高等数学曲面及其方程精选课件PPT

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一、曲面方程的概念 平面解析几何中
如果某曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0 的解建立了如下的关系： (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，
那么，这个方程叫做曲线的方程， 这条曲线叫做方程的曲线。
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空间解析几何中
z
任何曲面都可以看作是点的几何轨迹. F x ,y,z 0
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
x
D
2
y
E
2
z
F
2
D2
E2
F2
G
2A 2A 2A
4A
特点：(1) x2, y2, z2项系数相同;
(2) 缺 xy , yz , zx 项.
其图形可能是一个球面，或点，或虚轨迹.
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以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
•4.两向量的夹角 cos a b
ab
1
i jk •5.两向量的向量积 a b a x a y az
bx by bz
•6.两向量互相平行垂直的条件
a // b a b 0 a x a y az bx by bz
a b a b 0 axbx a yby azbz 0
（讨论柱面、二次曲面）
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线分 别称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
解 设轨迹上的动点为M(x,y,z)
z
则 M0MR
M x,y,z
•
即 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R
R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 (2)
M 0 x0 , •y0 , z0
就是以 M 0 x 0,y 0,z0为球心 ,
o
y
半径为 R 的球面方程.
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
•复习
z
•1. 空间直角坐标系
•M•(x,y,z)
•2. 两点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 )
•间的距离公式为
x
d ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
O
y
•右手系
•3.两向量的数量积
a b a b cos
a b axbx a yby azbz
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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1、yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
•7. 向量的混合积
ax ay az
a , b , c a b c bx by bz
cx cy cz
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卫星接收装置 (旋转抛物面)
•化工厂或热电厂的冷却塔 • (旋转双曲面)
.
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第三节 曲面及其方程
➢ 一、曲面方程的概念 ➢ 二、旋转曲面 ➢ 三、柱面 ➢ 四、二次曲面
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
曲面 S 与三元方程
S
F x ,y,z0 (1)
y
有下述关系：
xo
① 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);
② 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),
则方程(1)就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程(1)的图形.
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以下给出几例常见的曲面.
例1 求到点M0 (x0, y0, z0) 的距离等于R的点的轨迹方程.
B•
整理得 2 x 6 y 2 z 7 0
即为所求点的轨迹方程. 线段AB 的垂直平分面.
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例3 方程 x 2 y 2 z2 2 x 4 y 0表示怎样的曲面?
解 配方得 x 1 2 y 2 2 z 2 5 .
原方程表示球心在点M 01 , 2,0 ,半径为 R 5 的球面.
一般地，三元二次方程 A 2 A x 2 A y 2 D z E x F y G z 0
x
若球心在原点，则 x0y0z00,球面的方程为
x 2 y2 z 2 R2 (3)
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例2 求到A (1,2,3),B(2,-1,4)两点距离相等的点的轨迹方程.
解： 设轨迹上的动点为M(x,y,z)
A•
M'
•
有 MA MB
即 x 1 2 y 2 2 z 3 2
•
•M
x 2 2 y 1 2 z 4 2