正切函数的图象与性质(习题及答案)
正切函数的图象和性质练习
正切函数的图象和性质练习根底卷〔15分钟〕 一、选择题1．函数)0)(6tan(≠+=a ax y π的周期为〔 〕A ．a π2B ．||2a π C ．||a πD ．aπ 2．以下不等中正确的选项是〔 〕A ．73tan74tanππ> B ．)512tan()413tan(ππ->-C ．cot4＜cot3D ．cot281°＜cot665° 3．如果α,β∈),2(ππ,且tan α＜cot β,那么〔 〕A ．α＜βB ．β＜αC ．23πβα<+ D ．23πβα>+4．)4tan(x y +=π的定义域是〔 〕 A ．},4|{R x x x ∈≠πB ．},4|{R x x x ∈-≠πC ．},,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ D ．},,432|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ 5．以下函数中,周期是2π,且在)12,125(ππ-内是单调递增的函数是〔 〕 A ．)3tan(π+=x y B ．)32tan(π+=x yC ．)3tan(π-=x y D ．)32tan(π-=x y二、填空题6．假设函数)52tan(2π-=ax y 的最小正周期是5π,那么a=_____________. 7．tax<-1时,x 的取值集合是______________. 8．)3lg(tan -=y 的定义域是______________.提升卷〔30分钟〕 一、选择题1．以下函数中不是偶函数的是〔 〕 A ．y=|tanx| B ．y=|cotx| C ．tan|x| D ．y=tan 〔x-π〕 2．)4sin(π-=x y 与y=-|tanx|在[0,2π]上的交点有〔 〕A ．4个B ．2个C ．1个D ．0个3．以下点中函数)5tan(π+=x y 〔x ∈R 且ππk x +≠103,k ∈Z 〕的一个对称中央点是〔 〕A ．〔0,0〕B ．)0,5(πC ．)0,54(πD ．〔π,0〕4．函数y=tanx-cotx 是〔 〕A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇且偶函数 5．)3tan(π-=x y ,)3,2()2,3(ππππ---∈ x 的值域是〔 〕 A ．]3,0[ B ．〔-∞,0〕C ．]0,3[-D ．),3[]0,(+∞-∞6．要得到y=tan2x 的图象,只需把函数)62tan(π+=x y 的图象〔 〕A ．向左平移6π个单位B ．向左平移12π个单位 C ．向右平移6π个单位D ．向右平移12π个单位二、填空题7．函数y=atanx-b 在]4,4[ππ-上的最大值是____________. 8．函数)32tan(π+=x y 的递增区间是____________. 9．函数y=tan 〔cosx 〕的值域是___________. 10．不等式65tantan π≤x 的解集是___________.三、解做题11．求函数y=tanxcosx 的定义域并画出它的图象.12．比拟以下各组数的大小： 〔1〕tanl,tan2,tan3 〔2〕)713cot(π-,89cot π参考答案根底卷一、1．C2．B3．C4．C5．B 二、6．25±=a 7．4222|{ππππ-<<-k x k x 或},43222Z k k x k ∈+<<+ππππ8．2232|{ππππ+<<+k x k x 或},232452Z k k x k ∈+<<+ππππ提升卷一、1．D2．B3．C4．A5．D6．D 二、7．当a ≥0时,a-b ；当a<0时,-a-b 8．)32,352(ππππ+-k k k ∈Z 9. [-tan1, tan1] 10. )62,22(ππππ--k k ⋃)65,22(πππ+k k ∈Z 三、11．略12．〔1〕tan2<tan3<tanl 〔2〕89cot )713cot(ππ<-[解题点拨]2．考查画图水平,注意将图象画在[0,2π]上. 3．)5tan(π+=x y 的一个对称点必须要满足这个x 的值代入式子中使值为0.4．根据函数奇偶性的定义来判断.5．注意把握正切函数在指定区间上的函数图象,现进一步确定其值域.6．注意把握图象变换时,哪一个图象是图象,哪一个是要得到的图象.同时)12(2tan )62tan(ππ+=+=x x y7．注意画图的同时有参数a,就要考虑讨论来明确答案.9．由于|cosx|≤1.即求y=tanx,x ∈[-1,1]上的值域. 10．三角不等式最好利用正切线来处理.可先将65tan π的值化出来. 11．y=tanx ·cosx 可化成y=sinx,但是)(2Z k k x ∈+≠ππ12．通过画图来解,同时注意将)713cot(π-,89cot π转化成正切函数来处理.一般通过诱导公式将其化入到同一个单调区间最为重要！。
正切函数的图像和性质练习题
正切函数图象与性质检测试题一、选择题1、函数4tan xy的定义域是Zk 其中A ．4|kxR x B ．4|kx R x C ．42|kx R x D ．42|kx R x 2、函数4,3,tan xx y 的值域是A ．1,B ．1,3C ．,D ．,33、函数3tan xy 的单调区间是Zk其中A ．kk 65,6B ．kk 6,65C ．kk 265,26D ．kk 26,2654、函数42tan xy 的周期是A ．B ．2C ．2D ．45、要得到函数x y 2tan 的图象，只须把32tan xy的图象A ．左移3个单位B ．右移3个单位C ．左移6个单位D ．右移6个单位6、观察正切曲线，满足条件1tan x的x 的取值范围是(其中k ∈Z) ()A ．(2k π-4,2k π+4)B ．(k π,k π+4) C ．(k π4,k π+4)D ．(k π+4,k π+43)二、填空题7、函数xy tan 11的定义域是．8、函数x ytan 图象的对称中心是．9、函数32tanx y的单调区间是．10、若直线2ax 1a 与函数42tan xy图象不相交，则a．11、观察正切曲线，满足条件3tan x的x 的取值范围是．12、4tan ,3tan ,2tan ,1tan 由小到大排列为．THANKS致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
2020高中数学 第一章 三角函数 1.4.4 正切函数的性质与图象练习(含解析)4
第12课时 正切函数的性质与图象1错误! A ．xx ≠k π＋错误!，k ∈ZB ．xx ≠k π2－错误!，k ∈ZC ．xx ≠错误!＋错误!,k ∈ZD ．xx ≠k π2，k ∈Z答案 C解析由2x＋错误!≠kπ＋错误!，得x≠错误!＋错误!（k∈Z）．2．函数y＝tan x错误!≤x≤错误!，且x≠错误!的值域是________．答案(－∞，－1]∪[1,＋∞）解析∵y＝tan x在错误!，错误!，错误!，错误!上都是增函数，∴y≥tan 错误!＝1或y≤tan错误!＝－1．3．函数y＝sin x＋tan x，x∈－错误!，错误!的值域为________．答案－错误!，错误!解析∵y＝sin x和y＝tan x两函数在－错误!,错误!上都是增函数,∴x ＝－错误!时，y min＝－错误!－1，当x＝错误!时，y max＝错误!＋1．4）A．y＝tan2x B．y＝|sin x|C．y＝sin错误!D．y＝cos错误!答案D解析∵y＝tan2x的最小正周期是错误!，∴排除A；又∵y＝|sin x|及y＝sin错误!＝cos2x是偶函数，∴排除B，C．故选D．5．函数y＝3tan错误!的图象的一个对称中心是（）A．错误!B．错误!C．错误!D．（0，0)答案C解析因为y＝tan x的图象的对称中心为错误!，k∈Z．由错误!x＋错误!＝错误!，k∈Z，得x＝kπ－错误!,k∈Z,所以函数y＝3tan错误!的图象的对称中心是kπ－错误!，0，k∈Z．令k＝0，得－错误!，0．故选C．6错误!错误!错误!)A．a〈b〈c B．b<c<aC．c〈b<a D．a<c〈b答案D解析∵tan70°>tan45°＝1，∴a＝log错误!tan70°<0．又0<sin25°〈sin30°＝错误!，∴b＝log错误!sin25°>log错误!错误!＝1,而c＝错误!cos25°∈(0，1)，∴b〉c〉a．7．(1)求函数y＝tan2x－错误!的单调区间；(2)比较tan错误!与tan错误!的大小．解(1）由于正切函数y＝tan x的单调递增区间是－错误!＋kπ，错误!＋kπ，k∈Z，故令－错误!＋kπ<2x－错误!〈错误!＋kπ，k∈Z,得－错误!＋kπ<2x<错误!＋kπ，k∈Z，即－错误!＋错误!〈x<错误!＋错误!，k∈Z．故y＝tan2x－错误!的单调递增区间是－错误!＋错误!，错误!＋错误!，k∈Z,无单调递减区间．（2）tan错误!＝tan3π＋错误!＝tan错误!，tan错误!＝tan3π＋错误!＝tan错误!,因为y＝tan x在0，错误!内单调递增,所以tan错误!〈tan错误!,即tan错误!〈tan错误!．8；④y ＝tan｜x|在x∈－错误!,错误!内的大致图象，那么由(a)到(d）对应的函数关系式应是( ）A．①②③④ B．①③④②C．③②④① D．①②④③答案D解析y＝tan（－x)＝－tan x在－错误!,错误!上是减函数，只有图象（d)符合，即(d)对应③．9．观察正切曲线,写出满足下列条件的x的取值范围．(1)tan x>1；（2）－错误!<tan x〈错误!．解（1）观察正切曲线（图略）,可知tan错误!＝1．在区间错误!内，满足tan x〉1的区间是π4，错误!．又由正切函数的最小正周期为π，可知满足tan x〉1的x的取值范围是错误!（k∈Z）．（2）观察正切曲线（图略）,可知tan错误!＝－错误!，tan错误!＝错误!．在区间错误!内，满足－错误!<tan x〈错误!的区间是－错误!，π3．又由正切函数的最小正周期为π,可知满足－33<tan x〈错误!的x的取值范围是错误!（k∈Z)．一、选择题1．当x∈－错误!,错误!时，函数y＝tan｜x｜的图象（)A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．没有对称轴答案B解析函数y＝tan|x｜是偶函数，其图象关于y轴对称．2．函数f（x）＝tanωx－错误!与函数g（x)＝sin错误!－2x的最小正周期相同，则ω＝( ）A．±1 B．1 C．±2 D．2答案A解析由题意可得π｜ω|＝2π|－2|,解得｜ω|＝1，即ω＝±1．3．下列各式中正确的是( )A．tan735°〉tan800° B．tan1〈tan2C．tan错误!〈tan错误!D．tan错误!〈tan错误!答案D解析tan错误!＝tan错误!＝tan错误!〈tan错误!，故选D．4．y＝cos x－错误!＋tan（π＋x）是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案A解析y＝cos x－错误!＋tan(π＋x）＝sin x＋tan x．∵y＝sin x，y＝tan x均为奇函数，∴原函数为奇函数．5．若直线x＝错误!(－1≤k≤1）与函数y＝tan2x＋错误!的图象不相交，则k＝（)A．14B．－错误!C．错误!或－错误!D．－错误!或错误!答案C解析由题意得2×错误!＋错误!＝错误!＋mπ,m∈Z，解得k＝错误!＋m，m∈Z．由于－1≤k≤1，所以k＝14或－错误!．二、填空题6．关于函数f(x）＝tan错误!，有以下命题:①函数f（x）的周期是错误!；②函数f（x)的定义域是xx∈R且x≠错误!＋错误!，k∈Z;③y＝f(x)是奇函数;④y＝f（x)的一个单调递增区间为错误!．其中，正确的命题是________．答案①解析f(x）＝tan错误!的周期T＝错误!，故①正确；定义域为错误!，故②不正确；f（x）是非奇非偶函数，故③不正确；f(x)的单调递增区间为错误!，k∈Z，故④不正确．7．函数y＝tan（cos x)的值域是________．答案[－tan1，tan1]解析由cos x∈[－1,1]，结合y＝tan x的性质求解．∵－π2<－1≤cos x≤1<错误!，∴－tan1≤tan（cos x)≤tan1．8．不等式tan错误!≥－1的解集是________．答案错误!解析由正切函数的图象,可知－错误!＋kπ≤2x＋错误!〈错误!＋kπ，k ∈Z，所以原不等式的解集为x－错误!＋错误!≤x〈错误!＋错误!，k∈Z．三、解答题9．函数f（x）＝tan（3x＋φ)图象的一个对称中心是错误!，0，其中0<φ〈错误!，试求函数f(x)的单调区间．解由于函数y＝tan x的对称中心为错误!,0，其中k∈Z．故令3x＋φ＝错误!，其中x＝错误!，即φ＝错误!－错误!．由于0〈φ<错误!,所以当k＝2时,φ＝错误!．故函数解析式为f（x）＝tan3x＋错误!．由于正切函数y＝tan x在区间kπ－错误!,kπ＋错误!(k∈Z）上为增函数．则令kπ－错误!<3x＋错误!<kπ＋错误!，解得kπ3－π4<x<错误!＋错误!，k∈Z，故函数f(x)的单调增区间为错误!－错误!，错误!＋错误!，k∈Z．10．设函数f(x）＝tan（ωx＋φ)错误!，已知函数y＝f(x)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为错误!，且图象关于点M错误!对称．（1)求f(x）的解析式;（2)求f（x）的单调区间;（3)求不等式－1≤f(x）≤错误!的解集．解(1）由题意，知函数f（x）的最小正周期T＝错误!，即错误!＝错误!．因为ω>0，所以ω＝2．从而f（x)＝tan(2x＋φ)．因为函数y＝f(x）的图象关于点M错误!对称，所以2×错误!＋φ＝错误!，k∈Z，即φ＝k π2＋错误!,k ∈Z ．因为0〈φ〈错误!,所以φ＝错误!． 故f (x ）＝tan 错误!．（2）令－π2＋k π〈2x ＋错误!<错误!＋k π，k ∈Z ,得－错误!＋k π<2x 〈k π＋错误!，k ∈Z ， 即－错误!＋错误!〈x <错误!＋错误!，k ∈Z ． 所以函数f （x )的单调递增区间为－错误!＋错误!，错误!＋错误!,k ∈Z ,无单调递减区间．（3）由(1)，知f (x ）＝tan 错误!． 由－1≤tan 错误!≤ 错误!，得－错误!＋k π≤2x ＋错误!≤错误!＋k π,k ∈Z ， 即－错误!＋错误!≤x ≤错误!＋错误!，k ∈Z ． 所以不等式－1≤f （x ）≤错误!的解集为错误!．。
高一数学必修4同步练习：1-4-3正切函数的性质与图象
1-4-3正切函数的性质与图象一、选择题1．下列叙述正确的是( ) A ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是增函数 B ．函数y ＝tan x 在(0，π)上是减函数 C ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数 D ．函数y ＝sin x 在(0，π)上是增函数 [答案] C2．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π－3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k 2π＋π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k2π，k ∈Z[答案] C[解析] 要使函数有意义，则2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，则x ≠k 2π＋π8(k ∈Z )．3．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] A[解析] 定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ∩{x |x ≠k π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z .又f (－x )＝tan(－x )＋1tan (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )，即函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数．4．下列直线中，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8[答案] C[解析] 由2x ＋π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋π8 (k ∈Z )，令k ＝0得，x ＝π8.5．下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8 D ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5 [答案] D[解析] tan 4π7＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π7<tan 3π7； tan 3π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5<tan 2π5， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan π7，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝tan π8， ∵tan π7>tan π8，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7>tan ⎝ ⎛⎭⎫－15π8，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－2π5 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝－tan 2π5.又tan 2π5>tan π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4，故选D.6．(2011～2012·郑州高一检测)当－π2<x <π2时，函数y ＝tan|x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形[答案] C7．(2011～2012·荆州高一检测)在区间(－3π2，3π2)范围内，函数y＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B8．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A ．[－π4，π4]B ．[－22，22]C ．[－tan1，tan1]D ．[－1,1][答案] C9．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1[答案] B[解析] 若ω使函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则有ω<0，并且周期T ＝π|ω|≥π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π.则－1≤ω<0.10．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )[答案] A[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－33，则f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－33，排除选项C ，D ； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝tan0＝0，则f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，排除选项B.故选A.二、填空题11．函数y ＝tan x －3的定义域是________．[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π3＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z[解析] 要使函数有意义，自变量x 的取值应满足tan x －3≥0，即tan x ≥ 3.解得π3＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z .12．函数y ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的单调递减区间是________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z )[解析] 求此函数的递减区间，也就是求y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的递增区间，由k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z 得：k π3－π4<x <k π3＋π12，∴减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z .13．三个数cos10°，tan58°，sin168°的大小关系是________． [答案] sin168°<cos10°<tan58°[解析] ∵sin168°＝sin12°<sin80°＝cos10°<1＝tan45°<tan58°，∴sin168°<cos10°<tan58°.14．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是__________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z )[解析] 令z ＝2x －π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2<z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π<z ≤π4＋k π，解不等式－π2＋k π<2x－π6≤π4＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24＋k π2，k ∈Z . 三、解答题15．求下列函数的单调区间：(1)y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4； (2)y ＝13tan2x ＋1；(3)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4.[解析] (1)由k π－π2<x －π4<k π＋π2得k π－π4<x <k π＋3π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z . (2)由k π－π2<2x <k π＋π2得k π2－π4<x <k π2＋π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，k π2＋π4(k ∈Z )．(3)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6，由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，所以函数的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．16．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3的值域．[解析] 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，得tan x ∈[]1，3，∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24. 由于1≤tan x ≤3，∴8≤y ≤103－4，∴函数的值域是[8,103－4]．17．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，求f (π4)的值．[解析] ∵ω>0，∴函数f (x )＝tan ωx 的周期为πω，且在每个独立区间内都是单调函数， ∴两交点之间的距离为πω＝π4，∴ω＝4，f (x )＝tan4x ， ∴f (π4)＝tanπ＝0.18．已知函数f (x )＝3tan(12x －π3)．(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性． [解析] (1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .∴定义域为{x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z }，值域为R .(2)f (x )为周期函数，周期T ＝π12＝2π.f (x )为非奇非偶函数．由－π2＋k π<12x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为(－π3＋2k π，5π3＋2k π)(k ∈Z )．。
20-21版：5.4.3 正切函数的性质与图象（创新设计）
5.4.3正切函数的性质与图象课标要求素养要求1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象与性质解决有关问题.通过利用正切函数的图象，发现数学规律，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.新知探究学习了y＝sin x，y＝cos x的图象与性质后，明确了y＝sin x，y＝cos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值.问题类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质.(1)y＝tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？(2)正切函数的图象是连续的吗？提示(1)y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大，最小值.(2)正切函数的图象在定义域上不是连续的.函数y＝tan x的图象和性质图象与性质是函数的灵魂解析式y＝tan x图象定义域{x|x∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z}值域R拓展深化[微判断]1.函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数.(×)提示 y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数.2.函数y ＝tan 2x 的周期为π.(×) 提示 y ＝tan 2x 的周期为π2.3.正切函数y ＝tan x 无单调递减区间.(√)4.函数y ＝2tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2的值域是[0，＋∞).(√)[微训练]1.tan x ≥1的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥k π＋π4（k ∈Z ） B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2k π＋π4（k ∈Z ） C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥π4 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π4≤x <k π＋π2（k ∈Z ） 解析 ∵tan x ≥1，由图象知，π4＋k π≤x <π2＋k π(k ∈Z ). 故选D. 答案 D2.函数y ＝2tan (－x )是( ) A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数，又是偶函数D.非奇非偶函数解析 y ＝2tan (－x )＝－2tan x ，为奇函数. 答案 A3.与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是 ( ) A.x ＝π2 B.x ＝－π2 C.x ＝π4D.x ＝π8解析 ∵2x ＋π4≠π2＋k π(k ∈Z )，∴x ≠π8＋k π2(k ∈Z )，故选D. 答案 D [微思考]正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？是轴对称图形吗？ 提示 y ＝tan x 是中心对称图形，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，不是轴对称图形.题型一 正切函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的定义域为________；(2)函数y ＝tan 2x －2tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π3的值域为________.解析 (1)由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ， 得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－4π3－4k π，k ∈Z .(2)令u ＝tan x ，∵|x |≤π3，∴由正切函数的图象知u ∈[－3，3]， ∴原函数可化为y ＝u 2－2u ，u ∈[－3，3]，∵二次函数y ＝u 2－2u ＝(u －1)2－1图象开口向上，对称轴方程为u ＝1， ∴当u ＝1时，y min ＝－1， 当u ＝－3时，y max ＝3＋23， ∴原函数的值域为[－1，3＋23].答案 (1)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－4π3－4k π，k ∈Z (2)[－1，3＋23]规律方法 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解.【训练1】 (多空题)函数y ＝tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋1的定义域为________，值域为________.解析 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34≥34，所以原函数的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π3＋π18，k ∈Z⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞题型二 正切函数的单调性角度1 求正切函数的单调区间【例2－1】 求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x ＋π4的单调区间.解 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π4，由－π2＋k π<14x x －π4 <π2＋k π(k ∈Z )得－π＋4k π<x <3π＋4k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x ＋π4的单调递减区间是(－π＋4k π，3π＋4k π)(k ∈Z )，无递增区间. 规律方法 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.角度2 比较大小【例2－2】 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小. (1)tan 13π4与tan 17π5； (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5. 解 (1)因为tan13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以tan π4<tan 2π5，即tan 13π4<tan 17π5.(2)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5，又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以tan π4>tan π5，所以－tan π4<－tan π5， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.规律方法 运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系.【训练2】 (1)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调递减区间为________.解析 y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， ∴k π－π2<x 4－π6<k π＋π2(k ∈Z )，∴4k π－4π3<x <4k π＋8π3(k ∈Z )， ∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z ).答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )(2)比较大小：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5.解 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4＝tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π5＝tan π5. 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增，∴tan π5<tan π4，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5.题型三 正切函数图象、性质的应用【例3】 设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图. 解 (1)∵ω＝12，∴最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0(k ∈Z ).(2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π4，则x ＝7π6；令x 2－π3＝－π4，则x ＝π6；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3. 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3.∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，5π3内的简图(如图).规律方法 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .【训练3】 画出f (x )＝tan|x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.解f (x )＝tan|x |化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0（k ∈Z ），－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0（k ∈Z ），根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan|x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，k π＋32π(k ∈N )；单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－32π，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…).一、素养落地1.通过本节课的学习，提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.2.正切函数y ＝tan x 有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增. 3.(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上递增，不能写成闭区间.正切函数无单调减区间. 二、素养训练1.函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的定义域为( ) A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π12 B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－π12 C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π12＋k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π12＋12k π，k ∈Z 解析 由2x ＋π3≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π12＋12x k π，k ∈Z ，故函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π12＋12k π，k ∈Z .答案 D2.函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B.(k π，k π＋π)，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析 由－π2＋k π<x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－3π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z ，故f (x )的单调递增区间是(－3π4＋k π，π4＋k π)，k ∈Z . 答案 C3.函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4的最小正周期是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.π解析 T ＝π|－3|＝π3. 答案 B4.比较大小：tan 12________tan 52.解析 因为tan 12>0，tan 52<0，所以tan 12>tan 52. 答案 >5.求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象. 解 由2x ≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π4＋12k π，k ∈Z ， 即函数的定义域为{x |x ≠π4＋12k π，k ∈Z }，值域为(－∞，＋∞)，周期为T ＝π2，对应图象如图所示.。
(高一)正切函数的图象与性质
正切函数的图象与性质[基础知识]函数y ＝tan x【基础练习】1.下列说法正确的是( )(A)y=tanx 是增函数 (B)y=tanx 在第一象限是增函数 (C)y=tanx 在某一区间上是减函数 (D)y=tanx 在区间(kπ-2π,kπ+2π)(k ∈Z)上是增函数 2.当-2π<x <2π时，函数y =tan|x |的图象( ) (A)关于原点对称 (B)关于x 轴对称 (C)关于y 轴对称 (D)不是对称图形 3.在区间（-32π,32π）范围内，函数y=tanx 与函数y=sinx 的图象交点的个数为( ) （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 4.函数y =tan （sin x ）的值域是( )（A ）［-4π,4π］ （B ）［-2,2］ （C ）［-tan1,tan1］ （D ）［-1，1］ 5.函数y =5tan （-2x）的最小正周期是______. 6.函数y =5tan （x -4π）的单调区间是______.7. 已知a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则a ，b ，c 按从小到大的排列是________．8.函数f (x )＝sin x ＋tan x ，x ∈[－π3，π3]的值域为________．9.函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心的坐标是_________________． 10.不等式tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－1的解集是____________． 【典型例题】例1．求函数f (x )＝tan2xtan x 的定义域练1.如果x ∈(0,2π)，函数y ＝sin x ＋－tan x 的定义域是( )A ．{x |0<x <π} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π2<x <π C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π2<x ≤π D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3π2<x <2π例2. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，函数F (x )＝f (tan x )．(1)判断F (x )的奇偶性并加以证明；(2)求证：方程F (x )＝0至少有一个实根．练2.判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．例3.求下列函数的单调区间：(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4； (2)y ＝13tan2x ＋1；(3)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4.练3.求函数y ＝1tan 2x －2tan x ＋2的值域和单调区间．例4.作出函数y ＝12(tan x ＋|tan x |)的图象，并写出单调增区间．练4.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是________．(只填相应序号)例5.比较下列各组数的大小：(1)tan2与tan9；(2) (12) cos25°练5.下列不等式中，正确的是( )A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π7<tan ⎝⎛⎭⎫－15π8D ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5 012log tan 7012log sin 25o正切函数的图象与性质活页作业一、选择题：1．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是( )A ．{x |x ≠π4，x ∈R }B ．{x |x ≠－π4，x ∈R }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈R }D ．{x |x ≠k π＋34π，k ∈Z ，x ∈R }2．函数y ＝tan2(x ＋π4)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数 3．已知点P (sin α－cos α，tan α)(α∈[0,2π])在第一象限，则α的取值范围为( )A ．(π2，34π)∪(π，54π)B ．(π4，π2)∪(π，54π)C ．(π2，34π)∪(54π，32π)D ．(π4，π2)∪(34π，π)4．(2011年沂水高一检测)α，β，γ∈(0，π2)，且sin α＝13，tan β＝2，cos γ＝34，则( )A ．α<γ<βB ．α<β<γC ．β<α<γD ．γ<α<β5．直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω为常数，且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )A ．π B.2π|ω| C.π|ω|D ．与a 值有关6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ可以是( ) A ．－π6B.π6 C ．－π12D.π127．下列直线中，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π88．要得到f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只须将f (x )＝tan2x 的图象( ) A ．向右平移π3个单位 B ．向左平移π3个单位 C ．向右平移π6个单位 D ．向左平移π6个单位二、填空题9．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是________． 10．将sin 25π，cos 65π，tan 75π按从小到大的顺序排列，依次是____________________．11．函数y ________________．12．给出下列命题：①函数y ＝cos x 在第三、四象限都是增函数；②函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为πω；③函数y ＝sin(23x ＋52π)是偶函数；④函数y ＝tan 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到y ＝tan(2x ＋π4)的图象．其中正确命题的序号是________． 三、解答题13．求下列函数的定义域．(1)y ＋tan x ；(2)y ＝lg(2sin x －2)－1－2cos x ； (3)f (x )＝1＋2cos xtan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.14．若y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)且－π2<θ<π2，求θ的值．15.已知函数f (x )=tanωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y=4π所得线段长为4π,求f(4π)的值.16.设定义在区间（0，2π）上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象交于点P 0，过点P 0作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线P 0P 1与函数y=sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为多少？17．作出函数y ＝tan |x |的图象，根据图象判断其周期性，并求出单调区间．18．已知函数y ＝tan x 在区间(－a 3π，a2π)上递增，求a 的取值范围．正切函数的图象与性质[基础知识]函数y ＝tan x【基础练习】1.下列说法正确的是( )(A)y=tanx 是增函数 (B)y=tanx 在第一象限是增函数 (C)y=tanx 在某一区间上是减函数 (D)y=tanx 在区间(kπ-2π,kπ+2π)(k ∈Z)上是增函数 【解析】选D.由正切函数的图象可知D 正确 2.当-2π<x<2π时，函数y=tan|x|的图象( ) (A)关于原点对称 (B)关于x 轴对称 (C)关于y 轴对称 (D)不是对称图形 【解析】选C.显然函数y=tan|x|在-2π<x<2π上是偶函数，故其图象关于y轴对称. 3.在区间（-32π,32π）范围内，函数y=tanx 与函数y=sinx 的图象交点的个数为( ) （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【解析】选B.在同一坐标系中分别画出函数y=tanx 和y=sinx 的图象，可以发现两函数图象有3个交点. 4.函数y=tan （sinx ）的值域是( ) （A ）［-4π,4π］ （B ）［-2,2］ （C ）［-tan1,tan1］ （D ）［-1，1］ 【解析】选C.∵-1≤sinx≤1，而-2π<-1≤sinx≤1<2π， ∴tan （-1）≤tan （sinx ）≤tan1，即函数值域为［-tan1,tan1］. 5.函数y =5tan （-x2）的最小正周期是______. 【解析】函数的周期T=1||2ππ=ω-=2π.答案:2π6.函数y =5tan （x -4π）的单调区间是______. 【解析】由kπ-2π<x-4π<kπ+2π,(k ∈Z)得kπ-4π<x<kπ+34π，(k ∈Z)，即函数的单调区间是 (kπ-4π,kπ+34π),(k ∈Z).答案:(kπ-4π,kπ+34π),(k ∈Z)7. 已知a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则a ，b ，c 按从小到大的排列是________． 解析： ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0，∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1. 答案:b <c <a8.函数f (x )＝sin x ＋tan x ，x ∈[－π3，π3]的值域为________．解析： 易知f (x )＝sin x ＋tan x 在x ∈[－π3，π3]上为递增函数．∴f (π3)≤f (x )≤f (π3)．即f (x )∈[－332，332]答案: [－332，332]9.函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心的坐标是_________________． 解析： 由x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π2－π3(k ∈Z )．∴对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )．答案:⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )10.不等式tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－1的解集是____________． 解析 由k π－π4≤2x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2≤x <k π2＋38π，k ∈Z .答案:⎣⎡⎭⎫k π2，k π2＋3π8 (k ∈Z ) 【典型例题】例1．求函数f (x )＝tan2xtan x的定义域解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k πx ≠k π＋π22x ≠k π＋π2(k ∈Z )得⎩⎨⎧x ≠k π2x ≠k π2＋π4，∴x ≠2k 4π且x ≠2k ＋14π，∴x ≠k π4，k ∈Z ，∴f (x )＝tan2xtan x 的定义域为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈Z . 答案: ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈Z 练1.如果x ∈(0,2π)，函数y ＝sin x ＋－tan x 的定义域是( )A ．{x |0<x <π} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π2<x <π C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π2<x ≤π D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3π2<x <2π[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0－tan x ≥0得⎩⎨⎧sin x ≥0tan x ≤0，又x ∈(0,2π)，∴π2<x ≤π，故选C.[答案] C例2. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，函数F (x )＝f (tan x )．(1)判断F (x )的奇偶性并加以证明；(2)求证：方程F (x )＝0至少有一个实根．解：(1)F (x )为奇函数．因为F (－x )＝f (tan(－x ))＝f (－tan x )，又因为f (－x )＝－f (x )，所以F (－x )＝－f (tan x )＝－F (x )，所以F (x )为奇函数． (2)证明：因为tan0＝0且f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，所以F (0)＝f (tan0)＝0，即F (x )＝0至少有一个实数根0.练2.判断函数f (x )＝lgtan x ＋1tan x －1的奇偶性．解 由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.∴函数定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π－π4∪⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )关于原点对称． f (－x )＋f (x )＝lg tan －x ＋1tan －x －1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg 1＝0. ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． 例3.求下列函数的单调区间：(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4； (2)y ＝13tan2x ＋1；(3)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4. [解析] (1)由k π－π2<x －π4<k π＋π2得k π－π4<x <k π＋3π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z . (2)由k π－π2<2x <k π＋π2得k π2－π4<x <k π2＋π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π4，k π2＋π4(k ∈Z )．(3)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6，由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，所以函数的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． 练3.求函数y ＝1tan 2x －2tan x ＋2的值域和单调区间．[解析] y ＝1(tan x －1)2＋1，∵(tan x －1)2＋1≥1， ∴值域是(0,1]，递增区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π＋π4k ∈Z ； 递减区间是⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2k ∈Z . 例4.作出函数y ＝12(tan x ＋|tan x |)的图象，并写出单调增区间．解y ＝12(tan x ＋|tan x |)＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2，x ∈Z ，0，k π－π2<x <k π，x ∈Z .图象如图所示，单调增区间为[k π，k π＋π2)，k ∈Z .练4.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是________．(只填相应序号)解析： 当π2<x <π，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <32π时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故填④.答案:④例5.比较下列各组数的大小：(1)tan2与tan9；(2) (12) cos25°解：(1)∵tan9＝tan(－2π＋9)，而π2<2<－2π＋9<π，且y ＝tan x 在(π2，π)内是增函数， ∴tan2<tan(－2π＋9)，即tan2<tan9.(2)∵tan70°>tan45°＝1，∴ tan70°<0，又0<sin25°<sin30°＝12，∴ sin25°>1， 而0<cos25°<1，∴0<(12)cos25°<1，∴ tan70°<(12)cos25°< sin25°. 练5.下列不等式中，正确的是( )A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π7<tan ⎝⎛⎭⎫－15π8 D ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5 [答案] D012log tan 7012log sin 25o 12log12log 12log 12log[解析] tan 4π7＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π7<tan 3π7； tan 3π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan 2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－13π7＝tan π7，tan ⎝⎛⎭⎫－15π8＝tan π8， ∵tan π7>tan π8，∴tan ⎝⎛⎭⎫－13π7>tan ⎝⎛⎭⎫－15π8， tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－2π5＝tan ⎝⎛⎫－2π5＝－tan 2π5. 又tan 2π5>tan π4，所以tan ⎝⎛⎭⎫－12π5<tan ⎝⎛⎭⎫－13π4，故选D.正切函数的图象与性质活页作业一、选择题：1．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是( )A ．{x |x ≠π4，x ∈R }B ．{x |x ≠－π4，x ∈R }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈R }D ．{x |x ≠k π＋34π，k ∈Z ，x ∈R }解析：选D.y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)∴x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π＋3π4，k ∈Z .2．函数y ＝tan2(x ＋π4)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数解析：选A.y ＝tan2(x ＋π4)＝tan(2x ＋π2)＝cot2x ＝1tan2x为奇函数．3．(2011年宣城高一检测)已知点P (sin α－cos α，tan α)(α∈[0,2π])在第一象限，则α的取值范围为( )A ．(π2，34π)∪(π，54π)B ．(π4，π2)∪(π，54π)C ．(π2，34π)∪(54π，32π)D ．(π4，π2)∪(34π，π)解析：选B.由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos αtan α>0.又0≤α≤2π，∴π4<α<π2或π<α<5π4.4．(2011年沂水高一检测)α，β，γ∈(0，π2)，且sin α＝13，tan β＝2，cos γ＝34，则( )A ．α<γ<βB ．α<β<γC ．β<α<γD ．γ<α<β解析：选A.∵α∈(0，π2)，sin α＝13，∴cos α＝223，∴tan α＝24，∵γ∈(0，π2)，cos γ＝34，∴sin γ＝74，∴tan γ＝73，∴24<73<2，∴tan α<tan γ<tan β， 又∵y ＝tan x 在(0，π2)上单调递增，∴α<γ<β.5．直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω为常数，且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )A ．π B.2π|ω| C.π|ω| D ．与a 值有关[答案] C[解析] 利用图象知，直线y ＝a 与正切曲线y ＝tan ωx 相交的两相邻交点间的距离，就是此正切曲线的一个最小正周期值，因此距离为π|ω|，∴应选C.6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ可以是( )A ．－π6B.π6 C ．－π12D.π12[答案] A[解析] ∵函数的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0， ∴tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，令k ＝0，则φ＝－π6.7．下列直线中，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8[答案] C[解析] 由2x ＋π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋π8 (k ∈Z )，令k ＝0得，x ＝π8.8．要得到f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只须将f (x )＝tan2x 的图象( ) A ．向右平移π3个单位 B ．向左平移π3个单位 C ．向右平移π6个单位 D ．向左平移π6个单位[答案] C 二、填空题9．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是________． 解析： 若ω≥0，与y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内递减矛盾． ∴ω<0.由－π2<ωx <π2(ω<0)解得π2ω<x <－π2ω. 由题意知：π2≤⎪⎪⎪⎪π2ω，∴|ω|≤1.∵ω<0，∴－1≤ω<0. 答案: [－1,0)10．将sin 25π，cos 65π，tan 75π按从小到大的顺序排列，依次是____________________．[答案] cos 65π<sin 25π<tan 75π[解析] cos 65π<0，sin 25π>0，tan 75π＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋25π＝tan 25π>0，由25π的正切线与正弦线可知：tan 25π>sin 25π，∴cos 65π<sin 25π<tan 75π.11．函数y ________________．[答案] {x |k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z }[解析] 要使函数有意义，必须log 12tan x ≥0，∴0<tan x ≤1，∴k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z ，∴该函数的定义域是{x |k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z }．12．给出下列命题：①函数y ＝cos x 在第三、四象限都是增函数；②函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为πω；③函数y ＝sin(23x ＋52π)是偶函数；④函数y ＝tan 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到y ＝tan(2x ＋π4)的图象．其中正确命题的序号是________． 解析：①不正确，∵象限是集合概念，而y ＝cos x 的单调区间写法只是一个符号，不应看作集合；②不正确，∵ω可以小于0，应为π|ω|；③正确，y ＝sin(23x ＋52π)＝cos 23x 是偶函数；④正确，y ＝tan[2(x ＋π8)]＝tan(2x＋π4)． 答案：③④ 三、解答题13．求下列函数的定义域．(1)y ＋tan x ；(2)y ＝lg(2sin x －2)－1－2cos x ；(3)f (x )＝1＋2cos xtan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. [解析] (1)x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋log 12x ≥0tan x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )， ∴0<x <π2或π≤x ≤4，∴所求定义域为(0，π2)∪[π，4]．(2)x 应满足⎩⎨⎧2sin x －2>01－2cos x ≥0，∴⎩⎨⎧sin x >22cos x ≤12，利用单位圆中的三角函数线，可得∴π3＋2k π≤x <3π4＋2k π(k ∈Z )，∴所求定义域为[2k π＋π3，2k π＋3π4) ，(k ∈Z )．(3)要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋2cos x ≥0tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π3x ≠k π＋π4x ≠k π－π4(k ∈Z )．∴x ∈⎣⎡⎭⎫2k π－2π3，2k π－π4∪⎝⎛⎭⎫2k π－π4，2k π＋π4∪⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋2π3. 14．若y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)且－π2<θ<π2，求θ的值．解：∵y ＝tan α的对称中心为(k π2，0)(k ∈Z )，∴2x ＋θ＝k π2(k ∈Z )，代入x ＝π3得θ＝k π2－23π(k ∈Z )，又∵－π2<θ<π2，∴当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3，∴θ＝－π6或π3.15.已知函数f (x )=tanωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y=4π所得线段长为4π,求f(4π)的值. 【解析】∵ω＞0,∴函数f(x)=tanωx 的周期为πω,且在每个独立区间内都是单调函数， ∴两交点之间的距离为πω=4π,∴ω=4,f(x)=tan4x,∴f(4π)=tan π=0.16.设定义在区间（0，2π）上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象交于点P 0，过点P 0作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线P 0P 1与函数y=sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为多少？ 【解析】设P 0（x 0,y 0），则由0000y 6cosx y 5tanx =⎧⎨=⎩消去y 0得，6cosx 0=5tanx 0 ⇒6cos 2x 0=5sinx 0，即6sin 2x 0+5sinx 0-6=0，解得sinx 0=-32 (舍去)或sinx 0=23. ∵P 0P 1⊥x 轴，且点P 0、P 1、P 2共线，∴|P 1P 2|=sinx 0=23.17．作出函数y ＝tan |x |的图象，根据图象判断其周期性，并求出单调区间．解 y ＝tan |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ， x ≥0，－tan x ， x <0，根据y ＝tan x 的图象，可作出y ＝tan |x |的图象(如图所示)．由图可知，函数y ＝tan |x |不是周期函数，它是单调减区间为(－π2，0]，(k π－3π2，k π－π2)，k ＝0，－1，－2，…；单调增区间为[0，π2)，(k π＋π2，k π＋3π2)，k ＝0,1,2，….18．已知函数y ＝tan x 在区间(－a 3π，a2π)上递增，求a 的取值范围．解 由a 2π>－a 3π，得a >0.故知(－a 3π，a 2π)⊆(－π2，π2)，得⎩⎨⎧－a 3π≥－π2，a 2π≤π2，故0<a ≤1，即a 的取值范围为(0,1]．。
5.4.3正切函数的性质与图象 课时训练- 高一上学期数学人教A版( )必修第一册(含答案)
5.4.3 正切函数的性质与图象基础巩固1.函数y=2tan (2x +π3)的定义域为( ) A.{x |x ≠π12}B.{x |x ≠-π12} C.{x |x ≠π12+kπ,k ∈Z}D.{x |x ≠π12+kπ2,k ∈Z}2.函数y=tan (12x -π3)在一个周期内的图象是( )3.函数y=lg tan x 的单调递增区间是( ) A.(kπ-π2,kπ+π2)(k ∈Z ) B.(kπ,kπ+π2)(k ∈Z ) C.(2kπ-π2,2kπ+π2)(k ∈Z ) D.(k π,k π+π)(k ∈Z )4.如图所示,函数y=√3tan (2x +π6)的部分图象与坐标轴分别交于点D ,E ,F ,则△DEF 的面积为( )A.π4B.π2C.πD.2π5.已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=π4所得的线段长为π4,则f(π4)的值是()A.0B.1C.-1D.π46.函数y=3tan(x+π3)的图象的对称中心的坐标为.7.已知函数f(x)=tan(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为2π,则f(π6)=.8.比较大小:tan(-2π7)tan(-π5).9.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈[-π4,π4]的值域.能力提升1.已知函数y=tan ωx在区间(-π2,π2)内单调递减,则()A.0<ω≤1B.-1≤ω<0C.ω≥1D.ω≤-12.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间(π2,3π2)内的图象是()3.(多选题)下列关于函数y=tan(x+π3)的说法错误的是()A.在区间(-π6,5π6)内单调递增B.最小正周期是πC.图象关于点(π4,0)成中心对称D.图象关于直线x=π6成轴对称4.若tan(2x-π6)≤1,则x的取值范围是.5.已知函数f(x),任意x1,x2∈(-π2,π2)(x1≠x2),给出下列结论:①f(x+π)=f(x);②f(-x)=f(x);③f(0)=1;④f(x1)-f(x2)x1-x2>0;⑤f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2.当f(x)=tan x时,正确的结论为(填序号).6.已知函数f(x)=3tan(π6-x 4 ).(1)求它的最小正周期和单调递减区间;(2)试比较f(π)与f(3π2)的大小.7.已知函数f(x)=a sin(ωx+π3)(ω>0),g(x)=b tanωx-π3(ω>0),它们的周期之和为3π2,且f(π2)=g(π2),f(π4)=-√3g(π4)+1.求这两个函数的解析式,并求出g(x)的单调递增区间.参考答案基础巩固1. D2. A3. B4. A5. A6.(kπ2-π3,0)(k∈Z)7. 18. <9-π4≤x ≤π4,∴-1≤tan x ≤1. 令tan x=t ,则t ∈[-1,1].∴y=-t 2+4t+1=-(t-2)2+5.∴当t=-1,即x=-π4时,y min =-4,当t=1,即x=π4时,y max =4.故所求函数的值域为[-4,4].能力提升1. B2. D3. ACD4. {x |-π6+kπ2<x ≤5π24+kπ2,k ∈Z}5.①④6.解(1)因为f (x )=3tan (π6-x 4)=-3tan x4−π6, 所以最小正周期T=π14=4π.由k π-π2<x 4−π6<k π+π2(k ∈Z ),得4k π-4π3<x<4k π+8π3(k ∈Z ).因为y=3tan (x 4-π6)在区间4k π-4π3,4k π+8π3(k ∈Z )内单调递增, 所以f (x )=3tan (π6-x4)在区间(4k π-4π3,4k π+8π3)(k ∈Z )内单调递减. 故函数f (x )的最小正周期为4π,单调递减区间为(4k π-4π3,4k π+8π3)(k ∈Z ). (2)f (π)=3tan (π6-π4)=3tan (-π12)=-3tan π12,f (3π2)=3tan (π6-3π8)=3tan (-5π24)=-3tan 5π24, 因为0<π12<5π24<π2,且y=tan x 在区间(0,π2)内单调递增,所以tan π12<tan 5π24,所以f (π)>f (3π2).7,可得{2πω+πω=3π2,asin (ωπ2+π3)=btan (ωπ2-π3),asin (ωπ4+π3)=-√3btan (ωπ4-π3)+1,解得{ω=2,a =1,b =12,故f(x)=sin(2x+π3),g(x)=12tan(2x-π3).当kπ-π2<2x-π3<kπ+π2(k∈Z),即kπ2−π12<x<kπ2+5π12(k∈Z)时,g(x)单调递增.所以g(x)的单调递增区间为(kπ2-π12,kπ2+5π12)(k∈Z).。
专题1.4.3 正切函数的性质与图象(PPT)含答案
3.
【答案】
xx≠kπ＋π3，k∈Z
3
3．（2019 年沙市区期中）函数 y＝－tan x 的单调递减区间是________． 【解析】 因为 y＝tan x 与 y＝－tan x 的单调性相反，所以 y＝－tan x 的单 调递减区间为－π2＋kπ，2π＋kπ(k∈Z)． 【答案】 －π2＋kπ，2π＋kπ(k∈Z)
(2)可按定义法的步骤判断． 【自主解答】 (1)由于 ω＝3，故函数的周期为 T＝|ωπ |＝3π.
【答案】
π 3
(2)①由x≠kπ＋π2，k∈Z， tan x≠1，
得 f(x)的定义域为x|x≠kπ＋2π且x≠kπ＋4π，k∈Z， 不关于原点对称，
所以函数 f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
【解析】 (1)∵tan2x＋3π＋π＝tan2x＋3π，即 tan2x＋π2＋π3＝tan2x＋π3，
∴f(x)＝tan2x＋3π的周期是2π.
(2)定义域为xx≠kπ＋2π，k∈Z
，关于原点对称，
类型二：正切函数的奇偶性、周期性
例 2、(1)函数 y＝4tan 3x＋π6 的周期为________． (2)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝tanta2nx－x－ta1n x； ②f(x)＝tan x－π4 ＋tan x＋π4 .
【精彩点拨】 (1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图象来 求．
解答本题(2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用 tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，最后利用 y＝tan x 在－2π，π2上的单调性判断大小关系．
解答本题(3)可先确定 sin x 的范围，然后根据 y＝tan x 的单调性求值域．
正切函数的性质与图象(分层练习)高一数学精品同步课堂(人教A版2019必修第一册)
5.4.3 正切函数的性质与图象基 础 练巩固新知 夯实基础1.函数tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．3+,4xx k k Z ππ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭∣ B ．3+2,4xx k k Z ππ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭∣ C ．,4xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ D ．2,4xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ 2.函数()2tan 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π3.已知13122,log 3,tan53a b c -===︒，则（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<4.若函数f (x )=tan(ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π,则 ( )A. f (2)>f (0)>f (-π5) B. f (0)>f (2)>f (-π5) C. f (0)>f (-π5)>f (2) D. f (-π5)>f (0)>f (2)5.(多选)下列关于函数y =tan (x +π3)的说法正确的是( )A.在区间(-π6,5π6)上单调递增 B.最小正周期是πC.图象关于点(π6,0)成中心对称 D.图象关于直线x =π6成轴对称 6.已知函数f (x )＝x ＋tan x ＋1，若f (a )＝2，则f (－a )的值为________． 7.求y ＝3－tan x 的定义域.8.根据正切函数的图象,写出使不等式3+√3tan 2x ≥0成立的x 的取值集合.9.设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．能 力 练综合应用 核心素养10.函数()()2ln 2tan f x x x x =-++的定义域是（ ）A ．ππ0,,222⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()0,2C ．()(),02,-∞+∞D ．π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭11.已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1 D ．ω≤－112.函数()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．4πD ．2π 13.已知函数()tan 3f x x x =，若对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x a >恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．53,⎛-∞ ⎝⎦B ．53,⎛-∞ ⎝⎭C ．3,⎛-∞ ⎝⎦D ．3,⎛-∞ ⎝⎭14.(多选)已知函数f (x )={tanx ,tanx >sinx ,sinx ,tanx ≤sinx ,则 ( )A. f (x )的值域为(-1,+∞)B. f (x )的单调递增区间为[kπ,kπ+π2)(k ∈Z)C.当且仅当k π-π2<x ≤k π(k ∈Z)时,f (x )≤0 D. f (x )的最小正周期是2π15.已知函数y =-tan 2x +4tan x +1,x ∈[-π4,π4],则其值域为 .16.函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1为________函数(填“奇”或“偶”)．17.函数tan 216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心的坐标为___________.18.若函数tan 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3ω=___________.【参考答案】1.A 解析：由()()3424x k k Z x k k Z πππππ-≠+∈⇒≠+∈，故选：A 2.C 解析：函数()2tan 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为212ππ=.故选：C.3.B 解析：∵1030221a -<=<=，1122log 31log 0b =<=，tan531tan 45c ︒>︒==，b ac ∴<<.故选：B.4.C 解析：由函数f (x )=tan (ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π,可得πω=π,解得ω=1,即f (x )=tan (x +π4),令-π2+k π<x +π4<π2+k π,k ∈Z,得-3π4+k π<x <π4+k π,k ∈Z,当k =1时,π4<x <5π4,即函数f (x )在(π4,5π4)上单调递增,又f (0)=f (π),f (-π5)=f (-π5+π)=f (4π5),且54π>π>4π5>2>π4,所以f (0)>f (-π5)>f (2).故选C .5.BC 解析： 令k π-π2<x +π3<k π+π2,k ∈Z,得k π-5π6<x <k π+π6,k ∈Z,显然(-π6,5π6)不满足上述关系式,故A 中说法错误;显然该函数的最小正周期为π,故B 中说法正确;令x +π3=kπ2,k ∈Z,得x =kπ2-π3,k ∈Z,当k =1时,得x =π6,故C 中说法正确;正切曲线没有对称轴,因此函数y =tan (x +π3)的图象也没有对称轴,故D 中说法错误.故选BC . 6. 0 解析：设g (x )＝x ＋tan x ，显然g (x )为奇函数．∵f (a )＝g (a )＋1＝2，∴g (a )＝1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝0. 7. 解：由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3， 所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ． 8. 解：如图所示,在同一平面直角坐标系中画出函数y =tan x ,x ∈(-π2,π2)的图象和直线y =-√3.由图得,在区间(-π2,π2)内,不等式tan x ≥-√3的解集是{x|-π3≤x <π2},∴在函数y =tan x 的定义域x x ≠kπ+π2,k ∈Z 内,不等式tan x ≥-√3的解集是{x|kπ-π3≤x <kπ+π2,k ∈Z}.令k π-π3≤2x <k π+π2(k ∈Z),得kπ2-π6≤x <kπ2+π4(k ∈Z),∴使不等式3+√3tan 2x ≥0成立的x 的取值集合是{x|kπ2-π6≤x <kπ2+π4,k ∈Z}.9. 解：(1)∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，则x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3；令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．10.A 解析：由题意得()220ππ2x x x k k Z ⎧-+>⎪⎨≠+∈⎪⎩, 解得02x <<且π2x ≠,则()f x 的定义域为ππ0,,222⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A . 11.B 解析：∵y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω<0. 12.D 解析：函数()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是由tan 2y x =的图象先向右平移6π个单位长度，再把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到，故()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期与tan 2y x =的相同，为2π，故选：D.13.A 解析：由对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x a >恒成立，则只要min ()f x a >即可，因为函数tan y x =和3y x=在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是增函数，所以函数()tan 3f x x x =，在,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上是增函数，所以53()tan 3sin 666f x f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以53a ≤故选：A. 14.AD 解析：当tan x >sin x ,即k π<x <k π+π2(k ∈Z)时, f (x )=tan x ∈(0,+∞);当tan x ≤sin x ,即k π-π2<x ≤k π(k ∈Z)时,f (x )=sin x ∈(-1,1).综上, f (x )的值域为(-1,+∞),故A 正确;f (x )的单调递增区间是(2kπ-π2,2kπ+π2)和2k π+π,2k π+3π2(k ∈Z),故B 错误;当x ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k ∈Z)时,f (x )>0,故C 错误;结合f (x )的图象可知f (x )的最小正周期是2π,故D 正确.故选AD .15.[-4,4] 解析：∵-π4≤x ≤π4,∴-1≤tan x ≤1.令tan x =t ,则t ∈[-1,1]. ∴y =-t 2+4t +1=-(t -2)2+5,t ∈[-1,1].易知函数在[-1,1]上单调递增,∴当t =-1,即x =-π4时,y min =-4,当t =1,即x =π4时,y max =4.故所求函数的值域为[-4,4]. 16. 奇 解析：由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.∴函数定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π－π4∪⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )关于原点对称． f (－x )＋f (x )＝lg tan －x ＋1tan －x －1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg1＝0. ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．17.,1124k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k Z ∈ 解析：令26x π-＝2k π (k Z ∈)，得412k x ππ=+ (k Z ∈)，∴对称中心的坐标为(,1)()412k k Z π+∈π． 18.14- 解析：因为函数tan 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以0ω<，23ππω≥，则302ω-≤<，又因为函数在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3所以,343k k Z πππωπ-+=+∈，即13,4k k Z ω=--∈，所以14ω=-.。
正切函数的图像与性质(带答案)
正切函数图像及性质 知识点梳理函数y ＝tan x 的图象与性质 y ＝tan x π例1、求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝lg(3－tan x )．练习、求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.例3、求下列函数的周期（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan 3πx y （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=421tan 3πx y例4、求函数区间，对称中心的定义域、周期和单调⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx y练习1、求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的单调性、周期性；练习2、求函数的单调区间⎪⎭⎫⎝⎛+-=421tan 3πx y课堂练习1． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是 ( )2.在区间(－3π2，3π2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( )A.1B.2C.3D.43．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是 ( )4.利用函数图象，解不等式－1≤tan x ≤33.5.下列说法正确的是( )A.y ＝tan x 是增函数B.y ＝tan x 在第一象限是增函数C.y ＝tan x 在每个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数D.y ＝tan x 在某一区间上是减函数6.函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是 ( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z}C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z}D ．{x |x ≠k 2π，k ∈Z}7.直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( )A.π2B.2πC.πD.与a 值有关8.下列各式中正确的是( )A.tan 4π7＞tan 3π7B.tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＜tan ⎝⎛⎭⎫－17π5C.tan 4＞tan 3D.tan 281°＞tan 665°9.函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π4(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π2(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )10.已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为__________.11.函数y ＝2tan(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ＝________.12.若tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是________.13已知函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3.(1)求f (x )的定义域和值域.(2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性.14.求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3的值域.。
课时作业23：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)课后拔高提能练一、选择题1．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)是奇函数，则φ可取一个值为( )A ．－πB ．－π2C ．π4D ．2π2．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为π2，则ω的值为( )A ．4B ．±12C ．14 D ．±43．函数y ＝cos2x 的单调递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )B ．⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π(k ∈Z )C ．⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )D ．⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )4．设ω>0，函数f (x )＝2cos ωx 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上单调递减，那么ω的值可以是() A ．12 B ．2C ．3D ．45．函数y ＝cos 2x －3cos x ＋2的最小值是( )A ．2B ．－14C ．6D ．06．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 二、填空题 7．(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)，若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．8．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (π＋x )＝f (π－x )，若x ∈[0，π]时解析式为f (x )＝cos x ，则f (x )>0的解集是________．9．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如下图所示．f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝________.三、解答题10．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ－π6(0<φ<π)是奇函数． (1)求φ；(2)求函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调减区间．11．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．12．已知函数f (x )＝2cos ωx (ω>0)，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的单调递减区间．【参考答案】课后拔高提能练一、选择题1．B【解析】若f (x )＝cos(2x ＋φ)是奇函数，即f (x )关于原点对称，则φ＝k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝－1，φ＝－π2，故选B ． 2．D【解析】∵T ＝2π|ω|＝π2，∴|ω|＝4，ω＝±4. 3．D【解析】令2k π－π≤2x ≤2k π(k ∈Z )⇒k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z )，故选D ． 4．A【解析】由题可知，f (x )的周期为T ＝2πω， ∴T 2≥2π3，∴πω≥2π3，∴ω≤12，故选A ． 5．D【解析】 y ＝cos 2x －3cos x ＋2＝⎝⎛⎭⎫cos x －322－14， 当cos x ＝1时，y min ＝0.故选D ．6．D【解析】易判断该函数周期T ＝⎝⎛⎭⎫π12＋π6×4＝π，∴ω＝2，排除选项A 和C ；结合f ⎝⎛⎭⎫－π6＝0可排除选项B ，故选D ． 二、填空题7．23【解析】因为f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立，所以f ⎝⎛⎭⎫π4取最大值，所以π4ω－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝0时，ω取最小值为23. 8．⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z 【解析】由f (π＋x )＝f (π－x )知f (x )的图象关于x ＝π对称，又f (x )是偶函数，∴f (x )关于y 轴的对称， f (2π＋x )＝f [π－(π＋x )]＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，T ＝2π.当x ∈[0，π]时，f (x )＝cos x >0，得0≤x <π2， 当x ∈[－π，0)时，f (x )>0得－π2<x <0， ∴f (x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 9．23【解析】由题图可知，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－7π12×2＝2π3， ∴2πω＝2π3，∴ω＝3. 图象经过⎝⎛⎭⎫7π12，0，∴3×7π12＋φ＝3π2，∴φ＝－π4， f ⎝⎛⎭⎫π2＝A cos ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝A cos 5π4＝－23，∴－22A ＝－23，22A ＝23， f (0)＝A cos φ＝A cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝22A ＝23. 三、解答题10．解：(1)由f (0)＝cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0,0<φ<π，得φ＝2π3. (2)由(1)，可得f (x )＝－sin3x ，故f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝－sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4， 由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12，k ∈Z . 故所求单调减区间是⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，2k π3＋π12，k ∈Z .11．解：(1)由T ＝2πω，得T ＝2π2＝π. 由2k π－π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )可得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )， 所以函数的最小正周期为π.单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )． (2)设t ＝2x －π4，由x ∈⎣⎡⎦⎤－π8，π2得t ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π4， 则函数y ＝cos t 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上递增，在⎣⎡⎦⎤0，3π4上递减． ∴当t ＝0即x ＝π8时，f (x )max ＝2， 当t ＝3π4即x ＝π2时，f (x )min ＝－1. 12．解：(1)由题意可知2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝2cos2x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再将所得函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y ＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图象．所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，y ＝g (x )单调递减，因此y ＝g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．。
第5章 培优练习：5.4.3 正切函数的图象和性质(答案版)
函数),2(tan Z k k x R x x y ∈+≠∈=ππ，且的图象与性质见下表：y ＝tan xπ一、选择题1.[2020·湖南茶陵三中高一月考]函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan πx y 的最小正周期为( )。
A.4πB.2πC.πD.2π【答案】B【解析】2πωπ==T ，故选B 。
2.[2020·林芝市第二高级中学高二期末（文）]函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )。
5.4.3 正切函数的图象和性质知识讲解同步练习A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是22T ππ==，故选：B ．3.[2020·平凉市庄浪县第一中学期中]函数⎪⎭⎫⎝⎛=3-tan πx y 的定义域是( )。
A.},3|{R x x x ∈≠πB.}k ,6|{Z k x x ∈+≠ππC.}k ,65|{Z k x x ∈+≠ππD.}k ,65|{Z k x x ∈-≠ππ 【答案】C【解析】由Z k k x Z k k x ∈+≠∈+≠-,65,,23πππππ得，所以函数得定义域为}k ,65|{Z k x x ∈+≠ππ， 故选：C ．4.[2020·全国高一课时练习]函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为( )。
A ．(),22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．()(),k k k Z πππ+∈C ．()3,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()3,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据正切函数性质可知，当πππππ242k xk k Z 时，函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增， 即3ππππ44k xk k Z ，故选：C.5.[2020·六盘山高级中学高一期末]在下列函数中，同时满足以下三个条件得是( )。
高中数学复习：正切函数的图像和性质练习及答案
高中数学复习：正切函数的图像和性质练习及答案1.如下图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x ＜3π2且x ≠π2)的图象是( )A ．B ．C ．D ．2.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2,3π2)内的图象是( )A ．B ．C ．D ．3.函数f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}的图象为( )A ．B ．C ．D ．4.函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在(－π2，π2)上的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)等于( )A．2＋√3 B．√3 C．√33D．2－√36.下列图象分别是函数①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈(－3π2，?3π2)内的大致图象.那么图a、b、c、d依次对应的函数关系式应是( )A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③7.函数y＝tan(π4x－π2)的部分图象如图所示，则△AOB的面积等于( )A．1 B．2 C．4 D．928.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为( )A．(kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z) B．[kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)C．[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z) D．(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)考点2 正切函数的定义域、值域9.函数y＝1tanx的定义域为( )A．{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C．{x|x≠kπ+π2，k∈Z}D．{x|x≠kπ2，k∈Z}10.函数y＝√sinx＋√tanx的定义域为( )A．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}B．{x|2kπ＜x≤kπ＋π2,k∈Z}C．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}∪{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}D．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2且x≠2kπ＋π，k∈Z}11.函数y＝tan x(−π4≤x≤π4且x≠0)的值域是( )A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 12.函数y＝tan(sin x)的值域为( )A．[−π4,π4]B．[−√22,√22]C．[－tan1，tan1] D．以上都不对13.(1)求函数y＝√tanx−√3的定义域；(2)已知f(x)＝tan2x－2tan x(|x|≤π3)，求f(x)的值域.14.函数y＝tanωx的最小正周期为π2，则实数ω的值为( )A．12B．1 C．2 D．415.已知函数y＝tanωx(ω＞0)的图象与直线y＝a相交于A，B两点，若AB长度的最小值为π，则ω的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．3 16.函数y ＝tan 35x 是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为53π的奇函数 C ．周期为53π的偶函数 D ．周期为π的奇函数 17.下列函数中，为偶函数的是( ) A ．f (x )＝sin(2015π2＋x ) B ．f (x )＝cos(2015π2＋x ) C ．f (x )＝tan(2015π2＋x ) D ．f (x )＝sin(2014π2＋x )18.函数y ＝tan (x +π3)图象的对称中心的坐标是( ) A ．(k π−π3,0)(k ∈Z ) B ．(k 2π－π3，0)(k ∈Z )C ．(k π2，0)(k ∈Z ) D ．(k π，0)(k ∈Z )19.下列坐标所表示的点不是函数y ＝tan(x2－π6)的图象的对称中心的是( ) A ．(π3,0) B ．(−5π3,0) C ．(7π3,0) D ．(2π3,0)20.下列关于函数y ＝tan (x +π3)的说法正确的是( ) A ．在区间(−π6+5π6)上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点(π4,0)成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称21.若函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1与函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期相同，则实数a ＝______.22.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2；③若x1＞x2，则sin x1＞sin x2；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0. 其中正确命题的序号是________.23.试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|；(2)f(x)＝x2tan x－sin2x.24.下列说法正确的是( )A．y＝tan x是增函数B．y＝tan x在第一象限是增函数C．y＝tan x在某一区间上是减函数D．y＝tan x在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数25.函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是( )A．(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)B．(−7π10＋kπ，3π10＋kπ)(k∈Z)C．(−3π10＋kπ，7π10＋kπ)(k∈Z)D．(−π5+kπ，π5＋kπ)(k∈Z)26.关于函数f(x)＝－tan2x，有下列说法：①f(x)的定义域是{x∈R|x≠π2＋kπ，k∈Z}；②f(x)是奇函数；③在定义域上是增函数；④在每一个区间(－π4＋kπ2，π4＋kπ2)(k∈Z)上是减函数；⑤最小正周期是π.其中正确的是( )A ．①②③B ．②④⑤C ．②④D ．③④⑤ 27.已知函数f (x )＝√3tan πxω(ω＞0).(1)当ω＝4时，求f (x )的最小正周期及单调区间；(2)若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立，求ω的取值范围.28.对于函数y ＝tan x2，下列判断正确的是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数29.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4).(1)求该函数的定义域，周期及单调区间； (2)若f (θ)＝17，求2cos 2θ2−sinθ−12sin(θ＋π4)的值.30.已知函数y ＝tan(12x －π6).(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间；(3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标.31.已知关于实数x的不等式|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0的解集分别为M，N，且M∩N＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围. 答案1.如下图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】∵y＝cos x|tan x|＝{sinx,0≤x＜π2,−sinx,π2＜x≤πsinx,π＜x＜3π2.，∴函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是C.2.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间(π2,3π2)内的图象是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当π2＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；当x＝π时，y＝0；当π＜x＜3π2时，tan x＞sin x，y＝2sin x.故选D.3.函数f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为y ＝tan x 是奇函数，所以f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}是奇函数，因此B ，C 不正确，又因为f (x )＝tan x ＋1tanx ，0＜x ＜π2时函数为正数，所以D 不正确，A 正确.4.函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在(－π2，π2)上的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】∵sin x ＜x ＜tan x ，x ∈(0，π2)， ∴在(0，π2)上无交点，又它们都是奇函数，故在(－π2，0)上无交点， 观察图象知两个函数的图象有1个交点.5.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)等于( )A ．2＋√3B ．√3C ．√33D ．2－√3【答案】B【解析】由图象知πω＝2×(3π8−π8)＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan (2x +π4).又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f (x )＝tan (2x +π4).所以f (π24)＝tan (2×π24+π4)＝√3，故选B.6.下列图象分别是函数①y ＝|tan x |；②y ＝tan x ；③y ＝tan(－x )；④y ＝tan|x |在x ∈(－3π2，?3π2)内的大致图象.那么图a 、b 、c 、d 依次对应的函数关系式应是( )A ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③ 【答案】D【解析】y ＝tan(－x )在(－π2，?π2)内是减函数，故选D.7.函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图所示，则△AOB 的面积等于( )A ．1B ．2C ．4D ．92【答案】A【解析】函数的周期T＝ππ4＝4，则A(2,0)，∴△AOB的面积S＝12×2×1＝1.8.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为( )A．(kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)B．[kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)C．[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)D．(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)【答案】C【解析】∵不等式tan x≥√3，由正切函数的性质可得kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z，∴使不等式成立的x的集合为{x|kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z}，即x∈[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z).9.函数y＝1tanx的定义域为( ) A．{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C．{x|x≠kπ+π2，k∈Z}D．{x|x≠kπ2，k∈Z}【答案】D【解析】函数y＝1tanx 有意义，则{x≠kπ，k∈Z，x≠kπ+π2，k∈Z，可得函数的定义域为{x|x ≠k π2，k ∈Z}.10.函数y ＝√sinx ＋√tanx 的定义域为( ) A ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z} B ．{x|2k π＜x ≤k π＋π2,k ∈Z}C ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z}∪{x|x ＝2k π＋π，k ∈Z }D ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2且x ≠2k π＋π，k ∈Z} 【答案】C【解析】由{sinx ≥0tanx ≥0，即{2kπ≤x ≤2kπ＋πkπ≤x ＜kπ＋π2(k ∈Z )，得2k π≤x ＜2k π＋π2(k ∈Z )或x ＝2k π＋π(k ∈Z ).所以函数y ＝√sinx ＋√tanx 的定义域是{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z}∪{x|x ＝2k π＋π，k ∈Z } 11.函数y ＝tan x (−π4≤x ≤π4且x ≠0)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞) 【答案】B【解析】根据正切函数图象，结合函数的单调性可得. 12.函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) A ．[−π4,π4]B ．[−√22,√22]C ．[－tan1，tan1]D ．以上都不对 【答案】C【解析】∵sin x ∈[－1,1]，结合函数y ＝tan x 的图象可知，tan(－1)≤tan(sin x )≤tan1，即y ∈[－tan1，tan1].13.(1)求函数y ＝√tanx −√3的定义域；(2)已知f (x )＝tan 2x －2tan x (|x |≤π3)，求f (x )的值域.【答案】(1)要使函数有意义，必须使tan x －√3≥0，即tan x ≥√3， ∴k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈Z .∴函数y ＝√tanx −√3的定义域为[k π＋π3,k π＋+π2)(k ∈Z ). (2)令u ＝tan x ，∵|x |≤π3，∴u ∈[－√3，√3]， ∴函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－√3，√3]. ∴当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－√3时，y max ＝3＋2√3， ∴f (x )的值域为[－1,3＋2√3].14.函数y ＝tan ωx 的最小正周期为π2，则实数ω的值为( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】C【解析】因为函数y ＝tan ωx 的最小正周期为π2，所以π|ω|＝π2，考察选项可知，实数ω的值为2. 15.已知函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象与直线y ＝a 相交于A ，B 两点，若AB 长度的最小值为π，则ω的值为( )A．4 B．2 C．1 D．3【答案】C【解析】根据函数y＝tanωx(ω＞0)的图象特点可知，两点间的距离必是最小正周期的正整数倍，又由两点间长度的最小值为π，即函数最小正周期为π，所以π|ω|＝π.又由ω＞0，则ω＝1.16.函数y＝tan35x是( )A．周期为π的偶函数 B．周期为53π的奇函数C．周期为53π的偶函数 D．周期为π的奇函数【答案】B【解析】正切函数的周期T＝π35＝53π，函数y＝tan35x是奇函数.17.下列函数中，为偶函数的是( )A．f(x)＝sin(2015π2＋x)B．f(x)＝cos(2015π2＋x)C．f(x)＝tan(2015π2＋x)D．f(x)＝sin(2014π2＋x)【答案】A【解析】对于A，f(x)＝sin(2015π2＋x)＝sin(1007π＋π2＋x)＝sin(3π2＋x)＝－cos x，为偶函数，则A正确；对于B，f(x)＝cos(2015π2＋x)＝cos(1007π＋π2＋x)＝cos(3π2＋x)＝sin x，为奇函数，则B错误；对于C ，f (x )＝tan(2015π2＋x )＝tan(1007π＋π2＋x )＝tan(π2＋x )＝－cot x ，为奇函数，则C 错误；对于D ，f (x )＝sin(1007π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ，为奇函数，故D 错误. 故选A.18.函数y ＝tan (x +π3)图象的对称中心的坐标是( ) A ．(k π−π3,0)(k ∈Z )B ．(k2π－π3，0)(k ∈Z ) C ．(k π2，0)(k ∈Z )D ．(k π，0)(k ∈Z )【答案】B【解析】函数y ＝tan (x +π3)的图象由函数y ＝tan x 的图象向左平移π3个单位得到， 又由函数y ＝tan x 的对称中心的坐标是(k π2，0)(k ∈Z )，∴函数y ＝tan(x ＋π3)的对称中心的坐标是(k2π－π3，0)(k ∈Z ).19.下列坐标所表示的点不是函数y ＝tan(x2－π6)的图象的对称中心的是( ) A ．(π3,0) B ．(−5π3,0) C ．(7π3,0) D ．(2π3,0)【答案】D 【解析】将π3，－5π3，7π3代入y ＝tan(x 2－π6)均为0，而2π3代入y ＝tan(x 2－π6)不为0，所以选D.20.下列关于函数y ＝tan (x +π3)的说法正确的是( ) A ．在区间(−π6+5π6)上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于点(π4,0)成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 【答案】B【解析】令k π－π2＜x ＋π3＜k π＋π2，解得k π－5π6＜x ＜k π＋π6，k ∈Z ，显然(−π6，5π6)不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan (x +π3)的图象也没有对称轴，故D 错误.故选B.21.若函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1与函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期相同，则实数a ＝______. 【答案】±2【解析】函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1的周期是π2，函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期是π|a|， 因为周期相同，所以π|a|＝π2，解得a ＝±2. 22.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2；④若f (x )是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (－T2)＝0. 其中正确命题的序号是________. 【答案】④【解析】①正切函数的图象的对称中心是唯一的，由正切函数的性质可知，①是错误的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2，前者正确，后者错误，②是错误的； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2，如果x 1＝390°，x 2＝90°，sin x 1＜sin x 2，③是错误的；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0，f(x＋T)＝f(x)，f(－T2＋π)＝f(－T2)＝－f(T2)，f(－T2)＝0，④是正确的.故答案为④.23.试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|；(2)f(x)＝x2tan x－sin2x.【答案】(1)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cos x＋|tan x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数.(2)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tan x－sin2x，∴函数f(x)是非奇非偶函数.24.下列说法正确的是( )A．y＝tan x是增函数B．y＝tan x在第一象限是增函数C．y＝tan x在某一区间上是减函数D．y＝tan x在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数【答案】D【解析】由正切函数的图象可知D正确.25.函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是( )A．(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)B ．(−7π10＋k π，3π10＋k π)(k ∈Z ) C ．(−3π10＋k π，7π10＋k π)(k ∈Z ) D ．(−π5+k π，π5＋k π)(k ∈Z )【答案】B【解析】∵y ＝tan x 的单调递增区间为(−π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )， 令k π－π2＜x ＋π5＜k π＋π2，解得k π－7π10＜x ＜k π＋3π10， ∴函数y ＝tan(x ＋π5)的单调递增区间是(−7π10＋k π，3π10＋k π)(k ∈Z ). 26.关于函数f (x )＝－tan2x ，有下列说法：①f (x )的定义域是{x ∈R |x ≠π2＋k π，k ∈Z }；②f (x )是奇函数；③在定义域上是增函数；④在每一个区间(－π4＋k π2，π4＋k π2)(k ∈Z )上是减函数；⑤最小正周期是π.其中正确的是( )A ．①②③B ．②④⑤C ．②④D ．③④⑤ 【答案】C【解析】①由正切函数的定义域可得，2x ≠π2＋k π，k ∈Z ，故①错误； ③由正切函数的定义域可知，函数y ＝－tan2x 在(－π4＋k π2，π4＋k π2)(k ∈Z )上是减函数，故③错误；⑤根据周期公式可得，T ＝π2，故⑤错误. 27.已知函数f (x )＝√3tan πx ω(ω＞0).(1)当ω＝4时，求f (x )的最小正周期及单调区间；(2)若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立，求ω的取值范围. 【答案】(1)当ω＝4时，f (x )＝√3tan π4x ，则f (x )的最小正周期T ＝ππ4＝4，由k π－π2＜π4x ＜k π＋π2，k ∈Z .得4k －2＜x ＜4k ＋2，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为(4k －2,4k ＋2)，k ∈Z . (2)∵ω＞0，∴函数f (x )的周期T ＝ππω＝ω，∴若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立， 则f (x )在x ∈[－π3，π4]上为单调递增函数， 满足－π3＞－12T ＝－ω2， ∴ω＞2π3，∵|f (－π3)|＞f (π4)，此时满足f (－π3)≥－3，即f (－π3)＝√3tan(－π3×πω)≥－3， 即tan(－π3×πω)≥－√3，则－π3×πω≥－π3， 则πω≤1，即ω≥π， 综上，ω≥π.28.对于函数y ＝tan x2，下列判断正确的是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数 【答案】A【解析】函数y ＝tan x 2的周期T ＝πω＝2π，再由tan(－x 2)＝－tan x2可得，此函数为奇函数. 29.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4).(1)求该函数的定义域，周期及单调区间； (2)若f (θ)＝17，求2cos 2θ2−sinθ−12sin(θ＋π4)的值.【答案】(1)由题意得，T ＝π2. 由2x ＋π4≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π8，由－π2＋k π＜2x ＋π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得k π2－3π8＜x ＜k π2＋π8，综上得，函数的周期是π2，定义域是{x |x ≠k π2＋π8，k ∈Z }，单调增区间是(k π2－3π8，k π2＋π8)(k ∈Z ).(2)2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθtanθ＋1，①∵f (θ)＝17，∴tan(2θ＋π4)＝17， 则tan2θ＝tan[(2θ＋π4)－π4]＝17−11+17＝－34，由tan2θ＝2tanθ1－tan 2θ＝－34，得tan θ＝3或－13， 把tan θ＝3代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝－12，把tan θ＝－13代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝2.30.已知函数y ＝tan(12x －π6).(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间；(3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标. 【答案】(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图：则对应的图象如图：(2)由12x －π6≠k π＋π2，得x ≠2k π＋4π3，即函数的定义域为{x |x ≠2k π＋4π3，k ∈Z }，函数的周期T ＝π12＝2π.由k π－π2＜12x －π6＜k π＋π2，k ∈Z ， 得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为(2k π－2π3，2k π＋4π3)，k ∈Z .(3)由12x －π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ， 即函数图象的渐近线方程为x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，由12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .即所有对称中心的坐标为(k π＋π3，0).31.已知关于实数x的不等式|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0的解集分别为M，N，且M∩N＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围.【答案】假设θ存在.由|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，得2tanθ≤x≤tan2θ＋1，∴M＝{x|2tanθ≤x≤tan2θ＋1}.∵x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0，∴当tanθ≥13时，2≤x≤3tanθ＋1.当tanθ＜13时，3tanθ＋1≤x≤2.∵M∩N＝∅，∴当tanθ≥13时，有3tanθ＋1＜2tanθ或tan2θ＋1＜2，即tanθ＜－1或－1＜tanθ＜1，∴13≤tanθ＜1.①当tanθ＜13时，有2＜2tanθ或3tanθ＋1＞tan2θ＋1，即tanθ＞1或0＜tanθ＜3，∴0＜tanθ＜13.②由①②得0＜tanθ＜1，∴θ的取值范围是(kπ，kπ＋π4)，k∈Z.。
正切函数的图像与性质 练习(1)(解析版)
第五章 三角函数 5.4.3 正切函数的图像与性质一、选择题1．（2019·重庆一中高一月考）函数tan 2y x =的周期为（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】A【解析】由题意可知，函数tan 2y x =的周期为2T π=.故选：A.2．（2019·湖北高一月考）函数()2tan()4f x x π=--的定义域为（ ）A ．{3,4x x k k Z ππ⎫≠+∈⎬⎭ B ．{3,4x x k k Z ⎫≠+∈⎬⎭C ．{3,4x x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭D ．{,4x x k k Z ππ⎫≠+∈⎬⎭【答案】A【解析】解不等式42x k πππ-≠+，k Z ∈，得34x k ππ≠+，k Z ∈， 因此，函数()2tan 4f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭的定义域为3,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故选：A. 3．（2019·四川高一期末）已知2a log 3=，121b ()3=，c tan2=，则下列关系中正确的是( )A ．a c b >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】C【解析】22a log 3log 21=>=，10211b ()()133=<=，∴b 01∈（，）， 又2π2π<<，∴c tan20=<，则下列关系中正确的是：a b c >>．故选：C ．4．（2019·辽宁高一课时练）函数()tan()6f x x π=+的图象的一个对称中心是（ ）A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)2πD ．(,0)6π【答案】A【解析】由正切函数的对称中心(,0),()2k k Z π∈可以推出()f x 对称中心的横坐标满足()6262k k x x k Z ππππ+=⇒=-+∈，带入四个选项中可知，当1k =时，3x π=. 故,03π⎛⎫⎪⎝⎭是图像的一个对称中心，选A. 5．（2019·湖南高一期中）下列函数中，同时满足：①在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan2x D ．y ＝|sin x |【答案】A【解析】正切函数的对称中心为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭，正弦函数的对称中心为(),0k π，余弦函数的对称中心为,0()2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围.;选项B D ，中所给函数都是偶函数，不符合；选项C 中所给的函数的周期为2π，不符合；故选A6．（2019·河南高一期末）已知函数()()5tan 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭，其函数图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的单调递增区间可以是（ ） A ．5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】,012π⎛⎫⎪⎝⎭为函数的对称中心 2122k ππϕ∴⨯+=，k Z ∈ 解得：26k ππϕ=-，k Z ∈，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3πϕ∴=()5tan 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭当5,66x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，422,333x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，此时()f x 不单调，A 错误；当,63x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()20,3x ππ+∈，此时()f x 不单调，B 错误；当,36x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，22,333x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，此时()f x 不单调，C 错误； 当5,1212x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,322x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，此时()f x 单调递增，D 正确二、填空题7．（2019·上海理工大学附属中学高一期末）方程tan 1x =的解为_________. 【答案】|,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】tan 1x =则,4x k k Z ππ=+∈ 故答案为：|,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭8．（2019·河南高一月考）函数()tan f x x =在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为__________.【答案】【解析】正切函数在给定的定义域内单调递增，则函数的最小值为tan 33f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9．（2019·上海市金山中学高一期中）函数2tan()26x y π=-的单调增区间为___________. 【答案】24(2,2),33k k k Z ππππ-+∈ 【解析】令12262k x k πππππ-<-<+，可得242233k x k ππππ-<<+，故函数的单调增区间为2π4π2π,2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈.10.（2018·江西高一期末）函数()tan (0)f x x ωω=>的相邻两支截直线4y π=所得线段长4π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值________. 【答案】0【解析】∵函数图象的相邻两支截直线y 4π=所得线段长为4π，∴函数f （x ）的周期为4π，图象如下：由4ππω=得ω＝4，∴f （x ）＝tan4x ，∴f （4π）＝tanπ＝0．故答案为：0. 三、解答题11．（2019·黑龙江双鸭山一中高一期末）已知函数()2tan()13f x x π=++.（1）求()f x 的定义域； （2）求()f x 的周期； （3）求()f x 的单调递增区间. 【答案】（1）{|,}6x x k k Z ππ≠+∈（2）T π= （3）5,66k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，（ k Z ∈） 【解析】（1）由()2tan 13f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可得：x 3π+≠k π,2k Z π+∈即,6x k k Z ππ≠+∈，∴()f x 的定义域为{|,}6x x k k Z ππ≠+∈；（2）周期T 1ππ==，∴()f x 的周期为π；（3）由232k x k πππππ-+++＜＜可得：56k ππ-+＜x 6k ＜ππ+，k Z ∈． ∴单调增区间为5,66k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，（ k Z ∈）． 12．（2019·天水高一期中）已知函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π2． （1）求ω的值及函数()f x 的定义域；（2）若328f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，求sin cos αα的值． 【答案】（1）2ω=，()f x 的定义域为1,82x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；（2）310 【解析】（1）2T ππω== ，2ω∴=, 又因为tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，所以242x k ，解得182x k ππ≠+，故()f x 的定义域为1,82x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭。
(完整word)必修四正切函数的性质与图象(附答案)
正切函数的性质与图象［学习目标］ 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2。
能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．知识点一正切函数的图象1．正切函数的图象:2．正切函数的图象叫做正切曲线．3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x＝错误!＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．思考我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图,你能类似地画出函数y＝tan x，x∈［－错误!，错误!]的简图吗？怎样画．答案能．找三个关键点:(错误!，1），(0,0）,(－错误!，－1)，两条平行线：x＝错误!，x＝－错误!.知识点二正切函数图象的性质1．函数y＝tan x（x∈R且x≠kπ＋错误!,k∈Z）的图象与性质见下表：解析式y＝tan x图象定义域{x|x∈R，且x≠kπ＋错误!，k∈Z｝值域R周期π奇偶性奇单调性在开区间错误!(k∈Z)内都是增函数2.函数y＝tan ωx（ω≠0）的最小正周期是错误!。
思考正切函数图象是否具有对称性？如果具有对称性，请指出其对称特征．答案具有对称性，为中心对称，对称中心为（错误!，0），k∈Z。
题型一正切函数的定义域例1 (1）函数y＝tan(sin x)的定义域为 ,值域为．答案R[tan（－1），tan 1］解析因为－1≤sin x≤1，所以tan(－1)≤tan(sin x)≤tan 1，所以y＝tan（sin x）的定义域为R，值域为［tan（－1），tan 1]．（2）求函数y＝tan(2x－错误!）的定义域．解由2x－错误!≠错误!＋kπ,k∈Z得，x≠错误!π＋错误!kπ，所以y＝tan（2x－错误!)的定义域为｛x|x≠错误!＋错误!kπ，k∈Z｝．跟踪训练1 求函数y＝错误!＋lg（1－tan x)的定义域．解由题意得错误!即－1≤tan x〈1.在错误!内，满足上述不等式的x的取值范围是错误!.又y＝tan x的周期为π，所以所求x的范围是［kπ－错误!，kπ＋错误!)（k∈Z)即函数定义域是错误!(k∈Z）．题型二求正切函数的单调区间例2 求函数y＝tan错误!的单调区间及最小正周期．解y＝tan错误!＝－tan错误!，由kπ－错误!〈错误!x－错误!<kπ＋错误!（k∈Z），得2kπ－错误!<x<2kπ＋错误!π，k∈Z，∴函数y＝tan错误!的单调递减区间是错误!,k∈Z.周期T＝错误!＝2π。
5-4-3 正切函数的性质与图象-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)
5.4.3 正切函数的性质与图象一、正切函数的图象：二、正切函数的性质1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ，2．值域：R3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-．5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增三、正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质 1、定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2、值域：(),-∞+∞3、单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围． 4、周期：T πω=四、已知单调性求参数的范围的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解题型一 正切函数的定义域问题【例1】函数()2tan 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域是（ ）A ．6x x π⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭B ．12x x π⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭ C ．,6x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,26k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】D【解析】由正切函数的定义域，令262x k πππ+≠+，k ∈Z ，即()26k x k ππ≠+∈Z ， 所以函数()2tan 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为,26k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z .故选:D ．【变式1-1】函数 tan()4y x π=-的定义域是（ ）A ．{|}4πx x ≠B ．{|,}4πx x k Z ≠∈ C ．{|,}4πx x k πk Z ≠+∈ D ．3{|,}4πx x k πk Z ≠+∈ 【答案】D【解析】函数tan()tan()44y x x =-=--ππ，令42x k πππ-≠+，k Z ∈，解得3,4πx k πk Z ≠+∈， 所以函数的定义域是3{|,}4πx x k πk Z ≠+∈．故选：D【变式1-2】函数()1tan f x x=的定义域是（ ） A ．|,Z 2k x x k π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭ B ．|,Z 42k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．|,Z 2x x k k ππ⎧≠+∈⎫⎨⎬⎩⎭D ．{|2x x k ππ≠+且,Z}4x k k ππ≠+∈ 【答案】A【解析】由题可得2tan 0x k x ππ⎧≠+⎪⎨⎪≠⎩，解得()Z 2k x k π≠∈， ∴函数()1tan f x x =的定义域为|,Z 2k x x k π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭.故选：A.【变式1-3】求下列函数的定义域： （1）sin tan y x x =+ ；（2）sin cos tan x x y x+= .【答案】（1）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；（2）,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭【解析】（1）要使函数有意义， 必须使sin x 与tan x 都有意义，所以()2x R x k k Z ππ∈⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩， 所以函数sin tan y x x =+的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭； （2）要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且分母tan 0x ≠ ，所以()2x k k Z x k πππ⎧≠+⎪∈⎨⎪≠⎩ ， 所以函数sin cos tan x xy x +=的定义域为,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭.故答案为：|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭.题型二 正切函数的值域问题【例2】函数πtan 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π5π,612x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．()3,1-B ．3⎛- ⎝⎭ C ．(3 D ．3⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】设π6z x =-，因为π5π,612x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ππ,34z ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭． 因为正切函数tan y z =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且πtan 33⎛⎫-= ⎪⎝⎭πtan 14=， 所以()tan 3,1z ∈-．故选：A ．【变式2-1】函数()tan cos y x =的值域是（ ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．22⎛ ⎝⎭C ．[]tan1,tan1-D ．[]1,1- 【答案】C【解析】1cos 1x -≤≤，且函数tan y x =在[]1,1-上为增函数，∴()tan 1tan tan1x -≤≤．即tan1tan tan1x -≤≤．故选：C ．【变式2-2】函数22tan (),0,12tan 3x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭的最大值为________． 2【解析】∵0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴tan 3)x ∈，由题意得22()1222tan tan f x x x=≤=+，当且仅当12tan tan x x =，即2tan 3)x =时取等号，故()f x 2． 故答案为：22【变式2-3】函数22tan 3tan 1y x x =-+-，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为______．【答案】16,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]tan 1,1x ∈-，22312tan 3tan 12tan 48y x x x ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，则当3tan 4x =时，()max 18f x =，当tan 1x =-时，()min 6f x =-，所以函数()f x 的值域为16,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：16,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【变式2-4】当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，tan 23k x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值总不大于零，则实数k 的取值范围是_____.【答案】(],0-∞【解析】,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0233x ππ∴≤-≤，0tan 23x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭∵对任意的,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有tan 203k x π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，即tan 23k x π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭， min tan 203k x π⎡⎤⎛⎫∴≤-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此，实数k 的取值范围是(],0-∞. 故答案为：(],0-∞.【变式2-5】已知()()tan 01f x x ωω=<<在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω=（ ）A ．12 B ．13C ．23 D ．34【答案】A【解析】因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即03x π≤≤，又01ω<<，所以033x ωππω≤≤<，所以()max 3tantan363f x ωππ===， 所以36ωππ=，12ω=．故选：A ．题型三 正切函数的图象问题【例3】函数()()2tan 11f x x x x =⋅-≤≤的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵f (x )定义域[－1，1]关于原点对称，且()2tan ()f x x x f x -=⋅=，∴f (x )为偶函数，图像关于y 轴对称，故AC 不符题意；在区间(0,1)上，0x >，tan 0x >，则有()0f x >，故D 不符题意，B 正确.故选：B ．【变式3-1】（多选）与函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象相交的直线是（ ）A ．2x π= B ．2y π= C ．4x π=D ．8x π=【答案】ABC【解析】对于A ，当2x π=时，tan 2tan 1244y πππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，所以直线2x π=与函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭交于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 对于B ，由正切函数的图象可知直线2y π=与函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象相交， 对于C ，当4x π=时，3tan 2tan 1444y πππ⎛⎫=⨯+==- ⎪⎝⎭，所以直线4x π=与函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭交于点,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对于D ，当8x π=时，tan 2tan 842y πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭无意义，所以直线8x π=与函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象无交点，故选：ABC【变式3-2】函数y =|tan x |，y =tan x ，y =tan(-x )，y =tan|x |在33,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象依次是___________(填序号).【答案】①②④③【解析】∵|tan x |≥0，∴图象在x 轴上方，∴y =|tan x |对应①；∵tan|x |是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴y =tan|x |对应③； 而y =tan(-x )与y =tan x 关于y 轴对称， ∴y =tan(-x )对应④，y =tan x 对应②， 故四个图象依次是①②④③. 故答案为：①②④③【变式3-3】函数()()tan f x x ωϕ=+（0>ω）的部分图像如下图，则ϕ最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．4π D ．12π 【答案】A 【解析】由图知22362ππππωω=-==>=， 由62k ππωϕπ⋅+=-+，解得5,6k k Z πϕπ=-+∈所以当1k =时，6π=ϕ.故选：A【变式3-4】函数()1tan 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上的零点个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】由()0f x =可得1tan 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x 在区间[]0,2π上的零点个数即为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和函数tan y x =在区间[]0,2π上的图象的交点个数，如下图所示：由图象可知，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和函数tan y x =在区间[]0,2π上的图象有两个交点.因此，函数()1tan 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上的零点个数为2.故选：B.题型四 正切函数的单调性及应用【例4】函数()ππtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A ．312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈ B ．314,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈C ．31,22k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈ D ．532,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈【答案】A【解析】根据正切函数的单调性可得，欲求()ππtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间，令ππππππ+2242k x k -+<+< ，Z k ∈，解得312222k x k -+<<+ ，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈，故选：A.【变式4-1】求函数y ＝3tan 1()24x π-+的单调递减区间．【答案】3(2,2)22k k ππππ-+(k ∈Z) 【解析】y ＝3tan 1()24x π-+可化为y ＝－3tan 1()24x π-，由k π－2π<12x －4π<k π＋2π，k ∈Z ，得2k π－2π<x <2k π＋32π，k ∈Z ， 故函数的单调递减区间为3(2,2)22k k ππππ-+(k ∈Z )．【变式4-2】若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]0,1 【解析】因为ππ23a a >-，所以0a >， 所以0ππ32ππ22a a a ⎧⎪>⎪⎪-≥-⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得01a <≤，即(]0,1a ∈．故答案为：(]0,1【变式4-3】已知函数π()tan()(0)3f x A x ωω=+>，若f x （）在区间ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．106⎛⎫⎪⎝⎭， B ．17(,)36 C ．117(0,][,]636 D ．117(0,)(,)636【答案】C 【解析】因为f x （）在区间ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递减， 所以0A <，πtan()(0)3y x ωω=+>在区间ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递增， 由πππππ232k x k ω-<+<+，Z k ∈，得π5πππ66k k x ωωωω-<<+，Z k ∈， 所以πtan()(0)3y x ωω=+>的单调递增区间为π5πππ,66k k ωωωω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈，依题意得ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，⊆π5πππ,66k k ωωωω⎛⎫-+⎪⎝⎭，Z k ∈， 所以π5ππ62πππ6k k ωωωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，Z k ∈，所以51236k k ω-≤≤+，Z k ∈， 由51236k k -≤+得116k ≤，由106k ω<≤+得16k ≥-，所以11166k -≤≤且Z k ∈，所以0k =或1k =， 当0k =时，6513ω-≤≤，又0>ω，所以106ω<≤， 当1k =时，1736ω≤≤.综上所述：117(0,][,]636ω∈.故选：C.题型五 正切函数的奇偶性问题【例5】函数()tan 2x f x =是（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为2π的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数 【答案】B【解析】由正切函数性质知：()f x 的最小正周期为212T ππ==，定义域关于原点对称且()tan()tan ()22x x f x f x -=-=-=-，即()f x 为奇函数.所以()f x 是周期为2π的奇函数.故选：B【变式5-1】判断下列函数的奇偶性：（1）2tan 2tan ()tan 1-=-x xf x x ；（2）()tan tan 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）既不是偶函数，也不是奇函数；（2）奇函数【解析】（1）由,,2tan 1x k k Z x ππ⎧≠+∈⎪⎨⎪≠⎩得()f x 的定义域为|2x x k ππ⎧≠+⎨⎩且,4x k k Z ππ⎫≠+∈⎬⎭， 由于()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数；（2）由题知函数的定义域为|4x x k ππ⎧≠-⎨⎩且,4x k k Z ππ⎫≠+∈⎬⎭，定义域关于原点对称，又()tan()tan()tan()tan()4444f x x x x x ππππ-=--+-+=-+--()f x =-，所以函数()tan tan 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数.【变式5-2】已知函数()3sin tan 1f x x a x b x =+++（a ，b 为常实数），且()13f =，则()1f -=_____．【答案】1-【解析】因为(),22ππππ⎛⎫∈-++∈ ⎪⎝⎭x k k k Z ，定义域关于原点对称，设()()31sin tan g x f x x a x b x =-=++，()()()3sin tan -=-++=-g x x a x b x g x ，则()g x 是奇函数，因为()()1112g f =-=，所以()()1112g f -=--=-，所以()11f -=-． 故答案为：1-.【变式5-3】“ϕπ=”是“函数tan()y x ϕ=+为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】当ϕπ=时，tan()tan()tan y x x x ϕπ=+=+=，此时tan()y x ϕ=+为奇函数，当函数tan()y x ϕ=+为奇函数，()()tan()tan tan x x x ϕϕϕ-+=-+=--, 故2,k k Z ϕϕπ=-+∈即,k k Z ϕπ=∈，此时推不出ϕπ=，故“ϕπ=”是“函数tan()y x ϕ=+为奇函数”的充分不必要条件，故选：A.【变式5-4】已知()tan()f x x ϕ=+，则“函数()f x 的图象关于y 轴对称”是“()k k ϕπ=∈Z ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】()tan()f x x ϕ=+关于y 轴对称，则()tan()g x x ϕ=+关于原点对称，故1π2k ϕ=，1k Z ∈，故()k k ϕπ=∈Z 是可以推出1π2k ϕ=，1k Z ∈， 但1π2k ϕ=，1k Z ∈推不出()k k ϕπ=∈Z ， 故函数()f x 的图象关于y 轴对称是()k k ϕπ=∈Z 的必要不充分条件故选：B题型六 正切函数的周期性问题【例6】函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 【答案】A【解析】函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，故选：A【变式6-1】若函数()()tan 08f x x πωω⎛⎫⎪⎝⎭=+>的图象与直线()y a a =∈R 的两相邻交点间的距离为2π，则ω=（ ）A ．14B ．12 C ．1 D ．2【解析】由正切型函数的性质可知，函数()()tan 08f x x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>的最小正周期为2π， 因此，122πωπ==.故选：B.【变式6-2】函数()sin 2tan f x x x =+的最小正周期是（ ） A ．π4B ．π2C ．πD ．2π 【答案】C【解析】因为函数sin 2y x =的最小正周期为22ππ=，函数tan y x =的最小正周期为π， 且()()()()πsin 2πtan πsin 22πtan sin 2tan f x x x x x x x +=+++=++=+，πT ∴=.故选：C.【变式6-3】函数πtan 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是______． 【答案】π3【解析】由正切函数的图象与性质知：tan y x =与tan y x =的最小周期均为π，tan y x =与tan y x =的图象如图所示，所以函数πtan 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与πtan 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最小正周期也一样，函数πtan 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是π3T πω==，πtan 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期也是π3．故答案为：π3【变式6-4】若()()tan 3n f n n N π*=∈，则(1)(2)(2019)f f f ++⋯+等于（ ） A ．-3B ．3C ．0D ．-23【答案】C【解析】()tan 3f n n π=，*n N ∈；33T ππ== ∴()1tan33f π==，()22tan33f π==-，()3tan 0f π==， ()44tan33f π==， ()55tan 33f π==-， ()6tan 20f π==，⋯； ()()()()()()1234560f f f f f f ∴++=++= ()()()122019f f f ∴++⋯+()()()()()()()()()1234562017201820190f f f f f f f f f =+++++++++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦故选：C ．题型七 正切函数的对称性问题【例7】函数()πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为（ ）A ．π,012⎛⎫⎪⎝⎭B ．7π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】由ππ2,32k x k -=∈Z ，可得ππ,46k x k =+∈Z ， 当0k =时，π6x =， 当1k =时，54612πππx =+=， 当2k =时，8π2π123x ==， 当1k =-时，2ππ461πx =-+=-， 当2k =-时，4π1π123x =-=-， 当3k =-时，7π12x =-， 所以,012π⎛⎫-⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，故选：D【变式7-1】（多选）关于函数()tan 2f x x =的说法中正确的是（ ） A ．定义域是ππππ,2424k k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k ∈Z B ．图像关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．图像关于直线π4x =对称 D ．在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】AB【解析】对于A ，因为函数()tan 2f x x =，由πππ2π22k x k -<<+，k ∈Z ，得ππππ2424k k x -<<+，k ∈Z ，故A 正确； 对于B ，函数()tan 2f x x =，因为π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以图像关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，函数()tan 2f x x =，所以函数()tan 2f x x =不存在对称轴，故C 错误；对于D ，函数()tan 2f x x =，因为ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()2π,πx ∈-，又区间()π,π-不是函数tan y x =的单调递增区间，故D 错误． 故选：AB.【变式7-2】（多选）下列函数的图像中，与曲线sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭有完全相同的对称中心的是( )A ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．tan 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】设k ∈Z ，对于sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2362k x k x ππππ-=⇒=+；对于A ：由26122k x k x ππππ+=⇒=-+； 对于B ：由26262k x k x πππππ+=+⇒=+； 对于C ：由5232122k x k x πππππ-=+⇒=+； 对于D ：由6262k k x x ππππ-=⇒=+；则B 和D 的函数与题设函数有完全相同的对称中心．故选：BD ．【变式7-3】“点A 的坐标是,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π，Z k ∈”是“()tan f x x =的图象关于点A 对称”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若()tan f x x =的图象关于点A 对称，可得点A 的坐标是,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π，Z k ∈，若点A 的坐标是,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π，Z k ∈，可得()tan f x x =的图象关于点A 对称， 故“点A 的坐标是,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π，Z k ∈”是“()tan f x x =的图象关于点A 对称”的充要条件. 故选：A.【变式7-4】已知函数()()tan f x x ϕ=+的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则ϕ的一个值可以是___________. 【答案】6π-（答案不唯一） 【解析】因为()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称， 所以62k ππϕ+=，k ∈Z ，则62k ππϕ=-+，k ∈Z .当0k =时，.6πϕ=-故答案为：6π-题型八 解含正切函数的不等式【例8】等式|tan |33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭_________.【答案】2|,3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z【解析】因为tan 3x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭所以tan 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭所以,333k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得2,3k x k k Z πππ≤≤+∈， 故解集为：2|,3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 故答案为：2|,3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z .【变式8-1】若直线πx a =（01a <<）与函数tan y x =的图象无公共点，则不等式tan 2x a ≥的解集为（ ）A ．ππππ,Z 62x k x k k ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭B ．ππππ,Z 42x k x k k ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭C ．ππππ,Z 32x k x k k ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭D ．ππππ,Z 44x k x k k ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】因为直线πx a =与函数tan y x =的图象无公共点，且01a <<，所以ππ2a =，所以12a =， 故tan 2x a ≥可化为tan 1x ≥， 所以解得,Z 42k x k k ππππ+≤<+∈所以不等式tan 2x a ≥的解集为,Z 42xk x k k ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭，故选：B ．【变式8-2】已知1tan tan αα≥且22,ππα⎛∈-⎫⎪⎝⎭，则α的取值范围为（ ） A ．,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．,0,442πππ⎡⎫⎡⎫-⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,0,244πππ⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ 【答案】B【解析】因为tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，当,20πα⎛∈⎫⎪⎝⎭时()tan ,+0α∞∈，则1t a n t a n αα≥即2tan 1α≥，解得tan 1α≥，所以,42ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，当,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()0t n ,a α-∞∈，则1tan tan αα≥即2tan 1α≤，解得1tan 0α-≤<， 所以,04πα⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，当0α=时tan 0α=，此时1tan α无意义，故舍去， 综上可得,0,442πππα⎡⎫⎡⎫∈-⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故选：B【变式8-3】函数()lg 1tan πy x =+___________.【答案】11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意得：21tan π0πππ,2140x x k k x +>⎧⎪⎪≠+∈⎨⎪-≥⎪⎩Z ，解得1142x -<<. 故答案为：11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式8-4】已知定义在R 上的偶函数f （x ），当0x ≥时，函数(),01,1cos x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩，则满足πtan (tan )3f f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是________．【答案】【解析】∵当0x ≥时，函数(),01,1cos x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩， ∴函数f （x ）在[0，+∞）上单调递减，不等式πtan (tan )3f f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为(tan )f f x <，又∵函数f （x ）为定义在R 上的偶函数，∴f （x ）=f （|x |）， ∴不等式可化为(|tan |)f fx <，∴tan x ∴tan x <∴ππππ(Z)33k x k k -+<<+∈，即满足πtan (tan )3f f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是.故答案为：题型九 比较正切值的大小【例9】已知cos1a =，sin 2b =，tan3c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b << 【答案】D【解析】由题意知，tan30c =<，20cos1cos4a π<=<23sin 2sin 3b π=>= 故c a b <<.故选：D.【变式9-1】设tan1tan2tan3a b c ===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c << C ．a b c >> D ．a c b << 【答案】A【解析】由题意得，函数tan y x =在(0,)2π上单调递增且tan 0x >，在(,)2ππ上单调递增且tan 0x <， 因为12342πππ<<<<<，所以tan 2tan30tan10<<>，，所以a c b >>.故选：A.【变式9-2】sin 66︒，sin126︒，cos 26︒，tan 226︒的大小关系是（ ） A ．tan 226cos26sin 66sin126︒<︒<︒<︒ B ．sin126cos26sin 66tan 226<︒<︒<︒︒ C ．tan 226sin 66cos26sin126︒<︒<︒<︒ D ．sin126sin 66cos26tan 226<︒<︒<︒︒ 【答案】B【解析】由sin126sin(18054)sin54︒=︒-︒=︒，cos 26sin 26)sin 64(90︒-︒=︒=︒，因为sin y x =在(0,)2π上单调递增，所以sin54sin64sin661︒︒<<︒<，即sin126cos26sin661︒<︒<︒< 又tan 226tan(18046)tan 46tan 451︒=︒+︒=︒>︒=， 所以sin126cos26sin 66tan 226<︒<︒<︒︒.故选：B.【变式9-3】下列结论正确的是（ ） A ．43tan tan 77> B ．3π2πtan tan 55> C ．15π13πtan tan 87⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．15π16πtan tan 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AD【解析】对于A ，因为34π0772<<<，函数tan y x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以43tan tan 77>．故A 正确； 对于B, 3π2πtan0tan 55<<．故B 不正确； 对于C ，15π15πtan tan π2πtan 888⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π13πtan tan π2πtan 777⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 又πππ0872<<<，函数tan y x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以ππtan tan 87<，即15π13πtan tan 87⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故C 不正确； 对于D ，1515πtan πtan π4πtan 444⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1616πtan πtan π3πtan 555⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．又ππππ2542-<-<<，函数tan y x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以ππtan tan 45⎛⎫>- ⎪⎝⎭，即15π16πtan tan 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故D 正确.故选：AD.【变式9-4】若sin12a π=，2log sin 12b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，tan12c π=，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a << 【答案】C 【解析】()sin0,112a π=∈，则2log sin 012b π⎛⎫=< ⎪⎝⎭，因为()cos0,112π∈，故sin12tansin 1212cos12c aππππ==>=，故b a c <<.故选：C.题型十 正切函数图象的综合应用【例10】设函数()tan 23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x ．（1）求函数()f x 的定义域和单调区间; （2）求不等式()3f x ≤【答案】（1）定义域为52,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ；无单调递减区间； 单调递增区间为()52,233k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z （2）()42,233k k k ππππ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦Z 【解析】（1）由题意得：()232x k k πππ-≠+∈Z ，解得：()523x k k ππ≠+∈Z ， ()f x ∴的定义域为52,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 令()2232x k k k πππππ-+<-<+∈Z ，解得：()52233k x k k ππππ-+<<+∈Z ， ()f x ∴的单调递增区间为()52,233k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，无单调递减区间. （2）由()3f x ≤()2233x k k k πππππ-+<-≤+∈Z ， 解得：()42233k x k k ππππ-+<≤+∈Z ， 则()3f x ≤()42,233k k k ππππ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦Z .【变式10-1】已知函数()22tan 1,3f x x x x θ⎡=+-∈-⎣，其中ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭． （1）当π6θ=-时，求函数的最大值和最小值；（2）若函数()f x 在区间3⎡-⎣上是单调函数，求θ的取值范围．【答案】（1）最小值43-23（2）ππππ,,2342⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】（1）当π6θ=-时，()22413f x x x ⎛=-=- ⎝⎭，对称轴为x =因为x ⎡∈-⎣，所以当x =()f x 取得最小值43-，当1x =-时，()f x 取得最大值()()1111f -=--=43-.（2）()()22tan 1tan f x x θθ=+--是关于x 的二次函数，它的图象的对称轴为直线tan x θ=-．因为()y f x =在区间⎡-⎣上是单调函数，所以tan 1θ-≤-或tan θ-≥tan 1θ≥或tan θ≤又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以θ的取值范围是ππππ,,2342⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【变式10-2】已知函数()y f x =，其中()tan ,03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，（1）若2ω=，求函数()y f x =的最小正周期以及函数图像的对称中心； （2）若函数()y f x =在[0,]π上严格递增，求ω的取值范围；（3）若函数()y f x =在[,]a b （,a b ∈R 且a b <）满足：方程()f x =[,]a b 上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的[,]a b 中，b a -的最小值不小于2021，求ω的取值范围．【答案】（1）2π，,064k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）10,6ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（3）20200,2021π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）由于()tan()3f x x πω=+，0>ω，2ω=，()tan(2)3f x x π∴=+的最小正周期为2π， 令232k x ππ+=，求得46k x ππ=-，k Z ∈， 故()f x 的图象的对称中心为(46k ππ-，0)，k Z ∈．（2）若函数()y f x =在[0，]π上严格递增，则32ππωπ⨯+<，求得16ω<，即ω的范围为1(0,)6．（3）方程()f x[a ，]b 上至少存在2021个根，故当[x a ∈，]b 时，tan()3x πω+2021个根，即33x k ππωπ+=+，k Z ∈，至少有2021个根， 即当[x a ∈，]b 时，k x πω=至少有2021个根．且在所有满足上述条件的[a ，]b 中，b a -的最小值不小于2021，故b a -至少包含2020个周期，即20202021b a πω-⋅厖，所以(20200,]2021πω∈．。
正切函数知识点与习题附答案
7.3.4 正切函数的性质与图像知识点正切函数：x y tan =1）定义域：⎪⎭⎫⎝⎛++-∈ππππk k x 2,22）值域：()+∞∞-, 3）图像：4）周期：π=T 5）奇函数6）单调增区间：⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2 7）对称中心：c典型题一 正切函数图像问题1. [北京人大附中2018高二期末]下列图形分别是①y= |tanx|;②y=tanx;③y=tan(-x);④y=tan|x|在33(,)22ππ-内的大致图像,那么由a 到d 对应的函数关系式应是（ ）A.①②③④B.①③④②C.③②④①D.①②④③2. [山东滨州2019高一期中]函数tan sin tan sin y x x x x =+--在3(,)22ππ内的图像是( )3.函数1tan()23y x π=-在一个周期内的图像是( )4. 在区间33(,)22ππ-内,函数y=tanx 与y=sinx 的图像交点的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.函数f(x)=2x-tanx 在(,)22ππ-上的图象大致为（ ）典型题二 定义域值域问题6.[吉林辽源田家炳高级中学2019高一期末]函数2tan(2)3y x π=+的定义域为（ ）A. |12x x π⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭B.|12x x π⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭C. |,12x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D. 1|,122x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ 7.[铜仁2019高一质检]函数f(x)=tan2x 在[,]66ππ-上的最大值与最小值的差为( )A. 3 C. 2 D. 238.函数f(x)=-2tanx+m,x ∈[,]43ππ-有零点,则实数m 的取值范围是 .9.[江西高安中学2018高二期末]函数|2tan |x y =是（ ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 10.[黑龙江哈尔滨六中2019高一期末]函数)0(tan )(>=ωωx x f 的图像的相邻两支截直线y=4π所得的线段长为4π,则)4(πf 的值是（ ） A.0 B.1 C.-1 D.4π11.已知1tan sin )(++=x b x a x f 满足7)5(=πf ,则=)599(πf 。
正切函数图像与性质(用)
2 、y tan x 性质:
x k（ , k z）图象 2
y
y tan x
⑴ 定义域： { x | x ⑵ 值域： R ⑶ 周期性：
2
k , k Z }
2
2
o
2
2
x
2 k ,
奇函数，图象关于原点对称。 ⑷ 奇偶性： (5)单调性： 在每一个开区间 ( 上是增函数
7 4
5 4
· (- , 0) 4 · O 3 4 4 ( , 1) · 2
(0,1)
4
3 4
5 4
x
思考:
1、观察正切曲线，满足 tan x 0 的x的集合是
( k , k ) k Z 2
2、 函数y tan 3x的定义域为 单调递增区间为
3 (1). tan 与tan 8 8 3 tan tan
8 8
13 17 （2） tan( )与 tan( ) 4 5
13 17 tan( ) tan( ) 4 5
探究互动
y
正切函数y=tanx的性质
⑴ 定义域： { x | x
⑵ 值域：R ⑶ 周期性： T ⑷ 奇偶性： 奇函数， 图象关于原点对称。 (5) 对称性：对称中心： (6)单调性：在每一个开区间 (
2
P(x,y)
·
0
k , k Z }
3 2
2
2
3
2
2
3
4 x
正切函数的图像和性质
（1）正切函数的图像：
（2）正切函数的性质：
定义域：x
|
x
2
k
,
k
Z
值域：全体实数R
周期性：正切函数是周期函数，
最小正周期为
奇偶性：奇函数，
单调性：正切函数在开区间 k, k ,k Z
2 2
内都是增函数。
本节课学习了哪一种数学方法解 题？
利用正切函数单调性比较大小
3．tan 1°与tan 1从小到大的关系是 ________．
【答案】tan 1°＜tan 1
比较正切值的大小
【例 2】 比较 tan－147π与 tan－252π的大小． 【解题探究】利用诱导公式化简函数的表达式，自变量在 正切函数的同一个单调区间内，即可判断大小．
B.xx∈R且x≠kπ＋4π，k∈Z
C.xx∈R且x≠kπ＋2π，k∈Z
D.xx∈R且x≠kπ－4π，k∈Z
【答案】A
例6
（2）周期性
y tan x
2 3
利用正切函数图像解不等式问题
课本P46 A 9 (1) 1 tan x 0
方法（1）在
2
,
2
内找到相应的范围
（2）在两边加上 k
利用几何画板探究 资料书P26 4 例3.求下列函数的周期.
(2)y tan x
3
3
2
2
2
资料书P26例题
3．函数 y＝|tan 2x|是( )
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正切函数的图象与性质（习题）
例题示范
例1：已知sin 33cos55tan 35a b c =︒=︒=︒，，，则（）
A ．a b c >>
B ．b c a
>>C ．c b a
>>D ．c a b
>>思路分析：
观察33°，55°，35°之间的关系，利用三角函数在区间[090]︒︒，上的单调性，选择合适的公式化简，转化为可比较的函数值．由诱导公式可得，
cos55cos(9035)sin 35b =︒=︒-︒=︒，
∵sin y x =在区间[090]︒︒，上单调递增，且sin 33a =︒，∴b a >，
∵sin 35tan 35cos35c ︒
=︒=︒
，且0cos351<︒<，
∴tan 35sin 35c b =︒>︒=，∴c b a >>，故选C ．
例2：函数23()sin cos 4f x x x =++，2π
[0]3
x ∈，的值域是（
）
A ．[12]，
B ．17[]44-，
C ．3
[1]
4
-，D ．1[2]4-，思路分析：
2223
()sin cos 4
31cos cos 4
7cos cos 4
f x x x x x x x =++
=-++=-++
由题意，设cos t x =，2π[0]3x ∈，，由余弦函数的单调性得，12
1
t -≤≤，
则原函数可化为27()4f x t t =-++，12
1
t -≤≤，
由二次函数性质得，()[12]f x ∈，，故选A ．
巩固练习
1.
函数lg(tan )2x
y =的定义域为（）
A ．π(ππ)4k k k +∈Z ，（）
B ．π
(4π4π)2
k k k +∈Z ，（）
C ．(2ππ2π)k k k +∈Z ，（）
D ．第一、三象限
2.函数y =5tan(2x +1)的最小正周期为（）
A ．
2
π
B ．π
C ．2π
D ．4π
3.
若函数π
()=tan()4
f x x +，则（）
A ．(1)(0)(1)f f f ->>
B ．(0)(1)(1)
f f f >>-C ．(1)(0)(1)f f f >>-D ．(0)(1)(1)
f f f >->4.下列函数属于奇函数的是（）
A ．()tan(π)f x x =+
B ．π
()sin()
2f x x =-C ．()cos(3π)
f x x =-D ．π
()sin()
2
f x x =+5.已知函数()tan f x x x =+，2()=cos
g x x x +，则（）
A ．()f x 与()g x 都是奇函数
B ．()f x 与()g x 都是偶函数
C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数
D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数
6.
函数sin()2
y x π
=+在（
）
A ．[]22
ππ
-，上是增函数
B ．[0]π，上是减函数
C ．[0]-π，上是减函数
D ．[]-ππ，上是减函数
7.函数()cos f x x =的一个单调递减区间是（
）
A ．[]
44ππ-，B ．[]
44π3π，C ．[]
2
3π
π，D ．[]
2
3π
2π，8.
下列函数中，周期为π，且在[]42
ππ
，上为减函数的是（
）
A ．sin(2)2y x π=+
B ．cos(2)
2y x π
=+C ．sin()2y x π=+D ．cos()
2
y x π
=+9.
若函数()sin 0f x ax a =>（）在区间[]3
π
0，上单调递增，在区
间[]32ππ
，上单调递减，则a 的值为（）
A ．32
B ．23
C ．2
D ．3
10.已知函数()cos 0f x ax a =>（），将()f x 的图象向右平移
3
π
个单位长度后，若所得图象与原图象重合，则a 的最小值为
（）
A ．
3
1
B ．3
C ．6
D ．9
11.函数sin =y x 的图象与tan =y x 的图象在()22
ππ
-，上的交点
有（）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
12.若函数1cos()03
y x λλπ
=-->（）的最大值与最小值之差为2，
则实数λ的值为（）
A ．
2
1
B ．1
C ．
32
D ．2
13.函数()cos f x x x =-的部分图象是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
14.已知函数()cos30f x a b x b =->（）的最大值为
3
2
，最小值为1
2
-，求函数()4sin 3g x a bx =-的最小正周期、最值，并
判断其奇偶性．
15.求函数23cos 4sin 4[]33
y x x x ππ
=+-∈-，，的最大值和最小值．
【参考答案】
巩固练习1.C 2.A 3.D 4.A 5.C 6.B 7.C 8.A 9.B 10.C 11.D 12.B 13.
D
14.最小正周期为
23π
，最大值为2，最小值为-2，是奇函数15.最大值为13，最小值为13
23
4
--。