第六章 正弦稳态交流电路的相量分析法

2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信 号可以分解为按正弦规律变化的分量。
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有 十分重要的地位。
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f (t ) Ak sin(kt k )
k 1
n
优点
①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数； ②正弦信号容易产生、传送和使用。
注意
其最大值为 Um311V Um537V
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水 平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备 的耐压水平时应按最大值考虑。
i, Im , I ,
u,Um ,U
§6-2 相量分析法基础
一、正弦量的相量表示 1、复数 （1）复数的4种表示形式 Im b 代数式 o |F| F
π , 2
e
π j 2
π π cos( ) jsin( ) j 2 2
F
F • e j F •1 F
π , e j π cos( π) jsin( π) 1
注意 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
三角函数式
F | F | e j | F | (cos j sin ) a jb
F | F | e j | F |
b 极坐 标式 a Re o |F| Im F
F a jb
( j
1 表 示 虚 数 单 位 )


a Re
F | F | e j
指数式
模相除 角相减
(17 j9) (4 j6) ? 20 j5 19.2427.9 7.21156.3 解 原式 180.2 j126.2 20.6214.04
例2
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
j( t Ψ )
F (t )
2 Ie j( t Ψ )
复常数
正弦量对 应的相量
j
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u (t ) 2U sin( t θ ) U U θ

F(t) 还可以写成
F (t )
2 Ie e j t
2 Ie j t
F(t) 包含了三要素：I、 、， 复常数包含了两个要素： , 。
对 F(t) 取虚部
Im[F (t )] 2 Isin( t Ψ ) i (t )
是一个正弦量 有物理意义
1
2
3
的复数函数。
结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 所以，只需确定初相位和有效值。因此采用
正弦量 复数 变换的思想
结论 任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应
i 2 Isin( t Ψ ) F (t ) 2 Ie
T
定义电压有效值：

T
0
sin 2 ( t Ψ ) dt 1 1 t T 2 0 2
T
0
1 cos 2( t Ψ ) dt 2
U
1 T

T
0
u (t )dt
2

I m 2I
正弦电流、电压的有效值 设
I
i(t)=Imsin( t+ )
1 2 T I I m m 0.707 I m T 2 2
t
u
t i
= ：u 领先 i
正交
i o
t
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例
(1)
计算下列两正弦量的相位差。
i1 (t ) 10sin(100 π t 3π 4)； i2 (t ) 10sin(100 π t π 2)
3π 4 ( π 2) 5π 4
①同频率正弦量的加减
u1 (t ) 2 U1 sin( t Ψ 1 ) Im 2 U 1 e j t u2 (t ) 2 U 2 sin( t Ψ 2 ) Im 2 U 2 e j t
u (t ) u1 (t ) u2 (t ) Im 2 U 1 e j t Im 2 U 2 e j t Im 2 U 1 e j t 2 U 2 e j t Im 2 U 1 U 2 e j t
0
物 理 意 义
直流I
R
交流 i
R
注意：两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同 函数、同符号，同初相单位，且在主值范围比较。
W直流 RI 2T
W交 流

T
0
Ri 2 ( t )d t
2
方均根值
I
1 T

T 0
i 2 ( t )d t

I
1 T

T
0
2 Im sin 2 ( t Ψ ) d t
U


I
+1

I Ψ i (t ) 2 Isin(ω t Ψ ) I
相量关系为：
U θ u (t ) 2Usin( t θ ) U
U 1 U 2 U
U
同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。
5
i1 i2 = i3
1 I 2 I 3 I
3
几种表示法的关系：
Im b |F| F 若 则 a Re Im F2
F a jb
F | F | e | F |
j
F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) F1+F2
Im

o | F | a 2 b 2 b 或 a | F | cos θ arctan a b | F | sin 2. 复数运算 ①加减运算 —— 采用代数式
三、有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
5π 4 2 π 3π 4
(2) u1 (t ) 10sin(100π t 300 )； u2 (t ) 10sin(200 π t 450 )


结论
对正弦电路的分析研究具有重要的理论价 值和实际意义。
正弦量的三要素
以正弦电流为例，即
注意 同一个正弦量，计时起点不同，初相
位不同。
i(t)=Imsin( t+)
i
i(t)=Imsin( t+)
一般规定：| | 。
(1) 幅值 (振幅、最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率ω 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。 (3) 初相位 o
=/2
2π f 2π T
单位： rad/s ，弧度/秒

t
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
=0
=
1
例 已知正弦电流波形如图，＝1000rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1 解
二、 相位差
设 u(t)=Umsin( t+u), i(t)=Imsin( t+i) 相位差 ：= (t+u)- (t+i)= u-i t
o 例1 已知 i 141.4sin(314t 30 )A u 311.1sin(314t 60o )V 试用相量表示i, u .
i(t ) 2I sin( t Ψ ) I I Ψ
相量的模表示正弦量的有效值;

解
I 10030o A,


U 220 60o V
第6章 正弦稳态交流电路 的相量分析法
本章重点难点： 1. 2. 3. 4. 5. 正弦量的三要素、相位差 正弦量的相量表示 电路元件伏安特性的相量形式 正弦稳态电路的相量法求解 正弦稳态电路的功率
§6-1 正弦量的特征
一、 正弦量的三要素
瞬时值表达式:可为正 弦函数也可为余弦函数
i
0
T
波形
i(t)=Imsin( t+)
6 2
特殊相位关系

>0， u 超前i 角，或i 滞后 u 角, (u比 i 先
到达最大值)；
= (180o ) ，反相
u u i o u i t
＝ 0， 同相

<0， i 超前 u 角，或u滞后 i 角, （i 比 u 先
u, i u i o o
到达最大值）。
i (t ) 100sin(1000t )
t 0 50 100sin
π 6 或者 5π 6 π t=0,电流增加 6
100 50 o
i
t1
规定： | | (180°)
等于初相位之差
由于最大值发生在计时起点右侧 π i (t ) 100 sin(1000t ) 6 1000t1 t1＝1.047ms
182.5 j132.5 225.536
③旋转因子 复数
特殊旋转因子
jF
Im
F
ej =cos
+jsin =1∠
Im F• ej
π , 2
π j π π e 2 cos jsin j 2 2
F• ej
旋转因子 0
0
Re
jF


F Re

F1+F2
F2
F1 o 图解法 Re o
F1 Re
F1-F2 -F2
②乘除运算 —— 采用极坐标式 若
例1
解
547 10 25 ?
原式 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226) 12.47 j0.569 12.48 2.61
i (t ) I m sin( t Ψ ) 2 I sin( t Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 Um 2
或
U m 2U
若交流电压有效值为 U=220V ，
U=380V
②测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。 ③区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的 符号。
例
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V

借助相量图计算 1 630o V 2 460o V U U
1

2
,
不能比较相位差
0 0 0
(3)
i1 (t ) 5sin(100 π t 300 ); i2 (t ) 3cos(100 π t 300 )
i2 (t ) 3sin(100 π t 30 90 ) 3sin(100 π t 60 )
300 60 300
正弦量为周期函数
周期T 和频率f
t
f(t)=f ( t+k )
f
1 T
6. 三相电路的计算
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：秒s 频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：赫(兹)Hz
正弦电路
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义
4
2 相量和相量图 （1） 问题的提出
（2） 正弦量的相量表示
无物理意义
iu 1, i
角频率 有效值 初相位

I1 o
i1
i2
i 2 I2
i1+i2 i3
构造一个复函数
F (t )
2 Ie j( t Ψ )

I t
3
i3
2 Icos(t Ψ ) j 2 Isin(t Ψ )

例2
解
已知 I 5015 A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
i 50 2sin(314t 15 ) A
注意 相量的幅角表示正弦量的初相位;
（相量一定的复数量，反之则不一定。）
（3） 相量法的应用
相量图
相量可以在复平面上用有向线段表 示，有向线段的长度表示正弦量的有效值，有向线 段与实轴的夹角表示正弦量的初相。 +j
220 35
F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
则: F1 F2 F1 e j1 F2 e j 2 F1 F2 e j(1 2 )
F1 F2 1 2
1 1 2
模相乘 角相加
F1 | F1 | θ1 | F1 | e jθ | F1 | j( θ θ ) e F2 | F2 | θ2 | F2 | e jθ 2 | F2 | |F| 1 θ1 θ2 |F2|