数学必修五第三章不等式教案

①a>b，ab>0⇒1

a< 1 b.

②a<0

a< 1 b.

③a>b>0,0 b d.

④0

b<

1

x<

1

a.

(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则

①b

a<

b＋m

a＋m

；

b

a>

b－m

a－m

(b－m>0)．

②a

b>

a＋m

b＋m

；

a

b<

a－m

b－m

(b－m>0)．

7.2一元二次不等式及其解法

1．“三个二次”的关系

判别式Δ＝b2

－4ac

Δ>0Δ＝0 Δ<0二次函数y＝

ax2＋bx＋c

(a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根

x1，x2(x1

有两相等实

根x1＝x2＝

－

b

2a

没有实数根

ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x

x>x2}

{x|x≠x1}{x|x∈R}

ax2＋bx＋c<0

(a>0)的解集

{x|x1< x0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法

不等式

解集

ab

一元二次不等式及其解法

1.在求解一元二次不等式的时候，往往需要做出相应的图像，根据图像寻找解集，需要充分利用素形结合的思想。

2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．

(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；

(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；

(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．

3.恒成立问题往往转化为求最值问题

(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．

(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：

直线定界，测试点定域．

注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．

2.线性规划问题的解题步骤：

(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；

(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；

(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．

3.常见目标函数类型有：

(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；

(2)x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；

(3)y

x表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；

答案 (1)32 (2)32

2

解析 (1)y x 表示点(x ，y)与原点(0,0)连线的斜率，在点(1，3

2)处取到最大值． (2)依题意得，OA

→＋OM →＝(x ＋1，y)，|OA →＋OM →|＝x ＋1

2＋y2可视为

点(x ，y)与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x ＋y

＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|OA →＋OM →|的最小值是

|－1＋0－2|2

＝32

2. 思维升华 常见代数式的几何意义有 (1)x2＋y2表示点(x ，y)与原点(0,0)的距离； (2)

x －a 2＋

y －b

2表示点(x ，y)与点(a ，b)之间的距离；

(3)y

x 表示点(x ，y)与原点(0,0)连线的斜率； (4)y －b x －a 表示点(x ，y)与点(a ，b)连线的斜率．

例4 (1)已知x<54，求f(x)＝4x －2＋1

4x －5的最大值；

(2)已知x 为正实数且x2＋y2

2＝1，求x 1＋y2的最大值； (3)求函数y ＝

x －1

x ＋3＋x －1

的最大值．

解 (1)因为x<5

4，所以5－4x>0，

则f(x)＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋1

5－4x )＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x ＝1

5－4x ，即x ＝1时，等号成立．

故f(x)＝4x －2＋1

4x －5的最大值为1.

(2)因为x>0，

所以x 1＋y2＝ 2

x212＋y22

≤

2[x2＋12＋y2

2]2

，