概率论与数理统计第五章

5
复习题
一、选择题 1. 设 1 , 2, , 100 服从同一分布, 它们的数学期望和方差均是 2 ,
n
那么 P 0
i 4n ( ) .
i1
(A) 1 ; 2
(B) 2n 1 ; 2n
(C) 1 ; 2n
1 (D) .
n
2. 设随机变量 满足等式 P{ | E ( ) | 2} 1/16 , 则必有 ( ).
3. 设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 E( X ) 10, D( X ) 4, 利 用切雪夫不等式求常数 c, 使得 P(| X 10 | c) 0.04 .
3
习题二 中心极限定理
一、选择题
1. 设随机变量 n , 服从二项分布 B (n, p) , 其中 0 p 1, n 1, 2 , ,
3. 某批产品的次品率是0.005, 试求作意抽取10000 件产品中次品数 不多于 70 件的概率 . 已知 F0.1(2) 0.9772 ; F0.1(2.84) 0.9977 ; F 0.1( x ) 1, x 4 .
4. 设各零件的重量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分 布 , 其数学期望为 0.5 kg , 均方差为 0.1 kg , 问5000只零件的总重 只零件的总重量超过 2510 kg 的概率是多少 ?
min
n
P(|
X
n
a|
(C)
min
n
X
n
a;
(D)
min
n
P(
X
n
a) 1.
2. 设随机变量 X 的方差 D( X )
) 0; ) 1;
, a 为正常数 , 则
来自百度文库
P | X E( X ) | 1 ( ). a
(A) D( X );
(B) 1 D( X );
D(X )
D(X )
(C) 1
; (D)
.
a2
数 , 试用中心极限定理计算 P{ 970 1030 }
.
已知
F 0.1 (1) 0.8413, F0.1 (2) 0.9772 .
6
4. 设独立随机变量 1, 2 , , 100 均服从参数为 试用中心极限定理确定概率
4 的泊松分布,
已知
100
P
i 420
.
i1
F0.1(0.5) 0.6915 , F0.1(1) 0.8413 , F0.1(2) 0.9772 .
4. 某工厂有 400 台同类机器 , 已知各台机器发生故障的概率都是 0.02, 假定各台机器工作是相互独立的, 试用中心极限定理计算机 器出故障的台数不小于 2 的概率 , 已知标准正态分布函数 F0,1( x) 的值 . F0,1(1.02) 0.8461, F0,1(2.143) 0.9838, F0,1(2.857) 0.9979, F0,1(0.675) 0.7794.
1
2. 设 1, 2, , n , 是独立同分布的随机变量序列 , 且
E ( i) , D( i) 2
均存在 , 令
1n n
i , 则对任意的
,有
i1
lim P{
}
.
n
3. 设每次射击击中目标的概率为 0.001 , 如果射击 5000 次 , 其中击
中的次数为 , 试用切比晓夫不等式确定概率
P{ 0 10 }
那么 , 对于任一实数 x 有 lim P
n np
x 等于 ( ) .
n
np(1 p)
(A) 1 2
1 (C)
2
x t2
e 2 dt ;
t2
e 2 dt ;
(B) 0 ;
x
t2
(D) e 2 dt .
二、填空题 1. 设 1, 2 ,
2), (
, n 是相互独立的随机变量, 且都服从正态分布 N ( ,
11
3. 为了使问题简化 , 假定计算机进行数的加法运算时, 把每个加数 取为最接近于它的整数 (其后一位四舍五入) 来计算, 设所有的取 整误差是相互独立的, 且它们都在[ 0.5, 0.5]上服从均匀分布, 若 有 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过15 的概率是多少？已
知标准正态分布函数 F 0,1( x)的值 : F0,1(0.12) 0.5478, F0,1(1.342) 0.9099, F0,1(0.134) 0.5517.
5. 某灯泡厂生产的一批灯泡 , 次品率为 1% , 现随机地抽样 500 个 ,
试用泊松逼近和正态逼近二种方法计算次品不超过5个的概率是
多少? 已知标准正态分布函数 F0,1 ( x) 的值
F0,1(2.25) 0.9878, F0,1(0) 0.5, F0,1(1.01) 0.8438.
k
泊松分布
12
5. 有一大批混合种子, 其中良种占 1 , 今在其中任选 6000 粒, 试问在 6 这些种子中 , 良种所占的比例与 1 之差小于 1% 的概率是多少 ? 6
已知标准正态分布函数 F0,1 ( x ) 的值: F0,1 (2.078) 0.9812 , F 0,1(0.072) 0.5279 , F0,1(0.72) 0.7642 .
( )| ;
(2) 用切贝谢夫不等式估计 P E ( )| 之值.
7
3. 已知正常男性成人血液中, 每毫升 (ml) 白细胞数平均是 7300, 标 准差是 700. 利用切比雪夫不等式估计每毫升男性成人血液中含 白细胞数在 5200 至 9400 之间的概率 p.
4. 某批产品的次品率是0.005, 试求作意抽取10000 件产品中次品数 不多于 70 件的概率 . 已知 F0.1(2) 0.9772 ; F0.1(2.84) 0.9977 ; F 0.1( x ) 1, x 4 .
验中 , 事件 A 出现的次数 , 试用切比雪夫不等式估计得
P 0.74
0.76
.
10000
10
3. 某批产品的次品率为 0.1, 连续抽取10000 件, 表示其中的次品
数 , 试用中心极限定理计算 P{ 970 }
.
已知 F0.1(1) 0.8413 , F 0.1 (2) 0.9772 , F0.1(33.333) 1.
,则
1n ni 1
i 服从的分布是 __________ .
2. 设每次射击击中目标的概率为 0.001, 如果射击 5000 次 , 试根据
中心极限定理击中次数不大于 2 的概率等于 . 已知:
F0.1(1.34) 0.9099; F0.1(1.35) 0.9115 .
三、解答题 1. 设随机变量 1 , 2, , 100 相互独立, 且均服从指数分布
1 n
i
n 1
X
i
0.
2. 用中心极限定理证明, 在贝努里试验中, 若 何, 总有 lim P { n np k} 0 .
n
p , 则不论 k 如
9
自测题
一、选择题
1. 设{X n}是独立同分布的随机变量序列 , E( Xn) 定的 0, 有 ( ).
, 则对于任意给
(A)
lim P
n
1 n
n i1
P{0 4(m 1)} ( ) .
1
(A)
;
m1
m
(B)
;
m1
(C) 0 ;
1 (D) m .
二、填空题
1. 设随机变量 的数学期望 E ( ) 2 , 方差 D ( ) 1 , 试用切比雪
5
25
夫不等式估计 P
21
.
53
2.
每次试验事件 A 发生的概率为 3 , 表示在10000 次重复独立试 4
1e
1
2x,
x
0
f (x) 2
( 0),
0, x 0
n
设用中心极限定理求出概率 P
i 240 . 已知 F0.1(2) 0.9772.
k1
4
2. 在一次空战中, 出现了 50 架轰炸机和 100 架歼击机 , 每架轰炸机 受到二架歼击机的攻击, 这样, 空战分为50 个由一架轰炸机和二 架歼击机的小型空战, 设在每个小型空战里, 轰炸机被打下的概 率为 0.4 , 求空战里有不少于 35 % 的轰炸机被打下的概率 . 已知: F0.1(0.86) 0.8051 ; F0.1(0.87) 0.8078 ; F0.1(0.88) 0.8133.
(A) D( ) 1 ; 4
(C) D( ) 1 ; 4
(B) D( ) 1 ; 4
(D) P
E ( ) 2 15 . 16
3. 设随机变量 的数学期望 E ( ) , 方差 D ( ) 2, 试利用切比
雪夫不等式估计 P { |
} ( ).
(A) 8 ; 9
15 (B) ;
16
9 (C) ;
10
1 (D) .
.
4. 随机变量 X 的数学期望 E (X ) 100 , 方差 D( X ) 10, 则由切比雪 夫不等式 P { 80 X 120} __________.
5.
设随机变量 X 的数学期望 E(X ) , 方差 D(X ) 2, 则由切比雪 夫不等式, 有
P{| X | 3 } _________ .
批准该厂投入生产 , 如果该新药的治愈率确实为 80%, 求该药能
通过这地检验的概率是多少? 已知标准正态分布函数 F0,1(x)的值.
F0,1(0.313) 0.6217, F0,1(1.25) 0.8944, F0,1 (0.13) 0.5517.
2. 利用切比雪夫不等式确定当掷一枚均匀硬币时, 需掷多少次才能 保证使得正面出现的频率在 0.4 ~ 0.6 之间的概率不小 90 % .
a2
3.
一随机变量 X 的 E(X ) 12 , D(X ) 9, 用切比雪夫不等式估计 :
P 6 X 18 ( ).
(A) 1 ; 2
(B) 2 ; 3
(C) 3 ; 4
(D) 4 . 5
二、填空题
1. 设随机变量 的E( )与D( )存在 , 对任意给定的
P{ | E( )| }
0, 则有概率 .
e表
r x r!
x
4
0.5 0.0175
5 0.7349
5 0.0170 0.5515
6
0.0001 .
0.3840
8
四、证明题
1. 设 X1, X 2, , X n ,
是独立随机变量序列, X i 的分布列为
Xi ia 0 ia
p 1 11 1
2i2
i2 2i2
i 1, 2,
证明: lim P
n
三、解答题
1. 设随机变量 1, 2 , ,
E( k) m, 方差 D( k )
n 相互独立 , 且服从同一分布又知期望
2 0 均存在 , 记
1n nk 1
k , 为使
P
m 0.1 } 95%,
问 n 的最小值应为多少 ?
2. 设投一个均匀的骰子出现的点数是随机变量 , 对于 2 :
(1) 精确计算 P
Xi
n
0;
(B)
lim P
n
1 n
n i1
Xi
0;
1n
(C)
lim P
n
ni
Xi
1
n
0;
1n
(D)
lim P
n
ni
Xi
1
1.
2. 设随机变量 的数学期望和方差均是 6, 那么 P{0
12} ( ).
(A)
1 6
;
(B)
5 6
;
(C)
1 3
;
(D)
1 2
.
3. 设随机变量的数学期望和方差均是 m 1 ( m 为自然数 ), 那么
三、解答题
1． 设随机变量 的概率密度函数为
12x(1 x ) 2, 0 x 1
(x)
,
0,
其它
试用切比雪夫不等式估计事件
E( ) 1 的概率至少是多少? 3
2
2. 某发电机给 10000 盏电灯供电 , 设每晚各盏电灯的开 , 关是相互 独立的, 每盏灯开着的概率都是 0.8, 试用车贝谢夫不等式估计每 晚同时开灯的电灯数 介于在 7800 与 8200 之间概率.
4. 设 X 1, X 2 , 为相互独立的随机变量序列, 且 X i ( i 1, 2, ), 服
从参数为 的泊松分布, 则
n
Xi n
lim P i 1
n
n
x _____ .
三、解答题 1. 一药厂试制成功一种新药, 卫生部门为了检验此药的效果, 在100
名患者中进行了试验 , 决定若有 75 名或更多患者显示有效时, 即
四、证明题
1. 证明如果随机变量序列 1, 2 , , n , , D( i) 存在, i 1, 2 , , 且
1
n
满足
lim
n
n
2
D
i1
i
0, 则对任意给定的
0, 恒有
1n
1n
lim P
n
ni 1 i
ni
E(
1
i)
1.
13
考研训练题
一、选择题
1. 设随机变量 X 的概率密度为
2x, 0 x 1 f (x)
20 / 20 学年第 学期
《概率论与数理统计》同步练习
姓名 班级 学号 任课教师
第五章 大数定律与中心极限定理
习题一 大数定律
一、选择题
1. 设 X1, X 2 , , X n 为随机变量序列, a为常数, 则 {X n} 依概率收敛
于 a 是指 ( ).
(A)
0,
min
n
P(|
Xn
a|
(B)
0,
10
二、填空题
1. E (X) 10, D(X) 4. 由切比雪夫不等式 , 若
则c
P{| X 10| c} 0.04 .
2. 掷一均匀硬币10000 次 , 表示出现正面的次数 , 试用切比雪夫
不等式估计 P { 4900
5100 }
.
3. 某批产品的次品率为 0.1, 连续抽取10000 件 , 表示其中的次品