小学六年级培优教程工程问题
六年级上册培优工程问题专项练习及解析
科技改变学习 2020小升初专题练习乙轮流做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的．那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的．如果设甲、乙工作效率分别为V 1和V 2，那么=+V V V 21121，所以=V V 212，乙单独做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍，所以甲单独做需要÷=1728.5天．2、一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【解析】 ① 若甲、乙两人合作共需多少小时？ ⎝⎭⎪÷+=÷=⎛⎫12183651171151（小时）． ②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？ ⎝⎭⎪−⨯+=−=⎛⎫1218363617111351． ③余下的361由甲独做需要多少小时？ ÷=36123111（小时）． ④共用了多少小时？ ⨯+=33721411（小时）．3、蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有61的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？【解析】 甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：−+−=34566011117，循环5次后水池还空：−−⨯=660415171，41的工作量由甲管注水需要：÷=434113(小时)，所以经过⨯+=44452033小时后水开始溢出水池．六年级上册培优工程问题专项练习及解析1、一项工程，乙单独做要17天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？【解析】甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、。
六年级【小升初】小学数学专题课程《工程问题》(含答案)
18.工程问题知识要点梳理一、基本概念1．工程问题：做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等，都叫做工程问题。
2．工程问题的三个基本量是工作效率、工作时间和工作总量。
（1）工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。
（2）工作时间：完成工作总量所需的时间。
（3）工作总量：完成一项工作的总量。
一般都是把工作总量看做单位“1”。
二、基本数量关系1．一般公式：工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。
2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。
我们把工作总量假设为单位“1”，这个巧解方法的公式有：（1）一般给出工作时间，工作效率＝1工作时间。
（2）一般给出工作效率1a，就可以知道工作时间为a。
三、基本方法算术方法、比例方法、方程方法。
考点精讲分析典例精讲考点1 简单的工程问题【例1】一件工作，甲单独10天完成，乙单独15天完成，甲乙合做（）天完成。
【精析】根据题意，把这件工作总量看作单位“1”，甲的工作效率是110，乙的工作效率是115，甲、乙的工作效率和是110+115，再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。
【答案】 把这件工作总量看作单位“1”， 1÷(110+115)=1÷3+230=1÷16=6（天）【归纳总结】 此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，要求甲乙合做需要多少天可以完成，应求出甲乙工作效率和。
考点2 合作工程问题【例2】 一件工作，甲、乙合作需4小时完成，甲、丙合作需5小时完成，乙、丙合作需6小时完成，乙单独做这件工作需多少个小时完成？【精析】 首先把这件工作看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙、甲丙、乙丙的工作效率，再把它们求和，即可求出三人的工作效率之和的2倍，进而求出三人的工作效率之和是多少；然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率，求出乙的工作效率；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。
【精品原创】六年级奥数培优教程讲义第10讲-一般工程问题(教师版)
第10讲 工程问题了解工作量、工作时间及工作效率的意思；能够从题目中找出工作量、工作时间及工作效率；理解三者之间的关系，并用三者关系解题。
工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
然而其内容已不仅是工程方面的，还包括水管注水、行路等许多方面。
工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式： 工作量=工作效率×工作时间工作时间=工作量÷工作效率工作效率=工作量÷工作时间工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用单位“1”表示；也可是部分工作量，常用分数表示。
例如，工程的一半表示成12，工程的三分之一表示成13。
工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干的工作量。
工作效率的单位是一个复合单位，用“工作量／天”或“工作量／时”等表示。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量。
在解答工程问题时，我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1”；二是由于工作总量为“1”，那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队）单独做的工作时间的倒数表示。
知识梳理教学目标考点一：用“组合法”解工程问题在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径例1、一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的7 30，乙队单独完成全部工程需要几天？【解析】此题已知甲、乙两队的工作效率和是115，只要求出甲队或乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量730－115×3＝130，从而求出甲队的工作效率。
小学六年级数学培优提升 第十课 工程问题 二
第十课 工程问题 二一、真题练习1、 一件工作，甲单独完成需要8天，乙的工作效率是甲的2倍，两人同时合作，几天能完成这件工作？2、 一项工程，甲队独做要20天完成，乙队独做要5天能完成全工程的61。
现由两队合做，多少天可以完成？3、 修一条水渠，甲队3天可以修全长的101，乙队单独修20天可以修完，如果两队合修，多少天可以修完？4、 一条公路长1500米，单独修好甲要15天，乙要10天，两队合修需几天才能完成？5、 师徒共同完成一件工作，徒弟独做20天完成，比师傅多用4天完成，如果师徒合作需几天完成？二、能力提升解题思路：1、有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。
2、周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。
解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。
其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。
（一）例题讲解例1、甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。
中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。
如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？解析：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。
由此可知，甲3天的工作量相当于这批零件的2÷8=1/4。
得出甲需要3÷[（10-8）÷8]=12（天）例2、一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。
若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？ 解析：此为周期工程问题。
1个周期中甲、乙分别工作1小时，周期效率为)181121(+，13617)181121( =+÷，即7个完整的工作周期后，还剩361，而后轮到甲继续做，用了31121361=÷小时。
六年级【下】数学-小升初培优：工程问题2 全国通用实用课件
甲乙工效和 1 1 11 10 12 60
甲乙4天工作量 11 4 11 60 15
即甲乙4天完成这批玩具的11/15 ，则剩下的占这批玩具的（1-11/15）
玩具总数 256(111)96(件 0) 15
甲组工效 ：960÷10=96（件）
乙组工效 ：960÷12=80（件） 合作天数 ：960÷（96+80+64）=4（天）
剩下工作所需时间 (12)9(11)1(0天 ) 30 506011
完成工程需要的天数： 35103510(天)
11
11 答：完成这项工程要 35
10 11
天
休息与周期： 1.已知条件的顺序：先工效，再周期；先周期，再天数 2.天数：近似天数；准确天数 3.估算周期，注意顺序
1个 周 期 的 工 作 量 ： 15=1
5
5 36 36
余下的 1 的工作量由甲做： 36
1 1 =1小时 36 12 3
721=141小时 33
还有其他方法吗？
把2小时的工作量看做一个循环，先估算循环的次数。
① 需循环的次数为：
1( 1 1)7个周期 12 18
②
7个循环后剩下的工作量是：
又已知该批零件总量为单位1 →问题转化为求师徒二人各自的工效
3.关键：师傅先做5天接着徒弟做3天 转化为 师徒合作3天接着师傅再做2天
例2.师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务。师
傅先做5天后因事外出，由徒弟接着做3天，共完成任务
的7/10。如果每人单独做这批零件各需几天？
师徒工效和 1 6
答：如果由甲乙丙三队合作需8天完成。如果由甲队单独完成需17 1 天。 7
例2.师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任 务。师傅先做5天后因事外出，由徒弟接着做3 天，共完成任务的7/10。如果每人单独做这批 零件各需几天？
工程问题(六年级)
第五讲工程问题(1)一、训练目标知识传递：明确单位“1”，及工作时间、工作效率、工作总量的关系。
能力强化：分析能力、综合能力。
思想方法：假设思想、比较思想、对比思想。
二、知识与方法归纳解答工程问题，首先要明确把什么看作单位“1”，再找出完成这个单位“1”的量所需要的时间，从而直接得到“工作效率”。
把“一项工程”、“一段路”、“一批零件”、“一份稿件”、“一个水池”等等这些没有告诉具体数量的工作量看作单位“1”，几天完成，也就是把这个单位“1”平均分成几份，每天完成几分之几，也就是工作效率。
在解答工程问题时，要充分利用“工作效率×工作时间=工作总量”这个关系。
运用常用的数学思想及解题方法，如：假设法、转换法、代换法、列举法等来解答工程问题，只要恰当地选择解题方法，很多问题就迎刃而解了。
三、经典例题例1：一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。
①甲队每天完成这项工程的( )( )，乙队每天完成这项工程的( )( )。
②甲、乙两队合做，每天完成这项工程( ) ( )。
③甲、乙合做，（）天可以完成这项工程。
④甲、乙合做4天后，还剩下全工程的( ) ( )。
例2：打扫多功能教室，甲组同学13小时可以打扫完，乙组同学14小时可以打扫完，如果甲、乙合做，多少小时能打扫完整个教室？解：答：甲、乙合做，小时能打扫完整个教室。
例3：一批布料，做上衣可以做20件，如果做裤子可以做30条，这批布料可以做多少套衣服？解：答：这批布料可以做套衣服。
例4：打印一份稿件，甲单独打4小时打了这份稿件的13，乙接着又打了2小时，又打了这份稿件的14，剩余的甲乙共同打，还需几小时？解：答：剩余的甲乙共同打，还需小时。
例5：一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成。
这件工作，先由甲做了若干天，然后乙继续做完，从开始到完工共用了14天，问甲乙两人各做了多少天？解：答：甲做了天，乙做了天。
例6：修一段公路，甲队单独做要用40天，乙队单独做要用24天。
全国通用版 六年级春季奥数培优讲义 6-05-真题汇编-工程问题-学生专用
第5讲 工程问题【学习目标】1、复习工程问题；2、熟悉小升初的常见题型。
【知识梳理】1、基础公式：（1）工作量=工作效率×工作时间；（2）工作时间=工作量÷工作效率；（3）工作效率=工作量÷工作时间。
2、常用方法：（1）分工法；（2）比例法。
【典例精析】1、修一条公路，计划每天修60米，实际每天多修15米，结果提前4天修完，一共修了多少米？2、有一批零件由甲、乙两人合作完成，原计划甲比乙多做50个，结果乙实际做的比计划少70个，比甲实际做的总数的53多10个，这批零件共有多少个？3、一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成。
现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过27天才完成。
甲休息了多少天？4、单独完成某路段维修工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。
开始三个队一起开工，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。
问：甲队实际工作了几天？5、加工一批零件，甲、乙两人合作需要12天完成，现在由甲先做3天，然后由乙做2天，还6、加工一批服装，原计划甲、乙两车间在25天合作完成，甲、乙合作10天后，甲单独做8天，接着乙又单独做14天，这样共完成全部任务的81%,已知甲比乙每天多做10套，求计划加工多少套服装？7、甲、乙、丙合作一项工程，4天干了整个工程的31,这4天内，除丙外，甲休息了2天，乙休息了3天，之后三人合作完成，甲的效率是丙的3倍，乙的效率是丙的2倍，问工程前后一共用了多少天？8、甲、乙、丙三人去完成植树任务，已知甲植1棵树的时间，乙可以植2棵树，丙可以植3棵树，他们先一起工作了5天，完成全部任务的31,然后丙休息了8天，乙休息了3天，甲没休息，最后一起完成任务。
从开始植树算起，共用了多少天才完成任务？9、甲、乙、丙三人合着做一项工程，甲、乙合作6天完成31,乙、丙合作2天完成余下工程的41,剩下的再由甲、乙、丙三人合作5天完成，共领工程款18000元，按工作量分配，甲应得多少元？10、一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由甲、丙合作需要12天完成。
六年级数学思维美培优综合教案之工程问题(一)(A版)第二大课时
工程问题（一）（A 版）第二大课时自主学习一例3:移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的1611没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。
共要移栽西红柿苗多少棵？思路导航：把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥哥、弟弟合栽了1 小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
随堂练习1、加工一批机器零件，师、徒合做12小时可以完成。
先由师傅加工8小时，接着再由徒弟加工6小时，共加工了这批零件的53，已知师傅每小时比徒弟多做10个零件。
这批零件共有多少个？2、修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。
先由甲队修5天，再由乙队修3天，还剩这条公路的103没有修。
已知甲队每天比乙队多修20米。
这条公路全长多少米？3、修一段公路，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。
两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。
这段公路全长多少米？自主学习二例4:一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。
如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的32;如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的2小时。
如果由甲、丙合做，需几小时完成？思路导航：将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的32”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的32,则求出甲的工作效率。
同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
变式练习1、一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。
如果甲做4小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的1813;如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的1811。
这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？1、一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。
现在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。
乙独做这项工程要几天就可以完成？达标检测1、加工一批零件，甲单独做要6小时完成，乙单独做要8小时完成，丙单独做要10小完成。
六年级下册数学教学设计-同步培优：6.1简单的工程问题 北师大版
六年级下册数学教学设计-同步培优：6.1简单的工程问题北师大版一、教学目标本课时的主要教学目标是让学生掌握简单的工程问题的解法方法，理解工程问题涉及的基本概念，掌握常见的单位换算方法，提高学生对数学应用的认知和理解能力，同时培养学生合作学习的意识。
二、教学内容1. 工程问题的定义工程问题是指在工程实践中出现的、需要用数学方法解决的问题。
如：土方开挖、混凝土浇筑、建筑面积计算等。
2. 工程问题的求解方法(1) 加减法在工程问题中，往往需要进行加减法运算。
如：某个工地的土方总量为1200立方米，目前已挖出800立方米，求还需挖多少。
(2) 乘除法在工程问题中，往往需要进行乘除法运算。
如：某地的污水回用率为80%，如果清理过程损耗12%，则实际回用率为多少？(3) 常见单位换算在工程问题中，常见的单位有：长度(unit: 米m、分米dm、厘米cm、毫米mm)、面积(unit: 平方米m²、平方分米dm²、平方厘米cm²)、体积(unit: 立方米m³、立方分米dm³、立方厘米cm³)、重量(unit: 千克kg、克g、毫克mg)等。
3. 实例分析通过实例分析工程问题的解法，帮助学生更好地理解和掌握工程问题的求解方法。
如：某个工地需要用10立方米的水泥浆，每袋水泥浆可以制作0.05立方米，需要购买多少袋水泥浆？三、教学过程1. 导入新知识通过引导学生讨论工程问题的定义，了解工程问题在实际生活中的应用价值，引起学生学习工程问题的兴趣。
2. 知识讲解通过演示教学、白板授课等方式，讲解工程问题的求解方法、常见单位换算，并通过具体实例进行讲解。
3. 练习与评价组织学生进行小组合作，完成练习题并相互核对。
布置课后作业，把学生对所学新知识的掌握情况进行检验。
四、教学反思本课时的教与学结合，利用实例讲解使得学生能够大量接触典型问题，通过练习题和课后作业，学生的知识点掌握情况逐步得到了提高。
全国通用六年级下册数学培优课件6.11工程问题 (共8张PPT)
们常常将全部工程看作单位“1”，于是
工作效率＝
1
，然后再根据工作总
工作时间
量、工作效率和工作时间这三个量的关系解
题。
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月10日星期日2022/4/102022/4/102022/4/10 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/102022/4/102022/4/104/10/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/102022/4/10April 10, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
解析：“中途乙队因事调走 ”，但是甲队一直在工作， 即甲在这项任务中工作了30 天，乙工作了若干天。
答：乙队工作了20天。
1、工程问题是研究工作效率、工作时间和工 作总量之间相互关系的一种应用题，一般把 工作总量看作单位“1”，它们的基本关系式 是：工作总量=工作效率×工作时间。
2、当题目没有给出具体的工作总量时，我
10
1
乙的工作效率：8
①先求甲、乙
甲4天完成的工作量为：110
4=
2 5
的效率；②再
求甲4天完成的
剩下的工作量为： 1 - 2 = 3
工作量；③最
55
后算出剩下的
剩下的工程需要的时间为：
工作量。
53110+18=83=232（天）
答：还需要
2
2 3
天可完成全部工程。
例4：一块地需要除草，小奥单独除60分钟
谢谢观赏
培优教程第二讲：工程问题
2.工程问题知识要点：工程问题指的是做一件工作或完成工程建设有关的数学问题，其特点是：题中的工作或工程不给出具体数量，解题时首先将全部工程看作单位“1”，再求出一个单位时间的工作量占全部工作量的几分之几，即工作效率。
在解决工程问题时要善于运用常见的数学方法（如假设法、转化法、代换法)，要善于抓住工作效率之间的关系，并适当将它转化为工作时间和工作量之间的关系，这样的转化和代换，往往能够化难为易。
在工程问题中有三个基本量：工作量、工作效率和工作时间，它们有如下基本关系式：工作量=工作效率×工作时间工作时间=工作量工作效率工作效率=工作量÷工作时间典例解析与同步练习典例1修一条公路，甲队单独修20天可以修完，乙队单独修30天可以修完。
现两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完，乙队休息了几天?解析：我们把这条公路作为单位“1”，可以分成两部分，一部分由甲队修，另一部分由乙队修。
根据题意，甲队休息 2.5天，说明甲队修了14-2.5=11.5（天），可以先求出甲队 11.5天修了这条公路的几分之几，剩下的就是乙队修的，可以根据“工作量÷工作效率=工作时间”求出乙队实际修的天数，也就求出了乙队休息的天数。
解：14-[1一×（14-2.5）]÷=1（天）答：乙队休息了1天。
举一反三训练11.单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了6小时完成了这项工作。
甲中途调走了，结果共用了6小时完成了这项工作。
甲实际工作了多少小时?2.一件工作，甲5小时完成了全部工作的，乙6小时又完成剩下工作的一半，最后，余下的工作由甲、乙合作，还需几小时才能完成?3.单独修一条公路，甲工程队需100天完成，乙工程队需150天完成，甲、乙两工程队合修50天后，余下的工程由乙工程队单独做，还需几天才能完成？典型例2一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、两两管同时开4小时滋满。
六年级数学思维美培优综合教案之工程问题(二)(A版)第一大课时
工程问题（二）（A版）第一大课时重点：有些工程问题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解决。
自主学习一例1：修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。
两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？思路导航：把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”帮助我们思考。
变式练习1、修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。
在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？2、一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。
现在由甲组2人和乙组7人合作，多少天可以完成？自主学习二例2：有两个同样的仓库A 和B,搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。
甲和丙在A 仓库，乙在B 仓库，同时开始搬运。
中途丙转向帮助乙搬运。
最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？思维导航：设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。
总整体上看，相当于三人共同完成工作量为“2”。
变式练习1、师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的101，徒弟每小时加工自己任务的151。
师、徒同时开始加工。
师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？2、有两个同样的仓库A 和B,搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，丙需要9小时。
甲、乙在A 仓库，丙在B 仓库，同时开始搬运。
中途甲又转向帮助丙搬运。
最后，两个仓库同时搬完。
甲帮助乙、丙各多少小时？达标检测1、货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以完成，用4辆马车5天可以运完，用20辆小板车6天可以运完。
现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后，全改用小板车运，必须在两天内运完。
问：后两天需要多少辆小板车？2、修一条路，甲队每天修6小时，10天完成；乙队每天修5小时，8天完成。
工程问题培优教案
工程问题培优教案第一篇：工程问题培优教案工程问题【学习目标】工程问题是将一般的工作问题分数化，从分率的角度研究工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）、工作效率（单位时间内完成的工作量）三者之间关系的问题。
它的特点是将工作总量看成单位“1”，用分率表示工作效率，对做工的问题进行分析解答。
工程问题的三个基本数量关系式是：工作效率×工作时间=工作总量；工作总量÷工作时间=工作效率；工作总量÷工作效率=工作时间。
【题型精讲】基础训练：一项工程，甲单独做要12天，乙要10天，丙要15天．①甲乙丙同时做要多少天？②甲乙丙同时加工多少天能完成工程的一半？③甲乙丙同时加工多少天这项工程还剩？④如果甲先做5天，乙丙接着做，还要多少天？⑤如果甲丙合作做4天后，再由乙做，完成任务时一共用了多少天？重难点一：效率变化问题例1、（1）加工一批零件，原计划每天加工20个，15天完成。
实际加工了3天后，引进了新的加工设备，效率比原来提高了20%，问实际完成工作比计划提前了多少天？2）加工一批零件，原计划15天完成。
实际加工了7天后，引进了新的加工设备，效率比原来提高了17，问实际完成工作比计划提前了多少天？3）加工一批零件，原计划15天完成。
实际加工了一些天后，引进了新的加工设备，效率比原来提高了14，结果比计划提前2天完成任务，问引进新设备后又工作了多少天？例2、加工一批零件，原计划每天加工15个，若干天可以完成。
当完成加工任务的35时，采用新技术，效率提高20%。
结果，完成任务的时间提前10天。
（1）原计划多少天完成任务？（2）这批零件共有多少个？重难点二：注水问题例1、一个水池装有进水管和出水管，单开进水管40分钟可以将空池注满；单开出水管1小时可以把整池水放完，现同时打开进水管和出水管，需要多少时间才能将水池注满？例2、有一个水池，装有甲、乙、丙三根水管，其中甲、乙是进水管，丙为排水管，单开甲管需要15分钟注满水池；单开乙管需要10分钟注满水池；单开丙管需要9分钟将满池水放完。
北师大六年级培优简单工程问题专题
工程问题一、知识要点工作总量=工作效率×工作时间.例：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？方法：“把工作量设为整体1”“整数化”“从比例角度出发”、“列方程”等.二、典型例题例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？例2.有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。
这个工程由丙队单独做需几天完成？例3.某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，若由甲乙两人合作，需48天完成，现在甲先单独做42天，然后由乙来单独完成，那么还需要多少天？例4.一项工程，甲乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的130，甲乙单独做这项工程各需要多少天？例5. 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？例6. 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？例7.甲、乙合做一件工作要15天才能完成，现在甲、乙合做10天后，再由乙独做6天，还剩下这件工作的1/10，甲单独完成这件工作要多少天？例8. 一项工程甲队单独做15天可以完成，乙队独坐10天可以完成。
现在开始两队合作，但中间乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了9天，乙队比甲队少工作了多少天？例9.甲、乙合做一件工作，合作8天后，乙又独做5天，还剩下这件工作的1/6。
已知乙单独完成这件工作要30天，那么甲单独完成这件工作要多少天？例10. 甲、乙合做一件工作，每天能完成全部工作的1/12，甲单独做6天，乙又单独做10天后，还剩下全部工作的11/30没有完成，甲单独完成全部工作要多少天？例11..一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天。
第01讲 工程问题综合(学生版)-六年级上册秋季数学奥数培优讲义
四一、工程问题综合提高（六上）在日常生活中，做某件事，制造产品，完成某项任务或工程等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”．1、工程问题基本数量关系式：工作总量=工作效率×工作时间工作时间=工作总量÷工作效率工作效率=工作总量÷工作时间．2、工程问题中的比例问题通常可以分为：工作总量相同，工作效率与工作时间成反比；工作时间相同，工作效率与工作总量成正比；工作效率相同，工作时间与工作总量成正比．3、三者之间的换算，注意对应．4、单位“1”的转化．5、解题方法（1） 基本法或假设工作任务为“1”（和总工作量无关）；或假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数）； 利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间．（2）分段考虑（3）分对象考虑6、问题转化：牛吃草问题、排队问题、泄洪问题、漏水问题等．第1讲 工程问题综合 六年级 秋季知识点备注一、 量率对应1、生产一批帽子，甲、乙二人合作需15天完成．现由甲先单独工作5天，再由乙单独工作3天后还剩这批帽子的34没完成．若甲每天比乙少加工4个帽子，则这批帽子共有多少个？2、（2014年金帆五春）制作一批零件，甲车间要20天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要12天就能完成．乙车间与丙车间一起做，需要16天才能完成．现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件400个．问丙车间制作了___________个零件．二、 来回帮忙3、有A 、B 两个仓库，A 仓库的货物是B 仓库的2倍．搬运完A 仓库的货物，甲需要32小时；搬运完B 仓库的货物，乙单干需要24小时，丙单干需要12小时．刚开始甲搬运A 仓库，乙搬运B 仓库，丙帮甲，后来丙又去帮乙，直到最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮了甲几个小时？课堂例题4、（龙校六年级秋季）有甲、乙两个大型挖土工程分别需要挖2万和1万方土．A公司派出60人去做甲工程、30人去做乙工程，同时动工．当甲工程刚好完成23时，B公司派出40人去支援甲工程，若干天之后，乙工程还剩14，B公司立即完全停止支援甲工程，并派20人立即支援乙工程直至完成．最后两项工程都在动工后的50天完成．若同一公司的每个人每天挖土量相等，则单独由A公司的60人做甲工程需要多少天才能完成？三、轮流工作5、小鹿、小羊、小猪三名打字员承担一项打字任务．若由这3人中的某人单独完成全部打字任务，则小鹿需24小时，小羊需20小时，小猪需16小时．（1）如果鹿、羊、猪三人同时打字，那么需要多少小时完成？（2）如果按鹿、羊、猪的次序轮流每人各打1小时，那么需要多少小时完成？6、（金帆六年级秋季）规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时?四、劳逸结合7、甲工程队每工作6天必须休息1天，乙工程队每工作5天必须工作2天．一项工程，甲工程队单独做需104天（含休息）．乙工程队单独做需82天（含休息）．如果两队合作，从2014年8月28日开工，则该工程在哪一天可以竣工？8、（人大附）一次10分钟的知识竞赛，小明每分钟能做15道题，但做3道错一道，而且他做2分钟要休息1分钟，那么小明这次竞赛做对了____________道题．五、比例解工程问题9、一批蜘蛛侠模型，做了1后，提速25%，提前3小时完成；如果做了400个模型后，提4速20%，可以提前2小时完成任务，那么这批模型有多少个？10、甲、乙两人合作一项工作，如果甲提速20%，则可比计划时间提前1完工；如果乙减10速25%，则会推迟10分钟，那么他们原计划多少分钟完成这项工作？六、水管问题11、一水池装有一个进水管和一个排水管，单开进水管5小时可以将空池灌满，单开排水管7小时可以将满池水排完．如果一开始是空池，打开进水管1小时后又打开排水管，那么再过多少小时池内将积有半池水？12、为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜水来浇花草的水池，要求单独打开进水管3小时可以把水池注满，单独打开出水管4小时可以排完满池水．水池建成后，发现水池漏水．这时，若同时打开进水管和出水管14小时才能把水池注满．则当水池注满，并且关闭进水管与出水管时，经过多少小时池水就会漏完？七、列方程（组）解工程问题13、甲、乙两项工程分别由一、二对来完成．在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要18天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要上升20%．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？14、若干名工人计划用x分钟完成一项工程，如果开始时离开1名工人则要延误4分钟完成任务，如果开始时离开2人则要延误10分钟，那么原来共有多少人完成此任务？x的值是多少？（每人工作效率相同）1、（金帆五升六）一项工程，甲、队独做10天可以完成，乙队独做30天可以完成．现在两队合作期间甲队休息了2天，乙队休息了8天（两队不在同一天休息）．从开始到完工共用了多少天？2、墨莫带着阿呆和阿瓜去割草．单独割完一个草地的草，阿呆需要9个小时，阿瓜需要12个小时，墨莫需要18个小时．现在阿呆和阿瓜各自负责一个大小相同的草地．墨莫先帮助阿瓜，再去帮助阿呆，最后阿呆和阿瓜一起完成了割草的任务，那么墨莫共帮助阿呆割了多少个小时？3、一个水池有两根进水管．单开甲管12小时注满，单开乙管15小时注满．现在甲乙管轮流打开，甲管打开1小时，乙管打开1小时，甲管打开1小时，乙管打开1小时……重复交替下去，那么注满水池共需要多少小时？4、姜太公“三天打鱼两天晒网”（打三天鱼休息两天），周文王“四天打鱼一天晒网”，姜太公打满一缸鱼要38天，周文王打满同样的一缸鱼要37天，两人从2014年9月2号开始打鱼，在几月几号可以合打满一缸鱼？随堂练习5、（金帆五年级春季）一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，现在他们两队一起做，期间甲队休息了3天，乙队休息了若干天，从开始到完成共有16天，乙队休息了多少天？6、（龙校六年级秋季）甲乙共同加工一批零件，开始时甲每天加工的零件个数比乙少14．共同加工7天后，甲每天加工的零件提高了一半，而乙不变．加工结束时，甲总共加工的零件比乙少80个．若乙单独加工这批零件需要25天，求这批零件一共有多少个？7、（金帆五升六）一项工程，甲15天做了14后，乙加入进来，甲、乙一起又做了14，这时，丙也加入进来，甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问做完整个工作需要多少天？1、一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，现在由两队合作，其间乙队休息了若干天，从开始到完工共用时14天，那么乙队休息了______天．2、（金帆五升六）一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成?课后作业3、（2015年金帆五春）某工程可由若干台机器在规定时间内完成．如果增加2台机器，则只需用规定时间的78就可做完；如果减少2台机器，那么就要推迟23小时做完．则由一台机器去完成这工程需要________小时．4、草场上放有一堆草，并且还有一片草以均匀的速度生长着．如果放养8头牛，则10天可以吃完；如果放养10头牛，则6天可以吃完，那么如果放养15头牛，可以吃____天．5、有A、B两个同样的仓库，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时．若一开始甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运．中途丙又到B仓库帮助乙搬运，最后两个仓库同时搬完．丙帮助甲多少小时？6、有一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的．打开A管，8小时可将满池水排空；打开C管，12小时可将满池水排空；如果打开A、B两管，4小时可将水排空．那么打开B、C两管，______小时可将满池水排空．7、蓄水池有甲、丙两条进水管和出水管乙．要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，开乙管需4小时．现在池内有16池水，如果按照甲、乙、丙的顺序轮流各打开1小时，______小时后水开始溢出水池．8、某工人做一批零件，做完一半后，提速25%，提前2小时完成任务；如果做了200个零件后，提速20%，也可提前2小时完成任务．那么这批零件有________个．9、某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按不变的速度流入，为了防洪，需调节泄洪速度．假设每个闸门泄洪速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降至安全线；若打开2个泄洪闸，10个小时水位降至安全线．现在抗洪指挥部要求在3小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开几个闸门？10、一个长方体水槽，侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水孔．现用一个进水管给空水槽灌水，若出水孔全关闭，灌满水槽需要用1个小时；若打开一个出水孔，灌满水槽则需要用64分钟；若打开两个出水孔，灌满水槽需要用70分钟．要想能够把水槽灌满，最多可以打开__________个出水孔，经过__________分钟才能将水箱灌满．。
小学奥数五六年级-工程问题(培优讲义)
工程问题 学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。
在教学中，让学生建立正确概念是工程应用题的关键。
本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。
知识梳理1.工程问题在主要概念定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间的相互关系的问题。
在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。
工程问题是小升初的常见考题，题型复杂多变，但是核心不变，即：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；在分数应用题中，经常将工作总量抽象成单位“1”；例如：一项工程，甲5天完成，则甲每天完成全部的几分之几？分析：这道题中，我们将一项工程抽象成单位“1”，5为工作时间，所以每天完成整个工程的1÷5=51，即为所求，同时51也是甲完成这项工作的速度，所以51就是这道题中甲的工作效率。
在解决工程问题时，对于题中已知条件给出的每一个数字或字母表示的具体含义必须在读完题后，清晰明了，然后通过所求与已知的逻辑关系，再进一步求解。
常用方法：列表法，条件转换法，整体法；每一种方法的使用要在具体题目中用心体会。
2.解决工程问题的基本思路(1)工作量看作“1”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。
工程问题一般采用这种方法求解。
(2)先求出独做的队或个人的工作效率，然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。
(3)求剩余部分的工作量完成的时间。
2019小学六年级数学培优提升-第九课-工程问题-一
第九课 工程问题 一一、 知识回顾（一） 工程类应用题基本数量关系：工作效率 工作时间=工作总量变化数量关系：工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率（二） 分数在工程问题当中的应用工程问题没有给出具体工程量时，可以用总量“1”来代表工作总量，工作时间为t ，工作效率1/t ，然后再利用工作效率、时间、总量之间的关系列式计算。
二、 知识巩固（一） 分数应用1、修建一项工程，一对工程用4天完成，平均每天完成（ ）。
2、一项工程，每天完成它的121 ，（ ）天可以完成。
3、一段公路，甲队单独修要用20天，乙队单独修要用30天，如果两队合修，每天完成这项工程的（ ），（ ）天可以完成。
4、一项工程，甲队单独做15天可以完成，乙队单独做12天完成，甲、乙合作全工程的109。
需要（ ）天。
若甲队先修6天后，剩下的由甲、乙两队合修，还需要（ ）天完成。
（二） 应用题 1、一项工程，甲、乙队合作12天可以完成。
如果甲、乙队先合作4天，剩下的由乙队独做10天也可以完成。
这项工程由乙队独做多少天可以完成？2、一项工程，甲独做10天完成了一半，余下的甲、乙又一起合作了6天，正好全部完成。
如果由乙队单独做这项工程，多少天可以完成？3、一个蓄水池有进、出水两根水管，单开进水管10分钟将水池注满，单开出水管，15分钟将满池水放完。
两管同时打开，多少分钟水池能注满水？4、一项工程，甲队单独做需20天完成，乙队单独做需12天完成。
甲队先做若干天后，由乙队接着做，共用14天完成了任务。
甲队做了多少天？三、 能力提升（一）、例题讲解例1、修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。
两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？解析：把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。
则1÷[15×8 + 110×6]÷6=4（天）例2、有两个同样的仓库A 和B ，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。
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工程问题 学生：
工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
这不仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等。
一般将工程的总工作量看作单位“1”，常用的数量关系式是：
工作量=工作效率×工作时间， 工作时间=工作量÷工作效率，
工作效率=工作量÷工作时间。
一．基本题型．
1.一项工程，甲队独做需要12天完成，那么4天可以完成这项工程的几分之几？要完成全部工程的16
，需要做几天？
2.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。
现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天。
从开始到完成共用了16天。
问乙队休息了多少天？
3.甲、乙两人同做一工程，需89
8天完工，若甲一人独做8天后，再由乙独做10天完工。
甲乙独做各需多少天？
二．复杂问题．
1.一项工程，甲、乙合做9天完成，甲、丙合做12天完成，乙、丙合做18天完成，由甲、乙、丙合做需几天完成？
2.一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。
现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满。
乙单独开几小时可以灌满？
3.搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。
有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。
丙帮助甲、乙各搬运了几小时？
三．轮流工作．
1.规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做1个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止。
如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？
2.一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流，那么比上次轮流的做法要多半天才能完成。
已知乙单独工作需17天完成，那么甲单独做这项工程要多少天完成？
3.某工程先由甲单独做63天，再由乙队独做28天即可以完成。
如果甲、乙两人合作，需48天完成，现在甲先独做42天，然后再由乙单独完成，那么还需要多少天？
基本练习：
1、修一条公路，甲队独修15天完工，乙队独修12天完工。
两队合修4天后，乙队调走，剩下的路由甲队继续修完。
甲队一共修了多少天？
2、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。
甲、乙合做几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。
乙请假多少天？
3、一条公路由甲、乙两个筑路队合修要12天完成。
现在由甲队修3天后，再由乙队修1天，共修了这条公路的203。
如果这条公路由甲队单独修，要多少天才能修完？
4、两列火车同时从甲、乙两地同时相对开出。
快车行完全程需要20小时，慢车行完全程需要30小时。
开出后15小时两车相遇。
已知快车中途停留4小时，慢车停留了几小时？
5、师徒两人共同加工一批零件，2天加工了总数的31。
这批零件如果全部由师傅单独加工，需10天完成。
如果全部由徒弟加工，需要多少天才能完成？
6、一项工程，甲、乙两队合作30天完成。
如果甲队单独做24天后，乙队再加入合作，两队合作12天后，甲队因事离去，由乙队继续做了15天才完成。
这项工程如果由甲队单独完成，需要多少天？
7、一项工程，甲、乙两队合做每天能完成全工程的409。
甲队独做3天，乙队独做5天后，可完成全工程的87。
如果全工程由乙队单独做，多少天可以完成？
8、甲、乙两队合作，20天完成一项工程。
如果两队合作8天后，乙队再独做4天，还剩下这项工程的158。
甲、乙两队独做各需几天完成？
9、一项工程，甲、队独做10天可以完成，乙队独做30天可以完成。
现在两队合作期间甲队休息了2天，乙队休息了8天（两队不在同一天休息）。
从开始到完工共用了多少天？
10、一项工程，如甲队独做，可6天完成。
甲3天的工作量，乙要4天完成。
两队合做了2天后，由乙队单独做，乙队还需做多少天才能完成？。