再讲讲组合。
组合就没那么在意顺序了，还是刚才买水果的例子，只要选出两种水果，不管谁先谁后，这就是组合。
那排列和组合的计算公式是啥呢？咱们先看排列的公式。
如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素进行排列，排列数记为 A(n,m) ，那么A(n,m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
组合的公式呢，如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数记为C(n,m) ，那 C(n,m) = n! / [m!(n - m)!] 。
给大家说个我自己的亲身经历吧。
有一次我们全家出去旅游，要从5 个备选的景点中选 3 个去游玩。
这时候我就在心里默默算了算，用排列的方法，那就是考虑顺序，A(5,3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种可能。
但其实对于我们游玩来说，先去哪个景点后去哪个景点没那么重要，只要选出来就行，这就是组合，C(5,3) = 5! / [3!(5 - 3)!] = 10 种可能。
算清楚了，我们就能更好地规划行程啦。
在日常生活中，排列组合的应用可多了去了。
比如学校组织运动会，安排运动员的出场顺序，这就是排列；从一堆同学中选几个参加比赛，这就是组合。
还有抽奖活动，从众多号码中抽出几个中奖号码，这也是组合。
排列组合不仅仅是数学课本上的知识，它更是我们解决实际问题的有力工具。
学会了它，能让我们在面对各种选择和可能性时，更加从容和有条理。
小学数学中的排列组合
小学数学中的排列组合在小学数学学科中，排列组合是一个重要的概念，它涉及到物体的排列和组合方式。
通过学习排列组合，可以培养学生的逻辑思维和计算能力，帮助他们更好地理解数学。
一、排列排列是指从一组物体中选取一部分物体进行排列的方式。
在小学数学中，排列一般与位置有关，要求考虑物体的顺序。
下面是几个例子来解释排列。
例子1：有三个色子，每个色子的面上都有1到6的数字。
现从中选取三个色子，问一共有多少种排列方式？解析：第一个色子有6种选择，第二个色子有6种选择，第三个色子有6种选择，所以一共有6 × 6 × 6 = 216 种排列方式。
例子2：有6个孩子，其中3个是男孩，3个是女孩。
现从中选取3个孩子，问一共有多少种排列方式？解析：因为在同一性别中，孩子之间是没有区别的，所以我们只需要考虑男孩的排列方式。
根据排列的原理，从3个男孩中选取3个孩子的排列方式是3 × 2 × 1 = 6 种。
二、组合组合是指从一组物体中选取一部分物体进行组合的方式。
在小学数学中，组合一般与选择有关，不考虑物体的顺序。
下面是几个例子来解释组合。
例子1：有6个人站成一排，其中选取3个人组成一支舞队，请问一共有多少种不同的组合方式？解析：因为组合不考虑顺序，所以我们需要用排列的结果除以重复的情况。
在这个例子中，假设A、B、C是选择的三个人，可以有ABC、ACB、BAC、BCA、CAA、CBA这6种排列方式。
而实际上，这些排列都得到了同一个组合，所以我们只需考虑这一个组合。
根据排列的结果，一共有6种排列方式，所以最终的组合方式是6 / 3 / 2 / 1 = 20 种。
例子2：有10个人，其中5个是男性，5个是女性。
现从中选取3个人组成一支足球队，其中必须至少有一个男性和一个女性，请问一共有多少种不同的组合方式？解析：我们可以分别考虑男性和女性的选择情况，并将两种情况相乘得到最终的结果。
首先，从5个男性中选取至少一个人，有从5个人中选取1人、2人、3人、4人、5人五种情况。
数学排列组合与概率题解题技巧汇总
数学排列组合与概率题解题技巧汇总数学是一门令人又爱又恨的学科，而其中的排列组合与概率更是让很多人头痛的难题。
然而，只要掌握一些解题技巧，这些难题也能迎刃而解。
本文将汇总一些数学排列组合与概率题解题技巧，帮助读者更好地应对这些问题。
1. 排列组合的基本概念排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到对象的选择、排序和组合。
在排列组合中，有两个基本概念：排列和组合。
排列是指从一组对象中按照一定的顺序选择若干个对象的方式，而组合则是指从一组对象中选择若干个对象，不考虑顺序。
2. 排列组合的计算方法在解决排列组合问题时，我们可以利用一些计算方法来简化计算。
其中，最常用的方法有乘法原理和加法原理。
乘法原理指的是将多个独立事件的可能性相乘，得到总的可能性。
而加法原理则是将多个互斥事件的可能性相加，得到总的可能性。
3. 概率的计算方法概率是指某个事件发生的可能性，它是一个介于0和1之间的数。
在计算概率时，我们可以利用频率和几何概率两种方法。
频率概率是指通过实验或观察来确定事件发生的可能性，而几何概率则是指通过几何模型来计算事件发生的可能性。
4. 使用排列组合解决问题排列组合在解决实际问题时有着广泛的应用。
例如，在考试中，我们经常会遇到选择题和填空题。
对于选择题，我们可以利用排列组合的方法来计算正确答案的可能性。
而对于填空题，我们可以利用组合的方法来计算填空的可能性。
5. 使用概率解决问题概率在解决实际问题时也有着广泛的应用。
例如，在赌博游戏中，我们可以利用概率来计算赢的可能性。
而在保险业中，我们可以利用概率来计算保险索赔的可能性。
6. 注意排列组合与概率的区别在解决问题时，我们要注意排列组合与概率的区别。
排列组合是指从一组对象中选择若干个对象的方式，而概率则是指某个事件发生的可能性。
因此，在解决问题时，我们要根据具体情况选择使用排列组合还是概率的方法。
7. 题目分析与解题思路在解决排列组合与概率问题时，我们首先要对题目进行分析，确定问题的具体要求。
数学cnk排列组合公式
数学cnk排列组合公式
什么是排列组合？
排列组合是一种组合学的应用，涉及在容器中进行不同元素对象的组合。
在概念上，排列组合就是把一组元素放在一块，这样可以为每个
元素生成不同的排列组合。
排列组合中一个最常用的公式就是cnk，它
表示从n个不同元素中抽取k个元素的组合数。
cnk排列组合公式：
1. 基本概念：
C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)，其中n表示元素的总数，k表示抽取的元素个数。
2. 抽象概念：
C(n,k)可以表达为：项数为n的等比数列中，从头位到尾位取出任意k
项而组成的排列组合数。
3.应用案例：
例1：从8道不同的题目中，抽取5道题作为一次测试，有多少种不同
的抽取方法？
答案：C(8,5)，即有56种不同的抽取方法。
例2：当组合对象中的元素为有限的实物时，把他们组成不同的组合，有多少种组合方法？
答案：假设有a个A类物体，b个B类物体，c个C类物体，共有
（a+b+c）种物体，组合方法数为：C（a+b+c，a）*C（b+c，b）*C （c，c）。
小学奥数排列组合解析
小学奥数排列组合解析
介绍
在小学奥数中，排列组合是一个重要的概念。
通过排列组合，我们可以确定不同物品的排列方式或组合方式。
在此文档中，我们将详细解析排列组合的概念和应用。
排列
排列指的是从一组物品中，取出一些物品按照一定的顺序进行排列的方式数。
例如，从A、B、C、D中选出两个，所有可能的排列如下：
AB、AC、AD
BA、BC、BD
CA、CB、CD
DA、DB、DC
因此，从四个不同的物品中选出两个进行排列的方式数为：4 X 3 = 12
组合
组合指的是从一组物品中，取出一些物品进行组合的方式数。
与排列不同，组合不考虑排列顺序。
例如，从A、B、C、D中选出两个，所有可能的组合如下：
AB、AC、AD、BC、BD、CD
因此，从四个不同的物品中选出两个进行组合的方式数为：4! / (2! * (4-2)!) = 6
应用
排列和组合在数学以及现实生活中有广泛应用。
例如，从一组球员中选出不同的首发阵容，从一组物品中选出特定的组合等等。
在小学奥数研究中，排列组合也是其他数学概念研究的基础，是培养逻辑思维和解决问题能力的关键部分。
结论
在小学奥数中，排列组合是重要的数学概念和应用，通过学习和理解排列组合可以帮助我们更好地理解其他有关概率和统计学的概念。
cmn排列组合公式 excel
排列组合是数学中常见的概念，它涉及到对一组元素进行排列或组合的方式。
在实际应用中，排列组合常常用于解决各种问题，特别是在数据分析和统计学中，排列组合的概念也有相当大的用处。
对于Excel 这样的电子表格工具来说，排列组合公式的运用同样非常有意义。
本文将针对排列组合公式在Excel中的使用进行介绍和讲解，以帮助读者更好地理解并应用这一概念。
一、排列组合的概念1.1 排列的概念排列是指从给定的元素中取出一部分按照一定的顺序进行排列，通常用P(n,m)来表示。
其中，n表示元素的个数，m表示取出的元素个数。
排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n - m)!其中，n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)* (1)1.2 组合的概念组合是指从给定的元素中取出一部分不考虑顺序进行组合，通常用C(n,m)来表示。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / [m!(n - m)!二、Excel中排列组合公式的运用2.1 使用FACT函数计算阶乘在Excel中，可以使用FACT函数来计算阶乘。
要计算5的阶乘，可以使用=FACT(5)来得到结果120。
2.2 使用排列组合公式在Excel中，可以使用排列组合公式来计算排列和组合的值。
计算7个元素中取出3个元素的排列值，可以使用=P(7,3)来得到结果210。
同样地，要计算组合值，则可以使用=C(7,3)来得到结果35。
2.3 使用条件格式自动计算在Excel中，还可以使用条件格式来自动计算排列组合的值。
通过设置合适的条件格式规则，可以在填写元素个数后自动计算排列组合值，从而提高工作效率。
三、排列组合在数据分析中的应用3.1 数据抽样在统计学中，常常需要对数据进行抽样分析。
通过排列组合的方式，可以确定不同抽样情况下的可能性，从而更好地进行数据分析和推断。
3.2 投票分析在选举或投票等场合，排列组合的概念也有较大的应用。
通过计算不同候选人得票情况的排列组合情况，可以更好地了解投票结果的可能性。
排列组合的乘法原理公式
排列组合的乘法原理公式排列组合的乘法原理公式是数学中应用广泛的公式，它可以帮助我们快速计算出复杂的排列和组合问题。
以下是该公式相关的详细介绍和应用案例。
一、排列组合的概念排列和组合是数学中的基本概念。
排列指的是从一组元素中选取若干个元素进行有序排列的过程，组合则是从一组元素中选取若干个元素进行无序排列的过程。
举个例子，如果有3个球分别标有A、B、C字样，那么从这3个球中选出2个球进行排列，可以得到6种组合：AB、AC、BA、BC、CA、CB。
如果只是选出2个球进行组合，就只有3种可能：AB、AC、BC。
二、排列组合的计算公式对于排列和组合，我们可以用数学公式来计算它们的数量。
针对排列，我们可以使用下列的公式进行计算：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n为总个数，k为选取的个数。
例如，从5个不同的元素中选取3个元素进行有序排列，就可以用P(5, 3)来表示它的数量。
对于组合，我们则可以使用下列公式进行计算：C(n, k) = n! / [k! * (n-k)!]其中，n依然代表总个数，k则表示选取的个数。
例如，从5个不同的元素中选取3个元素进行无序排列时，就可以用C(5, 3)来表示它的数量。
三、应用案例排列组合乘法原理可以用于许多实际问题，以下是一些实例说明：1. 有3个工人要在一条生产线上操作机器，第一个工人有4种选择，第二个有3种选择，第三个有2种选择。
那么，他们能产生多少种不同的操作排列？答案：按照乘法原理，这三个工人能产生的操作排列数量为4 × 3 × 2 = 24种。
2. 一家餐馆提供三种糕点供客户选择，客户可以选择任意数量且不重复。
那么这些客户可以选择多少种不同的糕点组合？答案：按照组合的公式，我们可以得到这些客户可以选择的不同糕点组合数量为2³ = 8种。
3. 一本书的前言部分有4页、正文有200页、注释部分有10页，那么这本书的页码总数是多少？答案：按照乘法原理，这本书的页码总数应为(4 + 200 + 10) × 1 = 214页。
排列组合基本概念
排列组合基本概念两个基本原理1.加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1十m 2十…十m n 种不同的方法．2.乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1m 2…m n 种不同的方法．例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．1）从中任取一本，有多少种不同的取法？2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．答：从书架任取一本书，有11种不同的取法．（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N ＝6X5＝30．答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．例2(1)由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？(2)由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字0，l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125．答：可以组成125个三位数．排列什么叫排列？从n 个不同元素中，任取m(n m )个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．【排列数】1. 定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示.2. 排列数公式：m n A =n(n-1)(n-2)…(n -m+1)3．全排列、阶乘的意义；n ！=n(n-1)(n-2)…1= n n A ，规定 0!=1 )!(!m n n A m n -= （其中m ≤n m,n Z ） 例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列——77A ＝5040⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列66A =720⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有22A 种；第二步 余下的5名同学进行全排列有55A 种 则共有22A 55A =240种排列方法⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法 所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法． 解法二：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A －662A ＋55A =2400种．组合1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示．例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323=C 种组合． 又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组合，即：624=C 一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分布计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅ ⑶ 组合数的公式：!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m n m n +---== ),,(n m N m n ≤∈*且例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？略解：90222426=⋅⋅C C C例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C2．示例一：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C-----精心整理，希望对您有所帮助!。
排列组合的认识从排列到组合的转变
排列组合的认识从排列到组合的转变排列和组合是数学中的两个重要概念，它们都属于组合数学的范畴。
在解决实际问题中，排列和组合经常被用来计算可能的情况和选择方式。
本文将介绍排列和组合的概念、特点以及它们之间的转变。
一、排列的认识排列是指将一组元素按照一定的顺序进行排列的方式。
在排列中，元素之间存在顺序关系，不同的排列顺序将产生不同的结果。
排列通常使用符号P来表示，P(n，m)表示从n个元素中选择m个元素进行排列，其中n为总元素个数，m为待选择的元素个数。
排列的计算公式为：P(n，m) = n! / (n-m)!，其中“！”表示阶乘。
例如，现有五种不同颜色的气球，需要选择其中三个进行排列。
则P(5,3) = 5! / (5-3)! = 60 种排列方式。
二、组合的认识组合是指将一组元素按照一定的规则进行选择的方式。
在组合中，元素之间不存在顺序关系，只要选取的元素相同，则被视为同一种组合。
组合通常使用符号C来表示，C(n，m)表示从n个元素中选择m个元素进行组合，其中n为总元素个数，m为待选择的元素个数。
组合的计算公式为：C(n，m) = n! / (m! * (n-m)!)。
以前面的例子为例，现有五种不同颜色的气球，需要选择其中三个进行组合。
则C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10 种组合方式。
三、排列和组合的转变排列和组合之间的转变涉及到元素之间的顺序关系。
在排列中，元素之间存在顺序，而在组合中，元素之间没有顺序。
因此，可以通过排列的结果来得到相应的组合方式。
假设现有五种不同颜色的气球，需要选择其中三个进行组合。
首先，可以对这五个元素进行排列，然后根据排列结果，选取其中的前三个即为所需的组合。
以C(5,3)为例，对五个气球进行排列可以得到P(5,3) = 60种排列方式。
然后，选择这60种排列中的每一种排列方式的前三个元素，即可得到相应的三个元素的组合。
以具体的例子来说明，现有五个气球的颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。
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排列与组台的概念教案教学目标1．正确理解排列、组合的意义．2．掌握写出所有排列、所有组合的方法，加深对分类讨论方法的理解．3．发展学生的抽象能力和逻辑思维能力．教学重点与难点重点：正确理解两个原理（加法原理、乘法原理）以及排列、组合的概念．难点：区别排列与组合．教学过程设计师：上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习：（用投影仪出示）1．书架上层放着50 本不同的社会科学书，下层放着40 本不同的自然科学的书．（1）从中任取1 本，有多少种取法？（2）从中任取社会科学书与自然科学书各 1 本，有多少种不同的取法？2 .某农场为了考察三个外地优良品种A, B, C,计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区？（全体同学参加笔试练习. ）4 分钟后，找一同学谈解答和怎样思考的？生：第1（1）小题从书架上任取1 本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书，可以从50 本中任取1 本，有50 种方法；第二类办法是从下层取自然科学书，可以从40 本中任取1 本，有40 种方法.根据加法原理，得到不同的取法种数是50+40=90.第（2）小题从书架上取社会科学、自然科学书各 1 本（共取出2本），可以分两个步骤完成：第一步取一本社会科学书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是：50 X 40=2000 •第2题说，共有A , B , C三个优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3X 5=15个实验小区.师：学习了两个基本原理之后，继续学习排列和组合，什么是排列？什么是组合？这两个问题有什么区别和联系？这是我们讨论的重点.先从实例入手：1 .北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票？希望同学们设计好方案，踊跃发言.生甲：首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制 2 种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2 种飞机票，共需要2+2+2=6 种飞机票.师：生甲用加法原理解决了准备多少种飞机票问题.能不能用乘法原理来设计方案呢？生乙：首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有 3 种方法.即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选•那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有种.师：根据生乙的分析写出所有种飞机票生丙：（板演）起点站终点站飞机票北点打匕京-广州北京一上海北京一广州上海V：d匕京-广州上海一北京上海一广州广州它二打匕京-上海广州一北京广州一上海师：再看一个实例.在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号•如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？请同学们谈谈自己想法.生丁：事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、绿这三面旗子的所有不同顺序的排法总数.首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有方法；其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法.剩下那面旗子，放在最低位置.根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3X2X 仁6 （种）.师：根据生丁同学的分析，写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况.每个位置情况）生戊：（板演）3X 2=6（包括信号表示红黄绿 红绿黄 黄红绿 黄绿红 绿红黄绿堇红师：第三个实例，请全体同学都参加设计，把所有情况（包括每个位置情况） 写出来.由数字1, 2, 3, 4可以组成多少个没有重复数字的三位数？写出这些所有的三 位数. （教师在教室巡视，过 3分钟找一同学板演）根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有4 X 3X 2=24 （个）.师：请板演同学谈谈怎样想的？生：第一步，先确定百位上的数字.在1, 2, 3, 4这四个数字中任取一个，有4种取法.第二步，确定十位上的数字．当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从 余下的三个数字最高位置中间位置撮低位置 百位数123 124132 134 142143213 214 231 234 241 243 312 314 321 323 341 342 412 413 421 423 431 432红二: 黄 绿■H立去取，有3 种方法．第三步，确定个位上的数字．当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字中去取，有2 种方法．根据乘法原理，所以共有4 X 3X 2=24种. 师：以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方？生：都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象．师：取出的这些研究对象又做些什么？生：实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况．师：请大家看书，第X页、第X行. 我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素．上面第一个问题就是从3 个不同的元素中，任取2 个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，后来又写出所有排法．第二个问题，就是从 3 个不同元素中，取出3 个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法．第三个问题呢？生：从4 个不同的元素中，任取3 个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，并写出所有的排法．师：请看课本，第X页，第X行•一般地说，从n个不同的元素中，任取m （mw n）个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按着一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的排列？什么是不同的排列？生：从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序（即元素所在的位置）也必须相同．两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不同的排列．如第一个问题中，北京—广州，上海—广州是两个排列，第三个问题中，213与423 也是两个排列．再如第一个问题中，北京—广州，广州—北京；第二个问题中，红黄绿与红绿黄；第三个问题中231和213虽然元素完全相同，但排列顺序不同，也是两个排列．师：还需要搞清楚一个问题，“一个排列”是不是一个数？生：“一个排列”不应当是一个数，而应当指一件具体的事．如飞机票“北京—广州”是一个排列，“红黄绿” 是一种信号，也是一个排列．如果问飞机票有多少种？能表示出多少种信号．只问种数，不用把所有情况罗列出来，才是一个数．前面提到的第三个问题，实质上也是这样的．师：下面我们进一步讨论：1．在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，有多少种不同的飞机票价与准备多少种不同的飞机票，有什么区别？2．某班某小组五名同学在暑假互相都通信一次，打电话一次，通信的封数与打电话的次数是否一致？3．有四个质数2，3，5，7 两两分别作加法、减法、乘法、除法，所得到的和、差、积、商是否相同？生A ：我回答第1 个问题．前边已经讨论过有要准备6 种飞机票，但票价只有三种，北京—上海与上海—北京，北京—广州与广州—北京，上海—广州与广州—上海票价是一样的，共有3种票价．生B ：我回答第2 个问题．举个例子，张玉同学给李刚同学写信，李刚同学给张玉同学写信，这样两封信才算彼此通了一次信．而两人通一次电话，无论是张玉打给李刚的，还是李刚打给张玉的，两个人都同时参与了，彼此通了一次电话．师：那么通了多少封信？打了多少次电话？生C :五个人都要给其他四位同学写信， 5 X 4=20封•关于打电话次数，我现在数一数：设五名同学的代号是a, b，c，d, e.则a—b，a—c, a—d, a—e, b—c, b —d, b—e, c—d, c —e, d—e.共十次.生D:我回答第3个问题.减法与除法所得的差和商个数是同一个数，因为被减数与减数、被除数与除数交换位置所得的差与商是不同的.加法与乘法所得的和与积个数是同一个数,根据加法、乘法交换律,被加数与加数,被乘数与乘数交换位置,和与积不受影响.师：有多少个差与商？有多少个和与积？生E：2, 3, 5, 7 都可以做被减数和被除数,对于每一个被减数（或被除数）都对应着有3 个数作减数（或除数） ,共有4X 3=12 个差或商.把交换位置的情况除去，就是和或积的数字，即12十2=6.师：以上三个问题六件事, 有什么共同点？再按类分, 类与类之间有什么区别？区别在哪里？生：都是从一些元素中,任取某些元素的问题. 可以分两类.一类属于前边学过的排列问题,即取出的元素要“按照一定的顺序排成一列”,只要交换位置,就是不同的排列.前边三个问题中的飞机票、通信封数、减法与除法运算的结果都属于这一类.另一类是取出的元素,不必管顺序,只有取不同元素时,才是不同的情况,如飞机票价,打电话次数、加法与乘法运算的结果都属于这一类.师：分析得很好，我们说后一类问题是从n个元素中任取m （m w n）个元素，不管怎样的顺序并成一组,求一共有多少种不同的组.如以上三个问题中飞机票价题是3 组,打电话次数题是10 组,和与积的个数题都是6 组.请同学们看课本，第X页第X行开始到第X页第X行结束.（用5 分钟时间学生读课本,教师巡视,回答学生提出的问题）师：组合这一节讲的主要内容是什么？生：组合定义；什么是相同的组合,什么是不同的组合；排列与组合的区别；怎样写出某个组合问题的所有组合.师：现在请同学们回答这四个问题.每位同学只说一个问题.生F：组合定义是从n个不同的元素中，任取m （m< n）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．生G:如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．生H :排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关.如231与213是两个排列，2+3+1 的和与2+1+3 的和是一个组合．生I :我举个例子•前边生C同学提到的a, b, c, d, e这五个元素，写出每次取出2 个元素的所有组合.先把a从左到右依次与b, c, d, e组合，写出ab, ac, ad, ae.再把b依次与c, d, e组合，写出bc, bd, be.再把c依次与d, e组合，写出cd, ce.最后d与e组合，写出de.前面生C同学已经写得很好.师:一定要认真体会排列与组合的区别在于与顺序是否有关,在以后的各种实际应用题中要区别清楚才能寻找正确解题途径.和排列一样,还需要区分清楚“一个组合”和“组合种数”这两个概念.一个组合不是一个数，而是具体的一件事，冈財生I同学回答的每一种如ab,又如ac,… 都叫一个组合,共10 种,而10就是组合数.怎样写出所有的排列和所有的组合是本节的技能方面要求,现在请同学们写出由1 , 2, 3, 4 中取出3 个数所有组合.（教师请生M 到黑板板演）板演:123, 124, 134, 234.师:最后希望大家思考,下面的问题是排列问题,还是组合问题？怎样解？1. 今欲从1, 2, 3, 8, 9, 10, 12 诸数中选取两数,使其和为偶数,问共有几种选法？2. 有四张卡片,每张分别写着数码1, 2, 3, 4.有四个空箱,分别写着号码1, 2, 3, 4.把卡片放到空箱内,每箱必须并且只能放一张,而且卡片数码与箱子号码必须不一致,问有多少种放法？（两道题用投影仪示出）同学们独立思考几分钟,然后全班进行讨论,请思考成熟的同学发言.生N :我谈第1题.要求出用两个数码所组成的其和为偶数的数的个数，这时按两奇数的和为偶数与两偶数的和为偶数这一标准,进行分类.选出的两数不考虑顺序,因为交换位置其和不变,是组合问题.解法是:在1, 3, 9中任选两段: 1, 3；1, 9；3, 9有3个组合.在2, 8, 10, 12中任选两数: 2, 8；2, 10；2, 12；8, 10；8, 12；10, 12.有6 个组合.根据加法原理, 3+6=9.所以共有9 种选法.生P:我谈第2题.这是从四张卡片中取出4张，分别放在四个位置上，只要交换卡片位置，就是不同的放法，是个附有条件的排列问题•解法是：第一步把数码卡片四张中2, 3, 4三张任选一个放在第1空箱. 第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱.第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱.第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱•具体排法，我用下面图表表示:——2 3 , 4 , 2 , 1^^4 二2——1—】2——3 4 , 1 , 2 , 31——2 4 , 3 . 1 , 2——1 4 > 3 > 2 > 1所以，共有9种放法.师：参加讨论的同学对于什么是排列，什么是组合？一个排列与排列种数，一个组合与组合种数区别是什么？怎样排列，怎样组合都比较清楚了.由于排列组合问题遇到的情况不是唯一的，经常使用分类讨论的方法.作业课本：P232 练习1, 7; P243 练习1 , 2, 3, 4, 6 •补充作业1 •空间有五个点，其中任何四点不共面，以每四个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？（5个）2 .用0, 2, 3, 5可以组成多少个数字不重复且被5整除的三位数？（10个）3 •同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？（9种）课堂教学设计说明1 •温故才能知新，为了培养学生良好的学习习惯，学习新课前进行了复习练习.2 •为了更深刻地理解排列组合概念，设计教案时采取了两项有效措施.（1）先给出排列、组合的感性认识，再抽象出排列、组合定义，利于学生抽象能力的培养，并能激发学生的学习兴趣，积极参加学习过程中来.（2）改变了教材的安排，把排列与组合的概念放在同一节课，既节约了课时又通过对比，更深刻理解排列与组合概念本质，掌握它们的共同点与不同点.3 •教案设计中注意了学生主体参与，通过学生实践，掌握概念的形成过程和应用，从而培养能力，并注意训练学生的自学能力.。