天体力学二体问题的解
天体运动问题的基本模型与方法
天体运动问题的基本模型与方法天体运行问题的分析与求解，是牛顿第二定律与万有引力定律的综合运用，问题的分析与求解的关键是建模能力。
一、基本模型计算天体间的万有引力时，将天体视为质点,天体的全部质量集中于天体的中心；一天体绕另一天体的稳定运行视为匀速圆周运动;研究天体的自转运动时，将天体视为均匀球体。
二、基本规律1．天体在轨道稳定运行时，做匀速圆周运动,具有向心加速度，需要向心力。
所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
设质量为m的天体绕质量为M的天体，在半径为r的轨道上以速度v匀速圆周运动,由牛顿第二定律及万有引力定律有：。
这就是分析与求解天体运行问题的基本关系式,由于有线速度与角速度关系、角速度与周期关系，这一基本关系式还可表示为：或.2．在天体表面，物体所受万有引力近似等于所受重力。
设天体质量为M,半径为R，其表面的重力加速度为g，由这一近似关系有：,即。
这一关系式的应用，可实现天体表面重力加速度g与的相互替代，因此称为“黄金代换”。
3．天体自转时，表面各物体随天体自转的角速度相同，等于天体自转角速度，由于赤道上物体轨道半径最大，所需向心力最大.对于赤道上的物体，由万有引力定律及牛顿第二定律有:，式中N为天体表面对物体的支持力。
如果天体自转角速度过大,赤道上的物体将最先被“甩”出,“甩”出的临界条件是：N=0，此时有:，由此式可以计算天体不瓦解所对应的最大自转角速度;如果已知天体自转的角速度,由及可计算出天体不瓦解的最小密度.三、常见题型1．估算天体质量问题由关系式可以看出，对于一个天体，只要知道了另一天体绕它运行的轨道半径及周期，可估算出被绕天体的质量。
例1．据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高200km,运行周期为127分钟.若还知道引力常量和月球半径，仅利用以上条件不能求出的是A．月球表面的重力加速度B．月球对卫星的吸引力C．卫星绕月运行的速度D．卫星绕月运行的加速度解析：设月球质量为M，半径为R，月面重力加速度为g，卫星高度为h,运行周期为T，线速度为v，加速度为a，月球对卫星的吸引力为F。
(精)解决天体运动问题的方法
解决天体运动问题的方法一、基本模型计算天体间的万有引力时，将天体视为质点，天体的全部质量集中于天体的中心；一天体绕另一天体的稳定运行视为匀速圆周运动；研究天体的自转运动时，将天体视为均匀球体。
二、基本规律1．天体在轨道稳定运行时，做匀速圆周运动，具有向心加速度，需要向心力。
所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
设质量为m的天体绕质量为M的天体，在半径为r的轨道上以速度v匀速圆周运动，由牛顿第二定律及万有引力定律有：。
这就是分析与求解天体运行问题的基本关系式，由于有线速度与角速度关系、角速度与周期关系，这一基本关系式还可表示为：或。
2．在天体表面，物体所受万有引力近似等于所受重力。
设天体质量为M，半径为R，其表面的重力加速度为g，由这一近似关系有：，即。
这一关系式的应用，可实现天体表面重力加速度g与的相互替代，因此称为“黄金代换”。
3．天体自转时，表面各物体随天体自转的角速度相同，等于天体自转角速度，由于赤道上物体轨道半径最大，所需向心力最大。
对于赤道上的物体，由万有引力定律及牛顿第二定律有：，式中N为天体表面对物体的支持力。
如果天体自转角速度过大，赤道上的物体将最先被“甩”出，“甩”出的临界条件是：N=0，此时有：，由此式可以计算天体不瓦解所对应的最大自转角速度；如果已知天体自转的角速度，由及可计算出天体不瓦解的最小密度。
三、常见题型1．估算天体质量问题由关系式可以看出，对于一个天体，只要知道了另一天体绕它运行的轨道半径及周期，可估算出被绕天体的质量。
例1．据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高200km，运行周期为127分钟。
若还知道引力常量和月球半径，仅利用以上条件不能求出的是A．月球表面的重力加速度B．月球对卫星的吸引力C．卫星绕月运行的速度D．卫星绕月运行的加速度解析：设月球质量为M，半径为R，月面重力加速度为g，卫星高度为h，运行周期为T，线速度为v，加速度为a，月球对卫星的吸引力为F。
天体力学与天体测量基础
各递推式中K向量的权重与 t 增量中 h 的系数有什么关系？
23
RK5 法有关系数的组织
24
Runge-Kutta 法的一般形式
y t h y t bik i ,
i 1 m i 1
bi 1
m
k1 hf t , y , k i hf t ci h, y ti i 1 y ti = y aij k j , j 1
3.04 106 EL1 EL 2 0.01 ES
1.5 106 km SL 3 SE SL 4 EL 4 SL 5 EL 5 SE
运动测试体受到主天体的引力， 还因坐标系随主天体旋转而受 到离心惯性力，这些力在平衡 点(奇点)处达到平衡
9
零速度面的特征
x 12
7
三角形平衡点
1 1 3 3 r rEP 1 1 3 r3 rEP x 3 0 rEP 0
r rEP 1
零速度面 2x, y z
0.2
8
Lagrange平衡点：日地系
用右函数 f 表达二阶导数！
y t h y t k1 hf 1 k1 k 2 2
k 2 hf t h , y k1
算法有什么特点？对于方程组，算法应如何表达？
21
解微分方程组的 RK5 法
f t, y , y y0 y t0 ,
i 2,, m ,
ci aij .
j 1 i 1
25
天体运动微分方程
r a t , r, v
r y v
v f t, y y a
第二章二体问题
人卫真实轨道 人卫正常轨道 轨道摄动
综述
作用在卫星上的力 地球引力(1) 地球引力(2) 日、月引力 大气阻力 光压 其它作用力 总和
卫星轨道 人卫正常轨道
轨道理论 人卫正常轨道（二体问题）
摄 动 力
轨道摄动
人卫轨道摄动理论
人卫真实轨道
人卫轨道理论
2.2 开普勒行星运动三定律
开普勒（Johannes Kepler） 国籍: 德国 生卒日期:
左边(3-6)方程解的一般形式为：
二体问题微分方程的解
卫星运动的轨道平面方程 直接由微分方程（3-6）求积分，可得卫星运动 的轨道平面方程：
式中，X,Y,Z是卫星在地心天球坐标系中的坐标
卫星运动的轨道方程 卫星运动的轨道方程为：
由于 ，所以（3-10）式可以真 近点角V表示： 另外由二体运动的微分方程可求出常用的表 示卫星运动速度U的活力积分：
由牛顿第二定律可知，卫星与地球的运 动方程：
二体问题的运动方程
设 为卫星S相对于O的加速度，则:
由于M远大于m，通常不考虑m的影响，则有：
取地球引力常数µ =GM=1，此时（3-4）式可写成 为：
二体问题的运动方程
设以O为原点的直角坐标系为O-XYZ，S点的坐标 为（X，Y，Z），则卫星S的地心向径r=（X，Y， Z），加速度 ，代入（3-4）得 二体问题的运动方程：
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就: 发现了行星运动三定律
一.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。 此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由 万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。r为卫星 的地心距离，a为开普勒椭圆的长半径，e为开普勒椭圆的偏心 率；f为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地 点的位置，是时间的函数。 m
天体问题的“一、二、三、四、五”
天体问题的“一、二、三、四、五”作者：王海楼来源：《中学物理·高中》2013年第03期天体问题主要涉及万有引力定律及其应用、匀速圆周运动及其规律、牛顿第二定律及其应用等高中物理的重点内容.由于近些年来航空航天发展迅速，所以从近三年的高考情况来看，天体问题一是年年必考，二是所占分值有逐年上升的趋势，考生不可不对其引起高度重视.高考中的天体问题，有时求两个天体之间的距离，有时求天体的质量或密度，有时求人造卫星的速度、加速度，有时求天体的自转周期，有时求天体的公转周期，有时求解物体在某些天体表面上的动力学问题……年年推陈出新、可谓是千变万化. 学生对于此处知识掌握的并不理想，常常感到无处下手，思维混沌.下面就解决天体运动应注意的问题作以总结归纳.笔者认为解决天体运动问题要注意“一、二、三、四、五”.一是一种运动模式——匀速圆周运动由开普勒定律可知，自然天体的运动轨迹实际是一个椭圆形的运动轨迹，如果这个椭圆的两个焦点距离很近，非常接近圆形.因此在高中阶段可近似的把椭圆形轨迹看成是圆形，这样自然天体的运动就可以近似看成是我们熟悉的匀速圆周运动了.人造地球卫星围绕地球的运动轨迹有时是圆形，有时是椭圆.在高中阶段大多讨论圆形轨道的情况.因此无论是自然天体还是人造卫星，都是一种运动模式——匀速圆周运动.二是掌握两个关系式（1）万有引力提供向心力解决匀速圆周运动的关键是确定其运动的轨道平面及圆心的位置，求出半径，找到向心力的来源.解决做匀速圆周运动的天体问题也是如此，就是由天体之间的万有引力提供向心力.（2）重力等于万有引力由于地球自转的角速度很小，因此我们时常忽略其自转，这样地面上的物体所受的重力就等于地球对其的万有引力，即一般情况题中常给出的是地球表面的重力加速度g，而地球的质量M是未知，这样便经常根据这个表达式把GM用gR2代替，从而解决问题.因此我们把GMmR2=mg这个表达式称之为黄金代换，可见其价值所在.三是灵活应用加速度的三种变化形式求解天体问题时要根据题中的已知或所求恰当的采取向心加速度的不同形式，这样才能使问题简化.达到求解的目的.例（2009年北京卷）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响.（1）推导第一宇宙速度v1的表达式；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T.解析（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，在地球表面附近满足卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，有将（1）式代入（2）式，得到v1=Rg.（2）卫星受到的万有引力为其做匀速圆周运动所需的向心力（1）、（3）式联立解得四是理清四种关系（一）理清万有引力、重力与向心力之间的关系.（1）物体在地球表面上随地球自转时：重力和向心力是万有引力的两个分力，但是由于地球自转的角速度较小，因此向心力较小.因此经常忽略地球的自转便有万有引力与重力相等.在考虑到地球自转的影响时，他们的关系如下：在赤道上，三力方向一致，有在地球两极处由于物体不转动，因此向心力为零，此时（2）物体脱离地球成为绕地球旋转的卫星时g′为物体所在处的重力加速度.（二）理清g与g′的关系g指地球表面处的重力加速度，而g′指物体所在处的重力加速度.H指距离地面的高度.（三）理清万有引力公式中的r、向心力中的r及中心天体半径R的关系万有引力公式中的r指两个天体球心之间的距离，向心力中的r指环绕天体做匀速圆周运动的半径.二者意义不同，大小有时相等，有时不等.当一个天体围绕另一个天体旋转时，二者相等.当两个或三个天体围绕某一点旋转时，二者不等.如，双星问题、三星问题等.一般情况下理清万有引力公式中的r与向心力中的r都大于中心天体的半径R，只有当物体在近地面运行时二者才相等.因此要注意区分，特别是在计算天体密度时很容易混淆.（四）理清卫星的发射速度与环绕速度的关系环绕速度是指卫星围绕地球做匀速圆周运动时的速度，满足万有引力等于向心力，环绕的轨道半径越大，速度越小.发射速度是指卫星在地面附近离开发射装置的初速度，发射的轨道越高需要的发射速度越大.三个宇宙速度指的都是发射速度.五是注意五个小问题（一）常识要当作已知条件.在解决天体问题时经常在题目中会涉及到一些常识.这些常识要作为已知，方可解决问题.如地球的公转周期、自转周期与月球的公转周期.为了便于计算经常取月球的公转周期为27天.（二）注意题中的隐含条件.如近地卫星是指轨道半径近似等于中心天体的半径.同步卫星指其周期与地球自转的周期相等，运行方向与地球自转的方向相同，从而导致了同步卫星的N 个确定，只有质量不确定.（三）注意开普勒第三定律的使用条件.解决天体问题时，很多问题直接应用开普勒第三定律要显得简单明了，但是不要忘记其使用条件，只有当中心天体为同一天体时才能应用.（四）注意卫星对接问题与地面追及问题不同.如在同一轨道上运行的卫星，后者要追上前者，实现对接，需要先减速后加速.（五）注意卫星变轨问题的小规律.卫星变轨问题是指卫星有圆形轨道变为椭圆形轨道或由椭圆形轨道变为圆形轨道.这里经常涉及到卫星在不同轨道运行经过圆与椭圆切点时的线速度、加速度以及在不同轨道上的周期与机械能的比较.其规律是哪个轨道在外哪个轨道上的周期与机械能大，经过切点时的速度也大，而加速度则是同位置相同，轨道越往外越小。
开普勒第三定律
开普勒第三定律也适用于部分电荷在点电场中运动的情况。因为库仑力与万有引力均遵循“平方反比”规律， 通过类比可知，带电粒子在电场中的椭圆运动也遵循开普勒第三定律。
先构造一个匀速圆周运动的模Fra bibliotek，根据牛顿第二运动定律和库仑定律计算圆周运动周期，再将粒子由静止开 始的直线加速运动当做一个无限“扁”的椭圆运动，用开普勒第三定律计算粒子运动时间。
开普勒第三定律为经典力学的建立、牛顿的万有引力定律的发现，都作出重要的提示。
定律定义
开普勒在《宇宙谐和论》上的原始表述：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长 轴的立方与周期的平方之比是一个常量 。
常见表述：绕同一中心天体的所有行星的轨道的半长轴的三次方（ a³）跟它的公转周期的二次方（T²）的比 值都相等，即， （其中M为中心天体质量，k为开普勒常数，这是一个只与被绕星体有关的常量 ，G为引力常量， 其 2 0 0 6 年 国 际 推 荐 数 值 为 G = 6 . × 1 0 ⁻ ¹ ¹ N · m ²/ k g ²） 不 确 定 度 为 0 . × 1 0 ⁻ ¹ ¹ m ³k g ⁻ ¹ s ⁻ ² 。
用开普勒第三定律解决二体问题时，可将两个质点在相互作用下的运动，可约化为一个质点相对另一个质点 的相对运动，质点的质量需改用约化质量，即，其中，为两质点的质量。
开普勒第三定律也可以表示为：
引入天体质量后可表示为：
其中，为两个相应的行星质量，，为两个相应行星围绕同一恒星运动的周期，，为两个行星围绕同一恒星运 动的平均轨道半径。 通过拓展形式，可以根据绕同一行星的两星体轨道半径估测星体质量，或根据星体质量估 测运行轨道。
由运动总能量，得，则运动周期为 即 其中，，，和是方程的根，它们是椭圆运动的两个转折点，a为轨道半径，G为引力常量，M为中心天体的质 量。
二体问题
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
能量积分 1 r ⋅r − µ = C. C 是常数，所以可以取任意时刻的值
2
r
不妨取近点时刻：
r = a (1− e), r = 0
r
=
rer
+ rθeθ
=
h r
eθ
C
=
1 2
a2
h2
(1− e)2
−
µ
a (1− e)
=
−
µ 2a
C 仅与 a, µ 有关
3nd 行星绕太阳运动的周期平方与轨道椭圆半长径的立方成正比
(2.1.1) T 2 = ka3
k对所有的行星而言是同一常数
1
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler第三定律在太阳系内的体现.
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler第三定律的应用. 两个天体 m, m′ 围绕中心天体M 运动, 那么
在椭圆运动中真近点角 f 可以用 M 或 E 代替,在采用 M 时,M 中只含有 a, t, 而 E, f 中则含有 a, e, t, 并且 M 对时间的导数在二体运动中是常数.
2
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler方程的数值解法
E − esin E = M
这是一个超越方程
不动点迭代法 :
引入辅助量 F :
r = a (e cosh F −1)
代入积分，得到：
ν (t −τ ) = esinh F − F
这是双曲运动的Kepler方程.
( ) eF + e−F
cosh F =
, 双曲余弦函数
2
( ) eF − e−F
理论力学 两体问题
双星系统的研究有助于理解恒星的形成和演化过程，以及宇宙中的星系形成。
行星与卫星系统是一个行星和一个或多个卫星组成的系统，卫星绕着行星旋转，受到行星的万有引力作用。
行星与卫星的运动规律也是由万有引力定律和运动定律来描述，通过求解微分方程可以得出它们的轨道和运动规律。
理论力学 两体问题
目录
两体问题的基本概念 两体问题的动力学模型 两体问题的运动学模型 两体问题的经典问题 两体问题的数值模拟方法 两体问题的应用领域
01
CHAPTER
两体问题的基本概念
两体问题是指两个质点在万有引力或库仑力等作用下的运动问题。
两个质点在相互之间的力作用下，同时受到其他力的作用，这些力满足牛顿第三定律。
卫星轨道设计
卫星轨道设计是航天工程中的重要环节，而两体问题提供了卫星绕地球或其他天体运动的基本规律，为轨道设计提供了理论基础。
月球和火星探测
月球和火星探测任务中，两体问题用于研究探测器的轨道运动、着陆和巡视等任务。
航天工程
1
2
3
地球自转和极移是地球物理学研究的重要内容，两体问题提供了地球自转和极移的理论基础。
行星与卫星系统的研究有助于了解地球的气候变化、地质构造、天体演化等自然现象。
01
02
03
行星与卫星系统
哈雷彗星的轨道问题主要是研究其轨道的稳定性、变化规律以及与其他天体的相互作用。
哈雷彗星轨道问题的研究有助于了解太阳系的演化历史和天体的动力学行为。
哈雷彗星是太阳系中的一颗周期性彗星，其轨道非常长，大约需要76年才能绕行一周。
哈雷彗星轨道问题
天体运动复习讲义精简版(含经典例题后附习题及答案)
天体运动复习讲义1． 天体运动(1)万有引力提供向心力F 合外力＝G Mmr 2 （万有引力为合外力，合外力提供向心力）G Mm r 2＝m v 2r G Mmr2＝mrω2 G Mm r 2＝m 4π2T2r （2）天体问题的计算方法：万有引力G Mm r 2 = 向心力（m v 2r 或mrω2或m 4π2T2r ）说明：等式左边为万有引力，等式右边为计算中常用的参数（线速度v ， 角速度w ， 周期 T ）,计算时用万有引力G Mm r 2 等于带有参数线速度v 角速度w 周期 T 的向心力。
不能用m v2r=mrω2 = m 4π2T 2r ，因为m v 2r =mrω2 = m 4π2T2r 推算出V = WR = 2πR/T = 2πfR=2πnR 只能算出线速度v 角速度w 周期 T 的关系等式，没有用到万有引力公式。
例1：科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上.从地球上看，它永远在太阳背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”.由以上信息可以推知（ ） A.这颗行星的公转周期与地球相等 B.这颗行星的自转周期与地球相等 C.这颗行星的质量与地球质量相等 D.这颗行星的密度与地球密度相等（3）万有引力约等于重力G MmR2＝mg → 2gR GM =（黄金代换式） 说明：①物体在地球表面且忽略物体随地球一起转动所需向心力②只有题目中说该行星地表重力加速度为g 时，等式才成立2． 人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系F 万＝G Mmr2＝F 向＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ma →a ＝GM r 2→a ∝1r2m v2r →v ＝GM r →v ∝1r mω2r →ω＝GM r 3→ω∝1r3m 4π2T 2r →T ＝4π2r 3GM→T ∝r 3.说明：以地球为中心天体总结出：离地球越近的卫星线速度v 角速度W 加速度a 越大只有周期T 越小，即“越高越慢”）例2：一个卫星绕着某一星球作匀速圆周运动，轨道半径为R 1，因在运动过程中与宇宙尘埃和小陨石的摩擦和碰撞，导致该卫星发生跃迁，轨道半径减小为R 2，则卫星的线速度、角速度，周期的变化情况是 （ ）A.增大，增大，减小；B.减小，增大，增大；C.增大，减小，增大； D.减小，减小，减小。
二体问题
面积积分与开普勒第二定律的关系
开普勒第二定律
椭圆向径在相等时间内扫过的面积相同
h r 2u 1 t A rr 2
旋转矩阵
8
3/21/2013
轨道积分
r 3 r , 与h 叉乘 r
r h 3 r h r 3 r r r r
16
3/21/2013
过近拱点时间的积分—抛物线轨道
e 1
dt p3 df
1 cos f 2
tan
f 1 3 f tan 2 3 (t ) 2 3 2 p
巴克方程（Berker）或抛物 线情况的开普勒方程
过近拱点时间的积分—双曲线轨道
e 1
tan f 1 e H tanh 2 1 e 2
为积分常矢量
h r e r r
轨道积分
ex e ey ez
h) h r hh 0 (r
轨道坐标系
h） （r h （r h re h ) e h r
a b c a c b a b c
r r r r r h 3 r r r 2 d r = 3 [r r (rr ) r ] r dt r
二体问题
太阳系中，太阳和大行星的扁率都很小，接近 于球体，而且它们之间的距离比各自的尺寸大 得多，因此，太阳和大行星之间相互吸引可近 似为质点之间的吸引； 太阳系中的小天体（小行星和流星），形状不 规则，但是它们相对于太阳和大行星的距离来 说都很小，也可当作质点处理； 彗星弥散度很大，但是大部分质量高度集中在 慧核； 与太阳相比，行星质量小得多，最大的木星质 量也只有太阳质量的1/1000。
两体问题
将 r 变为 w ≡ 1/r
dw d 1 1 dr d d r 2 d r
1 0 d 2w dU w w d 2 l 2 dw
Binet 公式
对具体的作用，求解该方程给出轨道形状 分析方程可给出轨道的一个一般性的性质
d 2w k w d 2 l2
l2 p k
wh A cos 0
线性非齐次方程的解等于特解加上齐次方程的解 特解
wp
k
l2
1 p
齐次方程(频率为1的谐振子)的解 一般解 w w p wh
1 1 A cos 0 1 cos 0 p p
U eff
E
双曲线
抛物线 椭圆 圆
近日点
E
rmin
p 1
rmin
r
k 2 1 2p
2 pE 2 El 2 1 1 k k 2
圆轨道要求
l2 r0 p k
ε>1 E>0 ε＝1 E＝0 ε<1 E<0 ε＝0 E＝－μk2/2l2＝－k/2p
双曲线 抛物线 椭圆 圆
E
r很小时，－1/r3为主要项(递增) r很大时， 1/r2为主要项(递减) 中间有一个极大值
r
对于给定的能量E，根据初始时距离力心的远近，粒子可能 作无界运动或者有界运动(“落向”力心)
稳定圆轨道
稳定圆轨道发生在有效势能的极小值处
l2 k U eff r 2 r 2 r 3
另一种方法:
2 U l U r r 2 Feff r 3 r r r
第一章-二体问题
function dy = orbit(t,y,flag,mu) %函数说明输入输出 dy =zeros(6,1); r = sqrt(y(1)^2 + y(3)^2 + y(5)^2); dy(1) = y(2); dy(2) = -mu/r^3*y(1); dy(3) = y(4); dy(4) = -mu/r^3*y(3); dy(5) = y(6); dy(6) = -mu/r^3*y(5); end
成就，并对欧洲各国的文化影响很大。主要成果包括： 确定地球的形状和大小；日月的远近和大小；日心说等。
10
1.3 学科发展史
古典天文学的社会需求 1. 制定历法的需要，知道农业生产。如我们常说的24节气 2. 预测天灾人祸，旦夕祸福。（在古代，占星术和天文学
是没有明显的区别的） 古典天文学研究方法
没有理论指导，没有先进的观测手段 兴趣，长期不懈的观测，积极思考
15
1.5 考核方式和成绩评定
考核方式
考核内容
成绩比例（%）
平时到课率、课堂回 答问题及研讨
基础知识，学习主动性
20
课后作业
综合应用知识解决具体 工程问题的能力
10
文献阅读与专题报告
自主学习，分析问题和 主动交流的能力
20
期末闭卷理论考试
学生掌握基本概念及基 本理论的程度
50
16
授课内容
1. 绪论 2. 二体相对运动方程 3. 二体相对运动方程的求解
26
授课内容
1. 绪论 2. 二体相对运动方程 3. 二体相对运动方程的求解
27
3.1 近似方法
d 2r = r
dt 2 r3
非线性微分方程
非天文专业《天体力学》课程建设与教学方法研究
文章编号： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ５ — ０ ０ ５ ８ — ０ ２
、
引言
天体力学是应用力学规律研究天体的运动和形状的一 门学科 ， 是天文学的一个分支， 同时又与数学和物理学的关 系密切 。 天体力学诞生于１ ６ ８ ７ 年， 但作为学科名称是拉普拉
２０１４ 年 １ 月 第 ５期
教 育 教 学 论 坛
ＥＤ ＵＣ Ａ ＴＩ ＯＮ Ｔ ＥＡ ＣＨ Ｉ Ｎ Ｇ Ｆ ＯＲ ＵＭ
Ｊ ａ ｎ． ２ Ｏ１ ４
Ｎ Ｏ． ５
非天文专业《 天体力学》 课程建设与教学方法研究
汪海洪 ， 罗
（ 武汉 大学
佳， 钟
波， 邹 贤才
武汉 ４ ３ ０ ０ ７ ９ ）
教学 内容与 教材 、教学 方法 和考 核等 方 面对非 天文 专业 天 体力学课程建设进行探讨 ， 以供同行参考。 二、 教 学 目标
的逻辑思维能力 ； （ ３ ） 指导学生将天体力学基本理论应用于 实际天体 ， 利用案例介绍天体力学在本专业 中的应用 ， 培养 学生 独立 分析与 解决 问题 的能力 。 三、 教 学 内容 与教 材 人造天体的出现与电子计算机的广泛应用 ，极大扩展 了天体力学的内容和应用范围，但是非天文专业天体力学 课程不可能也没必要涉及天体力学的所有 内容。结合专业 特点和需求 ， 选择的教学内容以经典天体力学的核心内容 为主， 即二体问题和摄动理论。 考虑到非天文专业大学生的 实际， 教学内容侧重于基本概念和基础理论 ， 并辅 以所需的 数学 和物 理学 基础 知识 。 表１ 列 出 了具 体教 学 内容 和课 时 安 排。第１ 章绪论对课程进行概述 ， 简要介绍天体力学的研究 内容和发展历史。第２ ～ ３ 章是针对非天文专业学生缺乏相 应 基础 而安 排 的数 学 、物理 和天 文学方 面 的基 础知 识 。第 ４ ～ ６ 章是经典天体力学的主要内容， 也是课程学习的重点。 第７ 章 是多 体 问题 ， 重点 介绍 三体 问题 。 第８ 章 主要 以地球 为 例介绍天体的形状与 自转理论。 教学内容由浅到深、 由易到 难 逐渐 递进 ， 便 于学 生理解 吸 收 。 国内天体力学的教材较少 ，而且由于出版时间较早现 已经没有再版， 如《 天体力学引论 、 《 天体力学基础》 删 。近 年来 ， 也鲜 有 天体力 学方 面 的书籍 出版 。 时 间最近 的天体 力 学 书籍 是２ ０ ０ ８ 年 出版 的《 现代 天体力 学导 论 》 ， 但是 该 书专 业性较强 ，主要介绍现代天体力学的内容和代表性研究成 果， 不适合作为非天文学专业本科生的教材。 为了满足课程 教学的需要 ， 课程组在２ ０ ０ ６ 年就结合国内外资料编写了《 天 体力学》 讲义 ， 内容覆盖了所需的基础知识和天体力学基本 理论 ， 并 添加 在本 专业 的一些 实 际应用 案例 。 经过 多年 的不 断更新和完善 ， 讲义基本具备了出版教材的条件。
天体力学：第四章 二体问题1
天体力学
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第四章 二体问题
天体力学
面 积 积 分
说明相对运动轨道面为平面，而且A、B、 C的数值可确定轨道平面同坐标面的关系。 即轨道平面法线的方向余弦为：
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第四章 二体问题
天体力学
3 面积积分（矢量形式）
根据相对运动方程
r
r3
r
用r 对两边取矢量积：
第四章 二体问题
2 半长轴a 、偏心率e
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第四章 二体问题
3 、
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天体力学
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第四章 二体问题
小结
天体力学
• 二体问题的运动方程（绝对、相对） • 运动方程的解
面积积分、轨道积分、活力积分 • 二体轨道分类 • 开普勒方程 • 轨道根数
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第四章 二体问题
天体力学
分量形式为：
m1x1 m2 x2 (m1 m2 ) xg 0 m1 y1 m2 y2 (m1 m2 ) yg 0 m1z1 m2 z2 (m1 m2 ) zg 0 上述积分可以得到：
xg 1t 1 yg 2t 2 zg 3t 3 1,2 ,3 , 1, 2 , 3为常数
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轨道积分
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第四章 二体问题
5 活力积分
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第四章 二体问题
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第四章 二体问题
面积积分（常数A、B、C或h、i、Ω） 轨道积分（常数e、ω） 活力积分（常数E）
第2章二体问题
• 其余各种力则仅仅使卫星略微偏离正常轨道。我们将这种 偏离值称为轨道摄动，把这些小作用力称为摄动力。
道上的位置的一整套方法及其有关理论称为人造卫星正常 轨道理论。 • 显然人卫正常轨道只是真实轨道的一种近似。研究人卫正 常轨道的意义在于： • 1.人卫真实轨道＝人卫正常轨道＋轨道摄动。因而它是研 究人卫真实轨道的基础。 • 2常.由轨于道地是球真引实力轨（道1）的对很卫好星的的近运似动。起当决精定度性要作求用不，高因时而可正用 来替代真实轨道，以进行定性讨论和卫星预报等工作。
式中n1为整个系统中作用力的个数，n2为系统中的天体个数。
但遗憾的是到目前为止除了最简单的二体问题以外其它微分方程
组皆无法从数学上严格求解。因而我们也不得不沿用天体力学中
所惯用的方法将人造卫星的轨道运动人为地分成两个部分分别进
行处理。
3
（一）作用在卫星上的外力
从表2-1可以看出，作用在卫星上的力很复杂，除了地球的万有引力
科，是卫星大地测量的重要理论基础。人造卫星 入轨进入自动飞行阶段后，也和自然天体一样在 万有引力（及其它力）的作用下遵循牛顿运动定 律在轨道上运动。因而同样可以用研究天体运动 的一般理论—天体力学来研究其运动规律。但是 和自然天体相比，人造卫星的运动又有其特殊性， 主要表现为：
1
• 1.人造卫星离地球较近，因而不能像研究行星运动时那样 把地球当作一个质点，而必须考虑复杂的地球引力（通常 用高阶次的球谐函数来表示）对卫星运动的影响。
• 2.人造卫星所受到的作用力远较自然天体复杂。除了受到 其它天体的万有引力外还会受到大气阻力，太阳光压力等 多种力的作用。这些力中不但有保守力还有耗散力。
第二章二体问题
偏心率e
这两个参数确定了开普勒椭圆的形状和大小。 升交点赤经Ω:即地球赤道面上升交点与春分点之间 的地心夹角。 轨道倾角I:即卫星轨道平面与地球赤道面之间的夹 角。这两个参数唯一地确定了卫星轨道平面与地球 体之间的相对定向。
近地点角距ω:即在轨道平面上，升交点与近地点之间的 地心夹角，表达了开普勒椭圆在轨道平面上的定向。
非球形对称的作用力、日月引力、大气阻力、光辐射压力 以及地球潮汐力等。摄动力使卫星的运动产生一些小的附 加变化而偏离理想轨道，同时偏离量的大小也随时间而改 变。
在摄动力的作用下的卫星运动称为受摄运动，相 应的卫星轨道称为受摄轨道。
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❖ 地球引力 地球引力(1) － 地球的球形引力或称地球中心力
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开普勒（Johannes Kepler） 国籍:
德国 生卒日期:
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就:
发现了行星运动三定律
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一.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律
卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。
此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由
研究内容除定轨外，还包括轨道设计、卫星回收等 问题
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二、作用在卫星上的外力
为了研究工作和实际应用的方便，通常把作用于卫 星上的各种力按其影响的大小分为两类：一类是假设 地球为均质球体的引力（质量集中于球体的中心）， 称为中心力，决定着卫星运动的基本规律和特征，由 此决定的卫星轨道，可视为理想轨道，是分析卫星实 际轨道的基础。另一类是摄动力或非中心力，包括地球
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第3章二体问题
r
r01
r02
r1
r2
比较（3.10）式和（3.3）式，有
r1
m2 m1 m2
r
r2
m1 m1 m2
r
体系相对运动动能为
（3.10） （3.11） （3.12）
T
1 2
m1r12
1 2
m 2 r22
1 2
m1
(
m2 m1 m2
r)2
1 2
m2
(
m1 m1 m
2
r)2
1 2
m1m2 m1 m2
相互作用势只和粒子的相对距离r有关而和相对方向无关，即
V
(
i
)
(r )
V
(r
)
，称为中心势场。这是最重要的一类两体相互作用势。
本节讨论在中心势场 V (r) 中粒子的运动问题。
3.2.1 单粒子在中心势场中的运动
（1）运动特征和规律 • 受中心力作用
粒子在中心势场中受中心力作用
F V
( V r
1 3 rm r
其中 rm 2ma / L2 为轨道曲线极值点，于是稳定条件A>0变为
r 3rm
即在距离力心远处轨道是稳定的，在近处（包括在 r rm 处作圆周运动
）是不稳定的。
③
V kr 2 ，这时
A 1 2m (2kr) 2m r 4 (2k)1 6mk r 4 0
L2
L2
e 1 2EL2 ma 2
（3.26）
r P
1 e cos
（3.27）
上式为以坐标原点为焦点的圆锥曲线方程，式中P为半通径，e为偏心率。
• E < 0时，e < 1，为椭圆；
第2讲两体与质心
r
y
B相对于A的运动，就是在A的库仑力场中的运 动，由于库仑力场是保守力场，也是有心力场， 因此B的运动要满足能量和角动量守恒（以下 内容略）。
§2 质心运动定理
质心运动定理
r1 和 r2 ，所 设两个物体的位置矢量分别为
受合外力分别为 F1 和 F2 ，相互作用的内力 分别为 f 12 和 f 21 ，由牛顿运动定律，得
M
m
解析：m相对M的运动方程，
Mm F kx a Mm
Mm m 和弹簧振子比较， Mm
所以，耦合谐振子的频率为
1 f 2
k ( M m) Mm
4.考虑到太阳质量对开普勒第三定律的修正。
解析：不考虑太阳质量效应，有
Mm v2 G 2 m R R
考虑太阳质量效应，有
Mm Mm v 2 G 2 R Mm R
提示1：用微元法求整个天梯所受的万有引力
提示2：对天梯应用牛顿第二定律（质心运动定 理）。 提示3：或以地球为参考系，对质量微元利用万 有引力与惯性离心力平衡求出整个天梯的长度。
8、Three non-collinear points P1, P2 and P3, with known masses m1, m2 and m3, interact with one another through their mutual gravitational forces only; they are isolated in free space and do not interact with any other bodies. Let denote the axis going through the center-of-mass of the three masses, and perpendicular to the triangle P1P2P3. What conditions should the angular velocities of the system (around the axis ) and the distances: P1P2 = a12, P2P3 = a23, P1P3 = a13, fulfill to allow the shape and size of the triangle P1P2P3 unchanged during the motion of the system, i.e. under what conditions does the system rotate around the axis as a rigid body?
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天体力学二体问题的解内容提要本文简单介绍了天体力学次级学科内容，发展简史，及其在人类文明发展的历史地位。
天体力学认为二体问题已经解决，这是一个认识误区。
文章详细地叙述了二体问题的传统解法，按照《伯力克物理教程》第一卷《力学》第九章中高级课题所讲述的方法，导出二体问题与时间有关的解。
探讨了二体问题方程式。
天体力学二体问题传统解，致使许多自然现象困惑难解。
走出天体力学认识的误区，一大批物理批疑难问题豁然开朗。
附件用10个专题文章尝试解解释有关物理疑难问题目录1 天体力学简介1.1 天体力学次级学科内容1.2 天体力学发展简史1.3 天体力学历史地位2 天体力学传统观念2.1 牛顿绝对时空观念2.2 二体问题常规解2.3天体力学认识中的误区3二体问题与时间相关的解3.1 天体引力场的时空结构3.2二体问题与时间相关的解3.3二体问题与时间有关的解附件1 哈勃定律的理论解释2 太阳系天体距离和周期的规律性3 水星近日点的进动4 月球长期加速运动5 古生物化石的年轮和月轮6 河外天体光谱红移7 天体形态与微观结构的联系8 太阳常数理论计算9 物理黑洞10地球能量、温度和辐射1 天体力学简介1.1 天体力学次级学科天体力学是研究天体的运动和形状的学科。
天体力学可分为六个次级学科：①多体问题，又称做N体问题，或称摄动理论。
研究N个质点在万有引力作用下的动力学问题，其中只有二体问题已彻底解决。
②数值方法。
采用数值计算的方法来求解天体的运动方程并讨论解的收敛性、稳定性及计算方法的改进等问题。
③定性方法。
探讨天体运动轨道的宏观图像、运动区域和轨道特征。
④天文动力学。
又称为星际航行动力学，主要是研究各种人造天体的运动规律。
⑤历书天文学。
根据天体运动理论和轨道要素编制各种天体的历表和计算各种天象。
⑥天体的形状和自转理论。
主要研究各种物态组成的天体的自转平衡形态、稳定性及自转轴的变化规律。
历史渊源1.2 天体力学发展简史丹麦天文学家第谷（B. Tycho ，1546～1601）在16世纪对行星绕日运行作了长期的观测，记录了大量准确可靠的天文数据资料。
德国天文学家，数学家开普勒(Kepler，Johannes,1571～1630) 根据第谷多年的行星观测资料于1609年－1619年先后提出了行星运动三大定律，还提出了着名的开普勒方程，对行星轨道要素下了定义。
从此可以预报行星（以及月球）更准确的位置，形成理论天文学，揭开了天体力学的序幕；英国着名的物理学家牛顿（I.Newton，1643～1727），英国科学家胡克（R. Hook?）和荷兰物理学家惠更斯(C. Huygens）都曾根据开普勒定律推测行星和太阳间存在和距离二次方成反比的引力，为此胡克和牛顿还通过信，因此，对定律的首创权有过争议。
??1687?年?7?月?Newton名着《?自然哲学的数学原理?》?问世，提出绝对时空观念，牛顿动力学三定律和万有引力定律，建立经典力学理论基础。
瑞士数学家欧拉（Euler，Léonhard，1707～1783）是第一个较完整的月球运动理论的创立者，法国数学家达朗贝尔（d'Alembert，Jean?le?Rond，1717～1783）的?《?动力学?》?是力学方面的一部奠基性着作，书中包括后来以他的名字命名的达朗贝尔原理，根据这个原理建立起把动力学问题化为静力学问题来处理的一般方法?。
他运用这个方法研究了天体力学中的三体问题，并把它推广到流体动力学中法国数学家拉格朗日（Lagrange，Joseph-Louis，1736～1813）在《分析力学》一书中，运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了，拉格朗日是大行星运动理论的创始人。
法国数学家?，天文学家拉普拉斯(Laplace，Pierre-Simon，1749～1827)是天体力学集大成者。
他的五卷十六册巨着《天体力学》成为经典天体力学的代表作。
在这部着作中，他对大行星和月球的运动都提出了较完整的理论，而且对周期彗星和木星的卫星也提出了相应的运动理论。
同时，他还对天体形状的理论基础－流体自转时的平衡形状理论作了详细论述。
法国数学家勒让德（Legendre，Adrien-Marie ，1752～1833）在天文学的研究中，引进了着名的“勒让德多项式”?，发现了它的许多性质?。
德国数学家，天文学家，物理学家高斯（Gauss，Carl?Friedrich ，1777～1855）创立三次观测决定小行星轨道的计算方法，1809年发表其计算方法。
此后?，几乎都用这个方法推算小行星轨道。
在星历表计算中，他引进一组辅助量（又称为高斯常数），使求日心赤道直角坐标计算大大简化。
法国数学家泊松（Poisson，Siméon-Denis，1781～1840）对积分理论?、?行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。
“泊松方程”是经典引力理论的分析形式。
德国数学家雅可比(Jacobi，Carl Gustav Jacob ，1804～1851)和英国数学家、物理学家哈密顿（Hamilton，William Rowan 1805～1865）对分析力学的建立做出了重要贡献。
1846年，根据法国天文学家勒威耶（Le Verrier，Urbain Jean Joseph，1811～1877）和英国天文学家亚当斯(Adams，John?Couch，1819～1892)的计算，发现了海王星。
这是经典天体力学的伟大成果，也是自然科学理论预见性的重要验证。
此后，大行星和月球运动理论益臻完善。
成为编算天文年历中各天体历表的根据。
法国数学家庞加莱（Poincar é，Jules-Henri ，1854～1912），又译彭加勒庞加莱，庞加莱在1892－1899年出版的三卷本《天体力学新方法》是这个时期的代表作。
数值方法最早可追溯到高斯的工作方法。
十九世纪末形成的科威耳方法和亚当斯方法，至今仍为天体力学的基本数值方法（见天体力学数值方法），但在电子计算机出现以前应用不广。
二十世纪五十年代以后，由于人造天体的出现和电子计算机的广泛应用，天体力学进入一个新时期。
研究又增加了各种类型的人造天体，以及成员不多的恒星系统。
在研究方法中，数值方法有迅速的发展，不仅用于解决实际问题，而且物理学 同定性方法和分析方法也有相应发展，以适应观测精度日益提高的要求。
1.3 天体力学历史地位天体力学是人类文明史上伟大的丰碑，也是人类历史上第一个走出地球的科学理论，以 足够精确的计算结果预言了天体前后几百年、几千年甚至几万年的运动，经受了无数的新的观测考验。
天体力学对人类社会的进步起了巨大的推动作用。
2 天体力学传统观念2.1 牛顿绝对时空观念Newton 时空观念一般称为经典时空观念，又称为绝对时空观念，Newton 曾经对这个时空观念详细描述：1、 绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着，而且由于其本性而在均匀地、与任何其他外界事物无关地流逝着，它又可以名之为‘延续性’；相对的、表观的和通常的的时间是延续性的一种可感觉的、外部的（无论是精确的或是不相等的）通过运动来进行的量度我们通常就用诸如小时、日、月、年等这种量度以代替真正的时间。
2、 绝对的空间，就其本性而言，是与任何外界事物无关而永远是相同的和不动的。
相对空间是绝对空间的可动部分或者量度。
我们的感官通过绝对空间对其他物体的位置而确定了它，弁且通常把它当作不动的空间看待。
如相对地球而言的地下，大气或天体等空间就是这样确定的。
绝对空间和相对空间，在形状上和大小上都相同，但在数字上并不总是保持一样。
因为，例如当地球运动时，一个相对地球总是保持不变的大气空间，将一个时间是大气流入的绝对空间的一个部分，而在另一时间将是绝对空间的另一个部分，所以从绝对的意义来了解，它总是在不断变化的。
” （摘自H ·S 塞耶编《牛顿自然哲学着作选》第十九页至二十页）Newton 时空观念为经典力学的运动参照系建立提供了哲学的、物理的理论依据。
按照Newton 时空观念，一个无限延伸的三维钢架和一个均匀流逝的运动构成了一个运 动参照系，一个刚性的尺和一个稳频的钟可以分别对空间和时间进行度量。
在三维钢架上的空的空间构成三维 Euclid 空间直角坐标系坐标x α (I=1, 2, 3), 时间t 作为参变量, x α作为时间t 的函数x α（t ） 。
如果有另一个参照系K '以速度v ϖ相对K 运动，K '中的相应的空间坐标为'x α，'t ，则'x α，'t 和x α，t 之间变换由下述的Galilao 时空变换公式决定：'x x v t ααα=- (2.1) t t ='(2.2)上式中v α是v v 沿x α方向的分量，在变换中，位矢r r的平方2r 是不变量，即：22'2r x x αααα== (2.3) 按照惯例，上式重复下标表示求和。
2.2 二体问题传统解二体问题是各类天体真实运动的第一次近似结果，也是研究天体在有心力场的引力作用下的运动。
根据牛顿绝对时空观念、牛顿动力学基本定律和牛顿万有引力定律，运动方程具有如下形式d m dt=v F (2.4） 上式中，m 表示天体质量，v 表示天体运动速度，F 表示太阳和天体之间的引力， t 表示时间。
在解方程（2.4）时，二体问题采用了下述的逻辑推理：第一、 选择质心参照系描述二体运动，以折合质量Mm M mμ=+代替天体质量m ， 折合质量也称约化质量，约化质量既小于M ，也小于m ，主要由两者中质量较小者决定；第二、引进势函数描述质点与球形物体之间作用力，势函数对空间坐标的偏导数正比于质点所受总引力的相应分力。
把中心天体看成是质量密度均匀分布的球体，以φ表示势函数，则φ等于G r μφ=-，单位质量体元受的作用力为m φ=-∇F ，这样，方程(2.4)可以写成如下形式d dtφ=-∇v (2.5） 按照上述逻辑形式，行星对太阳运动，就像是在以太阳为中心的惯性参照系中运动一样，只是要用约化质量代替行星质量。
在太阳系黄道面上选择极坐标系，以太阳的质量中心为极坐标系的原点，r 表示矢径（描述天体相对太阳的位置），r 表示矢径的长度，θ表示矢径的角度，则方程（2.4）有如下形式2()m r r F θ-=gg g (2.6） 2(2)()0m d m r r r r dt θθθ+==gg g gg(2.7） 令2r h θ=g，沿径r 方向和沿θ方向的两个方程分别为22G r r r μθ-=-gg g (2.8） 10dh r dt= (2.9） 上式中h 为单位质量的角动量，h 为一个积分常数，2mrmh θ⋅=即天体单位质量的动量矩守恒。