最新湖水污染分析模型

摘要

在两种情况下分析湖水中的污染物，分别建立模型即理论模型和实际模型。理论模型是根据伊利湖和安大略湖各自的污染物流入流出的关系建立污染物量关于时间的差分方程：伊利湖的污染物总量n+1n a 0.62a =，安大略湖的污染物总量n n n b 6129.03230.627020.33600.87192.3077=-⨯+⨯+，n b 在n →∞时趋于一个定值192.3077，这个定值就是安大略湖系统的平衡值；当35n =时

245.95n b =安大略湖的污染程度减少到目前水平的10%；当31n ≥≥是系统的污

染物的量是一直增加的，当203n ≥≥系统的污染物量急剧减少，大约从40n ≥开始系统的污染物量几乎保持不变。实际模型中首先根据湖水的实际更新情况重新确定湖水流入和流出占湖水总量的百分数，又由于湖水中污染物的浓度时刻变化，所以用时间微元的方法对实际污染物流出的比例进行修正。分析铝厂排放的污染物时，铝厂排放的污染物是赤泥，根据赤泥的物化性质利用重力沉降原理求得赤泥颗粒从湖面沉降到湖底的时间t ，把一年分成多份t ，同时将铝厂每年向湖水中排放的污染物量25单位按t 分成多份，每一个单位时间铝厂排放到湖里的污染物量是0.3q ∆=单位，则安大略湖的湖水中将始终保持有0.3单位的赤泥，其余的赤泥都将在湖底沉积。综合安大略湖中赤泥和伊利湖流入的污染物的情况预测了未来十年内的情况。模型中重力沉降原理指出颗粒的直径影响沉降速度间接影响赤泥的排出量直径越小排出量越大，同时直径是最可能实现改进的因素。在直径小于20um 时赤泥的排出量急剧增加。为减少安大略湖的污染尽量把颗粒直径做小。

二、问题分析

伊利湖的湖水每年有38%的更新，湖水的更新引起湖内污染物量的变化。假设流入伊利湖的湖水是不含有污染物的，而流出伊利湖的湖水又将携带污染物，那么伊利湖是一个没有污染物注入只有污染物排除的系统，污染物的量逐渐减少，根据污染物排除的情况获得伊利湖污染物量随时间变化的关系。安大略湖湖水每年更新13%，在认为流入湖的水仅来自伊利湖的情况下，安大略湖的污染物源只有伊利湖和铝厂，根据每一年的湖水更新量和铝厂的排放量求一二阶差分方程，用来描述安大略湖内污染物（伊利湖流入的和铝厂排放的和）时间变化的情况。但是这些都只是很简单的处理问题，考虑实际情况时。要有很多因素影响着伊利湖和安大略湖的污染物总量，湖水的更新不仅仅包括湖水的流入和流出还有将于和蒸发等；铝厂排放的污染物在湖水中的性质与伊利湖流入的污染物不同；湖水内污染物的量时刻变化等实际情况建立更加合理的模型。

三、理论模型建立

1.模型假设

1.污染物在湖水中均匀分布，每一处污染物浓度相同。

2.对理论模型假设每年安大略湖的湖水补充仅来自伊利湖的流入。

3湖水的更新量中湖水的增加仅来自湖水的流入量，减少量仅是湖水的流出即忽略湖水的蒸发和降雨等。

4.安大略湖的湖水流出速度恒定。

2.符号说明

n ：代表年份取值从1开始，初始的那年为第1年。

n a ：第n 年时的伊利湖的污染物总量。 n b ：第n 年时的安大略湖的污染物总量.

3．差分方程的建立和求解

已知伊利湖每年的湖水更新量是38%，流入的的水流中没有污染物，流出的湖水携带污染物.安大略湖的湖水补充仅来自伊利湖，每年伊利湖湖水总量的38%经尼亚加拉河流入安大略湖，安大略湖的污染物消失都来自湖水的流出贡献。安大略湖的污染物总量用函数b （n ）表示，伊利湖的污染物总量用函数a(n)表示。根据伊利湖水的污染物总量的变化可得如下方程：

n+2n+1a 0.62a =

n+1n a 0.62a =

n 1,2,3...=

根据安大略湖的污染物情况列出可以表示污染物变化关系的函数式：

n 2n 1n 1n+1b 0.38a b 0.13b 25

+++=+-+

n 1n n n b 0.38a b 0.13b 25+=+-+ n 1,2,3...=

把n a 和n 1a +消去得到的二阶差分方程如下：

n 2n 1n b -1.49b 0.620.87b 250.38+++⨯=⨯ (1)

可得上式的齐次方程：2 1.490.620.870λλ-+⨯= 10.62λ=，20.87λ=。

齐次方程的通解为：n n n 12b c 0.62c 0.87=⨯+⨯ (2) 设（1）式的通解为：

n n n 12b c 0.62c 0.87b =⨯+⨯+

(3)

(2)式代入(1)式是满足：n+2n 1n b 1.49b 0.620.87b 0+-+⨯=

(3)式代入(1)式满足n+2n 1n b 1.49b 0.620.87b 250.38+-+⨯=⨯。根据这样二个规则可求出b 的方程：b 1.49b 0.620.87b 250.38-+⨯=⨯，解得b=192.3077，则（1）式的通解（3）变为 n n n 12b c 0.62c 0.87192.3077=⨯+⨯+。已知第一年安大略湖的污染物总量是2500单位即1b 2500=，第二年污染物总量增加至3150单位

2b 3150=；通过MATLAB 编程可求得1c 6129.0323=-，2c 7020.3360=，所以二

阶差分方程的通解可以代表安大略湖的污染物总量的方程为：

n n n b 6129.03230.627020.33600.87192.3077=-⨯+⨯+ (4)

4. 系统的平衡值

安大略湖污染物总量n n n b 6129.03230.627020.33600.87192.3077=-⨯+⨯+当n 从1开始增长下去，n n

6129.03230.627020.33600.87-⨯+⨯逐渐趋近于0,所以

n

b 随着

n

的增长逐渐趋近于192.3077。通过方程可以证明系统存在平衡值是

192.3077,随着时间的推移安大略湖内的污染物的流入和排除能力相同，湖内的污染物总量保持在192.3077单位。其实，通过实际情况的分析亦可得到相同的结论，已知安大略湖的污染物仅来自铝厂和伊利湖，铝厂每年的排入量恒定25单位；伊利湖的污染物每年流出总量中的一部分，而且没有外界的补充，这样时间的增长使伊利湖内的污染物总量越来越少趋近于零，伊利湖流入安大略湖