中考数学-二次函数在闭区间上的最值-轴变区间定
二次函数在闭区间上的最值问题.45
-3 -2 -1o 1
x
x
y
3 2
1
-3 -2 -1 1 Fra bibliotek 3o
-1
x
-2
-3
-4
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[m,n]上的最值一般分对称轴在区间的左、中、右三 种情况进行讨论：
y
类别 最小值 最大值
b m 2a
f (m)
b 2a
，+
∞）上，单调递增
y
（2）二次函数y=ax²+bx+c (a<0)
b
o
x
对称轴
x 2a
顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
在（-∞， b)上，单调递增；在（ b ，+ ∞）上，单调递减。
2a
2a
三。应用举例：
如果我们俩个到对
例1：求下列二次函数在指定闭区间上的最称轴值的距离相等，
递减，如图：
所以f(x)min=f(-2)=-3 f(x)max=f(-3)=0
y
-3 -2 -1 o1
x
y
(2)如图： f(x)min=f(-1)=-4；
f(x)max=f(1)=0
y
（3）如图： f(x)min=f(0)=-3； f(x)max=f(2)=5
--32
-1
1o2
如果我们俩个到 对称轴的距离相 等，则我们的函 数值也相等，离 对称轴越远，我 们的函数值越大
2、二次函数的图像和性质
y
（1）二次函数y= ax²+bx+c(a>0)
二次函数在闭区间上的最值-练习题带解析答案
二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[，]上f x ()的最值：（）当[]-∈b am n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac ba f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（）当[]-∉ba m n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n ()若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n ()当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（）轴定，区间定；（）轴定，区间变；（）轴变，区间定；（）轴变，区间变。
. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例. 函数y x x =-+-242在区间[，]上的最大值是，最小值是。
解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[，]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（，），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［，］上，如图所示。
函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。
图练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
例谈二次函数在闭区间上的最值问题
例谈二次函数在闭区间上的最值问题作者：何英林来源：《中学教学参考·理科版》2010年第03期二次函数是高中数学中最基本也最重要的内容之一,而二次函数在某一区间上的最值问题,是初中二次函数内容的继续,随着区间的确定或变化,以及系数中参变数的变化,它又成为高考数学的热点.一、求定二次函数在定区间上的最值当二次函数的区间和对称轴都确定时,要将函数式配方,再根据对称轴和区间的关系,结合函数在区间上的单调性,求其最值.【例1】已知2x2≤3x,求函数f(x)=x2-x+1的最值.解:由已知2x2≤3x,可得0≤x≤32,即函数f(x)是定义在区间[0,32]上的二次函数,将二次函数配方得f(x)=(x-12)2+34,其图象开口向上,且对称轴方程x=12∈[0,32],故二、求动二次函数在定区间上的最值当二次函数的区间确定而对称轴变化时,应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分别讨论,再利用二次函数的示意图,结合其单调性求解.【例2】已知二次函数f(x)=ax2+4ax+a2-1在区间[-4,1]上的最大值是5,求实数a的值.解:将二次函数配方得f(x)=a(x+2)2+a2-4a-1,其对称轴方程为x=-2,顶点坐标为(-2,a2-4a-1),图象开口方向由a决定,很明显,其顶点横坐标在区间[-4,1]上.若a2-4a-1=5,解得a=2-10(a=2+10舍去);若a>0,则函数图象开口向上,当x=1时,函数取得最大值5,即f(1)=5a+a2-1=5,解得a=1(a=-6舍去).综上讨论,函数f(x)在区间[-4,1]上取得最大值5时,a=2-10或a=1.三、求定二次函数在动区间上的最值当二次函数的对称轴确定而区间在变化时,只需对动区间能否包含抛物线的顶点的横坐标进行分类讨论.【例3】已知函数f(x)=-x2+8x,求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值g(t).解:函数f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,其对称轴方程为x=4,顶点坐标为(4,16),其图象开口向下.(1)当顶点横坐标在区间[t,t+1]右侧时,有t+12+8(t+1)=-t2+6t+7.(2)当顶点横坐标在区间[t,t+1]上时,有t≤4≤t+1,即3≤t≤4,当x=4时,g(t)=f(4)=16.(3)当顶点横坐标在区间[t,t+1]左侧时,有t>4,当x=t时,g(t)=f(t)=-t2+8t.综上,g(t)=-t2+6t+7,当t2+8t,当t>4时.四、求动二次函数在动区间上的最值当二次函数的区间和对称轴均在变化时,亦可根据对称轴在区间的左、右两侧及穿过区间三种情况讨论,并结合其图形和单调性处理.【例4】已知y2=4a(x-a)(a>0),且当x≥a时,S=(x-3)2+y2的最小值为4,求参数a的值.解:将y2=4a(x-a)代入S的表达式得S=(x-3)2+4a(x-a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.S是关于x的二次函数,其定义域为x∈[a,+∞),对称轴方程为x=3-2a,顶点坐标为(3-2a,12a-8a2),图象开口向上.若3-2a≥a,即02=4,此时a=1或a=12.若3-2a1,则当x=a时-(3-2a)]2+12a-8a2=4,此时a=5(a=1舍去).综上讨论,参变数a的取值为a=1或a=12或a=5.(责任编辑金铃)。
最全二次函数区间的最值问题(中考数学必考题型)
二次函数的最值问题二次函数的最值问题，是每年中考的必考题，也是考试难点，经常出现在压轴题的位置，解决二次函数的最值问题，特别是含参数的二次函数，一定要考虑二次函数的三个要素：开口方向，对称轴，自变量的取值范围，对于二次函数能够分析出三要素，二次函数的问题就迎刃而解了。
例1.对于二次函数342+-=x x y（1）求它的最小值和最大值.（2）当1≤x ≤4时，求它的最小值和最大值.（3）当-2≤x ≤1时，求它的最小值和最大值.（4）二次函数的最值与哪些因素有关？对于给定的范围，最值可能出现在哪些位置？练习1.二次函数y ＝x 2+2x ﹣5有（ ）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣5C ．最大值﹣6D ．最小值﹣6练习2.在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（ ）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0练习3若抛物线y ＝﹣x 2+4x +k 的最大值为3，则k ＝ ．练习4（多元消参，利用平方的性质确定自变量的取值范围）若实数a 、b 满足a +b 2＝2，则a 2+5b 2的最小值为 ．练习5如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求四边形OAPB 周长的最大值及点P 的横坐标练习6．（回归教材）如图，一张正方形纸板的边长为8cm ，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x （cm ），阴影部分的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围；（2）当x 取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．一、对开口方向（二次项前面系数）进行讨论例2.当 41≤≤x 时，二次函数a ax ax y 342+-= 的最大值等于6．求二次项系数a 的值练习1已知二次函数y ＝mx 2+2mx ﹣1（m ＞0）的最小值为﹣5，则m 的值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4练习2已知二次函数y ＝mx 2+（m 2﹣3）x +1，当x ＝﹣1时，y 取得最大值，则m ＝ ． 练习3已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，求m 的值二、对二次函数的对称轴的位置进行讨论例3.当 12≤≤x -时，二次函数a ax x y 342+-= 的最小值等于-1．求a 的值．变式1当﹣2≤x ≤1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，求实数m 的值．变式2当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．三、对二次函数的x 取值范围进行讨论例4.当 2+≤≤a x a 时，二次函数a x x y 342+-= 的最大值等于-6．求a 的值．练习1.当a ﹣1≤x ≤a 时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，求a 的值．练习2.若t ≤x ≤t +2时，二次函数y ＝2x 2+4x +1的最大值为31，求t 的值练习3.已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．练习4.设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．求函数y ＝x 2﹣4x ﹣4在区间[t ﹣2，t ﹣1]（t 为任意实数）上的最小值y min 的解析式．练习5.若关于x 的函数y ，当t ﹣≤x ≤t +时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h ＝，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．若函数y ＝﹣x 2+4x +k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．拓展：C 2的解析式为：y ＝a （x +2）2﹣3（a ＞0），当a ﹣4≤x ≤a ﹣2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．作业：1.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是2.若实数x ，y 满足x +y 2＝3，设s ＝x 2+8y 2，则s 的取值范围是 ．3.已知二次函数y ＝ax 2+4x +a ﹣1的最小值为2，则a 的值为 ．4.已知实数满足x 2+3x ﹣y ﹣3＝0，则x +y 的最小值是 ．5.若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣2≤x ≤1时的最大值为5，则m 的值为6.当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为7.已知二次函数y =122+-ax ax ，当30≤≤x 时，y 的最大值为2，则a 的值为8.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，则P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过多少秒钟，使△PBQ 的面积最大．9.设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．若二次函数y＝x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．（1）b＝；（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．11.已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．12.已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围．（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好，求m，n的值．。
二次函数在闭区间上的最值
如果我们俩个到 对称轴的距离相 等，则我们的函 数值也相等，离 对称轴越远，我 们的函数值越大
2、二次函数的图像和性质
y
（1）二次函数y= ax²+bx+c(a>0)
对称轴 x b
o
x
顶点坐标
2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
在（-∞，
b 2a
)上，单调递减；在（
递减，如图：
所以f(x)min=f(-2)=-3 f(x)max=f(-3)=0
y
-3 -2 -1 o1
x
y
(2)如图： f(x)min=f(-1)=-4；
f(x)max=f(1)=0
y
（3）如图： f(x)min=f(0)=-3； f(x)max=f(2)=5来自--32 -1
1o2
m b n f ( b )
2a
2a
b n 2a
f (n)
f (n)
f(m)与f(n)中 的较 大者
f (m)
m
o
n
x
例2：求二次函数f(x)=x2-2ax-3在闭区间[3,4]上的最小值。
解：如图可得：
y
1°当a<3时二次函数在[3，4]上单调递
增
∴2°f当(x3)m≦ina=≦f(34)时=6二-6次a 函数先减后增
解：这个函数的对称轴为x=1,
y
∴ 当1＜a时， f(x)min=f(a)=a2-2a+3 f(x)max=f(3)=6
∴ 当-1＜a≦1时，
f(x)min=f(1)=2 f(x)max=f(3)=6
3
二次函数在闭区间上的最值问题分析与求解
二次函数在闭区间上的最值问题分析与求解摘要二次函数在闭区间上的最值问题，有四种类型：（1）定轴，定区间；（2）定轴，动区间；（3）动轴，定区间；（4）动轴，动区间。
文章对此进行了探讨。
关键词函数最值分析求解中图分类号：u174 文献标识码：aproblem analysis and solving of the most value of quadratic function on the closed intervalliu huiwen, liu ying([1] jiangsu yancheng technicians’ college, yancheng,jiangsu 224002;[2] mathematics department, southeast university, nanjing, jiangsu 211189)abstract quadratic function on the closed interval of themost value problem, there are four types: （1）fixed axis,the given interval; （2） fixed axis, dynamic range; （3）moving axes, fixed interval; （4）moving axes, fixedinterval.the paper talks about this issue.key words most value of function; analysis; solving二次函数是中学数学最基本、最重要的函数，是中学数学函数内容中的核心知识之一。
特别是：二次函数最值，它已渗透高中数学过程各个环节，是历年普通高考、对口高考重点、热点考题。
事实上，二次函数最值与抛物线开口方向、定义区间及对称轴有一定关系：当三者确定时，结合图象最值容易求出；倘若三者中有不确定因素，往往需要配方、分类讨论与数形结合。
二次函数在闭区间上的最值单调性应用
二次函数在闭区间上的最值
香城中学数学组
轴定区间定时的值域与最值
例1、已知函数f(x)= x2–2x –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；
y
–2 0 1
3
x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. （1）若x∈[ –2，0 ]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
y
（4）若x∈[ 1 , 3]，求
22
函数f(x)的最值；
（5）若x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)的最值.
x
例3、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1，2]上的最值.
y
–1 0 1 2
x
例3、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1，2]上的最值.
y
–1 0 1 2
x
例3、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1，2]上的最值.
y
–1 0 1 2
y
–1 0 1 2 3 4 x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[ –2，0]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ],求
y
22
函数f(x)的最值；
1
5
高一数学二次函数在闭区间上的最值
高一数学：二次函数在闭区间上的最值
一、知识要点
二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论.一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
二、例题分析归类:
（一）正向型
正向型是指已知二次函数和定义域区间,求其最值.
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成
为解决这类问题的关键.此类问题包括以下四种情形:
（1）轴定,区间定;
（2）轴定,区间变;
（3）轴变,区间定;
（4）轴变,区间变.
1：轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”.
2：轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”.
3：轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图像是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.
4：轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”.
（二）逆向型
逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值.。
二次函数在闭区间上的最值问题
解和重视，更是对体育事业的关怀。因此。在设计和建造上要
力求与校园环境及学校的办学特色和谐。 （３）发展好校园媒体，引导学生现场观赏。高校应该加强高 校体育竞赛的宣传力度，拓展宣传方式，扩大社会和校园影响
２００９．Ｎ０２２＠
万方数据
二次函数在闭区间上的最值问题
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 杨家丽 重庆市第十一中学 科学咨询 SCIENTIFIC CONSULT 2009(22)
轴ｘ＝３－２ａ 讨论：（１）当３－２ａ＜ａ，即ａ＞ｌ时，ｆ（ｘ）…＝ｆ（ａ）＝（ａ一３）２ （２）当３＿２ａ＞ａ，即Ｏ＜ａ＜１时，ｆ（ｘ）。；。＝ｆ（３－２ａ）＝１２ａ－８ａ２ 所以
ｒ１
２
关系讨论，由数形结合可知函数在区间上的最大值与最小值。
例２：不等式９ｘ２－６ａｘ＋ａ２－２ａ＿６＞０在－１／３＜ｘ＜１／Ｓ内恒成 立，求实数ａ的取值范围。
二次函数在某闭区间上的最值问题是高考考查的重点内容 之一，备受命题者的青睐。但学生在初学时，往往会感到错综复
杂，难以把握。其实，这类问题的关键在于函数对称轴与给定区 间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边、中
间、右边三种情况。本文将从下面四种类型加以归纳：轴定区间 定；轴动区间定；轴定区间动；轴动区间动。 一、轴定区间定
（２）当一１／３＜ａ／３＜１／３，即一１＜ａ＜１时，ｆ（ｘ）。＝ｆ（ａ／３）一
２ａ＿６，由－２ａ＿６＞０得ａ＜－３，与ａ∈［＿１，１】矛盾，合去。
的情操、价值观等。这些物质会折射人人们的心灵，对人起到 一种潜移默化的陶冶作用。 （２）注重体育场馆的设计理念。体育场馆不仅是学校开展 体育教学和进行体育比赛的重要场所，也是一所高校的标志 性建筑，是校园功能结构和基础设施的重要组成部分，是学校 建筑环境的亮点，体育馆的修建给学校的环境增加不少光环。 体育馆建设体现出来的是一所学校对学校体育教学设施的理
中考热点,二次函数区间范围的最值问题
中考热点，二次函数区间范围的最值问题二次函数最值问题的重要性毋庸置疑，其贯穿了整个中学数学，是中学数学的重要内容之一，也是学好中学数学必须攻克的极为重要的问题之一。
二次函数在闭区间上的最值问题是二次函数最值问题的典型代表，其问题类型通常包括不含参数和含参数二次函数在闭区间上的最值问题、二次函数在闭区间上的最值逆向性问题以及可转化为二次函数在闭区间上最值的问题，在此类问题的解决过程中，涉及数形结合、分类讨论等重要数学思想与方法。
中考中多涉及到含参数二次函数在闭区间上的最值问题，很多学生不习惯数形结合及分类讨论思想的运用，导致解题失误或错误。
类型1 求解自变量在不同区间里二次函数最值1．（2019•大兴区一模）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当自变量x满足﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是．【解析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量x在﹣2≤x≤1的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值．∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，∴当x＝1时，函数有最小值2，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为：（﹣1﹣1）2+2＝6，故答案为6．2．（2019•新华区校级自主招生）已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2【解析】：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，2），与y轴的交点为（0，3）.其大致图象如图所示：由对称性可知，当y＝3时，x＝0或x＝2，∵二次函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，∴1≤m≤2．故选：C．3．（2019•郑州模拟）二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝．【解析】：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4，∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，﹣2≤x≤3，y随x的增大而增大，∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．4．（2019•邯郸模拟）对于题目“二次函数y＝3/4（x﹣m）2+m，当2m﹣3≤x≤2m时，y的最小值是1，求m的值．”甲的结果是m＝1，乙的结果是m ＝﹣2，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【解析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可求得答案，然后判断即可．二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜2m﹣3时，即m＞3，y的最小值是当x＝2m﹣3时的函数值，此时3/4（2m﹣3﹣m）2+m＝1，因为方程无解，故m值不存在；②当2m﹣3≤m≤2m时，即0≤m≤3时，二次函数有最小值1，此时，m＝1，③当m＞2m时，即m＜0，y的最小值是当x＝2m时的函数值，此时，3/4（2m﹣m）2+m＝1，解得m＝﹣2或m＝2/3，∵m＜0，∴m＝﹣2,所以甲、乙的结果合在一起正确，故选：C．类型2 二次函数区间最值解决实际问题利用二次函数解决实际问题，最常见的为利润问题和费用最低等问题，首先根据题中常见的等量关系建立二次函数模型，然后利用二次函数确定最值，注意要考虑自变量在实际问题中的取值范围。
高一数学解题技巧7：二次函数在闭区间上的最值或值域的求解
高一数学解题技巧7：二次函数在闭区间上的最值或值域的求
解
二次函数是重要的初等函数之一，很多问题都要化归为二次函数来求解。
二次函数在闭区间的最值（值域）求解也是高考的重难点内容之一。
一、定轴定区间：此类问题结合相应的二次函数的图象即可求解
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二、定轴动区间：函数确定，但区间不确定，故需以对称轴与区间不同位置分类讨论
求最大值与求最小值分类讨论的情况一样吗？
三、动轴定区间：区间确定，而函数不确定。
故需以对称轴与区间不同位置分类讨论
无论哪种类型，同学们只需要紧紧抓住“区间与对称轴的相对位置”这一核心即可，要注意分类讨论与数形结合
新天鹅堡夏季，全景，alp湖，fuessenthannheimer山脉，allgaeubavaria。
专题1二次函数在闭区间上的最值
专题1：二次函数在闭区间上的最值教学目标：数形结合解决二次函数在闭区间上的最值；对称轴、区间含参的讨论。
例1：作出下列函数的图象，并求其值域。
①[]0,2,2)(2-∈-=x x x x f ； ②[]5,2,2)(2∈-=x x x x f ；③[]2,1,2)(2-∈-=x x x x f ； ④[]0,2,2)(2-∈+-=x x x x f ；⑤[]5,2,2)(2∈+-=x x x x f ； ⑥[]2,1,2)(2-∈+-=x x x x f 。
规律：二次函数在闭区间上的最值只可能于顶点或左右端点处取得。
可结合草图单调性探求。
例2：已知函数34)(2+-=ax x x f ，[]2,0∈x （R a ∈），记)(x f 的最小值为)(a m ，求)(a m 的解析式。
思考：写出)(x f 的最大值)(a M 的解析式。
练习：已知函数224444)(a a ax x x f --+-=在[]1,0内有最大值－5，求a 的值。
例3：已知函数34)(2+-=x x x f ，[]a x ,0∈（其中0>a ），求)(x f 的值域。
例3变式：已知函数34)(2+-=x x x f ，[]2,+∈a a x ，求)(x f 的最小值)(a m 的解析式。
思考：写出)(x f 的最大值)(a M 的解析式。
练习及作业：1． 已知131≤≤a ，若12)(2+-=x ax x f 在[]3,1上的最大值为)(a M ，最小值为)(a m 。
令)()()(a m a M a g -=，求)(a g 的解析式。
（见金试卷11）2． 二次函数b ax ax x f ++-=22)(2在[]3,2上有最大值5和最小值2，求a 、b 的值。
二次恒成立问题：3． 已知函数t x x x f +-=2)(2在[]2,1-上满足0)(≥x f 恒成立，求t 的取值范围。
4． 若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。
浅析二次函数区间内最值问题
2019摘要：二次函数区间的考查是中考考查的重点，充分理解二次函数的图像与性质，进行合情的推理，利用数形结合和分类讨论等方法解决此类问题是学生必须掌握的核心知识点。
特别是含参数二次函数或含参数区间的数学问题是近年来中考压轴题的新亮点，对含参数的题目许多学生束手无策，对这类题型进行归纳、专题复习显得尤为重要。
关键词：二次函数区间分类讨论参数二次函数是每年各地中考压轴题的重要题型，特别是含参数二次函数或含参数区间内容是近年中考热点。
数字运算过渡到字母参与运算也是初中学生的弱点。
二次函数的题型多变，具有较强的灵活性和综合性，具有较高的区分度，使初中学生对这方面深入探究，有利于为学生进入高中继续学习奠定良好的基础。
内容有二次函数的图像与性质、函数的增减性、开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的最值。
对该知识深入探究，有利于培养和提高学生的逻辑思维能力、空间想象能力、发现问题能力、解决问题能力和创新能力。
一、定二次函数与参数区间的函数问题1.定二次函数与参数区间问题。
例1（2018瑶海区二模）已知：二次函数y =-x 2+2x +3，当m ≤x ≤m +3，y 的取值范围是0≤y ≤4，则m 的值为_____。
问题解决：方法一：先将二次函数一般式利用配方法转化为顶点式，结合y 的取值范围与对称轴可得关于m 的一元一次不等式组，即可得m 取值范围。
令y =0可得x 值，结合m ≤x ≤m +3时，y 的取值范围是0≤y ≤4，即可得m 值。
方法二：也可用画出图像分析解题，因为区间距离为3，函数值0≤y ≤4确定，利用二次函数图像点坐标的特征，适当平移区间结合图像找出m 可能的值。
评析：此问题定解析式变区间，把一般式转化成顶点式，关键抓住对称轴和函数值关系，考查配方法、不等式组、一元二次方程等，题目涵盖的思想有转化思想、方程思想、不等式思想、分类讨论思想、“平移”思想。
变式：已知二次函数y =-x 2+2x +3，当m ≤x ≤3，y 的取值范围是0≤y ≤4，则m 取值范围为__________。
小问题大用处：高中数学小问题集中营：专题三 二次函数在闭区间上的最值 含解析
一、问题的提出二次函数是中学阶段研究最深入、最完备的一类函数,虽然是初中所学内容,却一直是高考与各类数学竞赛中的热点与难点,很多创新试题都是以二次函数为载体命制的.尤其是二次函数在闭区间上的最值,是二次函数中难度较大且考查频率较高的一个知识点,本专题对此作一些探讨.二、问题的探源1。
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型,解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；求解二次函数在闭区间上的最值问题,解题的关键都是抓住“三点一轴”,“三点"即区间两端点与区间中点,“一轴"即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴",只不过讨论要复杂一些而已．2.对于“动轴定区间”问题,一般分两大类：①若轴在区间左边或右边,则直接依单调性可解;②若轴在区间中，则最值在顶点及区间端点取得（有时需要比较区间端点的函数值，从而进行二次分类)．．3.函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得； 设()()2f x axbx c 0a 0=++=>，则二次函数在闭区间[]m,n 上的最大、最小值有如下的分布情况:b m n 2a<<-bm n 2a<-<即[]n m ab,2∈-bm n 2a-<< 值对于开口向下的情况，讨论类似.其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论： （1）若[]n m ab,2∈-，则()()()max b f x max f m ,f ,f n 2a ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,()()()min b f x min f m ,f ,f n 2a ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭;（2）若[]bm,n 2a -∉,则()()(){}maxf x max f m ,f n =,()()(){}min f x min f m ,f n =当对称轴位于区间之间时,考虑最值时需考虑对称轴在区间的左边或右边,往往通过比较对称轴b 2a -与区间中点m n 2+的大小来判断。
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中考数学
二次函数在闭区间上的最值-轴变区间定
一、 知识要点：
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设f x a x b xc a ()()=++≠2
0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b a
a c
b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：
（1）当[]
-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉b a
m n 2，时 若-<b a
m 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a
<-2，由f x ()在[]
m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
【例题分析归类】----正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
3、轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x a x ()=++2
3的最值。
解：由已知有-≤≤≥112x a ，，于是函数f x ()是定义在区间[]
-11，上的二次函数，
将f x ()配方得：f x x a a ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-23422 二次函数f x ()的对称轴方程是x a =-2顶点坐标为--⎛⎝ ⎫⎭⎪a a 2
342，，图象开口向上 由a ≥2可得x a =-≤-2
1，显然其顶点横坐标在区间[]
-11，的左侧或左端点上。
函数的最小值是f a ()-=-14，最大值是f a ()14=+。
图3
例5. (1) 求2
f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。
解：(1)二次函数的对称轴方程为x a =-， 当1a 2-<即1a 2>-
时，max f (x )f (2)4a 5==+； 当1a 2-≥即1a 2≤-时，max f (x )f (1)2a 2=-=+。
综上所述：max 12a 2,a 2f (x )14a 5,a 2
⎧-+≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩。
(2)函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分12
1≤≤-a ，12-<a ，12>a 即22≤≤-a ，2-<a 和2>a 这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）2-<a ；由图可知max ()(1)f x f =-
（2）a ≤-22≤；由图可知max ()()2
a f x f =
（3） 2>a 时；由图可知max ()(1)f x f =
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=2,)1(22,)2(2,)1(a f a a f a f y 最大；即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2
,122,42,)1(2a a a a a a y 最大。