第2章剪切与扭转 材料力学

二、剪切强度条件及其应用
1. 剪切强度条件
• 极限状态设计法
• 容许应力法

V A

fv
材料的抗剪 强度设计值
bs

Fbs Abs

fce
材料的承 压强度设
计值
V [ ]
A
材料的容许（许用）剪应力
2020/3/8
bs

Fbs Abs
[ bs ]
材料的许用（容许）承 压（挤压）应力
10
《 材 料 力 学 》—— 李章政
2.2 剪切的实用计算
一、剪应力和承压应力
1. 剪应力
剪切面上的剪力V由截面法确定。对于单面剪
切和螺栓双面剪切，设剪切面有nv个，则截
面上的剪力
VF
假定剪应力在剪
nv
切面上均匀分布 V
A
F
2020/3/8
FF
F/2 F/2 F/2 F/2
F/3 F/3
12
《 材 料 力 学 》—— 李章政
平面承压面
平面承压面
2020/3/8
B A
C D
半圆柱面承压面
13
t
《 材 料 力 学 》—— 李章政
例题2.1
图示榫接头，求剪切面上的剪应力和承压 面上的承压应力。
解
80kN
80kN
60
剪切应力
400 400
V F 80 103
承压面
A A 400 160 剪切面
17
《 材 料 力 学 》—— 李章政
2. 应用于螺栓抗剪连接
fv

f
b v
fce

f
b c
工程上采用搭接和加盖板的对接，故为
单面或双面剪切 单个螺栓抗剪

V A

F nv A

f
b v
F

nv
Af
b v

nv
d 2
4
f
b v
满足抗剪条件，一
单个螺栓承压
bs

Fbs Abs
F dt

2. 剪切胡克定律

A

B
剪切面上有剪应力

B

在比例极限内，剪应
力与剪应变成正比

D

C

C
比例常数G称为剪切弹性
G 模量，或切变模量
具有应力的量纲，常
材料常数之间的关系
以GPa为单位
G E
三个弹性常数
2(1 ) 中仅两个独立
2020/3/8
9
《 材 料 力 学 》—— 李章政
d
t/2
D. bs=4F/(td)
解
承压高度 t/2
Abs dt / 2
2020/3/8
bs

Fbs Abs
F dt / 2
2F dt
答案：B
15
❖例题2.3
《 材 料 力 学 》—— 李章政
图示法兰盘由四个直径10mm的螺栓连接， 承受力矩作用，砝兰盘厚度12mm。计算连 接的剪应力和承压应力。
三、剪应变和剪应力 A 1. 剪应变
相邻截面发生相对错动
D
剪切位移（相对错动位移）
BB或CC
相对剪切位移

绝对剪切位移 截面间距

B
B

C
C

BB
tan

小变形假设
AB
直角的改变量（弧度）称为剪应变（shear strain），或角应变、切应变。
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8
《 材 料 力 学 》—— 李章政
• 单面剪切 • 双面剪切 • 三面剪切
• ……
F
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FF
F/2 F/2 F/2 F/2
F/3 F/3
5 F/3
《 材 料 力 学 》—— 李章政
二、扭转变形
❖外力特点
• 外力偶作用面垂直于杆件轴线，右手定则平行 于杆件轴线
• 外力偶矩平衡（静止不动，或匀角速度转动）
❖变形特点
• 外力偶作用面之间任意 两横截面发生相对转动 （绕轴线）
2dA
2
(
D/ 2 3d )d
A
0 d/2
(D4 d4)
32
D4 (1 4 )
32 此处
d/D
2020/3/8
y
dA

d
x
D 34
《 材 料 力 学 》—— 李章政
截面抗扭系数
Wt

IP R

2IP D
D3 (1 4 )
16
y
实心圆截面（ = 0）
当Ph (horsepower马力), n (r/min)
2020/3/8
Me

735.5Ph
2n / 60

7024
Ph n
N.m
25
《 材 料 力 学 》—— 李章政
二、任意截面的扭矩
1. 扭矩的正负符号规定
• 右手法则，大拇指所指为T的指向
• T与截面的外法线一致者为正，反之为负
2. 任意截面的扭矩
2. 剪应力分布规律
• 实心圆截面：三角形分布 • 空心圆截面：梯形分布 • 最大剪应力：圆轴外边缘
c
2020/3/8
32
《 材 料 力 学 》—— 李章政
3. 剪应力计算公式
dF dA dT dF dA
T

A

dA

c
A 2dA cIP
材料力学
《 材 料 力 学 》—— 李章政
材料力学
费
秦
长
始
房
皇
有
有
缩
鞭
地
石
之
之
方
山东蓬莱阁
法
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2
登高
杜甫
风急天高猿啸哀，渚清沙白鸟飞回。 无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。 万里悲秋常作客，百年多病独登台！ 艰难苦恨繁霜鬓，潦倒新停浊酒杯。
3
《 材 料 力 学 》—— 李章政
第2章 剪切与扭转
Fb m in

min( 87965
,
48800 ) 48800N 48.8 kN
连接一侧所需螺栓数
2020/3/8
F n Fmbin
325 48.8
6.7
可取7个或8个螺栓
21
《 材 料 力 学 》—— 李章政
三、剪切破坏条件
1. 需要剪切破坏的情形
（1）保险钉、保险栓 （2）冲压加工 （3）剪裁材料（剪断钢筋、钢板）
左段平衡
Me1
Me2
Me3
x
Mx(F) 0
T M e1 0 T M e1
Me1 T
Me2
Me3
T
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26
《 材 料 力 学 》—— 李章政
左段平衡结果 T M e1 右段平衡
Mx(F) 0
T Me2 Me3 0 T Me2 Me3
规律总结：
F/3
11
《 材 料 力 学 》—— 李章政
2. 承压应力
物体之间的作用力 F，并非集中力，而是
在一个面积内分布的分布压
F
力，其集度成为承压应力或
挤压应力（bearing stress）
F
剪切面
假定在计算承压面上均匀分布
bs

Fbs Abs
t
计算承压面=真实面积（平面接触）
d
2020/3/8
=假面积dt（半圆柱面接触）
❖剪应力互等定理
图示正交平面构成的长方体
x、y、z 方向力自动平衡 对y、z 轴的距自动平衡
z

dz
Mx(F) 0:

( dxdy)dz (dxdz)dy 0
O

y
0

dy x

剪应力互等定理：在相互垂直的面上，剪应力
双生互等，对交线而言，同背向。
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max
c T / IP
所以
c
T
IP

max

TR IP
T Wt
其中
IP
2dA ——截面的极惯性矩
A
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Wt

IP
/
R
——截面的抗扭系数（模量） 33
《 材 料 力 学 》—— 李章政 极惯性矩按定义计算
dA (d )d
IP
76.39
x
（2）扭矩图
2020/3/8
114.59
30
《 材 料 力 学 》—— 李章政
2.4 圆轴扭转
一、扭转剪应力
1. 扭转变形规律
• 平面假定，
• 应力与变形关系

任一点的切应力与到圆心的距离成正比。 写成等式
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c 31
《 材 料 力 学 》—— 李章政
已知轴之转速1000 r/min，B处输入功率20 kW，A、C 轮输出分别为12 kW和8 kW。
解：
（1）外转矩
M eA
9549 PkA n
9549 12 1000
A
B
C
114.59 N.m
M eC
9549 PkC n
9549 8 1000
76.39 N.m
T (N.m)
既满足抗剪，又满足承压，一个螺栓所能承 担的轴力
Fmbin min Fvb , Fcb
已知总的轴向拉力（或压力）设计值F，连接
所需螺栓数为
n

F Fmbin
收尾法取整
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19
《 材 料 力 学 》—— 李章政
例题2.4
两块钢板用普通螺栓的盖板拼接。钢板宽 360mm，厚8mm；盖板厚6mm。已知轴心拉 力设计值F=325kN，钢材为Q235B，C级螺栓 （4.8级）M20。试求连接一侧所需螺栓个数。 已知螺栓抗剪强度设计值为140MPa，承压强 度设计值305MPa.
f
b c
F d( t) fcb 同一受力方向
承压构件的较 小总厚度
个螺栓所能承担的
满足承压条件，一个螺
轴力值
Fvb

nv
d 2
4
f
bBiblioteka Baiduv
栓所能承担的轴力值
Fcb d( t) fcb
2020/3/8
18
《 材 料 力 学 》—— 李章政
Fvb

nv
d 2
4
f
b v
Fcb d( t) fcb
F
F
F
F
2020/3/8
20
《 材 料 力 学 》—— 李章政
解答：
f
b v
140
N/mm2
f
b c

305
N/mm2
一个螺栓承载力（双面剪切）
Fvb

nv
d
4
2
f
b v
2 20 2 140
4
87965
N
Fcb d t fcb 208305 48800 N
150
• 纵坐标—扭矩
100
x
直观判断危险截面
120
2020/3/8
28
《 材 料 力 学 》—— 李章政
例题2.6
作图示杆件扭矩图
解：
1800 N.m
5000 N.m
2000 N.m
1200 N.m
T (N.m)
1800
2020/3/8
3200
x
1200
29
《 材 料 力 学 》—— 李章政
例题2.7：作扭矩图
2. 剪切破坏条件
剪切面上的计算剪应力不低 于材料的抗剪强度极限
2020/3/8


V A
b
t
t
22
❖例题2.5
《 材 料 力 学 》—— 李章政
已知钢板厚度t=10mm，钢板的剪切强度极限
b=400MPa，若用冲床在此钢板上冲出一个直
径d=30mm的圆孔，问需要多大的冲切力F？
❖解：
在冲孔中，剪切面是一个圆柱面
Me1
Me2
Me3
x
Me1 T
Me2
Me3
T
• T= 截面以左外转矩之和（左指为正） • T= 截面以右外转矩之和（右指为正）
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《 材 料 力 学 》—— 李章政
三、扭矩图
1. 扭矩图
• 扭矩沿杆件截面位置变化的 曲线（图线），称为扭矩图
• 是内力图之一
2. 坐标系
T(N.m)
• 横坐标—杆件轴线
F
80kN
1.25 MPa
承压应力
2020/3/8
bs

Fbs Abs

F Abs
80 103 60 160
8.33 MPa
14
《 材 料 力 学 》—— 李章政
例题2.2
铆钉受力如图，承压应力计算有下列四种：
A. bs=F/(td)
B. bs=2F/(td)
t/2
F
C. bs=2F/(td) F
IP

D 4
32
,
Wt

D3
16
• 扭转角

扭转变形为主的
构件，一般称为
202轴0/3/（8 shaft）
Me

Me 6
《 材 料 力 学 》—— 李章政
❖扭转的工程实例
• 传动轴 主动轮带动从动轮转动 每轮处存在外力偶
• 汽车方向盘的转向轴 转向力通过方向盘 以力偶传给转向轴
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7
《 材 料 力 学 》—— 李章政
解：每个螺栓承力F
1200 N.m
MO (F) 0 : F 0.152 1200 0
O F
F 4000 N
150
剪应力
承压应力
V 4000 A 25
bs

Fbs Abs

4000 1012
50.9 MPa
33.3 MPa
2020/3/8
16
《 材 料 力 学 》—— 李章政
A dt
t
冲孔条件
V
A
F
dt
b
t
所以
F dtb 3010400 N
377 kN
2020/3/8
23
《 材 料 力 学 》—— 李章政
2.3 扭矩与扭矩图
一、外力偶矩
1. 已知力偶矩Me
Me
2. 已知力 F，力臂a
Me = Fa
x
Me
3. 已知功率和转速
2.1 剪切与扭转的概念
一、剪切变形
❖受力
• 外力垂直于杆轴，相距很近 • 剪切面上的内力为剪力
❖变形
• 相对错动（相邻截面） • 角度变化
2020/3/8
F
F 剪切面
V F
F
F

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《 材 料 力 学 》—— 李章政
❖产生剪切变形的构件
• 连接件：螺栓、销钉、铆钉、键 • 木材的齿连接
❖剪切面个数nv
设功率为 P（power），转速为 n ，则有
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《 材 料 力 学 》—— 李章政
做功
dW M ed
功率
dW
d
dt M e dt
d
Me
所以
P M e
Me P/
当Pk (kW), n (r/min)
Me

1000Pk
2n / 60
9549 Pk n
N.m