换底公式_公式总结
换底公式
(3)
loga
M N
log a M log a N;
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震 级r可定义为r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震 的相对能量程度。
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度
分别为I1和I2，由题意得
6.9 0.6 lg I1 ,
loga b logb c logc a 1.(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a 1 lg a lg b lg c
2.利用换底公式求值。
(1) log2 25 log3 4 log5 9 ___8____
5
3 (1)log6 216 2
(2) log0.5 1 log0.5 4 2
3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式。
(1) lg(x2 yz 3) 2 lg x lg y 3 lg z
(2) lg
x y3z
1 lg x 3 lg y lg z 2
问题1: 使用对数的运算法则运算的前提条件是“同底”， 如果底不同怎么办？ 问题2: 我们知道科学计算器通常只能对常用对数或自然 对数进行计算，要计算log215，必须将它换成常用对数 或自然对数，如何转换？
2.三个结论：
(1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
复习旧知
积、商、幂对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;
换底公式练习
专题10换底公式【知识回顾】换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．特别地，log a b·log b a＝1，log b a＝【典例应用】【例1】计算：log1627log8132.1．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．【例2】已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.2．(1)已知log142＝a，试用a表示log27.(2)若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245..【等级过关练】 1．思考辨析(1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( ) (2)log 52＝log (－3)2log (－3)5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( )2．若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( )A.b a B ．ab C ．a b D ．b a 3．式子log 916·log 881的值为( )A ．18B ．118 C.83D ．384．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( )A ．a －bB ．ab C ．ab D ．a ＋b5.log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32 D ．92 6．log 332·log 227＝________. 7．设2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b ＝________.8．若log 32＝a ，则log 123可以用a 表示为________． 9．已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________. 10．求下列各式的值：(1)log 427·log 258·log 95； (2)log 225·log 3116·log 519.专题10换底公式【知识回顾】换底公式：log b N ＝log a Nlog ab (a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．特别地，log a b ·log b a ＝1，log b a ＝【典例应用】【例1】 计算：log 1627log 8132.[思路探究] 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．[解] log 1627log 8132＝lg 27lg 16·lg 32lg 81＝lg 33lg 24·lg 25lg 34＝3lg 34lg 2·5lg 24lg 3＝1516.1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n 为底的换为a 为底．2．换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ； log an b m ＝mn log a b .1．计算：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)． [解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝5lg 36lg 2·3lg 22lg 3＝54.【例2】 已知log 189＝a,18b ＝36[解] 法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a ， 又5＝18b ，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b ＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b2－a .法二：∵18b ＝5， ∴log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b2－a. 法三：∵log 189＝a,18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用.2．(1)已知log 142＝a ，试用a 表示log27.(2)若log 23＝a ，log 52＝b ，试用a ，b 表示log 245. [解] (1)法一：因为log 142＝a ，所以log 214＝1a . 所以1＋log 27＝1a . 所以log 27＝1a －1. 由对数换底公式， 得log 27＝log27log 22＝log 272.所以log27＝2log 27＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a －1＝2(1－a )a . 法二：由对数换底公式，得log 142＝log 22log 214＝2log 27＋2＝a .所以2＝a (log 27＋2)，即log27＝2(1－a )a .(2)因为log 245＝log 2(5×9)＝log 25＋log 29＝log 25＋2log 23，而log 52＝b ，则log 25＝1b ，所以log 245＝2a ＋1b ＝2ab ＋1b . 【等级过关练】 1．思考辨析(1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( ) (2)log 52＝log (－3)2log (－3)5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√2．若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( ) A.b a B ．ab C ．a b D ．b a B [log 5 3＝lg 3lg 5＝ab .]3．式子log 916·log 881的值为( ) A ．18 B ．118 C.83D ．38C [原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.故选C.]4．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( ) A ．a －b B ．a b C ．abD ．a ＋bB [因为ln 2＝a ，ln 3＝b ，所以log 32＝ln 2ln 3＝ab .]5.log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32D ．92B [log 49log 43＝log 39＝2log 33＝2.]6．log 332·log 227＝________.15 [log 332·log 227＝lg 32lg 3·lg 27lg 2＝5lg 2lg 3·3lg 3lg 2＝15.] 7．设2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b ＝________.1 [因为2a ＝3b ＝6，所以a ＝log 26，b ＝log 36，所以1a ＋1b ＝1log 26＋1log 36＝log 62＋log 63＝log 66＝1.]8．若log 32＝a ，则log 123可以用a 表示为________． 12a ＋1 [log 123＝log 33log 312＝12log 32＋1＝12a ＋1] 9．已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________. 9 [因为log 34·log 48·log 8m ＝2， 所以lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2， 化简得lg m ＝2lg 3＝lg 9. 所以m ＝9.]10．求下列各式的值：(1)log 427·log 258·log 95； (2)log 225·log 3116·log 519. [解] (1)原式＝lg 27lg 4·lg 8lg 25·lg 5lg 9 ＝3 lg 32lg 2·3lg 22lg 5·lg 52 lg 3＝98. (2)原式＝log 252·log 32－4·log 53－2 ＝2lg 5lg 2·(－4)lg 2lg 3·(－2)lg 3lg 5＝16.。
指数和对数的公式总结
指数和对数的公式总结指数和对数是数学中常见的运算方法，它们有着广泛的应用和重要的数学性质。
本文将对指数和对数的公式进行总结，包括指数的加法、减法、乘法、除法法则，以及对数的换底公式、指数对数转换公式等。
一、指数的加法、减法、乘法、除法法则指数的加法法则：对于相同底数的指数相加，可以将底数保持不变，指数相加。
例如：a^m * a^n = a^(m+n)指数的减法法则：对于相同底数的指数相减，可以将底数保持不变，指数相减。
例如：a^m / a^n = a^(m-n)指数的乘法法则：对于相同底数的指数相乘，可以将底数保持不变，指数相乘。
例如：(a^m)^n = a^(m*n)指数的除法法则：对于相同底数的指数相除，可以将底数保持不变，指数相除。
例如：(a/b)^n = (a^n)/(b^n)二、对数的换底公式对数是指数的逆运算，它可以将指数运算转化为对数运算，使得复杂的计算简化。
换底公式：对于任意底数a、b和正整数n，有以下换底公式成立：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)其中，c为任意一个正整数。
三、指数对数转换公式指数对数转换公式是指在底数相同的情况下，指数和对数是相互对应的。
指数对数转换公式：a^x = y <=> log_a(y) = x四、指数和对数的常用公式除了上述的基本公式外，指数和对数还有一些常用的公式。
1. 对数的乘法法则：log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c)2. 对数的除法法则：log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)3. 对数的幂运算法则：log_a(b^n) = n * log_a(b)综上所述，本文总结了指数和对数的公式，包括指数的加法、减法、乘法、除法法则，对数的换底公式和指数对数转换公式，以及指数和对数的常用公式。
掌握这些公式将有助于我们解决指数和对数相关的数学问题，提高数学运算的效率和准确性。
对数的运算性质及换底公式
8 2 ( ) 4 9 log3 ( ) 3
(3) lg 100 lg 10
100 lg ( ) 10
归纳猜想： M log a ( ) log a M log a N N （a 0且a 1, M , N 0）
3.计算观察： 3 (1) log 2 (2 )
1 1 （2） 3 36, 求 2 m n
m n
【变式训练】
1 (1) log 3 7 log 2 9 log 49 x log 1 , 求x 4 2
(2) log18 9 a,18 5, 用a, b表示log36 45.
b
总结：
• 1.对数的运算性质
• 2.换底公式
(2) log5 125
(4) log 1 27 log 1 9
3 3
(3) log 2 (2 4 )
3 5
【变式训练】求下列各式的值
(1)3 log 7 2 log 7 9 2 log 7 (
2 2
3 2 2
)
(2)(lg 2) (lg 5) 2 lg 5 lg 2
log 2 (4 8)
log3 (3 9)
(3) lg 10 lg 100
lg (10 100 )
归纳猜想： log a (M N) log a M log a N （a 0且a 1, M , N 0）
2.计算观察：
(1) log 2 8 log 2 4
M (2)log a ( ) log a M log a N N
（a 0且a 1, M , N 0）
(3)log a ( M ) n log a M
三角函数换底公式
三角函数没有换底公式一说，肯定是对数的换底公式：
log换底公式是：loga(N)=logb(N)/logb(a)。
证明：loga(N)=x，则a^x=N，两边取以b为底的对数，
logb(a^x)=logb(N)，xlogb(a)=logb(N)，x=logb(N)/logb(a)，故此，loga(N)=logb(N)/logb(a)。
换底公式：logb(c)=loga(c)/loga(b) 可将不一样底的对数换为同底的对数 (括号前为底数，括号内为真数)如：log3(5)=lg5/lg3 (换为经常会用到对数)log3(5)=ln5/ln3 (换为自然对
数)log8(9)=log5(9)/log5(8) (换为任意数为底的对数，可将5换为任意正数)期望对你有很大帮助
log以a为底b的对数-loga(b）-=logc(b)/logc(a)也可写
lg(b)]/lg(a)其实就是常说的log以10为底b的对数。
换底公式是高中数学经常会用到对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。
计算中经常会减少计算的难度，更快速的处理高中范围的对数运算。
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .。
对数 换底公式
对数换底公式摘要：1.对数的定义和性质2.换底公式的推导3.换底公式在实际问题中的应用4.总结与展望正文：1.对数的定义和性质对数是一种数学运算，用于表示一个数以某个基数为底，经过多少次方等于另一个数。
对数有自然对数、常用对数等多种表示形式，每种对数都有其适用范围和特殊性质。
例如，自然对数的底为自然常数e，常用对数的底为10。
对数具有以下基本性质：（1）对数的运算法则：loga(MN) = logaM + logaN，loga(M/N) = logaM - logaN（2）对数的换底公式：logab = logcb / logca（3）对数的性质：loga1 = 0，loga0 不存在，loga(a^b) = b2.换底公式换底公式是将对数从一种底数转换为另一种底数的工具。
设logab = x，那么可以得到换底公式：logcb = x * logca。
换底公式的推导过程如下：设y = logcb，那么有cb = e^y，同时有ab = e^x。
将cb 带入ab 中，得到ab = e^(x + y)。
根据对数的性质，有loga(ab) = x + y，而又因为loga(ab) = loga(e^(x + y)) = x + y，所以x = logcb / logca。
3.换底公式在实际问题中的应用换底公式在实际问题中有很多应用，例如在计算机科学中，换底公式可以用于计算以不同进制表示的数值之间的转换；在物理学中，换底公式可以用于计算能量、速率等物理量在不同单位制之间的转换。
4.总结与展望对数换底公式是数学中一个重要的工具，它可以帮助我们将对数从一种底数转换为另一种底数。
通过掌握对数的性质和换底公式，我们可以更好地理解和解决实际问题。
换底公式
还可以变形,得
② log x y log y z log x z
公式的运用： 利用换底公式统一对数底数，即“化异为同” 是解决有关对数问题的基本思想方法；
log 8 9 log 27 32
log c b log a b log c a
n
(a, c (0,1) (1,), b 0) a, b (0,1) (1,)
n log am b log a b m log a b log b a 1
例三、设 求证：
3x 4 y 6 z t 1
2 10 lg
9 5
2+ ຫໍສະໝຸດ g 2 lg10 2+ lg 2
= ( 1 －lg 2 ) 2 + lg 2 ( 1 －lg 2 ) + lg 2 = 1 －2lg 2 + lg 2 2 + lg 2 －lg 2 2 + lg 2 =1
2、已知 lg x + lg y = 2lg ( x －2y )，求 log
3)x 2 3
3或( 2
∴ x = 1 或 x = －1 故方程的解为 x = 1 或 x = －1.
，一定要求
log 18 2 1 a
log18 45 log18 9 log18 5 a b log 36 45 log18 36 1 log18 2 2a
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问 题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起 了重要作用，在解题过程中应注意： （1）针对具体问题，选择好底数； （2）注意换底公式与对数运算法则结合使用； （3）换底公式的正用与逆用；
对数的表示方法
对数的表示方法一、基本概念对数作为数学中的一种重要概念，可以用来描述指数运算的逆运算。
对数的表示方法有以下几种。
二、常用对数表示法常用对数表示法是以10为底的对数，通常用log表示，即log10。
例如log10(100) = 2，表示10的几次方等于100。
三、自然对数表示法自然对数表示法是以自然常数e为底的对数，通常用ln表示。
自然常数e是一个无理数，约等于2.71828。
例如ln(e) = 1，表示e的几次方等于e。
四、换底公式换底公式是对数运算中常用的一个公式，用于在不同底的对数之间进行转换。
换底公式如下：loga(b) = logc(b) / logc(a)其中，a、b、c分别为三个底数。
通过换底公式，我们可以将一个底数不为10的对数转换成以10为底的对数或者以e为底的对数，从而方便计算。
五、常用对数性质对数运算具有一些重要的性质，通过利用这些性质，我们可以简化对数运算的过程，提高计算效率。
常用对数性质如下：1.loga(b * c) = loga(b) + loga(c)2.loga(b / c) = loga(b) - loga(c)3.loga(b^n) = n * loga(b)其中，a、b、c为任意正数，n为任意实数。
利用这些性质，我们可以将复杂的对数表达式进行化简，从而更方便地进行计算。
六、对数运算的应用对数广泛应用于各个领域，特别是在科学计算和数据处理中。
下面是一些对数运算的常见应用：1.对数在复利计算中的应用：在金融领域中，计算复利时需要使用对数运算来简化计算过程，从而得到更准确的利息计算结果。
2.对数在统计学中的应用：在统计学中，对数转换可以将非正态分布的数据转化为正态分布，从而方便进行统计分析。
3.对数在信号处理中的应用：在信号处理中，对数运算可以将信号的动态范围压缩，从而减小数据量，提高信号处理的效率。
七、总结对数是数学中的重要概念，它可以用来描述指数运算的逆运算。
换底公式的6个推论
换底公式的6个推论（最新版）目录1.换底公式的概念和基本形式2.推论 1：对数函数的性质3.推论 2：指数函数的性质4.推论 3：三角函数的性质5.推论 4：反三角函数的性质6.推论 5：复合函数的性质7.推论 6：初等函数的性质正文换底公式是数学中一种重要的公式，它用于将一个数的底数从一个数改为另一个数。
换底公式的基本形式为：如果 a 的 b 次方等于 c，那么 a 的 c 次方等于 b。
这个公式在数学中有着广泛的应用，下面我们来看看换底公式的 6 个推论。
首先，我们来看推论 1：对数函数的性质。
对数函数是一种重要的数学函数，它的基本形式为 loga(x)=y，其中 a 是底数，x 是真数，y 是对数。
通过对数函数的性质，我们可以知道，对数函数是一个单调函数，也就是说，当 x1<x2 时，loga(x1)<loga(x2)。
其次，我们来看推论 2：指数函数的性质。
指数函数是一种重要的数学函数，它的基本形式为 a^x=y，其中 a 是底数，x 是指数，y 是幂。
通过指数函数的性质，我们可以知道，指数函数是一个单调函数，也就是说，当 x1<x2 时，a^x1<a^x2。
接下来，我们来看推论 3：三角函数的性质。
三角函数是一种重要的数学函数，它的基本形式为 sinx=y，cosx=y，tanx=y，其中 x 是角度，y 是函数值。
通过三角函数的性质，我们可以知道，三角函数是一个周期函数，也就是说，当 x 增加 2π时，sinx 的值不变，cosx 的值不变，tanx 的值不变。
然后，我们来看推论 4：反三角函数的性质。
反三角函数是三角函数的逆函数，它的基本形式为 arcsin(y)=x，arccos(y)=x，arctan(y)=x，其中 y 是函数值，x 是角度。
通过反三角函数的性质，我们可以知道，反三角函数是一个单调函数，也就是说，当 y1<y2 时，arcsin(y1)<arcsin(y2)，arccos(y1)<arccos(y2)，arctan(y1)<arctan(y2)。
换底公式的6个推论
换底公式的6个推论换底公式是初中数学中的重要知识点，它是解决三角函数的周期性问题的有力工具。
换底公式有6个推论，本文将逐个介绍并解释这些推论的应用。
1. 推论一：sin(x) = cos(90° - x)换底公式的第一个推论是sin函数与cos函数的关系。
根据三角函数的定义，sin(x)表示角度x的正弦值，cos(x)表示角度x的余弦值。
推论一指出，对于任意角度x来说，它的正弦值等于90°减去该角度的余弦值。
这个推论的应用十分广泛，可以用来简化计算，特别是在求解不同角度的三角函数值时。
2. 推论二：cos(x) = sin(90° - x)推论二是推论一的逆命题，它指出，对于任意角度x来说，它的余弦值等于90°减去该角度的正弦值。
这个推论可以与推论一一起使用，互相验证结果的正确性。
3. 推论三：tan(x) = cot(90° - x)推论三是tan函数与cot函数的关系。
tan(x)表示角度x的正切值，cot(x)表示角度x的余切值。
推论三说明，对于任意角度x来说，它的正切值等于90°减去该角度的余切值。
这个推论可以用来简化计算，特别是在求解不同角度的三角函数值时。
4. 推论四：cot(x) = tan(90° - x)推论四是推论三的逆命题，它指出，对于任意角度x来说，它的余切值等于90°减去该角度的正切值。
这个推论可以与推论三一起使用，互相验证结果的正确性。
5. 推论五：sec(x) = csc(90° - x)推论五是sec函数与csc函数的关系。
sec(x)表示角度x的正割值，csc(x)表示角度x的余割值。
推论五说明，对于任意角度x来说，它的正割值等于90°减去该角度的余割值。
这个推论可以用来简化计算，特别是在求解不同角度的三角函数值时。
6. 推论六：csc(x) = sec(90° - x)推论六是推论五的逆命题，它指出，对于任意角度x来说，它的余割值等于90°减去该角度的正割值。
高中数学同步学案 换底公式
2．2.2 换底公式换底公式1．换底公式log a N ＝log c Nlog c a (a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)2．几个常见结论： (1)log a b·log b a ＝1； (2)log a n b n＝log a b ； (3)log a m b n＝n mlog a b ；(4)log a b·log b c·log c d ＝log a d.1．换底公式如何证明？ [提示] 设x ＝log a b,则a x＝b, 两边取以c 为底的对数得 log c a x＝log c b 即xlog c a ＝log c b, 所以x ＝log c b log c a ,即log a b ＝log c blog c a .2．写出下面几个式子的值．(1)log 28；(2)log 416；(3)log 24；(4)log 322；(5)log 6416. [提示] (1)3 (2)2 (3)4 (4)110 (5)23对数式的求值[例1] 求值：(1)log 23·log 35·log 516；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．[思路点拨] 先利用换底公式化同底,再运用运算性质． [解] (1)因为log 23＝lg3lg2,log 35＝lg5lg3,log 516＝lg16lg5.所以log 23·log 35·log 516＝lg3lg2·lg5lg3·lg16lg5＝lg16lg2＝4lg2lg2＝4. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝ ⎛⎭⎪⎫lg3lg4＋lg3lg8＝⎝⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.借题发挥 换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而化简、计算与证明,在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能运用运算法则时,可统一化成以同一个实数为底的对数,再根据运算法则进行化简和求值.1．计算： (1)log 927； (2)log 89·log 2732； (3)log 21125·log 3132·log 513.解：(1)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32. (2)log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109. (3)log 21125·log 3132·log 513＝log 25－3·log 32－5·log 53－1＝－3log 25·(－5log 32)·(－log 53) ＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.条件等式的求值与证明[例2] 设a,b,c 都是正数,且3a ＝4b ＝6c,证明：a ＋b ＝c.[思路点拨] 解答本题可以先令3a ＝4b ＝6c＝k,两边取对数后,表示出a,b,c,再用换底公式代入证明． 证明：法一：设3a＝4b＝6c＝k(a,b,c 均为正数,k>0), 则a ＝log 3k,b ＝log 4k,c ＝log 6k. ∴1a ＝log k 3,1b ＝log k 4,1c ＝log k 6, ∴2log k 3＋log k 4＝2log k 6, 即2a ＋1b ＝2c. 法二：对3a＝4b＝6c 同时取以10为底的对数, 得lg3a＝lg4b＝lg6c, ∴alg3＝blg4＝clg6,∴c a ＝lg3lg6＝log 63,c b ＝lg4lg6＝log 64, ∵2log 63＋log 64＝log 636＝2, 即2c a ＋c b ＝2,∴2a ＋1b ＝2c. 借题发挥 换底公式的主要作用就是化不同底为同底,只有化同底后方可使用对数的运算性质,在条件求值中,常常是把所求靠拢已知,根据已知的条件,逐步消除已知与未知之间的差异,使问题顺利解决.2．已知2x＝3,log 483＝y,求x ＋2y 的值．解：因为2x＝3,所以x ＝log 23.所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋log 283＝log 23＋log 28－log 23＝log 223＝3.1.log 89log 23的值为( ) A ．2 B ．3 C.32 D.23答案：D2．已知lg2＝a,lg3＝b,则log 36＝( ) A.a ＋b a B.a ＋bbC.a a ＋b D.b a ＋b解析：选B log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b.3．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416,则m 的值为( ) A.12 B ．9 C ．18D ．27解析：选B 由题知lg4lg3·lg8lg4·lgm lg8＝lg16lg4,∴lgm lg3＝lg16lg4＝2,∴lgm ＝lg32＝lg9,m ＝9. 4．若log a b·log 3a ＝4,则b 的值为________． 解析：log a b·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg blg 3＝4,所以lg b ＝4lg 3＝lg 34,所以b ＝34＝81. 答案：815．已知log a x ＝1,log b x ＝2,log c x ＝4,则log abc x ＝________. 解析：由已知得log x a ＝1,log x b ＝12,log x c ＝14.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝11＋12＋14＝47. 答案：476．求(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)的值． 解：原式＝(log 23＋log 2332)(log 322＋log 3223＋log 32)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫92log 32＝152.已知log 189＝a,18b＝5,求log 3645,你能用不同的方法解决这个问题吗？让我来试试吧！ ∵18b＝5,∴log 185＝b,于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×5log 1818×2＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.看我的！∵18b＝5,∴log 185＝b,于是log 3645＝log 189×5log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189 ＝a ＋b2－a.我也能解． ∵log 189＝a,18b＝5, ∴lg9＝alg18,lg5＝blg18. ∴log 3645＝lg45lg36＝lg9×5lg 1829＝lg9＋lg52lg18－lg9 ＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a ＋b2－a.一、选择题1．下列各式中正确的是( ) A ．log 23·log 8116＝1 B.log 24log 28＝－1 C ．lg4·lg9＝lg36D ．(log 515)3＝－3解析：选A log 23·log 8116＝lg3lg2·lg16lg81＝lg3lg2·4lg24lg3＝1.2．若log 37·log 29·log 49a ＝log 412,则a 的值等于( )A.14B.22C. 2D ．4解析：选B 原方程可化为log 37·2log 23·12log 7a ＝－12,即log 2a ＝－12,∴a ＝212-＝22.3．设lg2＝a,lg3＝b,那么lg 1.8等于( ) A.12(a ＋2b －1) B ．a ＋b －1 C.12(2a ＋b －1) D ．a ＋b解析：选A lg 1.8＝12lg(0.1×9×2)＝12(lg2＋lg9＋lg0.1)＝12(a ＋2b －1)． 4．已知lga 、lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根,则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C lga ＋lgb ＝2,lga·lgb＝12,⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lga －lgb)2＝(lga ＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×12＝2.二、填空题5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，3x，x≤0，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值为________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2,f(－2)＝3－2＝19.答案：196．已知2x ＝72y＝A,且1x ＋1y ＝1,则A 得值是________．解析：∵2x＝72y＝A,∴x ＝log 2A,2y ＝log 7A ∴1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7 ＝log A 2＋log A 49＝log A 98＝1. ∴A ＝98. 答案：98 三、解答题7．(1)计算log 53·log 27125； (2)计算log 2125·log 318·log 519.解：(1)log 53·log 27125＝lg3lg5·lg125lg27＝lg3lg5·3lg53lg3＝1.(2)log 2125·log 318· log 519＝－log 225·log 38·log 59＝－2lg5lg2·3lg2lg3·2lg3lg5＝－12.8．若a,b 是方程2(lg x)2－lg x 4＋1＝0的两个实根,求lg(ab)·(log a b ＋log b a)的值． 解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x,则方程化为2t 2－4t ＋1＝0, ∴t 1＋t 2＝2,t 1·t 2＝12.又∵a,b 是方程2(lg x)2－lg x 4＋1＝0的两个实根, ∴t 1＝lg a,t 2＝lg b,即lg a ＋lg b ＝2,lg a·lg b＝12.∴lg(ab)·(log a b ＋log b a) ＝(lg a ＋lg b)·⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝(lg a ＋lg b)·lg b 2＋lg a2lg a·lg b＝(lg a ＋lg b)·lg a ＋lg b 2－2lg a·lg blg a·lg b＝2×22－2×1212＝12,即lg(ab)·(log a b ＋log b a )＝12.。
对数函数的换底公式
log₁₀2 = logₑ2 / logₑ10
由于 logₑ10 的值可以用常用的对数来表示，即 logₑ10 ≈ 0.4343，我们可以使用这个近似值进行计算。
因此，log₁₀2 ≈ logₑ2 / 0.4343
换底公式使得我们可以在不同底数之间进行对数运算，方便进行计算和比较。
对数函数的换底公式是指将对数的底数进行转换的公式，常用的换底公式如下：
对数函数的换底公式： logₐb = logₓb / logₓa
其中，logₐb 表示以 a 为底数的 b 的对数，logₓb 表示以任意底数 x 的 b 的对数，logₓa 表示以任意底数 x 的 a 的对数。
换底公式的使用可以将对数的底数转换为其他常用的底数，例如将以 10 为底数的对数转换为以 e（自然对数
对数换底公式三个推论
对数换底公式三个推论好的，以下是为您生成的关于“对数换底公式三个推论”的文章：在数学的奇妙世界里，对数换底公式及其推论就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
今天，咱们就来好好聊聊这三个推论。
先来说说对数换底公式，它就像是一座桥梁，连接着不同底数的对数。
那公式是：logₐb = logₑb / logₑa （其中 a＞0 且a≠1，b＞0，e 是自然常数）。
有了这个公式，很多看似复杂的对数计算就能变得简单清晰啦。
接下来瞧瞧这三个推论。
推论一：logₐb × logₓa = logₓb 。
这个推论乍一看有点让人摸不着头脑，但是咱们通过一个例子就能明白。
比如说，假设咱们要计算 log₂8 × log₈2 ，按照这个推论，就等于 log₈8 ，结果很显然是 1 。
我记得有一次给学生们讲这个推论的时候，有个小家伙特别较真儿。
他一直盯着这个公式，皱着眉头问我：“老师，这到底是咋来的呀？”我就耐心地给他解释：“你看啊，咱们先用换底公式把 log₂8 换成以 8为底，那就变成了 log₈8 / log₈2 ，再乘以 log₈2 ，约分一下不就得到log₈8 了嘛。
”小家伙听了恍然大悟，脸上露出了那种“原来如此”的表情，可有意思了。
推论二：logₐb = 1 / log_ba 。
这个推论其实就是换底公式的一种变形。
比如计算 log₃5 和 log_53 ，它们之间就存在这样的关系。
有一次做练习题，有道题正好用到了这个推论。
很多同学一开始没反应过来，都在那死磕换底公式。
我在教室里转了一圈，发现这个情况后，就提醒他们：“同学们，看看这个式子像不像咱们刚讲的那个推论呀？”这一提醒，不少同学马上就开窍了，刷刷地开始动笔计算。
推论三：logₐⁿbᵐ= (m / n) logₐb 。
这个推论在解决一些复杂的对数运算时特别有用。
记得有一次考试，有一道题是计算 log₄₁₆₈。
很多同学看到这个题都有点懵，不知道从哪儿下手。
换底公式
解法一：
解法二：
7 7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 3 7 7 2 lg 14 lg( ) lg 7 lg 18 lg(2 7) 2 lg 3 3 2 lg 7 lg( 2 3 ) 14 7 lg 7 2 lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) ( ) 18 3 lg 7 (lg 2 2 lg 3) lg 1 0 0
1 2 例2 : 设4 5 100, 求2( )的值. a b a b
a b
解: 4 5 100 2 a log 4 100 log 2 10 log 2 10
b log 5 100 log 5 5 4
2
2
2 log 5 4 2 2 log 5 2 1 1 2 1 2( ) 2 log 10 1 log 2 a b 2 5
log a 解（2）
x2 y
3
z
log a ( x 2 y ) log a z
1 2
1 2
1 3
log a x 2 loga y log a z
1 3
1 1 2 log a x log a y log a z 2 3
讲解范例
7 (1) lg 14 2 lg lg 7 lg 18 例3计算： 3
讲解范例
lg 243 例3计算： ( 2) lg 9
lg 243 lg 35 5 lg 3 5 解： ( 2) 2 2 lg 3 lg 9 lg 3 2
练习 1.求下列各式的值：
换底公式——精选推荐
换底公式换底公式是⼀个⽐较重要的公式，在很多对数的计算中都要使⽤，也是⾼中数学的重点。
另有两个推论如下：log a(b)表⽰以a为底的b的对数。
换底公式就是log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c 均⼤于零且不等于1）。
基本信息中⽂名：换底公式英⽂名：base changing formula for lograithms适⽤学科：数学、计算机适⽤范围：对数的计算，⾼中数学公式成⽴条件：a,c均⼤于零且不等于1推论个数：2形式正在加载换底公式换底公式是⼀个⽐较重要的公式，在很多对数的计算中都要使⽤，也是⾼中数学的重点。
另有两个推论。
loga(b)表⽰以a为底的b的对数。
换底公式就是log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均⼤于零且不等于1）推导过程若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)如：log（10）（5）=log（5）（5）/log（5）（10）则log（a）（b）=log（n^x）(n^y)根据对数的基本公式log(a）(M^n)=nloga(M)和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M易得log(n^x)(n^y)=y/x由a=n^x,b=n^y可得x=log(n)(a),y=log(n)(b)则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)例⼦：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1应⽤数学对数在数学对数运算中，通常是不同底的对数运算，这时就需要换底。
.通常在处理数学运算中，将⼀般底数转换为以e为底（即In）的⾃然对数或者是转换为以10为底（即lg）的常⽤对数，⽅便于我们运算；有时也通过⽤换底公式来证明或求解相关问题；在计算器上计算对数时需要⽤到这个公式。