电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)第3章
电磁场与电磁波第二版课后答案 (2)
电磁场与电磁波第二版课后答案第一章：电荷和电场1.1 选择题1.电场可以向量形式来表示。
2.使得电体带有不同种类电荷的原子或分子是离子化。
3.在法拉弹规定空气是电介质。
4.电荷量的基本单位是库仑。
5.元电荷是正负电荷的最小电荷量。
6.在电场中电荷所受力的方向完全取决于电荷性质和场的性质和方向。
7.电势能是标量。
8.空间中一点产生的电场是该点电荷所受电场的矢量和。
9.电场E的国际单位是NC−1。
10.电场强度受逼迫电荷的正负种类影响，但与电荷的量无关。
1.2 填空题1.空间中一点产生的电场是该点电荷所受电场的矢量和。
2.计算质点电荷q在某点产生的电场的公式是$\\vec{E}=\\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0}\\frac{q}{r^2}\\vec{r}$。
3.计算正半球壳在某点产生的电场的公式是$\\vec{E}=\\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0}\\frac{Q}{r^2}\\vec{r}$。
4.位置在球心，能量源是正半球壳带点，正半球在转轴一侧电势能是0。
5.半径为R的均匀带点球壳，带电量为Q，求通过球心的电束强度的公式是$\\frac{Q}{4\\pi\\epsilon_0R^2}$。
1.3 计算题1.两个带电量分别为q1和q2的点电荷之间的相互干扰力公式是$\\vec{F}=\\frac{q_1q_2}{4\\pi\\epsilon_0r^2}\\vec{r}$。
2.一个电荷为q的质点，和一个均匀带有电量Q的半球壳之间的相互干扰力公式是$\\vec{F}=\\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0}\\frac{qQ}{r^2}\\vec{r}$。
第二章：电磁感应和电磁波2.1 选择题1.电磁感应是由磁通变化产生的。
2.电磁感应一定要在导电体内才能产生电流是错误的。
√3.在电磁感应现象中，即使磁通量不变时导体电流也会产生改变。
4.电磁感应现象是反过来实现的。
电磁场与电磁波课后习题答案全-杨儒贵
第一章矢量分析第一章 题 解1-1 已知三个矢量分别为z y e e e A x 32-+=；z y e e e B x 23++=；z e e C x -=2。
试求①|| |,| |,|C B A ；②单位矢量c b a e e e , ,；③B A ⋅；④B A ⨯；⑤C B A ⨯⨯)(及B C A ⨯⨯)(；⑥B C A ⋅⨯)(及C B A ⋅⨯)(。
解 ① ()14321222222=-++=++=z y x A A A A14213222222=++=++=z y x B B B B ()5102222222=-++=++=z y x C C C C② ()z y e e e A A A e x a 3214114-+===()z y e e e B B B e x b 2314114++===()z e e C C C e x c -===2515 ③ 1623-=-+=++=⋅z z y y x x B A B A B A B A④ z y zyz yx z y xz y B B B A A A e e e e e e e e e B A x x x5117213321--=-==⨯ ⑤ ()z y z y e e e e e e C B A x x22311125117+-=---=⨯⨯因z y zyz y x z y xC C C A A A e e e e e e e e e C A x x x x x452102321---=--==⨯则()z y z y e e e e e e B C A x x 1386213452+--=---=⨯⨯⑥ ()()()152131532=⨯+⨯-+⨯-=⋅⨯B C A()()()1915027=-⨯-++⨯=⋅⨯C B A 。
1-2 已知0=z 平面内的位置矢量A 与X 轴的夹角为，位置矢量B 与X 轴的夹角为，试证βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-证明 由于两矢量位于0=z 平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为ααsin cos A A y e e A x += ββsin cos B B y e e B x +=已知()βα-=⋅cos B A B A ，求得()BA B A B A βαβαβαsin sin cos cos cos +=-即βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1-3 已知空间三角形的顶点坐标为)2 ,1 ,0(1-P ，)3 ,1 ,4(2-P 及)5 ,2 ,6(3P 。
电磁场与电磁波第二版课后答案
电磁场与电磁波第二版课后答案本文档为《电磁场与电磁波》第二版的课后答案，包含了所有章节的练习题的答案和解析。
《电磁场与电磁波》是电磁学领域的经典教材，它讲述了电磁场和电磁波的基本原理和应用。
通过学习本书，读者可以深入了解电磁学的基本概念和原理，并且能够解决一些相关问题。
第一章绪论练习题答案1.电磁场是由电荷和电流产生的一种物质性质，具有电场和磁场两种形式。
电磁波是电磁场的振动。
电磁辐射是指电磁波传播的过程。
2.对于一点电荷，其电场是以该点为中心的球对称分布，其强度与距离成反比。
对于无限长直导线产生的电场，其强度与距离呈线性关系，方向垂直于导线轴线。
3.电磁场的本质是相互作用力。
电场力是由于电荷之间的作用产生的，磁场力是由于电流之间的作用产生的。
解析1.电磁场是由电荷和电流产生的物质性质。
当电荷存在时，它会产生一个电场，该电荷周围的空间中存在电场强度。
同时，当电流存在时，它会产生一个磁场，该电流所在的区域存在磁场。
电磁波是电磁场的振动传播。
电磁波是由电磁场的变化引起的，相邻电磁场的振动会相互影响，从而形成了电磁波的传播。
电磁辐射是指电磁波在空间中的传播过程。
当电磁波从一个介质传播到另一个介质时，会发生折射和反射现象。
2.在一点电荷产生的电场中，电场强度与该点到电荷的距离成反比，即\(E = \frac{{k \cdot q}}{{r^2}}\)，其中\(E\)为电场强度，\(k\)为电场常数，\(q\)为电荷量，\(r\)为距离。
对于无限长直导线产生的电场，其电场强度与离导线的距离呈线性关系。
当离无限长直导线的距离为\(r\)时，其电场强度可表示为\(E = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2 \pi \cdot r}}\)，其中\(E\)为电场强度，\(\mu_0\)为真空中的磁导率，\(I\)为电流强度。
3.电磁场的本质是相互作用力。
当两个电荷之间有作用力时，这个作用力是由于它们之间的电场力产生的。
电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)全套完整版
2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：)0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。
解 令321,,r r r 分别为三个电电荷的位置321,,P P P 到P 点的距离，则21=r ，32=r ，23=r 。
利用点电荷的场强公式r e E 204rq πε=，其中r e 为点电荷q 指向场点P 的单位矢量。
那么，1q 在P 点的场强大小为021011814πεπε==r q E ，方向为()z yr e ee +-=211。
2q 在P 点的场强大小为0220221214πεπε==r q E ，方向为()z y xr e e ee ++-=312。
3q 在P 点的场强大小为023033414πεπε==r q E ，方向为y r e e -=3则P 点的合成电场强度为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 0321πε2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为6102-⨯C ，相距为2cm ， 如习题图2-4所示。
试求：①P 点的电位；②将电量为6102-⨯C 的点电荷由无限远处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。
解 根据叠加原理，P 点的合成电位为()V 105.24260⨯=⨯=rq πεϕ因此，将电量为C 1026-⨯的点电荷由无限远处缓慢地移到P 点，外力必须做的功为()J 5==q W ϕ2-6 已知分布在半径为a 的半圆周上的电荷线密度πφφρρ≤≤=0 ,sin 0l ，试求圆心处的电场强度。
解 建立直角坐标，令线电荷位于xy 平面，且以y 轴为对称，如习题图2-6所示。
那么，点电荷l l d ρ在圆心处产生的电场强度具有两个分量E x 和E y 。
由于电荷分布以y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的y E 分量，即习题图2-4习题图2-6φπερsin 4d d d 20a lE E l y ==考虑到φρρφsin ,d d 0==l a l ，代入上式求得合成电场强度为y y aa e e E 0002008d sin 4ερφφπερπ==⎰2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=a r aqr a r r q, ,2r e E试求球内外各点的电位。
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r1 r2 r1r2 因此，
cos sin1 sin2 (cos1 cos2 sin1 sin2 ) cos1 cos2 sin1 sin2 cos(1 2 ) cos1 cos 2
cos( ) cos cos sin sin 证明 由于两矢量位于 z 0平面内，因此均为二维矢量， 它们可以分别表示为
A ex A cos ey A sin B ex B cos ey B sin
已 知 A B A B c o s ， 求 得
cos A B cos cos A B sin sin
AB
即
cos( ) cos cos sin sin
1-3 已 知 空 间 三 角 形 的 顶 点 坐 标 为 P1(0, 1, 2) ， P2 (4, 1, 3) 及 P3 (6, 2, 5) 。试 问 ：① 该 三 角 形 是 否 是 直 角 三 角形；②该三角形的面积是多少？ 解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为
解 ① A Ax2 Ay2 Az2 12 22 32 14
B
Bx2
B
2 y
Bz2
32 12 22 14
C Cx2 Cy2 Cz2 22 02 12 5
②
ea
A A
A 14
1 14
ex 2ey 3ez
4
将点 P(1,2,3)
的
坐
标
代
入
，
得
P
e y
6
e3
ez
3 e3 。 2
那么，在 P 点的最大变化率为
电磁场与电磁波课后习题与答案三章习题解答
三章习题解答3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。
解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为33[]4q R R π+-+-=-=R R D 22322232()(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量d d zz SSS Φ====⎰⎰D S D e g g22322232()[]2d 4()()aq a ar r r a r a ππ--=++⎰22121)0.293()aqaq q r a =-=-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314ra Ze r r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D e ，试证明之。
解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 124rZer π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 333434a a Ze Zer r ρππ=-=-电子云在原子内产生的电通量密度则为 32234344r ra r Ze rr r ρπππ==-D e e题3.1 图题3. 3图()a故原子内总的电通量密度为 122314ra Ze r r r π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。
求空间各部分的电场。
解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。
但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。
电磁场与电磁波实际(第二版)(徐立勤-曹伟)第3章习题解答
第3章习题解答3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：(1)()2,,x y z Ax Bx C Φ=++； (2)(),,x y z Axyz Φ=；(3)()2,,sin z A B z Φρϕρϕρ=+； (4)()2,,sin cos r Ar Φθϕθϕ=。
解：已知空间的电位分布，由E Φ=-∇和20/Φρε∇=-可以分别计算出电场强度和体电荷密度。
(1) ()2x E e Ax B Φ=-∇=-+ 0202εερA -=Φ∇-= (2) ()x y z E A e yz e xz e xy Φ=-∇=-++ 020=Φ∇-=ερ (3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρϕΦρϕρϕρ⎡⎤=-∇=-+++⎣⎦20004sin sin 3sin BzBz A A A ρεΦεϕϕεϕρρ⎛⎫⎛⎫=-∇=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (4) ()2sin cos cos cos sin r E e Ar e Ar e Ar θϕΦθϕθϕϕ=-∇=-+-200cos 2cos cos 6sin cos sin sin A A A θϕϕρεΦεθϕθθ⎛⎫=-∇=-+- ⎪⎝⎭3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为0S ρ的面电荷。
试求球心处的电位。
解：上顶面在球心产生的电位为0011100)()22S S d R d ρρΦεε==- 下顶面在球心产生的电位为0022200)()22S S d R d ρρΦεε==- 侧面在球心产生的电位为030014π4πS S SSRRρρΦεε==⎰式中212124π2π()2π()2π()S R R R d R R d R d d =----=+。
因此球心总电位为1230S R ρΦΦΦΦε=++=3.6有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。
电磁场与电磁波课后答案
第一章 矢量场1.1 z y x C z y x B z y xA ˆˆˆ3;ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2+-=-+=-+=ρρρ 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB C ⨯ ； (e) ()ρρρA B C ⨯⨯ (f)()ρρρA B C ⨯⋅ 解：(a) 14132222222=++=++=z y x A A A A ; (b) )ˆ2ˆˆ(61ˆz y x BB b -+==ρρ( c) 7=⋅B A ρρ; (d) z y xC B ˆ4ˆ7ˆ---=⨯ρρ (e)z y x C B A ˆ4ˆ2ˆ2)(-+=⨯⨯ρρρ (f)19)(-=⋅⨯C B A ρρρ 1.2 ρA z =++2∃∃∃ρπϕ; ρB z =-+-∃∃∃ρϕ32 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB A ⨯ ; (e) B A ρρ+解：(a) 25π+=A ;(b) )ˆ2ˆ3ˆ(141ˆz b -+-=ϕρ;(c) 43-=⋅πB A ρρ (d) z A B ˆ)6(ˆ3ˆ)23(+--+=⨯πϕρπρρ (e) z B A ˆˆ)3(ˆ-++=+ϕπρρρ 1.3 ρA r=+-22∃∃∃πθπϕ; ρB r =-∃∃πθ 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB A ⨯ ; (e) ρρA B +解：(a) 254π+=A ； (b) )ˆˆ(11ˆ2θππ-+=r b ； (c) 22π-=⋅B A ρρ ； (d) ϕπθππˆ3ˆ2ˆ22++=⨯rA B ρρ ; (e) ϕπˆ2ˆ3-=+r B A ρρ 1.4 ρA x y z =+-∃∃∃2; ρB x y z =+-α∃∃∃3 当ρρA B ⊥时，求α。
解：当ρρA B ⊥时，ρρA B ⋅=0, 由此得 5-=α1.5 将直角坐标系中的矢量场ρρF x y z xF x y z y 12(,,)∃,(,,)∃==分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。
电磁场与电磁波(杨儒贵_版)课后思考题答案
电磁场与波课后思虑题1-1 什么是标量与矢量?举例解释.仅具有大小特点的量称为标量.如:长度,面积,体积,温度,气压,密度,质量,能量及电位移等.不但具有大小并且具有偏向特点的量称为矢量.如:力,位移,速度,加快度,电场强度及磁场强度.1-2 矢量加减运算及矢量与标量的乘法运算的几何意义是什么? 矢量加减运算暗示空间位移.矢量与标量的乘法运算暗示矢量的伸缩.1-3 矢量的标积与矢积的代数界说及几何意义是什么? 矢量的标积: ,A矢量的模与矢量B在矢量 A偏向上的投影大小的乘θcos B A B A B A B A B A z z y y x x =++=⋅积.矢积: 矢积的偏向与矢量A,B 都垂直,且由矢量A 扭转到B,并与矢积组成右旋关系,大小为1-4 什么是单位矢量?写出单位矢量在直角坐标中的表达式. 模为1的矢量称为单位矢量.1-5 梯度与偏领导数的关系是什么?试述梯度的几何意义,写出梯度在直角坐标中的暗示式.标量场在某点梯度的大小等于该点的最大偏领导数, 偏向为该点具有最大偏领导数的偏向.梯度偏向垂直于等值面,指向标量场数值增大的偏向 在直角坐标中的暗示式: 1-6 什么是矢量场的通量?通量值为正,负或零时分离代表什么意义?矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分称为矢量A 经由过程该有向曲面S 的通量,以标量暗示,即 通量为零时暗示该闭合面中没有矢量穿过.通量为正时暗示闭合面中有源;通量为负时暗示闭合面中有洞. 1-7 给出散度的界说及其在直角坐标中的暗示式. z y x zy x z y x B B B A A A e e e B A=⨯θsin B A e z θsin B Aa e zy x e e e γβαcos cos cos ++=zy x e ze y e x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⎰⋅=SS A Ψ d V S V Δd lim div 0Δ⎰⋅=→SA A散度：当闭合面S 向某点无穷压缩时,矢量A 经由过程该闭合面S 的通量与该闭合面包抄的体积之比的极限称为矢量场A 在该点的散度.直角坐标情势： 1-8 试述散度的物理概念,散度值为正,负或零时分离暗示什么意义? 物理概念：经由过程包抄单位体积闭合面的通量.散度为正时暗示辐散,为负时暗示辐合,为零时暗示无能量流过. 1-9 试述散度定理及其物理概念.散度定理:树立了区域 V 中的场和包抄区域V 的闭合面S 上的场之间的关系物理概念: 散度定理树立了区域 V 中的场和包抄区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系.1-10 什么是矢量场的环量?环量值为正,负或零时分离代表什么意义?矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A 沿该曲线的环量,即: 若在闭合有向曲线l 上,环量为正,则暗示矢量场A 的偏向处处与线元dl 的偏向保持一致;环量为负,刚暗示处处相反;环量为零,则暗示曲线l 不包含矢量场A.1-11 给出旋度的界说及其在直角坐标中的暗示式.若以符号 rotA 暗示矢量 A 的旋度,则其偏向是使矢量 A 具z A y A x A A div z y x∂∂+∂∂+∂∂= A⋅∇=⎰⋅=Γl l A d z y xe e e有最大环量强度的偏向,其大小等于对该矢量偏向的最大环量强度,即1-12 试述旋度的物理概念,旋度值为正,负或零时分离暗示什么意义?矢量场的旋度大小可以以为是包抄单位面积的闭合曲线上的最大环量.1-13 试述斯托克斯定理及其物理概念. 或物理概念: 树立了区域 S 中的场和包抄区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系1-14 什么是无散场和无旋场?任何旋度场是否必定是无散的,任何梯度场是否必定是无旋的?无散场:散度处处为零的矢量场无旋场:旋度处处为零的矢量场 任何旋度场必定是无散场; 任何梯度场必定是无旋场.1-15 试述亥姆霍兹定理,为什么必须研讨矢量场的散度和旋度?若矢量场 F(r) 在无穷区域中处处是单值的, 且其导数持续有界,源散布在有限区域 V 中,则当矢量场的散度及旋度给定后,该矢量场 F(r) 可以暗示为式中该定理标明任一矢量场均可暗示为一个无旋场与一个无散场之和,所以矢量场的散度及旋度特点是研讨矢量场的重要问题⎰⎰⋅=⋅l S l A S A d d )rot ( ⎰⎰⋅=⋅⨯∇lS l A S A d d )( 0)(=⨯∇⋅∇A 0)(=∇⨯∇Φ)()()(r A r r F ⨯∇+Φ-∇=2-1 电场强度的界说是什么？若何用电场线描写电场强度的大小及偏向？电场对某点单位正电荷的感化力称为该点的电场强度,以 E 暗示.用曲线上各点的切线偏向暗示该点的电场强度偏向,这种曲线称为电场线.电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小.2-2给出电位与电场强度的关系式,解释电位的物理意义.静电场中某点的电位,其物理意义是单位正电荷在电场力的感化下,自该点沿任一条路径移至无穷远处进程中电场力作的功. 2-3什么是等位面？电位相等的曲面称为等位面.2-4什么是高斯定理？ 式中e 0 为真空介电常数. 称为高斯定理,它标明真空中静电场的电场强度经由过程任一关闭曲面的电通等于该关闭曲面所包抄的电量与真空介电常数之比. 2-5给出电流和电流密度的界说. 电流是电荷的有规矩活动形成的.单位时光内穿过某一截面的电荷量称为电流.分为传导电流和运流电流两种.传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子活动形成的电流.⎰=⋅S q S E 0d εtqI d d =运流电流是电子.离子或其它带电粒子在真空或气体中活动形成的电流.电流密度：是一个矢量,以 J 暗示.电流密度的偏向为正电荷的活动偏向,其大小为单位时光内垂直穿过单位面积的电荷量. 2-6什么是外源及电动势？外源长短电的能源,可所以电池,发电机等. 外电场由负极板 N 到正极板 P 的线积分称为外源的电动势,以e 暗示,即达到动态均衡时,在外源内部E E '-= ,所以上式又可写为 2-7什么是驻立电荷？它和静止电荷有什么不合？极板上的电荷散布固然不变,但是极板上的电荷其实不是静止的.它们是在不竭地更替中保持散布特点不变,是以,这种电荷称为驻立电荷.驻立电荷是在外源感化下形成的,一旦外源消掉,驻立电荷也将随之逐渐消掉.2-8试述电流持续性道理.假如以一系列的曲线描写电流场,令曲线上各点的切线偏向暗示该点电流密度的偏向,这些曲线称为电流线.电流线是持续闭合的.它和电场线不合,电流线没有起点和终点,这一结论称为电流持续性道理.2-9给出磁通密度的界说.描写磁场强弱的参数是磁通密度,又可称磁感应强度 这个矢量B 就是磁通密度,单位T （特）SJ I d d ⋅=lE e PN d ⋅'=⎰l E e PN d ⋅-=⎰B v q ⨯=F2-10活动电荷,电流元以及小电流环在恒定磁场中受到的影响有何不合？活动电荷受到的磁场力始终与电荷的活动偏向垂直,磁场力只能改变其活动偏向,磁场与活动电荷之间没有能量交流.当电流元的电流偏向与磁感应强度 B 平行时,受力为零;当电流元的偏向与 B 垂直时,受力最大,电流元在磁场中的受力偏向始终垂直于电流的流淌偏向.当电流环的磁矩偏向与磁感应强度 B 的偏向平行时,受到的力矩为零;当两者垂直时,受到的力矩最大2-11什么是安培环路定理？试述磁通持续性道理.m 0为真空磁导率 ,70 10π4-⨯=μ (H/m),I 为闭合曲线包抄的电流.安培环路定理标明：真空中恒定磁场的磁通密度沿随意率性闭合曲面的环量等于曲线包抄的电流与真空磁导率的乘积.真空中恒定磁场经由过程随意率性闭合面的磁通为0.磁场线是处处闭合的,没有起点与终点,这种特点称为磁通持续性道理.2-12什么是感应电动势和感应磁通？ 感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势,即穿过闭合线圈中的磁通产生变更时,线圈中产生的感应电动势Bv q ⨯=F Bl I F ⨯=d ISB B Il IlBl Fl T ====2)(B S I T ⨯=S I =m B T ⨯=m tl E l d d d Φ-=⋅⎰ t e d d Φ-=e为线圈中感应电流产生的感应磁通偏向老是阻碍原有刺磁通的变更,所以感应磁通又称反磁通.2-13什么是电磁感应定律？称为电磁感应定律,它标明穿过线圈中的磁场变更时,导线中产生感应电场.它标明,时变磁场可以产生时变电场.3-1.试述真空中静电场方程及其物理意义.积分情势：∮sE•dS=q/ε∮lE•dL=0微分情势：！•E=ρ/ε！×E=0物理意义：真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比;旋度处处为零.3-2.已知电荷散布,若何盘算电场强度？根据公式E（r）=∫v’ρ（r’）(r-r’)dV’/4πε｜r-r’｜^3已知电荷散布可直接盘算其电场强度.3-3.电场与介质互相感化后,会产生什么现象？会产生极化现象.3-7.试述静电场的鸿沟前提.在两种介质形成的鸿沟上,两侧的电场强度的切向分量相等,电通密度的法向分量相等;在两种各向同性的线性介质形成的鸿沟上,电通密度切向分量是不持续的,电场强度的法向分量不持续. 介质与导体的鸿沟前提：en×E=0 en•D=ρs：若导体四周是各向同性的线性介质,则En=ρs/ε ?φ/?n=-ρs/ε. 3-8.自由电荷是否仅存于导体的概况因为导体中静电场为零,由式▽·D=p 得知,导体内部不成能消失自由电荷的体散布.是以,当导体处于静电均衡状况时,自由电荷只能散布在导体的概况.3-9.处于静电场中的任何导体是否必定是等为体因为导体中不消失静电场,导体中的电位梯度▽=0,这就意味着到导体中电位不随空间变更.所以,处于静电均衡状况的导体是一个等位体.3-10.电容的界说是什么？若何盘算多导体之间的电容？由物理学得知,平板电容器正极板上携带的电量 q 与极板间的电位差 U 的比值是一个常数,此常数称为平板电容器的电容 3-11.若何盘算静电场的能量？点电荷的能量有多大？为什么？已知在静电场的感化下,带有正电荷的带电领会沿电场偏向产生活动,这就意味着电场力作了功.静电场为了对外作功必须消费自身的能量,可见静电场是具有能量的.假如静止带电体在外力感化下由无穷远处移入静电场中,外力必须对抗电场力作功,这部分功将改变成静电场的能量储藏在静电场中,使静电场的能量增长.由此可见,根据电场力作功或外力作功与静电场能量之间的转换关CQ W 2e 21系,可以盘算静电场能量.点电荷的能量为：设带电体的电量 Q 是从零开端逐渐由无穷远处移入的.因为开端时并没有电场,移入第一个微量 d q 时外力无须作功.当第二个d q 移入时,外力必须战胜电场力作功.若获得的电位为j ,则外力必须作的功为 j d q ,是以,电场能量的增量为j d q .已知带电体的电位跟着电荷的逐渐增长而不竭升高,当电量增至最终值 Q 时,外力作的总功,也就是电量为 Q 的带电体具有的能量为已知孤立导体的电位 j 等于携带的电量 q 与电容 C 的之比, 即 代入上式,求得电量为Q 的孤立带电体具有的能量为3-12若何盘算电场力？什么是广义力及广义坐标？若何运用电场线断定电场力的偏向？为了盘算具有必定电荷散布的带电体之间的的电场力,平日采取虚位移法广义力：妄图改变某一个广义坐标的力广义坐标：广义坐标是不特定的坐标.描写完全体系（见束缚）位形的自力变量运用电场线具有的纵向压缩与横向扩大的趋势可以断定电场力的偏向.3-13试述镜像法道理及其运用是以一个或几个等效电荷代替鸿沟的影响,将本来具有鸿沟的非平均空间变成无穷大的平均自由空间,从而使盘算进程大为简化.C q =ϕC Q W 2e 21=静电场惟一性定理标明.只要这些等效电荷的引入后,本来的鸿沟前提不变,那么本来区域中的静电场就不会改变,这是肯定等效电荷的大小及其地位的根据.这些等效电荷平日处于镜像地位,是以称为镜像电荷,而这种办法称为镜像法.运用：第一,点电荷与无穷大的导体概况第二,电荷与导体球第三,线电荷与带电的导体圆柱第四,点电荷与无穷大的介质概况3-15给出点电荷与导体球的镜像关系若导体球接地,导体球的电位为零.为了等效导体球鸿沟的影响,令镜像点电荷q' 位于球心与点电荷 q 的连线上.那么,球面上任一点电位为可见,为了包管球面上任一点电位为零,必须选择镜像电荷为 为了使镜像电荷具有一个肯定的值,必须请求比值 r r ' 对于球面上任一点均具有统一数值.由图可见,若请求三角形 △OPq¢ 与△ OqP 类似,则=='f a r r =常数.由此获知镜像电荷应为 ,镜像电荷离球心的距离 d 应为 如许,根据 q 及 q' 即可盘算球外空间任一点的电场强度.若导体球不接地,则位于点电荷一侧的导体球概况上的感应电荷为负值,而另一侧概况上的感应电荷为正值.导体球概况上总的感应电荷应为零值.是以,对于不接地的导体球,若引入上述的镜像电荷 q' 后,为了知足电荷守恒道理,必须再引入一个镜像电荷q",且必r q r q ''+=ϕ π4 π4εεq rr q '-='q f a q -='f a d 2=q q '-=''须令显然,为了包管球面鸿沟是一个等位面,镜像电荷 q"必须位于球心.事实上,因为导体球不接地,是以,其电位不等零.由q 及q'在球面鸿沟上形成的电位为零,是以必须引入第二个镜像电荷q"以供给必定的电位.4-1.什么是弛豫时光？它与导电介质的电参数关系若何？4-2.给出恒定电流场方程式的积分情势和微分情势. 积分情势：微分情势：4-3.试述恒定电流场的鸿沟前提.在两种导电介质的鸿沟两侧,电流密度矢量的切向分量不等,但其法向分量持续.4-4.若何盘算导电介质的热耗？ 单位体积中的功率损掉：总功率损掉：4-5.若何盘算导电介质的电阻？导电介质的电位知足拉普拉斯方程 ,运用鸿沟前提求出导电介质中的电位,根据求出电流密度,进一步求出电流 .从而求电阻. 5-1.试述真空中恒定磁场方程式及其物理意义物理意义：安培环路定理,式中m 0 为真空磁导率,(H/m),I 为闭合曲线包抄的电流.=⋅∇J 0 =⨯∇J ⎰=⋅SS J 0d ⎰=⋅l l J 0d J E p l ⋅=UI V p P l ==d E J σ=⎰⋅=S S J I d 02=∇ϕ真空中恒定磁场方程的微分情势为：左式标明,真空中某点恒定磁场的磁感应强度的旋度等于该点的电流密度与真空磁导率的乘积.右式标明,真空中恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零.可见,真空中恒定磁场是有旋无散的. 5-2.已知电流散布,若何求解恒定磁场？ 运用 5-3.给出矢量磁位知足的微分方程式. 矢量磁位: 其知足矢量泊松方程：无源区知足矢量拉普拉斯方程： 5-4.磁场与介质互相感化后,会产生什么现象？什么是顺磁性介质.抗磁性介质和铁磁性介质？会产生磁化现象.顺磁性介质：正常情形下原子中的合成磁矩不为零,宏不雅合成磁矩为零,在外加磁场感化下,磁偶极子的磁矩偏向朝着外加磁场偏向迁移转变,是以使得合成磁场加强的介质抗磁性介质：正常情形下原子中的合成磁矩为零,当外加磁场时电子产生进动,产生的附加磁矩偏向老是与外加磁场偏向相反,导致合成磁场削弱的介质.铁磁性介质：在外磁场感化下,大量磁畴产生迁移转变,各个磁畴偏向趋势一致,且畴界面积还会扩展,因而产生较强的磁性的介质.V r r r r r J r B V ''-'-⨯'=⎰'d ) ()( 4π)(3 0 μS r r r r r J r B S S ''-'-⨯'=⎰'d )()(π4)( 30 μA⨯∇=B 02=∇A J A 02μ-=∇⎰⋅=l l A Φ d5-5.什么是磁化强度？它与磁化电流的关系若何？单位体积中磁矩的矢量和称为磁化强度.磁化电流密度以J' 暗示.体散布磁化电流： 面散布磁化电流: 5-6.试述介质中恒定磁场方程式及其物理意义.什么是磁场强度及磁导率？相对磁导率是否可以小于一？ 它标明媒质中的磁场强度沿任一闭合曲线的环量等于闭合曲线包抄的传导电流.该式称为媒质中安培环路定律的微分情势.它标明媒质中某点磁场强度的旋度等于该点传导电流密度.5-7.什么是平均与非平均.线性与非线性.各向同性与各向异性的磁机能？三者之间有无接洽？若介质的磁导率不随空间变更,则成为磁机能平均介质.反之则称为磁性非平均介质.若磁导率与外加磁场强度的大小及偏向均无关,磁通密度与磁场强度成正比则称为磁机能各向同性的线性介质.对于平均线性的各向同性介质,只要将真空中恒定磁场方程式中的真空磁导率环卫介质磁导率即可运用.5-8.试述恒定磁场的鸿沟前提.恒定磁场的磁场强度切向分量是持续的,法向分量是不持续的;磁通密度的法向分量是持续的,切向分量不持续.幻想磁导体的鸿沟前提：en ×H=0.5-9.幻想导电体（σ= ∞）中是否可以消失恒定磁场？幻想磁导M ⨯∇='J n e M ⨯='S J Il H l =⋅⎰ d JH =⨯∇体（m=∞）中是否可以消失静电场？磁导率为无穷大的媒质称为幻想导磁体.在幻想导磁体中不成能消失磁场强度.5-10.介电常数ε.电导率σ及磁导率m分离描写介质什么特点？介质的极化机能.导电机能及磁化机能5-11.什么是自感与互感？若何进行盘算？两个回路,回路电流分离为I1和I2,本身产生的磁通链分离为Φ11和Φ22,在对方中产生的磁通链分离为Φ12和Φ21,则称L11=Φ11/I1为回路L1的自感,M12=Φ12/I2为回路L2对L1的互感.互感可正可负,其值正负取决于两个线圈的电流偏向,但自感始终为正值.5-13.若何盘算载流体系的磁场能量？6-1 什么是位移电流?它与传导电流及运流电流的本质差别是什么?为什么在不良导体中位移电流有可能大于传导电流?位移电流密度是电通密度的时光变更率,或者说是电场的时光变更率.自由电子在导体中或电解液中形成的传导电流以及电荷在气体中形成的运流电流都是电荷活动形成的,而位移电流不是电荷活动,而是一种工资界说的概念.在静电场中,因为,天然不消失位移电流.在时变电场中,电场变更愈快,产生的位移电流密度也愈大.若某一时刻电场的时光变更率为零,即使电场很强,产生的位移电流密度也为零,故在不良导体中位移电流有可能大于传导电流. 6-2 试述麦克斯韦方程的积分情势与微分情势,并解释其物理意义. 物理意义：时变电磁场中的时变电场是有旋有散的,时变磁场是有旋无散的,但是,时变电磁场中的电场与磁场是不成朋分的,是以时变电磁场是有旋有散场.在电荷及电流都不消失的无源区中,时变电磁场是有旋无散的.时变电场的偏向与时变磁场的偏向处处互相垂直.6-3 什么是介质的特点方程? 6-4 试述时变电磁场的鸿沟前提,是否在任何鸿沟上电场强度的切向分量及磁通密度的法向分量老是持续的? 是 第一， 在任何鸿沟上电场强度的切向分量是持续的 第二, 在任何鸿沟上,磁感应强度的法向分量是持续的 第三,电位移的法向分量鸿沟前提与媒质特点有关 第四,磁场强度的切向分量鸿沟前提与媒质特点有关6-5 什么是标量位和矢量位?它们有何用处? 矢量位: 已知时变磁场是无散场,则它可以暗示为矢量场A 的旋度,即可令式中 A 称为矢量位 标量位: 矢量场 为无旋场.是以它可以用一个标量场的梯度来示. 即可令 . 式中称为标量位.用处: 时变电磁场的场强与场源的关系比较庞杂,直接求解须t J ∂∂-=⋅∇ρ 0)(e 12n =-⨯E E 0)(e 12n =-⋅B B S ρ=-⋅)(12n D D e S J =-⨯)(12n H H e 2t 1t E E =2nn 1B B =S D D 1n 2n ρ=-S J H =⨯n e A B ⨯∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+t A Eϕ-∇=∂∂+tA E要较多的数学常识.为了简化求解进程,引入标量位与矢量位作为求解时变电磁场的两个帮助函数6-6 给出标量位和矢量位知足的微分方程及其解.矢量位: 标量位:6-7 什么是洛伦兹前提?为什么它与电荷守恒定律是一致的?洛伦兹前提:令 时变电磁场必须相符电荷守恒定律 是以,解释A 与关系的洛伦兹前提必定相符电荷守恒定律.6-8 什么是电磁辐射?为何时变电荷和电流能产生电磁辐射?电磁辐射:即使在统一时刻源已消掉,只要前一时刻源还消失,它们本来产生的空间场仍然消失,这就标明源已将电磁能量释放到空间,而空间电磁能量可以离开源单独消失,这种现象称为电磁辐射.只有时变电磁场才有这种辐射特点,而静态场完全被源所束缚. 6-9 若何盘算时变电磁场的能量密度?能流密度矢量的界说是什么?若何根据电场及磁场盘算能流密度? 时变电磁场的能量密度:能流密度矢量:其偏向暗示能量流淌偏向,大小暗示单位时光内垂直穿过单位面积的能量.能流密度矢量：S （r ）=E （r ）×H （r ）6-10什么是正弦电磁场?若何用复矢量暗示正弦电磁场?A B ⨯∇=J t t A A A μϕμε-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∇+∂∂=⋅∇∇-∇222)(tA ∂∂-=⋅∇ϕμε []),( ),( 21),(22t H t E t w r r r με+=正弦电磁场：其场强的偏向与时光无关,但其大小随时光的变更纪律为正弦函数具有这种变更纪律的时变电磁场称正弦电磁场.复矢量: 正弦电磁场:6-11给出麦克斯韦方程及其位函数方程的复矢量情势. 麦克斯韦： 以及：位函数： 6-12什么是复能流密度矢量?试述其实部及虚部的物理意义. 复能流密度矢量其实部暗示能量流淌,虚部暗示能量交流.实部就是能流密度矢量平均值.7-1.给出无源区中电场及磁场知足的方程式.7-2.什么是平均平面波？试述平面波的频率.波长.传播常数.相速.波阻抗及能速的界说？它们分离与哪些身分有关？电磁波的波面外形为平面的且在幻想介质中的电磁波为平均平面波.时光相位（ωt ）变更2π所阅历的时光称为电磁波的周期,一秒内相位变更2π的次数称为频率,它始终与源的频率雷同;空间相位（kr ）变更2π所经由的距离称为波长,与介质特点有关;常数k=2π/λ称为相位常数;Vp=ω/k 称为相速;电场强度与磁场强度的振幅之比称为波阻抗;单位时光内的能量位移称为能速.)]( sin[)(),(em r r E r E ψω+=t t )r (j m m e )()(ψe r E r E =] )(Im[),( j m t e r E t r E ω =D J H j ω+=⨯∇ρω j -=⋅∇J J A A 22μμεω-=+∇ερϕεμωϕ -=+∇ 22)()()(*c r H r E r S ⨯=7-3.比较幻想介质与导电介质中平面波的传播特点.当平面波在导电介质中传播时,其传播特点不但与介质特点有关,同时也与频率ω有关.7-4.比较在 及 的两种介质中平面波的传播特点.时,可以近似以为: ,则有: 时,可近似以为: ,则有: 7-5.集肤深度的界说是什么？它与哪些身分有关？平日把场强振幅衰减到概况处振幅1/e 的深度称为集肤深度.与频率和电导率有关.7-6.什么是平面波的极化特点?什么是线极化,圆极化与椭圆极化?它们之间的互相关系若何?什么是椭圆极化波的轴比?电场强度的偏向随时光变更的纪律称为平面波的极化特点. 在空间任一固定点,电场强度矢量的端点随时光的变更轨迹为与x 轴平行的直线,这种平面波的极化特点称为线极化.对于某一固定的z 点,夹角为时光t 的函数;电场强度矢量的偏向随时光不竭地扭转,但其大小不变;是以,合成波的电场强度矢量的端点轨迹为一个圆,这种变更纪律称为圆极化.对于空间任一点,即固定的z 值,合成波矢量的端点轨迹是一个椭圆,是以,这种平面波称为椭圆极化波.两个振幅相等,相位相差2π的空间互相正交的线极化波,合成后形成一个圆极化波.反之,一个圆极化波也可以分化为两个振幅相ωεσ<<ωεσ>>ωεσ<<222111⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωεσωεσωεσ>>。
电磁场与电磁波(杨儒贵_版)课后思考题答案
电磁场与波课后思考题之马矢奏春创作 创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日1-2 什么是标量与矢量?举例说明.仅具有大小特征的量称为标量.如:长度,面积,体积,温度,气压,密度,质量,能量及电位移等.不但具有大小而且具有方向特征的量称为矢量.如:力,位移,速度,加速度,电场强度及磁场强度.1-3 矢量加减运算及矢量与标量的乘法运算的几何意义是什么?矢量加减运算暗示空间位移.矢量与标量的乘法运算暗示矢量的伸缩.1-4 矢量的标积与矢积的代数定义及几何意义是什么? 矢量的标积: ,A矢量的模与矢量B在矢量 A方向上的投影大小θcos B A B A B A B A B A z z y y x x =++=⋅的乘积.矢积: 矢积的方向与矢量A,B 都垂直,且 由矢量A 旋转到B,并与矢积构成右旋关系,大小为1-5 什么是单位矢量?写出单位矢量在直角坐标中的表达式. 模为1的矢量称为单位矢量.1-6 梯度与方向导数的关系是什么?试述梯度的几何意义,写出梯度在直角坐标中的暗示式.标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数, 方向为该点具有最大方向导数的方向.梯度方向垂直于等值面，指向标量场数值增大的方向 在直角坐标中的暗示式: 1-7 什么是矢量场的通量?通量值为正,负或零时分别代表什么意义?矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分称为矢量A 通过该有向曲面S 的通量,以标量暗示，即 通量为零时暗示该闭合面中没有矢量穿过.通量为正时暗示闭合面中有源;通量为负时暗示闭合面中有洞.z y x z y x z y x B B B A A A e e e B A =⨯θsin B A e z θsin B Aa e zy x e e e γβαcos cos cos ++=zy x e ze y e x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⎰⋅=SS A Ψ d1-8 给出散度的定义及其在直角坐标中的暗示式. 散度：当闭合面S 向某点无限收缩时，矢量A 通过该闭合面S的通量 与该闭合面包抄的体积之比的极限称为矢量场A 在该点的散度。
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。
2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。
4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。
（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。
（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。
（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。
（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。
（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。
第2章 电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。
2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。
3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD d S d V Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。
4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。
5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。
6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。
7、在介电常数为e 的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。
8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。
《电磁场与电磁波》课后习题解答(第三章)
【习题 3.1】
解：设导线沿 ez 方向，电流密度均匀分布 则
J ez
4
I d
2
ez
4
2 (10 )
3
2
cos(2 50t ) ez
8
106 cos(2 50t（ ) A
m2
）
导线内的电场
E
J
ez
8 106 cos 2 50t ez 4.39 102 cos 2 50t (V / m) 7 5.8 10
J s n H er H ez 395.1cos(4 108 t ) A / m
（3） r 20mm, z 25mm 处的表面电荷密度
7 2 s n D 0 r er E 0. 7 8 1 0 sin ( 48 t1 0 C ) m /
B 1.328 6 107 0 sin 6 107 t cos zex t
1.328 6 107 4 107 sin 6 107 t cos zex 100sin 6 107 t cos zex
所以有
E
B t
ex
又因为
ey y 0
ex 1 1 E ( D) [ ( z 6 107 t )ex ] 2.5 0 2.5 0 x Ex (e y Ex E 1 ez x ) ey 4.52 1010 ey z y 2.5 0
ey y 0
ez z 0
12
= 4 81 8.854 10
i 6.28 109 E = i 4.5 i 4 E
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(完整版)电磁场与电磁波(杨儒贵_版)课后思考题答案.docx
电磁场与波课后思考题1-1 什么是标量与矢量?举例说明 .仅具有大小特征的量称为标量.如:长度 ,面积 ,体积 ,温度 ,气压 ,密度 ,质量 ,能量及电位移等.不仅具有大小而且具有方向特征的量称为矢量 .如:力 ,位移 ,速度 ,加速度 ,电场强度及磁场强度 .1-2 矢量加减运算及矢量与标量的乘法运算的几何意义是什么矢量加减运算表示空间位移.矢量与标量的乘法运算表示矢量的伸缩.1-3矢量的标积与矢积的代数定义及几何意义是什么?矢量的标积 : A B A x B x A y B y A z B z A B cos ,A 矢量的模与矢量 B 在矢量 A方向上的投影大小的乘积 .矢积 :e x e y e z矢积的方向与矢量A,B 都垂直 ,且A B A x A y A z e z A B sin由矢量 A 旋转到 B,并与矢积构成右B x B y B z旋关系 ,大小为 A B sin1-4什么是单位矢量 ?写出单位矢量在直角坐标中的表达式.模为 1的矢量称为单位矢量. e a cos e x cos e y cos e z1-5梯度与方向导数的关系是什么?试述梯度的几何意义,写出梯度在直角坐标中的表示式 .标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数, 方向为该点具有最大方向导数的方向.梯度方向垂直于等值面，指向标量场数值增大的方向在直角坐标中的表示式:x e x y e y z e z1-6什么是矢量场的通量 ?通量值为正 ,负或零时分别代表什么意义?矢量 A 沿某一有向曲面S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲面S 的通量 ,以标量表示，即Ψ A dS通量为零时表示该闭合面中没有矢量穿过.S; 通量为负时表示闭合面中有洞 .通量为正时表示闭合面中有源1-7给出散度的定义及其在直角坐标中的表示式.d 散度：当闭合面S向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S的通量div Alim S 与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该点的散度。
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可见，空间某点r对于任一参考点r0的电位为
对于本题，若取坐标原点作为电位参考点，因为原线电荷 离坐标原点的距离为2h，离场点P的距离为r0，那么该线电荷在P点产生的电位为
因为全部镜像电荷离坐标原点的距离均为2h，那么，劈间任一点P以坐标原点作为电位参考点的电位为
即
要使点电荷受力为零，则 应满足下列方程
求解此高次方程可用作图法。为此，先将上式化简为
再化为关于 的方程即
若 ，则上面的方程又可写为
令 ， ，分别作图求得y1和y2的交点，即是所要求的解。根据题意可知 ，由下图可见 的解位于 =1.5~2之间。其值近似为 ，即 时，点电荷q受力为零。
3-14试证位于内半径为a的导体球形空腔中的点电荷q受到的电场力大小为
答根据镜像法，如果劈形导体的夹角不为 的整数分之一时，则镜像电荷不能最终和原电荷重合，这样将会产生无限多个镜像电荷，每个镜像电荷都会产生一定的电位，导致合成电位无限大，因而无解。
当点电荷位于两块无限大导体板之间时，可采用镜像法求解。此时虽然也会产生无限多个镜像电荷，但是远处的镜像电荷对于两板之间的场点贡献越来越小，因
当球壳的电位为时，由上题获知位于球心的镜像电荷q应为
壳外的场强将由点电荷 及其镜像电荷 和q共同产生，壳外的合成电位为
式中镜像电荷 ，离球心的距离为 ，则壳外的电场强度为
2球壳表面的电荷密度为
其最大值为
③系统能量的改变来自外力作的功。已知点电荷 受到的电场力为
由此可见，若q>0q<0，又因<0，故电场力的实际方向为(-er)。在外力作用下，当点电荷q离开球心的距离增加一倍时，外力F作的功为
因为 ，即 ，代入上式，考虑到 ，即当 时，取上式极限，求得
3-10试证位于半径为a的导体球外的点电荷q受到的电场力大小为
式中f为点电荷至球心的距离。若将该球接地后，再计算点电荷q的受力。
证明根据镜像法，必须在球内距球心 处引入的镜像电荷 。由于球未接地，为了保持总电荷量为零，还必须引入另一个镜像电荷q，且应位于球心，以保持球面为等电位。那么，点电荷 受到的力可等效两个镜像电荷对它的作用力，即，
解由习题图3-19可见，电位分布仅与坐标变量x有关，与坐标变量 ， 无关。因此，电位方程简化为一维泊松方程。设电位分布函数 ，则由 ，得
积分后，求得
其中 ， 为待求常数。
根据边界条件 ，求得 ， ，
因此，电位分布函数为
3-20试证直角坐标系中的电位函数 及圆球坐标系中电位函数 均满足拉普拉斯方程，式中C为常数。
位置x与x的关系为 。因此， ， 。
再根据电量关系 ，即可求得镜像电荷的分布函数为
3-12在半径为a的接地导体球附近，横向放置一根长度为l的线电荷，如习题图3-12(a)所示。已知线电荷密度
为 ，线电荷中心离球心的距离为D，试求镜像电荷及其位置。
解求解方法与上题类似。对应于点电荷 的镜像线电荷为 ，如图3-12(b)所士示。设点电荷 距离球心为 ，则其镜像电荷 离球心的距离为
，
其位置分别位于 及 处。因此，点电荷 所受到的力应为三个镜像电荷产生的电场力的矢量和。由于三种电场力的方向均位于一条垂线上，矢量和变为标量和，即
将上式整理后，即得
3-9当孤立的不带电的导体球位于均匀电场 中，使用镜像法求出导体球表面的电荷分布。（提示：利用点电荷与导体球之间的镜像关系。）
解当导体球和点电荷之间的距离远远大于其半径时，可以认为该导体球附近的电场是均匀的，
3-2试证当点电荷q位于无限大的导体平面附近时，导体表面上总感应电荷等于 。
证明建立圆柱坐标，令导体表面位于xy平面，点电荷距离导体表面的高度为 ，如图3-2所示。那么，根据镜像法，上半空间的电场强度为
电通密度为
式中 ；
那么，
已知导体表面上电荷的面密度 ，所以导体表面的感应电荷为
则总的感应电荷为
3-3根据镜像法，说明为什么只有当劈形导体的夹角为的整数分之一时，镜像法才是有效的？当点电荷位于两块无限大平行导体板之间时，是否也可采用镜像法求解。
解①如前所述，此时需要两个镜像电荷等效带电导体球的影响。一个是离球心 处，电量为 的镜像电荷。另一个镜像电荷q位于球心，其电量取决于导体球的电位。
已知导体球的电位为，而镜像电荷及球外点电荷对于球面边界的电位没有贡献，因此，球心镜像电荷q的电量应满足
即
②当导体球携带的电荷为Q时，在离球心 处的镜像电荷仍然为 ，而球心处的镜像电荷 ，以保持电荷守恒，即 。
若高度h>>a，上式还可进一步简化为
3-6一根无限长线电荷平行放置
在夹角60的导电劈的中央部位，
离开两壁的距离为h，如习题图3-6(a)
所示。若线电荷的线密度为 ，试
求其电位分布函数。
解根据镜像法，正如原书3-3节所述，需要引入5个镜像电荷， ， ， ， 和 ，它们离场点P的距离分别为r1，r2，r3，r4，和r5，其位置如习题图3-6(b)所示。
3-17设点电荷q位于导体球壳附近，已知球壳的内半径为a，外半径为b，点电荷离球心的距离为f，壳内为真空，当球壳的电位为 时，试求：①球壳内外电场强度；②球壳外表面上最大电荷密度；③当距离f增加一倍时，系统能量改变多少？
解①由于球壳的屏蔽作用，壳内场强为零。若建立的球坐标系如习题图3-17所示，那么壳外场强与坐标变量无关。
同样对于三维空间， ， 和 不可能同时大于零或同时小于零，因此不可能有极大值或极小值。
综上所述，无源区中的电位分布函数不可能具有极大值或极小值。因此，无源区中电位分布函数不可能具有最大值或最小值。
3-19已知无限大的平板电容器
中的电荷密度 ，k为常数，
填充介质的介电常数为，上板
电位为V，下板接地，板间距为d，如习题图3-19所示。试求电位分布函数。
3-7已知点电荷q位于两块
无限大的接地的平行导体板之
间，如习题图3-7所示。两板
间距为d，点电荷位于 处，
试求两板间的电位分布。
解选用圆柱坐标系，令下底板位于z=0平面，点电荷q位于 轴，则导体板之间任一点电位与角度无关。
根据镜像法，必须在 轴上引入无限多个镜像电荷，
它们的位置分别为：
正 轴上： ， ，
解根据镜像法可知，无限大的导体平面与无限长圆柱导线之间的场分布与两根无限长平行圆柱导线之间的一半空间的场分布完全相同。因此，圆柱导线与导体平面之间的单位长度内的电容是两根平行圆柱导线的单位长度内的电容一倍。由教材3-3节获知两根平行圆柱导线的单位长度内的电容为
式中D为两根圆柱导线轴线之间的距离，a为圆柱导线的内的电容为
第三章静电场
3-1已知在直角坐标系中四个点电荷分布如习题图3-1所示，试求电位为零的平面。
解已知点电荷q的电位为
，令 ， ， ， ，那么，图中4个点电荷共同产生的电位应为
令 ，得
由4个点电荷的分布位置可见，对于x=1.5cm的平面上任一点， ，因此合成电位为零。同理，对于x=0.5cm的平面上任一点， ，因此合成电位也为零。所以，x=1.5cm及x=0.5cm两个平面的电位为零。
此可以获得一个有限的解。
3-4一根无限长的线电荷平行放置在一块无限大的导体平面附近，如习题图3-4所示。已知线电荷密度 ，离开平面的高度 m，空间媒质的相对介电常数 。试求：①空间任一点场强及能量密度；②导体表面的电荷密度；③当线电荷的高度增加一倍时，外力对单位长度内的线电荷应作的功。
解①建立圆柱坐标，令导体表面位于xz平面，导体上方场强应与变量z无关。根据镜像法，上半空间中任一点 的场强为
由图可知
因此， ，即镜像电荷分布函数为
3-13已知一个不接地的半径为a的导体球携带的电荷为Q，若电荷为Q的点电荷移向该带电球，试问当点电荷受力为零时离球心的距离。(当点电荷所带电荷与导体球所带电荷相反时，点电荷肯定受到引力，即其受力不可能为零)。
解如习题题3-10所示，如前所述，根据镜像法，若导体球原先不带电，对于点电荷Q，必须在球内距离球心 处引入一个镜像电荷 ，而在球心处再放置另一个电量为 的点电荷，以保持电荷守恒及导体球为等位体。本题中导体球已带有电量为Q的电荷，因此在球心处放置的另一个镜像电荷的电量应为(Q )。那么，点电荷 将受到的镜像电荷的作用力为
，．．．
负 轴上： ， ，
，．．．
则两板之间任一点 的电位为：
3-8试证位于无限大导体平面上半球形导体上空的点电荷q受到的力的大小为
式中a为球半径，d为电荷与球心的间距， 为真空介电常数，如习题图3-8(a)所示。
证明应用镜像法，将半球变为一个整球。那么，为了保证无限大导体平面和球面形成的边界电位为零，必须引入三个镜像电荷：q，q，q，其中q和q，以及q和q保证无限大平面边界的电位为零，q和q，以及q和q保证球面边界的电位为零。那么，根据镜像法，求得镜像电荷q和q分别为
；
计算腔外场强也可应用镜像法，此时导体球的半径为a，如习题图3-15(b)所示。但是腔中必须引入两个镜像电荷q0和q，其中q0位于球心，q的位置和电量，以及q0的电量分别为
； ；
综上所述，腔内场强由两个点电荷q和q共同产生，腔外场强由三个点电荷q，q和q共同产生，而导体内的场强为零。
3-16已知点电荷q位于半径为a的导体球附近，离球心的距离为f，试求：①当导体球的电位为时的镜像电荷；②当导体球的电荷为Q时的镜像电荷。
（N）
（N）
合力为 （N）
当导体球接地时，则仅需一个镜像电荷 ，故 所受到的电场力为F1。
3-11在半径为a的接地导体球附近，沿径向放置一根长度为l的线电荷，如习题图3-11(a)所示。已知线电荷密度为 ，近端离球心的距离为D，试求镜像电荷及其位置。
解采用镜像法，应在球内径向位置引入一个镜像线电荷 ，离球心最近的一端对应原先的线电荷 离球心的最远端，而 的最远端对应 的最近端。设 上任一点距离球心为 ， ， 上任一点距离球心为 ，则根据点电荷与导体球面的镜像规律，获知镜像线电荷的长度范围为