《数学分析III》期中考试试题及参考答案

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数学分析期中试卷

一、求解下面问题（本题满分50分）1) 设32),,(z y x z y x f ++=，求f 在点)1,1,1(0P 沿方向)1,2,2(:−l 的方向导数.解：21,2,3x y z f f y f z ===02(1,2,3),(1,2,3)P grad f y z grad f ==0221(,,333241.1333P l l f l grad f l l =−∂==−+=∂2) 判断积分∫+12)1(1dx x x 的敛散性，并证明。

解：0x =是瑕点2001limlim 11(1)x x x →→==+又1∫Q收敛1∴∫收敛 3) 设222),,(z y x z y x f ++=，求f 在点)1,1,1(0P 处的梯度解：0(,,),,333x y z x y z P f f f grad f f f f grad f ======∴==4) 将函数x x f sin )(=在],[ππ−展开为傅立叶级。

解：5) 求极限2233)0,0(),()sin(lim yx y x y x ++→。

解：设cos sin x r x r θθ=⎧⎨=⎩3322(,)(0,0)3332033320sin()lim sin (cos sin )lim (cos sin )lim 0x y r r x y x y r rr r θθθθ→→→+++=+== 6) 求曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(的切平面方程。

解：令222(,,)236F x y x x y z =++−，则，则()()(1,1,1)|2,4,6//1,2,3n gradF ==r，所以该曲面在给定点处的切平面方程为1(1)2(1)3(1)0x y z −+−+−=，即236x y z ++=。

7) 求函数61065),(22++−+=y x y x y x f 的极值。

解：由00x yf f ∂=⎧⎨∂=⎩得2603101001x x y y −==⎧⎧⇒⎨⎨+==−⎩⎩ 又20,0,10xx xy yy A f B f C f ==>====Q2200AC B −=>因此最小值为(3,1)8f −=−8) 设yx ez 2+=，求23x y z ∂∂∂。

工科数学分析期中考试试题及答案

第1页（共5页）一、填空题：填空题：1. 33()ln(1sin )arcsin ()f x x x =++在0x =处的导数(0)f ′= ；22.2. 2lim (100)x x x x →−∞++= ；50−3. 设(2)!!n n n a n n = ，则 1lim n n n a a +→∞= ；4e4. )1ln()(2x x f +=，已知000()()4lim 5h f x h f x h h →+−−=， =0x 5212±=5. 设2()sgn ,()1f x x g x x ==+，则[()]g f x = ,0lim [()]x g f x →= ；20[()]10x g f x x ≠⎧=⎨=⎩ 0lim [()]2x g f x →=6．若11()lim1x tt xx f x t −→−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，则()f x 的连续区间为 .11()x f x e−= 连续区间为1x ≠二、填空题：填空题：1．当0x →时，下列函数中，哪一个是其它三个的高阶无穷小( （C ） ) （A ） 1000x ；（B ）1cos x − ；（C ）4ln(1)x − （D ）arctan x2．若曲线2y x ax b =++和321y xy =−+在点(1,1)−处相切，其中a ,b 是常数,则（（D ））（A ）0, 2a b ==−；（B ）1, 3a b ==−；（C ）3, 1a b =−=；（D ）1, 1a b =−=−3. 设函数21sin ,0,()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,则正确的结果是（）（C）（A）f 在[0,1]上不一致连续；（B）f 在0x =处可导,处可导,0x =是'()f x 的连续点；（C）'()f x 在(,)−∞+∞上有界，0x =是'()f x 的第二类间断点；（D）因为0lim'()x f x →不存在，所以'(0)f 不存在4. 下列命题中正确的一个是（下列命题中正确的一个是（（D ））（A ）设s 是数集E 的上确界，则s 必是数集E 中最大的数；中最大的数；（B ）若有界数列{}n a 中有一个子列收敛，则{}n a 必是收敛的数列；必是收敛的数列；（C ）数列{}n a 有唯一的极限点，则{}n a 必是收敛的数列；必是收敛的数列；（D ）设数列{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，且n n a b ≤，n N +∈，则对,m n N +∀∈， n m a b ≤成立.三、计算题三、计算题1．()()23tan sin lim 1tan 111xx xx x →−+−+− .02tan sin lim 11tan 32x x x x x →−=⋅333001sin (1cos )26lim 6lim 3cos x x x x x x x x →→−===⋅2. 若2ln y x x =，求()()n y x . 3()(2)22ln (2ln 1)2ln 3(1)(3)!(2ln 3)2n n n n y x x x x x y x n yx x −−−′=+=+′′=+−−=+=3．设 ()()()x f t y tf t f t =⎧⎨=−⎩，其中()f t ′′存在，且()f t ′不为零，求22dxy d .(1)()()()dy t f t f t dx f t ′−+=′ 22(1)()()(1)()()()()d y d t f t f t d t f t f t dtdx dx f t dt f t dx′′−+−+==⋅′′ 232()()()()f t f t f t f t ′′′−=′4．求函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=−在区间[-π, π]内的间断点,并判断其类型.并判断其类型.间断点：0x =，1x =，2x π=±11110()tan ()tan (00)lim 1,(00)lim 1()()xxx x xxe e xe e xf f x e e x e e ++→→+++==−==−−−1111()tan lim ()lim ,()xx xxe e xf x x e e →→+==∞−1122()tan lim ()lim .()x x x x e e xf x x e e ππ→±→±+==∞−5．确定,a b 的值，使函数21cos ,0,0,0,()ln(),0ax x xx f x b x x x −⎧<⎪==⎨⎪+⎪>⎩在(,)−∞+∞内处处可导，并求它的导函数.并求它的导函数.因20ln()(00)lim (0)0x b x f f x +→++===，所以，20lim ln()0x b x +→+=，则1b = 22222sin 1cos ,0,()2ln(1)1,0ax ax ax x x f x x x x x x −+⎧<⎪⎪⎪′=⎨⎪−+⎪+>⎪⎩222200ln(1)1cos 1(0)lim 1(0)lim 2x x x ax f f a x x +−+−→→+−′′==== 由(0)(0)f f +−′′=，2a =± (0)1f ′=四、证明题四、证明题1.设可导函数()f x 对任意实数12,x x 恒有121221()()()x x f x x e f x e f x +=+，且(0)2f ′=，证明：()()2xf x f x e ′=+.00120(00)(0)(0)(0)0x x f e f e f f ==⇒+=+⇒= 12,x x x x ==∆⇒()()()()()[()(0)](1)()x x xx f x x f x e f x e f x f x e f x f e f x x x x∆∆+∆−∆+−∆−+−==∆∆∆ 00()()()()()()lim lim x x x x f x x f x e f x e f x f x f x x x∆∆→∆→+∆−∆+−′==∆∆ 0[()(0)](1)()lim (0)()x x x x e f x f e f x e f f x x∆∆→∆−+−′==+∆2．根据柯西收敛原理，叙述{}na 发散的充要条件，并应用它证明数列111123n a n ααα=++++ 当1α≤时发散． {}n a 发散000,,,n n p n N p N a a εε+++⇔∃>∀∈∃∈∂−>= 1111(1)()1n n p pa a n n p n n p n p αα+−=++≥++≥+++++∵011,,,22n n p n N p n aa ε++∴∃=∀∈∃=−>={}n a 发散000,,,n m n N m N a a εε++⇔∃>∀∈∃∈∂−>=3．设数列{}n x 满足条件10x >，121(2),(1,2,...)3n nn a x x n x +=+=，其中0a >为常数，证明lim n n x →+∞存在，并求出极限值．3121(2),(1,2,...){}3n n n n a x x a n x x +=+≥=∴∵有下界又 131(2)1,(1,2,...)3n n nx a n x x +=+≤=∵ 1,(1,2,...)n n x x n +∴≤=故lim n n x →+∞存在。

数学分析三试卷及答案

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准.计算题(共8题，每题9分，共72分)。

因为 lim 3 xsin — 3 ysin —与 lim 3 xsin — 3 ysin -均不存在，x 0y x y 0 y x故二次极限均不存在。

4.要做一个容积为1m 3的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？解：设圆桶底面半径为r ,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数：S 表2 rh 2 r 2,1. 解:1 1求函数f (x, y) V^sin — 济sin-在点(0,0)处的二次极限与二重极限. y xf (x, y) Vxs in 丄羽 si n 丄y x |3X |3y|，因此二重极限为0.……(4分) (9分)2. 解:设y y(x)，是由方程组z xf(x z z(x) F(x,y,z)具有连续的导数和偏导数,求空.dx对两方程分别关于x 求偏导：y0'所确定的隐函数’其中f 和F 分别dz 丁 f (x dx F F 矽 x ydx y) xf (x y)(dX 1),解此方程组并整理得竺 dxF z dz 0dxF y f(x y) xf (x y)(F y F x )(4分)3. 取，为新自变量及2z x yx y 2 解: 2z2xx yJ2z 看成是 wzyF y xf (x y)F z w( ,v)为新函数，变换方程ze y (假设出现的导数皆连续) x, y 的复合函数如下：/、 x yw w(,),,2代人原方程，并将x, y, z 变换为，，w 2 2w W c 2 2w 。

x y。

2整理得:(9分)(4分)(9分)------------------- 时磊忖呎… ... . .... ... ...约束条件：r 2h 1 o构造 Lagrange 函数：F （r,h, ） 2 rh 2 r 2 （3分）（r 2h 1）o人 F r 2 h 4 r 2 rh 0, 令 F h 2 r r 2 0.（6分）解得h径为r 2r ，故有r 彳*，h 3上.由题意知问题的最小值必存在，当底面半 3 ；,高为h 3 4时，制作圆桶用料最省。

数学分析(3)试卷及答案(K12教育文档)

案(word版可编辑修改)的全部内容。

数学分析(3）期末试卷2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项：2. 试卷含三大题，共100分。

3. 试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！4. 遵守考试纪律。

一、填空题（每空3分,共24分)1、设z x u ytan =，则全微分=u d __________________________。

2、设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。

3、椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________.4、设,d ),()(sin 2y y x f x F xx⎰=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________. 5、设L 是从点（0，0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分⎰=Ls x yd _____________。

6、在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________.7、设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。

二、计算题(每题8分,共56分)1、讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。

2、设),(2xy y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u .3、求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。

数学分析Ⅲ练习册参考答案

1、平面点集{}22(,)|01E x y x y =<+<的内部为 ,边界为 . 解 {}{}222222int (,)|01,(,)|01E x y x y E x y x y x y =<+<∂=+=+=或2、平面点集11,,E n m n m ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为整数的聚点集为 .解 {}11,00,(0,0)n m n m ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭ 为整数为整数3、设(,)ln 1f x y x y=--,则函数(,)f x y 的定义域为 .解(){}222,014x y xy y x <+<≤且4、设2222),(y x y x y x f +-=则00limlim (,)x y f x y →→= ,),(lim lim 00y x f x y →→= .解 222200000limlim (,)limlim lim11x y x y x x y f x y x y →→→→→-===+()222200000limlim (,)limlim lim 11y x y x x x y f x y x y →→→→→-==-=-+ 5、函数1(,)sin sin f x y x y =的间断点集为 .解(){},,,x y x k y l k l ππ==∈Z 或二、选择题1、函数f x y x y (,)=-+-1122的定义域是( D )A 、闭区域B 、开区域C 、开集D 、闭集解 f x y x y (,)=-+-1122的定义域是(){},1,1E x y x y =≤≥E 是闭集但不具有连通性,故不是闭区域.2、函数y x z -=的定义域是( C )A 、有界开集B 、有界闭集C 、无界闭集D 、无界开集解 y x z -=的定义域是(){}2,0E x y y x =≤≤E 是无界闭集.3、以下说法中正确的是( A ) A 、开区域必为开集 B 、闭区域必为有界闭集 C 、开集必为开区域 D 、闭集必为闭区域4、下列命题中正确的是( A )A 、如果二重极限,累次极限均存在,则它们相等;B 、如果累次极限存在,则二重极限必存在;C 、如果二重极限不存在,则累次极限也不存在;D 、如果二重极限存在,则累次极限一定存在.A 、有界点列2}{R P n ⊂必存在收敛的子列;B 、二元函数),(y x f 在D 上关于x ,y 均连续,则),(y x f 在D 上连续;C 、函数),(y x f 在有界区域D 上连续,则),(y x f 在D 上有界;D 、函数),(y x f 定义在点集2R D ⊂上,D P ∈0,且0P 是D 的孤立点,则f 在0P 处连续.三、用ε-δ定义证明22200lim 0.x y x yx y →→=+ 证明由于当(,)(0,0)x y ≠时2222||0||22x y x y x x x y xy -≤=≤+ 故0,,(,):0|0|,0|0|,x y x y εδεδδ∀>∃=∀<-<<-<有2220||x yx x y ε-≤<+故22200lim 0.x y x yx y →→=+ 四、求下列极限1、222200lim x y x y x y →→+解当(,)(0,0)x y ¹时2222222220x y y xx x y x y ?祝++,而200lim 0x y x →→=所以222200lim 0x y x y xy →→=+. 2、2200x y →→解因为())2222221111x y x y +==++-所以)22000lim12x x y y ==.1、设xy e z =,则z x ∂=∂ ,z y∂=∂ . 解,xy xy z zye xe x y∂∂==∂∂ 2、设000000(,)0,(,)4,(,)5x y f x y f x y f x y ''===,则000(,)limx f x x y x ∆→+∆=∆ ,000(,)lim y f x y y y∆→+∆=∆ .解 0000000000(,)(,)(,)limlim (,)4x x x f x x y f x x y f x y f x y x x∆→∆→+∆+∆-'===∆∆ 0000000000(,)(,)(,)limlim (,)5y y y f x y y f x y y f x y f x y y y∆→∆→+∆+∆-'===∆∆ 3、设ln 1x z y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则(1,1)dz = .解 21111,()11z z x x x x x y x y y y y x y y y ⎛⎫∂∂=⋅==⋅-=- ⎪∂+∂+⎝⎭++ (1,1)(1,1)11,22z z x y ∂∂∴==-∂∂ (1,1)111()222dz dx dy dx dy ∴=-=- 4、设2sin()z x y =,则dz = .解 2222cos(),cos()z zxy x y x x y x y ∂∂==∂∂ ()22222c o s ()c o s ()c o s ()2d z x y x y d x x x y d y x x y y d x x d y∴=+=+ 5、求曲面arctany z x =在点⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面方程为 ,法线方程 .解 2222,x yy xz z x y x y ⅱ=-=++ 11(1,1),(1,1)22x y z z ⅱ\=-=故曲面arctan y z x =在点⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面方程为11(1)(1)422z x y π-=--+-,即202x y z π-+-=法线方程为11411122z x y π---==--,即202204x y x z π+-=⎧⎪⎨--+=⎪⎩1、设),(y x f 在点(,)a b 处偏导数存在,则lim(,)(,)x f a x b f a x b x→+--0=( C )A 、(,)x f a b 'B 、(2,)x f a b 'C 、2(,)x f a b 'D 、1(,)2x f a b '解 [][]xb a f b x a f b a f b x a f x b x a f b x a f x x ),(),(),(),(lim ),(),(lim00----+=--+→→ [][]000(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim (,)(,)2(,)x x x x x x f a x b f a b f a x b f a b xf a x b f a b f a x b f a b x x f a b f a b f a b →→→+----=+---=+-''=+'=2、设),(y x f 在点00(,)x y 处存在关于x 的偏导数,则00(,)(,)x y f x y x ∂=∂( A )A 、x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000 B 、xy x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000C 、x y x x f x ∆∆+→∆),(lim 000D 、xy x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim 00000解 0000000(,)(,)(,)(,)limx x y f x x y f x y f x y x x∆→+∆-∂=∂∆ 3、函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000在点(0,0)处有( D )A 、连续且偏导数存在B 、连续但偏导数不存在C 、不连续且偏导数不存在D 、不连续但偏导数存在解当(,)x y 沿y x =趋于(0,0)时22200001lim (,)lim (,)lim 2x x x y x f x y f x x x x →→→→===+ 当(,)x y 沿0y =趋于(0,0)时00lim (,)lim (,0)lim 00x x x y f x y f x →→→→===故00lim (,)x y f x y →→不存在,于是函数),(y x f 在点(0,0)处不连续.000(,0)(0,0)00(0,)(0,0)0l i ml i m 0,l i m l i m 0x x y x f x f f y f x x y y∆→∆→∆→∆→∆--∆--====∆∆∆∆ (,)f x y ∴在原点存在偏导数且(0,0)0,(0,0)0x y f f ''==4、在点00(,)x y 处的某邻域内偏导数存在且连续是),(y x f 在该点可微的( B ) A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充要条件 D 、无关条件解 P175定理25、下面命题正确的是( C )A 、若),(y x f 在00(,)x y 连续,则),(y x f 在00(,)x y 的两个偏导数存在;0000C 、若),(y x f 在00(,)x y 可微,则),(y x f 在00(,)x y 的两个偏导数存在; D 、若),(y x f 在00(,)x y 处的两个偏导数存在,则),(y x f 在00(,)x y 处可微.解 P172定理1 三、求解下列各题 1、求曲面xy z =上一点,使得曲面在该点的切平面平行于平面093=+++z y x ,并写出这切平面方程和法线方程.解设所求的点为000(,,)x y z .由于,x y z y z x ''== 故000000(,),(,)x y z x y y z x y x ''==于是曲面xy z =在点000(,,)x y z 的切平面方程为00000()()()0y x x x yy z z -+---= 由已知切平面与平面093=+++z y x 平行,故001131y x -== 于是000003,1,3x y z x y =-=-==,故所求的点为(3,1,3)--.曲面在点(3,1,3)--的切平面方程为(3)3(1)(3)0x y z -+-+--=,即330x y z +++= 法线方程为313131x y z ++-==---,即1333y x z ++==- 2、讨论函数2222222,0(,)0,0x yx y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在附近的连续性、偏导数的存在性及可微性.解 2221(,)(0,0)02x y x y x x y ≠≤≤+ 当时，且001lim 02x y x →→=. 2220000lim (,)lim 0(0,0)x x y y x yf x y f x y →→→→∴===+(,)f x y ∴在点(0,0)的连续.0000(,0)(0,0)00(0,)(0,0)00lim lim 0,lim lim 0x x y y f x f f y f x x y y ∆→∆→∆→∆→∆--∆--====∆∆∆∆(,)f x y ∴在点(0,0)存在偏导数且(0,0)(0,0)0x y f f ''==.[]()22223222(,)(0,0)(0,0)(0,0)x y x yf x y f f x f y z dzx yxyρ∆∆⎡⎤''∆∆--∆+∆∆-∆∆===∆+∆当(,)x y ∆∆沿y x ∆=∆趋于(0,0)时()23300222limlimlim x x y z dzx yxyρρ→∆→∆→∆→∆-∆∆===∆+∆ 当(,)x y ∆∆沿0y ∆=趋于(0,0)时()3300222limlimlim0x x y z dzx yx xyρρ→∆→∆→∆→∆-∆∆===∆∆+∆故极限()230222limx y x yxy∆→∆→∆∆∆+∆不存在,从而极限0limz dzρρ→∆-不存在,即(,)f x y 在点(0,0)不可微.1、2ln ,,32,u z x y x y u v v ===-求,.z zu v∂∂∂∂解 22ln 3z z x z y x y x u x u y u v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ 222l n 2z z x z y u x y x v x v y v vy∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--∂∂∂∂∂ 2、,,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭求,,.u u ux y z ∂∂∂∂∂∂解令,x y s t y z ==,则函数,,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭由函数(,),,x yu f s t s t y z ===复合而成,记12,u u f f s t∂∂==∂∂,则11222211,,.u u s u u s u t x u u t y f f f f x s x y y s y t y y z z t z z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅==⋅+⋅=-+=⋅=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 二、求下列函数在给定点沿给定方向的方向导数1、求22(,,)f x y z x xy z =-+在点0(1,0,1)P 沿(2,1,2)l =- 的方向导数. 解由于l 的方向余弦为212cos ,cos ,cos 333αβγ====-==()0000()22,()1,()22x y P z P P f P x y f P xf P z'''=-==-=-==所以()000212()cos ()cos ()cos 123333x y z f f P f P f P l αβγ∂⎛⎫++⋅+-⋅-+⋅= ⎪∂⎝⎭==2 2、求u xyz =在点(5,1,2)A 处沿到点(9,4,14)B 的方向AB上的方向导数.解由于(4,3,12)AB =,故它的方向余弦为4312cos ,cos ,cos 131313αβγ====()2,()10,()5x y Az A A f A yz f A zxf A xy '''======所以000431298()cos ()cos ()cos 10513131313x y z f f P f P f P l αβγ∂++⋅+⋅+⋅=∂==21、如果 ,则有0000(,)(,)xyyx f x y f x y ''''=. 解如果函数(,)f x y 在点00(,)P x y 的某邻域G 内存在二个混合偏导数(,)xy f x y ''与(,)yx f x y '',并且它们在点00(,)P x y 连续,则0000(,)(,)xyyx f x y f x y ''''=. 2、设24z x y =,则2zx y ∂=∂∂ .解 2432,8z z xy xy x x y∂∂==∂∂∂ 3、二元函数xy y x y x f ++=),(在点)2,1(的泰勒公式为 .解 222221,1,0,1,0,0(2)n m n m f f f f f fy x n m x y x x y y x y+∂∂∂∂∂∂=+=+====+>∂∂∂∂∂∂∂∂22()(1,2)3,(1,2)2,(1,2)0,(1,2)1,(1,2)0,(1,2)0(2)m nm n x y xy x y x yf f f f f f n m +''''''''∴======+> (,)f x y x y x y ∴=++在点)2,1(的泰勒公式为 (,)f x y x y x y =++ 1(1,2)(1,2)(1)(1,2)(2)1!x y f f x f y ''⎡⎤=+-+-⎣⎦ 22221(1,2)(1)2(1,2)(1)(2)(1,2)(2)2!xy x y f x f x y f y ⎡⎤''''''+-+--+-⎣⎦ 53(1)2(2)(1)(x y x y =+-+-+-- 4、函数22(,)4()f x y x y x y =---在稳定点处取得极大值,且极大值是 .解令(,)420(,)420xy f x y x f x y y ⎧'=-=⎪⎨'=--=⎪⎩得稳定点(2,2)-.由于22(,)2,(,)0,(,)2xy xyf x y f x y f x y ''''''=-==-222(2,2)20,(2,2)0,(2,2)2,40xy x y A f B f C f B AC ''''''=-=-<=-==-=-∆=-=-<故函数22(,)4()f x y x y x y =---在稳定点(2,2)-取得极大值,且极大值是(2,2)8f -=.5、设),(),(00y x y x f z 在=存在偏导数,且在),(00y x 处取得极值,则必有 .解 0000(,)0(,)0x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩二、选择题1、二元函数3322339z x y x y x =+++-在点M 处取得极小值,则点M 的坐标是( A ) A 、(1,0) B 、(1,2) C 、(-3,0) D 、(-3,2) 解令22(,)3690(,)360xy f x y x x f x y y y ⎧'=+-=⎪⎨'=+=⎪⎩得稳定点(1,0),(3,0),(1,2),(3,2)----.由于22(,)66,(,)0,(,)66xy xyf x y x f x y f x y y ''''''=+==+在点(1,0),2120,0,6,720A B C B AC =>==∆=-=-<在点(3,0)-,212,0,6,720A B C B AC =-==∆=-=> 在点(1,2)-,212,0,6,720A B C B AC ===-∆=-=>在点(3,2)--,2120,0,6,720A B C B AC =-<==-∆=-=-<故函数339z x y x y x =+++-在点(1,2)-,(3,0)-不取得极值,在点(1,0)取得极小值, 在点(3,2)--取得极大值.2、二元函数2222),(22+-+-=x y xy x y x f 的极小值点是( C ) A 、(-1,-1) B 、(0,0) C 、(1,1) D 、(2,2) 解令(,)4220(,)220xy f x y x y f x y y x ⎧'=--=⎪⎨'=-=⎪⎩得稳定点(1,1).由于22(,)4,(,)2,(,)2xy xyf x y f x y f x y ''''''==-=240,2,2,40A B C B A C =>=-=∆=-=-< 故函数2222),(22+-+-=x y xy x y x f 在点(1,1)取得极小值. 3、关于二元函数下列论断①(,)f x y 在),(00y x 取得极值,则),(00y x 是(,)f x y 的稳定点;②),(00y x 是(,)f x y 的稳定点,则(,)f x y 在),(00y x 取得极值; ③(,)f x y 在),(00y x 不存在偏导数,则(,)f x y 在),(00y x 不会取得极值; ④)0,0(以xy z =为极小值点. 其中正确的个数是( A )A 、0B 、1C 、2 D、3解 ①错误:偏导数不存在的点也可能是极值点,例如z =在点(0,0)取得极小值,但点(0,0)不是稳定点.②错误:稳定点不一定是极值点,例如在第1题中,点(1,2)-是稳定点,但却不是极值点.③错误:偏导数不存在的点也可能是极值点,例如z =在点(0,0)的偏导数不存在,但点(0,0)是该函数的极小点.④错误: 令0xy z y z x ⎧'==⎪⎨'==⎪⎩得稳定点(0,0).由于22(,)0,(,)1,(,)0xy x y z x y z x y z x y ''''''=== 20,1,0,10A B C B A C ===∆=-=> 故函数z xy =在点(0,0)不取得极值.4、如果点()00,x y 为(,)f x y 的极值点且()()0000,,,x y f x y f x y ''存在,则它是(,)f x y 的( B ) A 、最大值点 B 、稳定点 C 、连续点 D 、最小值点解 P200定理35、下列命题中,正确的是( D )A 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点,则它一定是(,)f x y 极值点;B 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的极值点,则它一定是(,)f x y 稳定点;C 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点且0∆=,则它不是(,)f x y 极值点;D 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点且0∆>,则它不是(,)f x y 极值点. 解 P201定理4 三、求解下列各题1、求函数333(0)z axy x y a =-->的极值.解令22330330xy z ay x z ax y ¢ï=-=ïí¢ï=-=ïî 得稳定点(0,0)和(,)a a .226,3,6xy x yz x z a z y ⅱ =-==- 对于点(0,0),220,3,0,90A B a C B AC a ===D =-=>故点(0,0)不是极值点.对于点(,)a a ,2260,3,6,270A a B a C a B AC a =-<==-D =-=-< 故点(,)a a 是极大点,极大值为3(,)z a a a =.2、在xy 平面上求一点,使它到三直线0,0x y ==及2160x y +-=的距离平方和最小. 解设(,)x y 为平面上任一点,则它到三直线0,0x y ==及2160x y +-=的距离平方和为()222216(,)5x y S x y x y +-=++于是问题转化为求函数()222216(,)5x y S x y x y +-=++在2R 上的最小值.令()()22162054216205xy x y S x x y S y ì+-ïï¢=+=ïïïíï+-ï¢ï=+=ïïî得(,)S x y 在2R 上的唯一稳定点816,55⎛⎫⎪⎝⎭.2212418,,555xy x y S S S ⅱⅱⅱ===2124180,,,80555A B C B A C =>==D =-=-< 故点816,55⎛⎫⎪⎝⎭是极小点.根据问题实际意义,函数(,)S x y 在2R 上一定存在最小值,而(,)S x y 在2R 上只有唯一一个极小点,故(,)S x y 在点816,55⎛⎫ ⎪⎝⎭取得最小值.即平面点816,55⎛⎫⎪⎝⎭到三直线0,0x y ==,2160x y +-=的距离平方和最小.1、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定隐函数()y f x =,则dxdy= . 解法一令2(,)sin x F x y y e xy =+-,则2(,),(,)cos 2x x y F x y e y F x y y xy ''=-=-于是22(,)(,)cos 2cos 2x x x x dy F x y e y y e dx F x y y xy y xy'--=-=-='-- 解法二方程两边对x 求导得2c o s 20x d y d y y e y x y d x d x ⎛⎫⋅+-+⋅= ⎪⎝⎭ 2cos 2xdy y e dx y xy-=- 2、设方程0z e xyz -=确定隐函数(,)z f x y =,则z x ∂=∂ ,zy∂=∂ . 解法一令(,,)z F x y z e xyz =-,则 (,,),(,,),(,,)z x y zF x y z y z F x y z x z F x y z ex y'''=-=-=- 于是(,,)(,,)(,,)(,,)x z z y zz z F x y z yzx F x y z e xyF x y z z xz y F x y z e xy'∂=-='∂-'∂=-='∂-解法二方程两边分别对,x y 求偏导得00z z z z e y z x x x z z e x z y yy ∂∂⎧⎛⎫⋅-+⋅= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎨⎛⎫∂∂⎪⋅-+⋅= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎩于是,z z z yz z xzx e xy y e xy∂∂==∂-∂-.3、设sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r φθφθφ===,则(,,)(,,)x y z r θφ∂∂= .解2(,,)sin (,,)x y z r r φθφ∂=∂4、若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==与(,),(,)x x s t y y s t ==均有连续的偏导数,且(,)(,)14,(,)(,)2u v x y x y s t ∂∂==∂∂,则(,)(,)u v s t ∂=∂ .解(,)(,)(,)142(,)(,)(,)2u v u v x y s t x y s t ∂∂∂=⋅=⨯=∂∂∂ 5、若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数且(,)2(,)u v x y ∂=∂,则(,)(,)x y u v ∂=∂ .解(,)(,)2(,)x y u v u v ==∂∂∂ 二、选择题1、下列命题正确的是( D )A 、任何方程都可以确定一个隐函数；B 、任何方程所确定的隐函数是唯一的；C 、任何方程所确定的隐函数一定是初等函数；D 、如果一个方程在某点满足隐函数存在定理的条件,则它确定的隐函数是唯一的. 2、方程0sin 2=++xy y x 在原点(0,0)的某邻域内必可确定的隐函数形式为( A )A 、)(x f y =B 、)(y g x =C 、两种形式均可D 、无法确定 3、隐函数存在定理中的条件是隐函数存在的( A )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件4、方程组22201x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩所确定的隐函数组()()x f z y g z =⎧⎨=⎩的导数为 ( B ) A 、,dx y z dy z xdz y x dz x y --=--＝ B 、,dx y z dy z x dz x y dz x y --==-- C 、,dx y z dy x z dz x y dz x y--==-- D 、,dx y z dy x z dz y x dz x y--==-- 解方程两边分别对z 求导得102220dx dydz dzdx dy x y z dz dz ⎧++=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅+=⎪⎩解方程得,dx y z dy z x dz x y dz x y--==--. 三、证明方程ln 1(0,1,1)xz xy z y e ++=在点的某领域内能确定隐函数(,),x x y z =并求,x x y z∂∂∂∂. 解令(,,)ln 1,xz F x y z xy z y e =++-则(1) (,,),F x y z (,,),xz x F x y z y ze '=+(,,),y zF x y z x y'=+(,,)ln xz z F x y z y xe '=+都在(0,1,1)的某邻域内连续;(2) (0,1,1)0F =; (3) (0,1,1)20x F '=≠.故方程可确定隐函数(,)x f y z =.2(,,)(,,)y xz xzx z x F x y z x xy z yy y ze y yze F x y z +'∂+=-=-=-∂++' (,,)ln (,,)xzz xzx x F x y z y xe z y ze F x y z '∂+=-=-∂+'四、设方程组⎩⎨⎧=--=--0022xu v y yv u x 确定隐函数组(,),(,)u u x y v v x y ==,求,u vx x ∂∂∂∂. 解方程组关于x 求偏导得12020u v u y x xv u v u x x x ì抖ïï--=ïï抖íï抖ï---=ïï抖ïî解此方程组得24u v uy x uv xy ?=?,224v u xx xy uv?=?1、二元函数(,)f x y xy =在条件1x y +=下的存在 (极小值/极大值),其极大(小)值为 .解由2(1)f xy x x x x ==-=-,令120f x '=-=得稳定点12x =;又由于20f ''=-<,故函数在12x =取得极大值111,224f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.2、平面曲线09)(233=-+xy y x 在点(2,1)处的切线方程为 ,法线方程为 . 解令33(,)2()9F x y x y xy =+-,则22(,)69,(,)69x y F x y x y F x y y x ''=-=-22(,)69(,)69x y d y F x y x yd x F x y y x'-=-=-'- (2,1)54dy k dx ==- 故所求的切线方程为51(2)4y x -=--,即54140x y +-=. 法线方程为41(2)5y x -=-,即4530x y --=.3、空间曲线23,,x t y t z t ===在点1t =处的切线方程为 ,法平面方程为 .解由于21,2,3x y t z t '''===,则(1)1,(1)2,(1)3x y z '''===,故所求的切线方程为111123x y z ---== 法平面方程为(1)2(1)3(1)x y z -+-+-=,即2360x y z ++-=. 4、空间曲面236222x y z ++=在点()1,1,1P 处的切平面方程为 , 法线方程为 .解由于222(,,)236F x y z x y z =++-,则(,,)4,(,,)6,(,,)2x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''=== (1,1,1)4,(1,1,1)6,(1,1,1)2x y z F F F '''===故所求的切平面方程为4(1)6(1)2(1)x yz -+-+-=,即2360x y z ++-= 法线方程为111462x y z ---==,即11123x y z --==-. 5、曲面2132222=++z y x 在点的切平面与平面460x y z ++=平行. 解设所求的点为000(,,)x y z ,由于222(,,)2321F x y z x y z =++-,则(,,)2,(,,)4,(,,)6x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''===000000000000(,,)2,(,,)4,(,,)6x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''===0002220002461462321x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩ 解方程得000122x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或000122x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩,故所求的点为(1,2,2),(1,2,2)---.二、选择题1、在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中与平面24x y z ++=平行的切线( B ) A 、只有一条 B 、只有二条 C 、至少有三条 D 、不存在解设曲线在0t t =处的切线与平面24x y z ++=平行,由于21,2,3x y t z t '''==-= 则200000()1,()2,()3x t y t t z t t '''==-= 由已知可得2001430t t -+=于是013t =或01t =,故曲线上有两点的切线与平面24x y z ++=平行的点.2、曲线22260x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)M -处的切线平行于( C )A 、xoy 平面B 、yoz 平面C 、zox 平面D 、平面0x y z ++= 解令22212(,,)6,(,,)F x y z x y z F x y z x y z =++-=++,则11122211122211122222(,)2(),11(,)22(,)2()11(,)22(,)2()11(,)F F x y x y F F x y F F x y x yF F y z y z F F y z F F y z yzF F z x F F z xz x F F z x z x∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂ 121212(,)(,)(,)6,6,0(,)(,)(,)M M MF F F F F F x y y z z x ∂∂∂==-=∂∂∂故曲线在点(1,2,1)M -处的切线为121606x y z -+-==-,即202x z y +-=⎧⎨=-⎩ 该直线平行于xoz 平面.1、求表面积一定而体积最大的长方体.解设长方体的长、宽、高分别为,,x y z ,表面积为()20,a a >则问题转换为求函数(),,,f x y z xyz =在条件()22xy yz xz a ++=下的最大值.设()2,,,[2()]L x y z xyz xy yz xz a λλ=+++-,令()()()()220202020x y zL yz y z L xz x z L xy x y L xy yz xz a λλλλ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪'=++-=⎩ 解得x y z ===根据问题实际意义,体积最大的长方体一定存在,且稳定点只有一个,故表面积一定的长方体中正方体的体积最大.2、求曲线2222222393x y z z x yìï++=ïíï=+ïî在点(1,1,2)-的切线与法平面方程. 解设222222(,,)239,(,,)3F x y z x y z G x y z z x y =++-=--,在点(1,1,2)-处有4,6,4x y z F F F ⅱ ==-=,6,2,4x y zG G G ⅱ =-== (,)(,)(,)32,40,28(,)(,)(,)F G F G F G y z z x x y 抖 =-=-=-抖所以切线的法向量为(8,10,7),切线方程为1128107x y z -+-== 法平面方程为8(1)10(1)7(2)0x y z -+++-=或8107120x y z ++-=.1、=++⎰+∞0284x x dx.解 ()222000(2)1212lim lim arctan lim arctan 4822224822AA A A A dx d x x A x x x ππ+∞→+∞→+∞→+∞+++⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭++⎰⎰ 2、20x xe dx +∞-=⎰= .解()()2222200111limlim lim 1222AA x x x A A A A xedx xedx e d x e +∞----→+∞→+∞→+∞==--=--=⎰⎰⎰3、无穷积分dxx p 1+∞⎰在时收敛,在时发散. 解无穷积分dxxp 1+∞⎰在1p >时收敛,在1p ≤时发散(课本p263例3). 4、无穷积分1(,0)1mnxdx m n x ∞≥+⎰在时收敛,在时发散. 解由于lim lim 111m n n mn nx x x x x x x -→+∞→+∞⋅==++,故无穷积分⎰∞≥+0)0,(1n m dx x x n m在1n m ->时收敛,在1n m -≤时发散.5、无穷积分1sin p xdx x +∞⎰在时绝对收敛,在时条件收敛. 解无穷积分1sin pxdx x +∞⎰在1p >时绝对收敛,在1p ≤时条件收敛. 二、选择题1、f x dx ()-∞+∞⎰收敛是f x dx a()+∞⎰与f x dx a()-∞⎰都收敛的( B )A 、无关条件B 、充要条件C 、充分条件D 、必要条件解如果f x dx ()-∞+∞⎰收敛,则f x dx a()+∞⎰与f x dx a()-∞⎰都收敛,反之也成立. 2、设()0f x >且⎰+∞)(dx x f 收敛,则e f x dx x -+∞⎰()0( C )A 、可能收敛B 、可能发散C 、一定收敛D 、一定发散解当0x ≥时,()()xe f x f x -≤,而⎰+∞0)(dx x f 收敛,由比较判别法知e f x dx x -+∞⎰()0收敛.3、设)(x f 在[,)a +∞连续且c a <,则下列结论中错误的是( D )A 、如果 )(dx x f a ⎰+∞收敛,则 )(dx x f c ⎰+∞必收敛.B 、如果 )(dx x f a⎰+∞发散,则 )(dx x f c⎰+∞必发散.C 、 )(dx x f a ⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散.D 、 )(dx x f a⎰+∞收敛, )(dx x f c⎰+∞不一定收敛.解 ,A a ∀>由于)(x f 在[,)a +∞连续,故()x e f x -在[,],[,]a A a c 上连续从而在[,],[,]a A a c 上可积.又由于()()()Ac Ax x x aace f x dx e f x dx e f x dx ---=+⎰⎰⎰故l i m ()()l i m (x x xaac A A e f x dx e f x dx e f x dx ---→+∞→+∞=+⎰⎰⎰ 即 )(dx x f a⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散.4、设在[,)a +∞上恒有()()0f x g x ≥>,则( A ) A 、⎰+∞adx x f )(收敛,⎰+∞a dx x g )(也收敛B 、()af x dx +∞⎰发散,()ag x dx +∞⎰也发散C 、⎰+∞adx x f )(和⎰+∞adx x g )(同敛散D 、无法判断解由于0()()g x f x <≤,由比较判别法知当⎰+∞adx x f )(收敛时,⎰+∞adx x g )(也收敛(P270定理7).5、⎰∞+adx x f )(收敛是⎰∞+adx x f )(收敛的( B )A 、充分必要条件B 、充分条件C 、必要条件D 、既不是充分也不是必要条件解由于无穷积分性质知,果⎰∞+adx x f )(收敛,则⎰∞+adx x f )(也收敛(P267推论2).但逆命题不成立.例如无穷积分sin a xdx x +∞⎰收敛,但无穷积分sin a x dx x+∞⎰发散(P275,例11).三、讨论下列无穷限积分的敛散性(1)+∞⎰(2) 0+∞⎰ (3) 31arctan 1x x dx x+∞+⎰ (4) 11x xdx e +∞-⎰ 解 (1) 由于434lim 1,1,13x x d λ→+∞==>=故无穷积分+∞⎰收敛.(2) 由于121lim 1,,1,12x x d λ→+∞==<= 故无穷积分+∞⎰.(3) 由于23arctan lim ,21,122x x x x d x ππλ→+∞⋅==>=+ 故无穷积分31arctan 1x xdx x +∞+⎰收敛. (4) 由于2lim 0,21,01x x xx d e λ→+∞⋅==>=- 故无穷积分11x x dx e +∞-⎰收敛,从而无穷积分11x xdx e +∞-⎰也收敛. 四、讨论下列广义积分的绝对收敛性和条件收敛性201dx x +0100x + 解 (1) 由于()22sgn sin 111x x x≤++,而2011dx x +∞+⎰收敛,故()20sgn sin 1x dx x +∞+⎰绝对收敛.(2) 令(),()cos 100f x g x x x ==+,由于()f x '= 故当100x >时,()0f x '<.于是()f x 在[100,)+∞上单调递减且lim ()lim0x x f x →+∞→+∞==又由于0()()cos sin A A F A g x dx xdx A ===⎰⎰,()1F A ≤,故由狄里克雷判别法知无穷积分⎰收敛.另一方面)21cos 2121002(100)2100100x x x xx x x ⎡⎤+=≥==+⎢⎥++++⎣⎦可证0⎰发散,而0⎰收敛,故0dx ⎰发散,原积分条件收敛. 五、证明题若无穷积分()af x dx +∞⎰绝对收敛,函数()x ϕ在[,)a +∞上有界,则无穷积分()()af x x dx ϕ+∞⎰收敛.证明由于函数()x ϕ在[,)a +∞上有界,故0,[,)M x a ∃>∀∈+∞有 ()f x M ≤ 从而()()()f x x M f x ϕ≤ 由于无穷积分()af x dx +∞⎰绝对收敛,故()af x dx +∞⎰收敛.由比较判别法知,无穷积分()()af x x dx ϕ+∞⎰收敛.1、1=⎰.解由于1lim x →=∞,故1x =为瑕点,由瑕积分定义知()11120000001lim lim 1lim 2x εεεεεε---→+→+→==--=-⎰⎰⎰0lim 11ε→+⎤=-=⎦2、10ln xdx =⎰= .解由于0lim ln x x →+=-∞,故0x =为瑕点,由瑕积分定义知1111110000ln lim ln lim ln ln lim ln xdx xdx x x xd x x x dx εεεεεεεε→+→+→+⎡⎤⎡⎤==-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ []0l i m l n (1)1εεεε→+=---=- 3、是积分0sin xdx xπ⎰的瑕点. 解 0lim1,lim sin sin x x x x x xπ→+→-==∞ x π∴=是积分0sin xdx xπ⎰的瑕点. 4、瑕积分10(0)q dxq x >⎰在时收敛,在时发散.解瑕积分dxx q 01⎰在01q <<时收敛,在1q ≥时发散(P280例3).5、瑕积分201cos (0)m xdx m xπ->⎰在时收敛,在时发散. 解 0x = 是积分201cos (0)mxdx m x π->⎰的瑕点且 22001cos 1cos 1lim lim 2m m x x x x x x x -→+→+--⋅== ∴瑕积分201cos (0)mxdx m x π->⎰在03m <<时收敛,在3m ≥时发散.二、选择题1、瑕积分⎰-112xdx( D ) A 、收敛且其值为-2 B 、收敛且其值为2C 、收敛且其值为0D 、发散解 11122211001111lim lim 21dx dx dx x x x x x εεεεεεε----→+→+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+=--=-=∞⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 2、下列积分中不是瑕积分的是( B )A 、⎰e xx dx 1lnB 、⎰--12xdxC 、⎰-11x edx D 、⎰2cos πxdx解 ⎰e x x 1ln ,⎰-101x e ,⎰20cos x是瑕积分. 3、下列瑕积分中,发散的是(C )A 、0⎰B 、11211--⎰x dxC 、2211ln dx x x⎰D 、1⎰解对于积分10sin dxx⎰,0x =为瑕点,由于 0lim 1sin xx →= 故瑕积分10sin dx x⎰收敛.对于积分11211--⎰xdx ,1x =±为瑕点且12111211lim(1)lim lim (1)limx x x x x x →-→→-+→--==+==故瑕积分010,-⎰⎰均收敛,故原积分收敛;对于积分2211ln dx x x⎰,1x =为瑕点且22222111111(1)2(1)2lim(1)lim lim lim lim 12ln 2ln ln ln 2ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x→+→-→-→-→----⋅=====+++故该积分发散;对于积分10⎰,0x =为瑕点且 121lim(0)1x x →--= 故该积分收敛.4、若瑕积分⎰badx x f )(收敛(a 为瑕点),则下列结论中成立的是( B )A 、()baf x dx ⎰收敛B 、⎰badx x f )(收敛C 、⎰badx x f )(2收敛D 、⎰badx x f )(2发散解若瑕积分⎰badx x f )(收敛,则()b af x dx ⎰不一定收敛,例如1011sin dx x x⎰收敛,但111sin dx x x⎰发散(P287例10). 若瑕积分⎰b adx x f )(收敛,则⎰badx x f )(2可能收敛也可能发散,例如取()f x =,则瑕积分⎰b a dx x f )(收敛,⎰b a dxx f )(2发散;取()f x =,则瑕积分⎰b a dxx f )(收敛,⎰a dx x f )(2也收敛.5、当 ( A )时,广义积分10(0)1px dx p x <+⎰收敛. A 、 10p -<< B 、1-≤p C 、0<pD 、1-<p解当0p <时,⎰+101dx x x p为瑕积分,0x =为瑕点且 001lim lim 111p px x x x x x -→+→+⋅==++ 故当1p -<时,即当10p -<<时,广义积分⎰+101dx x xp 收敛. 三、讨论下列假积分的敛散性(1) 302sin x dx x π⎰ (2) 1⎰ (3) 10ln 1x dx x -⎰ (4)130arctan 1xdx x -⎰解 (1)0x =为瑕点且123002sin sin lim (0)lim 1x x x xx xx →+→+-⋅==故该积分收敛.(2)0,1x =为瑕点,10.5100=+⎰⎰⎰,由于1200111lim (0)lim 0ln lim(1lim 1x x x x x x x →+→+→-→-==-==-于是积分0.50⎰收敛,而1⎰发散,故原积分发散.(3)由于01ln ln lim,lim 111x x x xx x→+→-=∞=---,故0x =为瑕点.又由于 1200ln lim(0)lim 01x x x x x →+→+-⋅==- 故积分10ln 1xdx x-⎰收敛. (4)1x =为瑕点.由于3211arctan arctan lim(1)lim 1112x x x x x x x x π→-→--⋅==-++ 故积分130arctan 1xdx x -⎰发散.1、⎰→100sin lim dy x xyx = . 解 11100000sin sin 1lim lim 2x x xy xy dy dy ydy x x →→===⎰⎰⎰ 2、=-⎰dx x xx a b 10ln .)0(>>a b 解 11100011lnln 11b a b b b y y a a a x x b dx dx x dy dy x dx dy x y a -+====++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3、Γ函数与B 函数的关系为 .解 ()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+4、12⎛⎫Γ ⎪⎝⎭= ,()1n Γ+=.解 12⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭()1!n n Γ+=5、13,44B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解由于()131313134444,134414444B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===ΓΓ ⎪ ⎪ ⎪Γ⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭Γ+ ⎪⎝⎭,又由余元公式有1344sin 4ππ⎛⎫⎛⎫ΓΓ== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故13,44B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.二、选择题1、21ln()d xy dy dx ⎰=( )A 、0B 、x1C 、xD 、不存在解 []22221111111ln()ln()d d xy dy xy dy dy dy dx dx x x x ====⎰⎰⎰⎰ 2、⎰+∞-→022lim dy e y x x =( B )A 、2B 、41C 、21 D 、 4解 2[1,3],x yyx ee --∀∈≤,而无穷积分0y e dy +∞-⎰收敛,故含参变量无穷积分20x y edy +∞-⎰在{}(,)13,0R x y x y =≤≤≤<+∞上一致收敛.又由二元初等函数的连续性知2x y e -在R 上连续,故2240221lim lim 4x yx yy x x edy edy e dy +∞+∞+∞---→→===⎰⎰⎰3、2x edx +∞-=⎰( )A 、πB 、πC 、2πD 、2π 解 2x e dx +∞-=⎰(课本P316例13)4、22x x e dx +∞--∞=⎰( C )A 、πB 、πC 、2πD 、2π 解由于被积分函数为偶函数,故222202x x x e dx x e dx +∞+∞---∞=⎰⎰,对积分220x x e dx +∞-⎰,令x=则2112220000111311222242x tt tx e dx te dt t e dt t e dt +∞+∞+∞+∞----⎛⎫⎛⎫=⋅===Γ=Γ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰22x x e d x+∞--∞=⎰5、1122(1)n x dx --⎰=( C )A 、12n +⎛⎫Γ ⎪⎝⎭B 、11,22n B +⎛⎫⎪⎝⎭C 、111,222n B +⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、112,22n B +⎛⎫⎪⎝⎭解令x =则1111111222220001111(1)(1)(1),2222n n n n x dx t t t dt B ----+⎛⎫-=-=-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰三、证明下列含参量无穷积分在所指定的区间上一致收敛.(1) 0sin ,(0)tx e xdx a t a +∞-≤<+∞>⎰ (2) 230cos ,110t tx dx t x t +∞≤≤+⎰ 证明 (1) 由于s i n ,t x a x e x e a t --≤≤<+∞ 而无穷积分0ax e dx +∞-⎰收敛,故含参变量积分0sin tx e xdx +∞-⎰在[,)a +∞上一致收敛.(2) 由于232c o s 10,1101t t x t x t x ≤≤≤++ 而无穷积分2011dx x +∞+⎰收敛,故含参变量积分230cos t tx dx x t +∞+⎰在[1,10]上一致收敛. 四、用Γ函数和B 函数求下列积分.(1)⎰ (2)642sin cos x xdx π⎰解 (1)()()111220331113322422(1),22338x x dx B π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-==== ⎪ΓΓ⎝⎭⎰⎰(2) ()64207553113111753222222222sin cos ,22265!512x xdx B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓ⋅⋅⋅Γ⋅⋅⋅Γ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭====⎪Γ⎝⎭⎰1、2sin y xdy dx x ππππ-=⎰⎰.解 2000sin sin sin cos 2x y x x dy dx dx dy xdx x x xπππππππππ+-===-=⎰⎰⎰⎰⎰. 2、Ddxdy =⎰⎰ , 其中D 为椭圆19422=+y x 所围区域. 解Ddxdy ⎰⎰表示区域D 的面积,故6Ddxdy π=⎰⎰.3、()22Df x y dxdy '+=⎰⎰ , 其中D 为圆222x y R +=所围区域.解作极坐标变换,则()()()()22222220012RR Df x y dxdy d f r rdr d f r d r ππθθ'''+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()2221020f R f d f R f πθπ⎡⎤=-⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦⎰4、将二重积分化为累次积分：221x y fdxdy +≤⎰⎰=.解作极坐标变换,则()22211x y fdxdy d f r rdr πθ+≤=⎰⎰⎰⎰5、改变累次积分的顺序: ⎰⎰⎰⎰+2242220),(),(y x y dx y x f dy dx y x f dy = .解2422202122(,)(,)(,)y x y y xdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、选择题1、函数(,)f x y 在有界闭域D 上连续是二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰存在的( B )A 、充要条件B 、充分条件C 、必要条件D 、无关条件解连续一定可积,但可积不一定连续.2、设(,)f x y 是有界闭域222:a y x D ≤+上的连续函数,则201lim (,)a Df x y dxdy a π→⎰⎰=( B )A 、不存在B 、(0,0)fC 、(1,1)fD 、(1,0)f解由积分中值定理知,(,)D ξη∃∈,使2(,)(,)(,)D Df x y d x d y f S a f ξηπξη=⋅=⎰⎰故 22200011lim(,)lim(,)lim (,)(0,0)a a a Df x y dxdy a f f f a a πξηξηππ→→→=⋅==⎰⎰.3、若(,)f x y 在区域{}41),(22≤+≤=y x y x D 上恒等于1,则二重积分f x y dxdy D(,)⎰⎰=( D ) A 、0B 、πC 、2πD 、3π解22(,)213DDDf x y dxdy dxdy Sπππ===⋅-⋅=⎰⎰⎰⎰.。

数学分析第三次主观题答案

《数学分析选讲》第三次作业一、叙述题1．叙述函数)(x f 在0x 处可导的定义；2．叙述函数0()f x 为)(x f 的极大值的定义；二、判断下列命题的正误1. 若函数)(x f 在点0x 处的左、右导数都存在，则)(x f 在0x 处必连续. （错误）2. 若)(x f 在0x 处可导，则)(x f 在0x 处可微．（正确）3. 若两个函数在区间I 上的导数处处相等,则这两个函数必相等.（错误）4. 若)(x f 是可导的偶函数，则(0)0f '=. （正确） 5．若0(,)x a b ∈是)(x f 的导函数的间断点，则0x 是()f x '的第二类间断点. （正确） 6. 若00()0,()0f x f x '''=≠，则0x 一定是)(x f 的极值点.（错误）三、选择题1．设f 是奇函数，且0)(lim=→xx f x ，则（ A ） A )(x f y =在0=x 的切线平行于x 轴； B 0=x 是f 的极大值点； C 0=x 是f 的极小值点； D )(x f y =在0=x 的切线不平行于x 轴 2．设 )()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续但不可导，则()f a '=（ C ） A )(a ϕ； B ()a ϕ' ； C ()a ϕ'- ； D 不存在 3．设f 可导，则 (sec )d f x = （ B ）A 2(sec )sec f x x dx '； B (sec )sec tan f x x xdx '；C (sec )sec f x xdx '；D 2(sec )tan f x xdx '4．设函数()f x 可导且下列极限均存在，则不成立的是（ B ）A 0()(0)lim(0)x f x f f x →-'= ； B 0000(2)()lim ()h f x h f x f x h→+-'=；C 0000()()lim ()2h f x h f x h f x h →+--'= ；D 0000()()lim ()h f x f x h f x h→--'=5．设()ln f x x x =，且0()2f x '= ，则0()f x =（ C ）Ae 2 ； B 2e； C e ； D 1 6. 已知()x f e y = ，则y ''=（ D ）A ()()f x ef x ''；B ()x f e ； C ()2{[()]()}f x e f x f x '''+ ； D ()[()()]f x e f x f x '''+7．下列结论中正确的有（ C ）A 如果点0x 是函数()f x 的极值点，则有0()0f x '=；B 如果0()0f x '=，则点0x 必是函数()f x 的极值点；C 函数()f x 在区间(,)a b 内的极大值一定大于极小值；D 如果点0x 是函数()f x 的极值点，且0()f x '存在，则必有0()0f x '=8．设)(x f 可导，则220()()lim h f x h f x h→+-=（ B ）A ()f x ' ；B 2()f x ' ；C 0 ；D 2()()f x f x '四、计算题1．已知ln(y x =，求y '.解：2．设arcsin y x =，求y '解：3．⎩⎨⎧<+≥=11)(2x bax x x x f ，试确定a ，b 的值，使f 在1=x 可导.解：要使在可导，在必连续，于是必左连续.，从而在的右导数左导数为只要，则在的左导数与右导数相等，从而可导.这时4．用洛比塔法则求极限 )111(lim 0--→x x e x .解：五、证明题设()f x '在有限区间(,)a b 上有界，证明()f x 在(,)a b 上有界.。

数学分析第三章习题答案

数学分析第三章习题答案数学分析是数学的重要分支之一，它研究的是数学中的极限、连续、微分和积分等概念及其应用。

第三章是数学分析课程中的重要章节，主要讲述了函数的极限和连续性。

本文将为读者提供数学分析第三章习题的详细解答，帮助读者更好地理解和掌握这一章节的知识。

1. 设函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求f(x)在x = 2处的极限。

解答：要求f(x)在x = 2处的极限，即求lim(x→2)f(x)的值。

根据极限的定义，我们需要计算当x无限接近2时，f(x)的取值。

将x代入f(x)的表达式中，得到f(2) = 2^2 - 3×2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0。

因此，f(x)在x = 2处的极限为0。

2. 设函数f(x) = sin(x)，求f(x)在x = π/2处的极限。

解答：要求f(x)在x = π/2处的极限，即求lim(x→π/2)f(x)的值。

根据极限的定义，我们需要计算当x无限接近π/2时，f(x)的取值。

将x代入f(x)的表达式中，得到f(π/2) = sin(π/2) = 1。

因此，f(x)在x = π/2处的极限为1。

3. 设函数f(x) = 1/x，求f(x)在x = 0处的极限。

解答：要求f(x)在x = 0处的极限，即求lim(x→0)f(x)的值。

根据极限的定义，我们需要计算当x无限接近0时，f(x)的取值。

将x代入f(x)的表达式中，得到f(0) = 1/0，由于分母为0，这个表达式是无意义的。

因此，f(x)在x = 0处的极限不存在。

4. 设函数f(x) = x^3，求f(x)在x = -1处的极限。

解答：要求f(x)在x = -1处的极限，即求lim(x→-1)f(x)的值。

根据极限的定义，我们需要计算当x无限接近-1时，f(x)的取值。

将x代入f(x)的表达式中，得到f(-1) = (-1)^3 = -1。

因此，f(x)在x = -1处的极限为-1。

数学分析三习题答案

数学分析三习题答案【篇一：《数学分析》第三版全册课后答案 (1)】class=txt>------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第页(共)------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------【篇二：数学分析三试卷及答案】lass=txt>一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

111.求函数f(x,y)??在点(0,0)处的二次极限与二重极限.yx11解：f(x,y)，因此二重极限为0.……(4分)yx1111因为与均不存在，x?0yxy?0yx故二次极限均不存在。

……(9分)zxf(xy),yy(x),2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和f分别f(x,y,z)?0z?z(x)??dz数,求.dx解：对两方程分别关于x求偏导:dy?dzf(xy)xf(xy)(1)，??dxdx?……(4分)dydz?f?f?fz?0。

xydxdxdzfy?f(x?y)?xf?(x?y)(fy?fx)?解此方程组并整理得.……(9分) dxfy?xf?(x?y)fz3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程2z2zzz。

2?x?x?y?xx?yx?y设??,??,w?zey （假设出现的导数皆连续）.22解：z看成是x,y的复合函数如下：wx?yx?y。

《数学分析III》期末考试卷3 参考答案

红河学院XXXX —XXXX 学年秋季学期《数学分析III 》期末考试卷3参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共30分）1、ln 22、2dz dx dy =+3、1221x f f y z''-+ 4、1、113123x y z -+-==- 6、1、(1)s s + 8、11(,)xdx f x y dy ⎰⎰ 9、r 10、34R π二、判断题（在正确的命题后的括号内打“○”，错误的命题后的括号内打“×”每小题2分，共10分）题号 12345答案× × ○ ○ ×三、计算题（每小题10分，共60分）1、讨论函数222222(0(,)00x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)处的连续性，计算(0,0)x f 和(0,0)y f .解首先考虑(,)(0,0)lim(,)x y f x y →，引入变换cos x r θ=，cos y r θ=， ………………（2分）则(,)(0,0)x y →等价于对任意θ，0r →. 因此，222(,)(0,0)(,)(0,0)1lim (,)lim ()sinlim sin x y x y r f x y x y r r →→→=+=201lim sin0r r r→==. ………………（5分）由此可见，(,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=，所以该函数在(0,0)连续. …（6分）由偏导数的定义，200(,0)(0,0)(0,0)lim limx x x f x f f x∆→∆→∆-==∆()01lim sin0x x x∆→=∆=∆ ………………（8分）20(0,)(0,0)(0,0)limlim y y y f y f f y∆→∆→∆-==∆()01lim sin0y y y∆→=∆=∆ ………………（10分） 2、设,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.解记u x y =+，y v x =，1f f u ∂'=∂，2ff v∂'=∂，则由复合函数链式法则，122z z u z v yf f x u x v x x∂∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂∂. …………………（3分）再记2112f f u∂''=∂，212f f u v ∂''=∂∂，2222f f v ∂''=∂，…… 2122z z y f f x y y x y x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''==- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭…………………（5分） 11222221f f f f u v y u v f u y v y x u y v y x ⎛⎫''''∂∂∂∂∂∂∂∂'=+-+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭……………（7分）11122122222111y f f f f f x x x x⎛⎫'''''=+-+- ⎪⎝⎭ …………………（9分）11122222321x y y f f f f x x x -''''=+-- …………………（10分）3、制作一个无盖的长方形水箱，已知底部的造价为每平方米30元，侧面造价为每平方米10元，现用360元制作水箱，问如何设计水箱才能使其体积最大.解设水箱的长、宽、高分别为x ，y ，z 米，则该问题为求水箱体积V xyz=在限制条件3020()360xy x y z ++=（即32()360xy x y z ++-=）的最大值. …………………（3分）构造Lagrange 函数(,,,)(32()36)f x y z xyz xy x y z λλ=+++-. …（5分）下面求(,,,)f x y z λ的稳定点，由方程组(32)0(32)0(22)032()360x yz f yz y z f xz x z f xy x y f xy x y z λλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=++-=⎩得2x y ==，3z =………（8分）由实际问题可知，存在使体积V 达到最大的制作方式，又由稳定点是唯一的，故该稳定点必是所求的最大值点，即用360元制作的最大体积水箱的长、宽、高分别为2、2、3米，最大体积为12立方米. ………（10分）4、计算第二型曲线积分2()LI xydx x y dy x dz =+-+⎰其中，L 是螺旋线：cos x a t =，sin y a t =，z bt =从0t =到π的一段.解由第二型曲线积分的计算公式，32222220(cos sin cos sin cos cos )I a t t a t a t t a b t dt π=-+-+⎰……（5分）3322201111sin sin (1)sin 23222a t a t a b t t π⎡⎤⎛⎫=--+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……（8分）21(1)2a b π=+ …………………（10分）5、利用极坐标变换计算二重积分D⎰⎰，其中D 为圆周221x y +=与224x y +=所包围的区域在第一象限的部分.解引入极坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， ………………（2分）则在极坐标系下，区域D 可表示为{(,)0,12}2r r πθθ∆=≤≤≤≤. ……（4分）于是，2sin Dr rdrd θθ∆=⋅⎰⎰⎰⎰ ……………（6分） /22301sin d r dr πθθ=⎰⎰ ……………（8分）154=…………（10分） 6、求由球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围成的区域Ω的体积. 解设所求区域的体积为V ，则V dxdydzΩ=⎰⎰⎰. …………………（2分）引入柱面坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， z z =，则球面方程变为 224r z +=，抛物面方程变为23r z =. …………………（4分）由方程组22243r z r z⎧+=⎨=⎩，消去z 得Ω在xy 平面上的投影区域D 的边界曲线方程r =0z =. …………（5分）于是，Ω在柱面坐标下可表示为2{(,,)02,3r r z r z θθπ≤≤≤≤≤≤， ………………（7分）所以，22220/3)3r r V dxdydz d d rdr ππθθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰2192)36r rdr ππ==………………（10分）。

数学分析期中考试

数学分析期中考试关键信息项1、考试时间：＿___________________________2、考试地点：＿___________________________3、考试形式：＿___________________________4、考试范围：＿___________________________5、考试题型：＿___________________________6、监考人员：＿___________________________7、成绩评定方式：＿___________________________8、考试纪律及违规处理方式：＿___________________________11 考试时间考试将在具体日期具体时间开始，持续时长。

考生需提前提前时间到达考场，做好考试准备。

111 若因特殊情况导致考试时间调整，将提前通知提前时长通知考生。

12 考试地点考试地点安排在具体教学楼及教室。

考生应提前熟悉考场位置，以便按时参加考试。

121 考场将在考试前准备时长完成布置和检查，确保考试环境符合要求。

13 考试形式本次数学分析期中考试采用闭卷/开卷的形式进行。

131 闭卷考试时，考生不得携带任何与考试内容相关的资料、书籍、笔记等进入考场。

132 开卷考试时，考生仅可携带指定的教材、参考资料等，且必须遵守相关规定。

14 考试范围考试内容涵盖数学分析课程自开学以来至截止章节的知识点。

141 重点包括但不限于函数、极限、连续、导数、微分、积分等方面的概念、定理、公式及应用。

142 具体的考点和重点题型将在考前复习课中进行强调和讲解。

15 考试题型考试题型包括选择题、填空题、计算题、证明题等。

151 选择题主要考查对基本概念和定理的理解。

152 填空题侧重于对公式和计算方法的掌握。

153 计算题要求考生能够熟练运用所学知识进行计算和求解。

154 证明题旨在考察考生的逻辑推理和论证能力。

16 监考人员考试期间将安排X名监考人员负责考场的监督和管理。

《数学分析》I-2017-2018-1 期中考试试题参考答案

《数学分析》I-2017-2018-1期中考试试题参考答案一题，填空题（每空3分，共15分）1.lim$→$&f x≠A的定义为：∃ε->0,∀δ>0,∃x′,0<x′−x-<δ，有f x′−A≥ε-2.设f(x)在0点可导，则lim8→09:;<=>8;9(-)8?=:Af′(0)3.函数y=sgn(sin x) 的间断点为：kπ,k∈Z4.若lim$→∞$NO$;O$=9,则a=ln35.若函数f x=cos x;$?,x≠0a,x=0在x=0处连续，则a=1二题，选择题（每题3分，共15分）1.（D）2.（D）3.（D）4.（A）5.（C）三题、计算题（每题5分，共30分）1.lim$→0O V NW V NX VYZV(a>0,b>0,c>0)lim$→-a$+b$+c$3:$=lim$→-1+a$−1+b$−1+c$−13:$因为lim$→-a$−1+b$−1+c$−13x=13ln abc所以有：lim$→-O V NW V NX VYZV=abc^2.设x_N:=x_+2,x:=2,证明该数列收敛，并求其极限。

首先证明有界性，因为x:=2<2,假设x_<2，则有x_N:=x_+2<2。

由归纳法知该数列有界。

下证该数列单调递增：x_N:−x_=x_+2−x_;:+2=x_−x_;:x_+2+x_;:+2所以该数列单调，因为x:<x A,所以该数列单调递增。

由单调有界定理，该数列收敛。

假设极限为A，则有：A=A+2→A=23.设y=f(x+y),其中f具有二阶导数，且f′≠1,求b?cb$?y d=f d x+y1+y dy dd=f dd x+y1+y d A+f d x+y y′′所以有：y′′=f′′x+y1+y′A 1−f′x+y其中：y d=f d x+y/(1−f′(x+y)) 4.设y=sin A x,求y(_)解：y=sin A x=1−cos2x2y(-)=1−cos2x2n ≥1,有y_=1−cos 2x 2_=−122_cos 2x +nπ25. 设x =ln 1+t Ay =arctan t，求b ?c b$?d Ay dx A =d dx dy dx =d dx 11+t A 2t 1+t A =d dt 12t dt dx =−12t A 1+t A 2t =1+t A−4t Y6. 利用微分计算sin 30-30′(30d =lYm-≈0.0087)sin 30-30d 30d =π360≈0.0087=sin π6+π360≈sin π6+cos π6π360≈12+32π360四．证明题（本题10分）证明：五．论述题（每小题5分，共10分）1. 指出函数:$−:$的间断点，并指出其类型。

(完整版)数学分析(3)试卷及答案,推荐文档

二.填空题（每空 3 分，共 15 分）
(x 1)n
1. 级数 2n n 的收敛半径为
，收敛区间为
.
2. 若 z arctan y 在 (1,1)处可微，则 z (1,1)
x
x
， z (1,1)
.
y
3. 函数 z y sin(x y) 的全微分为
.
三.计算题（共
40
分）
1．计算下列定积分（每题 4 分，共 8 分）
（1）
1
1
x
2
dx
0 1 x2
（2）
e1 1x
(ln
x)
2
dxБайду номын сангаас
e
1
2．求级数
的和函数（8 分）
n1 n(n 1)(n 2)
4 , x 0, 3. 把函数 f (x)
,0x , 4
展成傅立叶级数.(8 分)
4.求极限 lim (x y) sin 1 .（8 分）
( x，y)(0,0)
0
, x 2 y 2 0,
在，但在此点不可微.（10 分）
2008-2009（一）《数学分析》(3-3)期末考试试卷 B
题
号
一
二
三
四
总分
得分
得分阅卷人一. 选择题(每题 3 1．下列说法错误的是
分,共
27 分) （）
A R 2 是开集但不是闭集
B (x, y) x2 y2 r 2 是闭集
4. 下列说法正确的是
（
）
A.若级数 un 是发散的，则cun 也是发散的.
B.若级数 un 是收敛的， vn 是发散的，则 un vn 可以是收

广工数分三试题答案

1. 球面坐标变换是（）A 书本262页（A ）sin cos 0sin sin ,0cos 02x r r y r z r ϕθϕθϕπϕθπ=≤<+∞⎧⎪=≤≤⎨⎪=≤≤⎩；（B ）sin cos 0sin sin ,02cos 02x r r y r z r ϕθϕθϕπϕθπ=≤<+∞⎧⎪=≤≤⎨⎪=≤≤⎩；（C ）sin cos 0sin sin ,0cos 0x r r y r z r ϕθϕθϕπϕθπ=≤<+∞⎧⎪=≤≤⎨⎪=≤≤⎩；（D ）sin cos 0sin sin ,02cos 02x r r y r z r ϕθϕθϕπϕθπ=≤<+∞⎧⎪=≤≤⎨⎪=≤≤⎩。

2. 下列函数一定是可积的是（）A 书本228页定理21.6（A ）有界闭区域D 上的连续函数；（B ）有界函数；（C ）任意函数；（D ）不连续函数（C ）cos ,0,02tan x r r y r θθπθ=⎧≤<+∞≤≤⎨=⎩；（D ）cos ,0,0sin x r r y r θθπθ=⎧≤<+∞≤≤⎨=⎩1. 称平面点集()},)(|,x {D 21d y c y x x y x y ≤≤≤≤=）（为y 型区域。

书232页公式（5）3. 设D 是单连通闭区域。

若函数(,),(,)P x y Q x y 在D 内连续，且有一阶连续偏导数，在以下四个条件中有一个与其余三个不等价，它是（）D 书本240页定理21.12 （A ）沿D 内任一按光滑封闭曲线L ，有0LPdx Qdy +=⎰。

（B ）对D 中任一按段光滑曲线L ，曲线积分LPdx Qdy +⎰与路线无关，只与L 的起点及终点有关。

（C ）Pdx Qdy +是D 内某一函数(,)u x y 的全微分，即在D 内有du Pdx Qdy =+。

（D ）在D 内处处成立P Q y x∂∂≠∂∂。

4. 若(,)f x y 与(,)g x y 在区域D 上可积，且(,)(,),(,),f x y g x y x y D ≤ ∈ 则（）A 书本228页二重积分性质4 （A ）(,)(,)DDf x y dxdyg x y dxdy ≤⎰⎰⎰⎰；（B ）(,)(,)DDf x y dxdyg x y dxdy <⎰⎰⎰⎰；（C ）(,)(,)DDf x y dxdyg x y dxdy >⎰⎰⎰⎰；（D ）(,)(,)DDf x y dxdyg x y dxdy =⎰⎰⎰⎰。

《数学分析III》期末试卷+参考答案

《数学分析（III ）》试题2005.1一．在球面上找点，满足，，，使得该球面在点处的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。

1222=++z y x ),,(0000z y x P 00>x 00>y 00>z 0P二．求球面（）被平面2222a z y x =++0>a 4a z =与2az =所夹部分的面积。

三．计算二重积分()∫∫+Ddxdy x y x 24，其中是由D x 轴，直线x y =以及曲线1=+y x ，2=+y x 所围成的平面闭区域。

四．计算三重积分∫∫∫，其中。

Ωdxdydz e z ||}1|),,({222≤++=Ωz y x z y x五．计算曲线积分∫+Lds z y 222，其中L 是球面（）与平面2222a z y x =++0>a y x =相交而成的圆周。

六．计算曲面积分，其中∫∫Σ++dxdy z dzdx y dydz x 222Σ为锥面在平面与（）之间的部分，定向为下侧。

222z y x =+0=z h z =0>h七．设是右半平面j i λλ)()(2),(24224y x x y x xy y x A +−+=}0|),({>=x y x D 上的向量场，试确定常数λ，使得为上函数的梯度场，并求出。

),(y x A D ),(y x u ),(y x u八．将|（sin |)(x x f =ππ≤≤−x ）展开为Fourier 级数，并分别求级数∑∞=−12141n n ，()∑∞=−122141n n的和。

九．设∫∞++=12)1(cos )(dt t t xtx f ，),(∞+−∞∈x 。

（1）证明积分∫∞++12)1(cos dt t t xt关于x 在),(∞+−∞上一致收敛；（2）证明；0)(lim =+∞→x f x （3）证明在上一致连续。

)(x f ),(∞+−∞《数学分析（III ）》试题答案2005.1一．（本题满分10分）33000===z y x 。

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数学分析下册期末试题（模拟）一、填空题（每小题3分，共24分）1、重极限22(,)limx y →=___________________2、设(,,)x yzu x y z e +=，则全微分du =_______________________3、设(sin ,)xz f x y y e =+，则zx∂=∂___________________ 4、设L 是以原点为中心，a 为半径的上半圆周，则22()Lxy ds +=⎰________.5、曲面222239x y z ++=和2223z x y =+所截出的曲线在点(1,1,2)-处的法平面方程是___________________________. 6、已知12⎛⎫Γ=⎪⎝⎭32⎛⎫Γ-= ⎪⎝⎭_____________. 7、改变累次积分的顺序，2120(,)x dx f x y dy =⎰⎰______________________.8、第二型曲面积分Sxdydz ydzdx zdxdy ++=⎰⎰______________，其中S 为球面2221x y z ++=，取外侧.二、单项选择题（每小题2分，共16分）1、下列平面点集，不是区域的是（）（A ）22{(,)14}D x y x y =<+≤ （B ）{(,)01,22}D x y x y =<≤-≤≤ （C ）{(,)01,1}D x y x y x =≤≤≤+ （D ）{(,)0}D x y xy => 2、下列论断，正确的是（）（A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都不存在，则该函数在00(,)x y 处重极限必定不存在.（B ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都存在且相等，则该函数在00(,)x y 处重极限必定存在.（C ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数都存在，则该函数在00(,)x y 处可微. （D ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微，则该函数在00(,)x y 处必定连续. 3、方程3230xyz x y z ++-=在原点附近能确定连续可微的隐函数形式是（）(A) (,)x x y z =(B)(,)y y x z =(C) (,)z z x y =(D) 以上选项都不对.4、设arctan 2z uv t =+，其中2tu e =，ln v t =，则1t dzdt=等于（）（A ）225e + （B ）225e - （C ）225e （D ）252e5、设平面曲线L ：()y f x =在[,]a b 上具有一阶连续偏导数，且点A 与B 的坐标分别为(,())a f a 与(,())b f b ，又设(,)P x y 和(,)Q x y 为L 上的连续函数，则沿L 从B 到A 的第二型曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰等于（）（A ）[](,())(,())()baP x f x Q x f x f x dx '+⎰（B ）[](,())(,())()abP x f x Q x f x f x dx '+⎰（C ）[](,())(,())()baP x f x Q x f x f x dx '+⎰（D ）[](,())()(,())abP x f x f x Q x f x dx '+⎰6、变换T ：x u uv =-，y uv =所对应的函数行列式(,)J u v 为（）(A)2u (B)2v(C) u (D) v 7、对于任意光滑封闭曲线L 中，以下第二型曲线积分中为零的是（）（A ）(sin )y Lx y dx xe dy -+⎰ （B ）2()2Lx y dx xydy --⎰（C ）sin()cos()Lxy dx x y dy ++⎰（D ）22L xdy ydxxy -+⎰8、下列积分区域D 中，既是x 型又是y 型的是（）(A)D 是由直线0x =，y x =和1y x =-所围成的闭区域. (B)D 是由直线y x =和曲线y =.(C)D 是由直线1x =，2x =和4y x =-所围成的闭区域. (D)D 是由直线y x =，0y =和曲线y =.三、计算题（每小题8分，共48分）1、讨论函数2222220(,)00xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)处的连续性，计算(0,0)x f 和(0,0)y f .2、设,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求2z x y ∂∂∂3、设方程组22x u yuy v xu⎧-=⎨-=⎩确定了隐函数组(,)(,)u u x yv v x y=⎧⎨=⎩，求vx∂∂和vy∂∂4、利用含参量积分计算10lnx xdxxβα-⎰，其中0αβ<<.5、计算22Lx ydx xy dy -⎰，其中L 是以R 为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点B .6、利用极坐标变换计算22Dy dxdy x⎰⎰，其中D 是由圆222x y x += (0)y ≥与x 轴所围成的平面区域.四、应用题（每小题6分，共12分）1、求由球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围成的区域Ω的体积.m长方体仓库，其中仓库顶的造价2、某工厂打算建造一个容积为25003m，仓库底面造价为300元/2m，仓库四周造价为100元/2m，为200元/2问如何设计可以使仓库的建造成本最小.参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共24分）1、22、()x yzedx zdy ydz +++ 3、12sin x f y f e ''+4、3a π 5、8(1)10(1)7(2)0x y z -+++-= （即810712x y z ++-=） 6、210(,)dy f x y dx ⎰ 8、4π二、单项选择题（每小题2分，共16分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DDCABCBB三、计算题（每小题8分，共48分）1、讨论函数2222220(,)00xyx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)处的连续性，计算(0,0)x f 和(0,0)y f .解首先考虑(,)(0,0)lim (,)x y f x y →，当点(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时，则有 ………………（2分）2222(,)(0,0)lim (,)lim (,)lim1x y x x y kxx kx kf x y f x kx x k x k→→→=⋅===++ 由此可见，该极限值随k 的变化而变化，故此极限不存在，从而函数(,)f x y 在原点不连续. …………（4分）由偏导数的定义，0(0,0)(0,0)0(0,0)limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆-===∆∆ …………（6分）0(0,0)(0,0)0(0,0)limlim 0y x x f y f f y y∆→∆→+∆-===∆∆ …………（8分）2、设,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求2z x y ∂∂∂.解记u x y =+，y v x =，1f f u ∂'=∂，2f f v∂'=∂，则由复合函数链式法则，122z z u z v yf f x u x v x x∂∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂∂. …………………（2分）再记2112ff u∂''=∂，212f f u v ∂''=∂∂，2222f f v ∂''=∂，…… 2122z z y f f x y y x y x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''==- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭…………………（3分）11222221f f f f u v y u v f u y v y x u y v y x ⎛⎫''''∂∂∂∂∂∂∂∂'=+-+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭……………（6分）11122122222111y f f f f f x x x x⎛⎫'''''=+-+- ⎪⎝⎭ …………………（7分）11122222321x y y f f f f x x x -''''=+-- …………………（8分）3、设方程组22x u yu y v xu ⎧-=⎨-=⎩确定了隐函数组(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，求v x ∂∂和vy ∂∂. 解方程组关于x 求偏导数得122x xx x uu yu vv u xu -=⎧⎨-=+⎩…………………（3分）解此方程组得，122v x u x v u y ⎛⎫∂=-+ ⎪∂+⎝⎭………………（4分）方程组关于y 求偏导数得212y yy y uu u yu vv xu -=+⎧⎨-=⎩…………………（7分）解此方程组得，1122v xuy v u y ⎛⎫∂=+ ⎪∂+⎝⎭. …………（8分）4、利用含参量积分计算1ln x x dx xβα-⎰，其中0αβ<<. 解因为ln yx x x dy xβαβα-=⎰，所以 …………………………（2分）1100ln y x x dx dx x dy x βαβα-=⎰⎰⎰.由于被积函数(,)yf x y x =在[0,1][,]αβ⨯上连续，………………………（4分）故由含参量积分连续性定理，交换积分顺序得111000ln y y x x dx dx x dy dy x dx xβαββαα-==⎰⎰⎰⎰⎰ …………………（6分）11ln 11dy y βαβα+==++⎰…………………精品文档.（8分）5、计算22Lx ydx xy dy -⎰，其中L 是以R 为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点B .解题设中的右半圆周从点A 到点B 的参数方程为cos sin x R y R θθ=⎧⎨=⎩，其中θ从2π到2π-. ………………………（3分）又()sin x R θθ'=-，()cos y R θθ'=，故第二型曲线积分 …………（4分）/222422422/2(cos sin cos sin )Lx ydx xy dy R R d ππθθθθθ--=-+⎰⎰……（6分）44/2/2(1cos 4)44R R d πππθθ-=-=⎰ …………………（8分）6、利用极坐标变换计算22Dy dxdy x⎰⎰，其中D 是由圆222x y x += (0)y ≥与x 轴所围成的平面区域.解引入极坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， …………………………（2分）则积分区域D 在此极坐标变换下变为{(,)0,02cos }2r r πθθθ∆=≤≤≤≤，………………………（4分）所以，精品文档.222/22cos 22200sin sin cos cos D y dxdy rdrd d rdr x πθθθθθθθ∆==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ………………（6分）/2202sin 2d ππθθ==⎰……………（8分）四、应用题（每小题6分，共12分）1、求由球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围成的区域Ω的体积.解设所求区域的体积为V ，则V dxdydz Ω=⎰⎰⎰. …………………（2分）引入柱面坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， z z =，则球面方程变为224r z +=，抛物面方程变为23r z =. …………………（3分）由方程组22243r z r z⎧+=⎨=⎩，消去z 得Ω在xy 平面上的投影区域D 的边界曲线方程r =0z =.于是，Ω在柱面坐标下可表示为2{(,,)02,3r r z r z θθπ≤≤≤≤≤≤，………………（4分）所以，22220/3)3r r V dxdydz d d rdr ππθθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰20192)36r rdr ππ==………………（6分）2、某工厂打算建造一个容积为25003m 长方体仓库，其中仓库顶的造价精品文档.为200元/2m ，仓库底面造价为300元/2m ，仓库四周造价为100元/2m ，问如何设计可以使仓库的建造成本最小.解设仓库的长宽高分别为x ，y ，z ，则由题设有2500xyz =. 又设建造仓库的成本为S ，则(,,)100(22)300200S S x y z xz yz xy xy ==+++500200200xy xz yz =++ …………（2分）因此，所求问题可归结为在约束条件2500xyz =下，函数(,,)S x y z 的最小值问题.构造拉格朗日函数(,,,)500200200(2500)L x y z xy xz yz xyz λλ=+++- ………（3分）令50020005002000200200025000x yzL y z yz L x z xz L x y xy L xyz λλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=-=⎩，解之得101025x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ………（5分）即仓库的长、宽、高分别为10m ，10m ，25m 时，造价最小，为150000元.………（6分）。