2020年中考数学专题突破6 辅助圆在解题中的应用
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图③
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
针对训练 13. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，O为AC的中点，过点O作
5 OE⊥OF，OE、OF分别交AB、BC于点E、F，则EF的最小值为____2____．
第13题图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
14. 如图， 如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一点，∠ADE＝60°，DE交 ∠ACB的外角平分线于点E，求证：AD＝DE.
证明：如解图，连接AE，
∵∠ADE＝∠ACE＝60°，
第14题图
∴A，D，C，E共圆，
∴∠AED＝∠ACB＝60°，
又∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE.
图①
图②
专题六 辅助圆在解题中的应用
(ⅱ) 圆内接四边形对角互补，若满足其中一组对角角度之和等于180°，可考虑作它 的外接圆解题．如图③，四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，∴四边形 ABCD的外接圆为⊙O，圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂 直平分线的交点)．
图①
解：(1)如解图①所示， P1、P2在以点O 为圆心，AB长为半径的圆上，点P1、P2 即为所求；
解图①
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
(2)如图②，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝60° 的所有点P；
(2)如解图②所示，先画△BP2C为等边三角形，再画
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
针对训练 1. 如图，已知点O，点C，且线段OC＝3，点A、B是平面内的动点，且OA＝2，BC＝4， 请在平面内画出点A、B的运动轨迹． 解：如解图，点A的运动轨迹为⊙O，点B的运动轨迹为⊙C.
第1题图
第1题解图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
20 点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ的取值范围___3__≤__C_Q__≤__1．2
第8题图
第9题图
9. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，若AD＝2，BC＝4，则四边形 ABCD面积的最大值是___6_____．
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
图①
图②
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
(ⅱ) 若D点在圆上时，d=r，如图③：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE 的最大值为____d_＋__r_＝__2_r(_即__为__⊙__O__的__直__径，) DE的最小值为____d_－__r_＝__0_(点__D__、__E_重__合_；)
2. 如图，已知平行四边形ABCD，点E为AD边上一点，点F为边AB上的动点，将 △AEF沿EF折叠得到△A′EF，请在图中画出点A′在平行四边形ABCD内(含边上的点) 的运动轨迹． 解：如解图，点A′的运动轨迹为以点E为圆心，AE长 为半径的⊙E的劣弧MN上．
第2题图
第2题解图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
第13题图
模型分析
模型五 定弦对定角(非90°)
固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90度)也叫定弦定角，那么这个角的顶点轨 迹为圆(一部分)． (1)如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB 在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图①
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
专题六 辅助圆在解题中的应用
在中考数学中,有一类高频考题,明明图形中并未出现圆,但是可以用圆的相 关知识来解决问题,这样的圆可以称为辅助圆，常见的模型有以下几种：
模型一 定点定长作圆型 模型二 点圆最值 模型三 线圆最值 模型四 直径对直径 模型五 定弦对定角(非90°) 模型六 四点共圆
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
第3题图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB上一 个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长的最小值
为___7___1__．
第4题图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
针对训练 7. 如图，已知矩形ABCD，请你在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P.
解：如解图，点P1、P2即为所求点．
第7题图
第7题解图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
8. 如图，已知在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动
针对训练
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝
2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB
距离的最小值是( B )
A. 1
B. 1.2
C. 2
D. 5
第5题图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
第11题图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
12. 如图，∠AOB＝45°，边OA、OB上分别有两个动点C、D，连接CD，以CD为 直角边作等腰Rt△CDE，且CD＝CE，当CD长保持不变且等于2 cm时，则OE长的 最大值为___1_0____2___cm.(请在图中画出点O的运动路径)
(ⅱ) 90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，在△ABC中， ∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹圆是_以__A__B_为__直__径__的__圆__O_(_不__包__含__A_、__B__两__点__)．_
图①
图②
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心， 1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则△AOP面积的最大
17
值为____4____．
第6题图
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模型分析
模型四 直径对直径
(ⅰ) 半圆(直径)所对的圆周角是90°. 如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB为圆O 的直径．
解图③
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
11. 如图，AC为边长为4的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°.点M和N分别从点B、 C同时出发，以相同的速度沿BC、CA运动．连接AM和BN，交于点P，则PC长的
43 最小值为____3____．(请在图中画出点P的运动路径)
(2)如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C 点并不是唯一固定的点，至于点C是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则 C在优弧上运动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧上运动．
图②
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
针对训练 10. 如图，已知四边形ABCD. (1)如图①，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝30°的所 有点P；
模型分析
模型二 点圆最值
平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和 最小值．具体分以下三种情况讨论(规定OD＝d，⊙O半径为r)： (ⅰ) 若D点在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现 最值，DE的最大值为___d_+_r___，DE的最小值为___d_-_r___；
图①
图②
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
(ⅱ) 如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d， ⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是__d_-_r____(如图③)，点P到直线l的最大距 离是___d_+_r___(如图④)．
图③
图④
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
综合训练
15.如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P为AB上一动点，PD⊥BC于点 D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为____9/2____．
【解析】如解图，∵∠PEC＝∠PDC＝90°，故四边形 PDCE对角互补，故PDCE四点共圆，∠EOD＝2∠ECD＝ 120°，故ED＝R，要使得DE最小则要使圆的半径R最小，故 直径PC最小，当CP⊥AB时，PC最小
图②
△BP2C的外接圆，则P1，P3在△BP2C的外接圆上，点P1、
P2、P3即为所求；
解图②
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
(3)如图③，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出 使∠APB＝45°的所有点P；
图③
(3)如解图③所示，P1、P2、P3、P4即为所求， 其中∠AOB＝90°.
模型三 线圆最值 模型分析 (ⅰ) 如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为圆上一动点． (1)如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦 AB的最大距离，此时△ABC的面积最大； (2)如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为 点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大．
图③
图④
图⑤
(ⅲ) 若D点在⊙O内时，d<r，如图④、⑤：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最 值，DE的最大值为___d_＋__r__，DE的最小值为___r－__d___.
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
针对训练 3. 如图，⊙O、⊙C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝4，BC＝3， 则OB长的最大值为___8___，OB长的最小值为___2_____，AC长的最大值为___9___， AC长的最小值为__1_2___，AB长的最大值为_____0___，AB长的最小值为____1____．
模型一 定点定长作圆型
模型分析 平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心， AB长为半径的圆上(如图①)．
图② 图①
推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不与点B重合)，将△BEF沿 EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以E为圆心，线段BE为半径的半圆 弧．
第12题图
专题六 辅助圆在解题中的应用
模型分析
模型六 四点共圆
(ⅰ) 如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边 中线等于斜边一半，可得：OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆，共斜边 的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；四点共圆后可以根据圆周角定 理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
针对训练 13. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，O为AC的中点，过点O作
5 OE⊥OF，OE、OF分别交AB、BC于点E、F，则EF的最小值为____2____．
第13题图
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14. 如图， 如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一点，∠ADE＝60°，DE交 ∠ACB的外角平分线于点E，求证：AD＝DE.
证明：如解图，连接AE，
∵∠ADE＝∠ACE＝60°，
第14题图
∴A，D，C，E共圆，
∴∠AED＝∠ACB＝60°，
又∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE.
图①
图②
专题六 辅助圆在解题中的应用
(ⅱ) 圆内接四边形对角互补，若满足其中一组对角角度之和等于180°，可考虑作它 的外接圆解题．如图③，四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，∴四边形 ABCD的外接圆为⊙O，圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂 直平分线的交点)．
图①
解：(1)如解图①所示， P1、P2在以点O 为圆心，AB长为半径的圆上，点P1、P2 即为所求；
解图①
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(2)如图②，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝60° 的所有点P；
(2)如解图②所示，先画△BP2C为等边三角形，再画
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针对训练 1. 如图，已知点O，点C，且线段OC＝3，点A、B是平面内的动点，且OA＝2，BC＝4， 请在平面内画出点A、B的运动轨迹． 解：如解图，点A的运动轨迹为⊙O，点B的运动轨迹为⊙C.
第1题图
第1题解图
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20 点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ的取值范围___3__≤__C_Q__≤__1．2
第8题图
第9题图
9. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，若AD＝2，BC＝4，则四边形 ABCD面积的最大值是___6_____．
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
图①
图②
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
(ⅱ) 若D点在圆上时，d=r，如图③：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE 的最大值为____d_＋__r_＝__2_r(_即__为__⊙__O__的__直__径，) DE的最小值为____d_－__r_＝__0_(点__D__、__E_重__合_；)
2. 如图，已知平行四边形ABCD，点E为AD边上一点，点F为边AB上的动点，将 △AEF沿EF折叠得到△A′EF，请在图中画出点A′在平行四边形ABCD内(含边上的点) 的运动轨迹． 解：如解图，点A′的运动轨迹为以点E为圆心，AE长 为半径的⊙E的劣弧MN上．
第2题图
第2题解图
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第13题图
模型分析
模型五 定弦对定角(非90°)
固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90度)也叫定弦定角，那么这个角的顶点轨 迹为圆(一部分)． (1)如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB 在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图①
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
专题六 辅助圆在解题中的应用
在中考数学中,有一类高频考题,明明图形中并未出现圆,但是可以用圆的相 关知识来解决问题,这样的圆可以称为辅助圆，常见的模型有以下几种：
模型一 定点定长作圆型 模型二 点圆最值 模型三 线圆最值 模型四 直径对直径 模型五 定弦对定角(非90°) 模型六 四点共圆
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
第3题图
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4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB上一 个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长的最小值
为___7___1__．
第4题图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
针对训练 7. 如图，已知矩形ABCD，请你在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P.
解：如解图，点P1、P2即为所求点．
第7题图
第7题解图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
8. 如图，已知在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动
针对训练
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝
2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB
距离的最小值是( B )
A. 1
B. 1.2
C. 2
D. 5
第5题图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
第11题图
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
12. 如图，∠AOB＝45°，边OA、OB上分别有两个动点C、D，连接CD，以CD为 直角边作等腰Rt△CDE，且CD＝CE，当CD长保持不变且等于2 cm时，则OE长的 最大值为___1_0____2___cm.(请在图中画出点O的运动路径)
(ⅱ) 90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，在△ABC中， ∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹圆是_以__A__B_为__直__径__的__圆__O_(_不__包__含__A_、__B__两__点__)．_
图①
图②
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6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心， 1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则△AOP面积的最大
17
值为____4____．
第6题图
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模型分析
模型四 直径对直径
(ⅰ) 半圆(直径)所对的圆周角是90°. 如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB为圆O 的直径．
解图③
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11. 如图，AC为边长为4的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°.点M和N分别从点B、 C同时出发，以相同的速度沿BC、CA运动．连接AM和BN，交于点P，则PC长的
43 最小值为____3____．(请在图中画出点P的运动路径)
(2)如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C 点并不是唯一固定的点，至于点C是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则 C在优弧上运动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧上运动．
图②
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针对训练 10. 如图，已知四边形ABCD. (1)如图①，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝30°的所 有点P；
模型分析
模型二 点圆最值
平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和 最小值．具体分以下三种情况讨论(规定OD＝d，⊙O半径为r)： (ⅰ) 若D点在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现 最值，DE的最大值为___d_+_r___，DE的最小值为___d_-_r___；
图①
图②
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(ⅱ) 如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d， ⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是__d_-_r____(如图③)，点P到直线l的最大距 离是___d_+_r___(如图④)．
图③
图④
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
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综合训练
15.如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P为AB上一动点，PD⊥BC于点 D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为____9/2____．
【解析】如解图，∵∠PEC＝∠PDC＝90°，故四边形 PDCE对角互补，故PDCE四点共圆，∠EOD＝2∠ECD＝ 120°，故ED＝R，要使得DE最小则要使圆的半径R最小，故 直径PC最小，当CP⊥AB时，PC最小
图②
△BP2C的外接圆，则P1，P3在△BP2C的外接圆上，点P1、
P2、P3即为所求；
解图②
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(3)如图③，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出 使∠APB＝45°的所有点P；
图③
(3)如解图③所示，P1、P2、P3、P4即为所求， 其中∠AOB＝90°.
模型三 线圆最值 模型分析 (ⅰ) 如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为圆上一动点． (1)如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦 AB的最大距离，此时△ABC的面积最大； (2)如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为 点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大．
图③
图④
图⑤
(ⅲ) 若D点在⊙O内时，d<r，如图④、⑤：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最 值，DE的最大值为___d_＋__r__，DE的最小值为___r－__d___.
微专题 辅助圆在解题中的应用 专题六 辅助圆在解题中的应用
针对训练 3. 如图，⊙O、⊙C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝4，BC＝3， 则OB长的最大值为___8___，OB长的最小值为___2_____，AC长的最大值为___9___， AC长的最小值为__1_2___，AB长的最大值为_____0___，AB长的最小值为____1____．
模型一 定点定长作圆型
模型分析 平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心， AB长为半径的圆上(如图①)．
图② 图①
推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不与点B重合)，将△BEF沿 EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以E为圆心，线段BE为半径的半圆 弧．
第12题图
专题六 辅助圆在解题中的应用
模型分析
模型六 四点共圆
(ⅰ) 如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边 中线等于斜边一半，可得：OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆，共斜边 的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；四点共圆后可以根据圆周角定 理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．