相似三角形之一线三等角型

相似三角形之一线三等角型

一、知识梳理：

（图1） （图2）

（1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有___

（2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有___

二、习题精选

1.如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作

DEF B ∠=∠，

射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ；

（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；

（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长.

2.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。

（1）求证△BPD ∽△CEP （2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？

若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。

3.等腰△ABC ，AB =AC =８，∠BAC =120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．

（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE ～△CFP ；

（2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．

C

P E

A D

①探究１：△BPE与△CFP还相似吗？

②探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；

③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

B C

P

B

P