量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 答案----第7章

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（5）
注意到算符的对易关系
ˆ , ∇ F( r ) = ∇ ⋅ F( r ) 推广到三维： p i 令 F( r ) = e c 则有： q pe c − e c p = ∇ e c = ( ∇ f ) e c i c q pe c = e c p + ∇ f c
qB C
(x −
x0 ) 。
7.1 设带电粒子相互的均匀电场 E 和均匀磁场 B 中运动，求其能谱及波函数（取磁场方向为 z 轴， 电场方向为 x 轴方向） [解] 为使能量本征方程能够求得，可以这样选择矢势，使
Ax = 0
Ay = Bx
Az = 0
设电场 E 的大小是 ε ,选择标势 V (r ) ，使场沿着 x 轴
ˆ = ∇ ，因此 正则动量与梯度算符相对应，即 p i
ˆ ,p ˆ ]= 0 [p
ˆ ,A ˆ = 0 ˆ 仅与点的坐标有关 A 又A x y
q ∂ [v ,v ] = − ,A − µ c i ∂x
x y 2
[
]

y

q ∂ Ax , 2 i ∂ y µ c iq = µ 2 c Bz
(
) )
（6）
= −
2 ∂ 2 q2B2 q2B2 2 1 2 2 2 ( ) + x − x − x + p y + pz 0 2 0 2u ∂ x 2 2uC 2 2 u 2uC x0 = uC 2 q2B2 py qB uC Cε py = + qε + uC B u qB qB uC
[ [
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]
[证明]根据正则方程组：
ˆx = x ˙= v ˆx = v
2 ∂H 1 q ˆ ，H = p − A + qΦ ∂ px 2µ c
q ˆ 1 ˆx − A p x µ c q ˆ 1 ˆy = p ˆy − A v 同理 y µ c ˆ( p ˆx, p ˆy, p ˆ z ) 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： p [v ,v ] =
(
)
（9 ）
在证明第 3 式时，设变换后的 v 是 势的变换式：
v′
。 写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和 (4) ′ 的矢
q µ v ′ = p′ − A′ = c = =
∫∫∫ψ
∗
′ ˆ′ ˆ′ − q A p ψ ′dτ c
∫∫∫ e ∫∫∫
（5）
亦即，对于ψ ( x ) 来说， H 和 F 式等价：
H⇒ −
2 ∂ 2 q2B2 2 qB 1 2 2 + x − qε + py x + p y + pz 2 2 2u ∂ x uC 2u 2uC
(
) )
（6）
= −
2 ∂ 2 q2B2 q2B2 2 1 2 2 2 ( ) + x − x − x + p y + pz 0 2 2 2 0 2u ∂ x 2u 2uC 2uC x0 = py uC 2 qB uC Cε q ε + p = + y uC u q2B2 qB B qB uC
x y
1 µ2
q ˆ q ˆ ˆx − A ˆ Ay x , py − p c c
=
1 q q2 ˆ ˆ ˆ − q A ˆ ,p ˆ ˆ ˆ ˆ p , p − p , A + Ax , Ay x y x y x y µ2 µ 2c µ 2c µ 2c
x y
[
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[
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[
]
[
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（4）
第七章：粒子在电磁场中的运动
P367——7.1，7.2 证明在磁场 B 中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： iq ˆ vx , v y = 2 B （1） z µ c iq ˆ v y , vz = 2 B （ 2） x µ c iq ˆ [v By （ 3） z , vx ] = µ 2c
−
iqf c
前式第一个积分可重复用（7）式，得：
iqf q ˆ ∗ c ∗ ˆ + q∇ f ψ e A+ ∇ f ψ dτ p ψ dτ − ∫ ∫ ∫ ψ ∫∫∫ c c ˆ − q A = ∫∫∫ψ ∗ p ψ dτ = µ v ′ c
其中 Py 和 Pz 为任意实数，
n = 0,1,2, ⋯
式（4）中 为以ψ ( x ) 为 ( x − x 0 ) 变量的一维谐振子能量本征函数，即
ψ ( x) = ψ
n
(x−
x0 ) = H n ( ξ ) e − ξ
2
2
（ 9）
H n ( ξ ) 为厄密多项式， ξ =
uω ( x − x0 ) =
(
其中
（ 7）
式（6）相当于一维谐振子能量算符
−
2 ∂ 2 1 + uω 2u ∂ x 2 2
2
(x −
x0 ) ,
2
ω =
再加上两项函数，因此本题能级为
1 q2B2 2 1 2 E = n + ω − x + p y + p z2 2 0 2 2 u 2 uC
(
)
（8）
1 B q C 2 ε 2 u Cε 1 2 = n+ − − py + pz 2 2 uC B 2u 2B
e
−
iqf c
iqf q c ˆ ˆ ψ p − A + ∇ f e ψ dτ c ∗ iqf iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱf iqf − ∗ ˆ c c ˆ e c ψ dτ − q ψ ∗p e ψ A + ∇ f e ψ dτ c ∫∫∫
(
其中
（ 7）
式（6）相当于一维谐振子能量算符
2 ∂ 2 1 − + uω 2u ∂ x 2 2
2
(x −
x0 ) ,
2
ω =
再加上两项函数，因此本题能级为
1 q2B2 2 1 2 E = n + ω − x + p y + p z2 2 0 2 2u 2uC
(
)
（8）
1 B q C 2 ε 2 u Cε 1 2 = n+ − − py + pz 2 2 uC B 2u 2B
−
dV = ε q ， V = − ε qx dx
2
哈密顿算符是：
q 1 2qB q 2 ˆ = 1 {p ˆ x2 + ( p ˆ y 2 − Bx ) + pz 2 } − ε qx = ˆ x2 + p ˆ y2 − H {p p y x + B x 2 + pz } − ε qx （ 2µ c 2µ c c
2 1 2 qB 2 x + p z ψ ( x ) − qε xψ ( x ) = Eψ ( x ) px + p y − 2u C
（5）
亦即，对于ψ ( x ) 来说， H 和 F 式等价：
H⇒ −
2 ∂ 2 q2B2 2 qB 1 2 2 + x − qε + py x + p y + pz 2 2 2u ∂ x uC 2u 2uC
iqf c
（3）
（证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P368 20 式）
ψ →e
iqf c ρ′= e ψ ρ′= ρ
ψ
iqf − = e c ψ ∗
（ 4）
则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后几率密度：
∗
iqf e c ψ
⋅ e ψ = ψ ∗ψ
iqf c
又设变换后几率流密度是 j ′ ，将（4）代入（2）式右方，同时又代入
A → A + ∇ f (r,t) 1 − j′ = e 2µ
iqf c iqf iqf − ψ ∗ pe c ψ − e c ψ Pe iqf c iqf iqf − q ψ ∗ − A + ∇ f ( r , t ) e c ψ ∗ e c ψ µc
其中 Py 和 Pz 为任意实数，
n = 0,1,2, ⋯
式（4）中 为以ψ ( x ) 为 ( x − x 0 ) 变量的一维谐振子能量本征函数，即
ψ ( x) = ψ
n
(x−
x0 ) = H n ( ξ ) e − ξ
2
2
（ 9）
H n ( ξ ) 为厄密多项式， ξ =
uω ( x − x0 ) =
（ 2）
ε = −∇ φ ，
粒子的 Hamiton 量为
2 1 2 qB 2 H= x + p z − qε x px + p y − 2u C
（ 3）
取守恒量完全集为 H , p y , p z ，它们的共同本征函数可写成
(
)
ψ ( x, y , z ) = ψ ( x ) e
i p y y + pz z
(
)
（4）
其中 Py 和 Pz 为本征值，可取任意函数。
ψ ( x, y, z ) 满足能量本证方程：
因此ψ ( x ) 满足方程
Hψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )
2 1 2 qB 2 x + p z ψ ( x ) − qε xψ ( x ) = Eψ ( x ) px + p y − 2u C
qB C
(x −
x0 ) 。
7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场 ε 和均匀磁场 B 中运动，求能级本征值和本征函数。 解：以电场方向为 x 轴，磁场方向为 z 轴，则
ε = ( ε ,0,0) ，
去电磁场的标势和矢势为
B = ( 0,0, B )
（1）
φ = −εx，
满足关系
A = ( 0, Bx,0 ) B= ∇ × A
（ 3）
取守恒量完全集为 H , p y , p z ，它们的共同本征函数可写成
(
)
ψ ( x, y , z ) = ψ ( x ) e
i p y y + pz z
(
)
（4）
其中 Py 和 Pz 为本征值，可取任意函数。
ψ ( x, y, z ) 满足能量本证方程：
因此ψ ( x ) 满足方程
Hψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )
µ v′ =
e
−
iqf c
命题得证 P382——7.4 7.1——3.13 7.2——3.12
7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场 ε 和均匀磁场 B 中运动，求能级本征值和本征。 （参《导论》 P 225 ） 解：以电场方向为 x 轴，磁场方向为 z 轴，则
ε = ( ε ,0,0) ，
去电磁场的标势和矢势为
=
∂ A y ∂ Ax − ∂y µ c i ∂x q
2
⋅
ˆ= ∇ （因 B ˆ × A）


其余二式依轮换对称写出。 P368 证明在规范变换下
ρ = ψ ∗ψ
1 ˆψ − ψ p ˆψ j= ψ ∗p 2µ
（ 1）
∗
[
] − µqc A ψ
∗
ψ
（2）
ˆ − q A µv = p （机械动量的平均值）都不变 c
− − q pe c = e c p − ∇ f c iqf iqf iqf iqf iqf iqf iqf iqf iqf
(
)
（6）
（ 7）
(8)
将（7）(8)代入（5）式等号右方第一项第二项，（5）式成为：
iqf iqf iqf 1 − iqf − q q q ∗ c c c c ( A + ∇ f )ψ ψ j= e ψ e p + ∇ f ψ − e ψ e p − ∇ f ψ − 2µ c c µc 1 q = ψ ∗ pψ − ψ pψ ∗ − Aψ ψ ∗ = j 2µ µc ∗
B = ( 0,0, B ) A = ( 0, Bx,0 ) B= ∇ × A
（1）
φ = −εx，
满足关系
（ 2）
ε = −∇ φ ，
粒子的 Hamiton 量为
2 1 2 qB 2 H= x + p z − qε x px + p y − 2u C