第11章计数原理随机变量及其分布11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

考点11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

概念方法微思考

1．在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？

提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理． 2．两种原理解题策略有哪些？ 提示 ①明白要完成的事情是什么；

②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； ③有无特殊条件的限制； ④检验是否有重复或遗漏．

1．（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）

A ．4

B ．8

C ．12

D ．16

【答案】D

【解析】根据正六边形的性质，则111D A ABB -，111D A AFF -满足题意， 而1C ，1E ，C ，D ，E ，和1D 一样，有248⨯=， 当11A ACC 为底面矩形，有4个满足题意， 当11A AEE 为底面矩形，有4个满足题意， 故有84416++= 故选D ．

2．（2020•上海）已知{3A =-，2-，1-，0，1，2，3}，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有__________种． 【答案】18

【解析】当3a =-，0种， 当2a =-，2种， 当1a =-，4种； 当0a =，6种， 当1a =，4种； 当2a =，2种， 当3a =，0种，

故共有：2464218++++=． 故答案为：18．

3．（2018•新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有

__________种．（用数字填写答案） 【答案】16

【解析】方法一：直接法，1女2男，有122

412C C =，2女1男，有21

244C C = 根据分类计数原理可得，共有12416+=种，

方法二，间接法：33

6

420416C C -=-=种， 故答案为：16．

4．（2018•上海）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________（结果用数值表示） 【答案】180

【解析】根据题意，分2步分析：

①，学生甲必须参赛且不担任四辩，则甲可以担任一、二、三辩，有3种情况，

②，在剩下的5名学生中任选3人，安排到其他三个辩手的位置，有3

5

60A =种情况， 则有360180⨯=种不同的安排方法种数； 故答案为：180．

1．（2020•金安区校级模拟）2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有( ) A ．6种 B ．24种 C ．36种 D ．42种

【答案】B

【解析】第一步从4个没转播的频道选出2个共有24A 种，在把2个报道的频道选1个有1

2A 种，

根据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有21

4

224A A =种． 故选B ．

2．（2019•西湖区校级模拟）从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数a bi +，其中虚数有( ) A ．36个 B ．42个 C ．30个 D ．35个

【答案】A

【解析】a ，b 互不相等且为虚数，

∴所有b 只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种，

a 从剩余的6个选一个有6种，

∴根据分步计数原理知虚数有6636⨯=（个)．

故选A ．

3．（2020•汉阳区校级模拟）学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》、《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一、周四上演；《茶馆》不能在周一、周三上演；《天籁》不能在周三、周四上演；《马蹄声碎》不能在周一、周四上演，则所有的可能情况有( )种． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

【答案】C

【解析】由题意，周一只能上演《天籁》，周四只能上演《茶馆》， 故周二上演《雷雨》，周三上演《马蹄声碎》； 或者周二上演《马蹄声碎》，周三上演《雷雨》． 故所有的可能情况有2种， 故选C ．

4．（2020•沙坪坝区校级模拟）设集合1{(A a =，2a ，3a ，4a ，5a ，6)|{1i a a ∈-，1}，1i =，2，3，4，5，6}，那么集合A 中满足条件“12345622a a a a a a -+++++”的元素的个数为( ) A ．35 B ．50 C ．60 D ．180

【答案】B

【解析】集合1{(A a =，2a ，3a ，4a ，5a ，6)|{1i a a ∈-，1}，1i =，2，3，4，5，6}， 要满足“12345622a a a a a a -+++++”

由题可得：i a 中有2个1-，4个1，或3个1-，3个1，或4个1-，2个1，共三类情况符合条件． 所以A 中满足条件“12345622a a a a a a -+++++”的元素的个数为：2

346

6

6

50+

+

=；

故选B ．

5．（2020•安徽模拟）中国足球队超级联赛的积分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队打完3场比赛，则该球队积分情况共有几种( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11

【答案】B

【解析】打完3场比赛，可能出现的胜负情况为：三胜，二胜一平，二胜一负，一胜二平，一胜二负，一胜一平一负；三平，二平一负，一平二负；三负；

对应的积分依次为：9，7，6，5，3，4，3，2，1，0；共9种积分情况． 故选B ．