投入产出系数及其模型

。
• 用公式表示：
aNj
Nj Xj
• aij与aNj 具有下面的关系：
a
i 1
n
ij
aNj 1即：acj aNj 1
增加值率
• 增加值Nj 根据其构成要素可分解为：
–dj 固定资产折旧
–Vj 劳动者报酬
–Sj 生产税净额 –Mj 营业盈余 • 则aNj可变为： aNj
四、引入bij的数学模型-行模型
• 只有行模型。
• 当bij确定后，i产品作为中间产品的总和可描述为
上式用矩阵形式表示为：
AX Y X
行模型
其中 a11 a12 a1n ： a21 a22 a2 n A an1 an 2 ann X1 Y1 X 2 Y Y2 X Xn Yn
• 价值型投入产出模型存在如下平衡方程：
（一）分配平衡方程组
X 1 x11 x12 x1n y1 X x x x y 2 21 22 2n 2 X n xn1 xn 2 xnn yn
引入直接消耗系数的模型
a
i 1
n
ij
的含义为j部门增加值占
其总产出的比重，即增加值率。
列模型
应用1：知总产出，求增加值。
ˆ N I Ac X
应用2：知增加值，求总产出


ˆ )1 N X ( I Ac
五、投入产出模型的求解条件
• 经济意义上的解释：
1. 在抽象掉进出口的情况下，各部门的最终产品与
二、中间投入率
• 中间投入率是第j 生产部门生产单位总产出所直
接消耗的所有的中间消耗价值量，用acj表示。
• 用公式表示：
acj
或： acj
x
i 1
n
ij
a
i 1
n
Xj
ij
acj数值越大，说明某一部门与其他所有部门之间的直 接经济技术联系越密切。
三、增加值率
• 增加值率 是某部门的增加值占其总产出的比重
实物直接消耗系数
aij
xij

qij Qj
ij
pi a 价值直接消耗系数 aij X j p jQ j pj
pi 其中 称之为j产品对i产品的相对价格. pj
pi qij
实物直接消耗系数和价值直接消耗 系数的关系
• 上式说明：价值型直接消耗系数不仅决定于
部门之间的实物直接消耗关系，而且决定于两部 门的相对价格。 进一步可看出： 在主对角线上：即i=j时，a*ij=aij 在主对角线以外：即ij时，a*ij aij
度，利用aij可研究两部门之间的直接经济技术联系 。 2.aij数值越大，两部门之间的直接经济技术联系越紧密 。反之，说明两部门之间的直接经济技术联系越松 散；aij=0,说明两部门之间没有直接经济技术联系。 3.可以将aij由小到大排列，以反映部门间的直接依存关 系。
实物直接消耗系数和价值直接消耗 系数的关系
总产品都不能出现负值，如果出现负值，则生产
失去意义。
2. 用价值量计算的直接消耗系数应是非负的，而且
小于1，即0≤aij<1.
3. 某消耗部门直接消耗系数之和即中间投入率应小
于1，即：acj<1 。
六、价值表应用举例
1.价值表应用举例
2.练习：已知某一经济系统在一个生产周期内产品的 生产与分配情况如下表： 中间产品 最终 产品 总产 品 100 200 100
(三）行模型
将以价值形式表示的各部门直接消耗系数 代入 a
ij
分配方程组，则得 a11X1 a12 X 2 a1n X n y1 X1 a X a X a X y X 21 1 22 2 2n n 2 2 an1 X1 an 2 X 2 ann X n yn X n
二、完全消耗系数
• 定义：第j部门生产单位最终产品对第i部门的产品
或服务的直接消耗量和全部间接消耗量的总和， 称为j部门对i部门产品的完全消耗系数。 • 完全消耗系数包括了直接消耗和所有的间接消耗 ，能更全面、深刻地反映部门间的相互关系。
完全消耗系数的计算
• 完全消耗系数不能通过统计观测求得，因它包
列模型
简记为：
a X
i 1 ij
n
j
d j v j s j m j X j j 1,2,, n
设： N j d j v j s j m j
则上式又可写成：
acj= aij
i 1
n
acj X j N j X j
( j 1,2,, n)
则：B=A(I-A)-1=[I-(I-A)] (I-A)-1
所以，B= (I-A)-1-I
完全消耗系数矩阵
b11 b21 B bn1
b12 b1n b22 b2 n bn 2 bnn
三、完全消耗系数与直接消耗系数 的比 较
一、完全消耗与间接消耗
（一）完全消耗
• 一种产品对某种产品的直接消耗和全部间接消耗的 总和称为完全消耗。 （二）间接消耗 所谓间接消耗是指一个部门的产品通过消耗其他部 门的产品而间接对某种产品的消耗量。 • 间接消耗是一种多层次的十分复杂的相互关系。 （三）完全消耗=直接消耗+所有的间接消耗
间接消耗
求总产品价值量。
0.3077 0.2308 0.0769 B 0.4615 0.8462 0.6154 0.0513 0.2051 0.1795
第二节
完全消耗系数及其模型
主要内容
一、完全消耗与间接消耗 二、完全消耗系数 三、完全消耗系数与直接消耗系数的比较 四、引入bij的数学模型-行模型
(i, j 1,2,, n)
价值直接消耗系数矩阵
各部门之间的消耗系数构成的n阶矩阵
a11 a21 A an1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
称为直接消耗系数矩阵。
价值直接消耗系数的意义
1.aij反映了某种产品的生产对另一种产品的直接消耗程
N ( N1 , N 2 ,, N n )
列模型
ˆ 则有： Ac X N X
ˆ N I Ac X 于是：
ˆ 由于 ( I Ac ) 是对角矩阵，故其逆矩阵也是一对角 ˆ 矩阵,且其对角线上的元素为矩阵 ( I A ) 对角线上元
c


素的倒数。
a 显然， Nj 1
列模型
n 上式中，若记 ai1 i 1 ˆ 0 Ac 0 0 0 ac1 0 0 0 ac 2 0 0 n ain i 1
T
a
i
n
i2
0
0 0 acn
生 1 产 2 部 3 门
1 20 20 0
2 3 20 0 80 30 20 10
练习
求： （1）最终产品
y1 , y2 , y3

T
（2）直接消耗系数矩阵A （3）如果该系统的最终产品为
Y 120 140 140
0.2 0.1 0 A 0.2 0.4 0.3 0 0.1 0.1
bik akj
k 1
n
全部间接消耗量。也称作全部间接消耗 系数。
完全消耗系数的计算
•完全消耗系数与直接消耗系数的关系可 表示为：
bij ai j bik akj (i, j 1, 2 n)
k 1
n
•用矩阵表示为：B=A+BA
B-BA=AB(I-A)=A 令：A=I-(I-A)
d j Vj S j M j Xj

dj Xj

Vj Xj

Sj Xj

Mj Xj
增加值率
• 定义adj表示第j部门的固定资产折旧系数，则
adj
dj Xj vj Xj
•定义avj表示第j部门的劳动报酬系数，则
av j
• 定义asj表示生产税净额系数，则
asj
sj Xj
增加值率
定义amj表示营业盈余系数，则
amj
mj Xj
因为
x
i 1
n
ij
d j vj sj mj X j
所以
a
i 1
n
ij
ad j av j asj am j 1
即：a cj ad j av j asj am j 1
四、引入价值直接消耗系数的模型
1. aij是相对于总产品而言，bij是相对于最终产品而言 。 2. 由于存在间接消耗，bij总大于aij,即使aij为0，bij也 不一定为0。 3. 就价值型投入产出表而言，aij总是小于1，而bij则 可能大于1。 4. aij可直接通过统计观测加以测定，而bij由于包含难 以观测的间接消耗而不能运用统计观测的方法加
（二）消耗平衡方程组
X 1 x11 x21 xn1 d1 v1 s1 m1 X x x x d v s m 2 12 22 n2 2 2 2 2 X n x1n x2 n xnn d n vn sn mn
第二节
完全消耗系数及其模型
• 一般来说，任何产品在生产过程中，除了各种直接消耗
关系外（直接联系），还有各种间接消耗关系（间接联 系）。完全消耗系数则是这种包括所有直接、间接联系 的全面反映。 • 在国民经济各部门和各产品的生产中，几乎都存在这种 间接消耗和完全消耗的关系，而充分理解各种间接消耗 关系是充分理解宏观经济问题复杂性的有力工具。
主要内容 一、价值直接消耗系数
二、中间投入率
三、增加值系数
四、引入直接消耗系数的数学模型
五、投入产出模型的求解条件
六、价值表应用举例
一、价值直接消耗系数
定义 :
在价值型投入产出表中，第j部门生产单位产
出直接消耗第i部门的产品量，称为第j部门对第i
部门的价值直接消耗系数，记作 aij，即
aij
xij Xj

行模型
• 整理可得
Y ( I A) X
应用1：利用此式知总产出，求最终产品价值。
或者
X ( I A) Y
1
应用2：利用此式知最终产品价值，求总产出。
（四）列模型
将以价值形式表示的各部门直接消耗系数代入 消
耗方程组，则得
a11 X 1 a21 X 1 an1 X 1 d1 v1 s1 m1 X 1 a X a X a X d v s m X 12 2 22 2 n2 2 2 2 2 2 2 a1n X n a2 n X n ann X n d n vn sn mn X n
投 入 产 出 分 析
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本章以价值型投入产出表为基础进行介绍
• 第三章价值投入产出系数及其模型 • 主要内容
• 第一节 价值直接消耗系数及其模型 • 第二节 完全消耗系数及其模型 • 第三节 列昂节夫逆矩阵完全需要系数 • 第四节 分配系数及其模型 • 第五节 实物型与价值型模型比较
第一节 价值直接消耗系数及其模型
含所有的间接消耗。 • 两种计算方法： 1. 根据它与直接消耗系数的关系计算。
2. 完全消耗系数的矩阵幂级数解法。
在此介绍第一种方法
完全消耗系数的计算
• K表示j部门对k部门产品的直接消耗； • akj是j部门生产单位产品直接消耗k中间产品的数量； • bik是k单位产品在生产中直接、间接消耗第i产品的量； • bikakj表明通过中间产品k实现的j部门单位产品对i部门产 品的间接消耗量； 表示j部门通过k中间产品对i部门产品的
例如，某些表面上看起来毫无联系的部门或产品， 实际上都有着比较重要的间接联系。如果能将各部 门间、产品间的间接消耗和完全消耗关系计算出来 ，则对了解和分析国民经济各部门间、产品间的内 在联系，搞好宏观经济结构的分析和预测是有很大 帮助的。 •下面通过一图形来具体解释一下各种间接消耗关 系的含义。
间接消耗